（应用数学专业论文）带有时变时滞的复杂动态网络的同步准则.pdf

摘要 在最近的几十年里，复杂网络逐渐成为了人们研究的热点，它贯穿了科学和 工程的大多数领域。复杂网络的同步是网络的一种群体行为特征，由于网络的同 步在很多情况下对生产或者生活都是非常有价值的，因此通过对网络同步准则的 研究，可以使其更好的为我们服务。当然，在一些情况下通过判断，网络不能实 现同步或者不能实现我们期望的状态，这样就产生了另一个重要的问题：如何控 制网络使其同步到一个期望的状态。目前人们在这方面也做了很多研究，并得出 了一些有用的结论，但是仍然有许多亟待解决的问题，例如人们一般认为在控制 过程中选择的节点越少越好( 与网络中的所有节点相比) ，但是这种控制策略不是 消耗的资源最少的，这是一个值得思考的问题。另外人们在讨论的复杂网络时都 是假设网络是固定不变的，但是事实上现实世界中很多网络都是增长的，同时还 带有时滞，且大多数时滞都是随时间变化的。在很多文献中，经常讨论的是无向 不加权的动态网络，但是我们经常遇到的现实网络一般都是有向加权的。 针对以上问题，本文首先讨论了两类带有时变时滞的加权复杂动态网络的控 制问题，进一步研究了将局部反馈引入部分节点的控制问题，并且得到了一些判 断网络同步稳定性的准则；接着，我们在第三章和第四章中，分别考虑了三类不 同的带有时变时滞的复杂动态网络模型，通过构造适当的李雅普诺夫函数，得出 了一些同步准则。 本文主要利用矩阵不等式、矩阵测度、稳定性理论的相关知识和局部线性化 等方法来研究复杂网络的同步问题。通过对带有时变时滞的复杂动态网络的研 究，一方面可以使我们更好地了解和解释现实世界中复杂网络所呈现出来的各种 动态特征。另一方面我们得到的结果可以为现实中对具体网络的控制提供参考。 关键词：复杂动态网络，时变时滞，k r o n k e c k e r 积，李雅普诺夫函数，线性矩 阵不等式，矩阵测度。 a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，c o m p l e xn e t w o r k sh a v eg r a d u a l l yb e c o m et h ef o c u so fs t u d i e s i t h a s r e l a t i o n s h i pw i t hm a n ys c i e n c ea n de n g i n e e r i n gf i e l d s a sac o l l e c t i v ep r o p e r t yo f t h ec o m p l e xn e t w o r k s t h es y n c h r o m z a t i o ni nn e t w o r k si sv a l u a b l ef o ri n d u s t r ya n d 1 i f ei nm a n ye x a m p l e s s oi ti st h em a i np r o b l e mt h a th o wt oc o n t r o lt h ed y n a m i c a l n e t w o r k s o fc o u r s e ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed i s c u s s e dt h i sp r o b l e m ，a n dt h e yh a v eg o t s o m eu s e f u lr e s u l t s b u tt h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e m a i nu n s o l v e d f o re x a m p l e ，i na c o n t r o lp r o c e s s i n g ，p e o p l eu s u a l l yt h i n kt h a tt h el e s sc o n n e c t i n gn o d ss e l e c t e d ，t h e b e t t e r ( c o m p a r e dw i t ha l ln o d si nt h en e t w o r k ) b u tt h i sk i n do f c o n t r o ls t r a t e g yi sn o t t h eo n ew h i c hc o s tt h el e a s tr e s o u r c e t m si sap r o b l e mw o r t ht h i n k i n g a n o t h e r p r o b l e mi st h a tt h en e t w o r kd i s c