（基础数学专业论文）cauchystieltjes积分及其乘子.pdf

湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 o 1中文摘要 本文主要讨论c a u c h y s t i e l t j e s 积分假设r 表示复平面c 上的 单位圆周，a 表示p 上的复值b o r e l 测度的集合我们称，( = ) = f ( 1 一我) 1 虮( z ) ( n 0 ，肛a ) 为c a u c h y s t i e l t j e s 积分记其全体为 五，m 。，p 表示从咒到乃( 卢 o 0 ) 的乘子空间，即所有在 0 ) 表示俨中的c a u c h y s t i e l t j e s 积分族，朋：表示从刀到自身的乘子空间在这一部分，我们首先 证明了m ：中的函数，是有界的，然后讨论同- - n 度在不同乘子空 间的积分之间的联系这里我们还利用d i r i c h i e t 空同璎范数的积分 表示证明了碍与口：的包含关系 关键词：c a u c h y s t i e l t j e s 积分；乘子；面积平均p 叶函数；d i r i c h l e t 空间 一 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 i i 0 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yc a u c h y s t i e l t j e si n t e g r a l s l e tfd e n o t et h eu n i t c i r o l ei nt h ec o m p l e xp l a n ec ，a n dl e tad e n o t et h es e to f c o m p l e x v a l u e db o r e l m e a s u r e so nr t h ef u n c t i o nf ( z ) = l ( 1 一面z ) 一。d p ( x ) ( 0 ) w i l lb ec a l l e d c a u c h y s t i e l t j e si n t e g r a lf o r “a w ed e f i n e 五t ob et h ec o i l e c t i o no fa l l t h e s e ，a n dd e n o t eb ym n ，口t i l em u l t i p l i e rs p a c ef r o m 只t o 乃 o l o ) ， t h a ti s ，t h ec l a s so fa l lf u n c t i o n sgt h a ta r e a n a l y t i co n 0 ) 表示如 下函数，的全体： 1 ，( z ) = 万 雨d 弘( z ) ， ( 1 1 ) 这里肛a ， 1 ) 的一个判别条件th m a c g r e g o r 的研究受到了有关学者的重视，出现了一批研究成果f 6 1 0 11 9 9 2 年r a h i b s c h w e i l e r 和t h m a c g r e g o r 在【1 1 中给出了只乘子族m 。的概念：一 个在上解析的函数，(。)如果满足对每个9咒都有，9只时，则 称f ( z ) 是从只到只的乘子所有这样的乘子函数集记为m 。记川 m 。= s u p i l ，圳咒：9 咒，怕l 五1 ) 则 m。关于此范数是banach空间后来又有些学者【7，ii一16】对朋。进行了探讨，得到了一些有趣的结果1 9 9 3 年d j h a l l e n b e c k 在 1 2 】中 曾提到过乘子集州础的概念，其定义是：一个在上解析的函数 x 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文3 定理1 41 ) 设0 。 卢 n + 1 ，如果，( z ) 在上解析且满足 。吩= s u p ：。劈i f ( r o l ( i r ) p 一。) 一1 d r o ( 3 ，贝0 ，( z ) m 。，口； 2 ) 设0 血 卢 。+ l ，厂( z ) 在上解析和在五上连续且满足 巧誓p ( 世警 d s l ，o o ) ：则我们称，( z ) 是面积平均p 十函数( p 是正实数) 显然，单叶函数一定是面积平均单叶函数 th m a c g r e g o r 在f 5 1 中证明了单叶解析函数族u 与厶的关系： u cn 。