（基础数学专业论文）关于rn中凸体的hadwiger包含问题和bonnesen型不等式的几点注记.pdf

砖南大学硕士学位论文 -一 摘要 i mmi i 关于r 仡中凸体的h a d w i g e r 包含问题 n b o n n e s e n 型不等 式的几点注记 基础数学专业硕士研究生程斐 指导老师周家足教授 摘要 回顾积分几何的发展历史，凸几何一直以来都是其研究的一个重要领域凸体 具有很多优美的性质，对它们的研究能够使我们发现和认识到其几何不变量之间 的关系概率和分析则是研究积分几何的重要工具在研究欧氏空间r “中一个凸体 包含另一个凸体的充分条件方面，1 9 4 1 年德国数学家h a d w i g e r 解决了平面时的情 况，所以也被称为凸体的h a d w i g e r 包含问题但凸体的h a d w i g e r 包含问题的高维情 况的推广比较复杂，结果还在不断的完善例如，周家足在硝中的w i l l m o r e 泛函 与包含问题中给出了4 维情况下凸体的h a d w i g e r 包含问题的一个充分条件又如， 张高勇在他近期的论文 g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa n di n c l u s i o nm e a s u r e so fc o n v e x b o d i e s ) ) 中给出了n 维情况下凸体的h a d w i g e r 包含问题的一个充分条件等周问题 一直以来也是积分几何研究的一个重要领域，并且它和包含问题有着密切的联系 本文首先给出了欧氏空间毋中凸体的h a d w i g e r 包含问题的另外一个充分条件及与 其相关的b o n n e s e n 型不等式：其次研究证实了常曲率曲面的一些b o n n e s e n 型不等 式；最后，给出了欧氏空间留中等周亏格与域的体积、面积之间的两个关系式 本文的主要结论如下： 推论2 6 假设k 和l 是舻中的凸体，k 的面积和体积分别为a ( k ) ，y ( k ) ，l 的 体积和平均宽度分别为y ( l ) ，m ( l ) 当v ( k ) v ( l ) 时，经过一个等距变换使 得三ck 的充分条件是 y ( k ) 击+ y ( 己) 击 n + y ( k ) 击一y ( l ) 击 ” ( 筹鬻) 由州卅n 一 ( 筹帮) a 4 了- , - v c 州书1 ) 当n 为2 维情况时，这个推论就是著名的凸集的h a d w i g e r 包含定理 定理2 1 0 ( b o n n e s e n t y p e 不等式) 如果7 和r k 分别是形中凸体k 的最大内 接球半径和最小外接球半径，k 的面积和体积分别为a ( k ) ，y ( k ) 则有 郴，由山，赤咄赴c 叫击 ( 警) 石1 机 n + ( 等) 鲁孵c ，击 ( 等) 吾慨 ( 吣， 蚶南大学硕士学位论文摘要 郴卢( 掣) 高、2 v ( k ) ) 南 ( 等) 一埘 n + ( 等) 一一硪盯一( 等) 由 ( 普) 删 州岛 定理3 i 若k 是具有常高斯曲率，c 的欧氏球面上的紧致凸集，其中k 的周长，面 积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为& ，a k ，r k ，r k 则有以下不等式： 磺( 4 丌州啦虹亟氅巡 定理3 7 若k 是具有常高斯曲率一a 的双曲平面上的紧致凸集，其中k 的周长， 面积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为，a n ，t k ，r k 则有以下不等式 p 品- - a k ( 4 丌+ a a k ) m 州t 4 7 r 2 ，鲤巫气鼎甏产些型) 当r k = r k 时，不等式转化为 磺a k ( 47 i - + a a 尺- ) ， 此时等式成立当且仅当k 是一个双曲圆盘 定理4 1 口中的单连通域d ，表面积为a 体积为v d 4 是它的凸包，表面积 为a + 体积为y + 域d 的等周亏格为a ( d ) = a n 一矿u n y 1 ，其中u 。是n 维单位球的 体积则 a a + ( d ) ， 等式成立当且仅当域d 是一个标准球 定理4 2 r n 中的单连通域d ，表面积为a 体积为v d 4 是它的凸包，表面积 为a + 体积为y + 域d 的等周亏格为( d ) = a n 一扎“y 舻1 ，其中是1 9 维单位球的 体积如果a a + ，则 y 。