（基础数学专业论文）几类微分边值问题的正解.pdf

，卜海师范大学硕士学位论文 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学中的一个非常重要的分支它的主要理论有锥理论、 拓扑度理论、不动点理论等，它研究非线性问题的方法主要有半序方法、变分方法、拓扑 度方法等这些理论和方法为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了有效的理论工 具，在处理实际问题所对应的各种数学模型，如非线性微分方程、非线性积分方程和偏微 分方程中发挥着重要作用国内外许多著名的数学家，如h a m a n n 5 1 ，k d e i m l i n g 5 2 ，张 恭庆1 5 5 ，陈文塬教授【5 3 】，郭大钧教授【4 5 】- 【4 7 】，【5 4 等在非线性泛函分析的许多领域都取 得了辉煌的成就 本文主要利用非线性泛函分析的方法研究几类高阶微分方程边值问题，特别是高阶奇 异边值问题奇异边值问题来源于非线性光学、流体力学、边界层理论等应用学科中，它 一直受到科学工作者和其它科学工作者的广泛关注近年来，奇异边值问题解的存在性、 唯一性、多样性得到了广泛的研究( 见文【1 2 】【1 4 】，【1 6 - 【2 8 】及其所附参考文献) 本文的目的是在已知文献的基础上，利用拓扑度理论、不动点指数理论等更进一步深 入研究高阶奇异边值问题 全文共分四章：第一章绪论，我们简要介绍了非线性奇异边值问题的相关背景和本文 的主要工作第二章我们研究了非线性四阶微分方程s t u r m l i o u v i l l e 边值问题解的存在性 利用拓扑度理论，得到了四阶s t u r m l i o u v i l l e 边值问题存在有界解的新的充分条件有趣的 是，我们不仅允许非线性项含有二阶导数与三阶导数，而且允许非线性项变号第三章利用 不动点指数理论研究了四阶奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的正解我们在较弱的条件下得 到了四阶奇异s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题至少有一个正解，至少有两个正解的新结论第四章 研究了扎阶常微分方程边值问题解的存在性我们通过构造有效的积分算子，利用不动点指 数理论得到了n 阶常微分方程带积分边值条件，及带导数边值条件解的存在性与多解性，所 得结果推广并改进了文【1 】中的相关结果，而我们的主要结果能够涵盖更广泛的函数类 关键词：不动点。奇异s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题，锥，特征值，积分算子，全连续算子 i 英文摘要卜海师范大学硕十学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e ma n a l - y s i sm a t h e m a t i c s i t sm a i n l yt h e o r yi n c l u d ec o n et h e o r y , t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , f i x e dp o i n t t h e o r ya n ds oo n i th a sv a r i o u sm e t h o d st or e s e a r c hn o n l i n e a rp r o b l e m ss u c ha sp a r t i a lo r d e r m e t h o d , v a r i a t i o n a lm e t h o da n dt o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o de t a 1 a l lt h o s eo fb o t hr i c ht h e o r i e s a n dm e t h o d sp r o v i d eam u c he f f e c t i v et h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gn o n l i n e a rp r o b l e m sa r i s i n gi n t h ef i e l d so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y e s p e c i a l l y ，i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l et oh a n d l ea l lk i n d so f m a t h e m a t i c a lm o d e l sc o r r e s p o n d i n gt on o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a - t i o n sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u m i o n si na