（应用数学专业论文）分数布朗运动环境下重设期权的定价公式.pdf

lj1 d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 010 c o l l e g ec o d e ： 10 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 7 0 6 0 1 0 7 5 e 倪s tc h i n ano r m a u n i v e r s i t y u n d e rt h ef r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n ts u p p o s e st h er e s e t o p t i o n p r i c i n gf o r m u l a d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r s ： a s s o p r o fc h a ij u n a u t h o r ：t a n f a n g f a n g a p r i l ，2 0 1 0 s h a n g h a i 1 j 华东师范大学学位论文原创性声明 ( 请勾选) 学位期间，在导师的 引用的内容外，本论文不包含其 他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 华东师范大学学位论文著作权使用声明 日期：刊咱e ；月慨 ：f 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的 文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师 范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中 信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆 及数据库被查阅、借阅同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据 库进行检索，将学位论文的标题摘要汇编出版，采用影印、缩印或其他方式合理复制学位论 文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经过华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文木，于 年 解密，解密后适用上述授权 保密，适用上述授权 学位敝储躲酗玛导师躲 日期：型2 里：三：2 睦 日期：俨j 。，s 移 谭芳芳硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 林武忠教授华东师范大学主席 蒋鲁敏副教授华东师范大学委员 梁金荣教授华东师范大学委员 戴浩晖讲师华东师范大学秘书 摘要 期权是2 0 世纪7 0 年代中期美国出现的一种金融衍生工具，2 0 多年以来作为一 种风险防范和投机的有效手段而得到迅猛发展。 对于传统的b l a c k - s c h o l e s 期权 定价模型，国内外学者已经做了大量的研究工作，获得了许多有金融意义的结果 但这一传统公式是建立在有效市场假设之上的，近年来对股票市场的大量实证 研究结果都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现的是一种”尖峰 胖尾”分布而且股价之间也不是随机游走的，在不同时问存在着长期相关、自 相似等特征，这与几何布朗运动有一定差距而分数布朗运动正好具备长时间相 关、自相似等特征，它的特征指数以及尺度参数等能很好地刻画金融市场波动 性、股票价格一般行为过程及”尖峰胖尾”分布等因此，在以股票作为标的资产 的期权定价研究中，研究股票价格服从分数布朗运动的期权定价，将比传统的由 标准布朗运动驱动的股票期权问题更具现实性，更适合解决实际资本市场中的金 融问题 这篇文章主要致力于分数布朗运动环境下重设型期权的定价问题的研究，应 用随机过程、鞅论、随机分析等数学工具，尝试推广某些结论，得到一般定价公 式具体来说，主要工作如下： 假设标的资产的价格服从几何分数布朗运动，得到该模型下欧式看涨与看跌 期权的定价公式以及平价关系； 在的假设下，讨论了当利率为非随机变量时重设型期权的定价问题，得到 了其定价公式； 在的假设下，讨论了当利率为随机变量时重设型期权的定价问题，得到了 其定价公式。 