（基础数学专业论文）besov函数与卷积算子交换子的有界性问题.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究b e s o v 函数与三类型卷积算子的交换子的有界性问题，三类型 卷积算子分别为乘子算子，奇异积分算子和分数次积分算子全文分四章： 第一章简要介绍了乘子算子，奇异积分算子和分数次积分算子的多线性交换 子有界性问题的背景及其发展情况，并介绍了本文相关的符号和预备知识 第二章讨论乘子算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换子在口( r n ) 上的映射 性质在本章中我们证明了【5 ，卅是从汐( r 竹) 至i j l 2 ( r n ) 的有界算子 第三章研究奇异积分和分数次积分算子与b e s o v 函数生成的交换子映射性质 在本章第一节中我们证明多线性交换子匮卅以及 云，p 】是从l d ( r n ) 至u l r ( p ) 上的 有界算子，第二节中我们证明 6 ，卅是从( r n ) 到群_ 1 肌( r - ) 的有界算子，同时 还得到坪是从( 妒) 到群- 1 肌( p ) 的有界算子 第四章研究了乘子算子与b e s o vj 函数的交换子在( r n ) 上的映射性质在本章 中我们得至l j b ，卅是从l d ( r n ) 至l j l r ( r n ) 的有界算子 关键词：交换子；乘子；奇异积分算子；分数次积分算子；b e s o v 空i 司；l i p s c h i t z 空 间；t r i b e l - l i z o r k i n 空间 1 i 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db yb e s o v f u n c t i o n sw i t hs o m ec o n v o l u t i o no p e r a t o r s ，i n c l u d i n gm u l t i p l i e ro p e r a t o r ，s i n g u - l a ri n t e g r a lo p e r a t o ra n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r t h i sp a p e ri so r g a n i z e da s f o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ti nt h es t u d yo ft h eb o u n d - e d n e s so fc o m m u t a t o r so fm u l t i p l i e ro p e r a t o r s ，s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n d f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r s a n dt h e nw ei n t r o d u c es o m ec o r r e l a t i v es y m b o l sa n d p r o p a e d e u t i c s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro fm u l - t i p l i e ro p e r a t o r sr e l a t e dt ol i p s c h i t zf u n c t i o n sf r o m 口( 瞅) t ol 2 ( 舻) i nt h e c h a p t e r ，w ep r o v et h a tt h eo p e r a t o r 匮刀i sb o u n d e df r o m 驴( 融) t ol 2 ( 舻) i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n df r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r sw i t hb e s o v f u n c t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ep r o v et h a tt h eo p e r a t o r s 晦，司a n d 【b ，j a 】a r eb o u n d e d f r o ml d ( 舻) t o ( 瞅) i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w es h o wt h a tt h ec o m m u t a t o r 【6 ，邪i sb o u n d e df r o m ( 时) t o 霹q 伽 ( 舯) ，a sw e na s 霹f r o ml d ( 融) t o 劈。