c t u a lp r o b l e m s b o t hd o m e s t i ca n d f o r e i g nw e l l k n o w n m a t h e m a t i c s ，s u c ha sh a m a n n 51 ，k d e i m l i n g 5 2 ，g o n g q i n gz h a n g 5 5 ，w e n y u a nc h e n 5 3 ， d a j u ng u o 4 5 一【4 7 】，【5 4 】a n ds oo n ，h a so b t a i ne x c e l l e n ta c h i e v e m e n t si nv a r i a t i o n sf i e l d so f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e sac l a s so f1 1 i g h e r - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ，e s p e c i a l l yh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m n o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma p p e a r si nt h ef i e l d so fn o n l i n e a ro p t i c s ，n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c sa n d s oo i li th a sa t t r a c t e dm a n ya t t e n t i o n so fm a t h e m a t i c sa n do t h e rt e c h n i c i a n s t h ee x i s t e n c e ， u n i q u e n e s sa n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sh a v e b e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yi nr e c e n ty e a r s ( s e e 【1 2 - 【1 4 】，【1 6 一 2 8 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) b yu s i n gp a r t i a lo r d e rm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n ds oo n ， t h ea i mo ft h ep r e s e n tp a p e rf u r t h e rd e e p l yd i s c u s s e sh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so nt h eb a s i so fk n o w nr e f e r e n c e s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yi n t r o d u c eb a c k g r o u n do f n o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dt h em a i nw o r ko ft h ep r e s e n tp a p e r t h ec h a p - t e rt w o ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fn o n l i n e a rf o u r t h o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t u r m l i o u v i l l e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s b ya p p l y i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y , w eo b t a i nn e ws u f f i c i e n tc o n d i - t i o mo ft h eb o u n d e ds o l u t i o n sf o rf o u r t h - o r d e rs t u n n - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h ei n t e r e s t i n gp o i n ti st h a tt h en o n l i n e a rt e r mn o to n l yc o n t a i ns e c o n d - o r d e ra n dt h i r d - o r d e rd e r i v a t i