关键词两点重设型期权，分数布朗运动，随机利率 a b s t r a c t t h eo p t i o ni sak i n do ff i n a n c i a ld e r i v a t i o nt o o lw h i c ha p p e a r e di nt h em i d2 0 t hc e n t u r yo f a m e r i c a ，s i n c em o r et h a n2 0y e a r sa sa ne f f e c t i v em e a n so fp r e v e n t i o na n ds p e c u l a t i o nw h i c h o b t a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n t r e g a r d i n gt h et r a d i t i o n a lb l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e l ，d o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r sh a v ed o n eal o to fr e s e a r c hw o r k ，o b t a i n e dal o to ff i n a n c i a ls e n s eo f t h er e s u l t s h o w e v e r , t h i st r a d i t i o n a lf o r m u l ai sb a s e do nt h ee f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，i nr e c e n t y e a r sal a r g en u m b e ro fe m p i r i c a ls t u d i e ss u g g e s tt h a ts t o c kp r i c ec h a n g e sd on o tm e e tt h en o r m a l d i s t r i b u t i o n ，t h e ye x h i b i ta ”s p i k e ，f a tt a i l ”d i s t r i b u t i o na n dt h es t o c ki sn o tb e t w e e nt h er a n d o m w a l k ，a n da td i f f e r e n tt i m e sr e l a t e dt ot h ee x i s t e n c eo fl o n g - t e r m ，s e l f - s i m i l a r i t ya n do t h e rf e a t u r e s ， w h i c hh a v eac e r t a i ng a pb e t w e e nt h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n b u tt h et i m ef r a c t i o n a lb r o w - n i a nm o t i o nh a p p e nt oh a v et h el o n g t e r m , s e l f - s i m i l a r i t ya n do t h e rf e a t u r e s ，i t sc h a r a c t e r i s t i c e x p o n e n ta sw e l la st h es c a l ep a r a m e t e ra n ds oo nc a nw e l ld e s c r i b et h ef i n a n c i a lm a r k e tv o l a t i l - i t y , s t o c kp r i c ep r o c e s sa n dt h eg e n e r a lc o n d u c to f ”s p i k e ，f a tt a i l ”d i s t r i b u t i o n t h e r e f o r e ，a st h e u n d e r l y i n ga s s e t si nt h es t o c ko p t i o np r i c i n gs t u d y , t h es t o c kp r i c ef o l l o w sb r o w n i a nm o t i o no fo p t i o np r i c i n gw i l lh a v et h ef e a s i b i l i t yc o m p a r e dt ot h et r a d i t i o n a ls t a n d a r db r o w n i a nm o t i o nd r i v e n a n dm o r es u i t a b l ef o rs o l v i n gf i n a n c i a lp r o b l e m si nt h ec a p i t a lm a r k e t t h i sa r t i c l ef o c u s e so no p t i o np r i c i n gr e s e a r c hu n d e rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o ne n v i r o n m e