（基础数学专业论文）矩阵体积的若干问题研究.pdf

孓 _ 福建师范大学陈荣群硕士学位论文 i i i l ll i ii i r l l li l l i l l ii 17 4 4 7 9 3 ( 3 ) 对任意的矩阵a e r ，有v o l a = v o l ( a p ) ； ( 4 ) 对任意的矩阵ae r 一，有v o i a v o l ( p r 彳p ) ； ( 5 ) 仍尺脓“一l l x na 卜p a 是保持体积不变的线性变换； ( 6 ) 弘彤研呻彤”，ah4 p 是保持体积不变的线性变换； ( 7 ) 9 ：r 删疗呻r n x , ahp r 刎，是保持体积不变的线性变换 定理5 1 2 设p e r ，则以下命题等价： ( 1 ) 存在a 0 ，使得p 一= a p 7 ( 2 ) 且对任意的矩阵a e r ，有v o l ( p l a p ) = v o l a ( 3 ) 妒：r 删- 掣研，ai - - p 以胛是保持体积不变的线性变换 第二节利用矩阵体积给出一般线性方程组解的存在性的一个新判定 引理5 2 1设m ； 4 。4 ： 0 如 o a 4 t 0 气 ，其中4 y 尺狮 ，y = 1 ，2 i d d 七) ，记 f - 1 r a n k ( a i 。u ) = 吃 a 1 ，2 ，七) ，r a n k ( g h m t ) = 罗名或r 口咒七化m t ) = r t ( t 一2 ，七) 箭 k 贝l jr a n k ( m ) = 罗，口础) 疗= i 引理5 2 2 设m = 4 ，4 ： 0 4 2 0 丸 以。 0 如 ，其中4 v 尺矾 ，y = 1 ，2 ，七) ，记 r a n k ( 4 n ) = 屹q 。1 2 ，七) ，若，口，l 七( g h m f ) = 罗名_ 目r a n k 心m t ) = o = 2 ，七) 箭 k 贝, l jr a n k 似) 2 蠢阳础( 如) v o l m = 阳巩“ 上述两个引理为我们判定一般线性方程组解的存在性问题，提供了一个易于操作的 方法设线性方程组 口l 4 - a 1 2 x 24 - + 口h 而 口2 1 + a 2 2 恐+ + 口2 一而 a 册l 五+ a m 2 吃+ + 口舢而 记系数矩阵彳2 ：i j ；三】2 c ，吃，声 v 福建帅狐大学际采群砍士学位论文 _ - - _ _ _ - _ _ _ - l - _ l _ _ _ _ i - - - _ _ _ - - 一i i i ii i _ l - - - _ _ - - i _ _ _ _ _ - _ - _ _ - 一 定理5 2 3 设一般线性方程组魃一，记添一行的增广矩阵m 一( 苫皇) ，增厂_ 矩 阵爿= ( 彳；) ，则线性方程组a x 一卢有解铮v o l m = v o l a 推论线性方程组魃。卢无解营v o l 2 m = v o l 2 a + 阳，2 才 、 第六章探讨复数域上矩阵体积的定义及其应用 第一节介绍复矩阵体积的概念与性质 定义6 1 1 ( 复矩阵体积的定义) 设a e c r m 炳( 表示秩为，的复r r i 以矩阵集合) ，厂0 矩 阵彳的体v o i a 定义为：若，= o ，贝l j v o l a = 0 ；若， 0 ，v o l a = 罗d e t 如x d e t ( a u ) 7 f ( ，乃射 2 。，不如t 如x d e t 面2 。，不如t 如面 为了方便，约定；) 一罗d e t a ux ( d e t a u ) 即；0 ) 表示彳的所有非零，阶子式 q 釉 与其共轭乘积的和 性质6 1 2 设a e c 7 期， 0 ，a t c d ( c e c 7 ”，d e q 为a 的任意一个满秩分 解) ，；( 彳) = 罗d e t a i 。d e t a ! = yd e t a ，d e t a j = ，2 l l j ，2 ( d ) 脚) j d r i a ) 性质6 1 3 设a e 口黼，r o ，( 1 ) 若a 是一个列满秩的矩阵，则v o i a = 、d e t a h a ( 2 ) 若a 是一个行满秩的矩阵，则v o i az 、d e t a a 日 性质6 1 4 设a e c ，煳， 0 ，贝l j v o l 4 = v o l a 爿 性质6 1 5 设【，- ( a ) c 册煳目r a n k ( u ) 0 ( 即a 是列满秩矩阵) ，u c 用删是一个酉矩阵， v o m 。