（工程力学专业论文）广州新电视塔有限元模型简化与修正.pdf

中山大学硕+ 学位论文 中山大学硕士学位论文：广州新电视塔有限元模型简化与修正 专业：工程力学 硕士生：叶俊华 指导教师：刘济科 摘要 本文介绍了有限元模型修正和基于s v d 模型修正法的相关原理和方法，分析了各 自的优缺点。以“广州新电视塔结构施工监控与运营健康监测服务( 项目编号：2 0 0 7 0 3 7 9 ) ”项目为背景，基于广州新电视塔s a p 2 0 0 0 精细模型，作出了几个保证结构主要 特性的假定并对精细模型进行了简化，简化模型减少了计算量，节省储存空间，提高计 算效率，可以估算出原结构主要的动力特性，以便于设计者对结构进行修改。同时介绍 了广州新电视塔实测模态和频率数据的获取途径，对实测模态数据进行了模态扩展处 理，运用基于s v d 的模型修正方法对广州新电视塔简化模型进行了修正。最后，对修 正结果进行了分析，结果表明该修正方法具有较好的收敛性及工程应用价值。 关键词：模型简化；模型修正；s v d ；广州新电视塔 中山人学硕+ 学位论文 t i t l e ：f i n i t ee l e m e n tm o d e ls i m p l i f i c a t i o na n du p d a t i n go fg u a n g z h o u n e wt vt o w e r m a jo r ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s n a m e ：y ej u n h u a s u p e r v i s o r ：l i uj i k e a b s t r a c t t h i st h e s i sd e s c r i b e st h er e l e v a n tp r i n c i p l e sa n dm e t h o d so ff i n i t ee l e m e n tm o d e l u p d a t i n ga n dm o d e lu p d a t i n gb a s e do ns v d ，a n dt h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n 驴s a tt h e b a c k g r o u n do ft h ep r o j e c t “c o n s t r u c t i o no fg u a n g z h o un e wt vt o w e rs t r u c t u r a lc o n t r o l a n dh e a l t hm o n i t o r i n gs e r v i c e so p e r a t i o n ( p r o j e c tn u m b e r ：2 0 0 7 0 3 7 9 ) ”，as i m p l i f i e dm o d e l i sc r e a t e db yt h ea s s u m p t i o n st oe n s u r et h em a i nc h a r a c t e r i s t i c so ft h es t r u c t u r eb a s e do nt h e o u a n g z h o un e wt vt o w e rf u l lm o d e li ns a p 2 0 0 0 n l es i m p l i f i e dm o d e lc a nr e d u c et h e c a l c u l a t i o n ，s a v es t o r a g es p a c e ，i m p r o v ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n de s t i m a t et h em a i n d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eo r i g i n a ls t r u c t u r ef o r t h ed e s i g n e rt om o d i f yt h es t r u c t u r em o r e e a s i l y t h eo b t a i n i n gw a ya b o u tt h em e a s u r e dm o d ed a t aa n df r e q u e n c yd a t ao fg u a n g z h o u n e wt vt o w e ri si n t r o d u c e d d e a l i n gw i t ht h em o d ed a t ab ym o d ee x p a n s i o n t h es i m p l i f i e d m o d e lo fg u a n g z h o un e wt vt o w e ri su p d a t e db yt h em o d e lu p d a t i n gm e t h o db a s e do ns v d 。