（基础数学专业论文）椭圆型半变分不等式障碍问题解的存在性.pdf

f y 1 煳嬲 椭圆型半变分不等式障碍问题解的存在性 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果。 在第2 章，我们考虑了用优化理论中的补偿逼近法来解决如下含p l a p l a c i a n 算子的拟线性椭圆型变分不等式障碍问题解的存在性： 。 寻找u k = 叫忧p ( q ) ：w ( x ) 0a c 在q 中) 满足不等式 fl w , i p - 2 v u v ( u u ) 如鲁上m 沪2 u 一u ) d 。+ 上，( z ，u ) ( u t t ) 出，v t ，k 其中，a l 是带有d i r i c h l e t 边界条件的负p l a p l a c i a n 的第一特征值。为了应用 优化理论中的补偿逼近法，本文对位势函数，( z ，t ) 作了一系列适当假设，并运 用了c l a r k e 广义次微分性质、p l a p l a c i a n 的第一特征值性质以及补偿算子定 理等，得到了满足条件的逼近序列，从而，根据变分不等式的性质导出了上述 不等式解的存在性。 在第3 章，我们考虑了如下定义在闭凸集上的一类非线性半变分不等式障 碍问题解的存在性： 寻找u k = 叫w p ( q ) ：加( z ) 0a e 在q 中) 满足不等式 上胁i p - 2 d u d ( u u ) d x - a ，上m 扩2 u ( u u ) 如 - l 嘶叫氓v u k ， 其中埘印( q ) ，w ( x ) a j ( z ，t l ( z ) ) a e 在q 上，入1 是带有d i r i c h l e t 边界条 件的负p l a p l a c i a n 的第一特征值。对此问题的研究，本文主要依据了闭凸集 上的非光滑临界点理论，对位势函数j ( x ，u ) 作了适当假设后，使上述不等式满 i 足非光滑紧性条件，然后应用闭凸集上的非光滑临界点定理、c l a r k e 广义次微 分性质等，得到了上述问题解的存在性。 在第4 章，我们考虑了应用非光滑三个点临界点定理来解决如下二类含p l a p l a c i a n 算子的椭圆型变分半变分不等式障碍问题： 寻找牡k = w 孵p ( q ) ：w ( x ) 0a e 在q 中) 满足不等式 w l 卿( v u , v v - v u ) d z 入( 上户( x ， t t ；v - - u ) d x - # 上g 0 ( 删；u 叫d z ) ， v u k ，其中，j o ( z ，u ) 是j ( x ，u ) = f o j ( z ，t ) d t 的广义方向导数且歹( z ，“) 关 于u 在q 上是几乎处处局部l i p s c h i t z 的；g o ( z ，让) 是c ( z ，u ) = i o9 ( 。，t ) d t 的 凸分析意义上的方向导数且9 ( z ，u ) 关于“在q 上是几乎处处真的、凸的、下半 连续的。为了应用非光滑三个点临界点定理找出此问题多解的存在性，本文分 别对位势函数歹( z ，“) 和9 ( z ，孔) 作了适当假设，根据s o b o l e v 空间喇护( q ) 中的 性质作了一系列不等式估计，使其分别满足紧性条件、极小极大不等式等，从 而根据变分不等式的性质得出了问题的解。 在第5 章，我们考虑了如下含矽( z ) 一l a p l a c i a n 算子的n e u m a n n 型变分半 变分不等式障碍问题多解的存在性： 寻找 t t k = 叫眩p 恤( q ) ：加( 。) 0a e 在q 中) 满足不等式 厶i v u l ( 动一2 ( v u ，v 口一v u ) d x + 厶l 训p ( z ) 一2 ( u ，1 ，一u ) d x a ( 厶j o ( z ，u ；秒一u ) d x p 厶g o ( z ，u ；v u ) d x ) ， 在q 中， 瓦0 u = 。， 在a q 上， v u k ，其中，p c ( 砭) ，1 p 一：= i n f z n p ( z ) p + ：= s u p z 孬p ( z ) o o ， 1 2 是边界a q 的外单位法向量，a 和肛是两个非负参数。我们知道p ( z ) 一 l a p l a c i a n 是p l a p l a c i a n 的推广( 即：当p ( z ) = p 是一个常数时) ，且p ( z ) 一 l a p l a c i a n 有更多复杂的非线性，如：它不是齐次的，并且因为它的主特征值 的下确界是零，所以通常没有所谓的第一特征值。这样，就给不等式的估计 带来了许多问题，许多经典的定理和方法，如：s o b o l e v 空间中的嵌入定理、 负p l a p l a c i a n 的第一特征值性质等，都不能直接应用。为了克服这些问题， 本文对位势函数歹( z ，u ) 和9 ( x ，“) 作了适当假设后，应用l e b e s g u e s o b o l e v 空间 螂p 霉( q ) 中的性质做了一些不等式估计，使其分别满足非光滑( p s ) 一条件、极 小极大不等式等，从而应用非光滑三个点临界点定理得到了问题的解。 关键词：补偿法；闭凸集；非光滑三个点临界点定理；变分半变分不等式； 非光滑尸s 条件 ，i hlfi， ： 、 一8牛，“l，。h鼍心曩f趟蔓i，扩 ? 叫、 。曩0 。 