（岩土工程专业论文）一维大应变固结性状的若干研究.pdf

塑垩查兰璺主竺奎 型! 墨! ! ! ! 兰! 星一 一维大应变周结性状的若干研究 摘要 大应变固结理论研究虽已逾4 0 年，但即使对于最简单的一维大应变固结问 题，至今尚无统一、公认的结论0 本文旨在从理论上进一步研究一维大应变固结 性状。 首先，在总结现有研究工作的基础上，对求解一维盔瘗銮固绪问题的半解析 法进行了深入研究。通过将半解析法计算结果与现有以超静孑l 压为控制变量的一 维大应变固结方程解析解进行分析比较，证明了半解析法的正确性和有效性。 然后，基于连续介质力学的基本原理，论述了以变形为控制变量的一维大应 变固结方程及其近似解。经特定假设条件下推导了以沉降为控制变量的一维大应 变固结基本方程，获得了解析解，并证明了在同样的假设条件下无论以超静孔压 、 还是以沉降为控制变量，所得到的解析解都是相同的。厂一7 一 最后，运用半解析法编制了计算程序，并由此对一维大应变非线性固结性状 进行了全面分析。 ， 钵文工作表明：与考虑自重的非线性大应变固结分析结果相比，不考虑自重 t 的非线性大应变固结分析结果比考虑自重的非线性小应变固结分析结果差别更 大，因此只有全面地考虑自重应力、几何非线性、材料非线性等因素才能得到比 较合理的结果；考虑自重时，非线性小应变固结分析比非线性大应变固结分析所 得到的最终沉降量大；一维大应变固结中不存在m a n d e l - c r y e r 效应。) 1 - - 关键词，一维固梨7 大应变；解析解半解析硪m a n d e l _ c r y e r 效矗 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 s o m 皿s t u d i e so nt 丑eb e h a o r o fo n e d i m 匮n s i o n a ll a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o n a b s t ra c t i th a sb e e nm o r et h a n4 0y e a r ss i n c et h el a r g es t r a i nc o n s 0 1 i d a t i o nw a ss t u d i e d h o w e v e r ，e v e nf o rt h es i m p l e s tp r o b l e mo fo n ed i m e n s i o n a ll a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o n ， t h e r ei ss t i l ln ou n i v e r s a l l ya c c e p t e dc o n c l u s i o n t h i st h e s i sa i m st om a k es o m e t h e o r e t i c a ls t u d i e so nt h eb e h a v i o ro fo n ed i m e n s i o n a ll a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o n f i r s t l y 。o nt h eb a s i so ft h ew o r ks of a ra v a i l a b l e ，s e m i a n a l y t i c a lm e t h o di s s t u d i e dt of i n dt h es o l u t i o nt oo n ed i m e n s i o n a ll a r g es t r a i nc o n s 0 1 i d a t i o n t h e s e m i a n a l y t i c a ls o l u t i o ni sc o m p a r e dw i t ht h ea n a l y t i c a lo n ed e v e l o p e db yx i ea n d l e o ( 1 9 9 9 ) t h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a ts e m i a n a l y t i c a lm e t h o d i s r i g h t a n d v a l i d i t y t h e n ，b a s e do nt h ef i n i t ed e f o r m a t i o nt h e o r yo fn o n - i i n e a rc o n t i n u u mm e c h a n i c s a n df u n d a m e n t a l p r i n c i p l e s o fs o i l m e c h a n i c s ，o n ed i m e n s i o n a ll a r g e s t r a i n c o n s o l i d a t i o ne q u a t i o n g o v e r n e db yd