（基础数学专业论文）一类特征值问题的非线性化.pdf

摘要 本文从特征值同题( 1 1 ) 出发，通过应用非线性化方法，证明了与向量场 ) 孤子 族相联系的特征值问题在r 2 ”上是完全可积的h a m i i t o n 系统其中，通过应用母函数方 法，证明了守恒积分的两两对合性和函数独立性，并引进a b e 卜j a b i 坐标来对h a m i l t o n 流进行直化接着，在代数曲线理论的基础上，通过求解常微分方程和对椭圆坐标的反演 分别求得了驻定方程( 6 7 ) 与( 1 + 1 ) 维孤子方程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 的拟周期解 关键词：非线性化，母函数，h a i i l i l t o n 系统，守恒积分，拟周期解 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，s t 舡t 洫g 证t ht h ee i 曾e n 训n ep r o b l e m ( 1 1 ) ，t h es p e c t r a lp r o b i 哪r e l a t e dw i t ht h e v e c t o r6 e l d ( 墨) i 8t l l r n e di t oac o m p l e t e l yi n t e 盯a b l eh 锄i i t o ns 娜e m 伽舻，w i t ht h eh e l p 0 fn o n h n e a r i z a t i o na p p r o a c h i nt h 主sp m o e s s ，a c c o r d i n gt ot h eg e n e r a t i i 瑁f u n c t i o na p p r o a c h ， t h ei n v o l u t i v i t ya n dt h ef l l l l c t i o n 8 li n d e p e n d e n c eo ft h ec o n b e r v e di n t e 髓a 1 8a r ep 删，a i l dt h e h a 谢l t o n i a nn 0 1 ) i r 8a r es t r a i g h t e n e db yi n t m d u c i n gt h ea b e l - j a c o b ic o o r d i n a t e 8 t h e n ，b 硝e do n t h ep r i n c i p l e so fa l g e b r a i cc u r v e ，t h eq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o sf o rt h es t a t i o n a r ye q u a t i o n ( 5 7 ) a n dt h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n t i o n a ls 0 1 i t o ne q u a t i o n ( 1 8 ) ，( 1 9 ) 盯eo b t a i n e db ys o l v i n gt h ed i 髓r e n t i a l e q u a t i o n sa n di n v e r s i n gt h ea b e l - j a o o b ic o o r d i n a t e 8 k e yw o r d s ：n o n l i n e 盯i z a t i o n ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n ，h a m i l t o ns y s t e m ，c o n s e n r e di n t e g r a l ， q u a s i p e r i o d i cs 0 1 u t i o n 郑重声明 本人魏学缎论文怒在导烬糖罨下独立撰霹势宠戚粒，学位论文没有剽窃、抄袭等遣反 学术遂舔、学术巍楚懿侵投行势，否测，本人愿意承撂塞越产燮的一强法鬻黄经萃拜法德詹 果，符此郑重芦嘲 学袋论文佟者t葛疲 竹g 年锄如瓣 引言 二十世纪中期以来，随着孤子理论的兴起，人们发现为数众多的非线性方程的孤子 解及无穷守恒律，因而它们是无穷维可积系统在孤子理论的发展过程中，多维孤子方程 逐渐成为孤子理论中的热点问题，但由于它们的多维性和高度非线性性，很难用直接的方 法来求解，因此人们转而试图从众多的无穷维可积系统出发，寻找有限维可积系统这一 工作在上世纪八十年代后期，非线性化方法出现之后，有了重大的进展【1 1 2 】非线性化 方法通过孤子方程的有限带势解或纯孤子解与l “对中特征函数问的非线性约束，而得 到可积的有限维n e u m a l