扎r-，f，-“册k j，j l l t hee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oo b s t a c l e p r o b l e m sf o re l l i p t i ch e m i 、a r i a t i o n a l i n e q u al i t l e s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o r d u r i n gt h ep e r i o d w h e nh eh a sa p p l i e df o rt h em d t h e m a j o rc o n t e n t sa r ep r e s e n t e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h ep e n a l t ym e t h o df r o m o p t i m i z a t i o nt h e o r y , w ec o n s i d e r t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oac l a s so f q u a s i l i n e a re l l i p t i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi n v o l v i n gp l a p l a c i a na sf o l l o w s ： f i n dt k = u 3 p 略p ( q ) ，t u ( 。) 0 口e o nq ) s u c ht h a t 上陬i 卿w v ( ) d z 等 i 牡i p 一2 u ( u u ) d x + ，( z ，u ) ( t ，一u ) d 石，vu k ， j n w h e r ea li st h ef i r s te i g e n v a l u eo f n e g a t i v ep l a p l a c i a n f o rt h ec o n v e n i e n c eo fu s i n g p e n a l t ym e t h o d ，s o m ea p p r o p r i a t ea s s u m p t i o n sn e e d e dt ob em a d eo nt h ep o t e n t i a l f u n c t i o n ，( z ，u ) i no r d e rt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ep r o b l e ma b o v e ， w ea l s ou s et h ec l a r k eg e n e r a l i z e ds u b d i f f e r e n t i a l ，t h ep r o p e r t yo ft h ef i r s te i g e n v a l u e o fn e g a t i v ep l a p l a c i a na n dp e n a l t yo p e r a t o rt h e o r e mt oa c q u i r ea l la p p r o x i m a t i o n s e q u e n c e ，a n dt h e no nt h eb a s i so fp r o p e r t i e so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，w ec a no b t a i n t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ei n e q u a l i t ya b o v e i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fa no b s t a c l ep r o b l e mf o ra i v ， i liil c l a s so fn o n l i n e a rh e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yd e f i n e do nc l o s e dc o n v e xs e t sa sf o l l o w s ： f i n du k = w w p ( q ) ，叫( z ) 0 口e o n q ) s u c ht h a t 上胁i v - 2 d u d ( t ，一“) d z - - a xli 乱i 扩2 u ( u 叫d z 上吣刊虹v u k ， w h e r ew l q ( q ) ，w ( x ) 动( z ，t 上( z ) ) a e o nq o u ra p p r o a c hi sm a i n l yv a r i a t i o n a l a n di ti sb a s e do nt h en o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n tt h e o r yf o r l o c a l l yl i p s c h i t zf u n c t i o n a l s d e f i n e do i lac l o s e dc o n v e xs e t a f t e rm a k i