刀瞎u p d a t i n g r e s u l t sa l ea n a l y z e da n ds h o wt h eg o o dc o n v e r g e n c ea n d e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n so ft h em e t h o d k e yw o r d s ：m o d e ls i m p l i f i c a t i o n ：m o d e lu p d a t i n g ；s v d ；g u a n g z h o un e wt vt o w e r u 论文原创性声明内容 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：叶使午 日期：扣年占月9 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论 文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他 方法保存学位论文。 学位论文作者签名：叶咎湃导师签名：纠l 形饼 日期：& o 口年6 月日日期：文口声年6 月i 中日 中山大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 近年来，结构健康监测和损伤识别已发展为结构动力学科的一个重要领域，而模型 修正法的研究就是其中的一个热点。 通常情况下，建立一个合理的数学模型是进行模型修正的前提。一个数学模型，如 果完全脱离了实际结构主要特征，无论如何修正也不能得到正确合理的结果。合理的数 学模型既可以是线性的，也可以是非线性的，这是根据实际结构的主要特性决定。由于 现代建筑规模比较庞大，根据实际结构确定的数学模型普遍存在自由度数多、进行动力 分析时计算量大两个缺点，因此对这种大型数学模型做模型简化处理是非常必要的。 现实中比较通用的主要有两种结构建模和分析的方法：一是理论建模，对于大型复 杂结构，主要通过有限元离散方法进行数值仿真；二是试验建模，通过结构试验方法对 模型动力特性进行辨识和修正【i 】。目前有限元方法在实际工程中已得到广泛应用，但由 于建立的有限元模型是对实际结构有限元离散化而来的，与实际结构必然存在一定的误 差，导致了根据有限元模型进行动力学分析得到的结果与实际结构进行实验的结果存在 一定的差别，这差别有时候已经不能满足设计规范的要求。m o t t e r s h e a d 和f r i s w e l l t 2 】总 结了上述误差产生的方式和原因： ( 1 ) 模型结构的误差，主要是由一些不确定因素引起的，这与建立数学模型时选 择的各项因素有关，保留了主要因素必然忽略了部分次要因素，比如选择了一个线性的 有限元模型必然忽略了实际结构中非线性部分的影响。 ( 2 ) 模型参数的误差，即参数与外部因素之间的误差或者参数与参数之间的误差， 如模型物理参数因环境改变引起的误差，几何尺寸与本构关系之间的误差、简化边界条 件与连接条件的误差，人为引入系统的阻尼比等等。 ( 3 ) 模型阶次的误差，有限元模型建立是对实际结构有限元离散化而来，自由度 数是有限的，而实际结构是连续的，有无限个自由度数，两者之间必然存在模型阶次的 误差。 由于误差的必然存在，所以需要借助实验结果和模型修正技术对数学模型进行修 正，尽量缩小理论模型与实际结构之间误差，以达到正确预测结构行为的目的。所谓模 广州新电视塔有限元模型简化与修正 型修正就是指利用结构现场实测的信息去修正结构动力模型，使得修正后结构分析的模 态频率参数与试验值趋于一致。 1 2 有限元模型修正发展 有限元模型修正技术发展到现在已经有四十多年历史。模型修正在早期关心的是动 力学问题，早在1 9 6 7 年r o d d e n 3 l 就利用地面共振试验测得的非完整模态数据求解结构 的静力响应系数矩阵。为了改善通过数学建立的结构有限元模型，国内外许多学者不断 研究利用实验得到的结果修正理论有限元模型，b e m a i l 【4 - 6 1 、b a r u c h i t , g l 等人的工作奠定 了这一领域的基础。 有限元模型修正法通常可分为矩阵型法和设计参数型法两种。 矩阵型法先假设理论模型与实际结构之间存在一定差异，利用特征方程，使用最小 二乘法修正理论模型的质量矩阵、刚度矩阵等。突出的优点是计算过程简单，修改量大 的情况比较适用；但也有得出的系统矩阵物理意义不明确，原系统矩阵的对称、带状特 征被破坏等缺点。甜l l i l a d i a l l 【9 】对矩阵型法的基本原理和步骤进行了详细介绍，并且举 出了一个简单悬臂梁的算例，表明了该方法的有效性，同时也表明了该方法有缺乏明确 的物理意义和对大型结构不适用两个问题。向锦武等【i o l 为了处理未知参数过多的问题， 提出了基于矩阵型法修正的两步法：根据误差矩阵先判断误差的范围，再确定所得误差 范围的修正量。该方法虽然对矩阵型法进行了部分改进，但当判断误差范围失效时，将 得出错误的结果。