v e s ， b u ta l s om a yb ec h a n g es i g n i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e rt h ep o s i t i v es o l u t i o n so ff o u r t h o r d e r n o n l i n e a rs i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sb ym a k i n gu s eo ff i x e dp o i n ti n d e x 吐娜u n d e rs o m ew e a k e rc o n d i t i o n s ，w ee s t a b l i s hs o m en e w r e s u l t so fa tl e a s to n e p o s i t i v e s o l u t i o n s ，a tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o u r t h - o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h ef o u r t hc h a p t e rf o c u so nt h es t u d yo ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rn t h o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dw i t l ld e r i v m i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n s b yc o n s t r u c t i n g v a l i di n t e g r a lo p e r a t o rt o g e t h e rw i t he m p l o y i n gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fa tl e a s to n es o l u t i o n sa n dm u l t i p l es o l u t i o n sf o rn t h o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dw i t hd e r i v a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h em a i nr e s u l t se x t e n d a n di m p r o v et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fw e b b 1 h o w e v e r , o u rn e wr e s u l t sc o v e raw i d er a n g e o ff u n c t i o n s k e yw o r d s ： f i x e dp o i n t , s i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，c o n e ，e i g e n v a l u e ， i n t e g r a lo p e r a t o r , c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r 上海师范大学硕士学位沦文主要符号对照表 主要符号对照表 实数集合 非负实数集合 非正实数集合 n 维实数域 范数 集合q 的边界 算予t 的谱半径 不动点指数 拓扑度 + 一 n r r 强 r胪矿舻讹佃n蚓 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 名：挑名：婢吼 沙p g 第一章绪论卜海师范大学硕士学位沦文 第一章绪论 1 1 非线性微分方程边值问题的研究背景及现状 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要研究分支领域，它的丰富理论和先进方 法为解决当今科技领域中出现的各种各样的非线性问题提供了有效的工具国内外许多 著名的数学家，如h a m a n n 5 1 ，k d e i m l i n g 5 2 ，张恭庆教授 5 2 1 ，陈文塬教授 5 5 1 ，郭大钧教 授 4 5 1 - 【4 7 】，【5 4 1 等在非线性泛函分析的许多领域取得了辉煌的成就 非线性微分方程边值问题来源于应用数学、物理学、化学、生物学、医学、经济 学、工程学等许多学科领域( 见文【l 】一 1 2 1 ，【5 1 5 5 1 及所附的参考文献) 十九世纪，分析数 学的飞跃发展为常微分方程初值问题的研究奠定了坚实的基础二十世纪，非线性泛函分 析理论的重大发展极大的促进了非线性微分方程边值问题的研究对初值问题，高阶方程 的研究有时比一阶方程的研究更容易入手对于边值问题，高阶方程边值问题比二阶方程 边值问题的研究困难得多，而且进展缓慢而实际问题中大量的非线性问题需要用高阶非 