i s p l a c e m e n ta n di t sa p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o ni si n t r o d u c e d u n d e rt h es p e c i a la s s u m p t i o n sp r o p o s e db yx i ea n dl e o ( 1 9 9 9 ) ， o n ed i m e n s i o n a l l a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o n g o v e r n e db ys e t t l e m e n t i s e s t a b l i s h e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n ga n a l y t i c a ls o l u t i o ni sg i v e n t h es o l u t i o ni s t h es a m ea st h eo n eg i v e nb yx i ea n dl e o ( 1 9 9 9 ) a l t h o u g ht h el a t e ri so b t a i n e df r o m t h ec o n s o li d a t i o ne q u a t i o ng o v e r n e db ye x c e s sp o r ew a t e rp r e s s u r e f i n a l l y ，ac o m p u t e rp r o g r a mi sd e v e l o p e df o rt h es e m i a n a l y t i c a lm e t h o d ，a n d t h eb e h a v i o ro fo n ed i m e n s i o n a ll a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o ni st h o r o u g h l ys t u d i e d i th a sb e e ns h o w nt h a tn e g l e c t i n gt h ee f f e c to fs o i lw e i g h tm a yb r i n g 曲o u ta u n s a t l s f a c t o r yr e s u l t t oo b t a i nar e a s o n a b l er e s u l t ，t h ef a c t o r sa f f e c t i n gt h e p r o c e s so fl a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o n ，s u c ha ss o i lw e ig i t ，g e o m e t r ya n dm a t e r i a l n o n l i n e a r i t ys h o u l da l lb ei n c l u d e di na n a l y s i s o n c et h ee f f e c to fs o l lw e i g h t i sc o n s i d e r e d t h eu l t i m a t es e t t l e m e n tf r o man o n 一1 i n e a rs m a l l 一s t r a i na n a l y s i si s l a r g e rt h a nt h eo n ef r o man o n 一1 i n e a rl a r g e s t r a i na n a l y s i s i th a sa l s ob e e n d e c l a r e dt h a tt h e r ee x i s t sn om a n d e l - c r y e re f f e c ti nt h ep r o c e s so fo n ed i m e n s i o n a l l a r g es t r a i nc o n s o l i d a t i o n k e yw o r d s lo n e - d i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o n ；l a r g e - s t r a i n ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ； s e m i - a n a l y t i c a ls o l u t i o n ；m a n d e l c r y e re f f e c t 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 第一章前言 1 i 一维大应变圃结理论研究现状 1 9 2 5 年t e r z a g h i 饱和土一维固结理论的提出标志着近代土力学的诞生“1 ， 固结理论从此成为土力学的主要研究课题之一。