（基础数学专业论文）数论中两类渐进公式.pdf

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f r e e 数；若2 ，i = 1 ，2 ，8 ，则称n 是s q u a r e - f u l l 数；更 一般地，若o t i k ( k 2 ) ，i = 1 ，2 ，8 ，则称n 是k - f u l l 数研究s q u a r e - f r e e 数，s q u a r e - f u l l 数，及k - f u l l 数的渐进分布是解析数论中比较重要的问题 事实上，有下述众所周知的基本渐进公式 1 = 差z + d ( 红) ， ( o 1 ) 扎x “ 佗s q u a r e - f r e e 1 = c 2 x m + o ( z m ) ，( 0 2 ) n o ns q u a r e - f u l l 1 = c k x l 七+ o ( z 1 肚+ 1 ) ) ，( 0 3 ) 礼x 仡k - f u u 其中c 2 是常数，c 知是与k 有关的常数 1 9 6 3 年，e c o h e n 在 4 中对s q u a r e - f u l l 数进行了推广令a ，b 是给定正整 数设佗= p 。o l l p 2 p 。q 。是n 的标准分解，玩 6 表示满足下述条件的n 的 集合：指数q t ( 江1 ，2 ，8 ) 或者是a 的倍数，或者包含于数列a t + b ( t ) 中容易看到，r 2 ，3 即表示s q u a r e - f u u 数集设r a , b ( 佗) 表示数集r 。，6 的特征 函数：即 n ，= r 菰民6 ， 并记 见 6 ( z ) = r a 扣( n ) e c o h e n 得到了下述结果 若a 2 b ，则 见，6 ( z ) = 矿z 1 6 + o ( z 1 2 6 ) ( 0 5 ) 其中矿，矿是常数 本文工作之一是推广e c o h e n 的上述结果记m 表示自然数集的一个 ( 有限或无限) 子集设m = 0 ，k 1 ，k 2 ，b ，) ( o k 1 k 2 k 3 ) 又设 r m = 礼i n = p l a l p 2 口：p 。d s 为标准分解，0 1 1 ，“2 ，m ) 容易看到， ( 1 ) 取m = 【o ，1 ) ，则r m 是s q u a r e - f r e e 数集； ( 2 ) 取m = 礼n i n = o ，或n 2 ) ，则r m 是s q u a r e - f u l l 数集； ( 3 ) 取m = 【n n i n = 0 ，或n k ( k 2 ) ) ，则r m 是k - f u l l 数集； ( 4 ) 取m = 礼n i n = a t ，或n = a t 十b ，t ，则r m 是r 0 ，b ( 见e c o h e n 结 果) 设r m ( 礼) 表示r m 的特征函数：即 并记 删= r 若n r m ， 否则 本文将证明下述结果 r m ( z ) = e l z l h + c 2 x 1 b + d ( z 1 ( 2 七1 + 1 ) + ) ，若k 2 k 3 = 2 k l o ( z k 3 + k 2 k 2 k t ， f 1 e ) ，若 3 ， io ( z m 七l “) ，若k 2 2 k - 仍成立 因为定理2 1 ，定理2 2 是在m 较一般的情形下得到的，因此余项估计似 乎不易对m 一致地改进利用定理2 1 ，定理2 2 ，不难得到与( o 1 ) ，( o 5 ) 相应的但余项估计较弱的渐进公式 本文另一工作考虑除数函数均值问题的一个推广除数函数丁( n ) 是数论 中重要的函数之一r ( n ) 值的分布是不规则的，但其均值( 算术平均值) 呈 现规则的性态事实上，d i r i c h l e t 得到了下述结果 e7 - ( 佗) = xl o g x + ( 2 7 1 ) x + o ( 、习，( 0 6 ) 其中7 是欧拉常数 对于一般的整数列 口。) ，讨论丁( ) 的渐进分布是个重要的问题，但 这一问题非常困难当 o 他) 为某些特殊的数列时，如 o 。 = 扩) ( 七2 ) ，用 初等方法( 但似乎并不平凡) 可得 er ( 舻) = x p k ( 1 0 9x ) + 0 ( x k ( m ) + 6 ) ， ( o 7 ) 其中r 是k 次实系数多项式，e 是任意正数 本文对e 丁( 舻) 的渐进分布问题做了一点推广记m 是自然数集的一 个( 有限或无限) 子集设m = o ，k 1 ，k 2 ，) ( o k 1 0 存在q n ，当p 七 q 时，有i f ( p 七) i 丢 设 & = 矿：i ，眇) i 1 ) ， = 矿：l ，秒) l 0 有 1 6d i r i c h l e t 卷积 下( 扎) = 0 ( n 6 ) ，n 。m ) = 0 ( 礼6 ) 定义1 5给定数论函数( 不一定是积性的) ，( n ) 与夕( 佗) ，称 坼) 5 蒹朋) 9 ( 争 为( n ) 与g ( n ) 的d i r i c h l e t 卷积，记作h = ，木g 7 第一章基本知识 数论中两类渐进公式 注上式也可记为 日( 礼) = 9 ( d ) 坞) = 刷) 9 ( q ) d i n a q = n 定理1 4若，( n ) ，夕( 佗) 都是积性函数，则，cg 也是积性函数 1 7d i r i c h l e t 级数和r i e m a n nz e t a 函数 定义1 6设，( 他) 是一个数论函数，s 是一个复变量，称收敛级数等 十，、 为d i r i c h l e t 级数特别地，若，( 佗) 三1 ，则称量嘉为r i m a n nz e t a 函数，记作 = 嘉， 其中r e ( s ) l 事实上，可以证明e ( s ) 能够延拓到整个复平面上，且除s = 1 是一阶极 点外，处处解析 定理1 5 设级数n 量= l 掣绝对收敛，如果，( 礼) 是积性函数，则有 薹等= 耳( 1 + 等+ 等+ ) 特别也 ， 2 至素 = u ( 1 + 专+ 刍+ ) 2 粤高， 其中r e ( s ) 1 下面的结论给出d i r i c h l e t 级数的乘积和d i r i c h l e t 卷积之间的联系 定理1 6给定两个d i r i c h l e t 级数f ( s ) 和g ( 8 ) ， 耻薹等，g = 薹掣， 8 数论中两类渐进公式 弟一蕈基卒知识 则在它们的绝对收敛的半平面上有 耶) g ( s ) = 差警， 其中 九( 礼) = ( ，半夕) ( 佗) = 朋) 9 ( 三) 。 1 8e u l e r 求和公式 定理1 7 ( e u l e r 求和公式) 设，( n ) 为任意一个函数，如果f 在陟，z 】上连 续可微，其中0 y z ，则我们有 zz e ，( 扎) = f ( t ) d t + ( 亡一【亡】) ， ) d t + ，( z ) ( z 一z ) 一，( y ) ( 引一可) y n x 。v。 下面的定理是e u l e r 求和公式的简单应用，本文我们将多次引用 定理1 8设z 1 ，则 以，j e = 1 = l o g x + 3 + o ( z 一1 ) ，其中7 为欧拉常数； n 。，且 8 1 ； ( 3 ) 互譬= 可l o g j + lx + 如+ 。( 警) 其中j i ，a j 是常数； ( 4 1 。e 。黯= 可1 0 + 1x + 岛+ 。( 警) ，其中j ，b 是常数 1 9a b e l 求和公式 定理1 9 ( a b e l 求和公式) 对任一数论函数n ( 礼) ，设其和函数 a ( n ) = e n ( n ) ， 假设，在区间阿，z 】上有连续导数，其中0 y z ，则 口( n ) ，( 佗) = a ( z ) ，( z ) 一a ( 可) ，( 可) 一z a ( 。) ，7 ( 。) d 六 y n x 。 