（基础数学专业论文）一类子切饼集的hausdorff维数.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 作者签名：型) 霉亟 日期：兰丝：乏：兰 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：塑二墼 导师签名： 日期：地：兰：垦 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 摘要 本文介绍了切饼集及子切饼集的定义，阐明了子切饼集是如何产生的，并 给出了一个计算某一类子切饼集h a u s d o r f f 维数的方法利用g i b b s 测度和压 力函数，我们得到了这一类子切饼集的豪斯道夫维数以及产生该类子切饼集 的符号集的豪斯道夫维数，这两者是相等的 关键词：切饼集，子切饼集，h a u s d o r f f 维数，测度，压力函数，g i b b s 测度 5 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y 华东师范大学 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fc o o k i e - c u t t e rs e t sa n ds u b - c o o k i e - c u t t e rs e t s ，d e s c r i b et h eg e n e r a t i o no fs u b - c o o k i e - c u t t e rs e t sa n dg i v e am e t h o dt oc a l c u l a t et h eh a u s d o r t fd i m e n s i o no fac l a s so fs u b - c o o k i e - c u t t e r s e t s b yu s i n gt h eg i b b sm e a s u r ea n dp r e s s u r ef u n c t i o nw eo b t a i nt h ee x a c t f o r m u l ao fh a u s d o r f fd i m e n s i o n so ft h e s es u b - c o o k i e - c u t t e rs e t sa n dt h es y m - b o l ss e t sw h i c hg e n e r a t et h e m t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n so fs u b - c o o k i e - c u t t e r s e t sa n dt h ec o r r e s p o n d i n gs y m b o l ss e t sa r ee q u a l k e yw o r d s ：c o o k i e - c u t t e rs e t s ，s u b - c o o k i e - c u t t e rs e t s ，h a u s d o r f fd i m e n s i o n ， m e a s u r e ，p r e s s u r ef u n c t i o n ，g i b b sm e a s u r e 6 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 第一章前言 迭代函数系统生成的分形集是分形几何的的一个重要研究分支h u t c h i n s o n 在 1 】中提出了自相似集的概念并证明了：对一系列压缩比为n 的压缩映射& 来说，存 n 在唯一紧集满足e = u & ( e ) ，而满足前式的紧集就称为自相似集在开集条件满足的情 i = i 况下自相似集的h a u s d o r f f 维数与自相似维数相等，即当存在非空有界开集d 使得 【j & ( d ) cd i = 1 & ( d ) n 岛( d ) = di j 时，自相似集e 的h a u s d o r f f 维数d i m h ( e ) 为8 ，其中s 满足嵋= 1 是e 的自相似维 数尔后，在研究自相似集的基础上，f a l c o n e r1 9 9 5 年在文献 2 】中提出了子自相似集的概 念并研究了其h a u s d o r f f 维数在若干压缩映射& 给定的条件下，满足e u 銎。