肼，( 舻) i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so fm u l t i p l i e r o p e r a t o r sw i t hb e s o vf u n c t i o n s i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h em a p p i n gp r o p e r t i e s o f 【b ，列f r o ml d ( 职) t ol r ( 舻) k e yw o r d s ：c o m m u t a t o r ；m u l t i p l i e r ；s i n g u l a ri n t e g r ao p e r a t o r ； f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r ；l i p s c h i t zf u n c t i o n ；b e s o v ef u n c t i o n ； t r i b e l - l i z o r k i ns p a c e s 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名乌邓睁日期可年占月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密匦 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 名群略 导师签名：上摊树，_ ，1 r lf 日期：d 7 年岁月，刍日 日期：67 年j 一月，6e l 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1问题研究的背景及意义 自从2 0 世纪5 0 年代c a l d e r o n - z y g m u n d 创立奇异积分算子理论以来，有关奇异 积分算子的研究取得了许多重要的进展事实上，1 9 5 2 年，c a l d e r o n 和z y g m u n d p l 为 研究椭圆型偏微分方程而首次引入了奇异积分的概念，并证明了其存在性条件 1 9 5 5 年，c a l d e r o n 与z y g m u n d 2 1 研究了一类卷积型奇异积分算子，并在一定条件 下证明了其护( r n ) 有界性此后，奇异积分理论的发展对偏微分方程以及相关的 领域的研究起到了巨大的推动作用，这反过来促使奇异积分理论越发受到人们的 重视而得到长足的发展 奇异积分与b m o 函数生成的交换子是研究变系数偏微分方程的重要工具 1 9 6 5 年，c a l d e r o n 3 研究了一类交换子，它出现于沿l i p 曲线的c a u c h y 积分问题中 作为奇异积分理论与c a l d e r o n 型交换子的推广，c a l d e r o n 4 研究了一类多线性交换 子，其后许多学者展开了关于多线性奇异积分算子的研究，c a l d e r o n 4 ，b a j s a k - c o i 6 n 锄【副，c o h e n - g o s s e l i n n ，m ，h o f - m a n s 以及胡国恩【9 】1 1 0 c o i f m a n ，r o c h b e r g 和 w e i s s 在 1 1 】中证明算子l p ( r n ) ( 1 p o o ) 有界的一个等价性条件：b b m o ( r n ) 一般来说，奇异积分算子交换子是妒( 舯) ( 1 p o o ) 有界的，但渤= 1 ，奇异积 分交换子不是强有界的，甚至不是弱有界的1 9 9 5 年，p e r e z 1 2 1 给出了奇异积分交 换子的弱型估计 c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子为t 定义为 ， p v ( z y ) f ( y ) d y ， ，p 其e e k ( x ) = 业i x l ，z r n o ) 函数q 是一个零次齐次函数且有以下性质： ， q ( z ) 妇= 0 ，a ( x ) c ( & 一1 ) ， j s n 一1 其中一1 为r n 中的单位球面 1 9 7 6 年，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 在文献 1 1 e e 给出了一个重要的结果，即 交换子 6 ，卅f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一t ( b f ) ( x )( 1 1 ) 是在p ( 础) ( 1 p o o ) 上有界的，当且仅当6 b m o ( r n ) 1 9 7 8 年，j a n s o n 在文 献 1 3 】中证明了交换子【6 ，刁是从己p ( r n ) 至u l q ( r n ) 的有界算子，当且仅当6 ( r n ) ， 0 1 ，1 q = l i p p 礼，其中1 p q o o ，入卢( p ) 是齐次l i p 8 c h i t z 空间 一1 一 b e s o v i 函数与卷积算了交换了的仃界竹 在偏微分方程中，为了研究p o s s i o n 方程 钆= f 的解，引入了标准的分数次积分算子( 又称r i e s z 位势算子) l ， rf f ，、 厶m ) 2 上。