l n 系统或b a r g ，n a n n 系统该方法已从众多的孤子方程出发得到 了一系列有限维可积系统，并且已经被验证为是发现有限维可积系的一种比较普遍的框 架性方法 在非线性化方法的发展过程中，曹策问教授首先对a k n s 特征值问题引入b a r g m a i l n 约束 1 】，导出一类共焦对合系；接着，又在随后的文章【3 ，4 ，8 ，1 l ，l2 中对a k n s ，k d v 族及离散t o d a 链等孤子族进行非线性化，得出对应的n e u m 8 n n 系统或b a r g m a n n 系统 特别是他在1 9 9 0 年的文章f 3 】中，给出了非线性化方法的框架结构，并对一批孤子系统列 出了其对应的n e u m a n n 系统或b a r g m a n n 系统至此，非线性化方法提供了从无穷维可积 系到有限维可积系的一种具体的可操作的程序，使得大批有限维可积系被发现 对于经非线性化方法得到的b ”g m a n n 系统，其l i o u v i l l e 意义下可积的关键在于守恒 积分系的对合性和函数独立性前者的意义是流变量的可换性，从而在水平集上张出坐标 网；后者的意义在于完备性，即守恒积分数量足够，从而保证方程能被完全积出b a r g m a n n 系统守恒积分系的函数独立性的最干净的证明，是将流在a b e i j ”o b i 坐标下拉直，直接 用线性无关性来证明函数独立性本文引入的母函数方法直接导出了n 维可积系的守恒 积分 n ，再利用母函数及伴随方程的性质，较简洁地证明了守恒积分的相互对合性和独 立性，从而证明了n 维系统是l i o u v i l k 意义下的完全可积系然后通过引入椭圆坐标和 代数曲线的相关知识，利用a b e l 映射将母函数的h a m i l t o n 流映为a b e l 簇上的线性流， 并利用母函数得到n 维系统的椭圆坐标沿流的演化，从而给出n 维系统的椭圆坐标解， 并最终得出对应孤子方程的拟周期解 本文由8 部分组成：在第一节中，本文首先通过讨论谱问题( 1 1 ) 与构造出的时间部分 的相容性，得到了l e n a r d 序列( 1 2 ) ，并进一步导出了l e n ”d 梯度 跏) 的一般表达式 接着，本文又通过讨论l a x 对u 与k 的相容性，得到了向量场 蕾。) 和( 1 + 1 ) 维孤子方 程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 在第二节中，在特征函数和位势之间的b 州；l i i a n n 约束下，谱问题( 1 1 ) 被非线性化为( 25 ) ，并得到了( 2 5 ) 的积分的母函数；在第三节中，证明了原谱问题对应 的h a m i l t o n 守恒积分 b 的对合性；第四节，通过引入椭圆坐标，证明了守恒积分的函 数独立性，从而证明了此h a m i l t o n 系统的完全可积系；第五节，由引进的一族多项式积分 仇) ，达到了对孤子方程的分解；第六节，借助椭圆坐标 肌) ， ) ，定义了a b e i j a c o b i 坐标毋，妒，并得到了a b e i j a c o b i 坐标分别沿h 流和“流的演化方程，从而为孤子方程的 求解打下了基础；第七，八节，通过a b e l j a c o b i 坐标反演，得到偶数次超椭圆曲线情况下 崩e m n ”ne 函数的表达式，从而得到了孤子方程的拟周期解 2 1l e n ”d 序列与孤子族 考虑谱问题 定义映射 fp 、lf 一 + 钍 ll = l q 几2 ( 护+ 罟) 贝0 谱问题中的u 可表示为 z ” n “八q 以：c 3 ， s f ( 2 ，c ) ” 卜2 吲1 忙以k 。j 考虑谱问题( 1 1 ) 的时间部分：( 以下简记”2 十罟为) 则 p q fg “ 矿2 叽【兰j 2 la ej 卦( 。= 二叫= 2 b ) f 1 1 ) ，。f 、， p q ，ji-l_li、 矿 = 、 p g ， 麓一 砉| 一 咄 妒 时 g 记 耳= 叭 定义l e n a r d 序列 e 蠹叫刮；) o 一4 ( 2 + 吾) l a一24u i 。l 2 ( 护+ 罟) a 9 m = j 9 m + l ，如一l = 0 ，( m n ) 若考虑g = 曼毋一l a ，并取g 一1 = ( o ，o ，一1 ) 丁，卯= ( 9 ；，考，考) t ，则有 t = u ( 一a j ) 玑 故y = 9 ( 鲰) 满足驻定l “方程 k g 、一x j g 、 野一1 a j = 0 kg _ x j = 0 ( 乃一1 一 j = o 0 k m y = o 4 舻( ； ( 1 2 ) a b e 、， 0 0 0 0 以 0 2 0 0 ，j-iill1ii a 、， u “ 妇 a “ 一 u 且p 。 q c = 卜 a 2 2 ” + 0 七 a 一 ，。 