v o l ( u a ) 引理6 1 7 设彳c ：期， 0 ( 即a 是行满秩矩阵) ，u c 脚是一个酉矩阵， v o l a = v o l ( a u ) 第二节证明了酉矩阵的一个新判定 定义6 2 1 设彳c ，若a 满足a 日a ；，或a a 日ai ，则称为酉矩阵 定理6 2 2 设u c 脚，下列命题等价： ( 1 ) u 是酉矩阵； ( 2 ) 对任意的矩阵彳c 删，有v o l a v o l ( u a ) ； ( 3 ) 对任意的矩阵a c 脚，有v o m v o l ( a u ) ； ( 4 ) 对任意的矩阵彳c ，有v o l a = v o l a u ) ； ( 5 ) 妒：c n 朋呻c 脚，ai - - - - u a 是保持体积不变的线性变换： ( 6 ) 仍c 一c ，a 卜a u 是保持体积不变的线性变换； ( 7 ) 驴：c 舢呻c ，ai - - ) u h a u 是保持体积不变的线性变换 第七章给出矩阵体积的算法框图与算法程序 v i 则 则 福建师范大学陈荣群硕士学位论文 目录 摘要o 0000 00000 ( i ) a b s t r a c t ，( i i ) 中文文摘( i i i ) 第1 章引言1 1 1 矩阵体积的概念l 1 2 论文的主要结果3 第2 章矩阵体积的基本性质4 2 1 矩阵体积的乘积与乘积矩阵的体积4 2 2 矩阵体积与矩阵张量积7 2 3 矩阵体积与矩阵广义逆9 第3 章矩阵体积与矩阵初等变换1 0 3 1 矩阵体积与互换变换1 0 3 2 矩阵体积与倍法变换l o 3 3 矩阵体积与消法变换1 1 第4 章矩阵体积与矩阵标准型1 4 4 1 正交相似的两个矩阵体积关系1 4 4 2 相似的两个矩阵体积关系1 5 4 3 合同的两个矩阵体积关系1 6 4 4 相抵的两个矩阵体积关系1 6 第5 章矩阵体积的应用1 8 5 1 正交矩阵的一个新判定1 8 5 2 线性方程组解的存在性的一个新判定2 l 第6 章复数域上矩阵体积的定义及其应用2 8 6 1 复数域上矩阵体积的定义2 8 6 2 酉矩阵的一个新判定2 9 第7 章矩阵体积的算法框图与算法程序3 3 7 1 矩阵体积的算法框图3 3 7 2 矩阵体积的算法程序3 5 结论“4 0 参考文献4 3 致谢”4 5 v l i 第1 章引言 第l 章引言 矩阵体积的概念是由a b e n - i s r a e l 于1 9 9 2 年在av o l u m ea s s o c i a t e dw i t hm nm a t r i c e s 一文中最先引进的( 见 1 ) 对于任意一个矩阵a e 秽煳( 秩为，的实m ，z 非零矩阵集合) 定义n 为其非奇异的，x r 阶子矩阵锄的指标集，a 为其m o o r e p e n r o s e 逆，则方程船6 捌、二乘解舶。善z a 一五l b , ，其中饬2 专秀，由 f ，罢和似)夕u c l 以碰 似：邑) 此可看出 艺d e t 如具有某种重要的意义正是在这种背景下，a b e n i s r a e l 引进 ( ，j 目v ( 彳) 了矩阵体积的定义：设彳矽黼， 0 矩阵彳的体积阳“定义为：若，= 0 ，贝l j v o i a = 0 ； 若r o ，则v o i a = fyd e t 2 4 ，同时他还给出了矩阵体积的一个等价定义： 、( ，铷 一 v o i a = 丌q ，其中q a 2 乏啡 o 是a 的非零奇异值1 9 9 9 年，a b e n i s r a e l 在 讨 文 2 中，给出了矩阵体积在变量替换公式中的应用我们知道变量替换公式 f v f ( v ) d v ；f ：，( 厂。 ( u ) j d e t j , ( u ) l d u 其中u ，v 是r “的子集，j 妒是j a c o b i 矩阵，且 小。