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功能梯度压电材料矩形板热电机械耦合三维分析 摘要 近年来，功能梯度压电( f g p m ) 结构力学行为的研究得到了很大的发展。 本文利用状态变量法，对四边简支的横观各向同性功能梯度压电矩形板的热 电机械耦合进行三维分析。 从横观各向同性压电热弹性理论出发，通过利用两个的位移函数和两个应 力函数，对原有的位移和应力进行替换，构造了两类相互独立的状态空间方程， 使原方程解耦成两个低阶方程，从而推导出四边简支的功能梯度热电板的状态 方程及传递矩阵。由于功能梯度压电材料( f g p m ) 的不均匀性，使得状态方 程具有变系数的特性，为此文中引入层合模型进行分层近似处理，获得了四边 简支横观各向同性功能梯度压电矩形板，在上下表面作用任意的机械荷载、电 荷载和热荷载情况下的解析解。科用m a t h c m a t i c a 软件编制了相应的计算程序， 给出算例，计算结果与已有文献的计算结果相吻合。 假定功能梯度热电材料的机械、电学和热学等物性参数沿着厚度方向，按 照幂函数、e 指数函数及正弦函数三种梯度模型分布，讨论了不同的梯度模型 分布对功能梯度热电板场变量的影响；同时探讨了不同的长宽比及板厚对功能 梯度热电材料热电机械荷载作用下的场变量变化情况。 由于状态方程直接从弹性力学基本方程导得，没有引入任何有关应力和位 移的假定，因此所得结果可以作为其它各种简化理论和数值方法的检验标准。 通过分析发现，改变f g p m 的不均匀程度，可以明显改变f g p m 结构的静力响 应。因此工程设计中可以通过调整f g p m 的梯度指标( 反映f g p m 材料常数分 布情况的量) ，达到设计目的。 关键词：功能梯度压电材料，梯度模型，物性参数，状态变量法，m a t h e m a t i c a 4 t h r e ed i m e n s i o n a la n a l y s i so ft h e r o - m e e h a n i c a l - e l e c t r i c b e h a v i o u ro f f u n c t i o n a l l yg r a d i e n tp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a lr e c t a n g u l a rp l a t e a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo nt h eb e h a v i o ro fs t r u c t u r a lm e c h a n i c so ff u n c t i o n a l g r a d e dp i e z om a t e r i a l ( f g p m ) i sd e v e l o p e dg r e a t l y i nt h i sp a p e r ，w ee m p l o yt h e s t a t ev a r i a b l em e t h o df o rt h r e e d i m e n s i o na n a l y s i so faf u n c t i o n a l l yg r a d i e n tp i e z o m a t e r i a lp l a t et h a ti ss i m p l ys u p p o r t e da l o n gi t sf o u re d g e s b yi n t r o d u c i n gt w od i s p l a c e m e n tf u n c t i o n sa n dt w os t r e s s f u n c t i o n sa n d r e p l a c et h ef o r m e rd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s s ，t w oi n d e p e n d e n ts t a t ee q u a t i o n sa r e c o n s t r u c t e db a s e do nt h et h r e e - d i m e n s i o n a lp i e z o e l a s t i c i t ye q u a t i o n sf o rt r a n s v e r s e i s o t r o p y t h eo r i g i n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r et h u sd e c o u p l e dw i t ht h eo r d e r r e d u c e dt h a tw i l li n d u c et h es t a t ee q u a t i o n sa n dt r a n s m i s s i o nm a t r i xo ff u n c t i o n a l l y g r a d i e n tt h e r m o e l e c t r i c i t yp l a t et h a ti ss i m p l ys u p p o r t e da l o n gi t sf o u re d g e s d u e t ot h ei n h o m o g e n e i t yo ff u n c t i o n a l l yg r a d i e n tp i e z om a t e r i a l ( f c p m ) ，t h es t a t e e q u a t i o nh a st h ep h y s i c a lp e r f o r m a n c e ，w h i c hw i l li n d u c et h el a m i n a t em o d e lf o r l a m i n a t ea p p r o x