& ( e ) 的集合e 称为子自相似集它是由符号空间中某个满足条件盯( j | | c ) 尼的紧集咒在投 影映射下产生的并且它也只能以这种方式产生在开集条件满足的情况下，子自相似集 的h a u s d o r f f 维数8 满足 、1 七 恕( r f ) = 1 i 6 厄k。 随后，m c c l u r e 和w v a l l i n 在【3 】中对子自相似集的结构和稠密性作了讨论，陈二才和熊 金城在【4 】中改进了子自相似集的维数计算公式，s h i n m o t o 和t a k e o 在【5 】中利用g i b b s 测度计算了一类特殊子自相似集的h a u s d o r i t 维数这些研究对象都是自相似集的推 广，也就是说是由一些线性映射迭代产生的分形集，那么对一些由非线性映射迭代生 成的分形集情形如何呢? 本文主要讨论由非线性映射迭代生成的切饼集的推广一一子切饼集的h a u s d o r f f 维数问题直线上的切饼集是一类由非线性迭代生成的典型的分形集，它可以看作是 一种“非线性的康托集”，是自相似集的非线性推广b e d f o r d 在 6 】中对一维空间中的 切饼集作了详细的研究，引入了切饼映射及其对应的切饼集的概念，并给出了关于切饼 集的h a u s d o r f f 维数公式l i a n g ，y ua n dr e n 在 7 】中讨论了高维空间中一类切饼集的 h a u s d o r f f 维数及谱函数等问题本文将依照f a l c o n e r 先生研究子自相似集的思想提出 子切饼集的概念，讨论子切饼集的生成并就一类特殊的子切饼集计算它的h a u s d o r f f 维 数在第三章中我们给出切饼集和子切饼集的概念并指出子切饼集的产生过程( 这一过 8 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 程的证明完全参照【5 】) 在第四章中我们利用压力函数和g i b b s 测度给出一类特殊子切 饼集的h a u s d o r i f 维数并通过矩阵理论证明了一定条件下该维数的存在性 9 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 第二章预备知识 文中所述需用到符号空间、测度论和矩阵的相关知识，简述如f ： 设m 为大于等于2 的整数，记k = 1 ，2 ，m ) 为m 个不同符号( 字母) 的集合 记，密) = 卫= ( z l z 2 x n ) lx j 1 ，2 ，m ) ，1 歹n ) 表示所有长度为死的符号 序列，约定，船) ：仍 记，翁表示所有长度有限的符号序列全体，即 j = uj 船 n en 若星j 翁) ，我们用l 互l 表示星的长度；用r 表示去掉互的最后一个字母得到的符号序 列 记j 等) = 兰= ( x l x 2 z n ) 1 1 ，2 ，m ) ，歹= l ，2 ，) 表示无穷长的符 号序列的集合 设x ，) ，记 矗= 里= y l y 2 鼽j 等) ：y l y 2 耖幽= 互) 五称为j 等中的一个柱集，它由前l 星1 个符号恰为星的无穷符号序列组成若互，翌 ，譬) ，则或者五n 毛= 0 ，或者一个柱集包含在另一个柱集中 定义左移位算子盯：，等) 一，辨为盯( z lz 2z 3 ) = ( z 2z 3z 4 ) ，从而a - ( z 1z 2 ) = ( z n + 1z 2 ) 我们用ln 表示截取某一序列的前n 项i r - - i g 算，即 ( x lx 2x 3 ) i n = ( x l z n ) 设p 是x 上的测度，如果对每个有界集a 有弘( a ) 0 ，c 0 使得 i d f ( x ) 一d f ( y ) i c l = 一y l 叩，z ，y 墨ux 2u u 义r m ， 即d f 是l n 一阶h 5l d e r 映射。且 耐，i d f ( x ) l 1 ， x e x i u x 2 u u x m 。 。 