（基础数学专业论文）动力系统中的回复运动.pdf

动力系统中的回复运动 姓名：李刚导师：j 昌明专业：基础数学研究方向：动力系统年级：2 0 0 2 级 内容摘要 回复是动力系统的重要研究课题，在研究动力系统稳定性讨论中有重要地位 国内外的许多专家学者，例如n e m y t s k i i ，s t e p a n o v ，b h a t i a ，s z e g o 等人，对这种运 动进行了广泛的研究，得到了许多重要的结果目前，回复仍然受到国内外学者 的广泛关注本论文也是对回复运动作了进一步的研究 本文的主要内容分别在三、四、五节中讨论第三节讨论了l y a p u n o v 稳定性 和p o i s s o n 稳定运动之间的关系，得到了几个有关p o i s o n 稳定运动和周期性的结 果在一定程度上推广7 1 1 q 。的结论主要结果有两个，一个是如果肖是局部紧 的h a u s d o r f f 空问，设爿是正向p o i s s o n 稳定的且它不是一个周期点，则集合 0 ) 一y g ) 在0 ) 内是稠密的，即刁习二硐= o 。( x ) - - r - - o 另一个为如果动力 系统( ，r ，石) 是l y a p u n o v 稳定的，设pcx 中的每一个点，或者是正向p o i s s o n 稳定的，或者是负向p o i s s o n 稳定的，则p 内的每一点是p o i s s o n 稳定的 第四部分主要是对周期点和近周期点之间的关系进一步研究，给出了周期和 近周期等价的条件，而在 6 中给出了在l i p s c h i t z 稳定的情况下，周期性能推出 近周期性，反之，不成立另外，我们还得到了个有关近周期的结论主要结 论为如果动力系统( 凡“，石) ( 2 ) 在点z 是渐近锄“肋m 稳定的，则点五为周期点 营点x 为近周期点，另外一个是若动力系统( 彳，石) 在，+ 0 ) 上为正近周期的，则 ，+ g ) 上的每一点为回复的 第五部分主要是讨论动力系统的l y a p u n o v 稳定性与吸引性之间的关系，给 出动力系统中弱吸引性、吸引性和一致吸引性这三个概念相互等价的条件在一 定条件下证明了( 弱、一致) 吸引子与全局( 弱、一致) 吸引子是一致的z e 1 9 1 中，作者考虑m 为紧不变集，动力系统满足的条件是l i p s c h i t z 稳定的而我们考 虑肘为闭正向不变集，动力系统满f e l y a p u n o v 稳定的情形，推广了 1 9 】中的结 果此外，我们还得到有关稳定性的几个结果主要结论是若z 为局部紧连通的 度量空间，并动力系统( x ，石) 在x 的每一点都是f l y a p u n o v 稳定的，且mcx 为闭正向不变集合，则m 是弱吸引子静m 是吸引子铮m 一致吸引子m 是 全局弱吸引子营m 是全局吸引子营m 全局一致吸引子 关键词：p o i s s o n 稳定运动，l y a p u n o v 稳定性，极限集，一阶延伸极限集 周期，近周期，动力系统，正稳定性，正向极限集，正向延伸极限集，吸引子 r e c u r r e n tm o t i o n si nd y n a m i c a ls y s t e m s n a m e ：g a n gl it u t o r ：c h a n g m i n gd i n gm a j o r ：m a t h s d i r e c t i o n ：d y n a m i c a ls y s t e mg r a d e ：2 0 0 2 a b s t r a c t r e c u r r e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm o t i o n si nd y n a m i c a ls y s t e m s m a n y e x p e l sa n ds c h o l a r s ，s u c ha sv v n e m y t s k i i ，v v s t e p a n o v , n p b h a t i a ，g r s z e g o i n v e s t i g a t e ds u c hm o t i o n s ，a n dg o tm a n yi n t e r e s t i n ga n dv a l u a b l er e s u l t s a tt h e p r e s e n tt i m e ，r e c u r r e n c ei ss t i l lp a i da ne x t e n s i v e l ya t t e n t i o n o nt h eb a s eo ft h e i r i n v e s t i g a t i o n s ，1a l s om a k ef u r t h e rs t u d yo