（控制科学与工程专业论文）基于自由权矩阵的lurie时滞系统绝对稳定性研究.pdf

摘要 l u r i e 系统是一类非常重要的非线性系统，其绝对稳定性研究受 到了许多学者的关注。由于时滞现象大量存在于各种工程、生物和经 济等系统中，并且通常是导致系统不稳定的一个重要原因，因此l u r i e 时滞系统的绝对稳定性研究具有重要的理论意义。本文在自由权矩阵 方法的基础上，结合增广的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函以及保留以往 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数中忽略项的方法对l u r i e 时滞系统进行 了研究，获得了一些具有更低保守性的时滞相关绝对稳定条件。 对于定常时滞l u r i e 系统，采用增广的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 结合自由权矩阵方法，得到了系统基于l m i 的时滞相关绝对稳定条 件，并将结果推广到具有时变不确定性的情形。 对于具有时变时滞的l u r i e 系统，以往在对l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数进行处理时，忽略了一个积分项。本文在重新考虑忽略项的 基础上，结合自由权矩阵方法，得到了具有更低保守性的系统时滞相 关绝对稳定条件。 对于中立型l u r i e 时滞系统，首先，利用自由权矩阵方法并考虑 以往l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数中的忽略项，讨论了时变离散时 滞的中立型l u f i e 系统的绝对稳定性；然后对中立型时滞与离散时滞 相同以及不同的情形，采用增广的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函结合自 由权矩阵方法得到了系统的时滞相关绝对稳定条件。 最后，对基于自由权矩阵的l u r i e 时滞系统绝对稳定性的研究进 行了总结，并对相关研究进行了展望。 关键词：l u r i e 时滞系统，绝对稳定，时滞相关稳定条件，线性矩阵 不等式( l m i ) ，自由权矩阵方法 a b s t r a c t l u r i et i m e d e l a ys y s t e m sa r eac l a s so fv e r yi m p o r t a n tn o n l i n e a r s y s t e m s ；t h ep r o b l e mo fa b s o l u t es t a b i l i t yf o rl u r i es y s t e m sh a sb e e n a t t r a c t i n gm u c ha t t e n t i o n a st i m e d e l a y sa r ef r e q u e n t l ye n c o u n t e r e di n v a r i o u ss y s t e m s ，s u c ha se n g i n e e r i n gs y s t e m s ，b i o l o g i c a ls y s t e m sa n d e c o n o m i cs y s t e m ，a n da r eo f t e nt h es o u r c e so fi n s t a b i l i t y , t h es t u d yo f a b s o l u t es t a b i l i t yf o rl u r i es y s t e m si so fg r e a tt h e o r e t i c a lm e a n i n g i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，l u r i et i m e - d e l a ys y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e db ye m p l o y i n gt h e f r e e w e i g h t i n gm a t r i xa p p r o a c hc o m b i n e dw i t hm e t h o d so fa u g m e n t e d l y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a la n dr e t a i n i n gt h et e r m si g n o r e di nt h e d e f i v a t