一y “ 其中常数c 满足e ( 筹掣) 击州叫n 一 ( ) 丢r a ( k ) m ( l ) 2 n v ( l ) 击 ) 击_ y ( 叫n ( 0 4 ) i nt h ep l a n e ，t h i sc o r o l l a r yi sw e l l - k n o w nh a d w i g e r sc o n d i t i o nf o rc o n v e xs e t s t h e o r e m2 1 0 i fr ka n dr ka r et h ei n r a d i u sa n do u t r a d i u so fac o n v e xb o d y k i n 舻r e s p e c t i v e l y , l e ta ( k ) b et h ea r e ao fk ，v ( k ) t h ev o l u m eo fk t h e n 郴，击山高州c ，由 ( 警) ；1 耐 m ( k ) 两1 + ( 罂) 丢 2 ”v ( k 1 w n 廿c 叫击 ( 等) 元1 + 豫 i ( o s ， ) 一( ( 等) 卅丌一( 2 v ( k ) u n 2 v ( k ) “h ) 击 ( 等) 一埘r + ) 击皑- 一 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t v + l e ta ( d ) = 印一矿u n y nb et h ei s o p e r i m e t r i cd e f i c i to fd ，w h e r e i st h e v o l u m eo ft h en d i m e n s i o n a lu n i tb a l l t h e nw eh a v e a 一a + 移硒， w i t ht h ee q u a l i t yh o l d si fdi sas t a n d a r ds p h e r e t h e o r e m4 2 s u p p o s eaa n dva r et h ea r e aa n dv o l u m eo fas i m p l yc o n n e c t e d r e g i o ni n pr e s p e c t i v e l y a n dl e td b ei t sc o n v e xh u l lw i t ha r e aa a n dv o l u m e v + l e ta ( d ) = a n n “u n y nb et h ei s o p e r i m e t r i cd e f i c i to fd ，w h e r e “如i st h e v o l u m eo ft h en d i m e n s i o n a lu n i tb a l l i fa a + ，w eh a v e y 一y “ w i t hci sac o n s t a n ta n ds a t i s f yc 为，t h ee q u a l i t yh o l d si fdi sas t a n d a r d s p h e r e k e y w o r d s ：b o n n e s e n - t y p ei n e q u a l i t y , c o n t a i n m e n tm e a s u r e ，c o n v e xb o d y , i s o p e r i m e t r i cd e f i c i t ，k i n e m a t i cf o r m u l a v 独创性声明 学位论文题目：关于r 九中凸体的h a d w i g e r 包含问题和b o n n e s e n 型 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：经受签字日期：汐7 年j 月彦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名： 程煲 签字日期：唧年r 月倍日 导师签名： 抖嗍勘7 耵月，鼬 阴南大学硕士学位论文前言 i _ j - 1 月i j吾 积分几何( i n t e g r a lg e o m e t r y ) ，又称为几何概率( g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y ) ，起源 于1 7 7 3 年著名的b u f f o n 投针问题1 9 3 0 年，德国数学家b l a s c h k e 首先使用了“积分 几何”这个术语并采用了概率思想来研究凸体论及大范围几何学有一大批数学 家对积分几何的发展作出了重要贡献，后来陈省身和w e i l 引入了齐性空间积分几 何学，积分几何才被提升到更高阶段积分几何是一门重要的数学分支，它的应用 和发展涉及代数学( m i n k o w s k i h l a w k a