（基础数学专业论文）一维可压缩粘性气体等熵等温模型方程组解的指数稳定性.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本交主要讨论有矫力存在时，可压缩秸性气体一维等熵等温模型方程组初边值 问题的解的整体存在性和指数稳定性即；当，0 ，| o ，1 】时，方程组仇一：0 ， 毗+ ( o , v - 1 b = p ( 詈) 。+ ，( v d y ，t ) 在初值条件扣( 为o ) ，“ ，o ) ) = ( 0 0 ( ，咖( z ) ) 和边 界条件u ( 0 ，0 = u ( 1 ，t ) = 0 下，解的整体存在性和指数稳定性 在相同的模型中，m u c h a 7 在其他形式的边界条件和当状态方程为：p ( 口) = 1 ， ( a o 为常数) 且7 1 的情形下，证明了该类模型方程组中解的整体存在性和指数 稳定性在p 0 ) = 口一，y2l 的情形下，y a n a g i 1 9 j 证s f j 了该类模型方程组中古典解 的存在性在外力，( ，r ) = 工。( ) + ，( ，r ) 时，z h a n g 和f a n g 【2 2 证明了该类模型方 程组中解的整体存在性在7 = 1 时，a m a t s u m u r a 和t n i s h i d a 5 】证明了古典解的 存在性本文主要采用q i n 睁“】中证明解的指数稳定性和整体存在性的方法来证明 本文的结果 关键词：n a v i e r - s t o k e s 方程；指数稳定性；整体存在性；一致先验估计 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h eg l o b a le x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yb e h a v i o rf o r o n e - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i ca n di s o t h e r m a lm o d e ls y s t e mo fc o m p r e s s i b l ev i s c o u sg a si na b o u n d e dr e g i o nw i t ha ne x t e r n a lf o r c ea n di n i t i a lc o n d i t i o n sa 8w e l l b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e m o d e lw e c 。n s i d e r i s 躺f 0 1 1 。w s ：吨一= o ，毗+ ( ”q b = p ( 警k + ，( f ”电句 w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n s 口( z ，0 ) = t 协( z ) ，“( 。，0 ) = t o ( z ) a n db o u n d a r yc o n d i t i o n s “( o ，t ) = t ( 1 ，t ) = o i nt h es a m em o d e l ，m u c h a ? o b t a i n e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h es o l u t i o n st ot h ep r o b l e mu n d e ro t h e rb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dw h e nt h es t a t ef u n c - t i o ni s ：v ( v ) = ，0 o ，i sc o n s t a n t ) a n d ，y 1 y a n a g i 1 9 】o b t a i n e dt h ee x i s t e n c e b e h a v i o ro f p e r i o d i cs o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m w h e n t h es t a t e f u n c t i o n i s ：p ( v ) = a v 一，( o o ，i sc o n s t a n t ) a n d7 1 i nf 2 2 j ，w h e nt h ee x t e r n a lf o r c ei s ，g ，) = 矗o g ) + ， ，) ， z h a n ga n df a n go b t a i