，。只我们将这一结果推广到面积平均p 叶函数： 定理1 6设，( 。) 是在h 1 内的面积平均p 叶函数，如果p i 1 则f ( z ) en 。，。厶；而对0 o ) 所有这样的乘子函数集记为m 印记 i i 州朋。= s u p 川，目l l 而：9 五，l 川1 五1 j 、 ( 21 2 ) 则m 枷关于此范数是b a n a c h 空间当卢 d 时，【1 2 中指出这样 的乘子函数只有零函数当。= 卢时，记m 。= m 郇：显然m 。c m 础( o o ) 所有这样的乘子函数集记为a , t 印记 | | f l j 朋。= s u p 川f g l l t z ：9 五，l g 五1 j ( 21 2 ) 则m 枷关于此范数是b a n a c h 空间当卢 d 时，【1 2 中指出这样 的乘子函数只有零函数当。= 卢时，记a 4 。= m 郇：显然m 。c m 础( o 0 ) ，则我们称f ( z ) 是面积平均p 叶函数( p 是 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 6 正实数) 显然，单叶函数一定是面积平均单叶函数面积平均p 叶函 数由l i t t l e w o o d 引进，这方面的研究内容和近期的研究成果在f 1 8 2 1 1 中得到反映 本章我们主要讨论川枷的性质，给出函数属于m 础的某些判 别条件讨论在不同空间具有相同测度表示的c a u c h y s t i e l t j e s 积分间 的关系及其性质我们还建立了面积平均p 叶函数族和只的关系， 所得到的结论是【5 】中相关结论的推广 2 2m 础的性质 定理2 2 1 设f ( z ) 五，则厂( 孑) 兀亘 i f ( s ) f f 五= i f ，( z ) 咒 证明 因f ( z ) f ，则存在“a 使得f ( z ) = f r ( 1 一面z ) “咖( z ) ，吲 1 根据j o r d a n 分解定理可设 ( f 弘( z ) - 二d “1 ( z ) 一血2 ( 。) + i ( d t t 3 ( z ) 一由1 4 ( z ) ) ( 2 21 ) 其中肌( k = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为非负有限测度定义 d u ( x ) = d p l ( 丁) 一c f “2 ( 虿) 一i ( d p 3 ( g ) 一d 肛4 ( i ) ) ， ( 222 ) 和g ( z ) = 片( 1 一虿。) 一。咖( z ) ，我们有9 ( z ) 元另一方面 9 ( z ) z 。堂等 d。p“。1。(。z。)。-。d。1p。2。(1z)+ 而 ( 虿) 一d p a ( 虿) ) ( z ) 一d 肛4 ( z ) ) 因此而咒 对任意可测集e ，由( 22 1 ) ：( 2 2 2 ) 我们有 v ( e ) = p 。( 百) 一芦。( 西) 一i ( 肛3 ( 面) 一肛4 ( 司) ， 和 i j ( e ) l = 、( “1 ( 面) 一肛。( 面) ) 2 + ( 肋( 豆) 一肛4 ( e ) ) 2 = l 上( 司 辄一砷磊一计 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 6 正实数) 显然，单叶函数一定是面积平均单叶函数面积平均p 叶函 数由l i 琏”一j s x x 蓟冈；唾一傩的隔张丙容和随羰酌陶究粝蝈爿 v a 申绛割两啦， 习强疆；i 习强盼涵枞纯的理强i 治出菌硬菲弭枞盹的马牡飘 钏霜邛。阿确舞钥同强丽晖陴措同溯强弱粝的p i ”_ i v 一；口；羹女! 锕哆闻 的丑系勃够摊强滔们弦裴还建立了面积平均p 叶函数族和只的关 系，所得到的结论是【5 】中相关结论的推广2 2m 础的性 质定理2 2 1 设f ( z ) 五，则i ；( 孑) 兀亘 i f ( s ) f f 五= i f ，( z ) 咒证明因f ( z ) f，则存在“a使得f(z)=fr(1一面z)“咖(z)，吲1根据jord a n 分解定理可设；i 弘( z ) 一- 二d “1 ( z ) 一血2 ( 。) + i ( d t t 3 ( z ) 一由1 4 ( z ) ) ( 2 2 1)其中肌(k=1， 2 ，3 ，4 ) 为非负有限测度定义d u ( x ) = d pl ( 丁) 一：j “z ( 虿) 一i ( d p 3 ( g ) 一d 肛4 ( i ) ) ， ( 22 2)和g(z)：片( 1一虿。)