n t , a p p l i e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，m a r t i n g a l et h e o r y , s t o c h a s t i ca n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a lt o o l s ，t r y i n g t op r o m o t es o m ec o n c l u s i o n so ft h eg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l a s p e c i f i c a l l y , t h em a i nw o r ki sa s f o l l o w s ： s u p p o s et h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ef o l l o w st h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，o b t a i n e de u r o - p e a nc a l la n dp u to p t i o np r i c i n gf o r m u l aa n dp a r i t yu n d e rt h em o d e l ； i no n eh y p o t h e s i s d i s c u s s e dr e s e to p t i o np r i c i n gw h e ni n t e r e s tr a t ei sn o n - r a n d o mv a r i a b l e ，o b t a i n e di t sp r i c i n gf o r m u l a ； i no n eh y p o t h e s i s ，d i s c u s s e dr e s e to p t i o np r i c i n gw h e ni n t e r e s tr a t ei sr a n d o mv a r i a b l e ， o b t a i n e di t sp r i c i n gf o r m u l a k e y w o r d s ：t w or e s e to p t i o n s ，f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e n 目录 摘要i 第一章引言1 1 1 期权定价理论的产生和发展1 1 2 选题依据2 第二章分数布朗运动下欧式未定权益的定价4 一 2 1 分数布朗运动的定义、性质及一些结论4 2 1 1 定义。4 2 1 2 性质 4 2 1 3 一些重要的结论4 2 2 分数布朗运动的b l a c k s c h o l e s 模型6 2 3 分数布朗运动下欧式期权的定价公式7 第三章重设型期权的介绍8 3 1 重设型期权的背景8 3 2 重设型期权的模型8 第四章非随机利率时重设期权的定价1 0 4 1 引言1 0 4 2 期权的定价公式1 0 第五章随机利率时重设期权的定价1 5 5 1 模型1 5 5 2 期权的定价公式1 8 第六章总结2 3 参考文献2 4 目录 致谢2 7 第一章引言弟一早5i 苗 期权是指持有人在确定时间，按确定价格向出售方购( 销) 一定数量和质量的原生资产的 协议，但他不承担必须购入( 销售) 的义务期权按合约中购入和销售原生资产可划分为看涨 期权和看跌期权看涨期权是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原 生资产的合约；看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资 产的合约期权按合约中有关实施的条款可划分为欧式期权和美式期权欧式期权只能在 合约规定的到期日实施；美式期权能在合约规定的到期日以前( 包括到期日) 任何一个工作 日实施 期权的快速发展始于2 0 世纪5 0 年代，由于它具有良好的规避风险、风险投资和价值发 现等功能，且表现出灵活性和多样性特点，所以近2 0 年来，期权成为最具活力的金融衍生品， 并且得到了迅速发展和广泛应用期权定价问题更是现代金融理论的一个重点 期权思想萌芽至少可追溯到公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典，而期权交易在公元 前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中也已经出现，但期权的快速发展到本世纪5 0 年代 以后才开始，真正标准化的场内期权交易还只有不至f j 3 0 年历史 1 1 期权定价理论的产生和发展 期权定价理论是金融理论当前发展的最新、最活跃的阶段，其理论成果已经成为整个 金融经济学的几个少有的支柱之一对期权的认识和它的广泛应用将有助于我们深入挖掘 经济潜力，改善经济效率8 0 年代以前的期权定价研究一般都假定期权所依赖的基础资产 的价格为一连续随机过程，市场也是“完善 的，在这些比较理想化假设条件下，推导出各 种期权的定价模型( 1 8 】， 1 9 】， 3 0 ) ，近十多年来，得益于计算机技术的快速发展，期权定价理 论研究在以下两方面得到深化。