（应用数学专业论文）孤子理论若干问题研究.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 摘要 本文引绕孤子理论的h i r o t a 苴接方法，扰r o j ，对称相似解等问题 做了以下三方面的主要t 作： 1 、首先研究了双线性算子的一些性质，得到了在封数变换意义下 k d v 类的双线性方程所甑接相刑应的非线性p d e ( 即过渡方稗) 的一些性 质。利用这些性质，本义首次得出了线性项非空的多项式形式的原方程 与相应的过渡方程之间的线性项非空的多项式形式的变换的具体可能形 式并构造例了给以证实：得到了任意给定的线性项非空的多项式形式 非线性p d e 具有线性项非空的多项式形式变换的一些必耍条件。如果所 给定的线性项非空的多项式形式的非线性p d e 能化成k d v 类的双线性方 程，我们可以发现这个原方程线性部分箅了与其相刈府的k d v 类的双线 性方程中的取线性算了的关系从而卣接1 弓出凌方程所刑应的双线性方 程。这些结果使我们对多项武形式的线性项非空的k d v 豢的非线性p d e 有卣观的了解，从而能卣接的改进一些义献的结果。 2 、埘一阶非线性扰动方程的情形，用泰勒级数关于扰动参数e 在零 点附近直接展丌方法推导了该扰动方程渐近解析解所应具有的条件等 式。通过这个条件等式，我们就有可能获得一些变换，这些变换把给定 的未扰动方程的解析解直接的映成扰动方程的渐近解析解。为了获得更 多的这类变换，我们引入了l i e b a c l u n d ( l b ) 对称，从而利用可能存在 的未扰动方程的递归掉子和l b 刈称来构造大_ 阜= 的此类变换，最终从未扰 动方程的精确解出发，通过这些变换，直接获得一大批的渐近解析解。 扰动的k d v 方程和扰动的b u r g e r s 方程将被作为例了给出。至于高阶的 情形，我们仅给出理论上的一些推导结果和一个简单的俐了。值得注意 的是，一阶情形与高阶情形的理论结果的推导与变换的计算无须用到任 何的群论知泌。另外我们用h i r o t a 直接方法研究了一种扰动的k d v 方程 | 1 勺n 一孤立予解，并研究了扰动晴形下n 一孤立了解在的图像情况。 3 、列b r o e 】k a u p ( b k ) 方程组所得到晌单一方稗作了经典的李刘称 相似约化，并给出部分相似解。刈其中一类特殊的情形通过观察，我 们发现了b k 方程组n 勺相似解与著名的b u r g e r s 方程之问的关系，从而， 我们可以从已知的大最的b u r g e r s 方程和热方程n 勺精确解中得到大最的 b k 方程的相似解。 关键词：取线性形式，h i r o t a 茸接方法l i eb a c l u n d 刈称，扰动， n 一孤立子旁翠，b r o e r - k a u p 方程组，相似解 堑兰查兰坚圭兰皇 ! 堕竺! a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s sm a i n l yt h r e ea s p e c t sa b o u tt h eh i r o t a sd i r e c t m e t h o d ，p e r t u r b a t i o n ，s y m m e t r i e sa n ds i m i l a r i t ys o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h e yr e a da sf o i l o w s ： 1 f i r s t l yt h es i g n i f i c a n tc h a r a c t e r so f t h eb i l i n e a ro p e r a t o ra r es t u d i e d t h e nw ei n v e s t i g a t et h ec h a r a c t e r so ft h en o n l i n e a rp d e d i r e c t l yo b t a i n e db yt h e l o g a r i t h m i ct r a n s f o r m a t i o nf o rt h ek d v - t y p eb i l i n e a re q u a t i o n a c c o r d i n gt ot h e s e c h a r a c t e r s ，t h ep o l y n o m i a lt r a n s f o r m a t i o n sw i t hn o n e m p t yl i n e a rt e r mb e t w e e n t h eo r i g i n a lp o l y n o m i a le q u a t i o nw i t hn o n e m p t yl i n e a rt e r ma n di t s k d v - t y p e b i l i n e a re q u a t i o na r eo b t a i n