（应用数学专业论文）非对称度量空间完备性与不动点定理.pdf

武汉科技大学 硕士学位论文第1 页 摘要 非对称度量顾名思议就是不确保对称性的一种广义度量，由于逐渐受到国外学者的 重视，其在非线性系统研究中的重要性已初现端倪特别是不动点理论备受关注近年 来，致力于研究并试图发现各种不同形式不动点理论间的内在联系的人很多，而且都作 出了相当优秀的成果本文主要是在他们工作的基础上讨论非对称度量空间中的不动点 定理，并把他们的结果作了进一步的推广主要包括以下几个方面的内容： 1 非对称度量空间的基础理论首先介绍了非对称度量空间中已有的一些基本概念 并进行适当的改进：改进了映象在通常意义下的连续与其d + 连续，d 一连续以及它们之间 的关系 2 非对称度量空间的完备性问题首先，给出非对称度量空间序列有界性的概念， 进而定义上、下柯西点列：再次，研究上、下柯西点列的收敛性以及与上、下极限的关系： 然后给出非对称度量空间中的上闭集套定理，并证明其与非对称度量空间的上完备性的 等价性 3 非对称度量空间中的不动点定理所做的工作有：得出非对称度量空间中的 e k e l a n d 定理：给出不动点以及混合不动点的概念：在前文的基础上得出c a r i s t i 不动点定 理、做a l l a s l l i 定理和c 撕s t i 混合不动点定理，并给出证明 4 拟一致空间介绍了拟一致结构以及拟一致拓扑、拟一致连续性与乘积拟一致结构： 提出上柯西网、上完备拟一致空间等概念 关键词：非对称度量空间：上极限：上柯西列：不动点定理 第1 i 页武汉科技大学 硕士学位论文 a b s t r a c t q u a s i - m e t r i c ，j u s t 鹪t h en a m ei m p l i e s ，i sak i n do fg e n e r a l i z e dm e a s u r i n gw i t h o u t g u a r a n t e e i n gs y m m e t r y s i n c ei th a sb e e nd r a w i n gt h ea t t e n t i o n so fm o r ea n dm o r ef o r e i g n r e s e a r c h e r s ，i t si m p o r t a n c ei nt h en o n l i n e a rs y s t m nf i e l dh a sb e e ns e e nr e c e n t l y f i x e dp o i n t t h e o r yh a sr e c e i v e dg r e a ta t t e n t i o na l lt h et i m e s r e c e n t l y , p e o p l eh a v eh a v es t u d i e da n dt r i e dt 0 f i n dt h er e l a t i o nb e t w e e na l lk i n d so ff i x c dp o mt h e o r e m sp a p e rm a i n l yd i s c u s ss e v e r a lf i x e d p o i n tq u e s t i o n s i tm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 b a s i ct h e o r ya b o u tq u a s i - m e t r i cs p a c e s f i r s to fa l l ，s o m eo ft h eb a s i cr e s u l t sa b o u t q u 嬲i m e t r i cs p a c ew h i c hh a v eb e e no b t a i n e db yo t h e r sa r eg a t h e r e da n dm o d i f i e d t h eu n d e rt h e u s u a lc o n t i n u o u so fm a p p i n g , d + 一c o n t i n u o u sa n dd 一一c o n t i n u o u sa r ep u tf o r w a r d 勰w e l l 鹊t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m 2 c o m p l e t e n e s so fq u a s i - m e t r i cs p a c e f i r s to fa l l ，t h ec o n c e p to fs e q u e n c eb o u n d n e