n gs o m ea p p r o p r i a t ea s s u m p t i o n so nt h ep o t e n t i a lf u n c t i o n3 ( x ，u ) ，t h ei m p o r t a n tc o m p a c tc o n d i t i o ni ss a t i s f i e df o rh e m i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t ya b o v e ，a n ds on o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n tt h e o r e mo nc l o s e dc o n v e xs e t s ，p r o p e r t i e so fc l a r k es u b d i f f e r e n t i a la n ds oo n ，c a nb eu s e d ，h e n c e ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s t ot h i sp r o b l e mi sa c q u i r e d i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gn o n s m o o t hv e r s i o no ft h r e ep o i n t sc r i t i c a lt h e o r y , w ec o n s i d e rac l a s so fo b s t a c l ep r o b l e m sf o rv a r i a t i o n a l h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si n v o l v i n gp l a p l a c i a na sf o l l o w s ： f i n d 让k = w i ，略刃( q ) ，w ( x ) 20o e o nq s u c ht h a t 上i v 札r 2 ( v u , v v - v u ) d z a ( 上j 。哆, u ；v - u ) d x - # l g 。( 训；u 叫d z ) ， vt ，k ，w h e r ej o ( 。，t 正) i sc l a r k eg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo fj ( x ，让) = 片j ( x ，t ) d t ，j ( x ，秕) i sl o c a l l yl i p s c h i t zw i t hr e s p e c tt oua e o nqa n dg o ( z ， t t ) i s t h ed i r e c t i o n a ld e r i v a t i v eo fc ( z ，u ) = 片g ( x ，t ) d ti nt h es e n s eo fc o n v e xa n a l y s i s ， g ( x ，u ) i sp r o p e r , c o n v e x ，l o w e rs e m i c o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt oua e o nq f o rt h e s a k eo fa p p l y i n gn o n s m o o t ht h r e ep o i n t sc r i t i c a lt h e o r y , w em a k es o m ea p p r o p r i a t e a s s u m p t i o n so nt h ep o t e n t i a lf u n c d o nj ( x ，t ) a n d 夕( z ，仳) ，a n da c c o r d i n gt op r o p e r t i e s o fs o b o l e vs p a c e 咏护( q ) ，w em a k es o m ee s t i m a t e so f i n e q u a l i t i e ss ot h a tt h ec o m p a c t c o n d i t i o na n dm i n m a xi n e q u a l i t yc a nb es a t i s f i e d ，a n df i n a l l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c e o ft h r e es o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e ma b o v e v vt ，k ，w h e r ep c ( 孬) ，1 p 一：= i n f z e n p ( x ) p t ：= s u p x e i i p ( x ) c o ；王， i st h eo u t w a r dn o r m a lv e c t o ro fo f f ；a ，pa r et w o p a r a m e t e r sa n da ，弘0 w ek n o w t h a tt h ep ( x ) 。