其中d 厂( z ) 表示，在z 的微分，z x 1ux 2u u 注意在上述定义中并不要求，是线性映射 定义2 设厂为切饼映射，则称集合e = z x 1u 咒u u ：，知( z ) x 1u u ux m 对任意k 之0 都成立、为相对于映射i 的切饼集，这里f k 表示f 的第k 次迭代 那么e 是在，的迭代下始终保持在x 1u 托u u 中点的集合由于e = n 南0 0 ：of - k ( x ) 是由递减的紧集序列生成的，故集合e 是紧的，并且是非空的 显然，e 在映射，下是不变的，因为z e 当且仅当f ( x ) e ，即 f ( e ) = e = f - 1 ( e ) 有关切饼集的讨论可详见 6 】，下面我们利用f a l c o n e r 【5 】定义子自相似集的想法引入子切 饼集的概念 定义3 设 为切饼映射我们称非空紧子集e o 曼x 为相对于f 的子切饼集如果 岛2 ，( 玩) 1 2 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y 华东师范大学 设，是切饼映射，定义 只0 ) = f - 1 ) nx ，i = 1 ，2 ，m ， 则只分别将x 双射到k 上于是 f ( x ) = z x t ， z 由于，是一个在紧集x l u x 2 u u 上满足i d f ( x ) i 1 的连续可导函数，故存在数0 a b 1 ，对任意的z x iu 恐u u ，满足1 1 b i d f ( x ) i 1 似 o 。由此 推出反函数f 1 ，毋，是可微的，且对z x ，a i d 日 ) i ，i d f 2 ( x ) i ，i d ( z ) i b ，由微分中值定理，对i = 1 ，2 ，m a i x y i i 忍( z ) 一只( 可) i s i x y i ( z ，y x ) 考虑到上述讨论，我们定义切饼集和子切饼集分别为满足 和 e = = u f i ( e ) i = 1 的x 的非空紧子集 由定义可直接看出切饼集必定为子切饼集，所以子切饼集是切饼集的推广 我们将利用符号动力系统研究子切饼集定义毋上的度量为 d ( x l x 2 x k x k + l ) ，( x l x 2 z 七鲰+ 1 ) ) = i 恐1 i i 咒2 兄k i ，t k + l y k + 1 当两序列完全相同时，约定j = 0 ；而当它们的第一个字符不同时，显然蠢= 1 注意到，若 互= ( z l z 2 x 3 ) 毋) ，则恐。矗。全民。o 疋。o 。b 。( x ) 随着k 的增大而缩小，最后收 缩为一单点 设互= ( z l z 2 z 知) ) ，令 1 3 z z 1 耳 焉 ，j、【 勖i 乃 m u 汹 c 一 勖 x b oo e o 匕 n 脚 = 动“ e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y 华东师范大学 由( 2 ) 式可以看出b ：是压缩映射，所以7 r ( 蓟只与互有关，并且若设z 是x 中任意一 点，我们有 丌( 曲= 1 i r ab lo 尼2o oe - ( 名) 由( 5 ) 式容易验证映射7 r 是从砖) 到x 的l i p s c h i t z 映射，从而是连续的而集合 b = u ：r 毋) 7 r 眨) 正是满足( 3 ) 式的切饼集 由于7 r ( 互) 只与星有关，也就是说，字符的顺序决定了最终的点的位置，所以映射7 r 的像的性质完全由符号空间中产生它的序列性质所决定现在令| | | c 为瑞) 的一个紧子 集，它对左平移算子运算是封闭的，即：若( x l x 2 2 3 ) 疋，则( x 2 x 3 ) 尼我们下面将证 明，具有这样性质的序列集合在7 r 的作用下正是子切饼集，而子切饼集也总是以这种方式 产生的 定理1 设 是切饼映射，它在各x 上的反函数记为f 1 则是相对于f 的子切饼集当 且仅当e o = 7 r ( 咒) 对某个砖的紧子集瓦成立，其中咒满足 ( x l x 2 x 3 ) j i c ( x 2 x 3 ) 疋 证明：设j i c 是满足( 6 ) 式的毋的紧子集，考察集合7 r ( 瓦) 若z 7 r ( 咒) ，则对所看的 z x ，存在x = ( x l x 2 x 3 ) 使得 z = 7 r ( 互) = 。l i m 兄lo 尼2o o 咒k ( z ) 撑+ 由( 6 ) ，互，= ( x 2 x 3 ) 瓦所以 z = e 。( 丌( z 7 ) ) 兄。( 丌( 咒) ) 从而7 r ( j | l c ) 满足( 4 ) 式 反过来，假定岛是满足( 4 ) 式的x 的紧子集定义 瓦= ( x l x 2 x 3 ) ： i f ( x k x k + 1 ) e o ，vk n ) 显然，条件( 6 ) 是满足的因为e o 是闭的并且7 r ：础) 一x 是连续的，所以7 r 一1 ( 岛) 是 闭的，从而尼= n 茫l ( z 4 x 2 x 3 ) ：( x k x k + l ) 7 1 - - - 1 ( e o ) ) 是闭的，因此是紧的由 咒的定义可明显看出7 r ( 咒) e o 下证反向包含关系设p o e o ，则由( 4 ) 式，存在 1 x l m ，p l e o 使得p o = b 。