揣，此啪妒 个方阵酆锄一y 锄肘舻历 时，协不 再是一个方阵了，这样变量替换公式就不再适用了，然而，有了矩阵体积的概念，就可以 对变量替换公式进行推广a b e n - i s r a e l 在文 2 中给出了当l 是列满秩矩阵时，可以 用阳u 来代替i d e t ，小从而得到推广的变量替换公式五，) 咖= = ，( ，。事o ( u ) v o u , ( u ) d u 有了这个推广的变量替换公式，就可利用矩阵的体积来计算曲线与曲面积分、推广勾股 定理、计算n 维球面的面积与以维球体的体积 有了文 2 的基础，a b e n - i s r a e l 于2 0 0 1 年在文 3 中，利用变量替换公式给出了 矩阵体积在概率论方面的应用 a b e n - i s r a e l 在文 5 中也讨论了矩阵体积与子空间主角间的一些关系，在文 7 中给出了矩阵自反广义逆的体积表示式 2 0 0 5 年，李明，方宜对a b e n - i s r a e l 的三篇文章进行翻译、整合，在文 1 7 中给 出矩阵体积的概念、性质及其应用 2 0 0 7 年，薛树强，党亚民，章传银在文 1 8 中运用矩阵体积的概念与几何意义给出 了矩阵体积法原理在水下差分g p s 定位中的应用 步研究 ，即) - f f e q r 朋i r a n k l t 。= ， 表 福建师范大学陈荣群硕士学位论文 集 ，0 ) = p q ，。r a n k l , ，= r ) 表示爿中最大的列线性无关集合的指标集 即) = 【( ，j ) q ，朋x q ，一；r a n k a i j - r 表示a 中最大的非退化子矩阵集合的指标 ( 2 ) 记为( f ，) 位置为1 ，其它位置均为0 的，l 阶基本矩阵 ( 3 ) 设m = 4 ，4 ： 0 如 0 4 t 4 t 0 气 ，m f 一 4 。4 ： 0 4 ： o 4 4 ， 0 4 其中4 l v 尺” ，= l 2 ，七) ，r a n k 口) = 屹o - - l 2 ，七) ； 月j 以暑( 4 f l4 f 2 4 ) ( f 一1 ，2 ，f ) ；l j m ，= g h m t = h 水t h 2 m t h t 彤t 4 。4 ： 0 如 0 4 以 0 4 - l ， 4 ， 4 ， ： o 一2 ，3 ，七) ( j - l 2 ，f ) ，其中呜= o ( j 0 ，a ；c d ( c e 矽x rd e 彤期) 为a 的任意一个满秩分解，显然 有：，口) = ，( c ) ，j ( a ) - - j ( d ) 为了方便，t ( a ) 、j ( a ) 、n 似) 简写成，、，、 定理n = ，x j ? 定理表明：任意，个线性无关的列和任意，个线性无关的行的交所得到子矩阵是非 退化的 定义1 1 1 ( 矩阵体积的定义) 设a e 秽埘，苫0 矩阵a 的体积v o i a 定义为：若，一0 $ l j v o l a 。0 ；若，- 0 ，贝, z j v o i a = 罗d e t 2 如为了方便，约定；) = d e t 2 如 ( ，铷 “ ( ，偷 即；似) 表示彳的所有非零r 阶子式的平方和 性质i i 2 设彳霹研，- 0 ，a - c d ( c r ，m ”，d 群”为a 的任意一个满秩分 解) ，衲。磊) d c t 2 小磊) 诎2 山# 翮衲 性质1 1 3 设彳砰煳， 0 ，( 1 ) 若a 是一个列满秩的矩阵，则v o l a 一4 d e t a a ( 2 ) 若a 是一个行满秩的矩阵，则v o i a = 4 d e t a a r 性质1 1 4 谢彤m x b ， o ，彳的奇异值分解为彳= uf 言三】y r ，其中 = d i a g ( o l ，( 7 2 ，q ) ，吼2 呸芑q o 是彳的非零奇异值，u ，y 是两个正交矩阵， 则v o m ：丌q - t 由矩阵体积的定义与3 条基本性质，易得下面两条性质： 2 第1 章引言 性质1 1 5 设彳肜姗， 0 ，则4 与的体积相等 性质i i 6 设a 是可逆矩阵，则a 的体积等于它的行列式的绝对值 1 2 本文的主要结论 第二章进一步探讨矩阵体积的基本性质得出当两个矩阵乘积的秩与其中一个矩阵 的秩t 相等时，且另一个矩阵体积的平方大于或等于它的所有t 阶予式的平方和，则两 个矩阵乘积的体积小于或等于两个矩阵体积的乘积； 