n e dt h eg l o b a le x i s t e n c eb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h ep r o b l e m i n 5 1 ， a m a t s u m u r aa n dt n i s h i dp r o v e dt h ee x i s t e n c eo ft h ep r i o r is o l u t i o n sw h e n7 = 1 t h e p r o o fo ft h i sp a p e ri sb a s e do i lt h em e t h o d su s e db yy q i ni nr e f e r e n c e s 睁1 4 ，i nw h i c h h ep r o v e dt h eg l o b a le x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs o l u t i o n sf o ro n ed i m e n s i o n a l m o d e l k e y w o r d s ：n a v i e r - s t o k e ge q u a t i o n s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yb e h a v i o r ，g l o b a le x i s t e n c eb e - 1 1 a v i o r , u n i f o r mp r i o ne s t i m a t e s 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交酌学位论文羔 本人在导师的托导下独立完成的对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加皑说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他八已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构酌学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对丰研究所做冉勺任何贡献均已在论文中作 7 明确韵说明并表示7 谢意。 学位幸请八( 掣位论文作者) 釜名：丕l 2 毫当良 2 0 订年6 一号。 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南太学审核批准披子硕士学拉。作为学位论史的作者本人完全 了解并同毒河南大学有关保留、使用学幢论文的要求即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和奉校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 烘公众检索、奎阍。本人j 竞权河南大学出于宣插、展览学校 学术发展和进行擘水交流等目的，可d 采取影印、缩印、扫描和拷盟等复制手 段保存、汇蝙学位论文( 虹质文本和电子文本) 。 ( 够及保密内睿的学住论文在解密后连用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 鍪名 学位论文指导教师簦名 当u 盛 河南大学硕士学位论文 第一章引言 本文讨论有外力作用时，一般粘性等熵等温可压缩气体在有界区域上的一维运 动在拉格朗日质量坐标下，这种运动可以表示为下列方程组 他一u x = 0 ， ( 1 1 ) 撕+ p ( 也叫+ ，( r ”d y , t ) ， ( 1 2 ) 其中方程组中的”，u ，p ，p 和，分别表示比容、速度、压力、粘性系数和流体的 外力粘性系数p = 如为正常数假设状态函数p0 ) 可以表示为 p ( u ) = 彻- 1 ( z ，亡) ， o 为常数) ( 1 3 ) 将问题标准化后，不失一般性，我们可以在区域 q = i x ，t ) j0 z l ，t o 中考虑问题( 1 1 ) 一c 1 3 ) 及初值条件： 刨扛，0 ) 窖t b ( 。) ，u ( x ，0 ) = t 幻( 茹) ，v0 z s l( 1 4 ) 和边界条件： ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，v t 0 ( 1 5 ) 假定 v o ( x ) d x = 丽= m ， 0 0 ，使得对于v t20 ，下列条件成立 ( 1 ) ，h 2 ( 驴，l 2 0 ，l 】) n l 2 ( 矿，h 3 【o ，1 】) p ( 兄+ ，h 1 f 0 ，l 】) ( 1 8 ) ( 2 ) 驴。