u s s e di sc o n s t a n t b u ti nf a c tm o s tn e t w o r k sa r e i n c r e a s i n g i na n o t h e rw o r d s t h en o d so ft h ec o m p l e xn e t w o r ka r ei n c r e a s i n ga 1 1t h e t i m e m e a n w h i l e ，m a n yn e t w o r k si nr e a l i t yh a v et i m ed e l a y s ，a n dm o s to ft h e mh a v e t i m e - v a r y i n gd e l a y s t h e r e f o r ew i t l l t h er e s e a r c h i n go nt i m e - v a r y i n g d e l a y e d n e t w o r k s ，w ec a ng e tab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ft h ed y n a m i cb e h a v i o ro fn e t w o r ki n r e a l i t y 1 1 1v i e wo ft h ea b o v eq u e s t i o n s i nt h i sp i p e r , w ef i r s t l yd i s c u s s e ds e v e r a l s y n c h r o n i z a t i o ne o n t r 0 1p r o b l e m si nc o m p l e xn e t w o r kw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ， a p p l i e dl o c a lf e e d b a c ki n j e c t i o n st oaf r a c t i o no fn e t w o r kn o d e s ，a n dg o ts o m ec r i t e r i a a b o u tt h ew ed i s c u s s e ds y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xn e t w o r k sa n dg o ts o m e e r i t e r i aa b o u tt h es y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xn e t w o r k s i nt h es e c t i o nt h r e ea n d s e c t i o nf o u rw em a i n l ys t u d i e dt h r e ek i n d so fd y n a m i c a ln e t w o r k sm o d e l sw i t h t i m e v a r y i n gd e l a y sa n dg o ts o m ec r i t e r i ai ns y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k sb ye m p l o y e dl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d t h ep a p e ra p p l i e sk n o w l e d g er e l a t e dt oc o n t r o lt h e o r y , m a t r i xi n e q u a l i t y , m a m x m e a s u r et h es t a b i l i t ya n dl i n e a r i z a t i o np a r t l yt os o l v et h es y n c h r o n i z a t i o no ft h e c o m p l e xn e t w o r k s b yt h er e s e a r c ht h ec o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ，w e c a nu n d e r s t a n da n de x p l a i ns o m ed y n a m i cc h a r a c t e r so fc o m p l e xn e t w o r k a tt h e s a m et