s si s g i v e n f u r t h e rm o r e , t h eu p p e ra n dl o w e rc a u c h ys e q u e n c e sa r ed e f i n e d ； s e c o n d l y , t h e c o n v e r g e n c eo ft h eu p p e ra n dl o w e rc a u c h ys e q u e n c e sa sw e l la st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e m a r er e s e a r c h e d ；t h i r d l y , t h ec l o s e ds e tn e s tt h e o r e mi sp u tf o r w a r d t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h e c l o s e ds e tn e s tt h e o r e ma n dt h eu p p e rc o m p l e t e n e s sa r ep r o v e d 3 ，q u a s i - m e t r i cs p a c ei nt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m f i r s t t h ee k e l a n dt h e o r e mo fq u a s i m e t r i c s p a c ei so b t a i n e d ；s e c o n d ，t h ec o n c e p t so ff i x e dp o i n ta n dm i x e df i x e dp o i n ta r eg i v e n b a s e d o nt h e s e , t h ec a r i s t i 矗x e dp o i n tt h e o r e m ，t a k a h a s h it h e o r e ma n dc a r i s t im i x e df i x e dp o i n t t h e o r e ma r ep u tf o r w a r d 4 q u a s i 。u n i f o r ms p a c e ，n l eq u a s i u n i f o r ms t r u c t u r ea n dt h eq u a s i - u n i f o r mt o p o l o g y , q u a s i - u n i f o r mc o n t i n u i t ya n dt h ep r o d u c to fq u a s i - u n i f o r ms t r u c t u r ea r ei n t r o d u c e d ；t h ec o n c e p t o f u p p e rc a u c h yn e ta n du p p e rc o m p l e t eq u a s i - u n i f o r ms p a c ea r ec a r r i e do u t k e yw o r d s ：q u a s i m e t r i cs p a c e ；l i m i ts u p e r i o r ；u p p e rk c a u c h ys e q u e n c e s ；f i x e dp o i n t t h e o r e m 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进 行研究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共 同完成的工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：f 客笾玉 日期：遑型丝! 塑多矽 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它 单位的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研 究生学位论文收录工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅，同意学校将本论文的全部或部分内容编入学 校认可的国家相关数据库进行检索和对外服务。 ? 