证明了矩阵体积与矩阵张量积的一个关系式：设a e 秽枷，b e 尺f ”，则v d z 似 曰) = v o l 5 ax v o l 7 b ； 还证明了矩阵体积与广义逆的一个关系式：设a e r r m m ， 0 ，a 的m o o r e - p e n r o s e 广义逆为a + ，则有v o l a + v o i a ；1 第三章矩阵体积在初等变换中的变化情况得出互换变换不改变矩阵的体积，倍法 变换与消法变换会改变矩阵的体积 第四章矩阵体积与矩阵标准型得出正交变换保持矩阵的体积不变，而合同、相似、 相抵变换不能保持矩阵的体积不变 第五章进一步研究矩阵体积的应用，证明了正交矩阵的一个新判定：设p e r ，则 下列命题等价： ( 1 ) p 是正交矩阵： ( 2 ) 对任意的矩阵a e r 厅埘，有v o i a = v o l ( p a ) ； ( 3 ) 对任意的矩阵a e r 疗研，有v o l a = v o l ( a p ) ； ( 4 ) 对任意的矩阵a e r h 埘，有v o b l = v o l ( p r 胛) ； ( 5 ) 仍尺删一一尺脚，ah p a 是保持体积不变的线性变换； ( 6 ) 仍尺删 _ 尺，ah 胛是保持体积不变的线性变换； ( 7 ) 仍尺删一尺脚，ai - - - p l , f f 是保持体积不变的线性变换 还得出利用矩阵体积判断一般线性方程组a x 。卢解的存在性的一个充要条件：设线 性方程组崩；，记添一行的增广矩阵m 。f ：学1 ，增广矩阵j ；( 彳i 卢) ，则线性方程组 u1 ， a x 一声有解尊v o l mv o i a 第六章把实矩阵体积的概念推广到复数域上，先定义复矩阵体积的概念，再证明复 矩阵体积有关的性质，最后利用复矩阵体积的概念给出酉矩阵的一个新判定：设 u e c ，则下列命题等价： ( 1 ) u 是酉矩阵； ( 2 ) 对任意的矩阵彳c 一煳，有v o l a = v o l ( u a ) ； ( 3 ) 对任意的矩阵a e c 煳，有v o i aav o l ( a u l ； ( 4 ) 对任意的矩阵a e c 一煳，有v o l a v o l 日a u ) ： ( 5 ) 9 ：c 玎一c ，ai - - u a 是保持体积不变的线性变换； ( 6 ) 纺c 一c ，ai - - - a u 是保持体积不变的线性变换； ( 7 ) 弘c 删一c n x nai - - - u 片a u 是保持体积不变的线性变换 第七章给出矩阵体积的算法框图与算法程序 3 福建师范大学陈荣群硕二l ：学位论文 第2 章矩阵体积的基本性质 上一章给出了满秩分解求矩阵体积、列( 行) 满秩求矩阵体积、奇异值分解求矩阵体 积、求转置矩阵与可逆矩阵的体积等基本性质，本章从矩阵运算的角度来考虑矩阵体积 的其它基本性质 引理2 1 1 【2 2 1 ( b i n e t c a u c h y 定理) 设彳矽埘，b 群枷rss ) ，c = a b ，贝嵊积c 愀d c t c ( 皂厶i 20h点懿叫皇“i211护丑1 2 誓)7 2 ，r 1 幽毋懿i q 七2 t j l7 ， 引理2 1 2 【2 3 l ( c a u c h y 不等式) 设吩，2 j 2e r ( i = l 2 ，1 ) ，其中a j 不全为零，恒有 ( 荟榭s ( 善口拟荟吼等号成立的充要条件是口f 2 他g - - 1 , 2 , - n ) ，其中a 是不为。的 实数 引理2 1 3 【捌设彳和b 是任两个p x q 的实矩阵，贝j d e t a a x d c t b b 2 ( d e t a b ) 2 一det4(三屯2：乏-adetb(三屯2：乏)os如 q 时，d e t a i l 一d e t b b = ( d e t a b ) 2 0 ， 当p ；q 时，d e t a a x d e t b b - ( d e t 2 a ) ( d e t 2 8 7 ) 一( d e t a ) 2 ( d e t b ) 2 = ( d e t a b ) 2 ， 当p c 口时，设彳r ，加，b r p m ，由b i n e t c a u c h y 定理得 d e t 朋z 域鸣善讳钾d e t 么( 三丢：乏) d e t 彳( ：如2 ：羔) = 。