t e r z a g h i 的传统固结理论是建 立在一系列简化假定的基础上的。但实际上，土的状态是复杂多变的。因此，后 来的学者将t e r z a g h i 理论中的基本假定逐个取消，从而建立起各种新的固结理 论。一些主要考虑土体的材料非线性、几何非线性、自重固结、渗透性等因素变 化影响的固结理论统称为一维大应变固结理论。 一维大应变固结理论的研究始于1 9 6 0 年后。m i k a s a 和g i b s o n 被认为是这 一研究领域的开拓者。大应变固结理论主要是沿着两个方向发展：一方面是基于 g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) 。1 的工作不断地进行理论完善和进行数值分析以及实验论证等； 另一方面，随着非线性连续介质力学的发展，建立在有限变形理论基础上的有限 元分析也不断取得进展。目前，关于一维大应变固结理论的研究结果比较混乱， 各种理论得到的固结性状也有所差异。事实上，如果是对于同一固结问题，只要 是同样的前提条件下应当得到相同的结果。这一点，m c v a y 等( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ) ”1 曾用理论和实例进行了证明。现在大应变固结理论的结论差异，应当是在于数值 分析时方法中参数的不同取法，导致了结果的较大差别。 目前能全面考虑材料非线性( 应力一应变非线性) 关系，又能考虑渗透系数 非线性、几何非线性关系和土体自重，考虑复杂的荷载、边界条件、成层性的非 均质饱和土体的一维大应变固结理论还没有，因此，对这种复杂情况下的固结问 题的研究具有重要的理论和现实意义。 一维大应变固结理论研究大体上可分为三大块内容：理论分析、数值计算分 析和试验研究分析。为了更加精确地描述土体的实际性状，大应变固结理论的模 型越来越复杂，使得研究者要面对一些高维的偏微分方程，一般无法用数学方法 得到解析解，因而只得运用数值方法去分析求解，同时计算分析中用到一些参数 要通过试验分析求得试验研究还为理论分析提供了校对的依据。这三者应是相 辅相成的。 g i b s o n 等( 1 9 6 7 ) ”1 采用一种新的坐标一土体固相物质坐标z 代替拉格朗日 坐标a ，由土体平衡条件。流量平衡条件，达西定律( 这里引用d a r c y 定律时作 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 了改进，即认为孔隙水与土颗粒的相对流速与水力梯度成比例) 和有效应力原理 提出了以孔隙比e 为变量的一维大变形固结方程。 睁i 川ia k ( p ) 。 云a e 鲁i 躺警外和- ， 其中，当坐标方向和重力方向相反时取负号。该方程可视为一维固结方程的通式， 对土体的应力一应变关系、渗透性、土层厚度变化的大小，及是否考虑土体自重 等都没有限制。当采用线弹性应力一应变关系，并假定渗透系数恒定，可退化为 t e r z a g h i 的一维固结方程。 p o s k i t t ( 1 9 6 9 ) “1 将线性的e l o g o - 和e l o g k 关系代入一维大应变固结 方程，并采用摄动法得到了相应的固结曲线，但由于参数的意义不明确，不能直 观地表述各个因素的影响特性。 m o n t e 和k r i z e k ( 1 9 7 6 ) 。1 建立了完全饱和土的一维大应变固结数学模型， 并进行了一系列的渗透性试验。他们认为当考虑全程孔隙比变化时，p l o g k 不 是简单的成一直线，而只有在一定界限值内才成为近似直线关系。因此对于考虑 沉积作用时e 和k 的关系是比较难处理的。 1 9 8 1 年，g i b s o n 等眦研究了深厚软土的一维大变形问题，考虑了土体自重， 并且进一步用数值方法探讨了方程解，得到了一些结论。但该理论存在如下不足： 首先，它假定固结系数不变；另外没有考虑时间效应，即土骨架在有效应力作用 下，不断蠕变和不断变硬的特性( g i b s o n ，1 9 9 5 ) ”3 ；最后还假设了土是均质的。 g i b s o n 等( 1 9 9 0 ) “3 用孔隙比e 来定义渗透系数的变化： k = k oe x p f c p 生i ( 12 ) l0 0 其中c 取4 1 1 。对土球进行大应变固结分析时，出现了m a n d e l c r y e r 效应。 并得出了渗透系数变小是影响结果主要因素的结论。 随着大变形固结理论的发展，固结试验方法也有所进步，其中等变形率固 结试验( c r d ) 通常被认为是较方便的方法。它可以确定土体的前期固结压力以 及孔隙比与有效应力关系。目前，c r d 被世界上许多相关研究机构所采用。但是 国内很少有相关的试验研究。 一般情况下都采用数值计算方法来得到一维大应变固结问题的解答，其中 最常用的是有限差分法和有限元法。 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - - - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - _ 一。