i v eo fl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a li np r e v i o u sw o r k ，s o m e l e s sc o n s e r v a t i v ed e l a y d e p e n d e n ta b s o l u t es t a b i l i t yc r i t e r i aa r eo b t a i n e d f o rl u r i e s y s t e m sw i t h i n v a r i a n t t i m e d e l a y d e l a y d e p e n d e n t a b s o l u t es t a b i l i t yc r i t e r i aa leo b t a i n e da n df o r m u l a t e di nt h ef o r mo fl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) b yu s i n ga u g m e n t e dl y a p u n o v k r a s o v s k i i f u n c t i o n a lc o m b i n e dw i t ht h e f r e e w e i g h t i n g m a t r i xa p p r o a c h 。砀e c r i t e r i aa r et h e ne x t e n d e dt ot h ea n a l y s i so ft h er o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t y 南rl u r i es y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gs t r u c t u r e du n c e r t a i n t i e s f o rl u r i es y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y ，a ni n t e g r a lt e r mw a s i g n o r e dw h e nd e a l i n g w i t ht h ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o v - k r a s o v s k i i f u n c t i o n a l i np r e v i o u sw o r k i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，d e l a y d e p e n d e n ta b s o l u t e s t a b i l i t yc r i t e r i aa r eo b t a i n e db ya p p l y i n gf r e e w e i g h t i n gm a t r i xa p p r o a c h w i t h o u ti g n o r i n gt h eu s e f u li n t e g r a lt e r m f o rl u r i et i m e d e l a ys y s t e m so fn e u t r a lt y p e ，t h ea b s o l u t es t a b i l i t y o fn e u t r a ll u r i es y s t e m sw i t hat i m e - v a r y i n gd i s c r e t e - d e l a yi si n v e s t i g a t e d b yu s i n gf r e e w e i g h t i n gm a t r i xa p p r o a c ha n dc o n s i d e r i n gt h ei g n o r e d t e r mi np r e v i o u sw o r kf i r s t l y t h e n ，d e l a y - d e p e n d e n ta b s o l u t es t a b i l i t y c r i t e r i af o rn e u t r a ll u r i e s y s t e m s w i t h i d e n t i c a ld i s c r e t e - a n d n e u t r a l - d e l a y sa n dw i t hd i f f e r e