l a p l a c i a ni sag e n e r a l i z a t i o no ft h ep - l a p l a c i a n ( i e p ( z ) = pi s a c o n s t a n t ) ，a n dt h ep ( x ) 一l a p l a c i a no p e r a t o rp o s s e s s e sm o r ec o m p l i c a t e dn o n l i n e a r p r o p e r t i e s ，f o re x a m p l e ，i ti sn o th o m o g e n e o u s ，a n du s u a l l yi td o e sn o th a v et h es o c a l l e df i r s te i g e n v a l u e ，s i n c et h ei n f i m u mo fi t sp r i n c i p a le i g e n v a l u ei sz e r o t h i sc a u s e s m a n yp r o b l e m s ，a n ds o m ec l a s s i c a lt h e o r i e sa n dm e t h o d s ，s u c ha st h et h e o r yo fs o b o l e v s p a c e s ，t h ep r o p e r t i e so ft h ef i r s te i g e n v a l u eo fn e g a t i v ep - l a p l a c i a na n ds oo n ，a r e n o ta p p l i c a b l e t oo v e r c o m et h e s e d i f f i c u l t i e s ，s o m ea p p r o p r i a t ea s s u m p t i o n sn e e dt ob e m a d eo nt h e p o t e n t i a lf u n c t i o n 歹( z ，牡) a n dg ( x ，u ) ，a n do nt h eb a s i so ft h ep r o p e r t i e so f l e b e s g u e s o b o l e vs p a c ew p 功( q ) ，w eo b t a i ns o m ee s t i m a t e so fi n e q u a l i t i e ss ot h a t n o n s m o o t h ( p s ) 一c o n d i t i o n ，a n dm i n m a xi n e q u a l i t yc a nb es a t i s f i e d ，a n dt h ee x i s t e n c e o fm u l t i p l es o l u t i o n st ov a r i a t i o n a l h e m i v a r i a t i o n a ii n e q u a l i t ya b o v ec a l lb e p r o v e db y a p p l y i n gn o n s m o o t ht h r e ep o i n t sc r i t i c a lt h e o r y k e y w o r d s ：p e n a l t ym e t h o d ；c l o s e dc o n v e xs e t s ；n o n s m o o t ht h r e ep o i n t sc r i t i c a lt h e o r y ；v a r i a t i o n a l h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；n o n s m o o t hp s c o n d i t i o n v i t j 7 l ： i 一j i nc h a p t e r5 ，w ec o n s i d e rac l a s so fo b s t a c l e p r o b l e m sf o rn e u m a n n t y p ev a r i a t i o n a l h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si n v o l v i n gt h ev ( z ) 一l a p l a c i a na sf o l l o w s ： f i n d t 上k = t l ，仉苫p 如( q ) ，叫( z ) 0 口e o nq ) s u c h t h a t i 厶i v t l p o ) 一2 ( v 牡，v v v u ) d x + 厶i t 正i p 任) 一2 ( t 正，口一u ) d z a ( 厶j o ( z ，u ；v u ) d x 一# f oc o ( z ，u ；t ，一u ) d x ) ，i nq ， 【筹- o ， o nm vt ，k ，w h e r ep c ( q ) ，1 p 一：= i n f z n p ( z ) p t ：= s u p , n p ( x ) 0 使得满足 i 妒( 可) 一妒( z ) is 南l l y z i l ， v y ，z u 若一个函数妒在x 的有界子集上是l i p s c h i t z 连续的，则它是局部l i p s c h i t z 的且如果d i m x + o 。