两鸣善碑趔d e t 2 a ( 三如2 ：乏) d 既b b t m 域吨 v s q d e t b ( 三屯2 ：乏) d e t 曰( ：如2 ：) = 域吨善砩叼d e t 2 b ( ：如2 ：) d 吼a b i i 域吨善嘞钾d e t 彳( 三三：乏) d e t b ( ：i 2 2 ：2 ) ，由c a u c h y 不等式得 磁鸣善嘭钾d e t 2 彳( 三之2 ：乏) 、如x 。唧钾d e t 2 b ( ：i 2 2 ：p ) 苫 扫电吨x 母q 尹s q d e t a ( 三主：) d e t b 7 ( ：i 2 2 ：) 】2 即d e t a a x d e t b b ：- ( d e t a b ) 2 当d e t 4 ( 三如2 ：乏= a d e t b ( 三乞2 ：乏) ( 1 s 乞 s 口) 时，等号成立 所以命题成立 证毕 定理2 1 4 设彳矽。5 ( ，ss ) ，b 群m ( fss ) ，r a n k ( a b ) = r a n k ( b ) = t ，且彳的 所右r 阶平式平方和大于或等于a 所有的t 阶子式的平方和。则y a m x v o l b v o l ( a b ) 4 证明设a = 则c = a b = ，厶 d o t c i ： ，1 垮d e t 2 c f i 由矩阵体积的定义得 邪) _ 磁乏羡蜊a c t 2 c 眩 1 硝也：羔；f 蜊l l s j l t j 2 i t 鲥 第2 章矩阵体积的基本性质 ，b = m x 5 以。吃：k 由引理2 1 1 ( b i n e t c a u c h y 定理) 得 m x n 妻1 d e t b 降j i ；：2 k t )h j 2 蠢卜皖 。氆毒一姚毒啦叫毫k 如2 一d e t b ( 瓮k 办2 ： b ，2 j rs 一 蛳婀2 菇乏嚣诎2 彳睢i 2 菇毫篓姒2 b k 2 2 m 吨邑绷m 善啪d c t 2 彳e 如i 2 ：毽瓮砻：毪篓d e t 2 召旺k 矗2 ：皇) 因为a 的所有，阶子式平方和大于或等于a 的所有t 阶子式的平方和 专；( 彳) ；( b ) 。域鸣毛绷k m 摹中d e l 2 彳 x 娇厶量五妇m 亲啦拟2b 佳 5 助 一 址坳 如劬 一 屹 吃一 钆 2 p i 、l_- t 2 2 - k 1， 一 七， k 哎 如如嘏 h 毛 把 九坛、 d， “1 脚 l 毛 d 、，一 a甜 略 一 0 蛾 、蠢 【l k _ = 1 一 一 2 一 砭儿 匕儿 h，n 、l-_-， 眨赴 2 p 毛几 、li-ii， 毛 p ， j、， 、ll_li， ， 1 l j、j 、lil-，- 一 一 如厶 如矗 、似u乞厶 2，一， t 1 芎 砸 如 咖拟飙 矗矗 芝旷 嘞 ，ii-、， r _ ，一 b 晴 、瞳 2 l 唯靠 k 一黛如貉k 垛 2 e r 以 撖 胖 懿 如 忸且材 珥 鲥 霄 q 志一p 一 矗蒜以 k 如 祸建师范大学陈荣群硕士学位论文 4 域吨邑蜊蚧磊奠鸡暑啪a e t 2 彳眩，i ：2 ：乏) 域毒啦d ? 巴曩：跏 2 1 甄也互鲥c ，鸡。荟q 酆瞰2 彳佳乞i 2 ：乏) ，吐亲中，a e t 2 口仨曩：跏 运用引理2 1 3 得到 赴氆点掣t 磁。乩叫乏如1 2 叫羔如1 2 矧卜讯c ， 工j j l j 2 气 j t ) 7 即；( 彳) ；( 曰) 2 ? ( c ) 兮v o l ax v o l b v o l ( a b ) 证毕 推论2 1 5 设彳矽站，b 群炳( ，墨s ) ，旭疵0 ) = ，口础p ) = m 疗七即曰) = 厂， 则v o l a x v o l b v o l ( 彻) 证明定理2 1 4 中当，一f 时，推论2 1 5a l a - j 证 推论2 1 6 设彳矽灯，b 群( ，墨s ) ，旭础0 ) = 阳础p ) = 旭放似口) 一， 叫挑：；：) 2 m 善岫叫暑“i 2 妒b 眺薯) ， 且位于a 的第1 , i 2 ，( 1s 毛 之 sm ) 行上所有可能的r 阶子式与b 的第 矗，j f 2 ，l ( 1s 矗。i 2 。