取得了大量研究成果：一是研究在不完善市场条件下如何确 定期权定价问题；二是认为期权所依赖的基础资产的价格是一连续随机过程假设条件过于 理想化，将这个假设条件改进为基础资产的价格服从“跳跃扩散”( 【1 6 】，【1 7 】【2 0 】， 2 7 1 ， 3 1 1 ) ， 研究期权的定价问题 近年来，期权定价理论也取得了一些成果： 7 0 8 0 年代的重要研究成果有：索普( t h o r p e ，1 9 7 3 年) 检验了卖空限制条件；莫顿( 1 9 7 3 年) 推 广了考虑股利和随机利率的模型；考克斯、罗斯( 1 9 7 6 年) 和莫顿( 1 9 7 3 年) 采用了交错 1 1 2 选题依据 随机过程；布莱克和斯科尔斯( 1 9 7 3 年) 研究了欧式看跌期权；考克斯和罗斯( 1 9 7 6 年) 以 及莫顿( 1 9 7 6 年) 考虑了股票价格更是展开中不具有连续样本路径时的期权问题；英 格索尔( 1 9 7 6 年) 和斯科尔斯( 1 9 7 6 年) 考虑到资本收益和股利的不同税收效果；鲁兵斯 坦( 1 9 7 6 年) 和布伦南( 1 9 7 9 年) 引入了有代表性的投资效用函数，得到了关于离散时间交易的 布莱克斯科尔斯方程解 9 0 年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场，基础资产的价格存在异常变动 跳跃或基础资产报酬方差不为常数等情况下的期权定价为题进行了广泛研究，取得了许多 重要研究成果 1 2 选题依据 在传统的b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型中，假定股票价格服从几何布朗运动，主要采用偏 微分方程或鞅方法，得到欧式期权定价公式，并获得了许多有金融意义的结果主要成果体 现在以下几方面： 对b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型进行修正，如考虑红利支付、交易费用的支付、随机无 风险利率、随机波动率等等，通过理论和实证的研究，取得了一定的成果； 研究了离散时间模型，! t l c o x ，r o s s ，r u b i n s t e i n 提出的二叉树期权定价模型，还有随之讨 论的三叉数模型等： 对美式期权及奇异期权定价理论的研究： 标的资产的价格服从非几何布朗运动的研究，如标的资产的价格服从跳跃扩散过 程、几何分数布朗运动等等 虽然不少学者对经典的b l a c k - s c h o l e s 定价模型做出了许多改进，但通常关于期权定价理 论都是假设资产价格服从由布朗运动驱动的随机微分方程，这一传统公式是建立在有效市 场假设之上的，近年来对股票市场的大量实证研究结果都表明股票市场价格变化并不符合 正态分布，它们呈现的是一种”尖峰、胖尾”分布而且股价之间也不是随机游走的，在不同 时间存在着长期相关、自相似等特征，这与几何布朗运动有一定差距因此考虑用几何分 数布朗运动来替代几何布朗运动，使之更符合实际，之所以用几何分数布朗运动而非其他的 随机过程主要是因为： 分数布朗运动正好具备长时间相关、自相似等特征，它的特征指数以及尺度参数等能 很好地刻画金融市场波动性、股票价格一般行为过程及”尖峰胖尾”分布等： 2 分数布朗运动是一高斯过程，而高斯过程正是大家非常熟悉的过程； 分数布朗运动既不是半鞅，也不是马氏过程，所以它能够用来描述半鞅随机过程和马 氏过程所描述不了的现象 因此，在以股票作为标的资产的期权定价研究中，研究股票价格服从分数布朗运动的期权定 价，将比传统的由标准布朗运动驱动的股票期权问题更具现实性，更适合解决实际资本市场 中的金融问题，而且许多国内外学者己开始从事关于分数布朗运动的随机分析理论以及应 用方面研究( 【1 】 1 0 】) 本文假定股票价格服从由分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立 了分数布朗运动环境下的欧式未定权益定价模型，并得到了在利率为确定和确定两种情形 下重设期权的定价公式 标的资产的价格服从分数布朗运动的期权定价问题正是目前国际上研究的热点，很多 学者对此做了大量的研究( 【1 1 】，【1 3 】， 2 1 】【2 6 ， 2 8 】) ：其中，叶中行【1 4 】等综述了在此情况 下的欧式、美式、亚式及一些奇异期权定价公式及相关成果，王亚军等【1 5 】讨论了标的资 产服从几何布朗运动的欧式幂期权定价，胡耀中、b e r e tk s e n d a l 、c h r i s t i a nb e n d e r 、r o b e r t j e l l i o t t 和j v a n d e r h o e k 建立了关于分数布朗运动的新的随机积分的一些基本理论，如对应 的伊藤公式和g i r s a