、， o o 0 o o 2 0 0 ，。-。- | |j 乩 u 。 ，j-_。-_1 1 一三 1 一 a 耵 缈 等：豆 j ， 一 一 j j 命题( 1 1 ) ；令y = a 协) ，则k 一阿卅= o 的充分必要条件是： 耳跏= t ，舫+ 1 ，如一l = o ，( m = 一1 ，0 ，1 ) 因此，( 如t 一 ( 鲰) k = o ，不妨取d 酣口 溉) = 一g j 嘏一( 9 i ) 2 = 一l ， 则由鲂；一1 = 。，( m o ) 得： 婊= 砩- 1 + u 9 基r 2 ( 2 + 罟) 鳜一， ( 1 3 ) i 靠= 一；砩一- + u 靠一t 一2 ”靠一- 故由( 1 3 ) 及( 1 4 ) 可得，序列9 。，( m o ) 的分量式为 其中 站= a 螺一，+ “如一1 2 ( ”2 + 罟) 靠一1 靠= ；嗽一1 + “靠一1 2 ”赢一1 f 。 1 9 1 = l o l ， 卯= fl 一1 西9 ；+ 考蘸， 靠= o 2 ( ”2 + 罟) 2 t - 一o a ( ”2 + 罟) + 2 ( 2 + 罟) 一a + 2 u ” 2 u ( u 2 + 等) + 罟) ( 鲁) 2 + 。十2 仳2 4 u ( u 2 + 罟) j + ( 2 u 2 一净) ( 连t + 2 “t k ) 警一2 “t k + ( 2 “2 一u 。) u 一4 u 2 ( 2 + 罟) ( ”2 一等) + 4 “”( ”2 + 罟) 5 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 粉系的 1 较 比 l 一 = 2 黔扫 一 醵鳅 一 1 a 一 鲫 瑚 | | n由 叉 考 + 谚 量泌 i l 3 m | | m 0 点抛 = 最 考虑 的非负幂多项式 则有 其中，席 州 ，f 0 1 g n 一毋一1 1 + 1 + l o l j = 。 i 风j 艘t + ( 孙一器) 嘏 c 一- j ，瓯= j 肌+ - + k ( 三 = ( 2 罡：磊二 若令= a ( 瓯) ，由 则l a x 方程 与 的相容条件 等价于 即 j ) g 。) 以。一f + 阿】= o 隆州篙矧 6 一、i、， p q p q 嘏il 盯 ， ，n 【 i 鲧 晓 一 旦沪 户 + + n ，时 一 慰扣 = = 因此，可以定义向量场 墨； 其中 即 “产列 ：化嘉 丽 1h1 却帅 八靠- 。幽 几 il = x 2 ， ( 1 7 ) u ，。 皖穗地”塞：絮骛冀蒜二是荆协卜，击( 1 + ) 噻+ ( 1 挚) 。+ ；p + 紊) “。+ 托 。 + 1 8 ( 1 + 暴) + 4 8 ”3 2 4 7 1 2 ”一睾】”：+ ( 6 u 。一8 “”) ( 2 ”一暴) - 1 2 ( ”+ 睾) 一1 0 一4 + 2 乱3 ”一4 8 7 u ”十6 “删 一( 6 n ：+ 6 。) ( 2 一孕) 一甜2 ( 2 札# ( ”3 + 1 2 1 1 ) + 3 ( “。z 。+ 1 2 “2 h 。) l 一4 u ，( 3 + r 1 ) ( 1 9 ) 吨= 弼= 等+ 6 + 器) 。+ 1 2 “( 2 u 2 + 【2 4 ”5 8 u 3 4 8 l u 2 十1 2 u 。( 2 t ，2 + 2 “ ( 2 3 一“2 + 1 2 “2 t ，2 2 ”5 ) + ；“。”( 1 2 u 2 一1 ) + 3 u u 。 ( 1 4 ”2 ) + 4 讥( 一1 2 u 3 + 6 “z ) 7 ) 卫塑沪 一 2 一u 1 ( ( a 3 1 6 一 一 卜 户百q m 扣。 h ，一丑 射 0 一乩 映兰6 影厂i 投 1 | 是 q 有，i 则 = ， y = i i 幻j 玑 “ ” =，i z = 如争 j 删 n ” ，-t111i 舭 卫栌 ” + 二 m 堡。 + ” 嚷q饥 m 丝沪 啡 豢 蛳万了 塑沪 。 + 沁 啡研 。一 嚏乩 堕伊一 3 r 甜 一 塑。 52 特征值问题的非线性化 考虑谱问题( 1 1 ) 的分量形式 氐：卜栅 劬2 ( 2 + 罟) 。”忏1 ， q 3 “；q 3 设a 1 ，n v 是谱问题n 个互异的特征值，锄，彤) t 是相应的特征函数 记a = d i n 9 ( o l ，- ，n ) ，构造映射n 7 、：c 2 ，c = = ( 咖1 ，2 ，舌3 ) t c 3 i 1 如+ ( 如) 2 = o ) 叱) 一 则对于( 2 1 ) 有 n 西1 一砖l ：v l p ，q 3 由( 2 1 ) 直接验证可知，k v q = o jj v q 成立 构造含一般参数a 的l e n a r d 特征值问题的解如下 命题( 2 1 ) ：若 讣札- 薹恶 。_ v m g 一1 + ；9 1 = v 哟 ，= 1 贝0 ( 耳。