，那么这两个性质是等价的。如果妒：x _ 冗是连续凸 的，那么妒是局部l i p s e h i t z 的。 定义1 2 给定一个局部l i p s c h i t z 函数妒：x _ 冗，我们定义它在z x 处， 沿着方向h x 的广义方向导数为 此= l i m s u ，p 。业掣霉，_ 善入l q 因为函数hh 矿( z ；h ) 是连续的、次线性的，所以由h a h n b a n a c h 定理， 可知扩( z ；) 是一个非空凸的、w 紧的集合 o q o ( z ) = z x ：( 。，h ) 妒o ( 。；h ) vh x 2 i 绪论 的支撑函数。集合a 妒( 。) 被称为妒在z 处的广义次微分或c l a r k e 次微分( - - i 参阅 【8 】) 。 定义1 3 给定一个局部l i p s c h i t z 函数妒：k _ r ，对于z k ，我们定义 m ( z ) = i n f s u p 0 使得在区间( a 1 ，a l + g ) 中没有特征值) 和简单的( 即：相应的特 征空间是一维的) 。 定义1 5 ( r a y l e i g h 商) a l 具有如下性质 扣m ；n 群w o 气吼州) 下面四个定理将是为了研究本文中四个问题所要用到的主要工具。 ( 1 1 ) 定理1 1 【l o 】令y 是实自反b a n a c h 空间x 的一个非空的、闭凸子集，妒：y _ x + 。如果假设： ( i ) 妒是( s ) + 类的； ( i i ) 妒在有限维子空间上是连续的； ( i i i ) 如果z n _ z ，那么 妒( z n ) ) 有一个弱收敛子列且极限为妒( z ) ； ( i v ) 存在一个x o y ，使得。 i m i n f 一( 妒( z ) ，z x o ) 0 ， 王l i o o 。x e y 那么，对于vz y 变分不等式( 妒( z ) ，x z ) 0 有一个解存在。 定理1 2 1 q 如果x 是一个自反的b a n a c h 空间，k x 是一个非空的、闭凸 集，妒：k _ 冗是一个局部l i p s c h i t z 的、下有界的且在k 上满足非光滑c 条 件的函数，那么存在牡k 使得妒( u ) = i n f k 妒且让是妒在k 上的一个临界 点。 注记1 1由文献 1l 】中命题3 的证明过程，我们可以得到u + o q o ( u ) 使得对 于所有的u k ，有( “+ ， 一u ) 0 。 定理1 3 【1 2 】令x 是一个可分的、自反的实b a n a c h 空间，a 是一个实区间，如 果 ( a 1 ) 对于va a ，函数，( ，a ) 满足( p s ) c ，c r ，且j i m ，( 牡，a ) = + 。o ， i l u l l + + o o 4 ( i 嚣翼r 皿( t 1 ) 1 那么，存在一个开区间a 1 o ，刮和一个正实数盯，使得对于任意的a a 1 ， 泛函西一a 皿至少存在三个临界点，且它们的范数均小于盯。 5 2 一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性 2 - 1 引言 令q 兄是具有光滑边界的有界域，用y 和k 分别表示s o b o l e v 空间 w d p ( q ) ( 2 p 0 ，2 7 0 ，u x 满足如下补偿方程 a ( ) + 圭口( ) = f ( ) ( 2 2 ) 7 2 一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性 2 3 主要结果的证明 引理2 1 如果假设( ) 、( 厶) 成立，那么( 妒( u ) ，u ) = ( a ( 让) ，u ) 4 - ( p ( “) ，u ) 一 ( f ( u ) ，t 1 ) 是弱强制的，即：当l i u i i 一+ o o 时，( 妒( u ) ，让) _ + o 。 证明：我们用反证法，假设引理的结论不成立，那么我们能够找到一个序列 u n ) n 1 x 和m 0 使得 “删_ + 。且( 妒( u ) ，u ) m ，对于所有的n 1 ，( 2 3 ) 令= 赫m 1 ) ，我们可以假设( 至少存在一个序列) ju x 且一u 汐( q ) ， 由( 2 3 ) 我们有 ( 妒( u n ) ，u n ) = ( a ( “n ) ，u n ) + ；1 ( ( u n ) ，豇n ) 一( f ( 札n ) ，u n ) 彳 算子( u ) 的单调性和p ( o ) = 0 蕴含着 从而我们得到 ( a ( 秕n ) ，仳n ) 一( f ( u n ) ，“n ) ( 妒( u n ) ，) m ， v l l f , - 卸圳；一z 皆邮研m ( 2 4 ) 由假设( ) 和局部l i p s c h i t z 函数中值定理，得i ，( z ，t ) 让i 研( z ) 4 - c 司u p a e 在q 上，其中 l ( z ) l o o ( q ) + ，石 0 ，从而有 栌型l l u , , l l 忡n i p a _ e 在q 上，对于所有的喇， ( 2 - 5 ) 8 栌j hel i ( q ) ，当n 一 ( 2 6 ) 对于每个s 0 和n 1 ，考虑集合 e = x e f t u ( z ) 。