fr e c u r r e n c em o t i o n s t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e rc o n s i s to f t h r e ep a r t s ，w h i c hi sd i s c u s s e di nc h a p t e r i i i 、i v 、v ，r e s p e c t i v e l y i n c h a p t e rl l i ，t h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri s t od i s c u s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e np o i s s o n s t a b i l i t ya n dl y a p u n o vs t a b i l i t yi nd y n a m i c a ls y s t e m s ，a n da l s o t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np o i s s o n s t a b i l i t ya n dp e r i o d i c i t y , a n dg e ts o m er e s u l t so f p o i s s o ns t a b i l i t ya n dp e r i o d i c i t y o n eo ft h em a i nr e s u l t si st h a tl e txb eal o c a l l y c o m p a c th a u d o r f fs p a c e a n dl e t z xb ep o s i t i v e l yp o i s s o ns t a b l eb u tn o t p e r i o d i c ，t h e nt h es e t 甜g ) 一r ( x ) i sd e n s ei nt o ( x ) ，i e 丽翮= r - - o t h eo t h e ri st h a tl e txb el y a p u n o vs t a b l e 、a n dl e te v e r yp o i n ti np c xb e p o s i t i v e l y p o i s o ns t a b l eo r n e g a t i v e l y p o i s s o ns t a b l e ，t h e ne v e r yi n i s p o i s b o i ls t a b l e i nc h a p t e ri v , w em a k ef u r t h e rd i s c u s s i o na b o u tt h er e l a t i o nb e t w e e np e r i o d i c i t y a n dn e a rp e r i o d i c i t y a n dw eg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tt h e 4 p e r i o d i c i t yi se q u i v a l e n tt on e a rp e r i o d i c i t y , w h i c hg e n e r a l i z e st h er e s u l t so f 6 】i n a d d i t i o n ，w eg i v ear e s u l to fn e a rp e r i o d i c i t y t h em a i nr e s u l ti st h a t1 e t ( r 8 ，石) b e a s y m p t o t i c a l l yl y a p u n o vs t a b l ei n x 矗” n 2 ) ，t h e n 石i sp e r i o d i ci fa n do n l y fxi sn e a r l yp e r i o d i c t h eo t h e rm a i nr e s u l ti st h a tl e t ( x ，石) b ep o s i t i v e l yn e a r l y p e r i o d i ci n ，+ b ) ，t h e ne v e r yp o i n ti n ，+ x ) i sr e c u r r e n t i n c h a p t e rvt h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st od i s c u