i m a t i o ni nt h i sp a p e ra n do b t a i nt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n so fs i m p l y s u p p o r t e dt r a n s v e r s ei s o t r o p i ef u n c t i o n a l l yg r a d i e n tp i e z o e l e c t r i cr e c t a n g u l a rp l a t e u n d e ra r b i t r a r ym e c h a n i c a l ，e l e c t r i ca n dt h e r m a ll o a d i n go nt h et o pa n db o t t o m s u r f a c e s t h em a t h e m a t i c as o f t w a r ei su s e dt oc o m p i l et h er e l e v a n tc a l c u l a t i o n p r o g r a m sa n dt h ee x a m p l e sa r eg i v e n ，t h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa r es a m ew i t ht h a t g i v e n i nt h ef o r m e rl i t e r a t u r e ， a s s u m i n gt h a tt h ep r o p e r t i e so fm a t e r i a l s ，s u c ha st h em e c h a n i c s ，e l e t r o l o g y , t h e r m o l o g yh a v et h r e ed i f f e r e n tg r a d i e n tm o d e l sw h i c ha r ep o l y n o m i a lf u n c t i o n ， e x p o n e n tf u n c t i o na n ds i n u s o i d a lf u n c t i o nr e s p e c t i v e l y , b a s e do nt h et h e o r i e so f t h r e ed i m e n s i o n a le l a s t i c i t ya n dp i e z o e l e c t r i c i t ye q u a t i o n s ，d i s c u s st h ee f f e c to f d i f f e r e n t i a lg r a d i e n tm o d e ld i s t r i b u t i o no nt h ef i e l dv a r i a b l e so f f u n c t i o n a l g r a d i e n tp i e z op l a t e ；m e a n w h i l e ，d i s c u s st h ee f f e c to fd i f f e r e n t i a ll e n g t hb r e a d t h r a t i oa n dp l a t et h i c ko nt h ef i e l dv a r i a b l e sc h a n g eu n d e rt h et h e r m a l ，e l e c t r i ca n d m e c h a n i c a ll o a d i n go ff u n c t i o n a l l yg r a d i e n tp i e z op l a t e 5 s i n c en oa s s u m p t i o n c o n c e r n i n gw i t h t h es t r e s sa n dd i s p l a c e m e n ta r e i n t r o d u c e dd u et ot h es t a t ef o r m u l a t i o ni n t r o d u c e dd i r e c t l yf r o me l a s t i cm e c h a n i c s t h ep r e s e n tr e s u l t sc a ns e r v e sa sb e n c h m a r k sf o rc l a r i f y i n gt h er e l i a b i l i t yo fv a r i o u s a p p r o x i m a t et h e o r i e so rn u m e r i c a lm e t h o d s w ef i n dt h a tc h a n g ei n h o m o g e n e i t yo f f g p mw i l la f f e c tt h es t a t i cr e s p o n s eo ff g p ms t r u c t u r e se f f e c t i v e l y , s oi nt h e e n g i n e e r i n gd e s i g n ，w ea l w a y sc h a n g et h eg r a d i e n ti n d e x ( t h eq u a n t i t yr e f l e c tt h e d i s t r i b u t i o ns i t u a t i o no ff g p mm a t e r i a lc o n s t a n t ) t om e e tt h ed e s i g np u r p o s e k e y w o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ，g r a d i e n tm o d e l ，m i c r o s t r u c t u r a lp a r a m e t e r ，s t a t ev e c t o rm e t h o d ，m a t h e m a t i c a 6 表格清单 表lp z t - 4 的材料常数2 4 表7 机械荷载作用计算结果比较3 4 表3 电荷载作用计算结果比较3 7 表4 均布机械荷载作用3 8 表5 均布电荷载作用3 8 表6p z t - 4 和c d s e 的材料常数5 0 1 0 插图清单 图1 1金属陶瓷构成的材料特性3 图1 2f g m 设计流程图3 图2 1 功能梯度压电材料矩形板示意图8 图3 。