2 i d s 1 2 l 2 ( r + ，l 2 【o ，1 】) ， = 0 ，1 ，2 ，3 ， e 2 l 嘎，i l 2 ( r + ，l 2 【0 ，1 1 ) ，e = 0 ，l ，2 ， e 加。2 i t f 三户( r + ，三2 l o ，1 ) ) ，e 加2 i ，l 二。( 矗+ ，h 2 o ，l 】) ( 1 9 ) 首先，我们回顾一下与本文讨论问题相关的一些结果： 对于外力，i0 ，不等温的情形，y q i n 【8 】已证明了问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解的 整体存在性和渐近性y q i n 【1 3 】也证明了日4 中解的指数稳定性及解的整体吸引 子y q i n 【1 0 】已证明日1 和h 2 中的解的指数稳定性在欧拉坐标下，c h a c * j i a n g x u 和t 0 n g1 y 抽9 1 17 】证明了解的局部存在性s ，j i g f 2 】已解决解的大时间性质，在 参考文献 3 】和f 4 】中，作者在状态函数非单调的情况下证明了一致有界解的存在性和 唯一性 对于外力，0 ，等温的情形，p i o t rb o g u s l a wm u c h a 【7 】在其他形式的边界条件 下，证明了解的指数稳定性当外力是周期外力时，s h i g e n o r iy a n a g i 【19 】己证明古典 解的存在性，t i n gz h a n g 和d a o y u a n g ( 2 2 】在外力，( ，r ) = ，。( ) + ，( ，r ) ，自 由边界条件的情况下，证明解的整体存在性，渐近性，惟一性，指数稳定性及一致 估计y a n l iz h 8 0 【2 3 】证明日1 和俨中解的整体存在性和渐近性在参考文献【6 ，1 5 1 6 ， 1 8 1 中，作者证明了解的一致有界性和渐近性 本文主要采用y q i ni s - 1 4 l 的证明方法来讨论本文模型方程组的解分别在日1 ， 俨，中的指数稳定性及解在中的整体存在性 本文采用以下记号： l p ( 1 墨p s + o 。) ，w w ，m n ，日1 = w 1 ，- ，础= 哪”，铲= _ 【俨。表示 2 河南大学韧l 士学位论文 通常的s o b o l e v 空间，”恬表示空间b 上的范数， i | = 0 胪 研表示仅与初值湎，如) 的日1 模，i p i o ，1 】j l i f l l l ( w ，p 【0 1 1 ) ，m l l ，( 矗+ ，l 。o l o ，l 】) ， l l 驴2 1 2 s l l l 2 ( r + ，驴 o ，1 1 ) 及娩i o , t 印( z ) 有关，与时间t 无关的正的通用常数 岛表示仅与初值，t 0 ) 的铲模，i l 矗4 p 【0 ，q ，0 矗0 驴( r + ，p 1 0 。1 1 ) ， i i f , i i g ( r + ，l 【o ，1 】) ，| | e 加2 ，i i 工( 肿，l 2 o ，1 】) ，| i b 加2 五i i 伊( 月+ ，弘【0 1 】) ，l l e 7 0 , 2 囊i i 驴( r + ，驴n 1 】) 及常数g 1 有关，与时阃t 无关的正的通用常数 & 表示仅与初值，u o ) 的日4 模，f i f l k 。( w ，h s l o ，1 】) ， 1 1 驴( r + ，l 2 1 0 ，1 1 ) ， l t f i t l ( r + ，口【o ，1 1 ) ，i l e 8 2 ，2 州l 2 ( 矗+ ，f 3 n 1 1 ) ，j i e 2 磋川驴( 胪，胪 o ，1 】) g = o ，1 ，2 ) ， | | e w 。2 | f p ( r + ，驴【o ，1 】) ，l i e 7 0 t 2 川p ( r + ，h ，l o j - ) 及常数q ，0 2 有关，与时间t 无关 的正的通用常数 定义下列空间： 月 = ( 口，u ) h 1 o ，1 】丑0 【0 ，1 】： ( 0 ，“( z ) 0 ，岔 0 ，l l ，i z = 0 = u i z = l = o ) ， 睦= 0 ，h 2 l o ，1 】x 舻f o ，1 】：( z ) 0 ，u ( ) 0 ，z 1 0 ，1 】，u l z = 0 = u f 。