一a j ) g = ，( 9 1 2 v n j ) = o j = 1 证明：带入直接验证即可 8 f 2 2 1 ( 2 3 ) ，。 | | 由，t g 一，+ 9 = 墨v q ，整理可得b n r 肿一n 约束为： u = ；p ，q ) 寻吼q ) + ( p ，p ) ( 一2 ( p ，口) 寻+ 7 1 扣，q ) 亭) u = ( p ，g ) ( 2 4 ) 由( 2 1 ) 中的位势u ，”满足b 8 9 m m 约束，将( 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，则谱问题( 1 1 ) 被非线性 化为t 船2 他= 其中， 却+ ；扫，q ) 孚( 吼g ) + ；p ，砷( 一2 ，q ) 寻+ 7 1 扫，q ) 寻) 扫+ 2 ，口) g = 一哿 2 ( 伽，g ) + 7 1 扫，g ) 寻) p + a g l 。，g ) 警( 吼口) + 加，p ) ( 一2 扫，g ) 寻+ 饥扫，g ) 警) 】g = 器 p = p l ，p ) t ，曰= ( 叮l ，”) 丁，a = d i n g ( 8 i ，o v ) 巩= ( 却，q ) + ( ，口) + 1 1 扫，g ) 寻) 扫，p ) 一，g ) ( q 】q ) 由前述( k a j ) g = o 知，驻定l a x 方程k 一暇v 】= o 沿x 流有解 则由g 的定义有 + ( l 告2 勺 & + 聂最 j = l 。 ( 。慕苏 q ) ( p ，口) 9 ( 2 5 ) 塑一a 口 ， + 堕q八_， 阢二 扎 0 2 一 埘 十 0 斗 卜 2 p d撕撕 乳 a 其中，记 卜。1 + f 。v 卜 o 2 0 2 + 罟)o ，。、h 劬一霹1 勺2 以【讪，j - i。j q ；一p ，q j o ，怍。、一导且一子! = 塑 q ( 钿) 2 暑最2 丕带 由驻定l 一方程娃一【u 明= o 可知，b = d e t u 沿x 流是不变的。因此可得( 2 5 ) 的积分的母函数为： b = ：d e u 其中 ： 一 2 一如( ”2 + 罟) + 4 a 口a ( p ，q ) 一4 q i ，g ) + 4 ( u 2 + 罟) q x ，p ) 一4 u q ( q ，q ) + 4 q ( p ，p ) q ( q ，口) 】 = 一c 等+ 州一 + 薹华一善六c 件善一。 ， 帆 一 击 。o k = 0 + i 未可( ) 叫芸扎，+ 争民 昂 r + ( + n i ) 一 j 一 + 冲j 崔一1 f 2 6 ) + ”l 一 一 + 件j = 一1 击六 譬 2 3 一3 口 叮 p p + 一 3 守恒积分的对合性 视母函数毋为辛空间( 冗”，d p 由) 的一个h a m i l t o n 函数，设其流变量为奴 丢= ( 蕊) 一 可得： d 瓦“ 去一扣罐忐+ 一f m 1 iq t 鳓 去( ：) 卜m 旧，忡) 忐卜，( ：) ) + 去曙心卜m 柚( 一) = 【( a ，o t ) ，“ 1 l p 2 a d ， 坶 旦沪 0 偿 土乩去 触 土妒 去 纠 翌沪三阶 去 同 三舻 = 衄 土妒 = f记若 由 曙u “一。、ifo 一。 吲砷l 。j _ _ i ，。p 命题( 3 1 ) ：设1 肛，由吆= ”+ 薹吾得 n 杀= ( 九p ) ， 证明：由于 则 志【w ( a 矧蚓= 再希习+ 兰州 击c 燕一忐，引+ 器，勺x p 、p n jx n ：j i t p n l j j 惫u 去j _ 【惫，盎 击k = 等+ 薹喾马丢勺 在( 3 3 ) 式中 而 = 【w ( 凡毗k 】+ 会+ 芒笔，a 一川一( ，z 皇五，a 一川一f ( a ) ，川= h a 一“ 9f 。 。卜2 + 旷薹普 2 ”( 1 ) 一 j = j 0 会= 丢( 咖：罟，：) = 。( 即一，杀毒) 1 2 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) p 、lj l o 一 1 o ， 、， 0 h “ + o 一 ，。 其中， 则可得 象= 杀 k 击c 杀 ，瓦2 瓦 ”丽【瓦 ) = 毒禹十t ；+ 象嗟禹 u 蛾宪) = ( 2 ( 。髻巍 挚b ，姜岳1 1 由( 3 4 ) ，( 35 ) 可知，在( 3 3 ) 中 故( 3 3 ) 式变为 未薹燕+ c ；+ 器嵩告 o 等+ f 毪a 4 h 岬洲= 。 