带d y ( 吣吣n ) 对标准分数次积分算子厶的研究已有几十年的历史，其中一个经典的结果是s o b l e v 在1 9 3 8 年证明了它从口( r n ) 到口 船) 上的有界性及z y g m u n d 14 】在1 9 5 6 年证明了 其弱( 1 ，击) 型的估计七十年代，h a r d y 空间【1 5 】实变理论的发展，促进了在h a r d y 空 间上的算子有界性的研究1 9 8 0 年，t a i b l e s o n 和w b i s s 【1 6 】运用h a r d y 空间上的分子 分解方法，证明了厶为( 俨( r n ) ，l q ( r n ) ) 和( h p ( r n ) ，日q ( r n ) ) 型算子 1 9 8 2 年，c h a n i l l o 1 t l 引入了分数次积分算子的交换子 6 ，厶】： 【b ，i c , f ( m ) = 6 ( z ) l ，( z ) 一厶( 6 ，) ( z ) ( 1 2 ) 并给出以下结果： 设1 p q o o ，1 p 一1 q = q n ，那么交换子【6 ，l 】是从l p ( 妒) 到口( p ) 的 有界算子，当且仅当b b m o ( r n ) 1 9 9 5 年，m p a l u z y n s k i 1 8 j 证明了交换子 6 ，刁是从p ( 渺) 到露，( p ) 的有界 算子，当且仅当1 p o o ，0 p 1 ，b ( 船) ，其中露，o 。( ) 是齐次n i e b e l - l i z o r k i n 空间，以及相应的分数次积分算子交换子 6 ，l 】的结果：交换子 6 ，厶 是口 ( r n ) 到霹，o o ( p ) 的有界算子，当且仅当1 p o o ，0 p l ，1 p 一1 口= q n ，b 入p ( 瞅) 2 0 0 2 年，陆善镇，吴强，杨大春在 1 9 】中证明了交换子【6 ，t 】是从h p ( r n ) 到l 9 ( r n ) 的有界算子，b 入p ( r n ) ，0 p 1 ，南 p 1 ，1 q = 1 p p n ，以及 6 ，t 】是 从日k 嚣，p ( 妒) 到镌p ( r 竹) 的有界算子，0 p o 。，1 q l ，q 2 ，b ( r n ) ，0 p 1 ，1 q 2 = l q 2 一p n ，n ( 1 一l q 1 ) a n ( 1 1 9 1 ) + p 同年，p e r e z 和t r u j i u o f o n z d l e z 2 0 1 引入了奇异积分算子的多线性交换子： 瓦t 2 厶k = l ( 沪) 酢刊舳) 屯 ( 1 3 ) 其中k 是一个c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分核如果巩b m o ( r n ) ，k = 1 ，2 ，仇， 他们证明了交换子 瓦t 】是在护( ) 上的有界算子( 1 p o 。) 陈艳萍和马柏林 在文献 2 l 】中引入分数次积分算子的多线性交换子： 帆抓垆上。酗6 如) ) 南m ， ( 1 4 ) 硕j j 学位论文 并证明了当i = ( b 1 ，b m ) ，b 七入口( r n ) ，1 k m ，0 侥 p ，0 p 1 时，交 换子匠t 】是从妒( 黔) 到穆，( r n ) 的有界算子，相应地有交换子匠l 】是从妒( 础) 到 馨，( r n ) 的有界算子，其o ol q = 1 p 一口加 2 0 0 6 年，刘丽霞和马柏林在文献【2 2 】中引入了一类乘子算子t ( t f ) ( ) = m ( ) ， ( ) ，s ( 1 5 ) 其中函数m c ( r n ) 是一个乘子， 是函数的f o u r i e r 变换并且给出了以下结 果： 定理1 1 - 设j ( j 2 ) 是一个正整数，b ，0 p 1 ，且定义交换子 6 ，卅同 式子( 1 1 ) 假设乘子m c o 。