s i e g e l 理论) 、偏微分方程( p 阻d o n 变换) 、 几何分析( g e l f a n d h e l g a s o n 理论) 、凸几何、几何不等式等等 积分几何中的有关凸几何方面的研究，是从1 9 世纪下半叶n 2 0 世纪末形成发展 起来的它由著名数学大师h b r u n n 和h m i n k o w s k i t i q 立，研究对象是凸体( r n 中 具有非空内点的紧致凸子集) f 1 】主要内容包括：等周问题、混合体积理论、表面 积测度、投影体理论和均质积分等其中最核心的定理是b r u n n m i n k o w s k i 不等式 等周问题的研究经过了漫长的历史，但是直到上个世纪才将它推广到欧氏空 间的高维情况，它应用广泛，因而备受关注，可以参看 1 4 等周不等式在平面上可 以表述成固定周长的域中圆盘的面积最大，或平面上面积固定的域中圆盘的周长 最短1 9 0 2 年a h u r w i t z 给出了等周不等式在高维欧氏空间中的第一个解析证明， 其简化证明则由e s c h m i d t l 9 3 9 年给出上个世纪等周不等式还有许多精巧的证明， 例如f 3 - 5 等等等周不等式还被推广到了非欧空间中，参见【5 】， 6 】作为等周不等式 的一个加强结果的b o n n e s e n 型不等式，可参看 7 】， 8 而本文讨论的则是有关舻中 和常曲率空间中的b o n n e s e n 型不等式，例如定理( 2 1 0 ) ，定理( 3 1 ) 和定理( 3 7 ) 另外一个与等周不等式密切相关的问题则是包含问题：给定欧氏空间r 竹中的 两域d k ( 后= i ，) ，什么时候其中一个域可以移动到另一个域内? 更精确的说：是否 存在欧氏空间舒中的等距变换夕g ，使得9 d ，cd i 或g d jdd i ? 一般地，我们 问现能否包含d j ? 我们希望的答案是包含所给邻域d k 的几何不变量的几何不等式 或等式平面情形我们希望得到的条件是仅与域d 的面积和周长有关的几何不等式 或等式1 9 4 2 年，h a d w i g e r 得到了一个平面区域d t 包含另一个平面区域d j 的充分条 件( 参见【9 1 ) ，称之为h a d w i g e r 包含问题，其后任德麟也用等周亏格刻画了平面包含 问题( 参见 1 0 】) 但h a d w i g e r 包含问题高维情况的推广比较复杂，结果还在不断的 完善当中，参见f 8 1 ，f 1 1 1 7 】 几何从古自今一直被数学家们所重视，是因为它研究自然现象的某种表现形 式，而自然现象所具有的很真实的感觉是数学家灵感的重要源泉积分几何作为几 何学的个分支，它和多个学科都有着密切联系，在对推动其他学科的发展上起到 了一定的作用，然而也由于其它自然科学的发展，使其自身得到了不断的完善 1 西南大学硕+ 学位论文第1 章预备知识 1 预备知识 1 1 基本概念 设u 。表示n 维单位球的体积( 参见【1 8 】) ，满足 2 丌号 2 面酉 n ll 署 其中r 是g a m m a 函数 凸图形c o n v e xf i g u r e ) 表示彤中的一个紧致凸子集，如果它具有非空内部，则 称凸体 定义1 1 若函数“x ) 恒满足 f ( t z ) = t k f ( x ) ， 则称该函数为k 阶齐次函数 定义1 2 k 是舒中的一个凸图形，若 h k ( x ) = m a x 0 ：a u k ) 两个凸体k 和l 的m i n k o w s k i 加法定义如下 + l = z + y ：z k ，y l ) a k 表示k 的数乘积，其中入0 ，有 a k = a z ：z k ) 对于凸图形a k + p l ，它的支持函数是 a k + 且工= a h k + l t h l 它的体积是关于入和口的一个齐次多项式 y ( a k + p l ，= 妻i = o ( n i ) k c ，l ，a n 一， 系数k ( k ，l ) 叫做k 和l 的混合体积如果b 是单位球，则k ( k ，b ) 称为k 的均值积分， 用眦( k ) 表示n v l ( k ，b ) 表示k 的面积，用a k 表示，并有 ( b ，k ) = 警m ( k ) ， m ( k ) 是k 的平均宽度，其中 m ( k ) = 元2f s h k ( u ) d s ( u ) 如果kcr 3 的边界o k 是光滑的，2 7 【m ( k ) 是o k 的平均曲率积分 混合体积( k ，l ) 有一个积分表达式 v i ( k ，三) = 1f sh l ( u ) d ( u ) ， 是k 的曲面面积测度因此有等式 礼( k ，e l ) d u ( e ) = 毒a k m ( l ) ， j s o ( n ) 