1 程序流程图，。8 图3 2 前处理程序流程图8 图3 3 后处理程序流程图8 图3 4 主程序流程图9 图3 5 算例计算模型2 4 图3 6c 1 ，随板深的变化趋势图( g p a ) 2 4 图3 7 底层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 8 底层h ，随层数n 的变化趋势2 6 图3 9 中间层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 0 中间层t 。随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 1 顶层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 2 顶层t x v 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 3 底层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 4 底层f 。，随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 5 中间层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 6 中间层f x ，随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 7 顶层u z 随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 8 顶层t 。，随层数n 的变化趋势2 6 图3 1 9 以随板深的变化趋势图( 1 0 1 m ) 2 8 图3 2 0 以随板深的变化趋势图( 1 0 m ) 2 8 图3 2 1 以随板深的变化趋势图( 1 0 1 m ) 2 8 图3 2 2 盯，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 2 8 图3 2 3 舐随板深的变化趋势图( i 、i m 2 ) 2 8 图3 2 4t 随板深的变化趋势图( n m 2 ) 2 8 图3 2 5f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 2 9 图3 2 6f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 2 9 图3 2 7f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) ，2 9 图3 2 8d 随板深的变化趋势图( 1 0 。9 c m 2 ) 2 9 图3 2 9d 。随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 2 9 图3 3 0d 随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 2 9 图3 3 l 西随板深的变化趋势图( v ) ，3 0 图3 3 2 以随板深的变化趋势图( 1 0 。n 1 ) 3 1 图3 3 3 以随板深的变化趋势图( 1 0 m ) 3 1 图3 _ 3 4 以随板深的变化趋势图( 1 0 m ) 3 1 图3 3 5 盯，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 l 图3 3 6 盯。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 1 图3 3 7 盯随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 1 图3 3 8r 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 2 图3 3 9r 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 2 图3 4 0f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 2 图3 4 1d 随板深的变化趋势图( 1 0 。c m 2 ) 3 2 图3 4 2d ，随板深的变化趋势图( 1 0 1 c 2 ) 3 2 图3 4 3d ，随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 3 2 图3 4 4 妒随板深的变化趋势图( v ) 3 3 图3 4 5 以随板深的变化趋势图( 1 0 ) 3 5 图3 4 6 毋随板深的变化趋势图( 1 0 。m ) 。