ls 以) 列上相应位置所有，阶子式线性相关，则 v o l ax v o l b2 v o l ) 证明 由推论2 1 5 得v o i a x v o l b v d ( a b ) ，要使等号成立必须 m 善如姒2 彳睢1 2 矧m 亲啪a c t 2 b 1 2 矧 m 。荟坼对叫乏如1 2 誓卜皖厶1 2 ：p 矧舭得， 上式成立簟充要条件是d e t 彳( 乏乏乏= g d e t b ( 复笺i 羔) ， 的第，如，( 1s f 2 v o l 似b ) 6 第2 章矩阵体积的基本性质 f1 2 i 例2a = i2 4 l36，口2 ( 三。0 言) ，判断阳i a v o i b 与阳z 掣曰，的大小关系 解因为r a n k ( a ) = r a n k ( b ) = r a n k 口b ) = 1 ，且4 的第f 行( f = 1 ，2 ，3 ) 所有的1 阶子 式与口的第j 列( ，= l ，2 ，3 ) 相应位置的所有的l 阶子式线性相关，所以 v o l ax v o l b = v o l ( a b ) 注：“矩阵a 的，阶子式平方和大于或等于a 的t 阶子式的平方和是“v o l a x v o l b = v o l ( a b ) 的充分条件而不是必要条件 一 ，以一 213 121 2 43 三主三 。( 三薹三弓 解因为r a n k ( p ) = 3 ，所以v o l p ；d e t p = 5 ；又因为r a n k ( a ) = r a n k ( p a ) = 2 ， 所以v o u = x ( 一1 ) 2 + ( 一2 ) 2 + ( 一1 ) 2 + ( 一2 ) 2 + ( 一4 ) 2 + ( 一2 ) 2 + ( 一1 ) 2 + ( 一2 ) 2 + ( 一1 ) 2 = 6 ， v o l ( p a ) ：4 4 2 + 8 2 + 4 2 + 5 2 + 1 0 2 + 5 2 + ( 一4 ) 2 + ( 一8 ) 2 + ( 一4 ) 2 = 怕4 2 ， 故v o l p x v o l a ) v o l ( e a ) 但p 的所有3 阶子式的平方和2 5d , 于p 的所有2 阶子式的平方和5 2 + ( 一1 ) 2 + ( 一7 ) 2 + 1 0 2 + 9 2 + ( 一1 5 ) 2 + 1 2 + 2 2 4 8 6 2 2 矩阵体积与矩阵张量积 ，7 定义2 2 1 驯 设彳彤m 棚，口群”，则称如下的分块矩阵 彳o b = a 1 1 b 口2 l b 口1 2 b 口2 2 召 b 口2 一 a n ba m 2 b 口m 口 尺唧删，为a 与8 的张量积 性质2 2 2 i 刈( 1 ) 设a e r 煳，b 尺胛，c e r 小棚，d e r 伽，则有似o b ) ( c o d ) = ( a c ) o ( b d ) ( 2 ) 如果a ，b 都是正交矩阵，则4 曰也是正交矩阵 对于a b 的行列式和a ，b 的行列式有下列的关系：d e t ( a b ) = ( d e t a ) 4 ( d e t e ) “， 其中a e r 忉硎，b e r 删对于a0 b 的体积和a ，b 的体积也有类似的关系，即有如下 的定理： 定理2 2 3 设a e 秽期，b e 尺f x 鼋，贝l j v o l 似 b ) t v o l a x v o l 7 b 证明设彳矽m ， 。，彳的奇异值分解为彳川f 专护，其中。一 d i a g ( c r l ，吒，q ) ，q 乏乏q 0 黝的非零的奇异值，以，k 是两个正交矩阵，则 7 3 4 5 2 3 4 1 2 3 蕾 4 ， h -一童垄塑蔓奎兰堕鲞登堡主兰竺笙苎 ， 阳阴= q l 上 设b 哗x 口，s o ，b 的奇异值分解为b d i a g ( o ：，) ， s 伽。叫 鹚( 专护其屹_ 叫以2 o 是的非零的奇异值，u 2 ，圪是两个正交矩阵，则 2 姒( 罨护咖：( 专护 邺吲( 亏州专弦叫， 怍三) 2 ( u o ) 2 ( 矾 u 2 ) q 叫 q 呸 吒( 专三) q q 叫 q r 三】 、 ， q 0 o f o s 以r o 哆) 0 似r 哆) 因为u 与，曙与圪r 都是正交矩阵，所以u ，k ro 屹r 也是正交矩阵从而 删口。