一 其中是s o ( n ) 上的唯一不变的概率测度，参见 2 】 m i n k o w s k 不等式：如果k 和l 是r n 中的凸体，y ( k ) 和y ( 三) 分别是他们的体积， 有 ( k ，三) “y ( k ) n - 1 y ( l ) ， 等式当且仅当k 和l 是齐次的它等价于b r u n n - m i n k o w s k i 不等式( 参见 2 】) v ( k + l ) 击y ( k ) 击+ y ( 三) 昙 对于非凸的混合体( ，m ) 击，有不等式 ( k + l ，m ) 击( k ，m ) ；南+ ( l ，m ) 两1 定义1 4 k 关于l 的内径与外径定义如下： r ( k ，三) = s 丝p a ：z r “a n dz + a l ck ) ， r ( k ，l ) = s u p a ：z r na n dz + a l k 】， 如果l 是一个单位球，则? ( k ，l ) 和兄( k ，l ) 分别是k 的最大内接球半径和最小外接 球半径，简记为r k ，r k g ( n ) 是船中的特殊运动群g ( n ) 中的每一个元素9 ：彤一r n ，有如下形式 g ：z e o + b 其中b 彤，e 是一个行列式为1 的正交矩阵 3 西南大学硕士学位论文 1 1 基本概念 定义1 5 对于单连通域d ，其面积为a ，体积为v ，定义 a ( d ) = a n n n y ”1 ， 为域d 的等周亏格 ， 定义1 6 凸图形l 包含在凸体k 中的运动测度定义如下 ， m ( 三冬k ) = 舡( 9 ) ， g e o ( n ) ：g l c _ k 假设h k 和h l 分别是k 和l 的支持函数首先我们假定l 是一个凸体，对于一个 固定的a 【0 ，r 】，考虑在单位球面上的函数h = h g a h l ，其中r = r ( k ，l ) 是k 关 于l 的内径一般的情况下，b 不是凸体的支持函数c ( k ，l ，a ) 表示半空间 z 朋：( z ：u ) b ( u ) 的交边界o c ( k ，l ，a ) 是两两不相交的，满足 ijo c ( k ，l ，a ) = k 0 0 ，凸集要求在开半球内尼( k ) 表示咒中的紧致凸集 设k 忌( k ) ，a k 和珞分别表示它的面积和周长如果k 是一维的，则段是k 的 长度的两倍( 这确保了k 的紧致集的周长在h o u s d o r f f 拓扑下是连续的) 假设k ，l 分别是k 中有限个紧致凸集合的并，x k 是其欧拉示性数若k 是空 集，有x o = 0 若k 是紧致凸集，贝j j x k = 1 其中 ) ( k u l 十x k n l2x k 十x l - 选择一个固定的点z o k 由于r 0 ，d ，表示兄中到定点的距离小于等 于r 的点的集合我们称d ，为咒中半径为r 的圆盘当圪o 时( 参见 19 】) ， 岛，= 关s i n ( 州， 他= 等( 1 一s ( 届” 当k _ 0 时，有公式p d ，= 2 7 r r 矛 i a d ，= 丌r 2 4 西南大学硕士学位论文 1 2 基本定理 1 2基本定理 定理1 7 欧氏平面r 2 中面积为a ，周长为p 的域k 满足不等式 p 2 4 r a 0 ， 等号成立的充分必要条件是肋圆盘 定理1 8 ( 2 0 】b o n n e s e n t y p e g ：等式) 欧氏平面r 2 中面积为a ，周长为p 的 域瞒足不等式 p 2 4 7 r a 7 r 2 ( r 耳一r k ) 2 ， 其中r y j l r k 分别为的最大内接圆半径及最小外接圆半径等号成立当且仅 当k 为圆盘 定理1 9 ( 2 1 等周不等式) 欧氏空间舻中，对任意的紧致闭超曲面，其所界 的体积为降面积为a ，则有等周不等式j a n n n 厶k y “一1 0 定理1 1 0 ( 2 2 ， 2 3 】， 2 4 】h a d w i g e r 巴含定理) 设kl 为欧氏平面r 2 中的域， 面积分别为a ( k ) ，a ( l ) ，周长分别为p ( k ) ，p ( l ) ，如果 2 r c ( a ( k ) + a ( 三) ) 一p ( ) 尸( 三) 0 ， 则有kcl ，或lck 定理1 1 1 ( 参见 6 】， 7 】) 假设k ，l 仡( 咒) 具有非空内部，其面积分别为a k ， a l ，周长分别为& ，兄如果 p k p l 2 7 c ( a k + a z ) 一m a k a l ， 则存在五。上的一个等距变换9 使得g k l 或者弘k 定理1 1 2 ( 【4 】， 2 5 】x 。