1 ) 类似有，p l = 足。( p 2 ) ，1 x 2 m ，耽e o ，以此 1 4 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 类推我们有：对任意的k n ，7 r ( x k x k + l ) = n 器知咒。o o ( x ) = p k 一1 昂，特别， 伽7 r ( j i c ) ，所以，岛冬7 r ) 构造满足( 6 ) 的集合关键在于要找在左平移算子作用下轨道的闭包 如果 ( z 。z 2 ) 础已给定，则集合j | c = 可瓦瓦五厂瓦酣吁满足( 6 ) 从而在投影映射丌 的作用下产生子切饼集 1 5 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 第四章一类子切饼集的h a u s d o r f f 维数 在这一章中我们首先引入满足( 6 ) 的一类特殊的序列集合，然后介绍该集合具有 的有界变差原理，利用压力函数和g i b b s 测度得到此序列集合及其产生的子切饼集的 h a u s d o r f f 维数，最后引入诱导矩阵的概念，利用p e r r o n - f r o b e n i u s 定理以谱半径的形式 将子切饼集的h a u s d o r f f 维数表示出来 令f = g l ，彭，型) 为j 密+ 1 中的某一有限子集，其中口1 ，z 1 ，定义，等) 中 的子集为4 ( f ) = 互j 等l 巧巧+ l + q f ，v j n 由4 ( f ) 的定义容易看 出：任意的星= ( x l x 2 z n ) 4 ( f ) ，a x _ = ( x 2 x 3 z n ) 4 ( f ) ，也即a ( f ) 是满 足( 6 ) 式的序列集合，所以它在投影映射的作用下的像是子切饼集 在下面的讨论中，记 c = ( m a x i x 堡惟= ( o j ) ，q + l f ) ) 南 1 ( 8 ) 在空间a ( f ) 中我们引入度量d ，对互= ( x j ) ，堑= ( 协) 4 ( f ) ，定义 io ， 若互= y ， d ( x ，型) = 1 ， 若x l y l ， 瓦。砑q 。i ，若对某个n 有互l n = 纠n 且x n + l y n + 1 我们用( 4 ( f ) ，d ) 表示空间a ( f ) 及其上述度量d ，在( 8 ) 式成立的情况下( 4 ( f ) ，d ) 是一 个完备度量空间 对礼n ，记前的子集a ( f ：n ) 如下： a ( f ：佗) = 翌l 竹j0 i 星a ( f ) ) ； 对，y a ( f ：n ) ，定义a ( f ) 的子集a ( f ；7 ) 为： 4 ( f ；7 ) = 互a ( f ) i 互i n = ，y ) k - 1 对函数妒：( 4 ( f ) ，d ) 一r ，记鼠妒( 互) = 妒( 一曲， k = 1 ，2 ， j = o 下面的性质告诉我们，对所有的k = 1 ，2 ，和所有满足= 协( j = 1 ，2 ，k ) 的 x = ( x l x 2 x k ) ，y = ( y l y 2 y k ) 4 ( f ) ，i 瓯妒( 勤一瓯妒( 缈l 是有界的这与【9 】中 的有界变差原理是类似的 1 6 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 性质1 者妒：( a ( f ) ，d ) _ r 是l i p s c h i t z 的，贝悴在正数a 使得 l 鼠妒( 蓟一瓯妒( 必i o ， i e e 川 揣e x p 酽 j k 妒l j 对所有的k = 1 ，2 ，和满足= 协o = 1 ，2 ，：，k ) 的互= ( x l x 2 z 七) ，y = ( y l y 2 鲰) 4 ( f ) 都可泣 证明：因为妒是4 ( f ) 到r 上的l i p s c h i t z 函数，所以存在正数b 使得对任意的 翌，堑a ( f ) 都满足 i 妒( 蓟一妒( 必i q + 口，1 其中【帮】表示不超过口+ k - j 1 的最大整数从而 协鲈删( 口+ j 割= o 卸( g + 击) 令o = b ( 口+ 击) ，结论得证 下面两个定理与【9 】中的定理5 1 类似，就是利用拓扑压力和g i b b s 测度来刻画子切 饼集的h a u s d o r i t 测度从而得到其h a u s d o r f f 维数公式 定理2 设妒：( f ) ，d ) 一r 是一个l i p s c h i t z 函数，对所有的k n 和，y a ( f ： k ) ，令鱼a ( f ；2 ) ，则极限 p ( 妒) = 熙丢l 。