i m e ，t h er e s u l tc a n 面v er e f e r e n c et oc e r t a i nc o n t r 0 1o fn e t w o r ki nr e a l i t y k e y w o r d s ：c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k s ，t i m e v a r y i n gd e l a y s ，k r o n e c k e rp r o d u c t ， l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，l i n e a rm a m xi n e q u a l i t y , m a m xm e a s u r e 1 1 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 日期：芈 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 撬移7导师签名： 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景 第一章绪论弟一早珀下匕 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述1 1 3 ) 。一 个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来 代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之 间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点被看作 是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的 网络【4 】；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、 同轴电缆等相互连接形成的网络嘲；类似的还有电力网络【4 】、社会关系网络【4 6 ，7 】、 交通网络【8 】等等。在网络中，节点上的度是指一个节点拥有相邻节点的数目。两 点间的距离被定义为连接两点的最短路径所包含的边的数目，把所有节点对的距 离求平均，就得到了网络的平均距离。另外一个叫做簇系数的参数，专门用来衡 量节点集聚成团的情况。对于某个节点，它的簇系数被定义为它所有相邻节点之 间连边的数目占可能的最大连边数目的比例。类似的，网络的簇系数c 则是所 有节点簇系数的平均值。 对网络最早进行研究的是数学家，其基本理论是图论。经典的图论总是倾向 于用某种规则的拓扑结构模拟真实网络【9 1 0 1 。到了二十世纪五十年代末期，e r d o s 和r 6 n y i 建立了随机网络的基本模型 1 1 - 1 3 ) ，后来的近半个世纪，随机图一直是科 学家研究真实网络最有力的武器m 】。研究表明，规则网络具有大的簇系数和大 的平均距离，随机网络则具有小的簇系数和小的平均距离。1 9 9 8 年w a t t s 和 s t r o g a t z 通过以某个很小的概率改变规则网络中边的连接方式构造出了一种介于 规则网络和随机网络之间的网络( w s 型小世界网络) ，它同时具有大的簇系数和 小的平均距离，因此既不能当作规则网络处理，也不能被看作是随机网络【4 1 。后 来物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个统计特征合在一起称为小世界效 应，具有这种效应的网络就是小世界网络( s m a l lw o r l dn e t w o r k ) 。 直到最近几年，由于计算机数据处理和计算能力的飞速发展，科学家们发现 大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的 统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络，其诸多统计特征中 最重要的是小世界( s m a l lw o r l d ) 效应【4 1 5 】和无标度( s c a l ef r e e ) 特性【16 1 7 1 。大量的实 证研究表明，真实网络几乎都具有小世界效应，有的甚至具有所谓的超小世界效 应【1 引，同时科学家还发现大量真实网络的节点度服从幂率分布 i - 3 , 5 , 7 , 1 8 “2 0 。节点 武汉理工大学硕士学位论文 度服从幂律分布就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系 可以用一个幂函数近似地表示，这使得度很大的节点可以在真实网络中存在。