一 g i b s o n ( 1 9 6 7 ) “1 运用有限差分方法分析了不考虑自重的一维大应变固结解 答。m e s r i 和r o k h s a r ( 1 9 7 4 ) 叫采用有限差分法，得到了考虑超固结、正常固 结和次固结的固结曲线，同时还对大、小应变的结果进行了比较。洪振舜( 1 9 8 7 ) “”采用显式差分与隐式差分相结合的方法离散固结基本方程，研究了g i b s o n 的 一维大应变固结理论。 有限元法的应用也十分广泛。c a t e r 等( 1 9 7 7 ) “。“”首先用格林应变率张量 表述变形量，给出了一般形式的饱和土体大应变固结理论，并采用空间描述有限 元法，给出了饱和土大应变固结有限元分析结果；s h o d j a 等( 1 9 9 3 ) “3 1 运用移 动有限元法，将沉积作用和自重固结分开对待进行计算，并描述了两种不同的变 形状态。 半解析法是数理方程的解析方法与数值方法相结合的求解方法，是几种有 前景的数值方法之一( 孙钧，1 9 9 8 ) 1 4 1o 李冰河( 1 9 9 9 ) “”，选用空间坐标并以孔 压为控制变量，采用半解析法对一维大应变固结问题进行了求解。 1 2 有关饱和软粘土一维大应变固结性状的讨论 1 关于大应变固结理论适用范围的讨论 由于根据大应变固结理论分析实际问题非常复杂，因而在什么情况下才有 必要采用大应变固结理论进行分析是一个十分引人关注地问题。谢新宇等( 1 9 9 7 ) “”提出了，考虑大变形效应的一个分界条件：当荷载水平g e ( 外加荷载与地 基弹性模量之比) 小于0 1 时，可采用传统的小变形固结理论分析；当q e 大 于0 1 时，就应该考虑几何非线性的影响，进行大应变固结理论分析。 2 关于大变形分析和小变形分析计算结果的差异问题的争论 有些学者( c a t e r 等( 1 9 7 7 ) ”1 、g i b s o n 等( 1 9 8 1 ) 嘲、谢新宇等( 1 9 9 6 ) f i t ) 认为考虑大变形时，地表沉降会小于小变形分析结果，同时以沉降定义的固结度 会较大。而s c h i f f m a n 和c a r g i l l ( 1 9 8 1 ) “”等则认为大应变理论会得到更大的 固结沉降，超静孔隙水压力也稍大。由于几何非线性问题还没有完全成熟，在建 立几何非线性有限元基本方程时存在着不同学派的争鸣。应当说他们各有其优点 和缺点，并没有得到一个权威的结论( 何开胜等，2 0 0 0 ) “”。 3 关于m a n d e l c r y e r 效应的讨论 在固结的开始阶段，超静孔隙水压力持续上升( 或有效应力变为负值) ，到 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 某时刻后才开始逐步消散( 对应于有效应力上升) ，这种现象称为m a n d e l c r y e r 效应。m a n d e l c r y e r 效应在土球试样的固结试验中首先发现，在深厚地基粘土 中也发现过。产生m a n d e l - c r y e r 效应的原因可以解释如下：在表面透水的地基 面上施加荷重，经过短暂的时间，靠近排水面的土体由于排水，发生体积收缩， 总应力与有效应力均有增加。土的泊松比也随之改变。但内部的土体还来不及排 水，为了保持变形协调，表面土体中的总应力增量必然要向内部传递，使那里的 应力有所增大。因此，某个区域内的总应力分量将超过它们的起始值，而内部孔 隙水由于收缩力迫使其压力上升，有效应力出现负值。根据b l o t 小应变固结理 论，m a n d e l c r y e r 效应在二维和三维情况下是存在的，在一维条件下并不存在。 但对于考虑大变形的一维固结理论，是否也可能会出现m a n d e l c r y e r 效应尚无 定论。y i n 等( 1 9 9 3 ) 啪1 在考虑土体一维弹粘塑性固结分析时，得到了 m a n d e l c r y e r 效应，并对m a n d e l - c r y e r 效应产生的机理有了迸一步的解释。谢 新宇等( 2 0 0 0 ) o “在考虑几何非线性和渗透系数变化时，也得到了一维大变形条 件下的m a n d e l c r y e r 效应。 1 3 本文的主要工作 鉴于目前尚无完整统一的一维大应变固结解析解，无法对大应变固结分析中 各种数值法和半解析法的正确性进行合理的验证。谢康和等( 1 9 9 9 ) 。”在特定的 假设条件下获得了以超静孔压为控制变量的一维大应变固结方程及其完整的解 析解。本文首先对此作了介绍。然后在其基础上就以下几个方面进行了分析研究： 1 对求解一维大应变固结问题的半解析法作了进一步研究。比较了同一条件 下半解析解与解析解的结果，对半解析法的正确性和有效性进行了验证。 2 对以变形为控制变量的一维大应变固结理论进行了分析，介绍了以沉降定 义的一维大应变固结近似解( 谢新宇，1 9 9 6 ) “”。推导了特定假设条件下。2 1 以沉 降定义的一维大应变周结方程，并得到解析解。比较了近似解与解析解的结果。 3 运用半解析法较详细地分析讨论了一维大应变固结性状，特别是 m a n d e l c r y e r 效应。得到了一些有用的结论。 