9 第一章基本知识数论中两类渐进公式 1 1 0d i r i c h l e t 双曲求和法 定理1 1 0 ( d i r i c h l e t 双曲求和法) 设，( n ) ，9 ( n ) 是数论函数， f ( z ) = 砌) ，g ( z ) = 9 ( 他) ， n s zn z 如果a 与b 是正实数，使得a b = z ，则有 倒) 9 ( 口) = ef ( 佗) g ( 罢) + 9 ( n ) f ( 罢) 一f ( q ) g ( 6 ) d a zn 口 n 6 利用双曲求和法，d i r i c h l e t 得到了下述结果 定理1 1 1 其中，y 是欧拉常数 1 0 数论中两类渐进公式第二章 e c o h e n 结果的一个推广 第二章e c o h e n 结果的一个推广 2 1 问题的提出 在 4 】中e c o h e n 对s q u a r e - f u l l 数进行了推广令a ，b 是给定正整数设 n = p l u m p z q z p 。口s 是佗的标准分解，见b 表示满足下述条件的n 的集合：指 数o l ；( i = 1 ，2 ，8 ) 或者是a 的倍数，或者包含于数列a t + b ( t n ) 中容易 看到，r 2 ，3 即表示s q u a r e - f u l l 数集设r a , b ( 佗) 表示数集吼扣的特征函数：即 如，= r 藉黾6 ， 并记 兄 6 ( z ) = r 。，a ( 他) ， e c o h e n 得到了下述结果 若a 2 b ，则 r 。，b ( x ) = 矿z m 4 - o ( x m 6 ) 其中a ，矿是常数 本章我们的主要工作是推广e c o h e n 的上述结果，即证明下面的定理2 1 与定理2 2 为方便表示，我们先引进一些记号记m 是自然数集的一个( 有限或 无限) 子集设m = o ，k l ，也，k 3 】( o k 1 k 2 k 3 设r m ( n ) 表示r m 的特 征函数：即 r m c 礼，= 三：薯费r m 第二章e c o h e n 结果的一个推广 数论中两类渐进公式 并记 r m ( x ) = r u ( n ) n 2 k l 仍成立 注定理2 1 比定理2 2 结果精细的原因在于定理2 1 有更强的条件k 2 2 k l ， 这在证明中可以得到体现 2 2 预备引理 引理设f 1 f 2 ，k 。，也是正整数，且k 1 ，e ( s ) 表示r i e m a n nz e t a 函数 ( 见定义1 5 ) ，则我们有 1 = e ( 七2 k 1 ) 。1 m + e ( 后1 k 2 ) z 1 7 b + o ( z 1 他1 讹) l k l l , 2 k 2 二z 注该引理应当是已知结论，但我们未查到相关文献因为它在定理2 1 的 证明中起重要作用，为完整起见，我们给出其证明 1 2 有们我则 b h b 驰泓驰 胁胁胁若若若 数论中两类渐进公式第二章e c o h e n 结果的一个推广 证明设 1 ， 0 ， 若佗= 眠 否则， 其中l , n 是正整数，i = 1 ，2 又设g i ( n ) 的和函数 易得 则我们有 g i ( z ) = 吼( 他) ，i = 1 ，2 n z g i ( z ) = 1 = z 1 愚+ o ( 1 ) ，i = 1 ，2 ；k z 1 = g l ( u - ) 9 2 ( 钆z ) ， l k l l , 2 k 2 z t 1 t 正2 z 其中u ，u 2 是正整数由定理1 1 0 ， g l ( u ，) 夕：u z ) = 让1 u 2 z n x k l ( k l + k 2 ) 取a = x k l ( 1 + ，b = x k 2 1 ( 七x + k 2 ) ，得 夕，( 礼) g z ( 署) + n z k 2 ( k l + k 2 ) - g 1 ( x k l ( 七1 + 七2 ) g 2 ( z 2 ( 七1 + 七2 ) g z l k x _ z k l ( 1 + k 2 ) ( 嘉) + z 2 _ x k 2 ( k l - f k 2 ) 一g 1 ( x k l ( 知2 ) g 2 ( z 2 似1 拖) z z i ( k 1 + k 2 ) 9 2 ( 郴，( 罢) ( 盖) ( 孟) v b + 。c 1 ， + l x l ( k l w k 2 、 ( 盖) v h + 。