e di nd e t a i l sa n da l s oa r ec o n f i r m e dw i t hs o m e e x a m p l e s s o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eg i v e np o l y n o m i a ln o n l i n e a rp d e w i t hn o n e m p t yl i n e a rt e r m ，w h i c ho w n sc o r r e s p o n d i n gp o l y n o m i a lt r a n s f o r m a t i o n w i t hn o n e m p t yl i n e a rt e r m 。a r ef o u n d 1 ft h e g i v e nn o n l i n e a rp d eo w n si t s k d v - t y p eb i l i n e a rf o r m ，a c c o r d i n gt ot h e s en e c e s s a r yc o n d i t i o n s ，w ec a nf i n dt h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nl i n e a ro p e r a t o r so ft h eo r i g i n a ie q u a t i o na n dt h eb i l i n e a r o p e r a t o r so fi t sb i l i n e a rf o r m a n dt h eb i l i n e a rf o r mo ft h eg i v e no r i g i n a le q u a t i o n c a nb eo b t a i n e dd i r e c t l yi nv i r t u eo ft h er e l a t i o n s h i p s t h e s er e s u l t sm a k eu s s t r a i 曲t f o r t hu n d e r s t a n d i n go ft h eg d v - t y p en o n l i n e a rp d e ，w h i c hh e l pu s i m p r o v ed i r e c t l ys o m er e s u l t sa p p e a r i n gi nl i t e r a t u r e 2 、a sf o rt h ej - o r d e rp e r t u r b e dn o n l i n e a rp d e 、w eo b t a i nt h ec o n d i t i o u a i e q u a l i t y t h a tt h ec o e 仃i c i e n to ft h el ”o r d e rt e r m o f t h et a y l o rs e r i e s e x p a n s i o na r o u n d 2 0f o ra n ya s y m p t o t i c a la n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h ep e r t u r b e d p d ew i t hp e r t u r b i n gp a r a m e t e rem u s tb ea d m i t t e d ，b ym a k i n gu s eo ft h e c o n d i t i o n a le q u a l i t y , w em a yo b t a i ns o m et r a n s f o r m a t i o n s ，w h i c hd i r e c t l ym a p t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n so ft h eg i v e nu n p e r t u r b e dp d et ot h e a s y m p t o t i c a l a n a l y t i c a l s o l u t i o n so ft h e c o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e do n e t h el i e b a c l u n d s y m m e t r i e si si n t r o d u c e di no r d e rt oo b t a i n i n gm o r et r a n s f o r m a t i o n s h e n c e w e c a l ld i r e c t l yc r e a t em o r et r a n s f o r m a t i o n sj nv i r t