s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e na t t r a c t i o na n dl y a p u n o vs t a b i l i t yi nd y n a m i c a ls y s t e m s s o m ec o n d i t i o n s a r eg i v e nf o rt h ep a i r w i s ee q u i v a l e n c e sa m o n gt h et h r e en o t i o n so fw e a ka t t r a c t i o n ， a t t r a c t i o na n du n i f o r ma t t r a c t i o n u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，i ti ss h o w nt h a tt h en o t i o n s o f ( w e a k ，u n i f o r m ) a t t r a c t o ra n dg l o b a l ( w e a k ，u n i f o r m ) a t t r a c t o rc o i n c i d e ，w h i c h g e n e r a l i z e s t h er e s u l t so f 1 9 t h e m a i nr e s u l t i s t h a t l e t 彳b ea l o c a l l yc o m p a c ta n d c o n n e c t e dm e t r i cs p a c e ，a n dl e t ( x ，疗) b ep o s i t i v e l yl y a p u n o vs t a b l e ，i fmcxi s ap o s i t i v e l yi n v a r i a n tc l o s e ds e t ，t h e nmi saw e a ka t t r a c t o r a t t r a c t o r u n i f o r ma t t r a c t o r g l o b a l l yw e a ka t t r a c t o r g l o b a l l ya t t r a c t o r g l o b a l l y u n i f o r r na t t r a c t o t k e y w o r d s ：p o i s s o ns t a b l em o t i o n ，l y a p u n o vs t a b i l i t y , l i m i ts e t ，p r o l o n g a t i o n l i m i ts e t ，p e r i o d i c i t y , n e a rp e r i o d i c i t y , d y n a m i c a ls y s t e m ，p o s i t i v e l ys t a b l e ，p o s i t i v e l i m i ts e t ，p o s i t i v ep r o l o n g a t i o ns e t ，a t t r a c t o r 一、引言 回复运动是动力系统研究中的一个重要的内容因为它涉及到动力系统长 时白j 的渐近行为，圆内外的许多专家学者，例如v v n e m y t s k i i ，v v s t e p a n o v n p b h a t i a ，g p s z e g o 等人，对这神运动进行了广泛的研究，得到了许多重要的结 果另外，还有许多的研究者研究过回复及其相关的运动特别是概周期运动 是近年来的一个热门的研究课题本论文也是对回复作了进一步的研究 本文的主要内容分为三部分，分别在三、四、五节中讨论的 s e l a y d i 和h r f a r r a n 在 8 】中引进了r i e m a n n 流形上的l i p s c h i t z 稳定动力 系统的概念，c h i n k uc h u 等人在 1 1 中引进了度量空间中的动力系统在一个点 的l y a p u n o v 稳定性的概念我们熟知，p o i s s o n 稳定运动在动力系统稳定性理论 中占有相当重要的地位，这方面已有不少研究工作( 参见 1 】、 2 2 、【4 卜一 7 】) ， 第一部分的主要目的是研究动力系统中的l y a p u n o v 稳定性和p o i s s o n 稳定运动 之间的关系，褥到了几个有关周期点和p o i s s o n 稳定运动的结果，推广了 1 中的 结果主要结果如下： 定理3 1 如果x 是局部紧的h a u s d o r f f 空间t 设x x 是正向p o i s s o n 稳定 