( r n ) 满足以下的性质： m ( ) i c ( 1 + 咖，i d q m ( ) i c ( 1 + 咄 i a l = j 其中c 及a 1 ，a 2 是三个正常数那么 ( 1 ) 当n 1 一a 2 一1 ，0 p m i n 2 ( 暑1 ) ，2 ( a l - l a 2 + 一1 ) ) 时有 i i 6 ，刀州2 c l l f l l p ， ( 2 ) 当n 1 一口2 一1 0 p 环知时有 i li b ，卅f 1 1 2 c l l f l l p 其中三= 互1 + 等 定理1 2 条件同定理 1 1 】，其结论如下： ( 1 ) 当n 1 一0 2 一1 ，0 p m t 佗_ 币知，琢翻) 时有 l 【6 ，t f l l 口c i i f l l 2 ， ( 2 ) 当0 1 一口2 一1 ，0 卢 环葡时有 i i 6 ，列：i i 口c l l f l l 2 其中! q = 互1 一等 在本文中，首先我们定义乘子的多线性交换子n ( 1 3 ) ，并证明了和定理1 1 以 及定理1 2 相同的结论随后，研究了b e s o v 函数和c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算 子交换子的有界性以及b e s o v 函数和c a l d e r o n - z y g m u n d 奇异积分算子的多线性交 换子的有界性进一步地，讨论- y b e s o v 函数与上述乘子的交换子的有界性问题 一3 一 b e s o v g 数j 卷积笄r 交换了的有界性 1 2相关的定义与符号 在本文中，q 表不时上各边均平行于坐标轴的方体对于局部司积函数， 设m ：为h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子，即 m ( ，) ( z ) = ：罂再1 ij qi m ) z qh 我们记尬( 厂) = ( m ( i f l 7 ) ) m ，0 7 o o 并记嗨( ，) ( z ) 分数次, h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子，即 晦( 似z ) - s 锄u p 而1 而乞i 他) ，o 1 ，记齐次t r i e 6 e 2 一l i z o r k i n 空间【2 3 1 为帮( p ) ； 用( p ) 表示l i p s c h i t z 空间，即若函数，满足 忖队胛旷罢嵴产 o 。， 其中2 是阶差分算子，即 a l f ( x ) = a f ( z ) = s ( x + h ) 一，( z ) ， 纩1 f ( x ) = 2 厂 + h ) 一：厂( z ) k 1 4 一 硕士学位论文 则称厂属于l i p s c h i t z 空间【1 4 】，记为f 入口( r n ) 另外，由定义易知，若f ( x ) h z ( r n ) 且0 0 ，c q 为中心与q 相同，边长为其c 倍的 方体对一个方体q ，设 如= ，f 从而就有 s u pi ， ) 一，q isc i q r 肪i l f l l 口( r n ) 用 铲( 舯) 表示b e s 俐空间删，对于o p 1 ，1 p ，q ，若 i i ，i i 唯一c ，= ( 上。盟丛竺铲出) 1 g o o 我们就称，属于b e s 伽空间，记为，赌g ( 舯) 现在我们介绍一些本文中需要的一些重要不等式： 引理1 2 1 但魂出r 不等式) 设函数，妒( 时) ，g l q ( r n ) ，1 p ，q o o 且；+ ；= 1 ，那么有 上。i f ( z ) 夕( z ) l d z ( 上。i f ( z ) i p 出) 5 ( 上。j 夕( z ) l g 血) ； 引理1 2 2 阻t 七砌s 兢不等式j 设1 p 0 0 ，函数，g 汐( 舻) ，那么有 i i ，+ 夕i i p i i f l l p + 0 9 | i p 引理1 2 3 旷义日6 f d e r 不等式) 设尼2 是一个正整数，1 i 忌，1 哦 ，警1 毒= 1 ，五三吼( r n ) ，那么有 上。l 蓟舢k 引理1 2 4 设对所有正整数i ( 1 i 0 , 1 p q 0 0 ，那么就有 一5 一 屈 吼 汹 一 向 勺 啦 谢 b e s o v 函数与卷积算子交换子的有界性 第2 章l i p s c h i t z 函数和乘子算子的多线性交 换子的有界性 2 1引理及其证明 引理2 1 1 设b 入口( 船) ，0 p o ji 正- u l 7 那么对于所有的l p o j l x - y l r s u pi q i - 1 i b ( x ) 一b ( y ) l f ( y ) l d y z e q ，q s u p i q i 一1 | 6 ( z ) 一6 q + b q b ( y ) l f ( y ) l d y z t 4 , j q s u pl q i 一1 i b ( x ) 一b o l l f ( y ) l d y + s u pi q i 一1 i b q b ( y ) l l f ( y ) l d y x e qjq x e q3 q c s u pi q i - 1 俐n p i i l f ( y ) d y z q ，口 我们记分数次极大算子m p f ( x ) ： m a f ( x ) = s u pl q i - 1 + n | f ( y ) i d y x e qj 因此要证引理只需证明 i l 嗨州。