艺七、 论文作者签名：j 笙盟鱼 指导教师签名：渔：曼：望 日 武汉科技大学 硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 引言 随着科学技术的发展，人们在许多领域的研究逐步从线性问题过渡到非线性问题， 从单值问题过渡到多值问题在研究工作中人们不断发现，用于衡量两个不同事物的相 近程度的量并不总是满足对称性的，于是人们便开始接受这种非对称度量度量空间和 线性赋范空间都有完整的理论，这使得在非对称度量空间上建立类似的理论成为一件有 意义的事情例如在优化问题、控制论、微分方程以及人工智能等应用领域往往采用”多 值化”方法建立起一套新的理论，扩展其应用范围，针对各种不同问题引入非对称度量， 利用非对称度量空间理论，将”多值问题”单值化加以解决，使得许多问题统一到一个新的 空间框架中进行研究这些年来，非对称度量空间的研究已有一定的发展，并已取得了 一定的成果非对称度量空间的深入研究将会推动许多领域的理论和应用获得较大发展 非对称度量，是一种不确保满足对称性的广义度量经典的集合x 上度量或距离定 义是： 二元的实值函数p ：x xjr ，满足以下三个条件：v x ，y ，z x ( 1 ) 正定性：p ( x ，y ) 0 ：且p ( x ，y ) = 0 ，当且仅当x = y ： ( 2 ) 对称性：p ( x ，y ) = p ( y ，功： ( 3 ) 三角不等式：p ( x ，y ) p ( x ，z ) + p ( z ，j ，) 但是对于非对称度量并不要求满足对称性，即从x 点到y 点的距离不一定等于从y 点 n x 点的距离，同时，对于非对称度量的正定性条件可以改为： ( 4 ) p j ，) 0 ，并p ( x , y ) = p l y ，功= 0 当且仅当x = y 即当且仅当从工点到y 点的距离与从y 点到x 点的距离均等于零时，石与y 是同一点显 然，度量空间是一类特殊的非对称度量空间 若p 满足( 4 ) 且满足p j ，) m a x ( p ( x ，z ) ，p ( z ，y ) ) ，v x ，y ，z x ，则称p 是x 上的非阿 基米德拟度量 非对称度量空间是拓扑空间，每一个非对称度量p 均诱导出一个t o 拓扑r 口，其基是开 球徊。( 石，) ：石x ， 0 ) ，这里的b , o ( 工，) = 抄x ，p ( x ，y ) 0 而对称度 量诱导的是正拓扑因此，非对称度量空间是介于一般拓扑空间与度量空间之间的一类 拓扑空间 设( x ，d + ) 是一个非对称度量空间，函数d + ：x x r + 是满足( 3 ) 和( 4 ) 的非对称度 量，若函数d 一：x x 专r + ，定义为 d 一( 五y ) = d + ( y ，功，v x ，y x 则d 一也是一个非对称度量，而若令d y ) = m a x d + 阮y ) ，d 一( 工，少) ，则其是一对称度量 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 于是，一个对称度量空间始终伴随着另一个对偶的非对称度量空间( x ，d 一) 和一个度量空 间( x ，d 5 ) 在非对称度量空间x 中引入一个偏序关系：工一y d + ( 工，y ) = 0 显然( 置) 是偏序集，且这个偏序关系是非对称度量空间特有的，这在以后研究中起着很 重要的作用 1 2 国内外研究现状 2 0 世纪初h a u s d o r f l f l 】讨论集合间的度量( 现在被称为h a u s d o m 度量) 时考虑到了非对 称距离函数形式，这是最初的对非对称度量空间的研究随后，一些学者在研究度量空 间的时候，也有涉及到非对称距离函数的1 9 8 2 年，e f l e t c h e r 和w e l i n d g e m 2 】出版了 q u a s i u n i f o r ms p a c e s ) ) 一书，此后，引发了越来越多的学者对非对称度量空间研究的兴 趣1 9 9 3 年，南非学者h p a k u n z i 3 】发表了 ( n o n s y m m e t r i ct o p o l o g y ) ) 一文，取得了对非对 称拓扑的理论研究的一些成果1 9 9 4 年，m a t t h e w s 4 】提出可赋权非对称度量空间随着对 非对称度量空间研究的不断深入，非对称度量空间的一些理论逐渐向应用方向发展1 9 9 5 年，爱尔兰学者m e s c h e l l e k e n s 5 】【6 】将非对称度量空间应用于理论计算机科学，使得非对称 度量空间由理论到应用的进一步发展国内外的研究主要分为： 1 非对称度量空间的理论主要研究它的一些拓扑性质及其完备性等问题由于非对 称度量的不对称性，柯西序列分成了三种形式，左肛柯西序列，右弘柯西序列以及双向 柯西序列【7 】对于非对称度量空间( x ，d ) ，由非对称度量d 所诱导的拓扑f ( d ) 满足t o 分离 性公理因此，非对称度量空间中的序列具有依拓扑r ( d ) 