c 1 ， lj、lj i x l ( 1 + 七2 + o ( 1 ) 】i x l ( h + 知2 + o ( 1 ) = x l 4 = 丽1 + 抄 l x l ( k l t k 2 ) 由定理1 8 ( 2 ) 可得 r 厶 l x l ( k l + k 2 ) l 1 则由定理1 5 ，可得 耋学= 耳( 1 + 嘉+ 嘉+ 嘉+ ) 故 e ( 如s ) 一1 柏s ) 一1 量o o 下r m ( n ) = 可( 1 一嘉) 孚( 1 一嘉) 譬( 1 + 万1 + 嘉+ 万1 + 。) = g ( 1 一万1 ) ( 1 一万1 ) ( 1 + 万1 + 万1 + 嘉+ ，) 下面我们分析 ( 1 一万1 ) ( 1 一万1 ) ( 1 + 万1 + 万1 + 嘉+ ，) ， 注意乜 2 k 1 1 4 数论中两类渐进公式 第二章e c o h e n 结果的一个推广 若惫3 2 k l ，则 ( 1 一嘉) ( 1 一嘉) ( 1 + 嘉+ 嘉+ 嘉+ ) = ( 1 嘉) ( 1 + 嘉+ 万1 + + 万e k 3 丽+ i + ) = 1 + 万1 + + 万叩k 3 丽+ i + = 1 + 孝+ + 渺叩i z + i + ， 其中e 。+ i = 1 ，0 ，一1 , i 0 “= 2 ，1 ，0 ，一1 ，2 ，i 0 因k 3 2 k 。时，类似于上述分析可得相同的结果故总有 ( 1 一嘉) ( 1 一嘉)( 1 + 嘉+ 嘉+ 嘉+ ) = 1 + 孝+ + 券+ ，p 伊p l p + 。j 8 。 ，若乜 2 h ， e ( 乜s ) 一1 淞s ) 一1 量下r m ( n ) = 由定理1 4 ，定理1 6 知t ( m ) 是积性函数，且由( 2 1 ) 得 得 0 ， 2 ，1 ，0 ，一1 ，一2 ， 若1 r 。，易得p ，l i _ + m ；孕= 。，这里矿是素数幂故由定理1 3 的推论 t ( m ) = o ( m q ) ( 2 3 ) ，ijlli-， | i p 机 令 其 警 一 ，、【 l | 丁 互 一0 丁 地 “u 口刀 特 第二章 e c o h e n 结果的一个推广 数论中两类渐进公式 由( 2 2 ) 得 故由定理1 6 可得 由( 2 4 ) 我们有 又由引理2 2 得 1 1 k l 。- 2 k 2 。- 鬲z 黑掣= m 萎= l 掣m 泓1 s ) 泓。s )，鲁 厶一 3 。、一”7 = m = 1 r m ( n ) = r m ( n ) = n x t ( m ) 1 1 k l 2 k 2 m = n t ( m ) l k l1 , 2 k 2 ”：z 1 = e ( 七：七。) ( 熹) 1 7 南1 + ( ( 七。后：) 代入上式可得 ( 扩2 + 。( ( 扩h 舢妁) ， = 垂嘶) k 傀) ( 熹) 1 k l 州州如) ( 轳b ：e+d(k2(k瞧1)x1广k八le(k2k1)x熬+e(klk2)xm： = 张+ 1 幻 + 。( m 拖，是黠) l z t ( m ) m l k 2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 为了估计( 2 5 ) ，我们先估计i t ( 仇) i 为此我们先对t ( m ) 做分析由 m x t ( m ) 积性，且t 够) = 0 ( 1 r p ) ，故若t ( m ) 0 ，则m = 1 ，或m = p l a l p 2 眈p 。m ，其中p 1 ，仡，p 。是互不相同素数，且啦p ，i = 1 ，2 ，8 设 o i l = 屈p + m ，屈1 ，0 m p 一1 又设w = p l p l p 2 虎仇风，v = p 1 7 1 p 2 仇仇帕， 则m = 叫p u 易见v 的素因子必全在w 中出现所以若w 给定，则v 的个数 1 6 土垆 吼 土p 型彬 王m艇 彬聊 啦 n m r 噼 数论中两类渐进公式 第二章e c o h e n 结果的一个推广 n ( v ) 肛3 = p u ( 伽) = 0 ( 叫。) ，e 2 为任意正数( 利用定理1 3 推论) 由上述分析， 我们可得 t ( m ) i = i t ( m ) i m zm 2 t ( m ) o 用l t ( m ) i = d ( 仇e 1 ) ) m q m r ( m ) 0 z 日 1 竹l k 1 ，故对充分小的e ，有丢+ e 一击 0 ，i = 1 ，2 故由( 2 7 ) 可得，m 曼= l 景碧( i = 1 , 2 ) 绝对收敛，且 裂：妻裂+0(xl#te-1k)( ，2 ) ( 2 8 ) 急m m 名m 1 h 。