李书等i l l j 提出了一种只需要少量实验数据便可得出修正结果的模型修 正方法。矩阵型法还有一大误差来源，就是计算时大部分情况都必须先进行模型缩聚或 模态扩展，这是因为实际测量的数据个数远少于理论模型的自由度数所造成的【1 2 1 4 1 。 设计参数型法则是对结构的各个设计参数进行修正，设计参数可以是弹性模量、质 量密度、截面积、扭转惯量等。该方法保持了原系统矩阵的对称带状特征，修正后的系 统矩阵物理意义明确，同时该方法实用性强，能兼容其他结构优化设计；其最大的缺点 是计算复杂【1 0 , 1 5 】。设计参数型法的基本思路类似于结构优化理论，先构造目标函数，即 在相同激励下数学模型与实际模型的动力特性误差函数，通过选取修正参数计算来达到 最小化误差，最终实现模型修正的目的。该方法不要求参数矩阵为不变量，修正的参数 可从各个系统矩阵中选取。由于所构造的目标函数大部分是非线性的，通常情况下是应 用迭代数值算法去实现对目标函数的优化。 总的来说，各种有限元模型修正方法，最后总归结为一数学问题。 一2 一 中山人学硕+ 学位论文 1 3 有限元模型修正理论 1 3 1 结构的相关性分析 一个线性、离散的结构系统方程为： m i i ( t ) + c 厅( ，) + k u ( t ) = f ( t )( 1 - 1 ) 式中m 为系统质量矩阵，c 为系统阻尼矩阵，k 为系统刚度矩阵， 厂( f ) 为时域激 励向量，舀( ，) 为加速度向量，z i ( f ) 为速度向量，“( f ) 为位移向量。大多数结构的相关分 析、灵敏度分析和模型修正的方法都是基于模型的模态参数，模态参数通过实验可以获 得。式( 1 1 ) 在简谐振动中经过变换到复频域，有如下形式： 厂( f ) = 夕口触 u ( t ) = 费p 矧 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 将式( 1 2 ) 、( 1 - 3 ) 代入式( 1 - 1 ) 得到： ( k + f n ) c 一2 m ) 螽= f( 1 4 ) ( k + i 石o c c 0 2 m ) 称为系统矩阵或者动力阻尼( 阻抗) 矩阵，求逆后就是系统传递函 数圄倒，又称频率响应函数。对式( 1 4 ) 求解可以得到模态参数，试解为历= 0 ，这个解 对于所有的c o 值都适用，而其他的解应满足d e t ( k + i 6 0 c c 0 2 m ) = 0 。所得的解为系统的 特征值，即系统的模态参数。 1 3 2 模型缩聚与模态扩展 现在许多修正方法中都需要采用实测模态来进行修正计算，还要满足实测模态的自 由度数与理论模型的自由度数相同的条件。事实上，一般分析模型的自由度数必然大于 试验模态模型的自由度数。另外，有些自由度往往难以实际测得，如结构振动的转角自 由度就是如此。这样就出现了试验模态振型不完整性，最初的方法是把所未测量到的自 由度数据用理论模型所得模态中相对应的数据来代替，这样做的缺陷显而易见，当理论 模型与实际结构相差较大时，必然会出现极大的误差。解决这一矛盾一般有两种途径： 一是缩减理论模型的自由度数，称为模型缩聚；二是扩充实测振型的自由度数，称为模 态扩展。 ( 1 ) 模型缩聚 模型缩聚法缩聚的对象是理论模型，是一种近似方法。g u y a n 1 6 1 的静力缩聚法是早 一3 一 广州新电视塔有限元模型简化与修正 期使用的模型缩聚法，其主要思路是把位移矢量划分为两个部分( 主坐标与副坐标) ， 根据系统动能、势能缩聚前后不变的原理，在忽略了副坐标上的惯性力的基础上去缩聚 理论模型的质量矩阵、刚度矩阵。该方法实际上是静态缩聚，如果选择的副坐标出现惯 性力较大的情况，将会明显降低修正精度。o c a l l a h a n t l 7 】对g u y a n 法作出了一定的改进， 提出了一种改进的减缩系统法( i m p r o v e dr e d u c e ds y s t e m ，i r s ) ，缩聚时加上了副坐标上的 惯性力，同时将g u y a n 法所得结果假定为一级近似解回代特征方程中，该法结果与g u y a n 法相比精度有所提高。之后张德文i 堪j 提出的改进g u y a n 递推减缩法，将i r s 法的结果 再重新回代特征方程获取二级缩聚结果，重复迭代即可获得任意级数的结果并且精度也 较前面方法有了提高。但由于引入模态截取误差是上述模型缩聚方法的共同特点，故其 缩聚结果的精度在小于最高模态频率截取范围内才能得到保证。 ( 2 ) 模态扩展 模态扩展的对象为在实测中获取的各阶模态。工程中实测的模态都是复模态，这是 由于必然存在的阻尼所造成的，但现在大部分的修正方法都是以实模态理论为基础的， 故在进行模态扩展之前，需要先从复模态中提取出主模态，即对实测模态进行预处理， 随着计算机技术的飞速发展，如今对实测模态的预处理工作是通过专业软件来完成的。 