n td i s c r e t e - a n dn e u t r a l d e l a y sa r eo b t a i n e d r e s p e c t i v e l yb yu s i n ga u g m e n t e dl y a p u n o vf u n c t i o n a lc o m b i n e dw i t ht h e f r e e w e i g h t i n gm a t r i xa p p r o a c h p r o s p e c t s f o rf u r t h e rs t u d i e sa r em e n t i o n e d k e yw o r d s ：l u r i e t i m e d e l a ys y s t e m s ，a b s o l u t e s t a b i l i t y , d e l a y d e p e n d e n t s t a b i l i t y c r i t e r i a ，l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) ， f r e e w e i g h t i n g m a t r i xa p p r o a c h i i i d a峥甜 u 盯m 啷 计趣岫础 m m 咖 仰 e a h k灿胁 眦 冯盏 酊州州骜 砒 na 甜 m 嬲 n m 吼 夥 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：兰塑墼望日期：兰旦! 年月生日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：! ! 垒望导师签名 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 非线性、时滞以及不确定性广泛存在于各类实际控制系统中，如生态系统、 化工过程、机械传动系统、网络控制系统等【l 卅。它们往往是造成系统不稳定以 及性能恶化的主要原因，对它们的研究具有非常重要的理论意义及应用价值。 非线性系统与线性系统相比，所表现出来的特性要复杂的多。事实上，大多 数实际的控制系统本质上都是非线性的。随着科学的发展，非线性问题得到了越 来越多的关注。但是由于非线性系统本身非常复杂，一般性的研究控制的作用将 很难凑效，必须针对某一类具有结构特征和应用背景的系统进行【7 】。而l u f i e 控制 系统作为一类非常重要的非线性系统，自1 9 4 4 年提出以来，一直是国内外学者的 研究热点问题，取得了许多成果1 8 44 1 。作为一种特殊的非线性控制系统，l u f i e 系统的研究具有重要的理论意义和实用价值。 当物质或能量沿着一条特定的路径传输时就会出现滞后i 仔1 ，因此时滞现象 广泛存在于各类控制系统中，并且时滞是导致系统不稳定的一个重要原因。由于 其广泛的研究背景，时滞系统的研究非常活跃。而l u f i e 时滞系统更是由于其非 线性及时滞特性，吸引了许多学者的关注【2 2 1 。在控制理论研究中，稳定性研究 是一个非常重要的基础理论问题。因而，l u r i e 时滞系统的绝对稳定性研究得到 了广泛的关注。 另一方面，由于控制对象的模型化误差以及控制系统本身和外部的扰动，在 控制系统中普遍存在着不确定性【4 5 】。因此，不确定l u f i e 系统以及不确定l u f i e 时滞系统的鲁棒绝对稳定性的研究也吸引了许多学者的关注【3 “。在这一章中， 将首先分析l u r i e 时滞系统稳定性的国内外研究现状，然后介绍时滞系统的稳定 性分析方法自由权矩阵方法，以及本文的研究意义及目的。 1 2l u r i e 时滞系统稳定性国内外研究现状 1 9 4 4 年，苏联数学家l u f i e 和p o s t n i k o v 在研究飞机的稳定性时，提出了l u r i e 控制系统模型，以及绝对稳定性的概念1 3 】。l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题自提 出以来，受到了广泛关注，国内外学者先后采用了多种研究方法，获得了许多成 果。如文献 1 6 2 0 】采用p o p o v 频域准则方法对l u r i e t e 线性系统的绝对稳定性进行 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 了研究，但不适应于具有多非线性执行机构的l u r i e 系统；文献 2 1 ，2 2 1 采用扩展的 p o p o v 频域准则对于具有多非线性执行机构的l u r i e 非线性系统进行了研究，得到 了一些充分条件；文献 2 3 - 2 5 $ u 用l u r i e 型的l y a p u n o v i 函数方法，给出了具有多 个执行机构i 拘l u r i e 控制系统在有限扇形角下存在l u r i e 型的l y a p u n o v i 垂_ l 数并保证 系统绝对稳定的充分必要条件，但这些结果只是一个存在性条件而不可解。