g e x p 瓯妒( 旦) ( 1 0 ) 2 e a ( f ：k ) 存在，并且该极限与鱼a ( f ；! ) 序憾取无关 1 7 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y 华东师范大学 证明： e x p 瓯w ( 蚴= 7 _ c a ( f ：k + 1 )7 _ e a ( f ：k + 1 ) e x p 瓯妒( q ) e x p 岛妒( 矿z ，y ) 唧鼠妒( 彩e x p s l 妒( 一x a k t )z e a ( f ：知+ 1 ) 盯2 对每一个2 a ( f ：k + 2 ) ，有盯七2 a ( f ：z ) ，并且鱼和业的前k 个字符相同，考 虑到移 a ( f ：k + 1 ) ) = 轷 a ( f ：k ) ) 社 a ( f ：1 ) ) ( 券a 表示集合a 中元素的个 数) ，由性质1 得 篮a ( f ：k + 1 ) e x p 鼠+ l 妒( ) = e x p 鼠妒( 嘶) e x ps l l ，o ( x 一，y ) y e a ( f ：k + 1 ) t r k t e x p s k 妒( x 2 ) e x p s t 幽 签a ( f ：k + 1 ) 仃2 e 口e x p s k 妒( x 2 ) 唧岛妒( 型 2 a ( f ：七)! e a ( f ：1 ) 记鼠= e x ps k 妒( x ，y ) ，则鼠“e 2 a 瓯岛类似可得e - 2 a 鼠岛瓯+ l 于是有 簦a ( f ：k ) 一 令a k = l o g 鼠，则有 e - 2 a s k s t 曼s k “e 2 n s k s l o 七+ 口l 一2 0 a k + l a k + a l + 2 a ( 1 1 ) 由引理2 知，熙百a k = l i mk 1 。g 鼠存在，并且该极限与旦4 ( f ；2 ) 的选取无关 此外，由证明过程和引理2 知，对任意的k ，都有七p ( 妒) 一2 a a k 后p ( 妒) + 2 a ，也即 e 一2 口e x p ( k p ( 妒) ) 鼠e 2 口e x p ( 尼p ( 妒) ) 定理3 存在a ( f ) 上的b o r e l 溅肛和大于1 的常数a o 使得 a 0 1 p ( 4 ( f ；2 ) ) 对任意的七n , 2 a ( f ：k ) 和旦4 ( f ；2 ) 都成立 1 8 口o( 1 2 ) e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 证明：对4 ( f ) 任意子集b ，记a ( f ：扎：b ) = 互i n j 密i 互b 定义 ( b ) = 爵1 e x p ( 岛妒( 蚴) 。”1 e a ( f ：n ：b ) 、 7 显然，是文捍在a ( j 。) 上明禺敢测发且( a ( j ) ) = 1 于是存征文撑在a c f ) 上明 b o r e l 测度p ，它是测度序列的弱极限( 引理3 ) 当然，肛( 4 ( f ) ) = 1 任取f n ，2 a ( f ：1 ) ，当k l 时， 肌( 4 ( f ；2 ) ) = 去e x p 妒( 幽 w ! a ( f ：k ：a ( f ；! ) ) = 告 e x ps l 妒( x y , ) e x ps k 卅( d 砷) 瓯佧舭：急( 嘶) ) 型叫八。型。 对任意的y 么( f ；2 ) ，由( 9 ) 式知 e 川 誉e x p 等 1 来说满足( 1 2 ) 式的 测度称为妒的g i b b s 测度在下面的定理中，通过选取妒= 一sl o g g ，我们可以得到4 ( f ) 的h a u s d o r f f 维数 定理4 令g ：( 4 ( f ) ，d ) _ r 定义如下? 夕= 南， 挽- = 歹 若存在某个数s 使得p ( 一sl o g g ) = 0 ，则4 ( f ) 的h a u s d o r f f 维数为8 证明： 由定理3 ，对佗n ，2 a ( f ：n ) 和垒a ( f ；2 ) ，存在常数n 0 1 和 4 ( f ) 上的概率测度p ，使得 皆茸筠鲕 矿筹e x p 裂鲕， 鼠妒( ) 如若筠鲰 注意到妒( 蓟= 一sl o g g ( x _ ) 和夕( 互) = 丽1 ( 若；t 1 = 歹) ，则得 。