实现模态扩展的通常方法为插值，具有代表性的有两个方法：一是b e r m a n l 6 1 和f a r h a t 1 9 】 等的迭代插值法，该方法的思路是根据实测的自由度和未测的自由度把质量、刚度矩阵 分成死个子矩阵，通过特征方程的计算得到新的模态，再利用扩展后新的模态重新修正 质量、刚度矩阵，如此重复，在满足了给出准则后即可停止迭代，最终得到满足要求的 扩展模态；二是最优拟合法【2 0 】，该方法先对拟合的模态矩阵进行线性处理，写为分析模 态矩阵，再通过构造误差目标泛函极小化问题得到扩展模态矩阵。此外，一些模型缩聚 方法也可以反过来用于模态扩展，二者可以看作是互逆过程。 1 4 本文主要研究工作与章节安排 课题来源于项目“广州新电视塔结构施工监控与运营健康监测服务( 项目编号：2 0 0 7 - - 0 3 7 9 ) ”。本文基于各种有限元模型修正方法的分析，结合已有的广州电视塔系统 s a p 2 0 0 0 精细模型，建立了一个线性串联刚片系简化模型。基于矩阵奇异值分解( s v d ) 理论，采用基于s v d 的模型修正方法并结合实测数据对简化模型进行了修正，最后对 修正结果进行了分析。简化和修正过程中遇到的矩阵计算都是在专业计算软件m a t l a b 平台上完成。 本文各章节安排如下： 第一章：介绍了有限元模型修正的背景、发展及理论，同时介绍了课题来源、主要 一4 一 中山大学硕士学位论文 研究工作与论文章节安排。 第二章：主要介绍了各种模型修正方法的基本原理及优缺点，同时介绍了s v d 理 论及模态扩展原理，基于s v d 的有限元模型修正方法，说明了此方法和传统方法相比 有哪些改进。 第三章：介绍了广州新电视塔概况，通过一些的假定与步骤，运用位移法对有限元 精细模型进行了简化。 第四章：介绍了实测数据获取途径，运用基于s v d 模型修正方法对广州新电视塔 简化模型进行修正，最后对所得的结果进行分析。 第五章：对本文进行总结，并展望下一阶段的工作。 一5 一 广州新电视塔有限元模型简化与修正 第二章模型修正方法介绍 2 1 常用有限元模型修正方法 2 1 1 矩阵型修正法 这类方法最大的特点是使用试验得到的频率和模态向量来修正有限元模型，计算简 单，适用于修j 下量较大的情况。 ( 1 ) 质量矩阵的修正 通常情况下，理论模型的自由度数必然大于试验模态的自由度数，必须通过适当的 矩阵缩减或扩展方法来解决。首先假设试验得到的振型和频率是可以反映实际结 构特性的，并且理论模型与试验模型之间的误差也不大。构造目标函数 ，= + 味( o r m j o ，- l ) s = 善i 蚓( m 一帆j ) 2 鸩j = 0 亿；( m 一帆) 膨；0 ，= ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 式( 2 1 ) ( 2 2 ) 中西f 、必均为列向量，两者应该满足正交条件，而且对于初始质量矩 阵，应与修正后的质量矩阵之间的误差满足最小化条件，最后得到 m = m a m 一7 螈1 ( 一j ) 惦1 m 一( 2 3 ) ( 2 ) 刚度矩阵的修正 参照上面质量矩阵的修正方法，构造目标函数 ，= s + c o k o ( k o - m a ) ，+ ，( 7 k ( i ) - a ) l 3 = 1i = l3 = 1i = l + ( k r - k ) ( 2 4 ) = i t = l 式( 2 4 ) 应满足振型对刚度矩阵正交条件，还要满足特征方程，同时还要满足修正后 的刚度矩阵和初始刚度矩阵之间误差的最小化条件。使用与质量矩阵一样的求解方法， 中山人学硕十学位论文 得到： k = k 爿+ + r = 圭m ( 7 1 髟+ 人) 7 m k a r m q 巧 式中m 为式( 2 3 ) 求得的质量矩阵。 2 1 2 设计参数型法 设计参数型法主要对实际结构设计参数进行修正，如弹性模量、质量密度、截面积、 扭转惯量等，具有是结果物理意义明确，对结构的分析与计算简便，能兼容其他结构优 化设计等优点；其缺点是精度主要取决于计算方法，且计算效率较低。 对于参数的选取，f r i s w e l l 等【2 l j 提出有限元模型质量矩阵和刚度矩阵中的各个元素 都不适合作为所选择的参数，所选参数要满足两个要求：一是参数要属于模型的模糊部 分，二是参数必须要对模型的其他输出结果具有敏感性。宋汉文等【2 2 】提出，对于支座和 连接点等动态行为，所选参数的研究还很贫乏，如果对支座和连接点的过分简化必然会 影响到总体系统模型的误差，这个误差会比主要部件上由几何参数、质量、刚度分布引 起的误差大得多。 实际工程中，确定好了数学模型，也经常会根据实际要求多次修改原结构。而且就 算该结构比较简单，也可调整多个设计参数，选择多项修改方案。灵敏度分析的作用就 是分析各个设计参数对结构动态特性的敏感程度，确定出最理想的修改方案。这项灵敏 度分析的技术可从结构设计中引入到模型修正技术，应用该项技术可确定结构的质量、 刚度及阻尼对结构特征值，特征向量的敏感程度，从而确定对结构动力特性影响最大的 参数进行修正。 直接求导法和伴随结构法是常用的两种灵敏度分析方法。直接求导法是直接求导系 统特征值与特征向量的多元函数，从而得到灵敏度的计算公式。此法由f x o 和k p a o o r 2 3 l 最先提出，他们通过求导模型的特征方程，利用正交条件首次提出了线性结构特征值和 特征矢量关于设计参数的一阶灵敏度计算公式。