4 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 第二章以超静孔隙水压力为控制变量的一维大应交固结理论 2 1 基本理论 2 1 1 坐标系 在小变形分析中，对于物体运动和变形的描述是不分坐标系的，而大变形 分析中的不同描述会有较大的区别。在一维大变形固结分析中，有两种常用的坐 标：物质坐标( l a g r a n g i a nc o o r d i n a t e ) a 和流动坐标孝( g i b s o ne ta 1 ，1 9 7 6 ) 。1 。 其中，物质坐标口和时间 是相互独立的，流动坐标孝= 善( 口，t ) 是同时间有关的， 如图2 1 所示1 。 l 口= 0 ol jl ( 掌= 0 ) d口= 0 f f 0 f 1 e i 1r 珧 s ( a ，f ) r - 。p ra = h 口= h = 1 r 口 17 善 、 图2 1 l a g r a n g i a n 坐标和流动坐标 伯) 开始的状态( ，= o )( b ) t 时的状态 通过上面的插图可以清楚地得到它们之间的关系： 鸳 i + e 。一 a a14 - e o 毒= a + s ( a ，t ) ( 2 i ) ( 2 2 ) 式中：p 为现时构形的孔隙比，e o 为初始构形的孔隙比，s ( 口，t ) 为土层a 处t 时的 沉降量。 由于流动坐标描述是参照现时的构形定义的，对于大多数固体力学问题， 需要列出变形物体的边界条件。然而在现时构形下的边界是在问题解出后确定 的，所以，较多地采用物质描述来求解大变形问题。有限变形分析中，也经常采 用流动坐标，但是流动坐标中的描述是基于比较复杂的数学基础之上，在解方程 塑垩奎兰堡主丝苎 型! 垦! 竺! ! ! ! l 时会遇到很多难点。本文需要用到这两种坐标的转换，以化简方程。 2 1 2 控制方程 在g i b s o n 等( 1 9 7 6 、1 9 8 1 、1 9 9 5 ) 的基础上，进一步假设土颗粒和水不可 压缩( 即：土颗粒比重q 和孔隙水重度y ，不变) ，可以得到饱和粘土一维大应变 固结基本方程【2 ”，如下所示： 竖向土体应力平衡方程： 丝：f g 坐! ( 2 3 a ) i + e 旦! ：兰! ! 兰!( 2 3 b ) 加 1 + p 。 其中儿为土颗粒重度，仃为竖向总有效应力。 竖向孔隙水平衡方程： 罢：罢+ y 。 ( 2 4 a ) a 掌a 孝 。 至：塑+ ! ! ! 照( 2 4 b ) a 口缸 l + e 。 其中p 是总孔隙水压力，u 是超静孔隙水压力( 简称超静孑l 压) 。 有效应力原理： 盯= 叮+ p ( 2 5 ) 其中盯为竖向有效应力。 渗流定律： 击c v w - - v s 卜鲁毒 仫e 曲 k 叱：一必昙 y ，e d a 其中v 。和v ，分别是孔隙水和土颗粒相对于平面孝- - - - 0 的速度，k ， 渗透系数。 孔隙水流动连续方程： 6 ( 2 6 b ) 是土体的竖向 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 得到 素b c v w - - v s ，卜志尝 弦7 。 杀r c v w - - v ， 一志鲁 7 固结控制方程，由方程( 2 6 a ) 和( 2 7 a ) ，方程( 2 6 b ) 和( 2 7 b ) 分别 六孙讣瓦1 瓦a e 上旦i ! ：! ! 型塑i ：l 丝 y 。a a l 1 + e 抛j1 + e 。o t ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) 2 1 3 基本关系式 考虑如图2 2 所示的某饱和均质正常固结粘土层在竖向均布荷载q = q ( t ) 作 用下的一维大应变固结问题。可以得到如下结果【2 2 1 。 j 鼠 q ( o + 、r + + + + + + j j r 透水 1，透水或不透水 图2 2固结模型 1 竖向总应力可以由( 2 3 b ) 积分得到，即： 盯：盯( 口，f ) ：盯( o ，f ) + 举里塾d a ；1 + e 。 其中a ( o ，t ) 是土层表面总应力： c r ( o ，) = q 。+ q + y 。【月j + s ( o ，f ) 式中q 。为在荷载g 作用之前粘土层所受到的竖向荷载。 2 孔隙水压力： 7 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 塑坚查兰堡主笙苎 型! 垦! ! 竺兰! ：! 一 p = p ( a ，f ) = u + p 。 此处“( 口，f ) 为超静孔隙水压力，p ，为静水压力，即： ( 2 1 1 ) p 。= p 。( a ，r ) = y ， f f 。+ s ( 。，r ) 】+ j 量! ；警d a 2 y 。 f f 。+ a + s ( n ，r ) 1 ( 2 1 2 ) 3 有效应力： 盯= 盯( 口，r ) = 盯一p = 叮：+ g 一“ ( 2 1 3 ) 此处“是初始有效应力，由下式计算： 4 沉降 仃。i = o t ( 印) - - - q p + 7 , , ( g s - 1 ) o 怯。