i 1 币斋晏黠伽，2 = ( 饥仇) ( 1 3 ) 首先证明d i m h a ( f ) 8 x lv , ， 0 ，总能找到k n ，使得矿( 口+ 1 ) j 令n 尼( 口+ 1 ) ，2 a ( f ：佗) ，我们有 反。仇4 ( f ；2 ) = i 鼍。i l k i j k i 矿( 口+ 1 ) q ，考虑1 n t 几。饥p 一1 n 的值，有 从而有 ( 庇p g ) ；j 0 ( i 砌i i 确i ) 。 ( m i ，k l t l l k l ，b m b 一口一l ，j ) x ( i k - l i ：1 i 嘞一ti i 旷 1 t r j 饧i , p 口1 n = ( 陬i - t j 当 m k l ，k 2 m b q “歹= 1 时，令 j ，11 ， m b q l ，歹2 h 习，令 吲) 暑( 庇州) 则2 a ( f ：p ) ，从而有 所以 qp - q - 1 1 p ( i 。| i k1 1 ki ) s = 1 t r i y s p 9 1 n 7 _ e a ( f ：p ) p ( 纠2 熙三k ! 石( k i 矗 2 3 g o 1 一七熙 = 妒 p h h = e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y = p l i m 。刍l 。g ( 1 ：砒p _ 9 1 n ) 华东师范大学 因为庇是非负不可约矩阵，由p e r r o n - m b e i l i u 8 定理知，存在正则矩阵q 使得q 一1 庇q = 人具有若当典范形式 其中 a ：= 0 l 扣c ： a n l 0 厶。 n l 1 ，i i = 入1 并且l 如i a 1 ，a 1 是庇的谱半径从而有 ，i 心i 。 ，并定义n 竹矩阵 则 所以有 袁：r 弛 l 。 1 t n 。p q l n 1 ：扈卿一q l n 碍 p ( 妒) = p 1 i m 石1 l 。g1 n t - 。- u 1 。p g l n l i m 三伯舛一口 p 。o op 2 5 傅他h 、llili， o e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y 华东师范大学 由( 1 5 ) 式和( 1 6 ) 式，得 = ，l i m 1 l o g r 0 + 宁。趴) = l o g a z p ( 妒) = l o g 入1 ( 1 6 ) 定理4 告诉我们，满足p ( 妒) = 0 的8 就是a ( f ) 的h a u s d o r i f 维数d i m ha ( f ) 若令 九为晓的谱半径，那么，满足p ( 妒) = l o g ) l 。= 0 也即a 。= 1 的8 就是d i m n4 ( f ) 下面我们用类似定理4 的方法可以得出结论：集合e = 7 r ( a ( f ) ) 和4 ( f ) 具有相同 的h a u s d o r f f 维数 定理6 由a ( f ) 产生的子切饼集的h a u s d o r f f 维数为8 ，8 为定理4 中所述 证明：首先，因为7 r ( a ( f ) ) = e ，注意到7 r 是l i p s c h i t z 的，所以由引理1 知，d i m he d i m h ( a ( f ) ) = s 下证d i m he 8 对任意的占0 ，设 阢) i 是e 的一组6 一覆盖对z 阢ne ，存在x 4 ( f ) 使得 z = 7 r ( 星) 并且存在某n n 使得 n + 1 lk l d i a m 阢 lk 1 j = l j = l 令2 = 互l n + 1 ，则对任意的堑，兰4 ( f ；2 ) ，我们都有 所以 d i a m ( 7 r ( 4 ( f ；2 ) ) ) d i a m ( f i t ( f ；2 ) ) s d i a m 阢 对3 ，= 7 r ( 型) 阢n e ，如果不等式d ( 互，型) d i a mu i 威a t - f _ ，那就意味着互i 时1 = 型l 时1 ， 所以有阢nec7 r ( 4 ( f ；2 ) ) 因此，对任意的既，都存在仡n 和! a ( f ：心+ 1 ) 使得 d i a m ( 丌( 4 ( f ；! ) ) ) d i a m ( a ( f ；! ) ) d i a m 阢， 阢ne c7 r ( 