（基础数学专业论文）几个非线性发展方程的精确解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要围绕非线性发展方程精确解的求解进行了深入的研究与 探讨，重点对r i c c a t i 方程法进行了改进和简化，丰富和发展了已有的 结果。主要工作包括以下几方面内容： 首先，介绍了研究工作的历史、现状以及与本文相关的一些基本 概念，给出了非线性方程的几种重要求解方法。 其次，使用理论计算和数值分析相结合的方法来研究一类耦合波 动方程，利用变换将耦合方程转化为常微分方程，然后用直接代入法得 到方程的p e a k o n 解，并用拟设法求出方程的c o m p a c t o n 解、k i n k c o m p a c t o n 解及孤立波模型解，同时应用数学软件绘出了解的图像。 最后，将传统的r i c c a t i 方程方法进行了改进，并应用该方法研究 带强迫项变系数b u r g e r s f i s h e r 方程、变系数( 2 + 1 ) 维色散长波方程 和d a v e y s t e w a r s t o ni 方程的精确解。除了得到已有结果外，还发现了 许多有意义的新解。这一方法完全包含传统的结果，且方程简单，解 组丰富，适应性更强，对于发现新的孤立子、研究孤子方程的长期动 力学行为和揭示孤子的结构具有重要的意义。 关键词：非线性发展方程，色散长波方程，精确解，拟设法， r i c c a t i 方程方法 江苏大学硕士学位论文 t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nf i n d i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a r e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s w ea m e l i o r a t et h er i c c a t ie q u a t i o n sm e t h o d ，w h i c h s i m p l i e da n de n r i c h e dt h er e s u l tw eh a v ek n o w n t h em a i nc o n t e n ti s d e p i c t e d a sf o l l o w s ： f i r s t l y , w es t u d yt h eh i s t o r y , c u r r e n ts i t u a t i o no fo u rr e s e a r c ha n d s o m ep r i m a r yc o n c e p t i o nr e l a t et ot h i sp a p e r , g i v et h ed e f i n i t i o no fs o l i t o n s ， a tt h es a m et i m e ，t h em e t h o do ff i n d i n ge x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a r e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n sa r ep r e s e n t e da n df i g u r e so fs o l u t i o n sa r ep r o v i d e d s e c o n d l y , ac o u p l e dn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o ni ss t u d i e d ，w eo b t a i n p e a k o ns o l u t i o n sb yd i r e c tm e t h o da n dc o m p a c t o ns o l u t i o n s ，k i n k c o m p a c t o n s o l u t i o n sa n ds o l i t a r ys o l u t i o n sb ya n s a t z sm e t h o d f i n a l l y , w ea m e l i o r a t et h er i c c a t ie q u a t i o n sm e t h o d ，a n du s et h i s m e t h o dt or e s e a r c ht h ee x a c ts o l u t i o n so ft h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t b u r g e r s - f i s h e re q u a t i o n 丽t hf o r c e dt e r m ，( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v e l o n gw a v ee