中的运动公式) 对于k 中的紧致凸集研口l ，以腓为 位置固定的紧致凸集，l 经过等距变换与膨目交，则有 f ) ( n 豇d g = x k a l + 去玖危+ a k x l - - 嘉a k 屯 积分几何给出了一个凸体经过等距变换与另一个固定的凸体相交的测度的重 要运动公式假设k 和l 是殿中的两个凸体，p 是g ( n ) 上的h 勰r 测度，规范化如下： 通过妒( t ，e ) x = e z + t ，茁舒，有妒：r n s o ( n ) _ g ) ，s o ( n ) 为形中的旋转群 如果y 是s o ( n ) 上的唯一不变的概率测度，叩是舻上的l e b e s g u e ；1 9 1 j 度，从而肛被作为 在妒一1 下叩。驴的拉回测度若眦( k ) ，毗( l ) 是k ，l 的均值积分，i = 0 ，1 ，n ，将 得到一个重要的运动公式 厶g ( 咄g 们k 栅础( g ) = u ：1 壹i = o ( n i ) 磁( k ) 一砧 ( 1 1 ) 我们称( 1 1 ) 式左边的式子叫着k 和l 的相交测度 趟南大学硕士学位论文第2 章r ”中凸体的h a d w i g e r 包含问题 2 r 咒中凸体的h a d w i g e r 包含问题 2 1背景与包含测度 给定欧氏空间舻中的两域d k ( 惫= i ，j ) ，什么时候其中一个域可以移动到另 个域内? 更精确的说：是否存在欧氏空间形中的等距变换g g ，使得夕d fc d 或9 d f3d t ? 一般地，我们i h - d t 能否包含d j ? 我们希望的答案是包含所给邻 域j d k 的几何不变量的几何不等式或等式平面情形我们希望得到的条件是仅与 域d 的面积和周长有关的几何不等式或等式1 9 4 2 年，h a d w i g e r 得到了一个平面区 域d f 包含另一个平面区域d f 的充分条件但对于h a d w i g e r 包含问题高维情况的推 广( 参见8 1 ，f 1 1 一1 7 1 ) ，结果还在不断的完善当中 引理2 1 ( 参见 8 i ) 半空间 z 舻：( z ，u ) b ( u ) ) 的交c ( k ，l ，a ) 等价于集 合 z r n ：z + a l k 】，即 c ( k ，l ，a ) = z r n ：z + a l k ，a 0 若e s o ( n ) ，有 c ( k ，e l ，a ) = z r “：( z ，u ) h k ( u ) 一a 九。l ( 钆) ) ， a l 包含在k 内的包含测度可以依据c ( k ，e l ，入) 的体积来表示 引理2 2 ( 参见 8 】) 脚三分别是形中的一个凸体和一个凸图形，因为a 0 ， 入l 在k 内的包含测度是 ， m ( a l k ) = v ( c ( k ，e l ，入) ) 咖( e ) ， ，5 0 ( n ) 其中u k s o m j 上的唯一不变的概率测度特别的， ，i m ( l k ) = v ( c ( k ，e l ，1 ) ) 咖( e ) 引理2 3 ( 参见 8 】) 烯l 分别是舒中的一个凸体和一个凸图形，因为a 0 ， a l 在k 内的包含测度是 ， m ( 入l k ) = v ( k ) 一n d u ( e ) u ( c ( k ，e l ，盯) ，e l ) d e 7 j s o ( r i ) j 0 ，i，。 = 仃d u ( e ) ( c ( k ，e l ，盯) ，e l ) d a ( 2 1 ) 6 2 2 冗凡中凸体的h a d w i g e r 包含问题 引理2 4 ( 参见嘲) 脚l 是r 叫，的凸傣，y ( k ) y ( 三) ，则有 v ( c ( k ，l ，a ) ) y ( k ) + y ( 三) 商1 瞰( k ，l ) 击一a y ( l ) 击】n 一( k ，l ) 矗) ， ( 2 2 ) 等式成立当z _ 4 x - 3 脚三都是球 定理2 5 假设脚三是舻中的凸体，k 的面积和体积分别为a ( k ) ，y ( k ) ，三的 体积和平均宽度分别为y ( l ) ，m ( 三) ，当v ( k ) v ( l ) a ，有不等式 邮啦艘也些巫拦嘘垃 【( 业掣) 南+ y ( l ) 击 n 一 ( 业譬掣) 由一y ( 三) 击p 2 y ( l ) 丽1 等式成立 - 3 且仅当k l 都是球 ，( 2 3 ) 证明依据引理2 4 ，有 v ( c ( k ，e l ，1 ) ) v ( k ) + y ( l ) t 兰i ( 一1 ) 1 碟( k ，e l ) y ( l ) 由+ + ( 一1 ) 殴( k ，e ) 耩y ( l ) 南+ + ( 一1 ) “四y ( 己) 南 ( 2 4 ) 在( 2 4 ) 式中，如果i 是偶数，通过m i n k o w s k i 不等式，我们得到 y ( l ) 击( 一1 ) 碟( ke 己) 商n - i y ( 三) 两i暖y ( l ) 而i - - 1 ( y ( k ) n - 1 y ( 三) ) 赫 = g i 厶jn i l j n n - - i ，( 2 5 ) 如果i 是奇数，根据h 5 1 d e r 不等式，有 推出 ( 上。