出 1 4 -v 洲叫，= 鞲妇 ( 2 1 5 ) 2 2 以超静孔凉水压力为控制变量的一维大应变圊结方程 2 2 1 以孔骧比为控制变量的同结方程 上节给出的方程是通用的，仅假设了土颗粒和水不可压缩，因而可以运用于 任何饱和均质土的固结。现假设渗透性和有效应力仅与孔隙比有关，即： k 。= k v ( p ) ( 2 1 6 ) 盯= 盯( e ) ( 2 1 7 ) 然后对方程( 2 1 3 ) 求偏导可得， 塑：o a o 一型：兰! ( 旦二1 2 d c 一8 e( 2 1 8 ) a 口融a 口 1 + e 。d e 加 将式( 2 1 8 ) 代入式( 2 g b ) 即可得到l a g r a n g i a n 坐标下以孔隙比为控制变 量的一维固结方程( g i b s o n 等，1 9 7 6 ) ： ( g 。一) 丢降 鲁+ 毒亳 _ 气等茅警喜 = 再i 百a e c z - 。， 2 2 2 以超静孔压为控制变量的圃结方程 本节的目的是得到以超静孔压定义的固结方程，因为将以超静孔压为控制变 8 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 量可以方便地引入边界条件。为此，由式( 2 1 3 ) 司得： 丝；鱼一a c t ：生r 塑一一c 3 u 、 ( 2 2 0 ) 8 td d 8 td c r 、8 ta t 定义相应于大应变的土体体积压缩系数m 。如下： 矾，：一上生 ( 2 2 1 2 1 ) 肌“2 一而石 “ 合并方程( 2 8 b ) 、( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 得到： 古旦o a l 丛1 鼍e 尘詈i = 聊。嵩e ( 塑a t 一鱼a t ) ( 2 z z ) y 。l + a 口j”1 + 。、 。 可以看到方程( 2 2 2 ) 是以超静孔压”为控制变量的，但方程中还含有孔隙 比，为了解决这个问题，作如下三个假设。“： 1 体积压缩系数在固结过程中保持不变，即： 一士当：m 。：c 。n s r a n t (223)1+ea 口t ” 2 渗透系数屯遵循如下规律： p k 等 ( 22 4 ) 其中七，。是土体初始渗透系数。 3 荷载瞬时施加，即： g = q ( t ) = 吼= c o n s t a n t ( 2 2 5 ) 由式( 2 2 3 ) 可以得到孔隙比与有效应力的关系，即： e = e ( a ，t ) = ( 1 + e o ) e x p 一r a _ ( 盯一盯：) 卜1 ( 2 2 6 a ) 或： p = e ( a ，r ) = ( 1 + e 。) e x p 卜册w ( 盯一碍。) 卜1 ( 2 2 6 b ) 此处8 m = e ( o o ) ，即土层表面初始孔隙比，q 。= o - ( o ，o ) ，为土层表面的初始有效 应力( 见方程( 2 1 4 ) ) 。 由式( 2 1 3 ) 、( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 a ) 可得到孔隙比与超静孔隙水压力的关系 式： 等= p - m 。t e x p ( 吼叫】 ( 2 2 7 ) 再2 帆一训 2 。 9 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 由方程( 2 2 2 ) 、( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 可以推出l a g r a n g i a 坐标下以 超静孔隙水压力为控制变量的固结方程： c 。陋州a _ 抛u u ) 2 愕 c z2 8 ， 其中c 。为，= o 时的初始固结系数： c 。= 且 ( 2 2 9 ) 现在我们的目标就是解方程( 2 2 8 ) ，具体如下一节。 2 3 厚土层一维大应变固结方程的解析解 2 3 1 初始有效应力和初始孔骧比 由方程( 2 2 6 b ) 可以得到： p 。= e ( a ，0 ) = ( 1 + g 。) e x p 卜m “( 一g ，) 卜i ( 2 3 0 ) 将( 2 3 0 ) 代入( 2 1 4 ) 即： 盯：= 口( 口，o ) 3 q 一十y w ( g s - 1 ) 1 0 而i o 丽出2 _ 3 1 w 、v1 口，j 积分得到初始有效应力： 小矿击i n 瓦j 1 瓦4 - e o o 瓦面 隰3 2 ) 初始孔隙比可通过将( 2 3 2 ) 代入( 2 3 0 ) 得到，即： e 。= e 。一m “y ，( g ，一1 ) 口 ( 2 3 3 ) 从上可以看出初始有效应力是沿深度非线性增大的，而初始孔隙比则随着深 度变大而线性变小。 2 3 2 单面捧水的解析解 如图2 2 所示，单面排水即：上表面( a = 0 ) 为排水边界，下表面( a = h ) 为不排水边界。 单面排水的边界条件可以简单的由超静孔压的数学表达式来描述，即： u ( o ，r ) = o ( 2 3 4 a ) 1 0 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 初始条件为 现在令 罢( 日，f ) = o u ( a ，o ) = q 。 ( 2 3 4 b ) ( 2 3 4 c ) w = w ( a ，) = e x p ( m “) 一1 ( 2 3 5 a ) 即： “：上l n ( 1 + w ) m w 将方程( 2 3 5 ) 代入方程( 2 2 8 ) 得到： a 2 w 却 百2 百 同时，边界条件和初始条件转化为： w ( o ，r ) = o 娑( 日，f ) = o w ( a ，0 ) = e x p ( m w q 。) 一1 ( 2 3 5 b ) ( 2 3 6 a ) ( 2 3 6 b ) 圆结方程( 2 3 6 ) 为通常的热传导方程，可用分离变量法求解，解得： w = e x p ( m “吼) 一l 】耋吾s 姒百m a ) e x p ( 一肘2 z ) ( 2 3 7 ) 将w 的解答( 2 3 7 ) 代入( 2 3 5 b ) 得到超静孔压的解： “= 击l n ” e x p ( m 肌) _ l 】萎”万2s m ( = m a ) e x p ( - m 1 - 1 2 驯( 2 3 8 ) 朋w忑朋 其中时间因子t 为： 正= 等 ( 2 3 8 a ) m = 似一跏 m = 1 , 2 ，j ，3 - ( 2 3 8 b ) e h 超静孔隙水压力的解答可以推得其他变量的解。具体如下： 1 沉降 e h 方程( 2 1 5 ) 和( 2 2 7 ) ，有： s 2 片e 百o - - e 出= 卜吉出= ，卜e x p ( 一历w 吼) e x p ( m w 训砌 3 片 ， 将( 2 3 8 ) 代入上式并积分，得到任一时刻和任一位置的沉降值： 塑垩查堂堡圭兰苎 型! 垦三! 竺! 卫! l s = 日 1 一e x p ( - - m w q u ) 】 1 一号一薹斋c 。s ( 鲁) e x p ( 一肘2 正) 】( 2 4 0 ) 2 平均固结度 固结度有两种定义，一种为按孔压定义的固结度【，一种为按沉降定义的 固结度【，。除了在简单的t e r z a g h i 一维线性固结理论中两者相等，一般情况下 u 。玑唑 按孔压定义的固结度为： u p = l 一壶0 肛( 2 4 1 a ) 按沉降定义的平均固结度为： 以= 毒= 稠4 0 , 0 - 1 耋去e x p ( - 班) 由( 2 4 1 ) 可以看出u ，址，u ，需要用数值积分法计算， 一维固结理论中的平均固结度计算式完全相同。 3 有效应力、总应力、总水压力、孔隙比 根据前面结论可以得到； 口= 口：+ q 。一” ( 2 4 i b ) 而以则与t e r z a g h i ( 2 4 2 ) 盯右仃：+ g 。+ y ，( 日。+ 口+ s ) ( 2 4 3 ) p = u + y 。( 日j + + j ) ( 2 4 4 ) 其中仃；，“，s 可由式( 2 3 2 ) 、( 2 3 8 ) 和( 2 4 0 ) 得到。 由方程( 2 2 7 ) 和( 2 3 8 ) 可以得到孔隙比的表达式： e = 和r ) = ( 1 + e o ) e x p ( _ m 以) l + e x p ( 肌池) 卅耋云s i n ( - 等) e x p ( 一m 2 z ) 一l ( 2 4 5 ) 其中e o 见方程( 2 ，3 3 ) 。 2 3 3 双面捧水的解析解 如图2 2 所示，双面排水即：上表面( a = 0 ) 和下表面( a = h ) 均为排水 边界。用h 2 代替即可以由方程( 2 3 8 ) 得到双面排水的超静孔隙水压力解， 2 塑垩查兰堡圭竺奎 型! 垦! 竺! i 星一 甚： ；击l n ( 1 + e x 飙1 】耋云飒- 警) e x p ( - 4 m 2 驯 ( 2 4 6 ) 但对于沉降，就不能简单的把h 2 代替日代入方程( 2 4 0 ) ，而要由方程 ( 2 3 9 ) 和( 2 4 6 ) 得到解答： s = h 1 - e x p ( - m , t q ) 】 1 一号一萝m - ! 去p 1 + c 。s ( 警) 】e x p ( - 4 膨2 瓦) ( 2 4 7 ) 双面排水的孑l 隙比解可以由方程( 2 2 7 ) 和( 2 4 6 ) 得到： e = ( 1 + e o ) e x p ( - m 以) l + 【e 咖以) _ 1 】薹云s 坂- 警) e x p ( - - 4 m 2 删- 1 ( 2 4 8 ) 用同样的方法可以得到双面排水的平均固结度： 玑= 詈。1 。薹斋e x p ( 删l ) ( 2 a ” 总之，对于双面排水情况，超静孔隙水压力、有效应力、孔隙比和固结度等 可以通过在单面排水解答e e 用h 1 2 代替h 得到；但对于如沉降、总应力、水压 力，孔隙水速度和土颗粒速度等则不适合这条规律。 塑垩查兰翌圭丝苎 型! 垦! 竺! 兰! ! j _ 第三章以孔隙比为控制变量的一维大应交固结理论 3 1 考虑土体自重的非线性一维大应变固结半解析法分析 3 i 1 半解析法概论 1 概述 解析法是求解偏微分方程经典的方法，但由于数学方法的局限性，许多问题 特别是一些高维问题很难得到精确的解析解。随着计算机技术的发展，出现了解 偏微分方程的数值方法一差分法和有限元法，由于其解决问题的能力高，渐渐的 取代了经典的解析法，尤其是有限元法已经渗透到力学和其它自然科学的各个领 域。 