3 5 图3 4 7 以随板深的变化趋势图( 1 0 一) 3 5 图3 4 8 口，随板深的变化趋势图( n r e ) 3 6 图3 4 9 吼随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 6 图3 5 0 以随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 6 图3 5 lf 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 6 图3 5 2f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 3 6 图3 5 3g , - 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9 c m 2 ) 4 5 图3 9 3 妒随板深的变化趋势图( v ) 4 5 图3 9 4 ，随板深的变化趋势图( k ) 4 5 图3 9 5 以随板深的变化趋势图( i 0 1 m ) 4 6 图3 9 6 以随板深的变化趋势图( 1 0 “m ) 4 6 图3 9 7 以随板深的变化趋势图( 1 0 。1 1 1 ) 4 6 图3 9 8 盯，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 6 图3 9 9 盯。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 6 图3 1 0 0 仃，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 6 图3 1 0 1 f 。，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 7 图3 1 0 2 f 一随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 7 图3 1 0 3 f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 4 7 图3 1 0 4 d ，随板深的变化趋势图( 1 0 - 9 c m 2 ) 4 7 图3 1 0 5 d ，随板深的变化趋势图( 1 0 4 c m 2 ) 4 7 图3 1 0 6 口随板深的变化趋势图( 1 0 。c m 2 ) 4 7 图3 1 0 7 毋随板深的变化趋势图( v ) ，4 8 图3 1 0 8 7 随板深的变化趋势图( k ) 4 8 图4 1 上下层面物参已知的f g p m 板结构示意图4 7 图4 2 幂指数模型c 1 1 随厚度的变化4 7 图4 3e 指数模型c 1 l 随厚度的变化4 8 图4 4 正弦函数模型c 1 l 随厚度的变化4 8 图4 5 以随板深的变化趋势图( 1 0 一) 5 2 图4 6 改随板深的交化趋势图( 1 0 m ) 5 2 图4 7 仃，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 8 以随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 9f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 3 图4 1 0k 随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 3 图4 1 1d 随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 5 3 图4 1 2d ，随板深的变化趋势图( 1 0 4 c m 2 ) 5 3 图4 1 3 西随板深的变化趋势图( v ) ，5 3 图4 1 4 以随板深的变化趋势图( 1 0 1 m ) 5 5 图4 1 5 级随板深的变化趋势图( 1 0 1 m ) 5 5 图4 1 6 仃，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 5 图4 1 7 以随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 5 图4 1 8f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 5 图4 1 9f 一随板深的变化趋势图( n m 2 ) 。5 5 图4 2 0d ，随板深的变化趋势图( 1 0 “c m 2 ) 5 6 图4 2 1 口随板深的变化趋势图( 1 0 - c m 2 ) 5 6 图4 2 2 毋随板深的变化趋势图( v ) 5 6 图4 2 3 绣随扳深的变化趋势图( 1 0 ) 5 7 图4 2 4 以随板深的变化趋势图( 1 0 4 m ) 5 7 图4 2 5 盯，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 7 图4 2 6 正随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 7 图4 2 7f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 7 图4 2 8 f 一随板深的变化趋势图( n m 2 ) 5 7 图4 2 9d ，随板深的变化趋势图( 1 0 “c m 2 ) 5 8 图4 3 0d 随扳深的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 。5 8 图4 3 l 庐随板深的变化趋势图( v ) ，5 8 1 4 图4 3 2 ，随板深的变化趋势图( k ) 5 8 图4 3 3 中间层u z 随k 的变化趋势5 9 图4 3 4 顶层u z 随k 的变化趋势5 9 图4 3 5 中间层以随k 的变化趋势5 9 图4 3 6 顶层以随k 的变化趋势5 9 图4 3 7 中间层k ，随k 的变化趋势5 9 图4 3 8 顶层h ，随k 的变化趋势5 9 图4 3 9 以随板深的变化趋势图( 1 0 。