q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dd a v e y - s t e w a r t s o ni e q u a t i o n w eo b t a i nal o to fn e ws i g n i f i c a t i v es o l u t i o n se x c e p tm a n y s o l u t i o n sw h i c hw eh a v ek n o w n t h em e t h o dh a sa c t i v em e a n i n gf o ru st o f i n dn e ws o l i t o n sa n dr e s e a r c ht h e l o n gt i m ed y n a m i cb e h a v i o r a n d s t r u c t u r eo fs o l i t o n s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n s ，a n s a t z sm e t h o d ， d i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n s ，l 硇卜- p e r i o d i c a ls o l u t i o n s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密跳 学位论文作者签名：物蝴 功一年l 上月f 歹日 指导教师签名： 砌 ， ， 动0 7 年仁月心日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：物广娟 日期： 砷年j 2 月l j 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 非线性科学是- - i - j 研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科。它 几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并且正在改变着人们对现实社会的 传统看法，被誉为2 0 世纪自然科学的“第三次革命 。 孤立子的研究涉及等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理等倍受重视的领域， 所以非线性发展方程的求解已成为广大物理学、力学、地球科学、生命科学、应 用数学、和工程技术工作者研究的一个重要课题。多年来，许多数学家、物理学 家为此做了大量的工作。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状及本文 的研究工作。 1 1 研究背景 孤立子在1 8 3 4 年由r u s s e l l 发现，他认为这种奇怪的水波是流体力学中的一 个稳定解，并称之为孤立波。但由于r u s s e l l 未能建立合理描述孤立波的模型，因 此他的学说未能使物理学家们信服他的论断。在此以后有关孤立波的问题引起了 广泛的争论。1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学k o r t e w e g 教授和他的学生d ev r i e s 在 小振幅与长波假设下，从流体动力学中导出了单向运动的浅水波方程： 鲁= 3 2 、f 匡，l 矿, 2 17 7 2 + 尹2+ 三仃等) ，这里刁为波峰高度，z 为水深，g 为重力力玎 速度，口是与液体均匀运动有关的常数，仃是由仃：1 1 3 - - r 1 定义的常数，z 是毛 j p g 细管现象的表面张力，p 是液体的密度。由变换：广= 三告，= 一砉， 甜= 云1 ，7 + ；1 口，同时省去撇号即可得著名的k ( 1 v 方程：+ 缸蚝一0 。在波长 趋于无限的情况下，该方程的一个解：u l ( x , t ) = s e e h 2 ( 孚 一c t ) ) 后人称l 1 0 ，d 为 钟型孤立子解。正是r u s s e l l 所发现的孤立波，k d v 方程的提出，从理论上阐明了 孤立波的存在，从而为这场争论画上了圆满的句号。 江苏大学硕士学位论文 1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a ，u 1 a m ( f p u ) 将6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线 性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换。初始时， 这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，其他6 3 个质点的初始能量为零。按 照经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现。 即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡状态向平衡状态的过渡，但 实际计算的结果却与经典理论背道而驰。