线性微分方程来刻画，这些问题急待人们去深入研究因此，运用几十年来非线性分析中发 展起来的多种先进分析工具，来研究非线性高阶边值问题，是个具有浓厚兴趣同时可希望 获取有意义的新成果的研究课题 本文主要利用非线性泛函分析拓扑度方法研究了高阶常微分方程边值问题的解 1 2 本文工作概论 在第二章，我们研究了如下的两点边值问题 l z ( 4 ) ( 亡) = f ( t ，z ( 亡) ，( t ) ，( ) ) ，t 【0 ，l 】， a l x ( o ) “1 茁，( 0 ) = 0 ，c l z ( 1 ) + d l x ( 1 ) = 0 ， ( 2 1 ) ia 2 x ( o ) 一b 2 z 删( o ) = 0 ，吻z ( 1 ) + d 2 z ( 1 ) = 0 。 其中，：1 0 ，l 】xr rxr r 是连续函数，且o l 0 ，b l 0 ，c l 0 ，d 1 0 ，p 1 = n l d l + a l c l + b l c l 0 ；a 2 0 ，b 2 0 ，c 2 0 ，d 2 0 ，, 0 2 = o 2 d 2 + a 2 c 2 + 5 2 c 2 0 本章的目的是在允许非线性项f ( t ，z ，y ，z ) 含有二阶导数与三阶导数，且允许变号的情 况下，利用拓扑度理论得到了边值问题( 2 1 ) 存在有界解的充分条件 我们首先将边值问题( 2 1 ) 转化为如下的方程： 乱i t ) = a f ( t , 层北s ) 乱( s ) 如，蚺“似) ) ，舌【0 ，1 】， ( 2 3 ) 【a 2 u ( o ) 一6 2 u ( o ) = 0 ，c 2 u ( 1 ) + d 2 u 7 ( 1 ) = 0 、 7 其中入【0 ，1 】 通过证明边值问题( 2 3 ) 有解来证明边值问题( 2 1 ) 存在性，具体见如下两个定理： 2 上海师范大学硕：t 学位沦文 第一章绪沦 定理2 1 假设条件( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则边值问题( 2 3 ) 存在解“a ( t ) ，z t l u a ( t ) m ，v t 【0 ，l 】，其中m 为正常数 定理2 2 假设条件( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则边值问题( 2 1 ) 有一个解z ( t ) 且满足 i x ( 。) i l 上夕( s ，s ) d _ m 在第三章，我们讨论了高阶奇异的s t u r m 1 i o u v i l l e 边值问题关于文【2 9 】，张等通过建立 新的比较理论并构造适当的上下解，给出下列边值问题正解存在的充分条件 i 南o ( t ) u 胛( ) ) 7 = a f ( t ，u ( t ) ) ，亡( o ，1 ) ， j u ( o ) = o ，t 正( 1 ) = o ， 1q ( o ) 一。l 川i mp ( t ) u ( t ) = o ， i u ( 1 ) + 6 l i m 1 一p ( t ) u 刖( 亡) = = 0 在文【3 2 】中，张等利用不动点指数理论考察了下列边值问题正解存在的充分条件 f ( t ，u ( 亡) ，让 ( ) ) ，t m - 2 x ( 1 ) = o t z 皤) i = i m - - 2 ( 1 ) = b i x ( 邑) 0 ，1 ) ， 其中0 = 岛 6 如 一2 a l ，f 。 a 1 ，厶 灭1 ，其中入1 是t 的特征值， 灭1 的定义见引理3 3 ；并且存在r o 0 ，使得 f ( t ，z ，- y ) 0 ，使得 f ( t ，z ，- y ) r o ，vt 【0 ，1 】，z 【i r r r o ，t o ，y 【f r o ，t o 3 t ， ) 酢叭 却 铷“ 归 、， 口 叭 邯 z z z ，-_i，、l_li_【 q l a a 驰慨卜卜 小 舭蛾棚跏汹矽妒 ii，ii 烈烈 俐卅协俾 础 = m d，二_u、，l，i 南印彬 第一章绪沦 一卜海师范大学硕士学位沦文 其中7 - ( o ，；) ，= ( 鄙冀】f 1 日( 。，s 珍( s ) 9 ( s ) d s ) ，。r2 蚝誉晕】詹g ( 。，s ) d s ，则边值问 题( 3 1 ) 至少有两个正解 关于微分方程边值问题，多数文献研究的是边值条件是常值的，当边值条件为积分时， 相关文献研究的较少w e b b 在文【l 】，【2 】，【3 】中研究的边值条件是一般的线性泛函 w e b b 在文【l 】中研究了下列的二阶边值问题， 卜( t ) = 夕( 亡) m ，钆( t ) ) ，亡( o ，1 ) ， 【“( o ) = 0 f m ，钍( 1 ) = p 阶 其中a m ，卢【乱】为线性泛函文【1 】中要求非线性型厂( t ，u ( 亡) ) 满足下列条件， 一l i ms u p 型，l i mi n f 型，面s u p 型，l i mi n f 型 u - - - o + t e d ，1 】 u 石一o + t e d ，1 】 u u 。