叫p ”7 1 7 第二章e c o h e n 结果的一个推广数论中两类渐进公式 同理，由定理1 9 及( 2 6 ) 得 黑盟：ei t ( 1 ( km ) 急m 1 + k 2 ) m 0 若他= l p 2 p 。) 奄1 ，p 1 ，仇， 由r m ( n ) 定义知r m ( n ) = 1 得 故c 1 再6 o 定理2 2 的证明概要 r m ( n ) n x ( p l p 2 p 5 ) 0 1 z ) 7 出 ( 2 9 ) ，p 。是互不相同的素数，则 用( 0 1 ) )k ， ：兰z 1 他+ o ( x 1 胁，) ， 7 r 因为定理2 2 的证明与定理2 1 的证明原则相同，但稍简单些，因此我们 在此只给出其证明概要 1 8 一曲鼎t v im 哑 数论中两类渐进公式第二章e c o h e n 结果的一个推广 薹掣= 珥( 1 + 万1 + 万1 + ) ， 差警= 泓1 s ) 。1 量了r m ( n ) = 9 ( 一嘉) 孕( + 嘉+ 嘉+ ) = 9 ( ，+ ；+ + 赫+ ) ， i k 2 ，若k 2 2 k 1 ， 由( 2 1 0 ) 得t ( m ) 是积性函数，且 丁= 吐囊：。， 特别地，i 丁( m ) i 1 脚t m f ( n ) = m 量- - - - 1 掣泓1 s )n = 1 n 9- m s ，。， ：导型一1 名m s 色f 如 r m ( n ) = t ( m ) 1 k lm - 2 n r m ( n ) =t ( m ) n s z1 0 1 m x = t ( m ) 1 m x i k l 点 = 三丁( 仇) ( m z - - ) l l k l + d ( 1 ) 刊胞掰+ 。侄i r c 酬) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第二章e c o h e n 结果的一个推广数论中两类渐进公式 类似于定理2 1 的证明，可得 进而可得 代入( 2 1 3 ) 得 其中c = 曼鬻 i t ( m ) l z v 外e ， m x 鬻k ： 怎m 1 1 n 0 2 0 ( 2 1 4 ) _ 1 一 数论中两类渐进公式 第三章除数函数均值问题的一个推广 第三章除数函数均值问题的一个推广 3 1 问题的提出 研究除数函数丁( 佗) 的渐进分布及其推广是解析数论中一个重要的问题 众所周知，d i r i c h l e t 得到了下述结果 7 - ( 礼) = x l 。g x + ( 2 7 1 ) z + d ( 历) n o 利用初等方法( 但似乎并不平凡) ，可以得到 其中r 是k 次实系数多项式 本节我们对丁( 扩) 做一些推广，即证明下面的定理3 1 定理3 1 记m 是自然数集的一个( 有限或无限) 子集设m = o ，k t ，k 2 ，) ( 0 k 1 乜 ) 又设r m = 圳n = p ? 1 p 多2 p a s 为标准分解，o q ，q 2 ， m ) r m ( 仃) 表示m 的特征函数：即 r m c 佗，= ：莩美f r m ， 并记 那么我们有 d m ( x ) = 丁( 礼) r m ( n ) ， n z d m ( z ) = x l h i l k l ( 1 0 9 x ) + o ( x v ( 1 ) + ) ， 其中风。是k 。次实系数多项式，e 是任意正数 2 1 第三章除数函数均值问题的一个推广 数论中两类渐进公式 3 2 预备引理 引理设( n ) = 1 ，k 2 记d 七( z ) = 亿( 仃) ，那么我们有 d i d 2 d k 。