n o v 公式等等本文就是从这热点问题出发，得出了在此环境下重设期权 的定价公式 3 第二章分数布朗运动下欧式未定权益的定价 2 1 分数布朗运动的定义、性质及一些结论 2 1 1 定义 设( q ，厂，d 为一概率空间，h ( 0 ，1 ) 为一常数具有h u r s t 参数日的分数布朗运动 ( ，b 加是- - g a u s s i a n 过程， ( f ) ) 麒+ = f b n ( t ，( 1 ) ) ；t r + ，( 1 ) q ) 且满足： b t 叮( o ) = e b n ( t ) 】= 0 ，对所有t f e b h ( t ) b h ( s ) 】= ( 1r1 2 日+ jjj 2 日一i ( f s ) 1 2 l ；s ，t r + 这里e 表示关于概率测度p 的期望，其中r + = ( j ：s o j 如果h = ，则b n ( t ) 为标准布朗 运动，用b ( t ) 表示 2 1 2 性质 分数布朗运动具有自相似性即对任意的h ( 0 ，1 ) 和口 0 ， 力) ，酣与 o t n b n ( t ) ，酽有相同的有限维分布； 如果h ，则b n ( t ) 是持久的或有长程关联性，即 “厅) = e b h ( ，1 ) o r1 ) 一) 】) o ，l = l ，2 则有 ，( n ) - 0 c n = 1 分数布朗运动的这些性质使得它成为数学金融的一个非常有用的工具由于对h i 1 分数布朗运动既不是马氏过程，也不是半鞅，所以我们不能用通常的随机积分来进行分析 文中【1 】1 和【2 】在h ；时应用w i c k 积：, 分和分数白噪声理论定义了一种关于分数布朗运动 的随机积分的定义，这里恒假设； h 1 2 1 3 一些重要的结论 2 1 分数_ 型g i r s a n o v 定理：设b h 为岱，于，玲上的凡伺布朗运动定义一薪的概率测发p ，满足 历d p ( 们= p 卅舭 4 则在概率溅度p 下，a h = b h 一f rm h ( o ，以由姒d s 为分数布朗运动 2 2 堤厂为一满足e 【厂( ( f ) ) 】 的函载则对任意f x 】 = e 一，( 丁一r ) 营f ( sf p 了一。一譬( 铲一，2 胃) + o - ( b n ( 7 ) - b n ( t ) ) 7 3 r 置) 一k e 一，( 卜力l x s ， 眉】 = s f a ( s r k ) 一k e 一，( 丁一t ) p t ( s r 玉0 = sf 户f ( sf p ，( r f ) + 譬( 7 埘一矽) + o ( b h ( t ) - b h ( t ) ) 目 一k e - r ( r f ) p t ( st e r ( t f ) + 譬( 删一芦) + o - ( b h ( 7 ) 一翰( 力 1 0 = s ，a ( 墼些) l n 妻, - r ( t - t ) - ( t 2 h - t t m ) ) 。丁2 h f 2 矿v t 2 h f 2 h 一k 已一，( r 一。p f ( b e ( t i ) - = b = n ( _ t ) i n 簧, - r ( t - 苫t ) = + = ( ；t t m 一- t a u ) ) = s ( t ) n ( d 1 ) 一k e r ( r - t ) n ( d 2 ) i 司理n - - i 得 一执行价格为k ，到期日为t 的欧式卖出期权在t 0 ，t 】时的价格为 p ( s ，力= k e 一，( 丁一力 k d 2 ) 一s ( f ) ( 一d 1 ) 由此我们得到 分数布朗运动环境下重设看涨看跌期权的平价公式： c ( s f ，f ) + k e r ( r 1 ) = p ( s f ，力+ s ， 7 3 1 重设型期权的背景 第三章重设型期权的介绍 重设型期权是一种依赖于路径的期权，它是这样一份合约；当原生资产的价格达到某一 预先给定的水平时，按合约规定将重新设定敲定价，以使持有人有更大的获益机会重设期 权分为规定时间的重设期权和规定水平的重设期权：规定时间的重设期权重新设定敲定价 格的过程在预先规定的时间进行，规定水平的重设期权重新设定敲定价格的过程在预先规 定的水平进行重设型期权期权依据是否可提前执行权力。可分为欧式重设型期权和美式 重设型期权，依买卖权利的性质，可分为重设型买权和重设型卖权单点重设型卖出期权 于1 9 9 9 年由g r a y 和w h a l e y 介绍，近年来在纽约证券市场和世界其他重要的证券市场有着大 量的交易重设型期权具有一般期权的基本特征，与此同时它还具有在事先约定的重设时 间，将原定的行权价格重设为新的价格的特征以单点重设型卖出期权为例，它在到期日的 收益记为尺p r ，则 r p r = 正因为重设型期权比一般期权具有更多权利而不是义务，所以重设型期权比一般期权的价 值要高 对单点重设期权的研究已有学者做了大量的工作，如欧辉( 【3 2 】) 的对传统单点重设期 权进行创新并讨论了其在随机利率情形下欧式重设期权的定价；还有邹艺讨论了跳跃扩散 模型下欧式重设期权的定价；( 2 2 】) 张学莲、薛红研究了分数布朗运动环境下重设期权的定 