对 于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭窄，几乎找不到偏离节点度均值较大 的点，故其节点度均值可以被看作其节点度的一个特征标度。由于幂函数具有标 度不变性，因此我们把节点度服从幂律分布的网络叫做无标度网络( s c a l ef r e e n e t w o r k ) ，并称这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性。 随着小世界( s m a l l - w o r l d ) 效应【2 1 1 和无标度( s c a l e f r e e ) 特性【2 2 】的发现，最近几 年来，其中一个很受关注的问题就是复杂网络的同步 2 3 , 2 4 。同步是自然界中常见 的群体行为现象，是一种非常普遍而重要的非线性现象，同步( s y n c h r o n i z a t i o n ) 一词最初起源于希腊，它的原意是“t os h a r et h ec o n x n o nt i m e 即表示不同的过 程在时间上保持一致或相关，这个意思一直沿用至今。把同步具体到动力系统中 它可定义为两个( 或多个) 系统在耦合或驱动等的作用下使得运动的某些特征调 整到具有相同的行为。在现实生活中许多实际网络往往都表现出很强的同步倾向 性。早在三百多年前，科学家惠更斯就在给父亲的信中提到他卧病在床的几天中 观察到挂在墙上的两只摆钟会出现钟摆摆动趋于同步的现象，并正确地理解了这 种现象发生的原因是它们通过悬挂其上的横梁相互作用。除了这种两个个体相互 作用产生的同步现象之外，很多重要的同步现象出现在多体系统中，例如夏日夜 晚青蛙的齐鸣，萤火虫的同步闪光，心肌细胞和大脑神经网络的协调波动，剧场 中观众鼓掌频率的渐趋一致，i n t e r n e t 上不同的路由器最终会以同步的方式发送 路由信息等等。多体系统自发同步的现象，典型的例子如萤火虫的同步闪光，早 在2 8 0 年前就有比较正式的报道，而且更早就作为浪漫场景的代表见诸小说，但 是一直缺乏合理的科学解释。早期的解释千奇百怪，甚至眼睑的颤搐和岸边的湿 气都一度被认为是这种现象发生的缘由。直到四十年前b u c k 通过实验证明萤火 虫闪烁的频率会受到周围发光体闪烁频率的影响，对于自组织形成的同步现象的 研究才开始步入正途，这也同时开创了网络同步研究的先河。b u c k 相隔半个世 纪的两篇题目相同的综述x 1 是这个领域坎坷发展的最佳见证。 然而有些同步是有益的，如调和振子的生成、保密通讯、语言涌现及其发展 ( 谈话的同步) 、组织管理的协调及高效运行( 代理同步) 等，我们需要这种同步； 有些同步则是有害的，如传输控制协议窗口的增加、因特网或通讯网络中的信息 拥塞、周期路由信息的同步等，我们要尽量避免这种同步。因此对复杂动态网络 的同步研究就显得尤为重要，这也引起了各界学者的兴趣。 在网络的概念被引入同步研究之前，大量的关于耦合系统同步的讨论，不论 是针对两个振子还是无穷多个振子，还是针对极限环系统或者混沌系统，一个基 本的假设是振子间的相互作用是全局且相同的 2 7 1 。如果在网络的每个节点上加 2 武汉理工大学硕士学位论文 上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限环也可以是混沌的，而让有边 相连的两个节点的动力学系统之间产生相互的耦合作用，就形成了一个动力学网 络。从这个角度看，因为任何两个振子之间都存在相互的耦合作用，以前的大部 分研究就等价于完全图( c o m p l e t eg r a p h ) 上的同步问题。另外，针对规则网络 ( r e g u l a rn e t w o r k ) 和随机网络( r a n d o mn e t w o r k ) 的研究也是比较深入的。研究这些 具有简单结构的网络，人们将研究重点放在非线性动力学所产生的复杂行为上，忽 略了网络结构的复杂性对网络行为的影响但是，最近大量实证研究却表明，从 i n t e r n e t 到w w w 从朋友关系到合作网络，从神经网络到蛋白质相互作用网络， 从语义关系网到数学关系网，大量的现实网络具有完全不同于规则网络和随机网 络的复杂结构。为了更好的了解现实网络，就要考虑网络的拓扑结构对网络同步 行为的影响。 随着科学技术的发展，人们的生产生活越来越依赖于网络的安全性、可靠性。 比如说，通讯网络的鲁棒性、交通网络的拥塞控制、以及互联网的信息流的稳定 性等等。众所周知的，相继故障不仅在电力网络中可能出现，而且在通信网络、 交通网络、经济全球化网络以及生物网络中都有类似的现象，他们都面临着由于 局部故障而导致整个网络崩溃的巨大风险。并且由于不同网络之间联系的不断加 强，发生在一个网络在中的故障还会蔓延到其他网络。