的收敛性虽然非对称度量空 间( x ，d ) 中序列具有依拓扑的收敛性，但是，并不能保证其极限的唯一性 s r o m a g u e r a 8 】【9 】运用左肛柯西序列在由( x ，d ) 所诱导的度量空间( x ，f ( d ) ) 中有极限，定义 了左行完备性m e s c h e l l e k e n s 1 0 l 根据左弘柯西序列在( x ，d ) 所诱导的度量空间( x ，f ( d ) ) 中的收敛性，定义t s m y t h 完备性2 0 0 2 年，h p a k f i n z i 和m p s c h e l l e k e n s 提出了序列的 y o n e x l a 极限【l l 】，即：在非对称度量空间( x ，j ) 中，对于元素x z ，vy x 若满足 d ( x , y ) = i 罂f s u p d ( x n ，y ) ，则称x ex 为序列 毛) cx 的极限基于这种极限，h p a k f i n z i “ n 七 给出了y o n e d a 完备性在国内，不少学者研究了非对称度量空间上的优化问题以及非对 称度量空间中相关问题【1 2 _ 4 1 此外，在非对称度量空间的完备性研究方面，国内学者陈 少白【1 5 】利用非对称度量空间特有的偏序关系，首次提出了具有唯一性的”最小”极限一上 极限概念，并针对”左弘柯西序列”提出了”上柯西序列”的概念，在此基础上展开了对完 备非对称度量空间和非对称b a n a c h 空间的研究 2 算法的复杂性分析它是理论计算机科学和技术研究的一部分1 9 9 5 年，爱尔兰学 者m s c h e u k e n s q i 入了复杂度( 非对称度量) 空间，用于研究算法的复杂性，开拓了非对称 度量空间的应用领域复杂度( 非对称度量) 空间( c ，d ，) 定义为： 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 c = u 彻j ( 0 ，佃 | 荟2 ”高) 0 ，存在自然数，使得当万 n 时，d + ( 以，x ) 艟的上、下极限均等于口，显然煅d 5 ( 毛，口) = 0 定理2 2 2 如果序列 ) 。的上极限、下极限存在，那么。l i m 毛。l i m 证明 设面吒= 口，l i r n x = b 由d + ( 6 ，口) d + ( 6 ，) + d + ( 毛，口) ， 令刀_ 0 0 得 d + ( 6 ，a ) 0 ，即b a 定理2 2 3 如果序列 ) 膳与其子序列 h ) 拒的上极限均存在，贝l jl 。i m x ， k 则口是魄) 的上极限 证明令y - - a ，则0 = d + ( 口，口) = i n f s u p d + ( ，口) ，即l i md + ( ，口) = 0 ：如果b x ， n 2 吐 l i m d + ( ，b ) = 0 ，则d + ( 口，b ) = i n ，f s u p d + ( 毛，6 ) = l i m d + ( ，6 ) = 0 n - o o 一 七 h 量 n - - - o o 在实数集r 上定义函数吖“y ) = m a x x y ，0 ) ，显然( r ，对) 是非对称度量空间容易验证 由非对称度量诱导的偏序关系与实数集r 上小于等于关系是等价的，且研( x ，y ) = l x - y i 是 实数集r 上欧氏距离接下来，我们讨论在非对称度量空间( r ，计) 中的点列的上、下极限 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 与通常意义下数列的上、下极限的关系 定理2 2 5 设( r ，对) 是非对称度量空间，序列 毛) 舱cr ，则其通常意义下的上极限 和下极限分别等于在非对称度量空间( r ，矸) 中的上极限和下极限 证明假如数列 ) 。通常意义下的上极限为实数口，即口= i 。n f s u p x 对于任给 占 0 ，存在自然数k 使得a + s s u p x , ，即当n k 时一口 0 ，存在自然数k 使得当刀k 时 计( 毛，b ) = m a x 一b ，o ) 0 ，a x 使得 觇a ，d + ( x ，口) m ， 则称彳是右一有界：如果存在m 0 ，a x 使得 比a ，d + ( 口，x ) m ，则称么是左一有界：同时为右一有界、左一有界的集合称为有界集或 d ，一有界集 武汉科技大学 硕士学位论文第9 页 显然，彳是对称度量空间( x ，d 5 ) 中的有界集充要条件是彳既是( x ，d + ) 中右一有界集， 又是( x ，d + ) 中左一有界集 定理2 3 1 设( x ，d + ) 是非对称度量空间，a c x ，a 是x 中的右一有界集的充要条 件是 跏x ，3 m 0 ，使得垤a 时，总有d + ( x ，y ) m 