实际上，经过相当长时间之后，能量似 乎又回到了原来的初始分布，这就是著名的f p u 问题。由于f p u 问题是在频域空 间考察的，未能发现孤波解，因此该问题未能得到正确的解释。后来，人们发现 可以把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，这恰好是f e r m i 研究的情况。t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到了孤波解，使f p u 问题得到正确的解答，从 而迸一步激发起人们对孤立波的研究兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行数 值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s a l 详细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，进一步证实了孤立波在 碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并把它命名为孤立子( s o l i t o n ) ，它是指一大 类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有相应的物理现象。它的 性质具体为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象。 从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。1 9 7 3 年，电子和光学界普及了 孤子理论，同年h a a e g a w at a p p e r t 预言光纤孤子的存在性。1 9 7 5 年，k m m h a n s l s c h i e f f e r 开始研究孤波的统计力学。 孤立波早期研究大都局限在单一的学科里，现在由于有许多重大的应用问题， 逐渐形成多学科的研究。在1 9 5 0 年以前，孤立子的研究大都集中在理论探讨，例 如建立k d v 方程，提出逆散射方法并将它推广应用于非线性薛定谔方程和 s i n e g o r d o n 方程的求解，这些研究对发展孤立子理论至关重要。但当发现理论研 究在技术上有重大应用前景时，生产和技术的需要更能推动理论发展。当今孤立 子的发展已由前期的理论研究进展到实际应用。 在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代，当时杨振宁、李政道、 陈省身等教授回国讲学时，向国内同行介绍孤立子理论的研究进展，并指出它的 重要性。随后在中国科学院和国内部分高校相继开展了这方面的研究工作。1 9 8 0 2 江苏大学硕士学位论文 年在厦门、1 9 8 6 年在上海分别召开了专题讨论会，推动了孤立子理论的研究活动。 关于孤立子的著作可参见文献【1 】【7 】。 1 2 研究现状 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，其研究内容和研究 方法非常丰富。近年来，国内外学者对孤立子理论的多个方面进行了大量的研究， 并取得许多进展。 目前对孤立子还没有一个确切的定义，数学中将孤立子理解为非线性发展方 程的特殊行波解，它在空间的无穷远处趋于零或确定常数。换言之，孤立子指的 是稳定的孤立波，从数学的观点来看，具有下列两类性质的特殊解称为孤立子解： ( 1 ) 能量有限，且分布在有限的空间范围内； ( 2 ) 弹性碰撞，即在碰撞后能恢复到原来的波形和速度。 但是，从物理学的观点看，一般认为，具有性质( 1 ) 的特殊解就可以称为孤 立子。以粒子物理学中的孤立子问题来说明这一点是最清楚的。在粒子物理学中， 将孤立子看成是量子场的激发态。微观系统中的能量状态是分立的，人们所关注 的是碰撞前后处于什么量子态，而不是波形是否改变。又例如在单模光纤中的亮 孤立子，其中高阶孤立子的波形在传播过程中会产生周期性的变化，对于这些波 形在传播过程中有明显变化的孤立子，在物理学上仍然称为孤立子。 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及与之相 应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上描述可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作 用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。因 此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来， 人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭 小的区域的静态解有时也称为孤立子。 孤立子理论的首要问题是孤立子是如何形成的? 