比如，2 0 0 3 年的美国和 加拿大电力网故障就对互联网和金融网络都产生了巨大影响。因此如何控制网络 就显得尤为重要，这也引发了各领域的专家的兴趣，并在这方面做了很多研究， 并且取得了很多有意义的结果。 目前，虽然各领域的科学家关于同步做了很多研究，但是仍然还有许多问题 没有解决，接下来我们简单概述一下国内外关于复杂动态网络同步的研究现状。 1 2 研究现状与所面临的问题 1 2 1 国内外关于复杂网络的同步的研究现状 长期以来，国内外学者对大多数实际网络的分析和控制都是在各个不同的领 域较为独立的开展的，对系统控制的研究已有较长的历史并取得了不少的成果， 但是从理论上系统性的研究具有复杂动态结构的网络的同步控制问题大体上是 从2 0 世纪末才开始的。其中，由于对固定的和连通的拓扑结构的动态网络的控 制和网络拓扑特性密切相关而受到关注。同步控制的基本思想是：通过有选择地 对网络中的一小部分节点施加控制策略而使得网络中的所有节点取得相同的期 望的动态特征。当然，同步控制涉及到的第一个基本问题就是可行性问题。这方 面的研究目前主要集中在对部分节点施加线性反馈而得到整个动态网络稳定在 武汉理工大学硕士学位论文 期望的同步状态。已经证明出，只要耦合强度和反馈增益合适，那么只需控制部 分节点就能够实现控制目标。特别地，如果耦合强度和反馈增益足够大的，那么 即使只对一个节点进行控制，也能使整个网络达到期望的状态。控制的第二个基 本问题是有效性问题，即如何选取受控节点才能使得花费最少的代价并且达到期 望目标。已有研究表明，利用网络的拓扑性能，有效地对网络中少量关键节点直 接施加控制要比随机选择部分节点加以控制具有明显优势。 同步控制的原始基本思想是希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常 数输入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的目的。早期的工作包括由 胡岗等人对由l 个节点组成的一维离散时间最近邻耦合映像格子所做的探索，受 控系统的状态方程为 2 9 1 ： f纠 x n + i ( f ) = ( 1 一s ) 厂 无( f ) + 詈u z 。( f 一1 ) + 厂 x 。( f + 1 ) ) + 8 ( i 一皿一1 ) g 。 l k - 0 其中，为相邻两个被牵制控制节点之间的距离；l i 为被牵制节点的个数；当 j = 0 时，8 ( j ) = 1 ，否则万u ) = 0 ：g 。是用来控制所牵制节点的反馈控制器。由 于最初考虑的是常数输入，所以这种控制称为牵制控制，后来人们做了适当推广， 输入已不再限于常数。在这个耦合映像格子中，一共有上，个节点被直接施加了 牵制控制。只有对足够多的节点施加牵制控制，才能有效的控制时空混沌。 p a r e k h 等人针对离散时间耦合映像格子使用了下面的牵制控制策略t f 石。+ ，( f ) = ( 1 一c ) f ( x 。( f ) ) + 【厂( x 。( f 一1 ) ) + f ( x 。( f + 1 ) ) + p 。( f ) z 其中p 。( f ) 为船时刻对第f 个节点的牵制强度，p 。( i ) = 万( f f 。) p ；否则p 。( f ) = 0 。 研究发现，只有对网络中的每个节点都施加牵制控制才能使得耦合映像格子中的 时空混沌达到平衡状态。比较施加牵制控制的节点的不同分布，发现可以通过均 匀或随机分布牵制控制节点来达到全局控制的效果。因此牵制控制的强度和控制 器分布的密度都决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性。随后p a r e k h 和 s i n h a 又进一步将耦合映像格子的时空混沌控制拓展到了反控制，即通过牵制控 制，使得耦合映像格子由非混沌状态变为混沌状态，或者将耦合映像格子中比较 脆弱的混沌进一步加强。 后来，汪小帆和陈关荣考虑了如下一类连续时间线性耗散耦合动态网络1 3 0 ： n 毫= 厂( 石，) + c 口矿f x j ，i = 1 ，2 ，n ， j = l 得出了通过控制使得该网络同步到平衡点的充分条件。随后，李翔、汪小帆和陈 关荣又对该模型做了更一般的推广其模型为 3 1 1 ： 4 武汉理工大学硕士学位论文 i = 1 , 2 ， 将控制的模型进一步推广，并得到了更为一般的局部稳定性定理和全局稳定性定 理。然而这些工作都是在假设内部耦合函数为单位矩阵时得到的。占萌等人【3 2 】研 究最近邻网络中的同步控制，在只对一个节点施加控制时，得到了在不同的内部 耦合函数网络达到同步状态所需要的参数条件。卢文联【3 3 1 将同步控制策略推广 到自适应动态网络中，除了对少量的节点增加控制器外，网络中的每个节点的状 态的更新只依赖于节点的邻居状态周进等人p 4 】发现通过对少数节点施加控制使 得具有一般拓扑的自适应网络取得同步状态。