证明充分性显然，只须证明其必要性假设口x ，m 0 ，使得对v x a ，总有 d + ( 工，口) m ，则对跏x ，令m ( y ) = m + d + ( 口，y ) ，则当v x a 时，总有 d + ( x ，y ) d + ( x ，口) + d + ( 口，y ) m ( y ) 成立得证 以下结论显然成立： 定理2 3 2 设( x ，d + ) 是非对称度量空间，acx ，a 是x 中的右一有界集的充要条件 是存在口x ，万 0 ，使得acb + ( 口，万) 定义2 3 2 设( z ，d + ) 是非对称度量空间，彳，bcx ，占 0 ，若 v x a ，j ) ，b ，使得d + ( x ，j ，) 0 ，a 总存在有限的右一s 网，则称彳是上全 有界的 由于非对称度量空间是磊，4 空间，所以，拓扑空间上的紧性成立即在非对称度量 空间上：可数紧致列紧序列紧致 2 4 非对称度量空间的连续映射 设( x ，d + ) ，( y ，d + ) 均为非对称度量空间，r 是从集合x 到集合】，的映射，d ( d 表示 丁的定义域记t ：d ( 乃cx 寸y 特别地，t ：x 专y 表示d ( t ) = x 非对称度量空间 ( x ，d + ) 中的非对称度量与( y ，d + ) 中的非对称度量一般不相同，在不至于引起混淆的情况 下采用同一符号 由于非对称度量空间是拓扑空间，因此，非对称度量空间之间的连续函数定义为： 映射厂：x y 在】，中的每一个开集u 的原象一l ( u ) 是x 中的开集下用非对称度量来表 述f ：x y 在连续： 定义2 4 1 设x 是拓扑空间，( y d + ) 是非对称度量空间，称映射t ：d ( t ) cx 专y 在 而d ( d 处d + 一连续，当且仅当v 占 0 ，存在而的邻域o ( m ) ，使得当工o ( m ) 时，有 d + ( 戤，) 0 ，存在万 0 ，使得对于d ( t ) 中 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 一切满足d + ( 工，x o ) 0 ，口x 使 得对于玎n , d + ( x n ，口) m ，则称序列纯) 艇是右一有界：如果存在m 0 ，口j 使得对 于甩n ，d + ( 口，) m ，则称序列“) 胙是左一有界：同时为右一有界、左一有界的序列称为 有界序列或d l 有界序列 显然， ) 。为度量空间( x ，d 。) 中有界序列的充分必要条件是 ) 胙同时为非对称 度量空间( x ，d + ) 中的右一有界序列和左一有界序列 定义3 1 2 设( x ，d + ) 是非对称度量空间，称 ) 膳是上柯西序列，如果 ) 艚是右一 有界序列且对于任意s 0 ，存在自然数，使得当m 万n 时有d + ( ，) 0 ，存在自然数，使 得当研刀n 时有d + ( ，) 有钺以) ca ( x 嘶) 如果k ) 腱是非对称度量空间( x ，d + ) 中 上柯西序列，则有下面的定理成立： 定理3 1 1 序列 ) 。是非对称度量空间，d 十) 中的上柯西序列，则对于任意子序 列 拒有4 ( 毛) = 彳( ；) 武汉科技大学 硕士学位论文第1 3 页 证明仅需证明么( 吒，) c 彳( 吒) 对于b 彳( 。) ，有j + ( h ，6 ) j0 ( ，z o 。) ，注意到 刀刀f 及d + ( 毛，b ) d + ( 毛，吒) + d + ( 。，6 ) ，得d + ( 矗，b ) 一o ( n 专) ，即b 彳( 毛) ， 彳( 毛) = 彳( 矗，) 定理3 1 2 设 吒) 。是非对称度量空间( x ，d + ) 中上( 下) 柯西序列，如果 毛 。存 在一个上( 下) 收敛子序列，则k ) 舵的任意子序列均有相同上( 下) 极限 证明这里仅证明存在个上收敛子序列的上柯西列的任意子序列均有相同上极限 设 ) 拒是 吒) 。的上收敛的子序列，l i m = 口， 肛是 ) 。的任意子序列， 证明口是子序列 ，) 洲的上极限 由么( ，) = 彳( 毛) 24 ( ) 有d + ( ，口) 专o ( - ，一) ： 如果b x 使得 j + ( ，6 ) 专o ( i _ ) ，则b 彳( ，) = 彳( 吒，) ，由口是子序列 z 嘞) 的上极限，得口b ，因 而口是子序列 ，) e 的上极限 定义3 1 3 如果非对称度量空间中任何上柯西序列均有上极限，称非对称度量空间是 上完备的：如果x 中任何下柯西序列均有下极限，称非对称度量空间是下完备的、 定理3 1 3 上完备的非对称度量空间( x ，d + ) 的上闭集是上完备的 证明设非对称度量空间( x ，d + ) 是上完备的，acx 为上闭集，对于子集么上的柯西 序列k ) 。