而且 绝对稳定性的判断依赖于正定矩阵和积分项系数等自由参数的选取。这些自由参 数的选取不能通过解析或数值方法求出，其选择的随意性很可能导致保守性。在 实际应用中，在没有找到合适的自由参数保证系统绝对稳定时，这些充分必要条 件也不能判断保证系统绝对稳定的l u r i e 型l y a p u n o v 函数是否不存在，因而称不 上完全意义上的充分必要条件。 文献【2 6 】利用线性矩阵不等式( l m i ) 和s 过程给出了存在l u r i e 型的l y a p u n o v 函数保证系统绝对稳定的充分条件，并且能通过l m i 的解来获得构成l y a p u n o v i 函 数的正定矩阵和积分项的系数等自由参数。更重要的是，当系统只有一个非线性 执行机构时，这个条件也是必要的，此时能够通过l m i 是否有解来判断保证系统 绝对稳定的l u r i e 型l y a p u n o v i 函数是否存在。遗憾的是，由于s 过程的局限性，当 非线性执行机构的个数超过一个时，这个条件就不再是必要的了，即s 过程是亏 损的1 27 。此时，当给出的l m i 无解时，仍然无法判断这种类型的l y a p u n o v i 函数是 否不存在。 时滞现象常常出现在各种控制系统中，而且常常是导致系统不稳定的一个重 要因素，许多学者也曾致力于时滞l u r i e 控制系统的研究【2 8 。3 2 1 。而g a n 等3 0 1 把文献 2 3 】的结果推广到时滞l u r i e 控制系统，建立了存在扩展l u r i e 型 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函且保证系统绝对稳定的充分必要条件。遗憾的是，这些 条件仍然是一些存在性条件而不可解，对稳定性的判断仍然依赖于正定矩阵和积 分项系数等自由参数的选取，也并不是完全意义上的充分必要条件。 同时，不确定性在系统中是常常存在的，因而不确定l u r i e 控制系统和不确 定时滞l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性的研究也吸引了许多学者的关注。对于 不确定l u r i e 控制系统，许多学者基于p o p o v 频率准则和l u r i e 型l y a p u n o v i 函数方 法，建立了许多充分条件 3 3 - 4 1 】。对于具有多个非线性执行机构的系统，它们仍然 具有标称系统所面临的困难。同时，对于文献 2 3 ，2 5 ，3 0 1 等l u r i e 型l y a p u n o v i 函数 或泛函的充分必要条件来说，它们很难推广到具有时变结构不确定性的系统。 另一方面，时滞相关稳定条件已经受到了许多学者的广泛关注，时滞l u r i e 控制系统的时滞相关绝对稳定条件同样也不例外。文献 4 2 4 5 1 采用矩阵范数的方 法首先对这个问题进行了讨论。而文献 4 5 4 7 基于确定模型变换进行了讨论，但 2 中南大学硕十学位论文 第一章绪论 是，由于受制于这些模型变换所存在的局限性，这些结果也都还存在着改进的余 地。 近几年来，h e & 、u 等人提出了一种自由权矩阵方法，这种方法不用模型变 换及交叉项界定技术，对各类时滞系统进行了研究，得到了一系列具有更低保守 性的时滞相关稳定条件【4 8 - 5 2 i ，这一方法也应用于l u r i e 时滞系统的研究，取得了 一定成剁5 3 5 9 】。对于具有多个非线性执行机构的l u r i e 控制系统，文献 5 3 ，5 4 矛u 用 文献 2 3 ，2 5 得到的结论，获得了存在l u r i e 型l y a p u n o v i 函数并保证系统绝对稳定的 充分必要条件，将文献 2 3 和文献【2 5 的结果转化成求解一组l m i 的问题，并且 推广到具有时变结构不确定性的l u r i e 系统。文献 5 5 5 7 对于具有多非线性执行 机构的时滞l u r i e 控制系统，将文献 3 0 】所获得存在扩展l u r i e 型l y a p u n o v i 泛函且 具有负定微分、从而保证系统绝对稳定的充分必要条件转化成了一组l m i 的求解 问题。然后将这些结果推广到具有时变结构不确定性的系统，获得了具有时变结 构不确定性的时滞l u r i e 控制系统存在l u r i e 型l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函并保证系 统鲁棒绝对稳定的充分必要条件。