= 1 = o ) ， 日晕= ( 口，) h 4 【0 ，1 】h 4 【0 ，1 】：口( z ) 0 ，( 口) 0 ，z 【o ，1 】，i z = 0 = l i x = 1 = o ) 本文主要结果 定理1 1如果条件( 1 8 ) 一( 1 9 ) 成立，初值( v o ，“o ) 磷，且t l s l i l * ( r + ，s - , * 1 0 ，1 】) 充分小，则初边值问题( 1 1 ) 一( 1 ，5 ) 存在唯一整体解0 ，日辜进一步， 存在常数饥= 7 1 ( c 1 ) 0 ，使得对任意固定7 ( o ，有： ( 似t ) 一硎备，+ f i ( 0 1 1 备- ) + 一7 ( 1 1 勘= 1 1 2 + i l “i i 刍+ 他酽) p ) d r q ， v t 0 ， ( 1r l o ) 其中可= ，- 口( 奶t ) 出是初边值问题( 1 1 ) 一( 1 5 ) 的稳态解 j 0 定理1 2如果条件( 1 8 ) 一( 1 9 ) 成立，初值，u o ) 珥，且i i i i l * ( w ，沪阶】) 充分小，则初边值问题( 1 1 ) 一( 1 5 ) 存在唯一整体解( 弘u ) 癣迸一步，存在常数 加= 加( q ) ( 0 ，使得对任意固定，y ( o ，捌，有： 3 河南大学硕士学位论文 e 吖( | | 。( t ) i l 备：+ | i “( t ) 1 i 备。+ i i 毗( t ) 1 1 2 ) + f 矿7 ( i i i f 2 + w 。| 【2 + | | u i f 备a + f h ( t ) | l 备t ) p ) 幽。sg ， y t 0 ( 1 1 1 ) 定理1 3 如果条件( 1 ，8 ) 一( 1 9 ) 成立，初值，“o ) 瞬，且| 刑泸( 且+ ，p 1 0 ，1 1 ) 充分小，则初边值问题( i i ) ( 1 5 ) 存在唯一整体解( u ，“) 瞬，并且( 虬t ) 满足下列估 计式： 1 1 u ( t ) 备+ | i u 0 ) 1 i 奢- i - 毗( t ) l i 备z + i l u t t i | 2 + ( j j t k l i 备。+ i l u l i 备s + | 毗1 1 日a + ；l 毗圳刍- ) ( r ) c 汀c i ，v t 0 ( 1 1 2 ) 进一步，存在常数诅= 似( c 4 ) ( 7 2 ) 0 ，使得对任意固定，y ( 0 ，4 】有： e 廿( f 扣0 ) f f 备t - ff 心( t ) “刍t + “毗( 0 f f 知+ “毗t f f 。) + 上扩( | i 备s + 1 1 “i l 备+ l l , 吼l l j j r s + | l 锄幅- ) ( r ) 打q ，v t o ( 1 1 3 ) 4 河南大学硕士学位论文 第二章日1 中解的指数稳性 引理2 1 在定理1 1 的假设条件下，下列估计式成立 o o ，( 2 2 ) ，1 j o 其中可= 口( z ，t ) 出是初边值问题( 1 ，1 ) 一( 1 5 ) 的稳态解 j 0 证明详见参考文献2 3 1 引理2 2 在定理1 1 的假设条件下，并设e 俨的函数，则问题( 1 1 ) 一1 2 ) 存在 唯一的广义整体解，满足下列估计式 等+ 町1 卜可1 2 s e ( 刚) s 等+ c 1 l v 一可i 2 ( 2 3 ) 证明由中值定理可得，在1 和_ 之间存在一点满足 e ( 口) = e ( 可) + 嘉( _ ) 扣一- ) + 互1 否0 2 e 【硼- - 扣, 一_ ) 2 ， ( 2 4 ) 其中# = o 可+ ( 1 一a o ) 口，0 sa os 1 由e t = p 可得e l ，t = 嘞= 万a o ，且由( 2 1 ) 式我们可以得到o c i - 1 石s e 1 ，则o 何1 雾( 动= 象q 又由( 1 7 ) 式，( 2 4 ) 式及式子o 0 j 0 证明将( 1 7 ) 式两端对t 求导，并由岛= 一p 及( 1 1 ) 一( 1 3 ) 式可得 毋= ( 等+ e ) t + 弛 = “毗+ e t + 砒 = ( 一f + p p ) 。一( p 一动 = 阻p t m 。一0 ，一动“k f 妒谚+ u f ， 其中f = p 一，嬉，t ) d 哥z p ( _ ) = 一( 功 j 0 上式整理得 毋+ 肛m 毫= 【p 胛。一p 一功叫。+ “， 由吨= 锄及p = ：可得m = 一矿“。 将( 2 1 0 ) 式两边对x 求导可得 p b = 一2 p p = u 一p 2 z z 由( 2 1 0 ) 式和( 2 1 1 ) 式可得 ( 鲁) t = 嘞“z 一胆一 又由( 1 2 ) 式可得毗+ 菇= ( p 肚。) 。 上式两边乘以“丝p 可得 p 争+ p 务= p 等( p 脚k 整理可得 6 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 河南大学硕士学位论文 p 譬毗= - # p m p x + 矿譬+ 矿陆u 。 将( 2 1 2 ) 式两端乘以舭并整理得 删( 譬) 产一胁撕一卢肚z = 一p ( p 伽。