之后n e l s o n 2 4 1 ，l i m 和j u n k i n s 2 5 1 ， o j a l o t 2 6 1 ，s u r e r 和c 锄莉a 【2 7 1 等对其进行了改进，国内的z h a n g 和c h a n g 2 8 1 等也运用类 似方法对一缩小的桥梁振动模型进行了修正。而伴随结构法是参照电子学中的伴随结构 理论，根据结构力学中的虚功原理与电子学中的特勒根定理的相似性，将网络理论扩展 到机械结构当中。v a n b e l l l 2 9 】首先提出了这种方法，后来v a n h o n a c k e r 等人对该方法进行 了改进，伴随结构法在实际工程中应用广泛【3 0 1 。 广州新电视塔有限元模型简化与修正 2 1 3 神经网络方法 现代工程建筑越来越大型，待修正的参数数目对于大型结构数量来说是非常多的， 修正量也是非常大的，同时也不可以忽略测量误差叠加的影响。面对上述困难，基于神 经网络的模型修正方法【3 l 】，相对于矩阵型修正法和设计参数型修正法能更好的解决非线 性问题。该方法是一种使用神经处理元件作为手段的智能模型修正方法，近几年来得到 了飞速发展，广泛应用于实际工程当中。 徐宜桂1 3 2 j 等通过对一简支梁动力模型的修正说明了基于神经网络方法的适用性和 先进性；l e v i n l 3 3 1 系统地介绍了在结构动力学模型修正中应用神经网络方法的基本原理 和步骤，并且分析了该方法的优点以及存在的问题，同时对一个十自由度的悬臂梁进行 了数值模拟，表明了神经网络方法具有较强抗噪声能力；段雪平【3 4 】等运用神经网络方法 实现了多层建筑物动力模型的修正。 实际工程结构是比较复杂的，所需要的训练样本数目随着结构自由度数目的增加快 速增多，严重阻碍了网络训练的收敛过程。同时，进行一次动力分析只能形成一组样本， 如要形成大量训练样本的计算量将会加速增加。这就使得神经网络方法出现两个主要问 题，分别是计算费用的增加和结果的不稳定性3 5 1 。m a s r i 等3 6 ，3 7 1 针对上面两个问题，通 过改进神经网络结构本身，取得了一定的效果，提高了运算速度和加强了收敛性，但并 没有从根本上解决上述两个难题。 2 1 4 三种修正法的优缺点 ( 1 ) 矩阵修正法的优点是计算简单，适用于修正量较大的情况，另外还可以发现 和修正某些错误，如单元网格划分、边界条件确定以及某些建模错误：缺点是无法保存 修正后的各个意义，还破坏了原系统矩阵的对称、带状特征，而且由于是对各个矩阵进 行的整体修正，造成计算量大，计算效率低。 ( 2 ) 设计参数型法优点在于能够保持原模型系统矩阵的对称带状特征，且修正后 的结果具有明确的物理意义，便于实际结构分析计算，同时该方法与其它结构优化设计 过程兼容，实用性较强；其最大缺点是计算复杂，计算效率最为低下，往往无法对大型 复杂结构进行修正，而且由于不进行模型缩聚，对测量要求极高，测量难度大。 ( 3 ) 神经网络方法既不要求进行模型缩聚，也不要求进行模态扩充，同时还具有 强大的非线性映射功能，因而能够处理结构的非线性问题。但是，该方法耗时量大，而 且，对某些关键步骤只能凭借经验而缺乏理论依据。 一8 一 中山大学硕+ 学位论文 2 2s v d 理论及模态扩展原理 2 2 1s v d 理论 矩阵奇异值分解( s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，s v d ) 属于矩阵对角化分解的一种， 在优化问题、最d , - - 乘问题、广义逆矩阵及统计学等方面都有着重要的应用，作为矩阵 理论和矩阵计算最重要也最基本的工具之一，s v d 在控制理论、系统识别和信号处理等 许多其他领域都有直接的应用。 矩阵的奇异值分解定理：设m x n 矩阵a “，其中矩阵么的秩r a n k ( 4 ) = ，一 缈，则 存在m 阶酉矩阵u 和l , l 阶酉矩阵阼使得 彳：u f 0 1 y ( 2 - 6 ) l 0 o 其中d i a g ( a l ，0 2 ，o t ) ，且0 1 a 2 芝舻o ，而西( i _ l ，2 ，r ) 为矩阵彳 的正奇异值。表示以复矩阵v 的元素的共轭复数为元素的矩阵旷的转置旷7 = ，其 满足v = i ，胪= i 。式( 2 6 ) 称为矩阵彳的奇异值分解式。 上述定理最早由e c k a r t 和y o u n g 于1 9 3 9 年证明【3 8 4 0 1 文【4 l 】给出了用s v d 法求解线性方程组a x = b 的方法，其中a 尺舭一，x e r 一，b e r 肼。 ( 2 - 6 ) 式中u = i ，u2 ) ，u1 为u 中前，列正交向量组构成的m ，阶矩阵；y = 仍， 圪j ，h 为v 中前，列正交向量组构成的n ，阶矩阵。 ( 1 ) 当m = 刀时，如果矩阵a 的秩r a n k 口j = ”，则方程有唯一解，其解的形式为 x = k 一u r b( 2 7 ) 如果矩阵彳的秩与它的增广矩阵的秩相同，r a n k 例= r a n k 似砂= ，伊 砂，则方程 有无穷解，且方程的解可表示为由( 2 7 ) 式求得的一个特解x + 与矩阵彳零空间列向量的线 性组合，即 x = x + 乃_ = r + l 式中v j v 2 ( j = 什l ，n ) 。 