事实上，通过研究具有孤子 3 江苏大学硕士学位论文 解的非线性方程我们可以发现，这些方程都可表示成： 运动项+ 色散项+ 非线性项= 0 或 运动项+ 色散项+ 非线性项+ 耗散项= 0 其中的运动项主要包括了状态矢量随时间的变化，这是物质始终处于运动状态的 具体体现，没有必要去深入研究它，但色散项和非线性项具有重要作用。现在一 般认为孤立子之所以产生，归根结底就是由于色散效应和非线性作用相互影响和 相互平衡造成的。 孤立子理论的产生和发展为非线性发展方程提供了求解的方法，如p a i n l c v c 截断展开法【1 1 、c k 直接法【2 】、l i e 群法【3 1 、t a u h 函数法 4 - 5 1 、推广的t a n h 函数法【6 】、 三角函数法 7 1 、j a c o b i 椭圆函数法网、齐次平衡法 9 1 、a d o m i a nd e c o m p o s i t i o n 法【1 0 1 、 f - 展开法【1 1 1 、r i c c a t i 方程法【1 各1 9 1 、反散射方澍刎、b a c k l u n d 变换法【2 1 1 、h i r o t a 双线性函数法1 2 2 1 、d a r b o x 变换法吲、小参数法、变分法、不变量法、各种微扰法 以及其它各种形式的拟设法等。这些方法可以归为三大类：( 1 ) 直接拟设法，( 2 ) 间接拟设法，后者又分为借助约束方程和借助算子两种，( 3 ) 分离变量法。 对于( 2 + 1 ) 维非线性发展方程，1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种 非线性方程的直接的变量分离法。随后，楼森岳教授用另一种更有效的变量分离 法得到了许多( 2 + 1 ) 维非线性发展方程的精确解。拓展h i r o t a 双线性法、标准截 断展开法，符号计算法也是求解( 2 + 1 ) 维非线性发展方程的有效方法。陈勇等用 推广的扩展双曲正切函数法来求( 2 + 1 ) 维非线性发展方程的精确解。将高维方程 通过变换转化为低维情形来求解，将耦合方程转化为单个方程来求解等方法也是 求解( 2 + 1 ) 维非线性发展方程( 组) 的很好的思路。 虽然到目前为止人们已掌握了大量寻求非线性方程精确解的方法，但求得精 确解的那些方程对于大量的非线性方程来说还是很少的，而且求解方法也是有限 的。所以，更多的非线性方程只能求得近似解或确定解的渐近行为。因而也就出 现了各种求近似解的摄动方法和求相似解的约化方法。摄动法的第一步是在方程 中引进无量纲的小参数s ( o g 1 ) ；第二步是将方程的解展开为小参数s 的幂级 数，从而可以依次求得方程的各级近似解；第三步是分析摄动级数的收敛性。按 照收敛和不收敛( 通常在解的表达式中存在与t , t 2 ，成正比的永久项) 两种情况又 把摄动方法分为正规摄动法和奇异摄动法。奇异摄动法通常又包含：多尺度法、 4 江苏大学硕士学位论文 p o i n c a r e u g h t h i u k u o 法、平均值法、k i t l o v - b o g o l i u b o v - m i t r o p o l s k i 法、约化摄动 法、幂级数展开法。相似解也称群不变解，是在l i e 群变换之下的不变解，是方程 的一种特殊的精确解。通常一个非线性偏微分方程可以通过相似变换约化为一个 常微分方程。而且，如果这样的常微分方程具有p a i n l e v e 性质，那么这个非线性 偏微分方程通常是可积的，至少应能通过相似变换求出渐近解。求相似解有四种 约化方法：( 1 ) 经典的l i e 群法，( 2 ) w t c 法，( 3 ) 齐次平衡法，( 4 ) c k 直接 法。其中后三种方法之间存在着密切的联系。 总之，非线性方程求解方法各式各样，目前尚无一本专著能够论述所有方法。 孤立子的研究不断推动着非线性方程求解方法与技巧的发展，新的方法还在不断 涌现。新方法是对传统方法的修正和发展，构造更加精巧，适用范围更加广泛， 能获得的解更多。 在孤立子的类型上也由传统的拓扑型孤立子和非拓扑型孤立子进一步细分为 多种类型。近来发现了两类特殊的孤立波解即c o m p a c t o n 解和p c a k o n 解。 1 9 9 3 年，以色列的r o s e n a u 和美国的h y m a n 2 2 1 为了研究流体液滴变化规 律模型k ( m ，m 在形成过程中非线性色散项的作用，研究了充分非线性k d v 方程 k ( m ，n ) 一 珥+ “) 善+ “) 。一0 ， 得到了一种紧的行波解( 即c o m p a c t o n 解，在有限区间外为零的局部行波解，它 的振幅随速度增加而增加，但它的波宽与速度没有关系，保持不变) ，这种解在有 限区间外为0 ，是一种比孤立波还要强的局部行波解且具有类似孤立波的性质：碰 撞前后保持波形不变，这种碰撞是弹性的，能量几乎没有损失等，关于c o m p a c t o n 解的研究见文献 2 4 3 0 1 。 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子解为尖峰孤立 子解( p e a k o n ) ，如图卜1 所示。 5 江苏大学硕士学位论文 2 1 1 j 图卜1 尖峰刁k 立子解 随着研究的深入，新的孤子结构还将不断涌现，这对我们进一步深入了解和 研究非线性科学必将提供新的视角。