解析法和数值方法都各有缺陷，因而对某些在理论上已经研究比较透彻的问 题，改用相应的低层次的解析解作为形函数以替代数值方法的离散和迭代逼进， 便可以使工作量大大减少，这就是半解析法的一般原则。目前在岩土力学和地下 结构方面，半解析法已有广泛的应用。 总之，半解析法就是数理方程的解析方法与数值方法相结合的求解方法。它 充分利用已有的低维、简单问题的解析研究成果，以减少纯数值计算带来的浩大 工作量。同时由于半解析法应用的是相应边界条件的精确解，因此不但收敛性好， 而且很容易到达所需精度。本章的处理方法就是：将土体划分为许多小土层，然 后假定各土层中应力一应变关系为线弹性、应变为小应变。这样就可引入成层地 基一维固结的思想，通过运用多层地基一维固结解析解( 谢康和等，1 9 9 5 ) 汹 和迭代法获得一维大应变固结问题的半解析解。 2 关于成层地基的一维固结解析解 如图3 1 所示成层地基，其总土层厚度为日，所含土层数为刀，土层f 的厚 度、渗透系数和体积压缩系数分别记为向、b 和小。( ，= 1 , 2 ，3 ，仃) 。地基排 水条件为两种，即单面排水和双面排水。再作除加荷条件外与t e r z a g h i 一维固 结理论相同的假设，即可得变荷载下多层地基中任何一土层i 的一维固结微分方 程如下： 1 4 浙江大学硕士论文 刘育民2 0 0 2 年1 月 c 。争= 鲁c 铂一纠哦，川 ， 其中c 。为土层f 的竖向固结系数 c 。：上l ( 3 ，2 ) y _ m “ 巩= “，( z ，f ) 为土层f 中任一点任一时刻的超静孔隙水压力。 l ， lll2j q ( t ! h 1 ， 透水边界； kv lmv 1 h ；l i kv im ， h 1 nkmmv n 透水边界或不透水边界 z 图3 1多层地基 方程( 3 1 ) 的边界条件为： ：= 0 ：“l = 0 z = h ： 孕= 0 ( 底面不排水) ，= o ( 底面排水) 侣 初始条件为： f = 0 ：“f = 口( 0 ) = q o ( 3 3 a ) ( 3 3 b ) ( 3 3 c ) 土层叉界处的连续条件： 弘弓：巩l ，b 卺吨警b l ，2 3 ，拧 ( 3 3 d ) 庞宓 为使解答简洁。定义如下无量纲参数： 铲鲁，岛= 等，尼= 鲁，朋= 压= 捂净川s t ， 用类似求解双层地基一维固结闯题的方法，可得方程( 3 1 ) 之满足所有 求解条件的解如下： 1 5 式中 铲妻巴( z ) e - f - l ，2 ，3 ，h ( 3 5 ) - i 8 。= 丸：c 。| 小 c z ，= 以，s i n ( “九言 + 既。c 。s ( 簟以寺) g 。，( z ) 中的系数以。和吃。由以下递推公式计算得到： ( 3 6 ) ( 3 7 ) 艺：b 1 二s ；- 。：二占邮叫】r ，：，：一， c s s ，阻。，r = b 州叫占邮叫，。f = 1 ，2 ，3 ，_ ，j 其中，s 为以下矩阵： 以为以下超越方程的正根： 其中： 苎d f - d , c j b i f ：l ，2 ，3 ，z ( 3 9 ) c i d t + d a b 矗 jj j 4 = s i n ( “l 昔 驷辽舶厶刳 c i = c o s ( “厶昔) d l - - c o “九刳 吐= 等鼯： 最+ 。鼠鼠一岛s = 0 s = o 】r ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 a ) 鼠+ = s i n ( p , 厶)c o s ( p 厶) 】 ( 底面排水) ( 3 1 2 b ) 最+ 。= 【c o s “九)一s i i l “厶) 】 ( 底面不排水) ( 3 1 2 c ) 式( 3 5 ) 中的最后一个系数c ，由下列积分式确定 1 6 塑垩查兰堡主笙兰 型! 垦! 竺! 兰l ! l 小钞出 躲 ：尘! 翌盛堕些：鲨坐二竺 ： 善厮k n 以k 2 + 玩一2 ) + 慨2 一以2 x d j + b i + t c f 4 ) + 2 以一吼t 虹2 - d j + t 2 m 由式( 3 1 3 ) 可以看出只要知道g ( ，) 的数学表达式，就可以通过积分得到超 3 半解析法的解题步骤 半解析法通过将土体划分为许多小层，假定各层中应力应变关系为线弹性来 求解。因此，对于复杂的非线性一维固结问题，可以通过多层地基一维固结解析 解和迭代法来求其半解析解d 4 1 。具体如下： 首先，将士体均匀分为n 等分，取她表为坐标孑的原点，并计该点至土层i 顶 面和底面的距离分别为五一；和= 。由于各土层的厚度h 很小，所以在任何时刻， 将各层的平均固结参数作为该层的固结参数带来的误差是很小的。因此，在某一 时刻相应于土层i 的渗透系数、体积压缩系数和固结系数分别为k 。、m 。和c 。 ( i = 1 ，2 ，3 ，拧) 。 其次，将整个固结过程离散为无数个时间段。当时间段取得很小时，在每个 时间段内都可将各小层的固结参数视为常量、应变视为小变形。而且变荷载在任 一小时间段内也可视为常量。因此，一般的加荷曲线可以用多级加荷曲线来近似。 那么在任一小时间段j 内： 吼= 辫 其中t o = 0 。