m ) 6 0 图4 4 0 以随板深的变化趋势图( 1 0 m ) 6 0 图4 4 1 盯随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 0 图4 4 2 以随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 0 图4 4 3f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 1 图4 4 4 乞随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 1 图4 4 5d 随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 6 1 图4 4 6d 随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 6 1 图4 4 7 妒随板深的变化趋势图( v ) 6 l 图4 4 8 以随板深的变化趋势图( 1 0 1 m ) 6 2 图4 4 9 以随板深的变化趋势图( 1 0 - g i n ) 6 2 图4 5 0 庐随板深的变化趋势图( v ) 6 2 图4 5 1 盯，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 3 图4 5 2 以随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 3 图4 5 3f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 3 图4 5 4f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 3 图4 5 5d 随板深的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 6 3 图4 5 6n 随板深的变化趋势图( 1 0 1 c m 2 ) 6 3 图4 5 7 以随板深的变化趋势图( 1 0 9 m ) 6 5 图4 5 8 以随板深的变化趋势图( 1 0 。9 m ) 6 5 图4 5 9 仃，随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 5 图4 6 0t 随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 5 图4 6 lf 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 5 图4 6 2f 。随板深的变化趋势图( n m 2 ) 6 5 图4 6 3d ，随板深的变化趋势图( 1 0 。9 c m 2 ) 6 6 图4 6 4n 随板深的变化趋势图( 1 0 - 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2 1 6 4 ) ， 国家自然科学基金委员会也大力资助f g m 项目( 5 0 1 7 5 0 5 7 ) p 】，1 9 9 0 年在日本 召开了第一届功能梯度材料国际研讨会，之后成为系列国际会议，每隔两年召 开一次，迄今己举办了八届。2 0 0 2 第七届国际会议年在我国北京召开，由清华 大学材料系承办。与此同时f g m 集功能与结构于一体，具有良好的耐热性能、 抗热冲击性能、抗热疲劳性能和较高的强度，因此它代表着超高温材料发展的 一个重要方向0 3 1 1 j 【l5 1 。现在人们发现在电子、化学、核能、光学、声学、生 物医学等技术领域，f g m 都有十分广阔的应用前景【l “。据日本的调查，工业 中可以利用f g m 提高性能的有2 0 0 处之多1 1 6 j 。最近，m a a l e jc ( 2 0 0 3 ) 【l 甚至 将f g m 概念引入混凝土梁，用一种工程用粘合剂( e c c ) 替换梁主弯区的混凝土， 制成功能梯度混凝土梁( f g c b ) ，实验发现这样的梁具有很好的抗腐蚀性。 目前f g m 的制备方法主要有粉末冶金法、等离子喷涂法、化学气相沉积 法( c v d ) ，物理气相沉积法( p v d ) 、电沉积法、激光熔覆法和自蔓延高温合成法 ( s h s ) s l l 9 1 ，前几种方法只能制造梯度涂层，只有s h s 法可以制作f g m 整体大 型结构件【l o 】。关于f g m 制备方法更详细的介绍，可以参见文 1 1 1 2 】。功能梯 度复合材料的出现首先是高新技术发展的需要，而材料制造技术的进步及计算 机科学的发展又反过来推动了功能梯度材料的研制和发展。 总之，f g m 是具有使用功能性、适应环境性和可控性的先进材料，具有传 统复合材料无法比拟的诸多优点，是2 1 世纪材料科学的研究方向。为使功能梯 度材料能在我国得到推广应用，并创造出具有自主知识产权的成果，非常需要 对其基础理论进行细致深入的研究。在土木工程领域，十多年前复合材料的应 用还不是很多，但随着制造成本的降低，目前大量的复合材料已得到应用，因 此尽管f g m 目前在土木中应用很少，但可以预见，在不久的将来会有很好的 应用。 1 1 1 功能梯度材料的组成特点 从材料的组成方式看，功能梯度材料可分为金属陶瓷、金属非金属、陶 瓷陶瓷、陶瓷非金属和非金属塑料等多种结合方式。从组成变化看，功能梯 度材料可分为；功能梯度整体型( 组成从一侧到另一侧呈梯度渐变的结构材料) ， 功能梯度涂覆型( 在基体材料上形成组成渐变的涂层) 和功能梯度连接型( 粘结 两个基体间的接缝里梯度变化) 【”】。因在制备过程中，选取了两种或几种不同 性质的材料，连续地控制材料的微观组成、结构和空隙形态与结合方式，使界 面的成分和组织呈连续性变化，因而材料内部热应力得以大大缓和，如图1 1 所示，对高温侧壁采用耐热性好的陶瓷材料，低温侧壁使用导热和强度好的金 属材料。在金属与陶瓷中间的梯度过渡层里，其耐热性能、机械性能等呈连续 变化，热应力在材料两端均很小，使其成为可在高温环境下应用的新型耐热材 料。图1 2 所示为f g m 设计流程图，从中可以看出，材料组分的选择是后阶段 设计及制备的基础，组分设计的好坏关系梯度材料的最终实现。 2 图1 1 金属陶瓷构成的材料特性 1 1 2 功