b ) 2 冉( 吼叫) 豇慨彰) 。密( q 叫) 2 慨呸q ) 5 面叫) 7 2 町q ) 町栌阳 例l 蜘m ( 2 t s ax v o l r b - 1 ) ，v o l ( a b ) 8 证毕 _ 第2 章矩阵体积的基本性质 i i i l l - _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - _ - _ _ _ - - - _ _ _ - - _ _ - - - _ _ - - - - _ _ _ 一 解 。v o l b 一 例2 解 。 口以后。，2 2 ， d e t 彳= l 三引= 一2 ，y 。阴= 2 又，口，z 七c 口，鼍， t f 玎可一； 由定理2 2 3 得阳，o 丑) = 阳翻阳，：b = 1 0 3 、 l 4 l 邝= 5 j 求如，似o b ) v o l 4 = 厄矿i 矿i 矿i 矿i 矿i 矿石而i 瓣= 6 又。r a 船( b ) = 2 ，volb=x12+(-1)2+(-2)2+2z+(-2)2+(-4)2。,86 由定理2 2 3 得v o l ( a b ) = v o l 2 a x v o l 2 b = 3 6 3 0 = 1 0 8 0 2 3 矩阵体积与矩阵广义逆 l a x a 一月 定义2 3 1 【2 鲫设能n 厂 0 ，满足方程组 甾二：的解，称为的彳的 【( 黝) ft x a m o o r e p e n r o s e 广义逆，记作a + 由参考文献 4 知，该矩阵方程组一定有解，且解是唯一的 设彳的奇异值分解为彳一u ( 吾：) 旷，其中u 尺一_ ，y 尺脚是正交矩阵， 一d i a g ( 0 1 ，o r ) ，其中吼u 、2 芑三q o 为4 的非零奇异值，i t a 的唯一广义逆为 小y 隋妒蝴劬：删叫i 1 妒扣= 而1 舭椰 的定理： 定理2 3 2 设彳尺，埘， 0 ，a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆为a + ，则有v o l a + v o l a ；1 9 、lli-ili， 2 4 1 0 0 1 1 2 1 ：c-q乙 = ：， 肚 嘶 乳 m 福建师范大学陈荣群硕士学位论文 第3 章矩阵体积与矩阵初等变换 初等变换是矩阵论中一个基本的工具，它在求可逆矩阵、线性方程组的解、矩阵的 秩等方面起着很大的作用，那么矩阵的体积在矩阵初等变换下有何变化呢? 3 1 矩阵体积与互换变换 定理3 1 1砌a r m 期， 0 ，则互换a 的任意两行( 或者任意两列) 后得到的 矩翰( f ，j ) 的体积射的体积相等( 即互换变换不改变矩阵的体积) 证明只证行的相关性质，列的性质同理可证 设彳；c d ( c e 彤x r ，d e 群”为a 的任意一个满秩分解) p ( i ，j ) 一 1 0 1 1 o 1 ( 即将单位矩阵的第f 行和鳓行交换得到的矩阵) ， 贝归g ，j ) 一尸g ，j m 一，j ) c ) d ，尸o ，j ) c 表示将列满秩矩阵c 的第f 行和鳓行互 换，因此仍然有p g ，歹) c 彤”，即p ( i ，j ) c 仍是列满秩矩阵，于是由性质1 1 3 可得 v o l ( p ( i ，j ) c ) 一4 d e t ( p ( i ，j ) c ) r ( 尸( f ，j ) c ) ，因茭j p ( i ，j ) r ；p ( f ，) ，尸( f ，j ) p ( i ，j ) 一，所以 v d ，( 尸o ，) c ) 一d e t ( p ( i ，_ ) c ) 2 ( p o ，j f ) c ) 一、d e tc 2 ( 尸o ，j ) p ( i ，j ) ) c ) = d e tc 1c l v o l c ， 由性质1 1 2 知a 2 , a ( i ，j f ) 一；( p ( f ，j ) a ) = ；( p o ，j ，一，一2 _ a ，2 一，2 d - 证毕 3 2 矩阵体积与倍法变换 定理3 2 1狮尺，煳， 0 ，则将a 的第i 行( 或者第i 列) 乘以一个非零常数k 后 所得到的矩阵彳似) 的体积与a 的体积如下： ( i ) 若si ，则加阴 ) v o l a ；( 2 ) 若 l ，贝j j v o l a ( k ) 苫v o m 证明只证行的相关性质，列的性质同理可证 ；( 舻。