文献 5 6 ，5 8 禾u 用自由权矩阵方法，获得了具有 时变时滞的l u r i e 控制系统绝对稳定的时滞相关条件。 另外，h a n 等人利用积分不等式方法对l u r i e 时滞系统的绝对稳定性进行了 研究，得到了一些具有较低保守性的结果 6 0 - 6 3 】。但在定常时滞l u r i e 系统的稳定 性分析中，文献【6 0 ，6 2 】所采用的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函为普通 l y a p u n o v 。k r a s o v s k i i 泛函；文献【6 l 】在对具有时变时滞的l u r i e 系统的稳定性分 析中，对于l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函中匕。f | 。y c r ( s ) z i c ( s ) d s d o 这一项求导时，往 往估计为h i c r ( t ) z i c ( t ) - f - a ( o 文7 ( j ) 及( s ) a s ，而忽略了一c u 主7 ( s ) 历( j ) 凼这一项， 这必然将导致保守性，因此仍存在改进的空间。 1 3 基于自由权矩阵的稳定性分析方法 式中，x ( t ) r ”为系统的状态向量；h 0 为系统时滞；矽( f ) 为连续向量值初始 函数：彳，b r ”为系统矩阵。 中南人学硕士学位论文 第一章 绪论 很明显，系统( 1 1 ) 的状态不仅与当前时刻有关，而且也与过去一段时间有 关。目前，讨论系统( 1 1 ) 的稳定性主要有频域与时域两种方法。由于频域方法 在处理时变时滞问题上的局限性，国际上采用的方法主要为时域方法。时域方 法主要是基于两个著名的定理：l y a p u n o v k r a s o v s k i i 稳定性定理和r a z u m i k h i n 稳定性定理。这两个定理分别是由俄国数学家k r a s o v s k i i 矛n r a z u m i k h i n 于上世纪 5 0 年代建立的。其主要思想是通过构造一个合适的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函或 l y a p u n o v 函数，获得系统( 1 1 ) 稳定的充分条件，这一方法具有非常重要的理论 意义。但是，如何构造这样i 拘l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函或l y a p u n o v i 函数，却没 有定论。直至上世纪9 0 年代，m a t l a b t 具箱的出现使得构造l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函或l y a p u n o v 函数非常方便，从而极大地推动了这一方法的应用与发展，一 大批优秀成果相继出现( 参看文献 6 4 及其参考文献) 。 在二十世纪九十年代以前，提出的关于时滞系统的结论基本上都是与时滞的 大小无关的，也就是说在进行系统稳定性或其它性能研究时，不考虑时滞的大小， 即对时滞不作任何限制，这样所得到的结论显然对于任意的时滞都是成立的。然 而，许多实际系统中的时滞一般都是有界的，无穷时滞很少出现，这种不考虑时 滞大小的结论，因为适用于任意大小的时滞，当时滞有界时，或者时滞比较小时， 是相当保守的，这类不考虑时滞大小的条件被称之为时滞无关条件。与之相对应， 考虑了时滞大小对系统稳定性和性能的影响的条件，就称为时滞相关条件。由于 时滞相关条件考虑了系统的时滞信息，所得结果具有更低的保守性，因此，近十 多年来，时滞系统的时滞相关稳定性研究得到了更广泛的关注。 在现有时域研究方法中，应用较为广泛的方法为确定模型变换方法。确定模 型变换方法主要是将一个具有离散时滞的系统通过牛顿一莱布尼茨公式转化为 一个具有分布时滞的新系统，再对这个新系统进行讨论。主要的模型变换可以分 成如下4 类【6 5 1 ： ( 1 ) 一阶模型变换，即 童( f ) = ( 彳+ b ) x ( t ) 一bi 。【a x ( s ) + b x ( s h ) d s( 1 2 ) ( 2 ) 中立型模型变换，即 ， x ( ，) + bl z ( s ) 凼】_ ( 彳+ 曰) x ( f ) ( 1 - 3 ) ( 3 ) 基于p a r k 6 6 1 和m o o n 6 7 1 等的不等式的模型变换，即 文o ) = ( a + b ) x ( f ) 一口i 孟( s ) 凼 ( 1 - 4 ) ( 4 ) 广义系统模型变换，即 4 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 i 莺( f ) = y ( f ) 1 ) ，( f ) ：( 彳+ b ) 工o ) 一口f 。