u eo fk n o w nl i e b a c l u n d s y m m e t r i e sa n dr e c u r s i o no p e r a t o r so fc o n e s p o n d i n gu n p e r t u r b e de q u a t i o n t h e p e r t u r b e db u r g e r se q u a t i o na n dt h ep e r t u r b e dk o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) e q u a t i o n a r eu s e da se x a m p l e s a sf o rt h eh i g h e r o r d e rc a s e s ，w eo n l yg i v et h em a i nr e s u l t s w i t has i m p l ee x a m p l e w es h o u l dn o t i c et h a tn o t a n y g r o u p t h e o r e t i c a l 浙江大学晡士学位论文 a b s 们d k n o w l e d g ei si n t r o d u c e di nt h ed e d u c ep r o c e s sf o ro b t a i n i n gt h e s et h e o r e t i c a l r e s u l t sa n dt r a n s f o r m a t i o n s i na d d i t i o n ，t h en s o l i t o n ss o l u t i o n so ft h ep e r t u r b e d k d ve q u a t i o n sa r e i n v e s t i g a t e db y h i r o t a sd i r e c tm e t h o da p p r o a c ha n dt h e 1 - s o l i t o nd i a g r a ma r ei l l u s t r a t e d 3 b yak n o w nt r a n s f o r m a t i o n ，t h eb r o e r - k a u p ( b k ) e q u a t i o n sa r ec o m b i n e d t oas i n g l eo n e a f t e rt h ec l a s s i c a ll i e s y m m e t r ya n a l y s i s a n ds i m i l a r i t y r e d u c t i o n sa r ep e r f o r m e df o rt h es i n g l eo n e ，n e ws i m i l a rs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d f r o mt h es p e c i a lk i n do fi t ss i m i l a r i t yr e d u c t i o n s ，w ef i n dt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h eb ke q u a t i o n sa n dt h ef a m o u sb u r g e r se q u a t i o na n dt h eh e a te q u a t i o n b yo b s e r v a t i o n b ym a k i n gu s eo ft h e s er e l a t i o n s h i p 。m o r es i m i l a r i t ys o l u t i o nc a n b ec r e a t e dd i r e c t l yb ya b u n d a n tk n o w ns o l u t i o n so ft h eb u r g e r se q u a t i o na n dt h e h e a te q u a t i o n 。 k e y w o r d s ：b i l i n e a rf o r m h i r o t a sd i r e c tm e t h o d ，l i e b a c l u n ds y m m e t r i e s ， p e r t u r b a t i o n n s o l i t o n ss o l u t i o n tb r o e r - k a u pe q u a t i o n s ，s i m i l a r i t ys o l u t i o n s 绪论 1 1 孤立子理论回顾 第1 章绪论 站在世纪之交的门槛上谁也不能漠视科学技术在这百年风云中带给人 类的翻天覆地的变化。电子计算机横空出世，原子弹的蘑菇i 笼罩在世人心 头。