c l l y l l p 令p = p q ，1 u 0 ，我们记b ( z o ，) 为以z o 为圆点，半径为r 的球，且 记球b ( x o ，r ) 的特征函数为x 0 ) = x b ( x o ，7 - ) ) 那么由( 2 1 ) 以及f e f f e r m a n - s t e i n 不 等式【箱1 ，我们有 ( m ：d ( z ) ) p l p d x c l l s l l , , 一口) p 口( m ( i f l u ) ( z ) ) p x ( z ) 如 j b ( z o ，r ) ，r ” c t i s l l ； 棚) p l p i f l p ( x ) m x ( x ) d a = c l l s l i 7 卅) p 口 i f l p ( x ) m x ( z ) d z p 却汩归蚤k 州b ( 孤州帆棚施) 血 c l i s l i d 埘) p l p i ：l p ( x ) d z + c i l s l l ( ：卅印喜t 州叭聊r ) l m ) l p 南出 如i i s l l ；1 卅圳口 l l f l l ；+ z 渊2 ( j - 1 ) n k m ) i f ( 柙z ) c l l s l l ；p 让r _ ，我们就可以得到 i i m p ：i i 口c l l ：l l p 从而有 i i m 6 i i 。c l l f l l p 一7 一 b e s o v 函数与卷积算了交换子的有界性 引理 2 1 1 h t 毕 引理2 1 2 设i = ( 6 1 ，k ) ，玩入觑，1 i 忌，0 o j 训电 i z 一，- i r o 那么对于所有的1 p ，以及p 兰= 昙+ 等我们有 l i 嗨( 删i q c i l l l p 引理2 1 3 设1 6 0 ，存在一个正常 数c = c ( n ，c ，e ，n ) p 2 得 ( 1 ) 当一c 一1 ，c 0 以及o p m i n 而葡，瓦乏- - c 玎) 时，有 6 ，t * f l l 2 c 6 i l b l l 口( r n ) l l f l l p ， ( 2 ) 当一c 一l ，c 0 以及o 0 一8 一 硕上学位论文 对于l 1 ，令咖( z ) = 2 - t n 矽( 2 一z ) 记砥是算子乃的核，即( z ) = m 6 v ( z ) ，其 中佻v ) 是m s f o u r i e r 变换分裂为 ( z ) = 9 6 ( z ) ( z ) + ( z ) 咖( z ) = 磁( z ) 1 = 1 1 = 0 因为1 6 o o 以及s 唧m 6c 6 2 h 2 6 ) 一个直接的计算可以得到： i l 磁i l c i l 9 6 l l c 扩+ c 设是一个核为磁的乘子算子由y b u n g 不等式有 i 刃| j c 扩+ 。i i 厂1 1 1 记 ( 硭) ( ) = 锄偌一2 - 1 r ) ( r ) d r - ，r n 因为在原点的一个领域内为零且是一个s c h w a r z 函数，从而我们有 上。椰( 叩) 却= 。， 以及 上。啪绷却 。 其中，y 是一个多重指数我们把m 6 围绕按1 址o y 级数展开有 i ( 磁) ( ) i l i d a m ( 钏2 叫参( 叩) j 咖c 2 一 l a l = j v r “ 首先，根据p l a n c h e r e l 定理，上面不等式意味着 i i 列，l | 2 c 2 一i z 另一方面，运用y o u n g 不等式我们有 | | ( 尉) l l i l ( ) l l i i ；z l l 。c 6 c ， 也就意味着 i i 砖刘2 c 6 。m 1 2 因此，对于每个固定的( 0 z ， 1 ) 有 i i 川2 c 6 泖( 一c ) 2 刮1 2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) b e s o v 函数与卷积算子交换予的有界竹 m ( 2 1 ) 以及( 2 4 ) ，根据m a r c i n k i e w s z 内插定理 2 6 】，对于每个口，其中2 q 0 ，因为o 瓣2，即o 篇 1 ，所以我们可以选 择( o 1 ) 大于并充分接近于端，使得： ( 1 ) 当一c 一l ( c o ) ，0 p 2 ( n 土- c + 1 ) 时，有 2 p z ，( 1 2 f l l n ) ，c + v ( g c ) ( 1 2 f l n ) + 2 f l 一g ， 并且 ( 2 ) 当一c - 1 ，时，有 2 f l v ( 1 2 j 3 1 n ) ，v ( y c ) ( 1 2 z n ) + 2 f l s 从而存在一个与c 无关的常数，y ，使得： ( 1 ) 当一c 一l ( c o ) ，0 卢 币茬葡时，有 i i 匠砖】，1 1 2 c 2 一叫6 5j l ，i | p ； 并且 ( 2 ) 当一c - - i ，时，有 l i 匠础】州2 c 2 一叫6 卧e i l 州p 其中1 f p = 1 2 + 8 n 上面的不等式对所有的l 进行求和，从而引理 2 1 3 】证毕 一1 3 b e s o v 函数。