刘忠信和项林英等人【3 5 】将控制策 略进一步推广到耦合矩阵不能对角化的和具有时滞的加权的网络。 另一方面，国内外关于同步的研究也取得了很多成果，如g u a r d i o l a 等人研 究了脉冲耦合振子系统的同步规律，尤其是拓扑结构的不规则性和网络同步之间 的相互影响；孙锴和欧阳颀研究了在不同网络结构上微观系统的自组织现象，发 现网络结构的随机性有助于该现象的形成；j a l a n 和a m r i t k a r 研究了无标度网络 上耦合映像振子的同步现象，他们发现在动力学网络的演化过程中，网络会形成 几个同步的簇。当节点间的耦合强度比较小时，簇内部的节点的相互作用使网络 形成自组织相同步，当耦合强度增大时，簇之间的耦合使网络形成受驱动相同步； 李春光和陈关荣研究了小世界网络上混沌振子的相同步的规律，以及耦合项带有 延迟的情况下网络的同步规律；蒋品群、汪秉宏等研究了确定性小世界网络的超 混沌同步，发现即使单个节点自反馈系统的最大李雅普诺夫指数大于零，动力学 网络也能实现同步，这就解释了为什么在很弱的耦合强度下有些网络也表现出了 很强的同步能力：吕金虎基于提出的时变复杂动力学网络，给出了几个基本的同 步准则；a t a y 、j o s t 和w e n d e 研究了节点间的耦合存在延迟对各种网络同步的影 响，发现时间延迟有助于网络的同步；m o r c n o 和p a c h e c o 研究了无标度网络上 振子之间的耦合采用k u r a m o t o 模型的实现全局相同步的条件以及系统的动力学 特点；d e n k e r 等人发现当复杂网络上的脉冲耦合振子的耦合不均匀时，增加网 络的随机性会逐步使网络的同步状态失稳；r e s t r e p o 、o t t 和h u n t 利用主稳定性 函数方法研究网络上节点动力系统不完全相同时的同步情况，他们发现在某些参 数值下，系统会出现不同步的爆发，形成斑图。 p e c o r a 和c a r r o l l 研究了线性耦合网络同步的稳定性问题，给出了主稳定函 数判据，在此基础上，p e c o r a 和c a r r o l l 逐步完成了当网络上的耦合振子系统的 同步混沌态存在短波分岔时的同步稳定性分析，提出用主稳定性函数方法确定动 力学网络同步的稳定性。后来b a r a h o n a 和p e c o r a 深入研究了对称耦合的情况， 他们用拉普拉斯算子( l a p l a c i a n ) 来表示网络的结构的，最终认为阵的特征值比( 等 5 、i ， x一x ，l r p 口 矿 c 嚣 + 、， x ，l ， = x 武汉理工大学硕士学位论文 于耦合矩阵的特征值比) 是描述网络同步能力的特征量；接着汪小帆和陈关荣研 究了耦合振子是连续系统的复杂网络的同步稳定性问题，得到了非零的最大特征 值起到相同的作用。p e c o r a 和汪小帆等人的工作看起来似乎是矛盾的，实际上都 正确的，后来胡岗等人发现同步稳定区域的形状有两种可能：无界和有界。正是 由于同步化区域有有界和无界之分，就有了p e c o r a 和汪小帆等人的结论：p e c o r a 等人研究的是q 有界情况下同步的稳定条件，而汪小帆等人研究的是q 无界的 情况，两者结合才完全描述了各种可能情况下网络同步的稳定性。 一个动力学网络是否能够实现同步，取决于节点上动力学系统的特性、节点 的耦合方式以及网络结构。然而我们更关心网络结构对动力学网络同步稳定性的 影响。具体说来，对于同步稳定区域有界的动力学系统而言，耦合矩阵的特征值 比越小，它能使更多的动力学系统同步，我们说这样的网络同步能力强；同样， 对于同步稳定区域无界的情况，耦合矩阵次最大特征值的绝对值越大，网络的同 步能力越强。 在现实网络中，由于有限的传输速度和信息阻塞等因素，时滞是普遍存在的。 如在流行病网络中的病毒扩散和i n t e r n e t 中拥塞现象，还有在生物网络和物理网 络中，以及我们经常提起的神经网络。但是，前面很多研究过程中都没有考虑到 时滞。因此将时滞引入到复杂动态网络的模型中是十分必要的。由于泛函微分方 程的复杂性，从而对理论分析带来了相当大困扰。目前研究的一个重点是混沌节 点、耦合含时滞因素的复杂网络的同步控制与稳定性分析。李春光等提出了一个 带有时滞的一致动态网络模型，并且得出了该网络同步的充分条件：包括不依赖 时滞情况的和依赖于时滞的情况。 在国际上，日本的c h e n l 等研究了生物调节网络在平衡点的稳定性，在他 们工作的基础上，t u l - l 等利用微分不等式提出了不依赖于时滞的稳定性条件。 c l 等还研究了节点为时滞动力神经网络以线性排列结构连接组成网络，得出了 该网络的同步能力由其耦合矩阵的第二大特征值决定。这些对我们了解现实网络 都是很有价值的，同时也发现其中仍有大量问题需要解决。 