，等一芝年当尘等+ s ) ， 由假设( 如) ，我们有 x e ( z ) 一1 ，a e 在 u o ) 上， 从而，可得到 i i ( x - x e ) 稚栌i i 州川 因此有 栌j hel l ( u 0 ) ) ， 从集合e 的定义可得到 ( 鲁叫m 训p 栌 = 等笋i v i p ( 鲁刊m 圳p ， 由( 2 7 ) ，我们在l 1 ( u o ) ) 中取弱极限可得 ( 鲁一刮t ，( z ) i p ，。( z ) - - - ( t l + 圳u ( z ) l pa e 在 u o ) 上， 9 ( 2 7 ) 兰一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性 由g 的任意性可得 m e ) = 等m z ) | p a e - 在 “o ) 上， 由( 2 5 ) ，显然有 h ( x ) = 0 ，a c 在 u = o ) 上， 从而就得到 九( z ) = 等i u ( z ) l p ，a e 在q 上( 2 8 ) 现在，对不等式( 2 4 ) 两边取极限可得 i i v v l l ；, a ；， 由第一特征值的性质( 1 1 ) ，我们可以得到仃= 0 或u = 士乱1 。 如果j u = 0 ，_ 0 x ，这与i i v n l i = 1 ( vn 1 ) 相矛盾。 因此，u = - 1 - 2 1 ，从而可知对于几乎所有的z q ，当n o 。时，有 i 钆n i _ ，且由( 厶) 我们知道 ，( z ，“n ) “n 一鲁i u n f p 一一o o ， ( 2 9 ) 这样就有 ( 妒( ”n ) ，u n ) = ( a ( 乱n ) ，u n ) + 三( p ( “n ) ，t 上n ) 一( f ( u n ) ，u n ) ( 4 ( u n ) ，u n ) 一( f ( u n ) ，u n ) = i l v u , , 临一上( ，( z ，u n ) 钍n 一害f 让n i p ) 如一a ，上i 乱i p d z 上( ，( z ，u n ) 秕n 一鲁l u n i p ) 如， l o 2 一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性 所以可得到 妒( u ，。) ，u n ) _ + o o 当n _ o 。 这与( 2 4 ) 相矛盾，这样我们就证明了( 妒( “n ) ，u n ) 是弱强制的。 r - 定理2 1 的证明： 首先，我们证明对于v 0 ，妒= a + ；p f 是一个( s ) + 映射。 设 t , k ) x 满足当七一0 0 时，u 七j 伽x 且 l i m s u p ( 妒( u k ) ，让七一伽) 0 ， 七+ o o 因为嵌入y = 嘣，p ( q ) q 弘( q ) 是紧的，可得牡七一 t t 0 l q ( f 1 ) ，这样当 k _ o o 时，在q 中几乎处处有t l 七( $ ) 一咖( ) 。由( 2 5 ) ，我们有( f ( u k ) ，t j 。) _ ( f ( u o ) ，铷) ，这样可得到 l i ms u p i v u k i v u k v ( u k u o ) 七_ o oj n 0 ，妒是一个( s ) + 映射。 由定理1 1 知，对于每个e ，方程 a ( t 上。) + p ( t 上。) = f ( t 上掌) ， ( 2 1 0 ) 在y 中至少有一个解地。由引理2 1 可知，至少存在一个与e 0 选取无 关的常数c ，使得i l u f i | c 。这样我们能够选择一个序列 ( 礼) ) ，使得当 2 一类拟线性椭圆型变分不等式解的存在性 死_ 0 ( 3 时，+ 有( n ) _ 0 + 和砜= ( n ) j 让7 y 。 由引理2 1 ，我们也知道 4 ( - t 。) 一f ( 砜) ) 在y 中是有界的，这样就有 p ( 砜) = e ( n ) ( a ( 碥) 一f ( 砚) ) _ o ( 礼_ o 。) ， 现在，对于每个 y ，有 ( p ( ) ，u i u ) = l i m ( 了( v ) ，瓦一 ) ，i l i m s u p p ( v ) 一p ( 砜) ，砜一u ) + l i m s u p ( b ( g , , ) ，砜一u ) n 1 n _ 。o 0 ， 令u = 一t w ，其中t 0 且w y ，我们有( “7 一t w ) ，w ) 0 a 由p 的半线 性知，当t _ 0 + 时，可得到( u ，) w ) 0 ，且由叫x 的任意性我们也可得 到p ( ) = 0 ，即u 7 y 。因为妒( “) = ( 以( u ) ，“) + ；1 够( “) ，u ) 一( f ( u ) ，u ) 是一个 ( s ) + 映射，所以( 2 1 0 ) 蕴含着当n o 。时，_ n _ u 7 。 若伽k ，则( 叫) = 0 ，这样我们得 ( a ( _ n ) 一f ( 碥) ，叫一( _ n ) ) = 丽1 够( 埘) 一( _ n ) ，叫一面n ) 。， 因此可得 ( a ( u 7 ) 一f ( u 7 ) ，加一“7 ) 0 ， 即，是问题( 2 1 ) 的一个解。 1 2 3 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 在第2 章中，我们运用了优化理论中的补偿逼近法并结合广义次微分性质 以及带有d i r i c h l e t 边界条件的负p l a p l a c i a n 的第一特征值性质等考虑了一类 拟线性椭圆型变分不等式解的存在性，本章我们将主要运用闭凸集上的非光滑 临界点理论来研究定义在闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性。 