，不如p 如。以墨姒2 + 。如囊诎2 钆 脚卿1 2 v , 毳v 她2 + 仍蠢诎2 钆 ( 其中，i ，分别代表指标中含有第i 行和不含有第i 行) ，比较两式可得结论成立 1 0 卜 茎：兰丝堕堡墼兰丝堕望量奎垫 3 3 矩阵体积与消法变换 设p ( j ，f ) ) 一 1 以七后加到鳓行的到的矩阵) ( e ( j ，f ) ) 表示将单位矩阵的第i 行乘 定理3 3 1 锄秽期，其中彳一( q ，a 2 ，4 。) r ，记彳7 ) ；a ( j ，f ) ) 。p ( j ，f ) 冲， v o l a7 ) 2 v o l a ； 圆气吨羡掣( d e t 2 佣仨 j s 止一 0 ( 即4 是行满秩矩阵) ，p e r 是一个正交矩阵，则 v o l aa v o l ( a p ) 、 证明由题设知，彳r 是列满秩矩阵，由性质1 1 5 以及引理4 1 2 可得： v o l a v o m r ；阳z ( ，彳r ) 一阳玎彳r ) r 】；v o l ( a p ) 证毕 定理4 1 4 设a e 趟m ，r 0 ，p 尺历删是一个正交矩阵，则v o l a = v o t ( e a ) 证明设a c d ( c e 秽l i d 9 d e 群埘为a 的一个满秩分解) ，则p a = ( p c ) d 为黝的 一个满秩分解于是a ；( p a ) 一a 2 , ( p c ) a 2 ( d ) = 八2 。，2 上，广，2 研) 证毕 定理4 1 5 设a e 衅柳，r 0 ，p e r 一期，且p 是一个正交矩阵，则v o l a v o l ( a p ) 证明同定理4 1 4 注：定理4 1 4 和定理4 1 5 表明对任意矩阵左乘或者右乘一个正交矩阵不改变矩 阵的体积 推论4 1 6 正交相似的两个矩阵的体积相等 证明由定理4 1 4 和定理4 1 5 即得 推论4 1 7 对于实对称矩阵，其体积等于其所有非零特征值的绝对值的积 推论4 1 8 设ae 群m 的对称矩阵，其特征多项式 l a ，一彳i = 4 ( a ) = a “+ 口l a 4 - 1 + 口2 a 4 2 + + 口。一t a “一+ 口。1 z + a 。，贝, u v o a ；l - ，i 证明 因为4 群期的对称矩阵，所以存在正交矩阵尸使 户尸。 0 0 其中丑，九，0 为a 的的非零特征值，由性质 1 1 4 得，加“2 珥九，( r ；1 ，2 ，力) a ，九，乃是特征多项式的非零根，由韦达定理得 1 4 第4 章矩阵体积与矩阵标准型 一r = ( 一1 ) 九一，i 故v o m ；1 一，1 例1a = 12 23 34 45 34 45 56 67 ，b = 14 5 4 i 生 22 47 熊鱼 22 堑一1 1 - 4 7 2 8 22 鱼亚 1 22 解因为存在正交矩阵p ； luuu oo 亚一生 oo 鱼鱼 zz n100 1 o 证毕 ，判断v o l a 与v o l b 的关系 ，p 一 p a p b ，所以a 与b 正交相似，由推论4 1 6 得v o i a = v o i b 例2 彳； 12 23 34 4 5 34 45 5 6 67 ，求v o i a 解因为a 为实对称阵，l a i - a l ； a 一1234 2a 一347 - 5 3 4a 一56 - 4_ 56a 一7 00 o1 鱼o 2 鱼o 2 = a 4 1 6 a , 3 + 2 0 a 2 ， _ 且r a n k a = 2 ，所以彳有2 个非零的特征值 ，九，由推论4 1 8v o i a = l a ：i = 2 0 使得 4 2 相似的两个矩阵的体积关系 定义4 2 1 设a ，b e f 删，若存在可逆方阵t e f ，使等式b = z 1 a t 成立，那么称 矩阵b 与矩阵a 相似，记作a b 性质4 2 2 设a e 群m ，b e 彤埘，若存在可逆方阵p e r 月埘使得b = f a p ，则阳阴与 v o i b 不一定相等 m 彳= 一( 言- 2 2 。2 ) ，判断阳阴与加旧的烁 解因为存在可逆矩