一。咖(z)，我们有9(z)元另一方面9(z z 。堂等 d。p“。1。(。z。)。-。d。1p。2。(1z)+ 而 ( 虿) 一d p a ( 虿) ) ( z ) 一d 肛4 ( z ) ) 因此而咒 对任意可测集e ，由( 22 1 ) ：( 2 2 2 ) 我们有 v ( e ) = p 。( 百) 一芦。( 西) 一i ( 肛3 ( 面) 一肛4 ( 司) ， 和 i i 。( e ) l = ；i ? ( “，( 面) 一肛。( 面) ) 2 + ( 肋( 豆) 一肛t ( e ) ) 2 = l i i ( 司 辄一砷磊一计 x 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文8 记k ( 。) = ：。“眺( z ) ，则 荆坼) 2 r 高8 1 n ( z ) ， 且 f a ，。| | s m l f 魄( + 1 ) 挑= + 1 由引理22 1 可得f g i f 口，从而f m 卵征毕 定理22 31 ) 设0 o 墨_ 8 7 ，则a i 。、口cm 。； 2 ) 设0 d 艘 卢，贝4m 。，、口ca 4 。，疗； 3 ) 设0 。 p ，贝03 - 4 。，口c2 , 1 。十6 ，母十。( o 6sf ) 证明1 ) 由乃c 二易知朋叩c 朋。 2 ) 设，( z ) 朋。，。对g ( z ) 只，注意到0 。 q 和9 ( z ) 只， 我们有，( = ) 9 ( z ) 乃，即，( z ) m 。，p ，故m 。，。cm 。，口 3 ) 设，( z ) 朋啪对h = 1 ，由引理2 , 22 存在a 和正的绝对 常数( 不依z ) 满足。sn + 1 和 誉蒜= ( t 端巾f t ( 2 z3 j ( 1 一面。) 8r ( 1 一可2 ) 口【“、一 、。7 根据( 5 的引理1 ，容易知道 以炉卷乃盼 设对应的复测度为为了应用引理22 2 ，必须证明 s u p1 i i 乃+ ；= s u pi n f l l l 。o 旧仁l z t = 1 为此，使用f 2 2 3 ) 表示如为 以z ) = z 矿写d 矛i n 矿( v ) 丽万 由f 4 1 中定理1 可知：对= f y f = 】，存在一个概率测度，。使得 矿斋本b = 上南咄加) 酉习矛丌写矛3 厶丁j i 妒甜_ j _ 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文- l o 证明 1 ) 设 咒，记k ( z ) = ( 薏) 因为u = 篝是关于a 的 自同构，由 9 】中引理】可得( 。) 五注意到( z ) 州础：我们有 m = f k 乃；再由( 9 中引理l 可得m ( 薏) 昂等式 m ( 嵩) = ，( 嵩) m ( 嵩) 刮m 隐含着口( 。) 朋。饵 2 ) 设，( 。) m 础，对= 1 ，由引理2 2 2 存在，k a 和正的绝对 常数( 不依z ) 满足。| | n 和 橼= z 南妣 因此 i f ( z ) r = m 黼妣黼舢“n 取。= 咒”，z = e 1 9 ，则有 t ，l 曼j ( 黼地i ) 上若岳讪州肥高， 对所有r 和口都成立从而i ，( z ) = o ( ( 1 一一3 ) 指数口一。是最好 可能的，例子币南i ( m 邶) 立即得到+ 3 ) 因，( z ) j r 4 叩，由引理2 2 2 存在芦，a 和正的常数满足 磐8 赫拧m 。a ， 和 誉斋= z 若知如如卜 根据i 乃的定义，可以选择a 适合i | | n + e 对所有= 1 成立注意到 f l 川m 。= s u p i l f g l b 。：g 只，吲f 冗1 ， ”l 南”南 和 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文1 】， 我们有 f 赫蚣，l f 南恃。 因此由( 2 24 ) ，( 2 2 5 ) 得 n sm f m 。 因为 九= z 孚崭 矧一“拟， 和 糕l矧一。虿jci(i，)n一口一t，f。1：19i：11 l r 。可j oj ( 1 一r 。歹)l 。 “一圳一1 从而有 ( 2 2 5 ) ( 226 ) 上面最后的不等式由( 2 26 ) 得到由e 的任意性，得到3 ) 成立证 毕 性质2 22 设，( z ) = 嚣oa n 扩，记( 1 一z ) 。= 墨o a 。( ( * ) 。“， 1 ，p n ( z ；a ) = a ( 血) 一1 ：oa 。一( o ) 钕如果，( 2 ) m 印，刚 x - 4 z 丽、l l f - ( z ；口) l l 且。剑州川。，( 。 卢) 证明由引理2 2 2 知存在a 和正的绝对常数( 不依z ) ，满 足 j 地 j n 和 毋1 泰= z 南砒巾( 一动) “ ( 1 一弘) 口”1 ”l 这个等式表明： 一以( 。) 砂扩= 厶( 卢) 正矿咖。( y ) 严 恢 、叫)著讯 坠哦矿 ，、专rjr，、上 厂 q 叭 a 扩q 黔 i一 ：兰坠鱼坠塞二叁兰! ! ! ! 鱼塑圭兰竺丝圭 ：! 垒 比较系数得 4 ( 。) 砂= 厶( 卢) 几n ( 可) ， 即 虿”一4 n ( q ) 尸n ( z ；n ) = a 。( 口) 矿d k ( ) 由( 2 26 ) 有 粼删s i t f l t 哳 这样 揣慨) l j 。l l f ( 圳 证毕 2 3 朋。，口的判别条件 实，对f 乃，我们取9 冗，由i s 中的引理1 ，有，g 。c 矗 这就表明，朋叩它的直接的推论是朋。cm 啪，对0 a 卢一： 特别朋p nc 朋叫根据这个结果并由 】3 j 中定理2 ， 7 中定理4 得： 定理3 1 1 ) 设0 卢 “+ l ，如果，( z ) 在上解析且满足 出= 8 u p f 八r o f ( 1 r ) 口一j 。d r ， r f = lj o 则，( z ) a 4 础； 2 ) 设0 p + 1 ，( z ) 在上解析和在五上连续如果，( 。) 满足 一 耻s u 。p 攀挚奴。， 则，( z ) 朋即 由定理2 3l 中2 ) 有如下的门个樵诊： ：兰坠鱼坠塞二叁兰! ! ! ! 鱼塑圭兰竺丝圭 ：! 垒 比较系数得 4 ( 。) 砂= 厶( 卢) 几n ( 可) ， 即 虿”一4 n ( q ) 尸n ( z ；n ) = a 。( 口) 矿d k ( ) 由( 2 26 ) 有 粼删s i t f l t 哳 这样 揣慨) l j 。l l f ( 圳 证毕 2 3 朋。，口的判别条件 实，对f 乃，我们取9 冗，由i s 中的引理1 ，有，g 。c 矗 这就表明，朋叩它的直接的推论是朋。cm 啪，对0 a 卢一： 特别朋p nc 朋叫根据这个结果并由 】3 j 中定理2 ， 7 中定理4 得： 定理3 1 1 ) 设0 卢 “+ l ，如果，( z ) 在上解析且满足 出= 8 u p f 八r o f ( 1 r ) 口一j 。d r ， r f = lj o 则，( z ) a 4 础； 2 ) 设0 p + 1 ，( z ) 在 x 塑壹堑范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 3 2 2 2 2 2 。2 2 2 2 2 2 = = ! = = = = z = ! ! = = 2 1 1 。= = = ；一! ； ： 推论2 3 1 设，( z ) 在上解析和在五上连续，记。为f f 。： = = ，( 扩) ( 一。 z 。) 的连续模如果b 兰富d 8 。，则，( z ) m 刚 由这个推论进一步导出： 推论2 32 设，( 。) 在a 上解析和在西上连续，记f ( 。) ：，( 。z z ) ( 一o ( j 。 l 6 ) 结合这个推论和( 7 中的引理9 ，我们有 推论2 3 3 设，( z ) = 凳o 。z n ，h 1 ，且墨。n ，一( p “，j a n l o 。( q “+ 1 如果，( z ) 在上解析且满足 r 1 唧 i f = l f ( r e ”) i d a ( 1 一r ) “卜2 打 。， j 【jj0 则f ( z ) 朋删 证明设 9 ( z ) 。揣i ；：菱、； 爹萋 ! 专一?j 。 ；j；g ( r e ? i i j i i 币j d o d r 毫 j070 一 毒j 曼j 。鬻? j j i 。+ t t 。“t tj：，_ l ：耋i i 董i ；鬈；j j i 一一2 d ， x 塑壹堑范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 3 2 2 2 2 2 。