k + ，妒 由( 2 1 5 ) 式和( 2 1 6 ) 式可得 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 洳告 t = 一堕p + 矿譬+ 矿m “。一p ( 舢。k + 即砖 ( 2 1 7 ) 对式子譬( 等) 2 + 舭譬关于t 求导，并由( 2 1 2 ) 式和( 2 1 7 ) 式可得 【虿# 2 、了p x ，2 + p u 譬 t = 矿害( 譬h + p 告) t = 矿害( 一m 一胁。) + 矿譬+ p 2 p z u z = 一一譬磊 一p ( p “u k - t - 卢p u ： = 肛肚：一p ( 肚k 一肛譬+ p 譬，一 从而有 【等( 等) 2 + p u 譬】t + 肛譬一删：= 一p ( 肚) 。+ 肛譬， ( 2 9 ) 式乘以和( 2 1 9 ) 式乘以芦，然后把结果加起来得 + p 肚：) + 卢 【譬( 譬) 2 + 心害】t + 肌譬一p 肚：) = 阻舢u 。一( p 一动“k + ) + z e 叶【一卢( 胁k + p 譬月 整理得 怛+ 卢 等2 ( 等) 2 + 肛争 t + ( 1 一卢) p ，+ 卢p 。e 言, 0 2 = 【( 1 一卢) 肛( p z ) 一p - 动“】。+ ( 鼬譬，+ 订) 令g ( t ) = e 竹 刀+ 卢【i # 2 。7 p z ) 2 + 舭孝】) 则( 2 2 1 ) 式可变为 7 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 ，2 1 ) 河南大学硕士学位论文 警+ i ( 1 一所p 2 。+ 鼬。争 = ，y g ( t ) + 【( 1 一卢) 肛舭缸一扫一声) “k + ( 印鲁，+ “n ( 2 2 2 ) 将( 2 2 2 ) 式在 o ，1 】【o ，司上积分，并分部积分，利用边界条件( 1 5 ) 得 小岫+ r j ( 1e 卅删嘶。，。d x d r = f 0 1 g ( 。) 如+ 7 上f 0 1 g ( r ) 如打+ o 。z 1 【( - 一p ) p 肚“z 一( p f ) “k d z 打 + 撼矿u 8 m f ) d x d r = f 0 1 g ( 。) d x + 7 f o f 0 1g ( r ) d z 打+ o z 1 矿( 妒告，+ “，) 如执( 。- 2 3 ) 利用c a u c h y 不等式，p o i n c a r e 不等式，及引理2 1 2 ，2 ，可得 f o 扩 ；护+ 去 一_ ) 2 + 卢睦矿( 譬) 2 + 心告】) d z 十z z 1 矿 ( 1 叫伽怖。争出打 ，c c i + 7 a e 圹( i k i l 2 + l i 甜一百1 1 2 + i f p 。1 1 2 ) c 打 j 0 + q 厂矿r ( ； i p 。1 1 2 + l l ，1 1 2 + ；u l l 2 ) d r ( 2 2 4 ) j 0 其中 二次型；护+ 邸u 鲁+ j l p 2 卢( 害) 2 是一个正定的二次型，只要取o 卢 1 即可 取o 口 1 ，硫分小，从而可推出 ( 删2 + 一硎2 + 酬2 ) + 击上“m 引1 2 + i i ：x l 1 2 ) d r 1，i q + ，c 1 ，r ( il “。| 1 2 + 。1 1 2 + 1 1 p 。1 1 2 ) 打+ c 1 ，e n 一卜e r i i ，1 1 2 d t ( 2 2 5 ) j 0 j o 由式子p = 石1 ，可得如一一摹，从而可以推出 击i i l p x l l _ 0 ( 3 2 ) 0 u $ 。( t ) | 1 2so = e - n ，vt 0 ( 3 3 ) 证明将( 1 2 ) 关于t 求导，并将( 1 3 ) 式代入，然后两端乘以嘶，在 o ，1 】 o t 】上 积分，且分部积分，由( 1 1 ) 式可得到 0 7 0 1e ，7 地撕t 如打 = r j ( 1 弛c 一：+ p 等十f f f d v ) 础打 - 上。z 1e ，7 豢+ p 等一肛鬟+ z 2 妇+ o 。矗劬，出打 ( 卅i 渺打一n o o 7 a 衙 + p z 。z 1 7 鬟如打一上z 1 矿7 c z 。 幻+ z 。矗埘们如打巾舢 将( 3 4 ) 式移项，并利用p o i n 础不等式，y o u n 删，h s l d e r ：不等式，嵌入引理 及引理2 3 - 2 4 ，引理3 1 ，条件( 1 9 ) 式可得到 耖1 1 蛳1 1 2 + p z 卅l 渺打 = 掰卅州2 打+ 扣1 1 2 ( o ) 一n r z l “。