如果矩阵a 的秩与它的增广矩阵的秩不相同， 乘原理，可得方程的最4 , - 乘解 x = k 。1u r b 一9 一 ( 2 - 8 ) 则方程无解，但s v d 法利用最小二 ( 2 9 ) 广州新电视塔有限元模型简化与修正 ( 2 ) 当肌 玎时，方程a x = b 为超定方程，s v d 法利用最小二乘原理，可得最小二 乘解 x = k 。1w 6 ( 2 - 1 0 ) 2 2 2 模态扩展原理 模态分析作为结构动力学特性分析中的一种基本方法，一直以来都是研究的重点。 一般结构自由振动的表达式为 ( k 一砰m ) 。= o ( 2 1 1 ) 式中，k 、m 分别表示刚度和质量矩阵，叽，0 9 。分别表示第s 阶的振型和固有频率。 由于在实际测量中，传感器的布点数目远远小于分析模型的节点数据，将测点与未测点 区分开来，上式重写为 睡针l _ m m m m , , m j j k , i , , 、l j = 。 p 式中m 为测量点数目，为未测量点数目。 显然o ，是未知的，测量数据与分析模型的自由度不能一一对应，为了将测试点与 分析模型的自由度相对应，必须要使用模态扩展的方法。 运用k i d d e r 原理构造出蛾为西m 的模态扩展矩阵 4 2 , 4 3 1 ，令 卟- 【g ( 训叱 ( 2 - 1 3 ) g c 嫂，= 一尸。q 鼻q 。q ， g 一4 ， 其中 尸( q ) = 巧1 + 场1 巧1 ( 2 - 1 5 ) q ( q ) = k 一蚝 ( 2 - 1 6 ) 中山火学硕士学位论文 上面分析作为基础，文献【4 2 ，4 3 1 给出了修正k 、m 的详细方法和步骤，同时文献【4 2 】 明确指出此修正方法求解不仅计算繁琐，而且所得的解还与测量模态的准确性、原始动 力模型的准确性、所选的目标函数以及求解方法有关。因此，原方法非但计算费时，也 很难求出准确的解。 2 3 基于s v d 的模型修正方法 在模态扩展的基础上，对结构自由振动动力学模型的振动表达式进行摄动1 ，式 ( 2 - 11 ) 重新表示为 l ( 髟+ 必) 一( 帆+ 埘) l ，= 0 ( 2 1 7 ) 上式子中似和埘分别表示理论的刚度矩阵、质量矩阵和实际结构的摄动量，是 未知矩阵，而局、是通过理论建立的有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵；。、蛾 是实际测量的固有频率和振型。肠，尥，( 0 5 ，蛾在这为已知量。将式( 2 1 7 ) 进行分解可 得 a k o ，一埘，= m 一，一髟， ( 2 - 1 8 ) 写成矩阵表达形式为 埘】b ，卜鸭刮啦 ( 2 - 1 9 ) 这里我们假设有限元模型的自由度为甩，实际测量到频率与振型阶数为朋，取出第 i 阶频率c o f 和振型缈f 代a ( 2 - 1 9 ) 式，得到 【似，埘】( 一要谚 = ( 砰一亿) 咖 ( 2 乞。) 求出未知矩阵丛和埘是模型修正的目标。不难看出式( 2 - 2 0 ) q b a k , a m 具有n x 2 n 个未知量，直接求解不仅非常繁琐且准确性也不高。针对这个问题采用下面简化求解的 方法，根据矩阵乘法的定义，取出【k 刖切及( f 2 舰杨) 的第行进行计算，并对 蝴与( 善谚 进行转置处理，得到 ，刮矧刊帆州 p 2 ， 广州新电视塔有限元模型简化与修正 将式( 2 2 1 ) 的已知量重新写成矩阵形式，得 哦7 ，一砰咖r 咖2 t2 - - 2 r 奄m 。一2 。苓： 从，7 l i = i 埘，7 i l jj ( o ) i 2 m a 一髟) a ( 鸠一髟) 也 ( 鸠一髟) 丸 式( 2 2 2 ) 为包含2 刀个未知数的线性方程组，令 a = 晚7 ，一砰a 7 如t ，一2 如r 母m t ，一2 ： 一跚6 = ， x = ll ， 62 i 膨。l ( 砰帆一髟) 咖 ( 面心- k 一) 如 ( 盛心一髟) ，丸 ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 即可把( 2 2 2 ) 化为a x = b 的形式，由于m 2 玎，为欠定方程组，利用上面叙述的结 果对彳进行s v d 可得到最小二乘解 x = k 。1 u r b( 2 2 4 ) 式( 2 - 2 2 ) 与式( 2 2 0 ) 比较虽然要求解玎个方程才能得到完整系统刚度矩阵和质量矩阵 的修正值，但有好得多的数值稳定解( 扰动理论) 4 5 1 。而且式( 2 2 2 ) 仅涉及到只是简单 矩阵运算，从整体上看，算法要比上面介绍的矩阵修正的方法简单得多。更为重要的是 式( 2 2 2 ) 与式( 2 2 0 ) 相比能突出原矩阵的主要位置元素，这是因为式( 2 2 2 ) 解的本质是通 过矩阵相似变化得到的。 最后我们还要对所得的必埘矩阵进行适当处理，使得原刚度、质量矩阵与修正 后的刚度和质量矩阵的联接信息得以保存，本文做法是忽略掉必埘落在原来k a ，m a 矩阵带宽以外的元素。