贾( s ) 丞 1 。5 1 ) ，( f ) = ( 彳+ b ) 工( f ) 一叫一 贾( s ) 丞 、7 由于模型变换( 1 ) 和( 2 ) 会导致系统产生新的特征值，和原系统不等价【6 8 6 9 1 ， 因此模型变换( 1 ) 和( 2 ) 很快被模型变换( 3 ) 和( 4 ) 取代。由于模型变换( 3 ) 和( 4 ) 变换后 的系统和原系统等价，大大克服了模型变换( 1 ) 和( 2 ) 的保守性，因此成为了解决 时滞相关问题的主要方法。在采用模型变换( 3 ) 的文献【6 7 】中，其处理方式等价于 将 2 x r ( ，) 讹叫) 一m 蛐 ( 1 - 6 ) 这一等于零的项加入到l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函的导数矿( 薯) 中。同样，在【6 5 ，7 0 】 等采用广义模型变换的方法中，其处理方式等价于将如下等于零的项 2 x r ( f ) 巧4 + ( f ) 譬以】i 川) 一x o 一晟) 一正。量( s ) d si ( i - 7 ) 加入到l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函的导数矿( 五) 中。 从( 1 6 ) 及( 1 - 7 ) 可以看出，模型变换( 3 ) 和( 4 ) 方法中，权矩阵p a a ，鼍以和譬以 是固定的。而根据牛顿一莱布尼兹公式，对于任意合适维数的矩阵l 和2 有： 2 x r ( t ) n l 7 ( t - h ) n 2 卜) 叫( 卜h ) - i f - 地) d sl = 0 ( 1 - 8 ) 如果保留丈0 ) 这一项，那么对于任意合适维数的矩阵m ( 扛1 ，2 ，3 ) 有： 2 ，( f ) 1 + ，( f ) 2 + ，o 一办) 3 】lm ) 一x ( f 一 ) _ t 。戈( s ) d si = 0 ( 1 - 9 ) 将式( 1 8 ) 或( 1 9 ) 的左边加入到l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函的导数中，由于 m ( f _ 1 ，2 ，3 ) 是自由的，其最优值可以通过l m i 的求解来获得，这样就可以克服 采用固定权矩阵的保守性【4 8 。5 2 1 ，并且可以证明采用模型变换方法所获得的结果是 自由权矩阵方法的一种特殊情形。 1 4 研究意义及目的 l u r i e 控制系统是一类非常重要的非线性控制系统，许多实际系统都可以转 化成为l u r i e 型控制系统。由于时滞现象大量存在于各种工程、生物和经济等系 统中，l u r i e 时滞系统的研究具有重要的理论意义与应用价值。 本文将在自由权矩阵方法的基础上，结合增广l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函以 及保留以往l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数中忽略项的方法对l u r i e 时滞系统作进 中南大学硕士学位论文第一章 绪论 一步的研究，以获得具有更低保守性的l u f i e 时滞系统时滞相关绝对稳定条件。 本课题的研究将为具有大时滞的实际工程系统的稳定性分析提供一种有效的、可 行的新方法，从而有效地解决实际控制系统的稳定性分析问题，具有一定的应用 价值。 1 5 本文内容 本文内容是这样安排的： 第二章对于定常时滞l u r i e 系统，采用增广的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函结合 自由权矩阵方法得到了系统的时滞相关绝对稳定条件，并将结果推广到具有时变 不确定性的情形。 第三章研究具有时变时滞的l u r i e 系统。由于以往在对l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数进行处理时，忽略了一个积分项。本章在重新考虑忽略项的基础上，结 合自由权矩阵方法，得到具有更低保守性的系统时滞相关绝对稳定条件。 第四章研究中立型l u r i e 时滞系统。首先，利用自由权矩阵方法以及与第三 章类似的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函导数中的积分项处理方法，讨论时变离散时 滞的中立型l u f i e 系统的绝对稳定性；然后对中立型时滞与离散时滞相同以及不 同的情形，采用增广的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函结合自由权矩阵方法得到系统 的时滞相关绝对稳定条件。 