人造地球卫犟和航天飞机逆游太空生物克隆技术引起全1 廿：界阵阵波 澜。一百年的时间在漫漫人类j 力史长河中h 不过是弹指一挥间，但科 技在此期间的发展却远远超过过去两干多年间的总和对人类的改变也达到 了前所未有的程度。正如美国著名作家爱默生( r w e m e r s o n ) 所言：。现代科 学所创造的奇迹远远超过古老神话传说中的奇迹。”令人瞩目的菲线性科学在 本世纪的兴起和迅速发展，更是从认识上解放了人类，打破了一扇机械决定 论的天窗，使人们得以探索更复杂、更普遍、更高层次的“窗外”世界。在 非线性科学领域中，有朵美附的“数学物理之花“。它同人们己熟悉的混沌、 分形一起被认为是当今这一领域的三大前沿分支这就是孤立子( s o l i t o n ) 与混沌、分形一样，孤立于从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了 许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和 启示。要了解孤立子，就要从j o h ns c o t tr u s s e l 的发现谈起。 孤立子最初也称为孤立波( t h es o l i t a r yw a v e ) 它在一百五十多年前 由英国著名科学家，造船t 程师r u s s e l 在运河河道中最先观察到。1 8 4 4 年9 月r u s s e l 在英国科学促进协会第 四俑会议( f o u r t e e n t hm e e t i n go f t h e b r i t i s ha s s o c f o rt h ea d v a n c e m e n to fs c i e n c e ) 以论波动为题所做 的报告中谈到了自己一次不寻常的发现”，他生动地描述道：“我正在观察一 条船的运动，这条船由两匹马沿着狭窄的河道快速地拉向前进当船突然停下 来时，河道中被推动的水团并未停止，它以猛烈的受激状态聚积在船头_ l 言j 围， 然后，呈现滚圆光滑、轮廓分明的，巨大的、孤立耸起的水蜂，突然，以报 快的速度离开船头滚滚向前。这个水峰沿着河道继续它的航程我骑马跟踪， 并且追上了它，此时，它仍以每小时八、九英里的速度滚滚前进， 同时 5 f 持 其长约三十英尺。高约点五英尺的原始形状。当我追逐一= 英里 之后，水峰高度渐渐下降，最后消失在曲折迁川的河道之中。这就是我在 1 8 3 4 年8 月第一次偶然遇见的奇异而美删的景象。” 人们为了纪念r u s s e l 那次具有重要意义的发现。于1 9 8 2 年，即在他逝 浙人博七学位论文：孤f 理论若f 问题研究 世一百周年之际，在那条曾经自然地形成孤立渡的河道边树立了一座r u s s e t 纪念碑。 r u s s e l 当时意识到他所发现的“孤立耸起的水波”不是通常的水渡，他 曾指出。通常的水波一部分在水由之上，另一部分在水面之下，而孤立波清 清楚楚地是一个完整的全部位于水面之上的波。孤立波也不同于那种在波前 有奇异性的冲击波，因为它具有滚圆光滑的波形。实际上它表现为流体力学 的一个稳定解，是种稳定而不弥散的波。但是，尽管r u s s e l 对孤立波的研 究有不少真知灼见。可他的想法仍受到来自吐j 时科学界权威们的反对和怀疑。 譬如，当时有的物理学家认为孤立波的波幅减小是这种波奉来就小是稳形 波的种标志。对此，r u s s e l 正确地把孤立波的波幅衰减解释为是由于摩擦 所造成的结果。不过很遗憾，在他生前始终也未能成功地使其同时代的物 理学家信服他的论断。然而自r u s s e l 提出“孤立渡”概念之后在当时 许多物理学家中间还是掀起了一场关于这个新概念的广泛而热烈的争论。 到了1 8 9 5 年d k o r t e w e g 和他的学生g d e y r i e s 根据流体力学研究 了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定下。求得了单向运动的浅水波 运动方程”1 ，即著名的k d v 方程： 裂存如2 + 和撺a 2 r ) m ， 其中口= 口( ，) 是高于平衡水平面的波峰高度，为水深tg 为重力加 速度，8 是与液体均匀运动有关的常数，。是由d ：昙一! 生定义的常数，式 j p g 中的，是毛细现象的表面张力，户是流体的密度。通过适的数学变换可得： 拿- 6 u 宴+ 磐：o ( 1 2 ) a f 缸五 d k o r t e w e g 和g d e v r i e s 从上式求出了与r u s s e l 一致的，即具有形状不变的脉冲状孤立波解： 俐= ；c 刚( 誓) ) 所发现的孤立波现象 ( 1 3 ) 其中而为任意常数，c 为孤立渡的传播速度。从这个解我们可以看出， 2 绪论 孤立波的传播速度c 与波的振幅( 二c ) 成正比所以，较大的孤立波比较小 2 的孤立波运动得快。如果较小的孤立波在前，较大的孤立波在后，那么后者 必会赶上和超过前者。这样两个孤立波就不可避免地发生重迭或碰撞。人 们自然要问孤立波是不是稳定的波? 两个孤立波相互碰撞的结果将会怎样 昵? 能否变形呢? 