卷积算子交换子的有界性 2 2主要结论及其证明 定理2 2 1 设歹2 ) 是一个正整数，i = ( 6 1 ，一，k ) ，b i 入风，1 i 尼，0 屈，笔1 展= p l ，且匠丁】的定义同( 1 3 ) 假设乘子仇c j ( v ) 满足以 下的性质： m ( ) i c ( i + 叫， i m a m ( ) i c ( 1 + - 0 2 1 a l = j 其中c 及a 1 ，a 2 是三个正常数那么 ( 1 ) 当0 1 一0 2 一1 ，0 p m i n 巧葡，硒翻) 时有 ，邪州z c l l f l l p ， ( 2 ) 当0 1 一a 2 一1 ，0 p 丽葡时有 i li a , t f l l 。c l l f l l p 其中兰p = j 1 + 等 定理2 2 2 条件和定理 2 2 1 】相同，其结论如下： ( 1 ) 当0 1 一0 2 一1 ，0 p m 伽 环葡，瓦毒瓮丽) 时有 惦卅f l l 口c l l f l l 。， ( 2 ) 当n 1 一0 2 一1 ，0 p 丽知时有 l i b , t f l l 。c l l f l l z 其中三q = 互1 一等 证： 不妨设k = 1 函数，咖和引理 2 1 3 中所定义一样因此我们可以 分解乘子为： m ) = m ) 咖。 ) + m 惫( ) 机( ) = m 七 ) ，k z k = lk = o 定义算子死为： ( 死( 厂) ) ( ) = m 知( ) ， ( ) 类似定义( 1 3 ) 我们定义函数向量细算子瓦的交换子，并记为匠死】我们就有 b , t l f ( x ) 瓦死 m ) k = o 一14 硕士学位论文 因为m o q ( r “) ，通过平凡的计算可以得到： e 蜀】，( z ) c 附( z ) ， 其中m 扩( z ) 为向量值的日n r 曲一l 砒f e 伽d d d 极大算子，这样根据引理【2 1 2 】我们知 道交换子匠】是从l 喾到l 2 的有界算子现在我们只需考虑匠死 ，k 1 由引 理【2 1 3 我们有 ( 1 ) 当0 1 一0 2 一1 ，0 p m 饥 环知，可不a 五l 丽) 时有 也就有 云, t k f l l 2 c 2 一铋l l f l l p ， 匠卵川2 临驯2 c 2 一l l f l l p k七 c l l f l l p ( 2 ) 当n 1 一0 2 一1 ，0 p 环葡时有 也就有 b , t k f l l 2 c 2 ( - a l + e ) 。i l f l l p 瓦吼川2 临死m c 2 知( 口l 押) l l f l l p kk c i i f l l p 其中p 兰= 互1 + 等 从而有定理中的结论得证 定理 2 2 2 】的证明和定理【2 2 1 】的类似，这里我们不再赘述 一1 5 b e s o v 数j 卷积算子交换予的有界性 第3 章b e s o v 函数和奇异积分算子交换子的 有界性 在本章中，我们用两中方法分别证明了b e s o v 函数和奇异积分算子交换子的 两种有界性结果，并得出了相应的分数次积分算子的有界性结果 3 1b e s o v 函数的多线性交换子的有界性 定理3 1 1 设 6 ，t 】是由式子( 1 3 ) 所定义的交换子，b k 入轳( r n ) ，k z + ，1 k m ，0 p 1 ，1 m q p o o 如果o 舞 佗，志 1 ，对变量x 运用舶z 如r 不等式有 s j g ( 上。垂( 上。i ! 生! ! ! 铲d t ) p ，m q d z ) m ，p 上。( 上。止笔幂三j ；：蜷竺享d 亡) p “q m v 口。一仇帕d z - 白一竹 v ， 硕l 学位论文 因为： 1 ，对上式的第一个因子对变量x 廷用j 义h 5 1 d e r 不等式有 甄c 垂上。( 上。堕鱼与鲁箬二鲨m 口如) 1 p 上。c 上。与簿出，( q - m ) q o , - m i v ) d x ，沪w ) 伽， 再运用m 讥七d 伽s 航不等式有 魏c 姒型产妒 上。( 厶幕然等州q _ m ) 触一帽妒一肋， c 卧队以厶鬻妒刊触一协r ) 加 记q = 纽q - m 取g = ，口m m ，由定理中的条件，南 d 蒜，；= 一譬+ 詈，可 得到警器= - l d ( q - m ) 一罟由s o b l e v 不等式，我们有 s 1 c l | 6 k i i a r ，。