d x d r 河南大学硕士学位论文 + u j 0 0 f ；j 0 0 1e t t u t x h 打一弧i o 。小向+ f o x f e u d y ) d x d t 岛+ 字z 嘶川2 去z 哪训+ p 7 jj - t , x l 2 打 ，l，t + q ( e ) 7 1 1 1 1 2 i k j12*打+q(e)(7iftll2dr+上e”ifdl00 2 打) j jj n 岛( e ) + ( 警+ 砺1 ) 以te ，邗毗州2 打+ 岛( s ) z 7 i i u = 1 1 2 打 + q o ) ，r i 【。打 j o 晚+ ( 字+ 去) 上卅2 打 由( 2 1 ) 式，取，y 充分小，使得o 7 m 饥 南，恤，加】，可得到( 3 2 ) 式 由( 1 2 ) - 0 3 ) 式可得 饥= n 紊+ p 等一“警“ 或 。= 一。器+ p 警+ ，) 由嵌入定理，引理2 1 ，y o u n g 不等式可得 她忙i 0 1u 2 ( 饥一。器+ p 等一，) 2 出 岛( | i 妣l | 2 + i k i l 2 + m 1 24 - | i i 臣。i i 惝 国矧地j j 24 - j 1 24 - f i 州2 ) 4 - 岛( 0jj jj 2 + “。孵 ( 3 ，5 ) 由( 3 5 ) 式两端乘以可得 卅i u 。l 2 g ( 1 1 2 + 4 - 岛e ( 7 一h 扩m 1 2 + q ( e ) i i 1 1 2 取e ， 充分小，且使0 0 ，( 3 6 ) j o ，# 矿7 l i “。2 打c k v t 0 ( 3 7 ) j o 证明将( 1 2 ) 关于z 求导，并将( 1 1 ) 和( 1 3 ) 代入，得 = ( 喀+ p 警一p 警+ m = 砌箬+ 学+ p 等嘞等一p 万v x x l ) t 坳簪+ 伽 = 砌。v ：。+ a v 。x 。x 州等) 。嘞等+ 弘警+ 船 或 ：等州等) 。= 恤菩博警嘞簪一觚 ( 3 s ) 将( 3 8 ) 式乘以v 。z _ 堕x ，并在【o ，1 上积分，利用嵌入定理，y o u r l g 不等式，引理3 1 和( 2 1 ) 式可得 瓦1 了7 ) x x i l 2 + 锄釉 = 0 1 等柏菩协警唧譬一俐出 s z l ( 等) 2 d 。+ q ( s ) z 1 ( 咤+ 十噍+ 镌+ ( 走”) 2 ) ( z ，t ) 血 s i i 等n 凸u “0 2 + u u 2 ) + c j ( ) ( | | 胫。0 1 1 2 + i i | | 2 。j i “。1 1 2 + i 1 1 2 。1 1 | | 2 。1 1 1 1 2 ) s o 等n q ( 洲u 胛+ i i 走1 1 2 + ir v x l l 2 + 恢怜( 3 9 ) 将( 3 9 ) 式两端乘以e 巾，并在f o , t 1 上积分，取s 充分小可得 1 3 河南大学硕士学位论文 i l 帮+ p 邗帮打 q + q 0 ) ( i | 饥。【1 2 + i f 疋“2 + f 恢| | 2 + 【i 。旧d 丁 j 0 由引理2 3 ，引理2 4 ，引理3 2 及条件( 1 9 ) ，( 2 1 ) 式可得 。i l v x 。1 1 2 + 7 1 。1 1 2 d r g 2 即得n ( 3 6 ) 式 将( 1 2 ) 关于z 求导，并将( 1 1 ) ，( 1 3 ) 代入，得 “n = 也善+ 。等+ p 等一“丁2 u x x v z + “z v x z + p 譬+ 觚 或 = ：拙箬。等+ 一墼等些一“学一俐( 3 z 。) 由( 3 1 0 ) 式及嵌入定理，6 1 理9 3 1 ，( 2 1 ) 式，得 j “。2 c 2 ( 1 1 1 1 2 + i i t bj i 至1 1 1 1 2 + jj 鸲熔j | 2 + j i 地瞎i j 2jj t k 】j 上2 + i i “。1 i i | 1 1 2 + i i l | 2 。1 1 1 1 2 。i i v 。1 1 2 + i i 1 1 2 ) sc 皇( l “缸j | 2 + 1 1 2 k l l 2 + j 陋搿j j 2 + f l | 1 2 + j i “搿j 2 + j 矗 1 2 ) ， ( 3 1 1 ) 将( 3 1 1 ) 式两端乘以，并在【o ，t 】上积分，得 z 。矿邗。1 1 2 打qz 。( | | 2 + i i ”：l 1 2 + i i ”。1 1 2 + l | 炉 + l l u x 。