第五章对l u r i e 时滞系统的研究进行总结，同时对研究中出现的问题以及今 后的工作进行展望。 6 中南大学硕上学位论文 第二章定常时滞l u n e 系统的绝对稳定性分析 第二章定常时滞l u rie 系统的绝对稳定性分析 l u f i e 系统作为一类非常重要的控制系统，其绝对稳定性研究已有不少有价 值的结论1 8 。1 4 1 。由于时滞现象大量存在于各种工程、生物和经济等系统中，其研 究具有重要的理论意义与应用价值 i 。3 1 。时滞常常是导致系统不稳定的一个重要 原因，因而l u r i e 时滞系统的绝对稳定性研究得到了广泛的关注。l u r i e 时滞系统 的绝对稳定条件可分为两大类：时滞相关条件和时滞无关条件。由于时滞相关条 件考虑了系统的时滞信息，所得结果具有更低的保守性，因此，l u r i e 时滞系统 的时滞相关稳定性研究得到了更广泛的关注。 h a n 利用积分不等式方法得到了具有较低保守性的l u r i e 时滞系统的时滞相 关绝对稳定条件唧】。但文献【6 0 】中所采用的l y a p u n o v 泛函为普通泛函，具有较大 的改进空间。本章采用增广的l y a p u n o v 泛函【5 1 , 5 2 1 结合自由权矩阵方法对l u r i e 时 滞系统进行研究，得到具有更低保守性的时滞相关绝对稳定条件，并将结果推广 到具有时变结构不确定性的情形；且从理论上证明本章结果包含了文献 6 0 1 中的 相应结论。数值实例表明本章方法的有效性和相比已有结果的优越性。 2 1 定常时滞l u r i e 系统描述 考虑如下l u r i e 时滞系统： a x ( t ) + b x ( t 一厅1 + d w ( t ) m x ( ，t ) 二竺o “) ( 2 - 0 一妒( ，z o ” ( f ) ，v t 卜向，0 】 式中，z ( f ) e n , w ( t ) 月”，z ( ，) r “分别为系统的状态向量，输入向量和输出向量； h 0 为系统时滞；( f ) 为连续向量值初始函数；a ，b ，d ，m ，n 为具有合适维数的 常数实矩阵：缈( ，z ( ，) ) ： 0 ，o o ) xr ”寸r ”为对t 连续的非线性函数，对z ( f ) 满足李 普希兹( l i p c h i t z ) 条件，驴( f ，0 ) = 0 ，且对v t 0 ，v z ( t ) r ”满足以下扇形约束： 【缈( f ，z ( f ) ) 一k z o ) 】7 【妒( f ，z ( f ) ) 一k 2 z ( f ) 】0 ( 2 2 ) 其中，k i ，k ：为具有合适维数的常数实矩阵，且k = 心一k l 为对称的正定矩阵。 7 中南大学硕士学位论文第二章定常时滞l u d e 系统的绝对稳定性分析 通常说这样的一个非线性函数c p ( t ，z ( f ) ) 属于扇形区域 墨，疋】。 首先，引入以下绝对稳定性的定义。 定义2 1 ：如果对所有属于扇形区域 k ，k 2 】的非线性函数缈( f ，z ( f ) ) ，系统( 2 1 ) 是全局一致渐进稳定的，则称系统( 2 - 1 ) 在扇形区域【k ，k 2 】内绝对稳定。 本章不仅讨论标称系统( 2 - 1 ) 的稳定性，而且还考虑具有如下时变结构不确定 性的系统： i t ( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( 口+ a b ( t ) ) x ( t 一向) + o w ( t ) z 棠似d 二竺o “) ( 2 - 3 ) 以f ) = - o ( t ，z ( f ) ) x ( ，) = c k ( t ) ，v t 【- h ，0 】 时变结构不确定性的形式如下： 【a a ( t ) a b ( t ) 】- 三，( f ) 艺毛】 ( 2 4 ) 这里，厶包和e 。是具有合适维数的常数矩阵，而f ( t ) 是未知的时变实矩阵，且 满足 f r ( f ) f ( f ) ，v t ( 2 - 5 ) 这里，表示合适维数的单位矩阵。 本章将用到如下引理。 引理2 1 ：s c h u r 补口6 】：对给定的对称矩阵s = s r = 鼍1 要： ，其中， s l ，r “7 。以下三个条件是等价的： ( 1 ) s 0 ； ( 2 ) s l o ，岛2 一西1 s 2 o ： ( 3 ) 是： o ，s i i s 2 剐碓 o q z j 得如下l m i 成立， 甲= z 0 以及任意合适维数的矩阵z ( f = 1 ，2 ) 和标量占 0 ，使 则系统( 2 1 ) 在扇形区域 0 ，k 】内绝对稳定。