价模型等等关于分数布朗运动的研究已有学者做了大量的工作，得出了许多关于在分数布 朗运动环境下欧式、美式、新型期权等的定价公式及其相关结果，但对分数布朗运动环境 下重设期权的定价问题却很少触及本文从此问题出发，讨论了在分数布朗运动下，当利率 为随机和非随机两种情形时重设期权的定价公式 3 2 重设型期权的模型 本文着重讨论两点重设型看涨期权，其他类型的期权以此类推设当前时刻为t ，看涨 期权有两个重设点丁l ，1 1 2 ，它在到期日的收益记为c ( s r ，r ) ，则 8 7 ，l岛k f 他若若其 n ，s 凡 一 书 鼻k 仉 c ( s t ，r ) = s r s 砣，s r l k ，s 砣 s f 2 ；全a s r s 1 i ， s 1 1 s f 2 ；全b s r s r 2 ，s f i k ，s r 2 s 亿；全c s r k ， s f l k ，sr 2 k ，s r k ；全d 0 ，其他 9 4 1 引言 第四章非随机利率时重设期权的定价 考虑到金融市场的不稳定性，市场的无风险利率等不可能一直为常数，在利率是常数的 情况下，文献【6 9 】对重设期权进行了一些研究由于有些衍生资产的时间跨度比较长，比如 说员工持股计划或期权工资制所涉及的衍生工具，这时利率本身的常数要求就不足以满足 实际背景的要求，从而必须考虑到利率的不确定性对衍生资产价格的影响所以在介绍了 重设型期权的模型之后，文章接着讨论了在利率为确定和非确定两种情形下，通过测度变 换，给出了在这两种情形下重设期权的定价公式我们先讨论确定利率时重设期权的定价 4 2 期权的定价公式 利率确定时，到期日为丁，执行价格为k ，重设点为r l ，t 2 的欧式看涨期权在t 时的价格 为 c ( s ，力= 窟t e - r ( r - t ) ( s r s ，2 ) x a + ( s7 一s 1 1 ) x 曰+ ( s 丁一s 砣) x c + ( s 丁一k ) x d 】 = + + v 3 + v 4 = e “t ( e - r ( r - t ) sr x a ) 一岛 - r f f - t ) sr 2 x a ) = v l i v 1 2 l = l ( e 一，( 卜o s r x a ) = 扇f sf 旷譬( r 埘尸) + 页砌( r 卜鼬( m x a 由前面得 。 i = s t e 詹) = s t 只詹( s r l 墨s 心 s r 2 ) 根据分数布朗运动的增量相互独立的性质，有s t 。，监s r i ，s s 吃r 是相互独立的 于是 l = s f p 詹岱r 。 墨s 吃 s o 1 0 其中 其中 a l2加簧一r ( r ，- t ) - 譬( 中一产日) b l2 e l = 一r ( v 2 一丁i ) 一丁0 - 2 , , 2 2 日一1 - ) 一以丁一r 2 ) 一譬( 丁2 日一日) v 1 2 = 岛( sf p r ( r f 2 ) 一雩( 中一f 2 日) + 一砌( r 2 ) 一勋( r ) x a ) = s f p 一，( r 叶2 ) ( sr 。 1 ) = s f e 一 r f 2 j 0 1 ) ( 易1 ) 1 ) c l =，( 丁一r 2 ) 一譬( r 勰一t 日) = 窟t ( e 一，( r 一力s7 刃口) 一岛( p 一，( r 一st 认僵) 1 1 4 2 期权的定价公式 = l 一2 = p 。t ( e 一，( r o st x 口) 中) 其中 其中 其中 b 521 4 , - r ( r ：- t ) - 譬( 丁一) p 2 = v 3 2 = f t ( e d 7 一s 耐c ) = s f p r ( r r 2 ) p t 詹( s r i 墨s 砣 sr 2 ) = s t e r ( 卜r 2 ) n ( 一a l ，b 5 ，p 2 ) 肌1 ) = e t ( e 一，( s 掰d ) 一扇( p 一，( 7 一) g x o ) = u l 一 = f t ( e 一，( r 一) sm ) = s t p t 詹( s r ，墨s f 2 墨s r 1 0 = s f n ( - a l ，一b 5 ，c 2 ；p 2 ，p 3 ，p 4 ) c 22一伽簧+ r ( r f ) + 譬( 丁2 日- f ) p 32 m = v 4 2 = p , t ( e 一，( r d g x o ) = e - r r - o k p t r ( s f l 墨s t 2 墨s r 1 0 = k e 一，( r n ( a 2 ，b 6 ，c 3 ；p 2 ，p 3 ，p 4 ) a 2 =- 4 , + r ( 7 - i - t ) - 譬( 中_ t 2 日) 1 3 4 2 期权的定价公式 b 6 - - c 32 - 1 4 , + 盹一力一弭a - 2 2 2 日- - t 2 日) 一加簧+ 厂( t - t ) - 譬( 丁2 日- f 日) 1 4 5 1 模型 第五章随机利率时重设期权的定价 在讨论完利率为常数时重设期权的定价后，我们接着讨论利率随机时重设期权的定价 问题 假定给定如下的金融市场，r 表示无风险利率，p ( f ，丁) 表示到期日为丁的零息债券的价 格过程，s ( 力为一个严格正的风险资产价格过程，在给定的风险中性概率测度空间( q ，尸，p ) 中，s ( f ) ，p ( t ，t ) 分别满足如下的几何分数布朗运动： d p ( t ，t ) = p ( t ，t ) r d t - i - 6 d b n 。