( 即l ) 两n - i 州e ) ) ( z ) 1 酱咖( e ) ) 措( z 。( 。，( ( ke d 而n - - i ) 忑n - - i 咖( e ) ) 籍 = ( 去) 等( z 。n ，凡( k ，e l ) d ( e ) ) 籍= ( 掣) 籍，( 2 6 ) 一y ( ) r 1 鬲c ：v l ( k ，e l ) 石n - 玎iy ( l ) 茅i 五d l ，( e ) j s o ( n ) 一g v ( l ) 格( 掣) 籍 ( 2 7 ) 7 西南大学硕士学位论文2 2r “中凸体的h a d w i g e r 包含问题 当形是偶数维欧氏空间时，对( 2 4 ) 式两边关于e s o ( n ) 进行积分，结合( 2 5 ) 式， 有 m ( l k ) ( q o y l nj n n - oyl 。，n 0 + 2yk n j n n - 2yk 厶j 元2 + + 四吨y ( k ) i 2y ( l ) 了“- - 2 + 四y ( l ) ) 一y ( 三) 击( 砩y ( 工) 击( 掣) + +碟y ( l ) 南( 掣) 署+ + 四一，y ( l ) ( 掣) 由) ， ( 2 8 ) 凼为 【( y ( k ) 鲁+ y ( l ) 击】”= c o v ( k ) + + q yl a ，n n - $ yl d ，i i + + 四y ( l ) ， y ( k ) 击一y ( l ) ；】n = c 尝v ( k ) + + ( 一1 ) y ( k ) 等y ( l ) 去+ + 铝y ( 三) ， 将以上两个不等式相加，得到 暖y ( k ) i n - oy ( l ) 元0+ 碟y ( k ) 百n - 2 y ( l ) 元2 + + 锑一2 y ( k ) 百2y ( l ) 百n - - 2 + 四y ( 三) ：盟堕盟型至其坚生盟，( 2 9 ) ：= =lzhi 同理可得 ( 掣) 由+ y ( l ) 击 n = 砩( 掣) 南+ + 碟y ( l ) 矗( 掣) 两n - - i + + 四y ( l ) 南， ( 2 1 0 ) ( 半) - v ( l ) 由r = 暖( 华) 鑫+ + ( 一1 ) t y ( l ) 由( 掣) 而n - - i + + 四y ( 三) 舟， ( 2 1 1 ) 合并( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，得到 砩y ( l ) 击( 掣) + 碟y ( l ) 击( 掣) 籍 + + m ) ( 掣) 由 ：f ! 竺2 主! 鲤主二 ! 竺! 皇二! 丝查 2 根据( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) ，化简得到 ， ( 2 1 2 ) 哗冬k ) 唑血业巫笋嘘唑 一烂型生坐型坐掣1 墨望地( 2 ) 2 v ( l 、n 1 、 8 当即是奇数维欧氏空间时，对( 2 4 ) 式两边关于e s o ( n ) 进行积分，结合( 2 7 ) 式， 有 m ( 三k )f c ：0 ，l n ，n 。- o ，k 。，0 ：+ 2yk n ，n n - - 2yl 。，五2 + + 四一3 v ( k ) 鲁v ( l ) 譬 +四一1 y ( k ) 击矿( l ) 孚) 一y ( l ) 击( 噼y ( l ) 击( 掣) + + 碟y ( l ) 矗( 掣) 而r i l l + + 叼n - r 王t ) ， ( 2 1 4 ) 因为 【( y ( k ) 击+ y ( l ) 丢 ”= c ：y ( k ) + + c 三i yk n ，n n - - iy 、。，i i + + c 嚣y ( 工) ， y ( ) 丢一y ( l ) 击】n = 碟y ( k ) + + ( 一1 ) 碟y ( k ) 等y ( l ) 鲁+ 一四y ( l ) ， 将以上两个不等式相加，得到 c ：0 y l nj t l 。- - o ，k 。，磊0 + + 四一3 y ( ) 鲁y ( l ) 警+ 四一1 y ( 丘) 丢y ( l ) 警 ：【! ! 丝2 1 ! ( 墨2 1 ! ! 丝! ! = ! ! 墨2 1 ，( 2 1 5 1 = 。