这些问题曾经长期没能得到解决 有人曾认为，既然非线性偏微分方程，就不能满足解的迭加原理。因为 只有线性波可以迭加，碰撞后可相互分离，彼此互不影响。而孤立波是非线 性波它们的重迭不像线性波那样简单地证移相加，碰撞后两个孤立波的 形状很可能会遭到破坏。因此，当时持这种观点的人断言，孤立波是不稳定 的，研究它没有什么价值。于是关于孤立波的研究，在一段时期内曾停滞 不前。 除了上述问题还有一个直到2 0 世纪5 0 年代才获得新进展的问题这 是关于孤立波在流体力学以外的其他物理领域中能台出现冉每闯透。5 0 年代著 名物理学家e n r i c of e r m i j o h np a s t a 和s t a nu 1 。”利用第一台大弛电子 计算机4 m a n i a ci ”进行了一项实验的数值研究。这几位物理学家将6 4 个谐振 子用非线性弹簧连接成条非线性振动弦。开始时( t = o ) 使这些谐振予的所有 能帚都集中在一个谐振子上，其他6 3 个谐振子的初始态能最为零。他们按照 经典理论认为。由于非线性耦台效应的存在最后将【口j 归到统计平衡状态 能最将在平均意义上均匀地分布于各个谐振子上。但实际计算的结果却出乎 他们的意料之外，因为经过相当长的时问计算之后，几乎全部能晕又川到了 初始分布状态即绝大部分能量又集中到原先那个初态能最不为零的谐振子 上。这一结果表明，能母达到平衡的经典概念是错误的。 上述实验是孤立子理论发展过程中的一个十分重要的实验，人们称它为 f p u 实验。f p u 实验与著名的迈克耳逊一莫雷( m i c h e ls o n - - m o r l e y ) 实验一样。 其所得的奇特结果是对当时物理学的挑战。但是由于这个实验j 在频率空 婀来考察，未能发现孤立波解。故没有得到正确的解释。后来t o d a 考虑晶体 的非线性振动近似模拟这种情况，终于得到孤立波解，从而使f p u 实验问 题得到了正确解答。 1 9 6 5 年，美国莆林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位麻用数学家乩d k r u s k a l 和n z a b u s k y “1 通过数值模拟方法深入地研究了等离了体中孤立波碰撞的非 线性相互作用过程，得到孤立波在碰撞后保持其波形和速度不变这一重要结 果这个结果便彻底解除了从前对孤立波稳定性的怀疑。k r u s k a l 和z a b u s k y 淅大博士学位论文孤产理论若于问题研究 根据孤立波具有类似子粒子碰撞后不变的性质就将其称做孤立子。这两位 数学家所进行的研究工作，实际上起源于上述的f p u 问题。他们是把f p u 问 题与k d v 方程联系起来，即将f p u 实验中能景分布的几乎叫归性质和孤立子 的奇特的相互作用性质联系起来。孤立子概念的提出，这是孤立波止出科学 冷宫的重要里程碑。从孤立波的被发现到孤立子概念的正式提出。整整止过 了1 3 0 多年的漫漫历程，其中的坎坷、曲折在现代科学史上并小多见。至此。 被人们誉为4 数学物理之花”的孤立于终于洗刷了一个多世纪的蒙尘，经受了 时间的考验在科学的百花园中初显它美丽的花蕾。孤立子概念的提出，开 启了孤立子理论研究的新时代各个领域的科学家们陆续对孤立子投入了巨 大的热情和兴趣，在很多学科领域都发现了孤立子运动形态。如激光在介质 中的自聚焦，等离子体中的声波和电磁波，液晶中畴壁的运动流体中的涡 旋晶体中的位错超导体中的磁通量，神经系统中信号的传递等等，孤子 理论发展自此突飞猛进”。 1 2 研究孤立子理论的基本方法和本文的主要工作 就数学方面而言伴随着孤立子理论的发展就是发现了一大批具有孤立 子解的非线性发展方程。通常而言发现非线性偏微分方程( 包括孤立子方 程) 的精确解是一项非常困难的任务。退一步讲即使我们能找到一个求解 一个特定方程精确解的方法。一般情况下，这样的方法也4 i 能应用到另外一 个不同的非线性方程。因此在孤立子理论出现初期，人们在这些大最涌现的 非线性方程血静陷入了困境。直到1 9 6 7 年，普林斯顿几个物理学家与数学家 1 ，也就是c s g a r d n e r 。j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m ，h i u r a ( 简称 g g 心) ，的合作研究取得了突破性的进展。他们的努力方向之一是p 1 到求k d v 方程仞值问题的解析解”“。他们希望通过某种变换将k d y 方程变成另一个可 得到通解的偏微分方程m i u r a 引进变换( m i u r a 变换) 得到 因此，若 v = 扩+ 0 ( 1 4 ) u 。一e u u 。+ u 。= ( 丢+ ：v v - 6 v t v + v 。) c - s ， 绪论 v c 6 v 2 v 。+ v 。= o ( 1 | 6 ) 那么，由m i u r a 变换( i 4 ) 定义的必是k d v 方程的解，方程( 1 6 ) 称为m k d v 方程但m k d v 方程仍然是非线性方程但是如果将m i u r a 变换( 1 4 ) 推广为 ”一a = v 2 + 匕 ( 1 7 ) 再令 v ：丝( 1 8 ) 口 那么( 1 7 ) 就变成 一9 k + “p = 五伊 ( 1 9 ) 这正是人们所熟悉的s c h o d i n g e r 方程。