l | 2 + 1 1 1 1 2 ) 打 利用引理2 3 ，引理2 4 ，引理3 ，2 及条件( 1 8 ) 式，( 3 6 ) 式可得式( 3 7 ) 式 由引理3 1 3 3 完成了定理1 2 的证明 1 4 证毕 河南大学硕士学位论文 第四章中解的整体存在性及一致先验估计 引理4 i 在定理1 3 的假设条件f ，f 囱估计式成立 ，t l i ( 0 1 1 2 + l l t 毗i i 备- o - ) e r c 4 ，vt 0 ( 4 1 ) j 0 证明由( 1 2 ) ( 1 3 ) 式，得 饥= ( 一：+ 0 2 胀，t ) 武) z + p ( 记： f = 烈毛t ) = ：一o 。，必， ，叫叫) = 一：+ r 瓜一必+ p 鲁 则： 毗= ( 一f + p 警) m = 如 ( 4 2 ) 将( 4 2 ) 式两端对求二阶导数，乘以“在【0 , 1 上积分，并分部积分，利用引理3 1 ， y o u n g 不等式，嵌入定理，得 挣训i i = 一0 1 z 如 1 乎幽一f 0 1 哮砌参啼警怖菩 + z 。( 矗f 缸2 + 走毗+ a ) d 引出 一卢z 1 譬如+ 硎撕训2 + 伤( 2 + j j 幢洲酽+ 允2 + 1 l t “。1 1 2 l | “。1 1 2 。+ i i t b i i * l i t 缸1 1 2 + i i 走, d 1 2 i , u l l t * + i l h l l 2 1 1 m 1 1 2 ) 一( 百1 | i u 怯。| 1 2 + s 1 i 啦缸l | 2 + c t 0 ) ( i i 饥。1 1 2 + i l u 。1 1 2 + i i u | 1 2 + i i 艇1 1 2 + i l h l l 2 + i i t i l 2 ) ( 4 3 ) 将( 4 3 ) 式移项并在【o ，t 1 上积分，利用条件( 1 8 ) 及引理3 1 ，取e 充分小，得 河南大学硕士学位论文 ，# | | 2 + i i 。2 d r o ( 4 4 ) j 0 由条件( 1 5 ) ，并利用p o i n c a r e 不等式，可得 i h t f i c 4 | | 。m ， 从而有 “i 1 2 d r 瓯| 沁“。2 d r ( 4 5 ) j oj o 由( 4 4 ) 式，( 4 5 ) 式可得到( 4 1 ) 式 证毕 引理4 2 在定理1 3 的假设条件下，下面估计式成立 ，# i l “缸( t ) 2 + 1 1 牡1 1 备，( r ) d r c i ， vt 0 ( 4 6 ) j 0 证明( 4 ，2 ) 式对。和t 求导，得 u t t 。= o t x z ( 4 7 ) 将( 4 ”式两端乘以u 一在【0 , 1 】上积分，并分部积分，得 ；爰划【2 = u “吼。i ：三一0 1 “一n “出 ( 4 8 ) 记 局= 高， e 1 = - z 1 巩。妞 利用嵌入定理，p o i n c a r e 不等式，引理3 1 ，得 局6 1 | | “b | | l a o ( j j 。i f l * + i l “。i f l * i i t k i i l * + i i f * l l l 口。+ l f 矗j f l f i “l l * + i i 乱t | i l + | | u 红i k l | i i p 。+ 1 1 ；i i l i i “。i l l + i | | 工j k i i l ) g 生t “。1 1 1 2 l i 札t 船1 2 ( 1 i t 。1 1 日：+ i 1 1 1 2 | i 。1 1 1 2 + l l ，t + i l u 缸。i l + l l h l l + 1 1 1 1 1 2 灰。妒2 + i j “伽i j l 2 t 缸砧 l 2 + 毗川1 2 “t 黜1 1 1 2 ) 曼c 2 ( e 0 1 + e 0 2 ) l l 1 1 1 2 | l 地。一2 ， ( 4 ，9 ) 其中 e 0 1 = i “。| | 日：+ i i 五1 1 1 2 i ，纰1 2 + i i 五i i + i i 走1 1 1 2 i l 如i | 1 2 + i i 灰i i ， 河南大学硕士学位论文 e 0 2 = i i 纽。i 【1 2 l i “缸。1 1 1 2 + i l t 。 i + i i t 亡。j 1 1 2 | 1 饥端1 1 1 2 ) 利用y o u n g 不等式，引理3 1 ，取e ( 0 ，1 ) ，有 c 岛i | | f f l 2 “胛2 ；| i 饥。1 1 2 + q ( e ) ( | f | | k - i - 1 1 1 1 2 + i i 亿1 1 2 + f | 走j j 2 - t - i i 走x l l 2 + n i l 2 ) 等| | 饥。1 1 2 + q ( e ) ( | | i i 知+ i i t 1 1 2 + i i 融1 1 2 + i i e l l 2 + 1 1 , 1 1 2 ，( 4 1 0 ) 和 q 岛2 i i l l m i l 。