的且它不是一个周期点则集合o ) 一y g ) 在国g ) 内是稠密的，即 可翮= b ) = r - ( 3 定理3 2如果x 是局部紧的h a u s d o r f f 空间，则y g ) 为周期的 营y g ) = g ) 在 1 中，爿是完备的度量空问，上述结论成立，而这旱我们假设x 是局部 紧的h a u s d o r f f 空间，眦l 】中的情形更广泛 下面两个定理是在 1 中第三章第二节的定理2 1 4 和定理2 1 5 的基础上得到 的新的结论 定理3 3 在度量空间x 中，如果点z 为正向p o i s s o n j | 急定，则硐内的每 一点为非游荡点 定理3 4 如果动力系统伍，r ，疗) 是l y a p u n o v 稳定的，设p c 中的每一个 点，或者是证向p o i s s o n 稳定的，或者是负向p o i s s o n 稳定的，则内的每一点是 p o i s s o n 稳定的 在 7 中，a h m a d 和e l a y d i 介绍了近周期的概念并且对近周期进行了研究， 我们可看出近周期在研究动力系统的稳定性中具有重要意义，在 6 中， k e o n h e el e e 继续研究了近周期，其中考虑了近周期和周期之间的关系，并且 引进了弱近周期的概念在 1 2 中作者证明了近周期和弱近周期是等价的并且 指出了f 6 中一个例子的计算错误，给出了正确的计算在第二部分中，我们主要 研究了周期和近周期之间的关系，得到了两者等价的条件，而在文献 6 中，作 者得到了在l i p s c h i t z 稳定的情况下，周期性能推出近周期性，反之，不成立因 此，我们推广了 6 中的结论主要的结果如下： 定理4 1 若动力系统( r 2 ，万) 在点工为正( 负) 近周期点，则点芹为周期点 下面我们得到了在r2 上周期性与近周期性等价的条件， 定理4 2 如果动力系统( r2 ，玎) 在点z 是印印“h 。v 稳定的， 则点x 为周期 点甘点x 为近周期点 在上述定理的条件下，对r ”( ” 2 ) ，上述结论不成立，而在下面这个定理 中，我们得到了在r “( n 2 ) 上周期性与近周期性等价的条件 定理4 3 如果动力系统( r “，疗) ( n 2 ) 在点x 是渐近砂印u n o v 稳定的，则点 x 为周期点骨点戈为近周期点 定理4 4 如果动力系统( ，万) 在y + b ) 上为正近周期的，则y + 0 ) 上的每一点 为回复的 我们知道吸引性在动力系统稳定性理论中占有相当重要的地位，这方面已 有不少研究工作( 参见 1 、 2 、【3 、f 1 9 ) ，我们的第三部分的主要目的是研究 动力系统中的正l y a p u n o v 稳定性和吸引性之间的关系，我们考虑局部紧度量空 间x 上的每点为正l y a p u n o v 稳定性的动力系统得到，在这样的系统中闭正向 不变集的弱吸引性、吸引性和一致吸引性概念为一致的，如果x 还为连通的， 则x 中一闭正向不变集合是 弱、一致 吸引子当且仅当它为全局 弱、一致 吸引 子，我们还得到集合m 是渐近稳定的一个充分条件而在 1 9 1 q b ，集合m 是紧的 不变的，与 1 9 相比，本文在更大范围内研究了稳定性和吸引性之间的关系，并 且使 1 9 中有关结论成为本文的直接推论主要结果如下： 定理5 1 设x 为局部紧度量空间，m c x 是闭子集- 动力系统( x ，疗) 在x 的每一点处是正l y a p u n o v 稳定的，如果肘还是正向不变的，则 心( m ) = a ( m ) = 4 ( m ) 定理5 2 设x 为局部紧连通的度量空间，并动力系统( x ，r ) 在z 的每一点 都是正l y a p u n o v 稳定的，且m c 为闭正向不变集合，则m 是弱吸引子营m 是吸引子m 一致吸引子营m 是全局弱吸引子m 是全局吸引子铮m 全 局一致吸引子 下面的几个定理是研究稳定性之间的关系的 定理5 3 设x 为局部紧度量空间，m c x 是紧正向不变子集，若动力系统 ( ，丌) 在x 的每一点都是正如印“h 。v 稳定的，贝l j m 是正向稳定的 定理5 4 如果a c z 是正不变集。动力系统( x ，厅) 在a 的每一点是正 l y a p u n o v 稳定的，则集合a 为诈度量l y a p u n o v 稳定的 定理5 5 如果a c x 是紧正不变集，动力系统( x ，石) 在爿的每一点是f l y a p u n o v 稳定的，则集合a 为正一致度j r l y a p u n o v 稳定的 二、基本的定义和记号 拓扑空间x 上的一个动力系统( ，乃) 是一个连续映射z ：x r - 使得 o ) , q x ，0 1 = x ，对每一个x x ， ( 2 ) a - ( a - ( x ，s ) ，f ) = 万如s + t ) ，n x s x ，是t r ， 如果没有特别的说明，我f t - - g t n 并为度量空间，设以x t 简记丌( x ，t ) 若 肘亡x ，a c r ，我们记m a = x t ：x m ，t 爿 若m = x ) 或a = f ) ，则用x a 和 m t 简记 工 爿和m f y + g ) = 根+ 、y - 0 ) = x r 一和y g ) = x r 分别表示过点 x x 的正半轨道、负半轨道和轨道对a c z ，j 、朗和i n t a 分别表示a 的闭 包、边界和内部x c x x ，记( x ) 和a ( x ) 分别表示点x 的正向和负向极限集； ，+ ( z ) ，j 一( z ) 分别表示点石的正向和负向延伸极限集；d + ( x ) ，d 一( x ) 分别表示点 z 的正向和负向延伸集，即( 石) = y x ：存在 t 。 c f ， 斗m 和 肌。寸y ) ，j + ( x ) = y ：存在 x n ) ， c r + ，使_ 一z ，f 。o 。和 _ 。哼y ) ，d + ( x ) = y ex ：存在 c x ， 靠 c 胄+ 使矗一z 和毛f 。斗y ， 口( x ) ，l ，一( x ) ，d 一( x ) 可类似定义 我们知道，( x ) 、口( x ) 和，+ ( j ) 、，一( x ) 是闭的不变集合，d ( x ) ( d 一( x ) ) 是闭的正( 负) 向不变集合，并且有国0 ) c ，+ x ) ，d + ( x ) = ，+ ( x ) u y + x ) 和 ，+ 0 ) = y + ( x ) u0 4 x ) 对负向概念有类似结果 三、动力系统中的回复运动 在这部分罩，我们对p o i s s o n 稳定运动进行了研究，得到了一些有关 p o i s o n 稳定的几个结果，在一定程度上推广了 1 中的结论其中部分内容发表 在广西科学杂志上 主要结果 下面我们首先介绍一下我们用到的几个定义 定义3 1 如果x j + ( x ) ，则称点x 为非游荡的从文献 1 中，我们知道 茁，( x ) x j 一( z ) 定义3 2 集合a c x 称为关于集合b 匕是正向回复的当且仅当每一个 t r 存在一个f t 和一个工b ，使得x t a 用不等式f o ，存在占 o ，d ( x ，y ) c 拶时，对于f r + 恤一) ， 有d ( x t ，y t ) 0 ，存在n 1 ，当n 】时，有d g 。t 。，y ) 0 ，当d ( x ，y ) n 2 时，d ( 矗，z ) n 时，从而，有d ( 砜，y ) d e t ，x t 。) + d ( x 。t 。，y ) t l ，使得y r i 矿， n a y r l m t t 】，因此，由x 是局部紧的h a u s d o r f f 空间，则有开集_ ，使得 y kcv ，_y - t 1 ，i t 】= o ，假设我们已经定义了y r 和选取r 。 t 。， 使得y r 。因为y r 。y - t 。，t 。 ( 这是因为x 是正向p o i s s o n 稳定的) ， 又由于是局部紧的h a u s d o r f f 空间，我们得到y r ekck 一， n 儿一f 。，t 。】= o 我们可看出，序列抄f 。 有这样的性质：y r 。因为 u 3 巧3 a3 圪一。3 屹 a 并且肖是局部紧的h a u s d o r f f 空间，u 为紧致 的，则知f 。 存在收敛子列，为了记法的简明，不妨仍记为侈l t 存在z ，使得 y f 。寸z ，因为y r 。y o l o 岭，则z 0 ) ，而且z ，y v ，：在每一个内 另外，我们注意到z y g ) ，不然的话，由z y b ) = r ( y ) ，则存在r ，使得y = 盯， 但是存在一个月，使得t 。 h ，因此，z 儿t 。，t 。 ，然而z ， n m f 。，f 。 = 够，即z 垂y - t 。，t 。 ，此为矛盾，故2gy g ) ，定理完成 定理3 2 如果x 是局部紧的h a u s d o r f f 空间，则y g ) 为周期的 y ( x ) = 0 ) 证明我们首先证明来充分性，如果x 不为周期的，由上述定理可知， 葫刁= 硐= 羽a ，而由条件可知，g ) = 珊b ) ，故习习= 硐= o ，此为矛 盾，故y ( x ) 为周期的反过来，如果y ( x ) 为周期的，易证y ( x ) = 甜0 ) 注在【1 中第三章定理2 8 、2 9 中空间是“完备的”，这里我们推广到“局 部紧的”，这样，我们推广了这两个定理的结果因为 1 】第三章2 8 、2 9 中的空 间为完备的度量空间，这里我们研究的是局部紧的h a u s d o r f f 空间 定理3 3 在度量空间爿中，如果点z 为正向p o i s s o n 稳定的，则羽内的每 一点为非游荡点 证明因为点x 为f 向p o i s s o n 稳定的，由引理3 1 可知，对每一个f r ，盯 也是正向p o i s s o n 稳定的，设 “ cy + ( x ) ，且_ 斗y ，我们首先证明y j + ( y ) 根据上面叙述，对于每个 ，_ ( ) ，故对于每个月，存在f 。 