o o 【o ，1 】 让 西；两t 【o ，1 l “ 并得到上述边值问题正解的存在性 受文【l 】- 【3 】的启发，在第四章，我们考虑了下列边值， 葛竺西辫篓0 - 黜0 州 1 ， i 乱( o ) = 口m ，牡( 1 ) ( o ) = ，( 扣2 ) ( o ) = ，“( 1 ) = p 、 其r 和f ( t ，钍) 满足 吣一l i r a i n 【。，f ，了f c t , u ) 慨。飘l i ms u 叫p ，掣 慨。飘l i ms u 叫p 掣 慨 并且p ( 0 ，1 ) ，口( 0 ，1 ) ，z ( 1 ，+ 。o ) ，得到了下列结果 定理4 1 设条件( a 1 ) 一( a 6 ) 成立，并且存在p ，q ( 0 ，1 ) ，使得 吣丽l i m 吲i n 叫f 。掣坞呱i u 甄i ms 印u p 川掣 慨 则边值问题( 4 1 ) 至少有一个正解 定理4 2 设条件( a 1 ) 一( a 6 ) 成立，并且存在q ( 0 ，1 ) ，f ( 1 ，+ ) ，使得 。甄l i ms u p ，掣 慨。戛l i ms upted 1 u - - - 0 t e d ，1 ，掣 慨 u 。 ，】 乱q 十 ，1 仃 并且存在常数乃满足： o 丑引上叼( s ) 圣1 ( s ) 如) m i n 。f 耻i n 【o f 1 】m ，乱) ， 则边值问题( 4 1 ) 至少有两个正解 定理4 3 设条件( a 1 ) 一( a 6 ) 成立，( t ，u ) 满足定理4 1 的条件，且存在常数正，易满足： o9(s)圣(8)ds。s钍up死蚝sufop，(亡，仳)正乃(z叼(s)圣l(s)ds)匝in。fr蚓infjo 1 1e l u ，1 】，( t ，t ) ， 0 t 死t f o ， ，口 。1 1 每u jr ，j j 则边值问题( 4 1 ) 至少有三个正解 由文【l 】知，算子 的不动点为方程 4 t u ( t ) = ，y ( 芒) a m + 6 ( t ) f l u 】+ h u ( t ) j 一( t ) = g ( t ) f ( t ，u ( 亡) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 【( o ) = a 阻】，钍7 ( 1 ) = 研u 】+ a f f 一卜海师范大学硕士学位沦文第一章绪论 刖解 其中 上，( t ) = o1 。i i ! ! ；g ( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s + o 1 七。( t ，s ) g ( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s ( t ，s ) = 8 。萋s 三。萋1 ，a ( s ) = 厂8 趴 ) ，入沁，1 = 1utt0 t8 1 j oj o ( s ) 趴( s ) i ， ( h u ) ( t ) = 一g ( t ) f ( t ，钍( t ) ) ，( h u ) ( o ) = 0 ，( h u ) ”) = 入【( 日u ) ，】 最后我们讨论了如下三种微分边值问题： u t t ( 。) 2 掣，缸( 。) ) ，亡( o ，1 ) ， ( 4 5 1 ) l iu ( o ) = q 【“】+ 川钆，】，u ，( 1 ) = p 阱 、7 一7 ( 。) 2 即m ，删，亡( o ，1 ) ，( 4 5 2 ) 【u 7 ( o ) = q 阻】，u ( 1 ) = p 【u 】+ 入阻，】 、7 u t 嚣篡端搿嚣l 仕5 固 【( o ) = q m + a m ，u ( 1 ) = p 阱 、 并得到如下的结果： 定理4 4 若算子 t u ( t ) = q 【牡】+ ( 入 1 】+ t ) 卢【q 十h u ( t ) 有不动点，则方程( 4 。5 1 ) 有解，并且对于算子 ，1i 1 h u ( t ) = a ( s ) g ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s + k ( t ，s ) 9 ( s ) ，( s ，仳( s ) ) 如 ，01 0 有下式成立 ( h u ) ( ) = 一g ( t ) f ( t ，u ) ) ，( h u ) ( o ) = 入 ( 肌) ，】，( h u ) ，( 1 ) = 0 其中 七( t ，s ) = t s ，。0 萋t s 三8 。萋：，a ( s ) = j 厂0 8 d a ) ，a 【u ，】= j 厂0 1 ( s ) d 人( s ) 1 ， 1 定理4 5 若算子 t u ( t ) = ( t 一1 + 州1 】) q 【叫+ 纠u 】+ h u ( t ) 有不动点，则方程( 4 5 2 ) 有解，并且对于算子 p l 1 ( h u ) ( t ) = a ( s ) g ( s ) f ( s ，u ( s ) ) d s + 尼( t ，8 ) g ( 8 ) f ( s ，u ( s ) ) d s ，0j 0 有下式成立， ( h u ) ( t ) = 一g ( t ) f ( t ，仳( 亡) ) ，( h u ) ，( 0 ) = 0 ，( h u ) ( 1 ) = 州( 日“) ，】 第一章绪论上海师范大学硕：卜学位论文 其中 七( t ，s ) = 1 - 1 屯8 。