h l 2 等妇| 1 2 + q 0 ) 1 1 2 + 2 | i 。一( 4 1 1 ) 由( 4 ，9 ) 一( 4 1 1 ) 式，可得 局2 ( i i “b 。1 1 2 + i l u 。怖+ q ( e ) ( 1 i 瞻：+ i i 1 1 2 + | | 允l j 2 十1 1 走1 1 2 + i | 1 1 2 + | i 旧 s 2 ( | i t “船1 1 2 + | | t 缸留。1 1 2 ) + c 量( s ) ( 1 | 。| | 备z + 1 1 1 1 2 + i i 矗f i l 2 + | i 走1 1 2 + i l u h 岭( 4 1 2 ) 将( 4 1 2 ) 式两端在【o ，q 上积分，利用引理3 1 及条件( 1 ，8 ) ，得 z 。局( r 胁s 2r 矧酽删。1 1 2 ) 打+ q ( s ) z 。( 怖+ i i , f t l l 2 + i i 最1 1 2 + l i 走1 1 2 + i l 1 1 2 ) 打 e 2 ( | i t “档1 1 2 + i i u t 牡。1 j 2 ) d r + c ( ) ， vt 0 ， ( 4 1 3 ) 同理，利用引理3 1 ，( 2 1 ) 式及嵌入定理，y o u n g ：不等式，得 e 1 0 ( 4 1 8 ) 并且由( 4 1 1 ) ( 41 8 ) 式。引理3 1 ，引理4 1 及条件( 1 ，8 ) ，得 l l 毗。2 打s 瓯， 0 j o 将( 4 1 8 ) 掰 f l ( 4 1 9 ) 式联立起来，可得到( 4 ，6 ) 式 引理4 3 在定理i 3 的假设条件下，下面估计式成立 1 1 。( t ) | 1 2 + ，i i 。限r ) 打q ，v t 0 ，# j 0 证明由( 3 8 ) 式可得 ( 4 1 9 ) 证毕 河南大学硕士学位论文 ：等+ p ( 等) t - + m ( 叫) ， ( 4 2 1 ) 其中 啡，地警伸兰笋- 2 - “歹”一觚 ( 4 2 2 ) 将( 4 2 1 ) 式两端对x 求导，得 ：等+ p ( 警) 炉m ( 蚺 ( 4 2 3 ) 其中 尬( t ) = u 缸z + 尬( 甄t ) + 2 口鼍笋+ p ( 鼍笋) t ( 4 2 4 ) 显然由引理3 1 ，y 0 l l n g 不等式及嵌入定理，并利用。= 。，条件( 1 8 ) 可得 l l 埘j ( z ，t ) l ls 岛( 1 1 t 虹。l l + 1 1 如( z ，t ) f + l i 。i i + 1 1 1 1 l 1 j 。1 l + j j 。l l 垆j l i i + i i v = l i l ：f l “。i i l l l v = 。i i ) q ( i i 毗”i i + i i “z i i 丑，+ i i | | 日。+ i i f 1 i + i i 庀【) ( 4 2 5 ) 从而有 f tr t 1 0i i m h l 2 ( r ) 打岛上( | | 1 1 2 + i i 幢，+ j j v = h 备- + i v e 1 1 2 + l l f i l 2 ) 打 q ，v t 0 ( 4 ，2 6 ) 将( 4 2 3 ) 式乘以警，并在 o ，1 1 上积分，利用( 2 1 ) 式及y o u n g 不等式，可得 到d 了v x x x n 犁1 了v z z = 怄s | | 等1 1 2 + q m 俨 ( 4 删 取e 充分小，( 4 2 7 ) 式在i o ，t | 上积分，利用( 2 1 ) 式和( 4 2 6 ) 式，得 | | 。| 1 2 + i 。限r ) 打瓯，v t 0 j 0 证毕 引理4 4 在定理1 3 的假设条件下，下面估计式成立 | | 。( t ) | 1 2 + ，| i , e 。1 1 2 ( r ) 打q ，v t 0 ( 4 2 8 ) j o 1 9 河南大学硕士学位论文 证明由( 4 2 ) 式两端对x 求导，利用( 2 1 ) 式，引理3 1 及嵌入定理，得 j j 乱捃ij5c 2 ( jj 1 1 日，+ ；k i l 二i + 店+ l 龆i + 1 1 二i i z 1 ) + | 1 i i p | | z i | + i i i k 。1 1 i l l 一| 1 i i ) c 2 ( i i 耳- 十i i 矗l l + i | u 。1 1 日。) ，( 4 2 9 ) 或 l i 蚍。sc l ( 1 1 “1 1 日。4 - i | 1 | 日t4 - 1 1 | i + i l u b i f ) ( 4 3 0 ) 由( 4 2 ) 式两端对z 求二次导数，利用( 2 1 ) 式，引理3 i 及嵌入定理，得 j j “。j jsq ( “。j