2 2 2 2 2 2 = = ! = = = = z = ! ! = = 2 1 1 。= = = ；一! ； ： 推论2 3 1 设，( z ) 在上解析和在五上连续，记。为f f 。： = = ，( 扩) ( 一。 z 。) 的连续模如果b 兰富d 8 。，则，( z ) m 刚 由这个推论进一步导出： 推论2 32 设，( 。) 在a 上解析和在西上连续，记f ( 。) ：，( 。z z ) ( 一o ( j 。 l 6 ) 结合这个推论和( 7 中的引理9 ，我们有 推论2 3 3 设，( z ) = 凳o 。z n ，h 1 ，且墨。n ，一( p “，j a n l o 。( q “+ 1 如果，( z ) 在上解析且满足 r 1 唧 i f = l f ( r e ”) i d a ( 1 一r ) “卜2 打 。， j 【jj0 则f ( z ) 朋删 证明设 9 ( z ) 。揣，蚓= 1 ， 1 因为 厂1 厂2 丌 j g ( r e 徊) i ( 1 一r ) 肛2 d o d rs j0 0 j ( 1j ( 2 ”鹄c 一r ，一。a a a r r in 2 j ，( r e 姻) 棚( 1 一r ) 4 一一2 d r j oj o i s o ，则9 ( z ) = 片，( 钯) ( t ) 出，其中( t ) = 币笔b t 。1 ( 1 一 1 卢。一1 证明可设 ， ，( 旬2 上矿匆如k l 和 。 出) - 上矿咖健) ) 袄& 记- 4 。( 口) = 1 1 ( 卢+ n ) r ( 卢) 礼! ，贝4 我f 门有 心) 2 薹涮舻胀矽2p z 孙少 和 9 ( z ) = 如( q ) j l r 咖( 秽 使用g a m m a 函数和b e t a 函数的关系，我们有 出) = 薹描“卢吖孙扩 。 = 蒜黔阶帆m ) z 弛扩 = 蒜。z 1 ( p 伊胀矽) r 叫细心t = i 器z ，( t z ) t 。一1 ( 1 一t ) 9 一a 1 d t r l = ，( 石) 尼( t ) d t 0 证毕 定理2 41 设，( z ) m 口，9 ( z ) 兰饔时囊瑟谭信囊篓盖蓄誊錾 鞋j 爱鋈囊毒i ! ；蔓导蓍嘉一* ；薷；童剐i 萋鬻；。喜i 铺翁二 翻鬻黍耋系，他得到：u c 亿，2 厶现在我们将这个结果推广到面积平均 p 叶函数用g ，c 。，表示绝对常数 定理2 5l设f ( z ) 是在h 1 内的面积平均p 叶函数，如果 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 5 从而9 ( z ) = c t b ( 州d ，一n ) 扩。1n = l 因此由s 洲i r g 公式得 p 2 f叭他删1 2 硼，0= g n 2 i n 。1 2 8 2 ( n + q ，卢一a ) r 2 m 。7 i = 1 曼c n 2 川2 ( 7 6 + 。) 2 一钟n = l。冬g n 2 + 2 删2s 慧鬻鬻。j 时嚣孽蓦霉、i l正j囊j；j；i薯j?蠹!；l餐鬟：羡鬻iij；墓，0 p 2 p ，则s u p s ( r ) o 。从而9 ( z ) h 1 和，( z ) n 。，2 。咒证毕 舻峨 吲 ， ，、。，。，(1i 一 、， r ，l r 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 5 从而 9 ( z ) = c t b ( 州d ，一n ) 扩。1 n = l 因此由s 洲i r g 公式得 p 2 f 叭他删1 2 硼 ，0 = g n 2 i n 。1 2 8 2 ( n + q ，卢一a ) r 2 m 。 7 i = 1 曼c n 2 川2 ( 7 6 + 。) 2 一钟 n = l 。 冬g n 2 + 2 删2sg 川2 ， 对o qs 卢一1 成立又，( 。) m p ，由【1 1 定理23 可知，( z ) h 。c 2 ，从而有墨。k 1 2s 。因此有 打中眺g 妻蚓z 。 j0 n = 1 故9 ( z ) 日。，由【1 2 中定理3 1 可知9 ( z ) m o 再由乘子族的包含关 系可得9 ( z ) m ，对每个r o 成立证毕 2 5面积平均p 叶函数与咒的关系 t lm a c g r e g o r 在f 5 1 研究了在内解析单叶的函数集u 与五 的关系，他得到：u c 亿，。