0 至t s 三8 萋1 l ，a ( s ) = 一j 厂s 1d a ) ，入【】= j 厂0 1 “7 ( s ) ( f a ( s ) ， 0 ，b 2 0 ，c 2 0 ，d 2 0 ，| p 2 = a 2 d 2 + a 2 c 2 + 6 2 c 2 0 非线性微分方程边值问题在物理学、生物学、化学等许多领域中有重要应用例如用 非线性两点边值问题描述弹性梁在外力作用下的形变 本章的目的是在允许非线性项f ( t ，z ，耖，z ) 含有二阶导数与三阶导数，且允许变号的情 况下，得到四阶s m r m l i o u v i l l e 边值问题有界解存在的充分条件 2 2 预备知识及引理 本文的基本假设如下： ( a 1 ) f ( t ，z ，y ， t t ) c ( 【0 ，1 】r 3 ) ，且，关于茁不增； ( a 2 ) 存在m 0 ，当i ”i m 时，有 ，1 u f ( t ，u 夕1 ，s ) d s ，u ，0 ) 0 ( 0 t 1 ) ； ，0 ( a 3 ) 对任意r 0 ，存在h ( s ) e ( 肘，r + 【o ) ，当0 t 1 ，y r 时， 有i 厂( t ，z ，y ，仳) i h ( 1 u 1 ) ，这里 是非降正值连续函数，并且满足l i m 羔= + 8 + + ”。， 引理2 1 9 1 若吼( t ，s ) 是下列边值问题 j - 0 ， 【a t u ( o ) 一b i u ( o ) = 0 ，c 五u ( t ) + 也( 1 ) = 0 的格林函数，则 吼( t ，s ) ： p c l ( 啦。+ 玩) ( q ( 1 一s ) + 也) ， o t s 1 ， l 所一1 ( 吼s + 玩) ( q ( 1 一t ) + 也) ，0 s t l 其中i = 1 ，2 引理2 2 1 4 7 1 假设 ( 1 ) 对于任意t 【0 ，1 】有x ( t ) g ，这里gcr 是有界集； 7 第二章高阶s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的可解件一卜海师范大学硕士学位沦文 ( 2 ) i x ( ) i h ( i x 他) 1 ) ，v t 【0 ，l 】，这里 是定义在【o ，+ o 。) 上的非降正值连续函数，并且 满足 。蛾志= 悯 则存在仅依赖于g 和 的常数k 0 ，对于比d ，有i z 他) i k ，vt 【0 ，1 】 2 3 主要结果及证明 容易知道下列边值问题 ( 。) = 邢，詹夕l ( t , s ) 牡( sd 8 , u ( 州( 古) ) ，孟【0 ，l 】，( 2 2 ) 【a 2 u ( o ) 一6 2 ( o ) = 0 ，c 2 u ( 1 ) + d 2 让，( 1 ) = 0 、7 有解的充要条件是边值问题( 2 1 ) 有解 为此，我们首先研究如下积分一微分方程边值问题的可解性 u ”( 古) = a 他，詹她s ) u ( s ) d s , u ( 州( 。) ) ，。【0 ，1 】，( 2 3 ) 【a ：u ( o ) 一6 2 u ，( 0 ) = 0 ，c , 2 u ( 1 ) - - i - - d 2 牡，( 1 ) = 0 、7 其中入【0 ，1 】 定理2 1 假设条件( a 1 ) 一( a 3 ) 成立，则边值问题( 2 3 ) 存在解u a ( t ) ，i ! il u x ( t ) i 0 矛盾 当入= o 时，边值问题( 2 3 ) 的解u o ( t ) 兰o ，v t 【0 ，1 】，仍然会推出o = u o ( t o ) m 0 ，矛 盾 因此，t o 譬( 0 ，1 ) ( i i ) 若亡0 = o 贝1 m 【o 1 a x l 让a ( t ) 。坝( o ) ( m o ) ，u ( o ) 0 由边值问题( 2 - 3 ) 的边界条件 知 0 = a 2 u x ( 0 ) 一6 2 u a i ( o ) 0 ， 8 卜海师范大学硕士学位论文第二章高阶s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的可解性 矛盾，从而t o 0 ( 1 i 1 ) 若= 1 ，此时暑筒u a ( 亡) 。坝( 1 ) ( m o ) ，( 1 ) 0 由边值问题( 2 3 ) 的边界条 件知 0 = c 2 u x ( 1 ) + d 2 u i ( 1 ) 0 ， 矛盾，从而t o 1 由( i ) 、( i i ) 、( i i i ) 知，乱a ( t ) m 不成立，所以“a ( 亡) 一m ，v t 【0 ，1 】综上所述，i u x ( t ) l m ，v t 【0 ，1 】 m ( a 3 ) 知 钆! ( t ) = a f ( t ，9 1 ( ，s ) u x ( s ) d s ，“a ( 亡) ，u i ( t ) ) ( i 札i ( 洲， 再由引理2 2 知i 钆又( t ) i k ，v t 【0 ，1 】其中k 是与入无关的常数 ( ) 令q = 仳 ) iu ( t ) c o ，1 】，i u ( t ) l m ，l 仳7 ( ) l k + 1 ，t 【0 ，l 】) 对任 意“q ，i l u l l2 t m e a x o , l ll 牡( ) i 定义算子4 ：再_ r i o ，1 j 如下 