一1 同理可得 ( 掣) 由+ y ( q 击r = 砩( 竿) 南+ + 碟y ( l ) 击( 掣) 籍+ + 四y ( 三) 者， ( 2 1 6 ) ( 掣) 击一y ( l ) 矗 n = 砩( 竿) 南+ + ( 一1 ) i 暖y ( l ) 击( 掣) 商n - - i + 一谨y ( l ) 鲁， ( 2 1 7 ) 合并( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) ，得到 砩y ( l ) 由( 掣) + 碟y ( ) 击( 掣) 譬+ + 四y ( l ) ：l ! 竺2 主! 堕主立二【! 竺2 主二! 幽主尘 2 根据( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) i 氍1 ( 2 1 8 ) ，化简得到 毗g k ) 瞠生业坚笋堕当垃 ( 掣) 由+ y ( l ) 寺r 一 ( 掣2 主二! 丝主 2 y ( l ) 苘1 ，( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 通过以上的证明，若使等式成立，则必须满足e l 和k 对于任意的e s o ( n ) 是齐次 的并且k ( k ，e l ) 是常数，即等式成立当且仅当k 和l 都是球 口 9 堕查奎堂堡圭堂堡垒窭一 2 3 r n 中的b o n n e s e n 型不等式 这个定理是有意义的，由它可以推出研中个凸体包含另一个凸体的充分条 件，并且不等式的右边是体积，面积和平均宽度这些几何不变量当n 为2 维的情况 时，结合凸集周长的c a u c h y 公式( 参见 4 】) ，此定理可以表示为 仇( 己k ) a ( k ) + a ( l ) 一兰攀， 么丌 其中p ( k ) ，p ( l ) 表示周长 当n 为3 维的情况时，结论也已经被证出，可以参看斟 。推论2 ，6 4 k 。i 殳k 胰r “中的凸体，当y ( k ) 2y ( l ) 时，经过一个等距变换使 得lck 的充分条件是 。 y ( k ) 昙+ y ( l ) 昙 n + y ( k ) 击一y ( l ) 击 n ( 帮) 由+ y ( 己) 击r 一 ( 鬈) 击一y ( l ) 击 矗( 2 2 。， 当n 为2 维情况时，k 和l 就是平面上的两个凸集，此时推论2 6 中的y ( ) ，y ( ) 分 别表示k 和l 的面积，a ( k ) 表示k 的周长，m ( l ) 表示l 的平均宽度挈，则( 2 2 0 ) 式 可以化简为 a ( k ) + a ( 三) ! 罂， 即 2 r ( a ( k ) + a ( 三) ) 一尸( 耳) 尸( 三) 0 此时推论就是著名的凸集的h a d 谢g e r 包含定理 2 3 r n 中的b o n n e s e n 型不等式 定理2 7 设烯三是席中的凸体，则有 (螋)由y(k)击，(221)2 n v ( l ) 吉 一 v 7 等式成立当且仅当烯l 都是球 证明依据研中的等周不等式，我们有 y ( k 1 n o 1 ：一 ! 幽鲨：上 。= ) _ 一= 2 n 亿“v ( l ) o ) n ”t t n v ( l ) 二u 嚣n n v ( l ) 一n n 西南大学硕士学位论文 2 3r n 中的b o n n e s e n 型不等式 等式成立当且仅当l 是一个球结合以上两式，则得到( 2 2 1 ) 式，并且等式成立当且 仅当k $ 1 l 都是球 口 依据推论( 2 6 ) 和定理( 2 7 ) 可推出 推论2 8 假设脚l 是舻中的凸体，当v ( k ) y ( l ) 时，经过一个等距变换使 得lck 的充分条件是 ( 器) 击+ y ( l ) 击 ( y ( k ) 吾+ y ( l ) 击) n + ( y ( k ) ；一y ( 三) 丢) ” 丢 推论2 9 假设脚l 是r 叫，的凸体， 得三ck 的充分条件是 当y ( k ) y ( l ) 时，经过一个等距变换使 ( 筹等) 南叫砟 0 和k o 时，畿表示半径为击的欧氏球面因为凸集k 总是包含在一个开半球 内，则其最小外接球半径r 耳 焘k 在s ：中的补集k 7 和k 满足等式a k + a k ，= 4 7 r 尤 定理3 1 若腚具有常高斯曲率k 的欧氏球面上的紧致凸集，其中k 的周长， 面积，最大内接球半径和最小外接球半径分别为r ，a 耳，r k ，r k 则有以下不等式? 磙咄( 4 ，r - a a k ) 垫坠箍驾爷盟 证明当k 是一个圆盘时，有r k = r k ，不等式两边都为零，则成立当k k ( ) 不是圆盘时，有r k r k 对3 j = r k 2 丌( a 耳+ 2 圪。7 r ( 1 - c o s ( e ) ) ) _ n a n2 圪7 | c ( i - c o s ( v 辰e ) ) ， 化简不等式，有 f p 耳k t s i n ( v 佩) a k + 誓( 1 一c 。