n ，使得 d ( _ ，“f 。) 一，使得d g n , x n l n ) o ，存在 t = 丁( s ) 0 ，使得对一切f r ，有y 0 ) c s ( x t t r ，t + 明，s ) ，则点j 称为回复的 如果对任意的s 0 ，存在万 0 ，当d ( x ，y ) t 。时，x t 不能再进入x 的任意小的邻域此与x 为f 近周期点矛盾 例4 2 考虑定义在x = r2 上的动力系统 一d r ：，f 1 一，1 疵 、7 d o ， d t 对于p = ( 1 ，o ) 来说，d - ( p ) = r 2 ，口p ) = 缸，y ) r2 ：上2 + y 2 = 1 ，所以，p 是周期点而不为近周期点 例4 3 考虑定义在x = r2 上的动力系统 宰= r ( 卜1 ) a t 丝：1 出 对于p - - 0 ，o ) m 诌t ，d + ( p ) = r 2 ，( p ) = 缸，y ) e r 2 ：x 2 + y2 = 1 所以，p 是周期点而不为正近周期点 下面我们给出了一个周期点和近周期点等价的条件 定理4 2 如果动力系统( ，石) 在点z 是l y a p u n o v 稳定的，x = r 2 ，则点工 为周期点铮点并为近周期点 证明由引理3 2 和定理4 1 可得 但是，当x = r3 时，上述定理4 2 的结论是不成立 例4 4 我们考虑定义在环面上的动力系统 倭! 嬲 其中，口 0 为无理数，f ( x + 1 ，y + 1 ) = 厂g + 1 ，y ) = ，g ，y + 1 ) = s ( x ，y ) ，对于任意 置y r ，厂0 ，j ，) 0 我们可知，环面上的动力系统满足任意点处是砂印“月d v 稳 证明 如果点x 为周期点因为动力系统( ，疗) 在点z 是渐近l y a p u n o v 稳 0 ) = ，+ b ) 和a 0 ) = j - 0 ) 因此，d + ( x ) = 厶) 和d g ) = d o ) ，即点x 为近周 存在一个y es ( r ，占) ，使得- f 。= y ，即y 是一个周期为t 。的周期点如果点 x 歹【。，f 。 ，则存在x 的一个邻域v 和y o ，f 。 的一个邻域s 侈【0 ，f 。l s 。) ，使得 vns 侈【o ，f 。l g 。) = 。因为动力系统( x ，厅) 在点z 是渐近厶卿“n 。v 稳定的，对 于氏，存在一个一，当r 互时，有d 白，面) 一时，x re s ( 歹j s 。) = s 侈f o ，f o l 岛) 即当f 五 时，捌不再进入矿但是点工为点x 为证向p o i s s o n 稳定的，因此产生矛盾所以， 点x 歹【o ，f 。】，即点x 为周期点 我们知道，一般情况下，点x 为近周期点推不出其为周期点，反过来，点x 为 周期点推不出其为近周期点在定理4 3 中我们得到了两者的等价性，这样我们 得到的结论在某种程度上要比 6 】中的定理2 3 要好的多 推论设动力系统( x ，7 r ) 是渐近l y a p u n o v 稳定的，肖= r ”( n 2 ) ，则下面 两种情况必有一种成立 ( 1 ) 每一点z x ，c o ( x ) = 口g ) = a ( 2 ) 每一点工x ，c o ( x ) o ，并且( ) 中每一点为周期点 证明 幽 1 0 中的定理2 。1 和上述定理可得 定义如果集合m c 是非空的、闭的和( 正向) 不变的，且它的任何真 子集没有具有这些性质，则称m 为( 正向) 极小的， 引理4 1 设z 为局部紧的度量空间，0 m c z ，m 为紧的和不变的， 则m 为极小集合铮m 为正向极小集合 在第五部分中，我们研究极小集合和正向极小集合之间的关系时，再详细证 明上述引理在这里我们先作为结论应用 定理4 4 如果x 为局部紧的度量空间，并且动力系统( x ，芹) 在y + g ) 上为币 近周期的，则y + 0 ) 上的每点为回复的 证明 下面我们证明，+ g ) 为紧的正向极小集合因为动力系统( x ，疗) 在 y + g ) 上为难近周期的t 则d + g ) = g ) 因此，我1 门得到珊0 ) = 歹1 习设 ye 棚( x ) = ，+ x ) ，由 1 ，v , 1 i o 】得，y g ) c ，+ b ) c ，+ 0 ) ：0 4 y ) ，这样我们证 明了b ) = ) ，所以由 2 ，1 2 3 得，0 ) = 尹丽为正向极小集合由 2 ，1 2 8 得 扛) = y + g ) 为紧的，由上面的引理4 1 可知，m 0 ) = ；啊为为紧极小集合由 1 ，i i i ，3 8 可知，y + 0 ) 上的每一点为回复的 注上述定理只满足动力系统( z ，厅) 在厂+ 0 ) 