i i 厶( 9 ) l l ( 国q - - 一m m ) ) p r q g ( p - m r ) c i b l i a ；, q l l y i l d ( q ( 口- 一m 仇) 1 ) q g c i i b l i a ；, 一i l f l l d 定理【3 1 1 】得证 关于分数次积分算子与b e s 伽函数生成的多线性交换子，我们的结果如下： 定理3 1 2 设匠五】是由式子( 1 4 ) 定义的多线性交换子，其中k 人各口( r n ) ，k z + ，1 k m ，0 p 1 ，1 m q p 0 0 ，记口= 塑q 翌- 业m 如果0 q 犯，南 d 1 ，对变量x 运用日魂d e r 不等式有 c ( 上。垂( 上。暨型睦羔铲d t ) m 。d z ) m 屈 上。( 上。上丛三= i j ：! 圣! 兰d t ) p “叮一m ) q ( p m r ) d z ) 一m 帕矽， 因为： 1 ，对上式的第一个因子对变量x 运用广义日魂d e r 不等式有 岛c 姒( 厶咝嵩业砒叫珈- 上。( 上。i ：( x 可- f t ) l ：q - c q - m ) 出) p r ( q - m ) l q ( p - m r ) d x ) 一m r ) 舫， 再运用m i n 七d 叫s 七i 不等式有 研c 姒盟笋妒 上。( 上。止丛竺i i j ；! 兰! 兰d 亡) p “口一m v q ( p m r ) d z ) p m ”加， c 卧i l 矿“。竿蚴p r ( q - m ) l q ( p - m r ) d x p 州胁 取夕= f q ( g m j ，由定理中的条件，志 d 尚以及；= 5 一止+ 詈，我们 有 c n 慨i i 驯厶( 删i i ( 。q _ m ) - - m ) 毗q ( 一，) c i i b l l ；啪i ii | d ( q ( q - - - m ) m ) q gc l l b l l 圳州d 至此定理f 3 】2 1 得证 3 2b e s o v 函数和奇异积分算子的交换子的有界性 在本节中，我们通过一个刻划t b e s o v 空间性质的引理来讨论b e s o v 函数和奇 异积分算子的交换子的有界性另外为方便证明起见，本节出现的奇异积分，分数 次积分算子与b e s o v 函数生成的交换子分别简记为死，学 一1 8 引理3 2 1l 1 3 1 设q 为r n 上的一个方体，n 为任意的实数，我们有 面1z i ，一局i 2 而1z l ，一乩 其中f q = l q f 引理3 2 2 吲 设6 人多口，对于o p 1 ，1 p o o ，我们就有： i l l l l s f 舟hs u q p 衙杀上卜q 1 1 1 p 引理3 2 3 ( a ) 设6 唯口，对于o 卢 1 ，1 口 p ，我们有 s u p 南l1 6 一幻j s u q p 雨南( 上f 6 6 q | g ) 1 q _ _ c i l 6 f i 君。 ( b ) 对于o p 1 ，1 p q o o ，我们就有： s u p 丽厶i b - 幻f p c i i b l l j , r , ，a 证：为证明引理 3 2 3 j 中的( a ) ，我们首先证明 s u p i q l ( 1 l q + 1 p 1 _ , l p ) ( 一：= 1 6 一v 鼋 1 ，内部对变量z 运用舶z 如r 不等式我们有 & c i q i 一1 ( i b ( z + 芒) 一b ( z ) p d z ) q p d t l q l l 一g 肋 j t e j 口 s c i q l - 1 ( f qi b ( z + 雨t ) 丽- b ( z ) p d z ) q i p 旷p g 叩i 一g p c i q i ( 一1 + 1 一q i q i l + 卢q n i l b l l , $ ，a c l q i 1 + q n l 一g p 1 1 6 i i 楷a 一1 9 b e s o v 函数与卷积算7 交换了的仃抖r 对。卜引理甲的弟一个个，昔式，利用h 5 1 d e r 个，寺瓦找1 l j 伺 z1 6 一b q l p 1 n p ，2 口 p 2 q q 一2 ，那么交换子死，是到碍口- 1 7 ”的有界算 子 证：固定一个方体q = q ( x o ，s ) ，x o 为q 的中心，并且取任意的z q 对于f 口，令 = f x 2 q ，厶= f 一 考虑到死，= 丑6 一b q ) f ，从而我们可1 ? t 一1 9 ： n f 一( t b f ) q l = 上i 丑6 一均) f 一( 丑a 一6 。) ，) q l = ：岛 由引理 3 2 1 1 我们可以得到 岛2 | t ( b - - b 口) ，一a 1 其中a 为任意的实数 我们令 a = ( t ( b b q ) ，2 ) ( z q ) 从而我们有 岛2 i 丑b - 6 口) ，一t ( ( 6 一b q ) 厶) ( z q ) l 2 i ( 6 6 q ) t ，l + 2 i t ( ( 6 一b q ) ) i - ，q，q + 2 1 q is u pi t ( ( 6 一b q ) 厶) ( 可) 一t ( ( 6 一b q ) 厶) ( z