这个变换没有将k d v 方程线性化， 但是把口变成了线性方程的系数，印s c h o d i n g e r 方程的位势。这一发现启发 了k r u s k a l 想到可以用反散射方法( i s t ) 来求解k d v 方程的解。这些最初的研 究结果于1 9 6 7 年发表，但完整的数学表述的文章直到1 9 7 4 年才发表”。反 散射方法的发现对非线性科学有重要的意义，正是由于反散射方法的出现， 孤立子理论才正式成为非线数科学的一个重要的研究方向。 反散射方法在k d v 方程的完美的应用产生了这样一个问题：这个方法是 否可以推广到其它的方程，著名的数学家p d l a x 对此作出了| 口】答1 。与此 同时对非线性偏微分方程的研究也涌现出太蕾的途径，包括b i l c l u n d 变换 方法”。“，w t c 方法“7 c l a r k s o n - k r u s k a l 宜接方法，达布( d a r b o u x ) 变换方法“，w a h l q u i s t e s t a b r o o k 延拓结构方法“”。l i e 变换群方 法”“”4 ”“4 ”l 等等。关于这方向的内容，限于篇幅这里不再作 介绍。这些方法当中，双线性方法，也就是r h i r o t a 的直接方法“”“ ”1 ”。相对于其它的各种方法如i s t “4 ”，有其优势所在。就i s t 方法而 言它可用来求解初始值闻题，但是这个方法对方程关于解析方面有很强的要 求从而导致了它对所应用的方程要有很强的前提假设并且这个方法要求运 用复杂的技巧。另一方面，任何一个非线性的偏微分方程都可以有行波解。 而双线性方法正是界于这两者之间。由于它相对而言不需要复杂的求解技巧 的过程，它得到的解是一类特殊的解即多孤立子( m u l t i s o l i t o n ) 解这 里我们简单介绍一下这个方法在求k d v 方程n 一孤立了解中的应用。 不失一般性，我们取k d v 方程的形式为 渐大博士学位论文孤r 理论若十问题研究 虬+ 6 u u ，+ = 0 ( 1 1 0 ) 其中，边界条件为z j0 0 ，“_ 0 。令： “= 2 ( 1 0 9 ( x ，f ) ) 。 ( 1 1 1 ) 引入双线性算子记号： 研彤神= g 一；丁( 丢一昙 _ ，c 巾，l c z t z ， 我们有： q ( q + 4 ) 户y = o ( 1 1 3 将，关于任意参数e 作级数展开得到 = 正，f o = 1 ( 1 1 4 把上式代a ( 1 1 3 ) ，得到 s f ( d ，q ) ( z l + l z ) + 占2 f ( q ，见) ( 正- l + z - ，：+ l 正) + ，f ( q ，q ) ( 石1 + 哳+ 彳+ 1 ) + + ，f ( 皿，q ) 篓z ，旺 + = 。n l 1 曲 其中，为简洁起见我们定义 f ( 口，口) = 4 ( d f + 理) ( 1 1 6 ) 令( 1 1 5 ) 等号左边中的，( n = 1 ，2 ，) 的系数为0 得到了一系列有关 ，i ( j = l ，2 ，) 的方程 第一个为 ，( d ，q ) ( 一i + l z ) = 0 ( 1 1 7 ) 这个等式根据双线性算子定义和有关的性质可以转化成线性方程： 睁；) 例， 埘 6 绪论 ( 1 1 8 ) 有下面形式的最简单的解 ，：= e q l , 硒= p l x + o i t + r o l ， ( 1 1 9 ) 其中p 和t o 为常数且q = 一p ? 。由( 1 1 5 ) 的2 项和( 1 1 9 ) 。根据定义和 相关性质，可知 2 ，( d ，卫) 五1 = - p ( o , ，d ：) 石z = - f ( d , ，d ) p 1 驴= 0 ， ( 1 ，2 0 ) 因此，我们可以令五= o ，相类似的，我们令正= o ( ，23 ) 这就意味着我 们得到y ( 1 1 3 、的1 孤立子解f = l + 4 。 同样的如果我们取线性方程( 1 1 8 ) 的解为 = 驴+ e “， ( 1 ，2 1 ) 其中仉= ，x + f 2 t + t l o ，n = 一刃，y = i ，2 q ，r o j 均为常数a 那么，经过直接的验算，我们得到了2 孤立予解： f = l + e z + s 2 。= ，+ s ( e _ + e ”) 一s 2 ； ；渊e m + “c 。， 类似的过程可以获得k d v 方程n 一孤立子解，其具体形式可以查阅相关的 文献这里不再给出。 由上面经典的用h i r o t a 直接方法求解k d v 方程的n 孤子解的过程可以看 出，如果方程已经写成k d v 类的双线性形式，则获取n 一孤立子解的这个过程 不需要高深的数学知识就能获得很好的结果。因此把一个方程化成双线性形 式被认为是一个有效的求解的途径，h i r o t a 等通过大晕的具体的方程都可以 有双线性形认为每个孤子系统部应该有一个写成双线性形式的基奉的方程 ( 或系统) 。