同时为了保持对称性，根据w e i l 4 6 1 提出的方法对修正矩阵a k , 刖i , 进行如下处理 似= ( a x + 从。) 2( 2 2 5 ) a m = ( 埘+ 肼7 ) 2 ( 2 2 6 ) 最终修正矩阵为 k = 髟+ 舣( 2 - 2 7 ) m = m 一+ 埘( 2 2 8 ) 中山人学硕士学位论文 参照模态置信准贝j j ( m a c ) ，可用固有频率向量来衡量修正模型与实际结构之问的相 关程度，定义固有频率向量置信准贝j j ( n a t u r a lf r e q u e n c i e sv e c t o ra s s u r a n c ec r i t e r i o n ， n f v a c ) t 4 7 1 ，如下 1 n r v a c ( f t , f 。) = 一 亿2 功 式中，和尸分别表示实测的固有频率向量和计算的固有频率向量，i n f v a c 表示了 2 个固有频率向量之间的相关程度，且o s k 喇匹l 。当胁蹦c = 1 时，2 个向量完全相关； 而坼啊c = 0 时，2 个向量完全不相关。只有到加删c 不再增加或者满足了修正要求后才 停止计算，否则，重复修正过程，流程如下图。 图2 1 模型修正流程 广州新电视塔有限元模型简化与修正 在四个输入参数当中，刚度矩阵局、质量矩阵m a 和实测固有频率，是通过理 论或测量获取的，只有实测模态啦经过模态扩展处理，因此在修正方法不变的情况下 实测模态啦相对其他3 项来说对修正结果的影响是最大的。 2 4 本章小结 本章介绍了s v d 的定义、利用s v d 求解线性方程组的方法，模态扩展的原理及如 何把s v d 应用到模型修正领域。与传统矩阵修正法相比，基于s v d 的模型修正方法由 于使用了模态扩展的方法，不要求测量到完整的各阶模态，降低了测量的费用和测量点 的个数要求；只需要用到简单的矩阵运算，使得计算效率提高。同时针对传统矩阵修正 法修正后的参数矩阵有可能丧失原来的对称性以及原模型各个单元的连接信息这个最 大的缺点，该方法对修正后的参数矩阵进行了适当处理，使得原刚度、质量矩阵与修正 后的刚度和质量矩阵的联接信息得以保存。但由于现实中的结构都或多或少受到非线性 部分的影响，因此对于以线性分析为基础的矩阵型修正法和参数型修正法都有一定误 差。 中山人学硕十学位论文 第三章广州新电视塔简化模型 3 1 广州新电视塔概况 ( 资料来源：广州新电视塔结构施工监控与运营健康监测服务技术方案书) 广州新电视塔是广州市新的地标性的重点工程，于2 0 0 9 年建成后将承担2 0 1 0 年的 亚运会转播任务。新电视塔选址于广州新城市中轴线与珠江景观轴交汇处，北临珠江， 与2 1 世纪中央商务区一珠江新城及海心沙市民广场隔江相望。新电视塔将与珠江新城 中的“双子塔”构成大三角，与珠江新城南端的广州市歌剧院、广东省博物馆构成小三角。 广州新电视塔的设计使用年限为1 0 0 年。新电视塔高6 1 0 米，其中主塔体高4 5 4 米；天 线桅杆高1 5 6 米。作为广州市的标志性建筑，新电视塔将矗立于城市的中轴线上。其所 在的广场距珠江最近距离只有1 0 0 米，广场层高出地面约7 米。广场首层地面标高为o o o 米，地下室二层，标高分别为5 米和1 0 米。电视塔塔体包括3 7 层不同功能的封闭楼层， 作为观光、餐厅、电视广播技术中心以及休闲娱乐区等。电视塔的首层为商业建筑和主 要的流通地带。地下室一层为停车场和电视塔管理用房。地下室二层为设备和仓库。广 州新电视塔用地总面积约1 7 6 万平方米，总建筑面积约1 0 万平方米，塔基用地面积约 8 5 万平方米。 广州新电视塔的建筑结构是由一个向上旋转的椭圆形钢外壳变化生成，相对于塔的 顶、底部，其腰部纤细。结构采用筒中筒结构，通过其外部的钢斜柱、斜撑、环梁和内 部的钢筋混凝土筒充分展现了建筑所要表达的建筑造型。钢结构外筒是结构主要的垂直 承重及抗侧力构件，包括三种类型的构件：立柱，环梁和斜撑。外筒共有2 4 根柱，由 地下二层柱定位点沿直线至塔体顶部相应的柱定位点，全部采用钢管混凝土组合柱。结 构具有如下特点： ( 1 ) 结构超高：广州新电视塔高达6 1 0 m ，它已经超出了一般塔的概念，在超高层 建筑发展历史中具有里程碑的意义； ( 2 ) 形体奇特：广州新电视塔以“广州新气象”为主题，塔的上部和下部分别是两 个椭圆，大小椭圆用钢管混凝土立柱连接起来，然后在中间扭转了4 5 0 ，建筑由不同形 状和不同方向的椭圆结合而成，形成上升体，从不同的角度看有不同的形状和效果，形 体非常奇特； 广州新电视塔有限元模型简化与修正 ( 3 ) 结构复杂：为了实现奇特的建筑效果，设计采用筒中简结构，内筒为椭圆形 钢筋混凝土结构，外筒为花篮状钢结构，两者之间在局部区段采用支撑钢梁和楼层连接， 在4 5 4 m 高空设置1 5 6 m 高的塔桅，结构极为复杂； ( 4 ) 建设环境复杂：广州地区位于我国南方，易受到强台风的正面袭击。由于本 电视塔结构的高柔特点，特别是天线桅杆长达1 5 6 m ，在风荷载作用下响应十分显著。 