其中 l l = g _ + a r g r + q l l + 五十互r 1 2 = g 毋+ 彳7 1 丑2 一五十巧 1 32 g d - m7 k r 1 4 = 鼻2 2 2 = b7 鼻2 + 置2 t 曰一q l l 一乏一巧 2 3 = 鼻；d e a r r k 7 2 4 = 忍2 一q 1 2 m 3 3 = - 2 d 4 4 = 一q 2 2 g = e l + q 1 2 9 。，q = 1 踢q 1 2 ： _ 0 , z _ 0 待定矩阵，且 f 。，= x 毒曼， ，厶c ，= 二； 。 计算v ( t ，) 沿系统( 2 - 1 ) 的导数，并利用式( 2 - 8 ) 和( 2 9 ) ，对任意标量 0 ，有 矿( ，) = 2 舁( f ) 只六( f ) + 矗( f ) q 乞( f ) 一舅o 一办) q 口乞 一办) + 艋7 ( f ) 历( f ) 一i 戈。( s ) 及( s ) 凼 d t - 1 1 2 笄( f ) j 加i t ( 一t ) ) i + 彰( f ) q 口色( f ) 一岛( f j 1 2 ) q 口色( t - h ) + h 圣r ( f ) 压( f ) 一。戈r ( s ) 压o ) d s + 2 x r ( t ) t 1 + x r ( t h ) t 2 肛( f ) 一x o 一办) 一i f - 。i t ( s ) 出 一2 6 w 7 ( r ) 以f ) 一2 6 w r ( t ) k x m x ( t ) + n x ( t 一办) 】 = 去。刁沁咖以j ) a s ( 2 - 1 0 ) 这里， 材0 ，s ) = 【x t ( f ) x t ( f j l z ) w r ( f ) 贾r ( f 一厅) 戈7 ( s ) 1 r = 屯i + l 朝魄+ 胸屯3 + 彳勋屯4 事 叱+ f 船吃+ 留勋吒 哦+ z c s d 0 瓯 牛木 嘲 嘲 0 0 f z 由引理2 1 ( s c h u r 补) ， 0 ，q 0 ，z 0 以及任意合适 维数的矩阵z o = 1 , 2 ) 和标量占 0 ，使得如下l m i 成立， p d 一哳7 k 7 一e n 7 k 7 2 d 办正h a 7 z 厅疋h b 7 z 0h d 7 z h z0 串 一h z 0 ，令式( 2 - 11 ) 中的互= 一r ，疋= r 及z = h r ，则有： 筮p 七p a 七q 一2 r p b 七2 rp d 一吐v 耋t k l一h rh 2 a t r 事 一q 一2 r e n 7 k 7h rh 2 b7 r 木 一2 d0h 2 d 7 r 宰 一h 2 r0 率 一h 2 r 由s c h u 辞h ，可知式( 2 12 ) 等价于 彳7 p + p a + q r p b + r q r 幸 p d 一m t k t r n v 7 k 7 2 d h a 7 r h b 7 r h d 。r r 。， q 2 鼍1 曼： 。，z 。以及任意合适维数的矩阵z ( f ：1 ，2 ) 和标量s 。，使 得如下l m i 戎立 甲= 1 l1 2 】31 4 一厅石( 彳一d k l m ) r s 2 22 3 2 4 一办互( b d k , n ) 7 s 幸母 中3 3 0 0 d 7 1 s 幸幸 4 4 0 0 幸 一h z 0 幸幸 木 - s 则系统( 2 1 ) 在扇形区域【k ，k ：】内绝对稳定。其中， 电l2 g ( a 一啦m ) + ( 彳一d k l m ) r g 7 + q 1 l + 互+ 互r 1 22 g ( b d k l ) + ( 彳一d k l m ) 7 1 暑2 一墨+ 垮 电3 = g d - e m7 ( 吃一k ) 7 2 22 ( b d k n ) 7 # 2 + g ；( b - d k i n ) 一q 。正一巧 面2 3 = 片2 t d 一占r ( k 2 一k i ) r 且1 4 ，2 4 ，西3 3 ，“定义于定理2 1 。 2 3 不确定系统的时滞相关鲁棒绝对稳定性 0 ，如果存在矩阵只 q 口：| - l q - z o ， q 2 2 j = 一小， z 0 以及任意合适维数的矩阵z ( f _ 1 , 2 ) 和标量 占 0 ，旯 0 ，使得如下l m i 成立， 面l l $ 1 2 $ 1 3 1 4 一办互( a - d k l m ) 7 s g l $ 2 2 $ 2 3 2 4 一办瓦( b - d k 。) 7 se ；三 幸 鸲0 0d 7s 0 4 4 0 00 幸 一h z00 幸 一s s l 幸 宰 一“ 宰 + 舾： 碱 0 0 0 o o 一 。， 罡：x 蹙 。 # + 罡q l9 2 i 墨 o i 0 【- 牛 恐j 3 2 标称系统的时滞相关绝对稳定性 m 2 2 节一样，首先考虑非线性函数伊( f ，z ( f ) ) 属于扇形区域【0 ，k 】的情形，即 缈( f ，z (