本文主要研究了带有时变时滞的复杂动态网络的同步与控制问题。通过利用 稳定性理论，线性矩阵不等式，矩阵测度等方面的知识，得出了一些新的同步条 件。 1 2 2 关于复杂网络控制及同步研究所面i 晦的问题 关于复杂网络系统的控制理论的研究仍处于起步阶段，具有不同背景的研究 人员之间还缺乏足够的沟通，在研究方法上也有很大的不同复杂网络理论侧重 于从物理网络着手，建立网络模型以预测系统性质；控制理论则侧重于从控制设 6 武汉理工大学硕士学位论文 计模型着手，建物理网络以实现反馈控制目标。2 0 0 7 年8 月i e e ec o n t r o ls y s t e m m a g a z i n e 出版了复杂网络控制系统专辑。该专辑专注于网络系统控制，主要的 目的就是为了在复杂网络研究人员和控制理论学者之间建立沟通的桥梁。 随着网络系统控制理论研究的不断深入，应用研究也将围绕着提升人类生活 质量这一中心而展开。一些值得期待的领域包括： ( 1 )关键基础设施网络控制通信网络、电力网络和交通网络等的安全、稳定和 有效运行与人类生活和生产休戚相关，对这些日益复杂的网络的科学理解与有效 控制变得愈益重要。 ( 2 )生物网络控制。2 0 世纪的生命科学研究主流是建立在还原论基础上的分子 生物学，它极大地促进了人类对单个分子功能的认识，然而绝大多数生物特征都 来白于细胞的大量不同组分，如蛋自质、d n a 、r n a 和小分子之间的交互作用。 对这些极其复杂的交互作用网络的结构和动力学的分析与调控是2 1 世纪生命科 学面临的挑战之一。 ( 3 ) 经济与社会网络控制。经济控制论一直就强调用整体的、动态的、相互联 系和协调发展的观点来研究经济系统随着复杂网络理论的发展和人们对复杂经 济网络结构的更好地了解，将有助于人们更好地认识经济网络结构与系统行为之 间的关系，并进而研究更为有效的经济调控方法。此外，随着网络和计算技术的 发展，大规模社会网络的分析与控制也将可能受到更多的关注。 1 3 本文研究的主要内容及创新点 本文主要讨论了几个带有时变时滞的复杂动态网络的同步控制问题。通过 对带有时变时滞的复杂动态网络的研究，一方面可以使我们更好地了解和解释现 实世界中复杂网络所呈现出来的各种动态特征。另一方面我们得到的结果可以为 现实中对具体网络的控制提供参考。本文的主要内容和创新之处可以概述如下： 创新点一：将无通向的和有通向的加权复杂动态网络中的常时滞，推广到时 变时滞的情况，建立了带有时变时滞的加权复杂动态网络模型( 见第二章) ： 卫 x i = f ( x f ) + 巳g 扩a x o f ( f ) ) j = 1 卫 x i = f ( x f ) + 岛g ，a x j ( t f ( f ) ) j = 1 分析了其同步稳定性，我们进一步研究了将局部反馈引入部分节点的控制问题， 并且得到了几个判断网络稳定性的标准。 创新点z - 讨论了带有时变时滞的导数的复杂动态网络模型。人们经常把时 7 武汉理工大学硕士学位论文 变时滞的导数限制在0 和1 之间，但是在一些情况下，它可能是负数，鉴于此， 我们不仅考虑了导数大于0 小于1 的情况，而且还考虑了导数小于0 的情况。( 见 第三章) 创新点三：将w a n g 、d a i 和s u n 的常时滞的复杂动态网络模型【3 6 】： i ：厂( t ) + n 嚷叙j + 岛缸，( f 一7 ) 篁l 针对实际情况，进行了修改，建立了带有时变时滞复杂动态网络模型( 见第四章) ： i ：厂( 鼍) + 兰q 包+ 羔岛五_ o f ( f ) ) j - ij - l i ：( t ) + nq+naxj岛j 可f 写两t = ( t ) + q+ 岛j 可f 习两 置lj i l 并利用克罗内克积，李雅普诺夫函数，线性矩阵不等式和矩阵测度等方法得到了 带有时变时滞复杂动态网络同步的准则。 1 4 本文的结构安排 针对本文所做的研究内容和方向，各章节的安排如下： 第二章中，我们主要研究了带有时变时滞的加权复杂动态网络的牵制控制问 题，利用稳定性理论等知识得到了几个判断该网络同步的准则，并进一步将牵制 控制引入部分节点，分析其对整个网络稳定性的影响，得到几个重要结论。 第三章中，针对带有时变时滞的复杂动态网络，我们修改了模型参数，利用 构造李雅普诺夫函数，得到了几个同步的新准则，并且分别考虑了在时变时滞的 导数大于0 小于1 的情况和导数小于0 的情况下动态网络的同步性能。最后还给 出几个实例，验证了我们得到的准则的有效性。 第四章中，我们主要研究了两个推广了的带有时变时滞的复杂动态网络的同 步问题，第一个是带有时变时滞的复杂动态网络的特点是所有节点有相同的时滞 向量且每个节点的分量的时滞也相同；第二个带有时变时滞的复杂动态网络的特 点是所有节点有相同的时滞向量但单个节点的分量的时滞不相同。