上为正近周期的，而 6 】中的定理 3 6 要求动力系统( x ，丌) 为正近周期的，因此，上述定理要比 6 中的定理3 6 的 结论好 在 6 中，我们知道，在l y a p u n o v 稳定的条件下，近周期性、p o i s s d n 稳定性 和非游荡等价因此，在上述定理4 3 的条件下，周期点、p o i s s 伽稳定点和非游 荡点等价 五、有关吸引域的几个性质的探讨 在本节我们主要是讨论吸引域和l y a p u n o v 稳定性的关系，得到了一些结果 在很大程度上，推广了 1 9 中的几个结果 主要结果 定义5 1 设x 为局部紧的度量空间，并且m c x ，则分别称集合以( m ) = x ：b ) n m o ) 、a ( m ) = l x ：b ) o ，c o ( x ) c m ) 和4 ( m ) = ：，+ “) a ，j + x ) cm ) 为集合m 的弱吸引区域、吸引区域和一致吸引区域 如果对于x x 有工4 。) 、x 爿) 和x 彳。) ，则称点z e x 为弱吸引到 m 、吸引到m 和一致吸引到m 定义5 2 如果以( m ) 、爿( m ) 或以( m ) 分别是m 的邻域，则分别称m 为 弱吸引子、吸引子或一致吸引子当a o , ( m ) 、4 ( m ) 或a u ( m ) 为全空间x 时，m 分别称为全局弱吸引子、全局吸引子或全局一致吸引子 定义5 3 z 的一个非空子集肘称为( 正) 极小集，如果彪是闭的( 正) 不变集且它的真子集不全具有这些性质 我们说，极小集和正极小集是不同的，即如果一个集合是正极小的则该集合 是极小的，而一个集合为极小的推不出其为正极小的 例5 , 1 考虑平面上的动力系统( z ，万) ，查：1 j 出 l 立：o 上述动力系统中的每条轨线为极小集合，但不为正极小集 引理5 i 对于闭不变集合m ，则有m 为紧极小集营m 为紧正极小集 证明若闭不变集合m 为紧极小集，而其不为紧f 极小集，故存在n c m 2 0 为闭正向不变集合，取y n ，则瑚( y ) a ，( y ) = m 3 n ，此与m 为紧极小 集矛盾反过来，若m 为紧f 极小集，则m 为紧极小集若不然，则存在n c m 为非空的闭不变集合，显然为非空的闭正向不变集合，此与m 为紧正极小集 矛盾 引理5 2 1 ) y j 3 】对肘cx ，则 ( 1 ) 九( m ) 、爿( m ) 、以( m ) 都是不变集，且有 ( 2 ) 九( m ) c a ( m ) c 以( m ) 我们知道，对于一般的动力系统，由“x 弱吸引到m ”推不出“七吸引到m ”， 由“x 吸引到m ”也推不出“x 一致吸引到m ”，详见1 1 】，v ，i 7 i 1 7 4 但是 在适当条件下，上述三者等价 引理5 3 设( x ，万) 是局部紧空间z 上的动力系统如果( z ，万) 在y + ( x ) 的 每一点是正l y a p u n o v 稳定的，且c o ( x ) o ，则( x ) 是紧极小集 证明 设y ( x ) 。由( 2 ，引理6 1 5 】知，+ ( 石) c j + ( y ) 因为( x ，疗) 在 y + ( x ) 上每一点是正l y a p u n o v 稳定的，故由引理3 2 知，c o ( x ) = ，+ ( x ) ， 甜( y ) = j + ( y ) 因此有国( ) c ( y ) 而由0 4 x ) 的闭不变性知甜( y ) c ( x ) 因 此( x ) = ( y ) 故( x ) 是正极小集( 2 ，引理1 2 ，3 ) 再由 2 】中定理1 2 8 和 上述引理5 1 知( x ) 是紧极小集合 推论5 1 设( 彳，疗) 是局部紧空间x 上的动力系统如果( x ，疗) 在y + ( z ) 的 每一点是正l y a p u n o v 稳定的，且( x ) o ，则y + ( x ) 是紧的 定理5 1 设z 为局部紧度量空间，m c 石是闭子集，动力系统( z ，万) 在x 的每一点处是正l y a p u n o v 稳定的，如果m 还是正向不变的，则 气( m ) = 一( m ) = 以( 吖) 证明由定理假设及引理3 2 可知，a ( m ) = 4 ( m ) 现设x e 也( m ) ，即 甜( 石) n 缪设y e c a ( x ) n m 由引理5 3 知甜厶) 是紧极小集合，故 ( x ) = 0 4 y ) 且由于m 是闭正向不变集和y m ，因此，( y ) c m 故 c o ( x ) c m 即x a ( m ) 因而有以( m ) 亡( m ) 而由引理51 可知， a ( m ) c 以( m ) ，因此九( m ) = a ( m ) 推论5 2 若( x ，7 ) 为局部紧空间z 上的动力系统，( x ，万) 在的每点是正 l y a p u n o v 稳定的，m c 是闭正向不变子集则m 是弱吸引子m 是吸引子 m 一致吸引子 下面我们要介绍一个定理，来说明对于在x 上每一点都是正l y a p u n o v 稳定 的动力系统，( 弱) 吸引子也是全局( 弱) 吸引子在给出定理之前我们先看一 个引理 引理5 4设x 为局部紧度量空间，闭集m 匕z 为弱吸引子，若动力系 统( ，万) 在z 的每一点都是正乏y 印“”d v 稳定的，则以) 都是既开又闭集合 证明由 1 ，v , 1 8 可知，a 。) 