厂1 ，1 a u ( t ) = 9 2 ( t ，7 - ) ，( 7 ，g l ( r ，s ) u ( s ) d s ，“( 7 i ) ，珏7 ( 7 ) ) d 7 由a s c o l i a r z e l a 定理易证a 是全连续的 ( 1 1 1 ) 令h ( a ，让) = a a 让贝i j h ( a ，u ) ：【o ，1 】豆一c o ，1 】连续，显然对每个入 【0 ，1 】，h ( a ，) ：【o ，l j q _ v o ，1 】是紧算子，并且日( a ，让) 对于a 在任何点知f 0 ，1 】的连 续性关于牡孬是一致的，所以日( a ，“) ：f 0 ，1 】豆_ c o ，1 】是全连续算子 由( i ) 知对v a 【0 ，1 】，不存在u 鼬，使h ( a ，u ) = u ，所以由同伦不变性知， d e g ( i d h ( a ，) ，q ，0 ) = d e g ( i d h ( 1 ，) ，q ，0 ) = d e g ( i d h ( 0 ，) ，q ，0 ) 0 所以a a 有不动点，即边值问题( 2 3 ) 有解特别的当入= 1 时边值问题( 2 2 ) 有一个解， n m ( t ) i m 故边值问题( 2 1 ) 有解 口 定理2 2 假设条件( a 1 ) 一( 如) 成立，则边值问题( 2 1 ) 有一个解z ( t ) 且满足 i x i ( 小8 , 8 ) d s ) m 证明：令 ，1 z ( t ) = m ( t ，s ) u ( s ) d s 其中u ( t ) 是边值问题( 2 3 ) 当入= 1 时的解，易证z ( ) 是边值问题( 2 1 ) 的解，且 i z ( t ) i ( z 1 夕，( 亡，s ) d s ) 彳( z 1 9 ( s ，s ) d s ) f ，v 亡【。，1 】 口 注l ：条件( 如) 中关于函数 的要求可减弱仅要求 是属于c ( 兄+ ，r + o ) ) 的连续函数， 且满足条件口赤如= + ，此时定理2 1 与定理2 2 仍成立 9 第二章高阶s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的可解性卜海师范火学硕士学位论文 1 0 注2 ：本章从本质上改进了文 2 7 1 的结果，而方法更简洁 上海帅范大学硕士学位沦文第二章四阶奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的正解 第三章四阶奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的正解 3 1引言 近年来，四阶常微分方程边值问题得到了广泛关注( 见文【2 7 】- 【3 0 】及所附的参考文献) 文【2 9 】张利用比较原理并通过构造适当的上下解，研究了下列边值问题 i 而1 ( p ( t ) ( t ) ) ，- 入弛，u ( t ) ) ，t ( o ，1 ) ， i 让( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 ， 卜 ( o ) _ 。噪p ( t ) u 胛( 亡) = 0 ， l7 u ( 1 ) + 6 。l i m ，p ( t ) u 胛( t ) = 0 正解的存在性文【3 2 】，利用不动点指数理论讨论了下列边值问题 i z ( 4 ) = g ( t ) f ( t ，仳( t ) ，( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， 2z ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 吼z ( 锄， l 己一。 i ( o ) = 0 ，( 1 ) = 玩z ( 劬 正解的存在性其中0 = 岛 1 已 岛一2 岛一l = 1 本章我们考虑下列四阶常微分方程奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题正解的存在性 ，一t ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， ( 3 1 ) 本章受以上文献的启发，在允许非线性项奇异的情况下，通过构造有效的积分算子，利 用不动点指数理论和线性算子的第一特征值得到了边值问题( 3 1 ) 至少存在个正解，至少 存在两个正解的新结论 3 2 引理与主要结果 当1 一e 啦已o 时，设边值问题 i = 1 ， i - y ( t ) = o ，t ( 0 ，1 ) ， ? r a - - 2 lz ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = q z ( 鼢 l i = 1 的格林函数为g ( t ，s ) ，令 ，1 s v ( t ) = g ( ，s ) v ( s ) d s m 啪归归v 啦代蛾脚跏嘲妒妒 ， = 【 【一 n 、= 、 功廿m 小 0 h 扣h 扣 俐卅裟一 酢 = m d，u、l，i，j 南印彬 第三章四阶奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的正解卜海师范大学硕十学位沦文 其中，舶满足下列边值条