4 ( f ；! ) ) 2 6 巩 mo 反 一 如一 州傅 i i 斯 小触 0 ，所以，d i m he s 综上，我们有，d i m 日e = s 以上工作是在对集合f 中元素的长度加以严格控制的前提下做出的若集合f 中 的元素长度不一，情况比较复杂难以讨论，但如果加以一定条件，我们前面所做的结论还 是可以类似成立的 设f = 岔，毋，) 为，鼎中的某一有限子集，m i n l 岔l ：1 i 1 ) = p ，m a x i 岔i 1 i z ) = q ，并且对vk n ，p k q ，都至少有一岔f 使得l 岔i = k 记4 ( f ) = 卫j 嚣lx jx j + 1 “f ，v 歹n ，p i q ) ，记号 a ( f ：佗) ，a ( f ；，y ) 含义如前 在 c = 磐 1 成立的情况下，有界变差的性质依然能够成立 性质2 若妒：( f ) ，d ) _ r 是l i p s c h i t z 的，则存在正数a 使得 i 鼠妒( 蓟一瓯妒( 必i a i e e 。0 渊e x p e a o 蠡妒i j 对所有的后= 1 ，2 ，和满足巧= 协o = 1 ，2 ，k ) 的x = ( x l x 2 x k ) ，翌= ( y l y 2 纨) a c f ) 都成立 证明：因为妒是a ( f ) 上的l i p s c h i t z 函数，所以存在正数b 使得对任意的x ，y 4 ( f ) 都 满足 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 i 妒( 蓟一妒( 少i b d ( 互，翌) 若互，堑a ( f ) 并且x j = 协( 歹= 1 ，2 ，七) ，我们有 1 1 ， 当1 肛j p ， d ( 一互，矿少 矿， 当p k j g ， i c t k q - 孚 q 。一， 当k 一歹口+ 1 ， 其中【竽】表示不超过k - g j 的最大整数，于是得 惭c 蓟嘶c 邮6 冉薹) - 6 ( p 矿+ 击) 令o = b ( p + l c p + 圭) ，结论得证 类似于定理2 ，3 ，4 ，我们有如下结论： 定理7p ，设妒：( 4 ( f ) ，d ) _ r 是一个l i p s c h i t z 函数，对所有的尼n 和2 a ( f ： k ) ，令鱼4 ( f ；2 ) ，贝矿极限 吼) 2 熙昙k 誉善唧洲蚴 存在，并且该极限与鱼4 ( f ；2 ) 的选取无关 ( 2 ) 存在a ( f 、) 上的b o r e l 测度讳和大于1 常数a o 使得 矿并筠妯 对任意的k n ，2 a ( f ：k ) 和鱼a ( f ；2 ) 都成立 定理8 令g ：( 4 ( f ) ，d ) 一r 定义如下： 9 ( 互) = 雨1 勃l = 歹 若存在某个数8 使得p ( 一8 l o g g ) = 0 ，则4 ( f ) 及子切饼集e = 7 r ( f ) ) 的h a u s d o r f f 维数相等等于8 2 8 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y华东师范大学 参考文献 【1 】j e h u t c h i n s o n ，f r a c t a l s a n d s e l f - s i m i l a r i t y ，i n d i a n au n i v m a t h j3 0 ( 5 ) ， 7 1 3 - 7 4 7 1 9 8 1 【2 】k j f a l c o n e r ，s u b - s e l f - s i m i l a rs e t s ，t r a n s a m m a t h s o c 3 4 7 ，3 1 2 1 3 1 2 9 ( 1 9 9 5 ) 【3 】m m c c l u r e a n dr o b e r t w v a l l i n ，t h e b o r e ls t r u c t u r eo ft h ec o l l e c - t i o n so fs u b - s e l f - s i m i l a rs e t sa n d s u p e r - s i m i l a r - s e t s ，a c t a m a t h u n i v c o m e n i a n a ev 0 1 l x i x ，2 ( 2 0 0 0 ) ，1 4 5 1 4 9 【4 】陈二才，熊金城， 子自相似集合的h a u s d o r f f 维数，