著名数学家a ，c n e w l i “对h i r o t a 直接方法给予高度的评价， 认为它不但是求孤子方程之解的一种精巧设计，而且将会在景了场论与统计 力学等领域中扮演着人们未曾预料到的重要角色，并对h i r o t a 条件的应用作 为一个重点的问题进行研究并得出了一些重要的结论，当然关于h i r o t a 条件已经被我国的数学研究者”举出了一个3 一孤立子不存在的反例得到否 定 浙大博士学位论文，廿子理论若干问题研究 把方程写成双线性形式，除了有助于获得n 一孤立子解外，还能有助于获 得双线性形式的贝克隆变换( b i c l u n d t r a n s f o r m ) ”“，朗斯基( w r o n s k i a n ) 行列式形式的n 孤子解”“甚至求偏微分方程的初始值问题“等等。但是研 究什么样的非线性p d e 可以化成k d v 类的双线性方程，或者说任意给定一个 非线性p d e ，如何判定它是否有有k d v 类的双线性形式，如果有，那么如何 快速地发现原方程到它相应的双线性形式之r i , j 的变换当然获得的过程要求 是构造性的，而不是靠天才性的猜想或者不断的检验各种可能的变换组合等 经验性的工作而得到等等都是很重要的问胚。自h i r o t a 直接方法在2 0 世纪 7 0 年代被日本数学家r h i r o t a 发现”“3 l 以后，这些问题一直没有出现得到 很好的解决。从已有的结果来看寻求两者之间的变换通常是经验性的，即 先猜测变换的具体形式，然后再确定这个假定的变换是否能得到双线性形式。 在这些研究中，p a i n l e v 6 截断与h i r o t a 直接方法是否存在某种联系也被许多 作者研究过”“。下面以著名的k d v 方程( 1 1 0 ) 为例加以说明。首先对( 1 l o ) 作w t c 途径的p a i n l e v e 分析“”，作( 1 1 0 ) 在奇异流形妒如f ) = o 的罗朗 展开； “= g 小，) ， ( 1 2 3 ) j 2 a 其中q j ( x ，t ) 为待定函数，把( 1 2 3 ) 代入( 1 1 0 ) ，由主项即p ( x ，f ) 的最低次 项系数平衡有一a + ( 一口一1 ) = 一口一3 j a = 2 ，从而得到 ，= o , q o = 一2 程 j = l 儡= 2 ， ，= z 识仍+ 4 竹记叮一3 砖+ 6 拜q z = o ，= 3 ，钆+ 6 吼+ 一2 西吼= o ， ，= 4 ，0 吼+ 差( + 6 m + 一砺吼) f1 j = 5 ，吼+ 吼弼+ 6 l 吼+ ( j - 2 ) q , q p 1 + + 3 q 3 。纯+ 3 吼，+ 吼 l 搿：留j + 6 吼，z + 6 吼诈+ 咄程= o f1 卢6 吼+ 地孵“l 毛吼+ e ( j - 2 ) g j 毋纯i + q j + 6 q , 1 3 = 6 嘏+ 瓯胞+ 弛( 1 2 4 ) i 搿归j “” + l 地，刃+ l 觋毗+ 魄刃= 0 ， 注意到( 1 2 4 ) 最后一式化简后将不含吼，这表明q 4 ，吼可取任意值，容易 验证，如果令 吼= 吼= 9 6 = o ( 1 2 5 ) 那么( 1 2 4 ) 就化简为 j = o ，= 一2 j = l ，q 。= 2 ， j = 2 ，竹仍+ 4 纯一3 砖+ 6 t p ；q 2 = 0 ， ，= 3 ，+ 6 t p 。q 2 + = o ， ( 1 _ 2 6 ) ，= 4 , 0 吼+ 晏( + 6 吼+ ) = o ， j = 5 ，q 。+ 6 9 2 q 2 ，+ 叮2 = 0 ， j = 6 ，0 = 0 ，“ 从而重新调整记号有 ”= 2 ( 1 n 伊) 。+ 瓠 ( 1 2 7 ) 新大博士学位论文：孤r 理论蔚f 问题研究 其中9 ，q 皇q ：满足 纯够+ 4 吼一3 + 6 群q = o ， 十6 g 十= 0 ， ( 1 2 8 ) 吼+ 6 q q , + 9 。；0 ， 注意到，如果令( i 2 7 ) 中q = o ，那么( i 2 7 ) 中的p 就相当于( i ”) 中的f 具 体的分析过程参见文献”。 这种方法虽然有可能获得双线性形式的变换，但是，由于给定的方稃是 否能通过p a l n l e v 6 测试即使能通过p a i n l e v 6 测试，那么在测试过程中得到 的罗朗展开式是否能截断到有限项，即使能截断到有限项截断得到的表达 式是否一定能把给定的方程化为k d v 类的双线性形式等等请如此类的问题 都没有明确的答案退一步而言，即使获得了符合要求的变换但是通过这 个变换去求双线性形式的计算过程也十分复杂。为了解决计算阅题，从已经 有的可获取的资料来看，国内的有关这方面的进展“是用符号运算系统 g a p l e 程序来寻找任意给定的非线性p d e 在对数变换： = 口( i n ，( x ，f ) ) ，。“= 口( 1 n ( x ，) ) 。， ( 1 2 9 ) 下的k d v 类的双线性形式事实上。