击= f w ( 九肛) ，j 推论( 3 1 ) ：( 兄，b ) = o ，v a ，肛c 证明： 由( 3 1 ) 可得，击d e t k = o ，即蠢= o 则凡沿h 流是不变的而这恰为p o i s s o n 括号 推论( 3 2 ) ：( 乃，r ) = o ，va ，肛c 号( 岛，风) = o ，w ，= 0 ，1 ，2 1 3 证毕 证毕 如曲 旦蛾 芦 + 卿 玢 旦蛾 赳 上舻 = 苦瓮 伊础 乱 一町 一a 触 前丽 证明 最 ( 芸怕) + 曼a = 0 毋：一( 譬+ r i ) 则由推论1 得：( 毋，昂) = o ，vj ，= o ，1 ，2 + 肛一h b = 0 因此 n ) 是原谱问题对应的h a m i i t o n 系统的对合的守恒积分 证毕 4 椭圆坐标与函数独立性 因为在u 中，h 2 ，1 为a 的有理函数，故可令 f 。地删地萨2 ”瑞 1 场2 ( n 罟) 棚舶埘_ 2 ( n 罟) 器 其中， m ( a ) = n ( a 一肛j ) ，n ( a ) = n ( a t 。) ，n ( a ) 一n ( 一o j ) ， 则 m ) ， 被称为h a m i l t o n 系统的两族椭圆坐标 若将k 2 ，k l 按a 一1 的幂进行展开，并比较a 的系数可得； ( p ，p ) = 2 ( q j 一“j ) ( g ，q ) 一2 ( u 2 + 罟) ( q ) 舳，一 阢刊 2 + 塞 缸矧邓。 匿c q 叫 另一方面，由于职= d 酣y ( a ) = 一 ( 啼+ 2 1 ) 仅以n 1 ，o 为一级极点，故可 表示为 最一：器一j 器 其中，6 ( a ) ：节2 ( a 一岛) ，r ( a ) ：。( a ) 6 ( a ) ，d 叼r ( a ) ：2 + 2 则 r ( a ) = n ( ) b ( a ) = n ( ) ( 一4 n ( a ) f 、) = n 2 q ) 嵋+ 4 ( u 2 + 罟) m ( a ) n ( ) ( 4 2 ) 利用r ( a ) 的l a u r 龇l t 展式可得到 在前面的讨论中，我们已知y ( p ) ，p r 沿如流演化的l “方程是 1 5 l4 、li、，_l， 跨 、， 一 哆 旧 卜芦 陋 + 曲曾 掣篇埘 j j i l 町畸 霄倒 ，、【 其分量形式是 f ! 皂誊垃= ( 一2 肛+ 4 q ( p ，q ) + 2 ) h 。( p ) 一( 4 ”一4 。p ，p ) ) k - ( p ) i 掣- 【4 ( n 罟) + 4 刚删) 卜吲酬却+ 4 卧咖) 域) 吲肛) 因为 噤 m n ) 1 n ( 入) ( 一，上女) 竹r ( “七) n ( a ) l 。( ) ( a l ) 他( 飞) “一jl l f 丽雨一万矿虿矿丐f 研 当j 1 时，l a u r a n t 展式中p 一1 的系数是o ，则由c a u 吐l y 积分定理得 去j f 拦淼+ 糕= 糕 对于某一固定的a o ，引入拟a b e l _ j a c o b i 坐标 故 再一薹( 。篇札 同理可得 薹c 高妣川s ， 要一薹高筹一瑞薹高 a 一j o ( 川 d 奶一 砒 1 6 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 瓦兰州 p 一肛 二 一a 。 眦由要= 等 ( 炉黔呦知 d 奶 d “ 其中，山按如下方式确定 _ - j1a 可可2 万两i 万丽 1l 如( 1 一警) f 霸 = 专c + 睾+ 等川 万再_ 三了万1 = 1 + a 1 z + a 2 2 2 + ( 1 一0 1 。) ( 1 一n 2 z ) ( 1 一d z ) 一1 。吖。 记一t 一a ，前几个是； j = i 另一方面 a 1= 盯1 a 2 = ( 叻+ f ) a 3 = ；( 2 如+ 3 观仃1 + 盯 ) 婺= 哂 一粪击m ，= 粪击玺一薹击 再捌2 薹去鬻 则比较( 4 6 ) 与( 4 7 ) 中的系数知 罄= 札， 若取a o ：1 ，a j ：oo = l ，2 ，) ，则 同理 老叫，缸。缸舻 蓑= ( - 雕，也咄咄- ) 7 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 命赢( 4 1 ) ：由( 2 6 ) 给出的f 0 ，f 1 ，f 一1 是函数独立的 证明；对乒用列向量记法：；= ( 声”，知) ， 则 ，枷脚却、 、d t o 班1 d 抽一l 1 a la 2 a 一1 1 a 1，a 一2 a 1 1 由于甏= ( 而，n ) ，故矩阵( ( 而，最) ) w - 非退化 一i 设微分d f 0 ，d 毋，d f 一l 的线性组合为零，即饥d 兄= o 量= 0 由p a s s i o n 括号与辛流形“，2 = d p d g 的关系式： ( 日，f ) = 2 ( d 只，d 日) 若令上式中盯= 而，f = r ，则有 一1 1 k ( 而，最) = o ，j = l ， k = 0 由矩阵( ( 面， ) ) 。