厶现在我们将这个结果推广到面积平均 p 叶函数用g ，c 。，表示绝对常数 定理2 5l设，( # ) 是在h 2 ，只；雨对o p l ，从而只须证9 ( z ) 爿1 即可因为，( z ) 是面积平均p 叶函 数，由【1 8 ，p 3 8 ) 有m ( t ，) = i n a 。i ：， ，( 。) g ( 1 一r ) 一孙又由 1 8 ，p7 0 j 中定理3 2 可得：存在r o ( o ，1 ) ；当r ( r 0 ；1 ) 时，则有 去门官钏拶卅p r 掣和 e ，+ 鲁j ：南和 纛曩砖 仁， 显然，o p 2 p ，则s u p j ( r ) o 。从而9 ( z ) h 1 和，( z ) n 。，2 。咒证毕 舻峨 吲 ，ii-，、l-，-ij(1-i 一 、) r ，l r 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 1 7 第三章c “中c a u c h y s t i e l t j e s 积分及乘子的性质 3 1引言 一个自然问题是将单复变量中c a u c h y s t i e l t j e s 积分的相关结果推 广到高维的情形2 0 0 2 年刘聪文、史济怀首先进行了这样的考虑 1 7 ， 得到了一些有趣而又非平凡的结果在此基础上，我们这一章对n 维复空间上的c a u c h y s t i e l t j e s 积分及其乘子做进一步的讨论 假设。= ( 。l ，z 2 ，) c “，= ( l ，2 ，岛) c “，记 = 釜。勺手，b 表示的开单位球： = 釜，l z j 2 0 ) 表示如下 函数，的全体： ，1 他) - 止正南“删，。b ，( 3 1 _ 1 ) 这里肛a ，取舞表示主值分支，明显地，h ( b ) 召在范数 i l f l l 帮= i n fi l f - l | 下是b a a c h 空间，其中下确界是对所有满足( 31 1 ) 的 复b o r e l 测度弘来取的，恻 为弘的全变差。函数，n ( b ) 称为嚣 的一个乘子，如果，9 ，吾对任何g 筇都成立所有这样乘子的 集合用m ；表示m 2 , 在范数 m g = s u p l f g l 7 p ：9 嚣，呀1 ) 下是b a n a c h 空间记 = ( l ，a 2 ，一，q n ) ， 盘! ；l ! 21 一o e n ! ，f j = a i + 8 2 + - k n 其中。为非负整数，由 2 4 】中定理1 13 ( 多项式定理) ： ( 。+ + z 。) = 0 1 + - 十n “ 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 南= 妻k 帮 k ( 1 一 ) 9 厶= o 自! r ( p ) “、7 2 薹篱1 轰 = 01 a 1 = k = 躐导r 圮 其中r 是g a m m a 函数对，f t h ( b ) 我们有展开，( z ) = 趔，n 。扩，从 而可知，鬈 o ) 当且仅当存在a 满足对任何多重指标。有 一铲z 孙 弛) 设，( 。) ：。，。o , c e 矿，对g r 用d ；表示满足如下条件的全纯函 数的全体： i l f ( z ) l l 刍v = ：( 川+ n ) 9 。j 。j 2 0 ，b 0 ，使得a a b b a 3 2 露及朋；的性质 在单复变量中由f 1 1 我们有朋。c 咒以友若，朋。，则，( 蒜) 朋。， 0 成立因此 z 1 僻，( r f ) f 打c ，( p ) z d f 胀m 7 ) sc ( p ) ( + e ) 由e 的任意性得 ，t l l r f ( r ) i d r g ( 芦川f i i 朋： 0 证毕 凼为 他) 卅。) = z 1 五d l ( t z ) 拈z 1 塞引蹦m 2 ) d t = f 0 1 r f 渺， 从而由定理3 21 及最大模原理有下面的推论： 推论3 2l 设p 0 ，( z ) m ：，则，( 2 ) 有界 引理3 2 1 若r n 7 l _ 【孕i f h 1 ( 日) ，则对所有的p 兰0 朋：这 里f 堡j 表示堡的整数部分 我们在第二章讨论了单复变量中不同空间具有相同测度表示的 c a u e h 3 。一s t i e l t j e s 积分间的关系及其性质，现在将它推广到多复变量的 情形，然而得到的结果与单复变量的情况不完全类似我们有下面 的一个结果： 定理3 2 2 设p 2 n f 孚】，0 q p 2 n + 字 ，如果，( 。) m ；， g ( z ) 碍且和，( 。) 