n n s o d k ( x ) = z 巩一1 ( 1 0 9x ) + e k ( z ) ， 其中砟一l 是k 一1 次实系数多项式，鼠( z ) x l - - 1 膏l o g 扣2 z 注本引理是已知结论，在定理3 1 证明中起重要的作用为完整起见， 我们在此给出证明 证明 k = 2 时即是定理1 1 1 设命题当k = l 一1 ( f 3 ) 时成立，即 d t 一1 ( x ) = 力一l ( n ) n z = z 羁一2 ( 1 0 9z ) + o ( x 1 - 1 ( h ) l o g 卜3z ) ， 其中日一：是1 2 次实系数多项式下证k = l 时，命题也成立 当l 3 时，我们有 n ( 礼) = 1 d i d 2 函= n = 1 故而可得 = t t - - ( 暑) d l i n = 力一1 ( m ) ， m l n d t ( x ) = 力( 几) n z = n l ( m ) n z m i n = 力一1 ( m ) m q z = 力一l ( m ) q 9 m s 詈 n 1 ( m ) ( 3 1 ) 数论中两类渐进公式 一方面 厂厂 o 二， 口9 训m 詈 力一1 ( m ) ( 考) k ： l - 口 由蜀一：是l 一2 次实系数多项式，得 位e 州x - q f z 小g 詈) = =z 0 s t ，js l 一2 t - 4 - j f 一2 ， ( 利用定理 、 =z ( 嵫考) 8 ( 3 ) ) l o g 。z 第三章除数函数均值问题的一个推广 + 。( ( 詈) 1 1 7 。一1 。g z 一3 考) c 3 2 ， = z 凰一1 ( 1 0 9x ) + o ( x 1 1 。l o g k 2z ) ， 其中岛一。是l 一1 次实系数多项式 引圹八卜” 由( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 4 ) 得 另一方面， fr - 二， g 垒1 m ； i l l 。s q s zm 詈 l o g z 一 力一i ( m ) 力一l ( m ) = 利用定理1 9 ，我们有 + a j + 0 l o g jx 叫1 1 1 ，、1 - a q 一1 ) 。至，。 1 0 9 f _ 3z x 1 一i q 一1 ) 利用定 x 1 一a q 一1 ) x i - i i zl o g z 一3z q l l q 一1 ) = z 凰一l ( 1 0 9z ) + 0 ( x l - - i i 。l o g 卜2z ) r z 二_ ， r n x 1 一l l r 2 j i i l ( x 1 1 i =z 力一l ( m ) 1 z l l 口s 熹 砒( m ) 熹一x l l t + d ( 1 ) m x 1 1 1 1 + o ( d h 力一l ( m ) m ( x l - 1 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 卜 d 夕q = 夕口 l i q 一 0l g 0 ) 一 扩垫 g 、，v 蜒 夕 弘 g 曙 肋 d 吼 q 铷 1 一g 夕 z g 半 o n 一 c：|2 卜一 焉一 “， l 十 o z g 3 夕哆 q y_p，z 旺对 烈k 卜 l l o g j 1 i r 蛔理毋 n ， v l z ，j l卜 d v z 一卜 第三章除数函数均值问题的一个推广数论中两类渐进公式 m o l l f l 力一l ( m ) z 7 i - i ( m ) 南一 x i l 。d l 1 ( x i - i l 。) + zr 1 。v 1 x l 2 d 2 - 1 ( z i - i i 。) + zf 卜v + z 。f 。f - l n 局一- ( t ) 刍出 ，。1zl-1lm e 。 。ft纂2(109慈t) n l ( m ) 由归纳假设，f l 一2 ( 1 0 9 x ) 是l o g x 的2 2 次实系数多项式，故 ( 沪 z z x - - i l 局一。( 1 。gt ) 詈出= z z l - - i l 蜀一。( 1 。g t ) d ( 1 。gt ) = x g l - 1 ( 1 。gz ) ， ( 3 7 ) 其中g f _ 1 是z 一1 次实系数多项式而由岛一1 ( t ) t l - 1 ( ) l o g 卜3 t ，易知 f 易一- ( t ) 刍出收敛，且 j 。x 1 - - 1 l 局一- ( t ) 丢出= 由( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，( 3 8 ) ，整理可得 易一( t ) 砉出一二州岛一- ( 幻击班 黜，扣。