3 1 引言 令q 是冗上的一个具g 2 边界r o 的有界域，2 p 0 ，存在a m l o o ( q ) 使得对于几乎所有z q 和所有 m ，有i j ( x ，u ) l a m ( 盘) ； ( i i ) 存在毋l ( q ) 且秽( z ) 0a e 在q 上( 当在一个正l e b e s g u e 测度集上 时，取严格不等号) 使得l i m s u p p j ( z ，u ) = 秽( z ) 对于几乎所有z q 是一致的； l i _ ( i i i ) 对于几乎所有z q ，所有u r 和所有w o j ( z ，u ) 有l w l a ( x ) + c l , , i p - 1a l 。0 ( q ) ，c o ) ； ( i v ) 存在p 0 和0 0 使得 西( u ) l l d u l l ；，v 让嚼” ( 3 3 ) 假设( 3 3 ) 式不成立，那么可以找到 u n ) n 1 咄p ( q ) 使得i i d u i i p c 1 ( c 1 0 ) 且西( u n ) 【0 。运用p o i n c a r g 不等式可得i l 牡n 0 c 2 0 d u n l i p c l ，其中 c 2 0 是一个p o i n c a r 芭常数。这样可以取一个子列，假设为u nj 让w o ，p ( q ) 且u n u 护( q ) ，从而有 0 n l 。i r a 。嘶n ) 1 i m , , _ _ o o i n f ( i i 砜暇一a i i u n | | ；一上雌) d z ) i i d u 昭_ i i 训；一上讹) 出 0 ，( 由( 1 1 = ) ) 得出矛盾，这样我们就证明了( 3 3 ) 式。 现由假设日( 歹) ( i i ) ，给定s 0 ，可以找到m 0 ，使得对于几乎所有的 z q 和所有i u i m ，有歹( z ，u ) 三秽( z ) 。另一方面，由假设日。) ( i ) ，对于几 乎所有z q 和所有i t l i m ，有i 歹( z ，牡) i d 村( z ) 。这样存在口1 l ( q ) ，使 得对几乎所有z q 和所有u r ，有 j ( x , u ) 三毋( 二) + 口l ( 巩 ( 3 4 ) 因此由妒的定义、( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，可得 咖) = 刍l l d u 临一却也哆一上m ，舭z 刍l l d u 临一鲁昭一刍上毋( z ) 如一后( 对于某个k 。) 3 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 扣驯l ；- 尼 由( 3 5 ) ，我们就证明了妒是强制的。 口 ( 3 5 ) 引理3 2 如果假设h ( j ) 成立，那么妒在k 上满足非光滑g 一条件。 证明假设 u n 几1 k 是一个序列，使得对于某个尬 0 ，所有1 1 1 有i 妒( u n ) i 矗，且当n _ o o 时，有( 1 + i l u n i i ) m ( u n ) 一0 。 因为 a ( u n ) w _ 1 ( q ) = 哪巾( q ) 4 ( 去+ 刍2 1 ) 是弱紧的且由b a n a c h 空间中范数泛函是弱下半连续的以及w e i e r s t r a s s 定理，所 以可找到u ：a 妒( u n ) 使得m ( u n ) = i n f l l u + f i ：u a 妒( u n ) ) = i l u ：l l 。 令a ：嚼p ( q ) _ w - 1 , p 7 ( q ) 定义为如下非线性算子 ( a ( u ) ，t ，) = fl l 。“i i 坤( d u , d v ) r 如， v 让，u 叼p ( q ) ， 其中用( ，) 来表示( 叼p ( q ) ，w - a , p 7 ( q ) ) 中的对偶元素。我们知道a 是单调 的、半连续的，从而是极大单调的( 参阅 2 3 】) ，从而有 u 二= a ( u n ) 一a 1 i “np 一2 u n w n ， ( 3 6 ) 冥甲，对十所有的7 , 1 ，l 口( s2 ) ，( z ) a j ( z ，u ( z ) ) a e 征s2 上。由选 取序列 “n ，n 1 k 使得( 1 + i i 札n i i ) m ( u n ) _ 0 ，可得i ( 乱：，让n ) l i 1 ，可得到 一o 。u n 略+ 入，i i “n 昭+ j f nw u d x 1 ( 3 7 ) 同样，由l 妒( u n ) i 旭佗1 ) ，可得 l i d u n l 曙一入1 i i u n i 甥一p 歹( z ，t | n ( z ) ) d z p h 6 ( 3 8 ) ，q 3 闭凸集上的一类非线性半变分不等式解的存在性 将( 3 7 ) 和( 3 8 ) 相加，可得 f n ( w n u n - - 力( 刚。n ) ) d z 三+ p 札 ( 3 9 ) 由假设何( ，) ( i v ) 知，存在 毛0 使得对几乎所有z q ，所有l u l 如和 所有w o j ( z ，u ) ，有 、 叫u 一力( 。，u ) p i u i p ( 3 1 0 ) 由l e b o u r g 中值定理和假设h ( j ) ( i i i ) ，对于几乎所有z q 和所有u r