3 2 广州新电视塔简化模型 土木工程结构在国民经济及其社会生活中起着十分重要的作用。随着结构分析理 论、施工技术、材料性能的迅速发展，结构跨度越来越大，结构越来越柔，不仅要求精 确严密的计算与施工技术，而且对结构建成后的安全运营提出了更高的要求。自从2 0 世纪9 0 年代开始，提出了旨在保证结构安全、耐久的“结构健康监测”的概念，并在一 些建成和在建的结构上，安装了和待安装结构长期健康状态监测系统。 通常结构设计时所建立的三维精细有限元模型自由度数量都过于庞大，从结构动力 分析的角度来看，是不必要的，因此需要对此模型进行合理简化。简化模型减少了计算 量，节省储存空间，提高计算效率，可以估算出原结构主要的动力特性，以便于设计者 对结构进行修改。 广州新电视塔外观、其结构s a p 2 0 0 0 有限元模型分别如图3 1 、图3 2 所示。 中山人学硕士学位论文 喇3 1 外观 本章采用位移法对广州新电视塔精细模型进行如下简化 图3 2 精细模掣 3 2 1 模型简化假定 基于广州新电视塔结构的特性，简化模型如图3 - 3 所示，在模型简化时作如下假定： ( 1 ) 将内外筒结构视为整体结构，即忽略广州新电视塔外框简与核心筒的振动差 异； ( 2 ) 简化模型采用包含3 7 个节点层的线性串联刚片系模型，每个节点层考虑五个 方向的自由度( 2 个平动、2 个绕水平轴的转动和1 个绕竖向轴的转动) ，共1 8 5 个自 广州新电视塔有限元模型简化与修正 由度； ( 3 ) 塔的所有广义质量都集中在3 7 个节点层； ( 4 ) 每一节点层的所有节点绕竖向轴的扭转角相同。 简化模型与s a p 2 0 0 0 有限元模型信息对照如表3 1 所示。 中山大学硕士学位论文 表3 1s a p 2 0 0 0 模型与简化模型对照 模型信息s a p 2 0 0 0 模型 简化模型 节点数 2 8 ，0 8 73 7 单元数目2 3 ，0 3 3 + 2 3 ，9 3 0 = 4 6 ，9 6 3 3 7 自由度数 16 6 ，15 2 + 8 3 ，0 7 6 3 7 * 5 = 2 4 9 ，2 2 8 = l8 5 3 2 2 模型简化步骤 具体简化时的步骤如下： ( 1 ) 根据电视塔的结构特点以及各功能层的分布确定3 7 个节点层。功能层区间结 构内外筒间通过横梁及楼板连接，此区间刚度较大，大约1 0 1 2 m 长度简化一单元，其 他无功能层的结构层简化大约在2 1 3 7 m 之间简化一单元，各层的标高及简化单元长度 分别如表3 2 ，表3 3 中所示； ( 2 ) 在s a p 2 0 0 0 三维有限元模型第i 个节点层的所有节点上沿某一自由度方向j 施 加单位位移( i - - 1 ，2 ，3 7 ；j = 1 ，2 ，5 ) ； ( 3 ) 在s a p 2 0 0 0 中进行静力分析，并计算出各节点层在所定义的自由度方向的力 ( 即该层中所有节点沿某一自由度方向合力) ，得到单元刚度矩阵； ( 4 ) 改变( 2 ) 中所加位移荷载的位置与方向，重复上面第( 2 ) 、 ( 3 ) 步，最终 得到3 7 个对称的单元刚度矩阵，进而得到结构的总刚度矩阵k 。简化模型的质量矩阵 为一对角矩阵，质量阵中各平动集中质量取相应节点层上下片断各一半质量之和。 广州新电视塔有限元模型简化与修正 表3 - 2 简化层位置标高 简化层标高( m )简化层标高( m ) 简化层 标高( m ) l01 42 3 5 4 52 74 4 8 6 5 21 2 1 52 7 1 8 5 2 84 8 0 32 2 2 5 1 63 0 8 2 5 2 94 9 7 6 4 3 2 6 51 73 3 4 2 53 05 1 1 55 8 6 51 83 4 4 6 53 15 2 0 7 68 4 6 51 93 5 4 7 53 25 3 1 2 79 5 0 52 03 7 5 8 53 35 4 5 2 8 1 0 5 4 52 13 8 6 2 53 45 6 5 2 91 1 5 8 52 23 9 6 6 53 55 8 0 7 l o1 4 7 0 52 34 0 7 0 53 65 9 8 1 11 5 7 4 52 44 1 7 4 53 76 1 0 1 21 6 7 8 5 2 54 2 7 4 5 1 32 0 4 2 52 64 3 8 2 5 表3 3 单元长度 单元编号标高( m ) 单元编号 标高( m ) 单元编号 标高( m ) l1 01 43 1 22 71 0 4 21 21 53 6 42 83 1 3 5 3 1 0 2 51 63 6 42 91 7 6 41 0 4 1 72 6 3 01 3 4 52 61 81 0 43 19 7 62 61 91 0 13 21 0 5 71 0 42 02 1 13 31 4 81 0 4 2 11 0 43 4 2 0 91 0 42 21 0 43 51 5 5 1 03 1 22 31 0 43 61 7 3 1 1 1 0 42 41 0 43 71 2 1 21 0 4 2 51 0 1 33 6 4 2 61 0 8 2 0 一 中山大学硕士学位敝 以简化第一层单元为例： 图，