非退化，故所有饥为o 因此微分d f 0 ，d f l ，d f “线性无关，守恒积分系 昂，f l ，n 一1 ) 函数独立 1 8 5 多项式积分 风) 我们用下列方程定义一个新的守恒积分的母函数 一4 足= 2 ( 1 2 日 ) 2 它的幂级数展开式系数给出一组新的守恒积分 ( 5 1 ) 凰= 一m ，日l = f 0 ，岛一f 1 + 1 ，风= 一1 1 昂+ f 2 仇十l ：凤凰+ 以，：o ，l ，2 ，) ，巩：曼矾a 一 一2 ( 5 2 ) 5 + # = k 一1 k = 0 定理( 5 1 ) ：( 1 ) b ”g m a n n 系统的守恒积分巩， 矾) 两两对合； ( h 0 ，日 ) = o ， v a ，肛c ； ( 玛，凰) = o ，= o ，1 ，2 ( 2 ) 由( 6 2 ) 给出的守恒积分凰，日+ ，日l 是函数独立的 由于线性算子j 的核的维数为l ，生成元为g 一1 ，则将j - 1 k 作用于约束方程( 2 2 ) 作用k 次，每次产生一个积分常数c j 得： 2 “；v o j = 乳+ 1 + c 2 驱1 + c 3 珊一2 + j = l 其中c 0 = 1 ，c 1 = o ，c 2 = 2 1 l 在( 5 3 ) 两边乘以a 一_ 。，并对k 求和得 其中，以：1 + 量吼+ 2 一一2 k = 0 将线性算子a 作用于( 5 4 ) ，并取行列式，依次得到： 则由( 5 1 ) 有 u = a c 口( 以) ，4 f = 一a 2 c i “= 1 2 风 1 9 ( 5 3 ) ( 54 ) ( 5 5 ) 一+9q m | 一92 + “ + 因此，在b a r g m a l l n 约束下 舐= 琊一2 风) 叭鲰= 高g = 是 ( 5 1 6 ) 定理( 5 2 ) 设p ( z ) ，g ( z ) 是b ”g m n 系统的解，则 ( ：) = ，。，= ( 5 扫) q ) 寻妇 g ) + 2 三i 扫g ) 孚+ 饥扫川) 寻) 证明：考虑多项式 x n + c n j l x n _ + + c n ? n l x o = o 将( 5 3 ) 中开始的n + 1 个等式作线性组合，组合系数为多项式n ( a ) 的系数，得； o = 2 n ( a ，) v n j = 9 + 1 + c ，v ，19 + + c ，_ + 1 卯+ c ，十2 口一1 j = l 用q p 作用于上式即得结论 袅= 一m h ：) ( 5 7 ) n + 一 o+ a i | q 一 触 i | an = “ 莹脚 = 心 计州 珈 = f 吃 ， o o 甚吲f = c ， ， = 吼 m 中其 特别的，7 1 = n 由守恒积分的对合性( 吗，矾) = o 可知哆与 是相容的【1 6 1 因此，v 上“可视为 厂上 的向量场，而微分 恰好将，v 矾映为限制在m 上的向量场扎- 1 命题( 5 1 ) 二 j v 风) = ；。p 叭，a c ，v 日k ) = 地一l，= 0 ，1 ，2 证明：由正则方程( 3 1 ) 知： v 巩= 恚v 乃+ 2 地v 风 因为 ( j v 风) = 贾高 ( ，v n ) = 贾去 ( j v 足) 而 c ，v r ，= 杀( ：) = 丢 ，( ：) = 蕞( ：) = q p g 因此， ( j v h ) = x 丢q p g a = ；q 尸以 。一乩。一现 的相容解，那么由b a r g m a n n 约束( 1 4 ) 给出的“( z ，) ，”( z ，) 是孤子方程( 18 ) 的解 。一乩。羽凰 6e 函数与流的拉直 定义：设b 是对称且虚部正定的阶复矩阵，则n 元e 函数可定义为 e ( ( ，8 ) = e 印( 丌 ( 口z ，z ) 十2 刊k ，z ) ) ，e c z z 且e 函数具有以下性质： ( 1 )e ( 一e ) = e ( e ) ； ( 2 )e ( ( + 靠) = e ( 一 ) ； ( 3 )0 ( e + b k ) = e ( ) e 印【一州( b 挑+ 2 “) 】 其中氏= ( 如k ) 。1 ，风= ( 马k ) 1 对于本文中所对应的超椭圆函数曲线r ，亏格为n 取r 上的正则闭链，n r ；6 1 ，6 2 ，使其满足 啦。q = o ，6 o b = o ，吼。b = 则r 上的n 个线性无关的全纯微分基底瓴= 筹丢高，( f = l ，2 ，) 令r = ( f ) 。为周期矩阵( a “) 的逆，即 则西可经线性变换规范为 r = ( a 1 ) 斌，锄= 面 j n 0 = 1 ，2 ，) ( 6 1 ) 使其满足： 五。叻3 置竹? 止，西2 如 ( 6 2 ) 五岣= 嘞 ( i ，j = l ，2 ，) 由r i e m a n n 双线性关系知，矩阵( ) 。对称且虚部正定，因而此时可定义r 上的e 函 数： e ( e ) = e z p ( 7 r i ( b z ，z ) + 2 7 r ( ，z ) ) ，( c 。 ( 6 3 ) z z t 1 | 哟 此时，对于固定的 o 点，定义a b e l - j a c o b i 坐标如下 ，0 ，p 归备k ) 叭 ，昌，9 ( h ) 归备k ) 。 由于d e 9 r ( a ) = 2 + 2 ，所以对于同一个 ，在r 上的不同叶上有两个点 p + ( a ) = ( a ，2 扣丽) ，p 一( a ) = ( ，一2 扛丙) 因此，在o 。处的局部坐标z = a _ 1 下，r 的仿射方程2 = 4 r ( z _ 1 ) 在o o 处化为 e 2 = 4 风( z _ ) 其中o ：z _ + 1 er + ( z ) ：z 2 _ + 2 矗( z 一1 ) ：2 舒2 ( 1 一z ) j = 1 故两个o o 点可表示为： o 。= ( z = o ，e = ( 一1 ) 5 2 ) = ( o ，( 一1 ) 3 2 ) ，s = 1 ，2 设玩，r 为矩阵r 的列向量， 引理( 6 1 ) 尝= 嘉( m ” 我们可得到以下结论 1 + r 2 a 一2 + + r _ ) ( 6 4 ) 等= 志( 蹦肛1 偈旷2 h + r ”) 证明： 由于蓑= r 芸，将要= 等；! 作线性组合，组合系数为凰，r ，即得第一个方程 由于 r ( a ) = 一4 f 、0 2 ( a ) = a 2 ( 1 2 日j ) 2 n 2 ( a ) = a 2 c i 2 n 2 ( ) 则、，倭两= c n ( ) ，所以 堂一 ! d 击 d ha 2 ( 1 2 f ) d 丁 = x 曩丁南( r ，a 一l + r z a 一2 + + r ”) = i 了去丙( r t a 1 + r 。a 一2 + + r ”) 引理( 6 2 )令瓯= f + a 5 + + a + 2 ，则有下列展式 志= 酗一_ 2 2 3 证毕 其中 a 0 = 1 ，a 1 = ；岛，小= 去( 鼠+ ，差。岛。) ，j 1 证明：由一l n ( 1 一) ：萎一1 矿得： n 蒜= 一瘩，吣一番薹扣“m 丽5 一i 备“l 【卜贡户色磊“ 将上式两端关于a 求导，通过比较 的系数便可得出结论 证毕 命题( 6 1 )若定义a 一。= o ，0 = 1 ，2 ，) ，则有 害：曼咐“，警：n 。 如鲁 d 。” 其中，n o = o ，n 1 = r l ，n k = ( a k 一1 r 1 + + a 1 。吼一l + r k ) ，( 七= 1 ，2 ，) 证明： = 蒜( 蹦。1 + 嘞一+ + 跏一) = 曼a k a k 1 ( r 1 a 一1 + r 2 a 一2 + + r ，a 一) = 1 ：登a 击2 竺1 通过比较a 一一2 的系数可得： 舞= 吼 证毕 注：同理可得 麓= 一 因此有下面的定理； 定理( 6 1 ) ：( 流的拉直) 鬟砜，差一n * ( 6 s ) d d 经过直化的方程( 6 5 ) 可以很容易被积出 曲= 如+ f 2 k 在“a b e l - j a c o b i 窗口”中观察，风流与虬流二者的解都是线性函数： ( 1 ) “流：= 毋o + n k n ； ( 2 ) 磁流：咖= o + n 1 茁+ n k 亿 2 4 7a b e l j a c o b i 坐标的演化 设由2 个向量 白，马) 张成的格点集是t ，则t 同构于z ”的加群因此，商空间 j ( r ) ：c 归是n 维环面，称为j a c o b i 簇取r 上一固定点p o = p ) ，定义a b d 映射： a ( p ) = 其中u = ( 叫l ，“心，_ ) t ，p o ，p r a b e l 映射的定义域可经线性扩张到因子群d 如( r ) 上； a ：d 西( f ) 一j ( r ) ，a i n 桃) = n 纠( 蹦 ，h n b = 1= 1 其中， p k r ，n k z 重写a b e l j a c o b i 坐标如下 咖= 4 p ( 脚) ， j = l j v 妒= 4 p ( 吩) ) ，= 1 f 7 1 、 毒p ；= c k ( r ) 一：妻；r e s a d f n 9 ( a p ( a ) 一曲一) 。，。， i ；美哆= c 。( r ，一：至。r e s b d l n e ( a t ) 一妒一) 。 其中，仅( r ) ；登止，舻叫 = l 。 由于 a ( p ( ) ) = a ( p ( 。一1 ) ) = 4 ( p ) = j 磊u = 一正急w + 。u ：仉+ 登肠。何： f = l 。 仉+ 掣量且仨，铺 f 7 3 ) 其中， 仉= 盛u ，s = 1 ，2 而 因此， 毕耋r i 仨。听= ( 一1 ) 8 芷。号萧( 风 _ 1 + 如 - 2 + + r n a 刈) = ( 一1 ) $ 。a 黑n a m 以 = ( 一1 ) s 仨。( 一刍) 。墨n 。