有相同的测度口表示，则9 ( 。) 朋阳芝o ) 证明设，( 。) = 。，oo 。“，9 ( z ) = 。，扣 x 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 2 2 从而我们有 r 2 叫孚 9 ( 。) = r 2 , 1 - z 宁- f ( t z ) k ( t ) d t r ( 0 1 妒一警 a a t l a i + q - 1 ( ，p - q - l d t ) 。“ = g 。血1 2 n 孚j b ( + 玑p q ) 2 。 因此由 2 6 】中命题l4 8 的正交性质及s 1 ；i r l i n g 公式有 ：g l a 1 2 坩删7 l - ：1 1 8 2 ( 1 。it 蚴一口) r 2 ，2 出( ) n 銎 。 g | l a om 1 4 t 1 - 2 孚3 ( i q i + q ) 地9 。酬2 如( ) n ! l s g 川2 坩7 t - - 2 孚1 捌”u 。( ：r i “。1 2 对4 t 2 2 【吐2 + 2 ( q p ) 0 、即0 q p 一2 n - 4 - 孚 成立又，( 。) m ；， 由推论321 可知，( 。) 日。( b ) c 日2 ( b ) ，从而有。，。1 a c e 脚- 。 。因 此得 。 r ”【书9 ( r 郴d 。( f ) 曼g 2 u 。 。， j s n ! l 对0 qsp 一2 n + 孚 成立故 兄2 “一【! 】9 ( z ) h 2 ( b ) ch 1 ( b ) ， 由引理3 2 ，1 可得口( 。) 朋? 对所有r 0 成立证毕 3 3 筇与口? 的关系 d j h a i l e n b e c k 和thm a c g r e g o r 在【7 j 中讨论了单复变量中 d i r i c h l e l 空间口。和函数空间乃的关系，刘聪文、史济怀将这一结果 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文2 5 证明 设，( z ) = 。! o 。z 。d ；，为了证明，碌* ，由引理3 , 3 2 可知我们只要证明j ”；厂( 。) 四记= 吲+ 1 ，则p 0 由b e t a 函数的定义及s t i r l i n g 公式可得 上面最后的等式用到 2 6 】中1 4 3 的极坐标公式从而由引理3 3 1 有 i j 弘一g ，( r ) 1 2 如( ) 曼c l l f i o 。 5 一 型兀 睡 出 ， 个 嬉 妒 打 9 ，厶酬 坝 打 弓 降 w 唑 瓠 u 刊 即 _ 砰 口唧匹础协 牝上z + r r 卜 勘 嘞 一 z 卜胆 “砉、 r 州 忆 一 一 1 ， 犯 卜 卜 r 吁 吖 吖 力 k 产 产 埘 趔广厶畔 胁婉孰以 征明正的里l定 成完就这日 c日hcb 2 h0 ， 2 2 硝 此 因毕 湖南师范大学2 0 0 4 届硕士学位论文 2 7 dj h a l l e n b e c k ，k s a m o t i j ，t h eg r o w t ho fd e r i v a t i v e s 玎m u l t i p l i s 7 1 s o f l a e t i o n a lc a u c h yt r a a s f o r n ”，j m a t h a n a l a p p l1 9 9 7 ，2 1 2 ：5 8 3 5 9 4 y u s u f a b um u h a n n a ，e l b & o m ry a l l a o u i ，g e n e r a l i z e dc a u c h yt r a n s f o r m s a n dm u l t 印l i s t s 、c o m p l e xv a r i a b l e s 2 0 0 1 ，4 6 ：1 4 3 1 5 6 ， 刘聪文，史济怀，c “中的分数次c a u c h y s t i e l t j e s 积分族，数学年刊， 2 0 0 2 ：2 3 a ( 3 ) ：2 9 7 3 0 6 ， w kh a y m a n ，m u l t i v a l e n tf u n c t i o n sc a m b r i d g