为开的，故我们只需证明心( m ) 为闭的，下 面我们证 a o 。( m ) 的闭包 如( m ) = i n ta o , ( m ) 因为 碉= i n t 心( m ) u 剐。( m ) ，我们只需证明触。) = o 若a 也( 肘) o ，即 以( m ) 的边界不空，则存在_ y ，使得y o a o 。( m ) ，故存在 儿 c i n t a 。( 肘) ，有 虬一y ，n 一。o 因为九( m ) 为不变的，所以虬( m ) 为不变的，( 参见 1 中l i ， 1 6 ) 故对每个r r ，y t 讽( m ) ，而y 为正l y a p u n o v 稳定的，则对任意s 0 ， 存在占 o ，当d ( x ，y ) 占时，对每个f r + ，军f f d ( x t ，y t ) s 故存在n ，当n n 时，有d ( y ，只) 0 ，使得，+ p g ，占) ) c s 以，占) 一p g ，5 势c s 0 ，占) ) ， 这里，s ( a ，占) = x ：4 y ，爿) 0 存在d g ) 0 和g ) 0 ，使得对一切t e r + 和一切满足d g ，y ) 0 使得 ，+ 岱o ，疋) ) cs ( a ，s ) 考虑邻域族p g ，瓯，：) ：工e a 。它为a 的一个开覆盖，因 而存在有限覆盖 s ( t ，以，：) ：江1 ，2 ，a ，h ) 令6 = m i n f i 。，：f = 1 ，2 ，a ， ，则 s ( a ，占) ck s ( x ，疋，) 从而 y + p o ，艿) ) cy + f0 j g ，氏) 1 = y n ，+ 圆b ；，t 功cs ( 曩s ) i = 1 f = 1 注在参考文献 1 0 中的度量l y a p u n o v 稳定性的概念等价于这罩的一致度 量l y a p u n o v 稳定性概念其应用范围是很窄的，例如平面上的结点、焦点都不是 度量l y a p u n o v 稳定的而在这里的定理5 4 和定理5 5 中，正、负度量缈印“h 。v 稳定性是分开考虑的，因此要比参考文献【1 0 】中的定理3 3 的应用范围广 参考文献 1 n r b h a t i aa n dg p s z e g o ，s t a b i l i t y t h e o r y o f d y n a m i c a l ，s p r i n g e r , b e r l i n1 9 7 0 2 n p b h a t i a a n do h a j e k ，l o c a ls e m i - d y n a m i c a l s y s t e m s ，l e c t u r en o t e si n m a t h 9 0 ，s p r i n g e r , b e r l i n ( 1 9 6 9 ) 3 】j a u s l a n d e r , o ns t a b i l i t yo fc l o s e ds e t si nd y n a m i c a ls y s t e m s ，s e m i n a ro n d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，i i ，l e c t u r en o t e si nm a t h 1 4 4 ， 1 - 4 ，s p r i n g ，b e r l i n ( 1 9 7 0 ) 4 】v v n e m y t s k i ia n dv v s t e p a n o v , q u a l i t a t i v et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p r i n c e t o nu n i v p r e s s ，p r i n c e t o n ，n j ( 1 9 6 0 ) 5 】k h l e e ，r e c u r r e n c ei nl i p s c h i t zs t a b l ef l o w s ，b u l l a u s t m a t h s o c 3 8 ，p p 1 9 7 2 0 2 ( 1 9 8 8 ) 6 k h l e e ，w e a rn e a rp e r i o d i c i t yi nd y n a m i c a ls y s t e m s ，n