利用克罗内克 积，李雅普诺夫函数，线性矩阵不等式和矩阵测度等方法得到了判断该网络稳定 性的几个准则和几个推论。 第五章中，我们将对本文进行总结，并提出一些今后进一步工作的展望。 8 武汉理工大学硕士学位论文 第二章带时变时滞的加权复杂动态网络的牵制控制 这一章中我们讨论了两个带有时变时滞的加权复杂动态网络。在第一个网络 模型中，节点的分量都有相同的时变时滞，并且所有的节点有相同的时滞向量； 在第二个网络模型中，节点的分量具有不同时变时滞，而所有的节点有相同的时 滞向量。我们分别讨论了这两个网络的控制问题，并且得到了几个判断网络稳定 性的条件。 2 1 基本定义及新模型的建立 假设带有时滞的加权无向复杂动态网络，由个相互连接的节点构成，并 且每个节点的状态都是n 维【3 9 1 ： ( 2 - 1 ) 这里厂( ) 为一个连续可微函数，x ，= ( x ”工，) r r ”表示第f 个节点的状态 变量，g 0 为一常数，表示节点i 和节点j f 之间的耦合强度，a = ( 口玎) r “” 为节点间的内部耦合矩阵，g = ( ) 肌表示网络的耦合结构，其中g 盯如下定义： 如果节点f 和节点，之间有连接，其中u i ) ，则令g 盯= g = 1 ；反之，则 g 豇= g = 0u i ) ；g 中对角线元素如下定义： nn q = 一q ；瓯q = 一q 吒o = 1 , 2 ，) j 霉ij 1 1 j lj l 然而，在现实网络中，时滞经常随着时间的变化而变化，为了更好的了解现 实生活中的动态复杂网络的特征。本章主要讨论了如下的两个动态网络模型： ， x i = f ( x ，) + gg f a x j ( t r ( f ) ) ( 2 2 ) 期= 厂( t ) + g g o a x j ( t - r ( t ) ) ( 2 - 3 ) j 幸1 其中i = 1 , 2 ，n ，x i ( t - r ( t ) ) = 而，o 一_ 0 ) ) ，而：( f 一吒( f ) ) ，( f 一0 0 ) ) 7 ； 薯( f - r ( t ) ) = 五。o f o ) ) ，毛：( f f o ) ) ，( f f o ) ) ； 厂( ) ，x i ，g ，g o 和a 与( 2 1 ) 里面代表的意思相同这里我们假设 0 r ( t ) f ，0 r ，( t ) f ，( s = 1 , 2 ，p ) 9 乙k i i x f一 0血 旷 g g 一 + 、， x i ， = x 武汉理工大学硕士学位论文 本章的主要目的是研究加权的带有时变时滞的动态网络的控制问题，并且， 通过构造李雅普诺夫函数、线性矩阵不等式和矩阵测度等方法，我们得到了一些 有有趣的结论。 以下我们先给出一些定义和引理。 尺”定义于r l 维欧几里德空间，。为刀刀阶单位实矩阵，r 删”为n m 阶实 矩阵，p o ( p 丑如丑扎。 以下我们为了能够取得( 2 4 ) 的状态，我们对网络中的一小部分节点( 该部分节点 所占的比例为y 且0 7 o 使得 p z 篇即q 一。z - o ) q ，i 钏 p m 【 以彳7 只 一( 1 ，j v 那么被控网络( 2 9 ) 关于( 2 - 4 ) 渐近同步。 证明：为了研究控制网络( 2 9 ) 的稳定性，令x ，( f ) = s ( f ) + p 以) ，i = 1 , 2 ，n 且定义d = 破昭( c 。d ，c ：d ：，c 删d ) r m ，f = ( 弓) 。= ( c ：【f 岛) r 肌 对被控网络( 2 9 ) 进行线性化，得到 e o ) = j ( t ) e ( t ) + a e ( t f o ) ) 曰( 2 1 1 ) 其中j ( t ) ：= f ( s ( f ) ) r “为厂 ( f ) ) 在s ( f ) 的雅克比矩阵，b = f r d ； e ( t ) = q ( f ) ，e 2 ( t ) ，e u ( t ) 】r “。 由引理2 2 1 可知存在一个非奇异的矩阵： = ( 死，欢，九) r 肌，使得b r 矽= c a 其中人= d i a g ( h ，五，丸) 通过非奇异 变换e ( t ) q o = v ( t ) = m ( f ) ，v 2 ( t ) 9 - oo , ，v u ( t ) r “ 再由( 2 - 1 1 ) 可得： v ( f ) = j ( t ) v ( t ) + a v ( t - r ( t ) ) a 即， 吃o ) = d ( t ) v i ( t ) + z i a v i ( t z o ) ) ，i = 1 ，2 ，3 ，n ( 2 1 2 ) 于是，我们将同步状态( 2 9 ) 的稳定问题转化成了个独立的1 1 维泛函微分方程 ( 2 1 2 ) 的稳定性问题。以下证明( 2 1 2 ) 是渐近稳定的。为此我们构造李雅普诺夫函 数如下： 武汉理工大学硕士学位论文 k ( 1