s ( 、瓦e ) 一a k ( 1 一c 。s ( 石e ) ) ， 、k k 】3 斥s i n ( 诉e ) 一蕊2 7 f ( 诉a 耳一关) c o s ( 瓜) 不妨设p = p k 和a = a k ，则转化为 蹦n ( 瓜) 一蕊2 t ( ( 周一关) c o s ( 雁) 由于k 七( 瑗) 是凸的，k 必须包含在一个开半球内，p 袅所以 p s i n ( 佩一关 o ( 3 1 ) 因此，( 3 1 ) 式两边是非正的令z = s m ( 诉e ) ，有c o s ( 诉e ) = 曰两边平方得 到 p 2 x 2 一兰至p z + 坐兰 、k k 对( 3 2 ) 式整理得到 ，( z ) ( k a 一2 7 r ) 2 0 ，则对于充分大的有f ( x ) 0 因为 在z ( s i n ( x 瓦r k ) ，s i n ( v 元r k ) ) 时，( z ) 0 ，所以f ( x ) 有两个实根，并且这两个根 在开区间( s i n ( 廊) ，s i n ( 诉船) ) 的两侧二次函数f 的判别式6 ( ，) 计算如下： 6 ( ，) = ( 舞p ) 2 4 4 4 7 r 2 p 2 4 7 r 2 p 2 4华+p。(4丌一仡a)alkj 一 掣 ( 4 丌- n a ) a 。 k 。 j 一4 丌a p 2 + 群p 2 一恚( 仡a 一2 舻4 7 - - ) 卅k j = 4 等( 4 4 砌“一扣砌) 2 ( 4 ，r - - a ) a ：4 i p 2 ( 2 丌一删2 一三( k a 一2 妒( 4 r - a ) a lk k j 依据韦达定理，有 4 ( 2 ，r - n 钟( 等一扣一? 伽 4 ( 2 7 r 一，c a ) 2 ( 譬一l ( 4 7 r t a ) a ) 【毕+ p 2 1 2l七 1 4 ( s i n 、石r k s i n 、乏7 k ) 2 ， ( 3 4 ) _。，。l _ 西南大学硕士学位论文 3 1 问题背景与2 _ j ：的b o n n e s e n 型不等式 化简得到 p 品- a k ( 4 丌- - n a k ) 垫堕气象鲨萨掣型 推论3 2 若k 七( 砩) 则有以下不等式j 磺一a k ( 4 r g a k ) 去( s i n 诉r k - - s i n 诉r k ) 2 ( 2 刀- - a 耳) 2 ， 等式成立当且仅当腚一个球形的圆盘 得到 证明由于 ( 2 7 r n a g ) 2 + 仡磙 磙一a k ( 4 7 r k 1 k ) ( 2 7 r n a g ) 2 ， ( s i n 以r k s i n 诉r ) 2 ( ( 2 丌一a a k ) 2 + k 磺) 2 4 n ( 2 r g a g ) 2 ( s i n 诉r k s i n 、辰r ) 2 ( 2 7 r n a k ) 4 4 k f 2 7 r g a g ) 2 去( s i n , - ；r k - - s i n 西k ) 22 7 1 - - 2 若等式成立，则要求p k = o 或者r k = 盘 口 ( 3 5 ) r k ，此时k 一个点或者是一个球形的圆 口 推论3 3 若k 忌( 更) 则有以下不等式： 磙a k ( i v n a k ) ， 謦 等式成立当且仅当硬一个球形的圆盘 推论3 4 若k k ( s i ) ，k 表示臃爰上的补集则有以下不等式： 磺一圪a k a k ，蠢( s i n 诉r k s i n 4 - ；r k ) 2 ( a k a k ，) 2 ， 等式成立当且仅当腚一个球形的圆盘 1 5 西南大学硕士学位论文 3 2 日；上的b o n n e s e n 型不等式 证明因为a + a k ，= 4 _ _ 。k r ，依据引理3 2 ，有 壤一k a k a k ，去( s i n 诉欺一s i n 俯舻( n a k + 么t c a k , 一k a ) 2 孟( s i n 以欺一s i n 以r k ) 2 ( a k a ，) 2 ( 3 6 ) 若等式成立，则要求& = o 或者r k = r k ，此时k 一个点或者是一个球形的圆 盘口 推论3 5 若k 尼( 2 ) ，k 7 表示k 在碟上的补集则有以下不等式? 磉- - k a k a k ，( s i nx 乏r k - - s i n v 乏r g ) 2 ( i 7 ( 2 一a k a k , ) ， 等式成立当且仅当腚一个球形的圆盘 3 2 磁上的b o n n e s e n 型不等式 当k o 时，令a = ，磁表示常高斯曲率为一a 的双曲平面 定理3 6 若k 是具有常高斯曲率一a 的双曲平面上的紧致凸集当( 2 7 r + a a k ) 2 一a 磺o 时，其中的周长，面积，最大内接球半径和最小外接球半径