通过本文的第一部分的研究将会发现， 仅仅这两个变换实际上是不全面的，也就是说通过这个m a p l e 程序得到的 k d v 类的双线性形式只能是极少的一部分，因而会漏掉一大批可能存在的可 化成k d v 类双线性形式的原方程。通过本文对这方面的研究。对任意给定的 一个非线性的p d e ，我们给出一个构造性的途径即，对这样给定的非线性 方程，无论事先我们是古知道这个方程有无k d v 类的双线性形式，我们都可 以按部就班的进行，如果这个过稗能进行下去卣到获得最终的双线性形式 那么很显然，我们就获得了给定方程的双线性形式与变换，如果这个过程不 能进行下去，就说明给定的方程不具有k d v 类的_ 双线性形式。最重要的一点 是，我们发现的途径的计算最远低于通常的途径，比如p a i n l e v d 截断途径等 等。 在许多实际模型中，渐近分析往往会导出一个依赖于小参数e 的扰动的 微分方程，对于由实际问题建立的模型，它所导出的方程往往是原有的己知 的著名的模型添加了若干小的扰动项。因此研究孤立子方程的微小扰动是很 重要的事情。毕竟许多方程都是在忽略掉次要的影响网子，在理想的假定条 o 绪论 件下获得的，如果对一个具体的应用问题，往往还要考虑更多的因素，使得 问题的理论结果能吏好的服务于应用。因此我们在正文的第部分考虑非线 性p d e 带扰动参数的情形。这一部分的结果不同于文献 1 2 4 ，1 4 6 ，1 4 7 ，不 需要任何群论的前提知识就可以直接推导出理论结论。 正文的最后一部分我们在著名的b r o e r k a u p ( b k ) 方程组中应用李经 典变换群的方法，得到了b k 方程组的对称约化方程，以及这个方程与著名的 b u r g e r s 方程以及线性热方程的解之间的关系从而可以根据已知的大晕的 b u r g e r s 方程与线性热方程之间的精确解来构造出b k 方程组的新的含丰富相 干结构的精确解。 浙大博士学位论文：孤f 理论若干问题研究 2 1 引言 第2 章k d v 类双线性方程研究 如何获得要考察的非线性p d e 的双线性形式是一个很重要的问题，这一 章我们主要研究耐线性项非空的常系数多项式形式的非线性p d e 是否存在 一类变换，使得在这个变换下给定的方程化为双线线形式，以及如果存在。 这类变换如何获得这样的变换应该具有什么样的性质等等。这一章将对这 类变换加上一些条件限制，从而能够得出了一些比较有用的结果。 2 2 有关的定义及重要的性质 这一小节我们首先回顾了h i r o t a 直接方法相关的有关定义以及本文中要 用到的一些性质，对其中重要的性质适当加以推广并将文献中证明资料不 全的性质的证明补充完整。 h i r o t a 导数( 又称d 算子) ，它作用在函数伍砂，6 阮u 的定义如下【2 1 1 ： 讲，垆3 7 3 , 神= 陪烈丢一昙伊l 亿， - ，：， 这一节所研究的k d v 类( k d v - t y p e ) 双线性方程，又称k d v 型双线性方程 在两个自变量x , t 的情形时定义为形如下面形式的双线性方程： f ( q ，q ) ，f = 0 ( 2 2 ) 其中f = f ( x ，t ) 为自变量x , t 的函数，( d j ，d ，) 表示关于口，d i 的常系数 的多项式函数，且要求，满足： 裂：三m ( 鹕) ( 2 。) ，( 一d ，一口) = ，( d ，见) 实际上，条件( 2 3 ) 第- 2 式并不是至关重要的，因为如果f 中含有奇数次 导数作用项，那么根据定义( 2 1 ) ，则奇数次项对，作用值恒等于0 。第一式是 为了发现孤子解的时候才特别要求的。我们对r 用微扰理论作小参数关于 2 k d v 兴取线性方程研究 的展开f = i + 吖+ ，如果没有这一条件，则f o 项的系数 性质i ： ，( 皿，见) 卜1 0 群掣口6 = ( 一旷。锑群胁 从而当n + i n 为奇数时有： 或陵f f = 0 性质2 ： ( z ，4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) e x p ( d ：+ f d j ) 口( x ，f ) 6 ( x ，f ) = 口( x + ，f + 占) 6 ( z 一，t - 6 ) ( 2 7 ) 性质3 ： e x - ( s 皿+ 占d , ) a b = e x p ( s ；n n ( s 瓦o + 占妄 - n ；+ c o s n ( r 丢+ 占昙) 一n ( 。e ) c z s ， 特别地，取口= 6 = ，。则有 e x 一( s 皿+ 舳i ) ，厂= e x 一( z c o s n ( s 夏o + j 妄) - n ，) ( z 。， 令w * - - 2 1 n ，注意到x 在零点附近有，。萎素，对( 2 。9 ) 两边关于小参数 占作级数展开，则有： 浙大博士学位论文：孤r 理论若干问题研究 乒巴( 以+ 衄) 2 ，矿+ 去( 啦+ 衄) 4 v + 去( 啦+ ) 6 v + ；( 啦+ 固) 。，+ j = 五i ( 吐+ 固) 2 w + 甭i ( 蛾+ 毋) 1 w + 昙( 砬+ 国) 6 w + 面1