( 力】 d s ( t ) = s ( t ) r d t - i - c r d b h e ( t ) 】 其中。( f ) ，b n e ( t ) 茭t jp 下的分数布朗运动，并假设粕。( 力，b n e ( t ) 相互独立的 令) ，( f ) = 哿，由分数伊藤公式得 d y ( t ) = ) ，( ，) 卜c r d b 吃( f ) + 2 户f 2 施一1 d r + ( s d b 。( f ) 】 经过测度变换 历d p 院：p 叩忱( 瞄触 d p “| 由分数g i r s a i l 0 v 定理知) n e ( t ) = ( d o 雄在户下为分数布朗运动因此 其中 于是 从而 d y ( t ) = y ( t ) 6 d b n ( f ) 一。妇耽( f ) 】 = y ( t ) a ( t ) d b n ( t ) ( f ) = ：t 2 h t + o - 2 t 2 h 2 。 台日( 力= m b n , ( s ) - o d b n 2 ( s ) 0 d j y ( r ) = ) 力p ，( ，m 知( 办- ( ( z ) 2 一a ( 炉) s r = 丽s t p 一，( 溉( 卅m 一( 确 1 5 5 1 模型 另一方面，令z ( f ) = 器，由分数伊藤公式得 d z ( t ) = z ( t ) o d b 胁( f ) + 2 h 1 6 2 t 2 1 t , - 1 d t 一5 d b n l ( 力】 经过测度变换 d q d p i 纤：已6 鼬抄譬mi ，f 由分数g i r s 锄o v 定理知晶。( f ) = b n 。( 力一t s t 2 风在a 下为分数布朗运动因此 其中 于是 d z ( t ) = z ( t ) o d b h 2 ( t ) 一甜台胁( 力】 = z ( t ) a ( t ) d b n ( t ) ( f ) ：垢面孑鬲 晚( 归。fodbn2(s)-5dbn,(s)0 如 z ( 丁) ：z ( 咖，d 锄( 州( ( r ) 2 一( r ) 2 s r = 丽s t p 一似蝴螂) 2 一似们 下面求户中，f ra ( s ) 痂( j ) 所服从的分布和a 中，j r ( s ) d 雪h ( s ) 所服从的分布 因为 b n ( t ) n ( o ，尸) e b n ( t ) b n ( s ) 】- 昙( itl m + ls1 2 h _ i ( f j ) 1 2 n ) b 日( r ) 一b i t ( t ) n ( o ，( t 一力2 日) 因此 瑰t = 6 d b h 舻锄删 = 5 ( b n 。( r ) 一墨h 。( f ) ) 一o ( 含地( 丁) 一台胁( 力) = 6 ( b n , ( 丁) 一b 日。( f ) ) 一o ( b 地( r ) 一口啦( d ) + 0 2 ( 丁2 飓一产地) 垒x 1 6 有 于是 同理 有 于是 e ( x ) = 0 d ( 的= e ( x 2 ) 一e ( x ) 2 = e ( x 2 ) = e 6 2 ( b h i ( 丁) 一b h l ( 力) 2 + 0 2 ( b n , ( t ) 一b h 2 ( t ) ) 2 + 0 4 ( t 2 地一产扔) 2 2 ( ，o ( b h 。( 丁) 一b 日l ( f ) ) ( b 地( 丁) 一b h 2 ( 力) + 2 t s 0 2 ( b n 。( r ) 一b h 。( f ) ) ( 丁2 协一产地) 一2 0 3 ( b h 2 ( t ) 一b 地( f ) ) ( r 2 恐一产仍) 】 ， = 6 2 ( b t t l ( r ) 一b 凰( 力) 2 + 0 2 ( b h 2 ( t ) 一b 眈( f ) ) 2 + 0 4 ( t 2 地一产施) 2 厂郇) d 就( s ) ( 。，6 2 ( ( d 一) 2 + 0 2 ( ( 丁) 一( f ) ) 2 + 0 4 ( 丁2 飓一弘) 2 ) r 郇旆= ，r 慨捌“。 = o - 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a ( t ) 2 ) 幻 ( p 一盱( 办编( j ) + ( ) 2 一( f i 内 1 ) ) 幽晰丽丽忑高龛筹杀而乔雨 p ，詹f 二；：全! ：! 兰竺! ! 兰 。萨( 曰日i ( 丁2 ) 一b n l ( 丁1 ) ) 2 + 0 2 ( b h 2 ( r 2 ) 一母屹( r 1 ) ) 2 + 0 4 ( 7 2 2 h 2 1 1 2 忱) 2 ；( ( 2 ) 2 一a ( r 1 ) 2 )