( 己掣 1 e l - 1 ( ) 去班+ o ( x q l o g 卜3z ) t 力一1m ) = z 也一1 ( 1 0 9 x ) + o ( x 1 1 。l o g 卜2z ) ， z l 2 g m s 詈 其中以一。是l 一1 次实系数多项式再由( 3 1 ) ，( 3 5 ) ，( 3 9 ) 得 d l ( z ) = 蜗一1 ( 1 0 9x ) + o ( z 1 一川l o g 心z ) ， d t ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 其中蜀一。是l 一1 次实系数多项式即命题对k = l 成立故对任意整数 k 2 ，命题成立 3 3 定理3 1 证明 定理3 1 证明 设7 ( 礼) r m ( n ) 的d i r i c h l e t 级数为 数，故r ( n ) r m ( 佗) 也是积性函数由 薹掣掣n = 1 ， 定理1 5 得 2 4 因丁( 几) ，r m ( n ) 是积性函 f r r 量拦掣= 9 ( + 掣+ 掣+ ) = 兀p ( 1 + 掣p + 管+ ) p ) = n p ( 1 + 噤p + 尝p + ) ， ( 3 1 0 ) 一 泓劫心1 + 1 ，墨笔掣= 可( 1 一嘉) h + 1 可( 1 + + 害+ ) = 可( 1 一嘉) h + 1 ( 1 + 害+ 警+ ) = 粤( 1 + 警+ 等等+ ) ：曼掣 ( 3 1 1 ) m 。= l m s 、7 易见g ( m ) 是积性函数，下面我们估计g ( m ) 的值为方便表示，记k o = 0 由( 3 1 1 ) 得 9 ( 矿) =e ( 1 1 ) ( 一1 ) ( 岛+ 1 )( 3 1 2 ) 如+ k l i = r i 0 令a = r a i n ( k 2 ，2 k 。) 我们先讨论当r a 时g ( p r ) 的取值若r = k 。，则 k j + k l i = r ( i 0 ) 有解向= k l 且i = 0 ，或磅= k o = o 且江1 ，得 夕。h ) = ( 孑1 ) ( 一) 。( 七- + 1 ) + ( h 1 ) ( 一1 ) 1 ( 。+ 1 ) = 。 若r k 1 ，则岛+ k l i = r ( i 0 ) 无解，得夕( 矿) = 0 所以当1 r a 时，总有 g ( p ) = 0 ( 3 1 3 ) 而当r a 时，由( 3 1 2 ) 得 2 5 第三章除数函数均值问题的一个推广数论中两类渐进公式 i 夕( 矿) i ( h 1 ) ( 如+ 1 ) j + k l i = r 0 b 产一卜1 ) + ( r - k l + l 】 【k 竿1 + 1 j ) ( r + 1 ) 2 易得 1 i m 盟：o p r - - + o op 1 其中p 是素数幂，e 。是任意正数又g ( m ) 是积性函数，由定理1 3 推论得 g ( m ) = o ( m n ) ( 3 1 4 ) 利用( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 及定理2 1 中对i t ( m ) l 估计的方法，估计i g ( m ) l ， 得 i 夕( m ) i x l a + e ，( 3 1 5 ) m x 其中a = m i n ( k 2 ，2 k 。) ，e ，是任意正数 因 故 现在回到( 3 1 1 ) 由( 3 1 1 ) 得 耋瓮掣：塞掣泓1 s ) - _ 礼s _ m 8 ”7 淞s ) h “= ( 善赤) h “ = 。墨i 1 象1 k e 霎：。1 一暑1 1 2 。k + 1 - l 1 一导垒竺：! ! ! ! 三兰 夤 ( l h ) 5 墨亿。+ 1 ( l ) 一台( l k l ) 薹掣= 三o o 百g ( m ) 刍。0 两t k l + i ( l ) 2 6 1lllli 数论中两类渐进公式 第三章 除数函数均值问题的一个推广 由定理1 6 得 进而得 由引理3 1 得 7 _ ( 佗) r m ( 几) =夕( 仇) 7 鼍。+ 1 ( l ) ， l k l