，由x 得上完备性，则存在口x ，使得l i m = 口，又a 是上闭集，则有 a a ，从而彳使上完备的 同样，下完备的非对称度量空间的下闭集是下完备的 s m 汕在1 9 9 1 年提出的序列形式的y o n e d a 完备性定义为：一个非对称度量空间是序 列完备的，如果每一个柯西序列有极限这里的柯西序列是指上柯西序列，极限采用的 是绪论中定义的较上极限强的极限显然y o n e d a 完备性是较强的一种完备性，y o n e d a 完 备必定是上完备的 3 2 非对称度量空间的闭集套定理及其上完备性 在对称度量空间中有闭集套定理，同样，在非对称度量空间中也存在闭集套定理 定理3 2 1 ( 闭集套定理) 设( x ，d + ) 是上完备的非对称度量空间，( c 。“是x 中非空 闭集序列且满足以下条件 l 单调下降：舅 e3 3 只3 2 一致右一有界：j m 0 ，a e x 使得i n f d + ( 工，a ) m ，疗n x e h 3 右半径趋近零：，+ ( 只) = i n f s u p d + ( x ，y ) 哼o ，刀。 “。1 ，最 则存在x x 使得n e = 抄x ：z + y ) 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 证明设非对称度量空间( x ，d + ) 是上完备的，非空闭集合序列 e ) 。适合以上三个条 件由条件3 ，对于疗n ，弧c 使得 s u p d + ( ，y ) 0 ，3 n o 使得当m 狞n 时 1 d + ( ，) ，+ ( c ) + i 1 由条件2 ，对于刀n ，3 y 。e 使得d + ( 只，口) m ，有 d + ( 毛，口) d + k ，以) + d + 饥，口) o 使得当 朋刀p ) 时d + ( 毛，) e 成立 1 对于= 寺，取刀l = n ( 1 2 ) ，则当，l 7 1 1 = n ( 1 2 ) 时 1 d + ( ，) - - n i 时 1 d + ( x ，x 。) 石 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 成立：则对于：石ii _ ，取+ l ：m a ) 【以，n ( 1 2 川) ) + 1 使得当m 仇+ i 时 d + ( 毛) 0 ，有 d + ( ，) 0 ，a x 使得d + ( x 。，口) m ，刀n ，于是 i n f d + ( 工，口) o ， 存在自然数，使得当m ，l n 时有d + ( x 。，k ) f 成立因为歹= x ，故v 万n ， 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 砂。】，使得d + ( y 。，) 一1 当m 刀时，砂。】，使得j + ( ，虼) 三，对于这样的 n，玎 儿，虼y ，m 疗由于 d + ( y 。，y 。) d + ( y 。，) + d + ( ，) + d + ( x m ，y m ) 11 二+ d + ( x n ，m 。) + 一1 专o ，( ，l ，以专o o ) nm 即 y 。) 艉 ，是y 中的上柯西列由题意设l i m y , , = x ，由上极限定义，若存在x y cx ，使 得d + ( y 。，工) = 0 ，则有，x 下证 ) 。上收敛予x 由于 1 d + ( ，工) d + ( ，) + d + ( 虼，x ) 一1 + d + ( ，x ) - - - ) , 0 ，( m - - 9 , o o ) m 故l 砸d + ( 屯，x ) = 0 ，如果3 x x ，使得l i m d + ( ，功= 0 ，则必有 1 d + ( 以，功d + ( j ，。，吒) + d + ( 以，功 二+ d + ( ，功专0 ，( 刀专0 0 ) 刀 由x 是 y 。) 聪的上极限知，x 工，从而x 。是 ) 膳的上极限由 ) 。是x 中任一个 上柯西点列，且有上极限，故x 是一个上完备的非对称度量空间 定理3 3 1 设( x ，d + ) 是非对称度量空间，则存在一个一一等距厂，使得f ( x ) 在x 中稠密，其中x 。为上完备的非对称度量空间 证明设x 为x 中所有上柯西序列的集合， v s ，t x ，定义 d + ( s ，z ) 2 舰d + ( & ，乙) ，其中品，乙分别为z 中的上柯西序列s ，t 的第，l 项，容易验证 d 为x 的非对称度量若厂为映x 中的每一个x 为各项都等于工的序列的映射，即 v n n ，( 工) 。= x ，显然为d + 一d 等距，且为一一映射故只需证f ( x ) = x ，且x 上完备事实上，若s x ，设s = 溉，岛，瓯，) ，因为s 是上柯西序列，则当n 专o o 时，厂( 瓯) _ s 又1 吨d ( 厂( 鼠) ，s ) = l i m l i m d + ( 鼠，最) = 0 ，所以s ( x ) ，即x c f ( x ) ，