脚如 ：( 一1 ) 州萎 n = ( 一1 ) ”1 n 榔) ) - 飞+ ( _ 驴。1 薹渺 故在局部坐标z = a 一1 下，( 7 2 ) 在。附近的幂级数展开式为 ( 7 4 ) ( 酬a ) 一庐叫= 椭( + + 1 5 + ( _ 1 ) 5 量 n ) = l n e ( + k + q 8 ) + 熊扩 k = 1 f 7 5 ) 2 n 。( a p ( a ) 一妒一七) = f n e ( 一妒一七矿+ ( 一1 ) s 一1 量 n k z ) 。 = f n e ( 一妒一一矿) + 髭z 其中，7 i 匆l o r 展式的系数髭与堙可由求导的链式法则计算得到 将( 7 5 ) 带入到( 7 2 ) 得 = “( r ) 一女程 j = l 兰哼= 卵) 一女冗 库 霞 若记岛= 老，啄= 最，那么由e i n s t e i n 求和约定，最终可得 其中( s = 1 ，2 ) 驴孵蚴。鼍， 盯。6 妻哼= 岛( r ) 一噶岛l n 鲁 一n 瞄强l n e ；e ；， 以= 口渺+ 耳+ 仉) = p ( n r + 如+ k + 啦) 睢= 口( 一妒一一仉) = 日( n b 一妒。一一啦) 若记z = r 1 ，”= 丁2 ，忙，则由复合函数的求导法则，( 7 6 ) 式可被简化为 主脚= q ( f ) 十以1 n 鲁， ，= l 墨嵋= 岛( r ) + l n 蚤一理1 n e ，e 。壹嵋= 岛( r ) + l n 蚤一理1 n e l e 2 j = j ( 7 7 ) ( 7 8 ) ( 7 9 ) ee 0 冲a k 1 7 1 罄叁 n n 岛 岛日：p喈 + + ) ) r f ( ( a q = 一 脚嵋 苎纠，触 睇 e 霹 置哪堕 h m 以 西 一 一 q 岛 = j i 岭哆 ，：巨。硝 8 拟周期解 由( 2 4 ) 及( 2 5 ) 式知，位势u ，t ，可由椭圆坐标表示为： 。： 萎( 0 。一t 。) + 嘉+ 器基( 心一) = 暑( 0 。一t 。) + 杀+ 器暑( 心一) _ ；南。薹c 脚刊 则将( 7 9 ) 中= 1 的情形代入( 8 1 ) 的第二式中有： ；击：苎( 蜥一q ) 4 u + 警夤”1 7 = c l ( r ) + 瓯轨赛一c 1 ( r ) + 鼠h 鼍 = 如m 赘+ 如轨鼍 = 以? n 糕 上式两端关于x 积分有： ”： ( 器 ， 5 其中，s = 1 ，2 ；c 0 与n = z 无关。但却依赖于r 2 = ，码= ，q = 因此： ( 8 1 ) u = 5 釜( 哟一q ) + 品+ 孙羔( 一q ) = 登旷 卵) + ；讪善+ ；【( 龋) 4 e 哪r + ； ( 黼) 4 e c 0 1 _ 1 讪嚣 其中， 以= 口( 庐+ k + 仉) 9 ：= 日( 一妒一一7 7 s ) 目( n k 靠+ + + q 。) 口( n k 仉一咖一k 一仉) fu = ”黜毒+ ； ( 龋) 4 e c 0 _ ，- 一5 + ； ( 篱) 4 e c o1 _ 1 讪黼 【。一 ( 麓) 4 e 。1 5 2 8 其中，( 8 = l ，2 ) ”密。一如， 以= 口( n 1 士+ 乒+ j r + 啦) 畦= d ( q 1 口一妒一k 一仉) 知与q = z 无关，但却依赖于色= 玑= 幻4 = 命题( 8 2 ) ；( 1 + 1 ) 维孤子方程( 18 ) 的拟周期解为 f “_ a l + 讪毒+ ； ( 器) 4 e c 。呻广+ f ( 撼) a e c o 呻 讪糕 ( 誉) t e c o 呻】5 其中，( s = 1 ，2 ) 仆j 薹一如， 臼。= 口( n l z 十n 2 掣十庐+ j f + 仉) p ：= 9 ( f 2 1 嚣+ 2 2 可一咖一k 一叩。) c 0 与7 1 = 。，码= ”，无关，但却依赖于码= t ，q = 命题( 8 3 ) ：( 1 + 1 ) 维孤子方程( 1 9 ) 的拟周期解为 fu 幽+ ；讪基+ ； ( 篱烨c o r + ； ( 篷) t 驴 讪篱 ( 拦) t 一呻 5 其中，( s = 1 ，2 ) ；g l ( r ) n 闰 l 一3 = 4 以二口( n 1 茹十n 3 酊+ 曲十j r + 仉) 口：= 一( q 1 茹+ n 3 t 一妒一一f 7 s ) c 0 与n = z ，= f 无关，但却依赖于匏= g ，q = 参考文献 【1 】 2 】 曹策问，a k n s 族的l a x 方程组的非线性化，中国科学辑，7 ( 1 9 8 9 ) 7 0 1 a u t o n o w i c s ，r a u d l 一w 0 j c j e d l d w s 姑，h o wt oc o n s t r u c t 丘n i t e - d i m e n t i 帆a lb i h a m i l t o n i