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 本文主要围绕着非线性发展方程精确解的计算问题进行了研究，重点对r i c c a t i 方程法进行了改进和简化，丰富和发展了已有的结果，并应用此方法研究一些非线 性发展方程的精确解。主要内容有： 第二章介绍求解非线性方程的几种方法。如广义投射r i c c a t i 方程方法、齐次平 衡方法、分离变量法、b a c k h m d 变换和a u t o b a c k l u n d 变换；求非线性方程近似解 的c k 直接约化法。 第三章使用理论计算和数值分析相结合的方法来研究一类耦合波动方程。假设 ，= a u + 曰，用行波变换将耦合波动方程转化为常微分方程组，进而用直接代入法 得到方程的p e a k o n 解。并用拟设法求出它的c o m p a c t o n 解、k i n kc o m p a c t o n 解及 孤立波模型解，同时给出了解的图像。 第四章将传统的r i c c a t i 方程方法进行了改进，并应用该方法研究了带强迫项 变系数b u r g e r s f i s h e r 方程、变系数( 2 + 1 ) 维色散长波方程和d a v e y 。s t e w a r s t o ni 方程的精确解，除了得到已有结果外，还发现了许多有意义的新解。 本文研究的意义：一方面，本文的研究揭示了特殊孤立子p e a k o n 解及c o m p a c t o n 解形成的过程。这对于揭示非线性项的影响以及不同非线性强度下孤立子的形成具 有极为重要的意义。另一方面，本文通过推广的r i c c a t i 方程方法得到了几个非线性 发展方程新的孤立波解和周期解。这一改进对于发现新的孤立子，研究孤子方程的 长期动力学行为和揭示孤子的结构必将产生积极的影响。 至 江苏大学硕士学位论文 第二章研究方法 寻找非线性偏微分方程的精确解是数学物理研究的重要方面。随着孤立子理论 的发展，人们提出了许多有效的方法。如反散射变换法、b a c k l u n d 变换法、达布变 换法、双曲正切方法、齐次平衡法、直接化简法。一般说来，这些方法可以分为两 类：第一类是通过拟设求解方程的精确解，叫做直接法；第二类通过间接拟设方程 的解为三角函数、双曲函数、椭圆函数或其它显函数来求解方程精确解的方法， 叫做间接拟设法。第二类方法通常包括使用约束方程，使用交换式和使用算子三 种。要简洁、清晰地处理非线性项仅靠现有的数学方法还远远不够，这就需要我 们进一步去探索和发现。本章我们将着重讨论人们常用的求解非线性方程的几种 方法 2 1 广义投射r ic c a ti 方程方法 通常的r i c c a t i 方程为y 1 ，) ，2 + g y + 其中厂o ) ，g ( 力，j l 均是x 的已知连续函数，该方程一般无初等解法，但是若能知道一个特解m ，经过 变换y 2 m + 轰- _ 或y 2 m + 缸矽，该方程便化为一阶线性方程或贝努利方程。这里 我们研究一些特殊形式的砒c c a f i 方程，并借助这些m c c a f i 方程及其已知解来求解 非线性发展方程( n e e s ) 。 2 1 1 投射r ic c a ti 方程法 设n e e s 的解为：h ( 孝) 一芝吩矿，妒；妒( 善) ， ( 2 1 1 ) 妒( 孝) 满足下列r i c c a t i 方程： ( 1 ) 伊= 七( 1 + 妒2 ) 有解：竹一t a n ( k o ，鲠= 一c o t ( k 孝) ； ( 2 ) 伊- b + q ，2 有解：仍= i 鼬( 二砖) ，仍一 c o t h ( 4 - 2 - g 孝) ，( 6 o ) ，红= 一i 1 ，p = 0 ) ； 7 江苏大学硕士学位论文 ( 3 ) 伊t 一七( 1 - 缈2 ) 有解：缈= 丽a - b e - 2 k f = 以上各式中f = 孝似d ，a ，b ，b ，后为任意常数。分别将以上各式的缈和式( 2 1 1 ) 代入n e e s ，并令矿( z - 0 ，l 2 ) 的系数为零，可得到一关于q 的非线性代数方程组 ( n a e s ) ，借助m a t h e m a t i c a 软件求解该n a e s ，便可以由c , o 的形式得到n e e s 的 精确解。 2 1 2 推广的投射r i c c a t i 方程法 设胁的解为：“( f ) 。荟口i 厂+ 善包厂- l 。g 2 工2 厂( 善) ，g ( 善) 满足下列r i c c a t i 方程： ( 1 ) 厂= 向+ 厂2 ，g f g ，9 2 。( 1 十，a 为常数，该方程组有下列解： 当- 耐， f = 一鬲t a i l h ( 二砖) ，h 0 f 五= 历t a n ( 廊) ，h o 【岛= s e c ( d h 孝) ，h 0 当。一耐， f = - x - 鬲竺( - 均力则。 【g = c s c h ( 4 一乃d ，h 8 口 4 彳 x ” b 一彳兰彳 1 2 1 2 0 占一， f 一， o “ 蟛 蟛 肛弘 川 眦 班叫 诎 砌 江苏大学硕士学位论文 彳(孝)=rse而ch(xr孝)比secla ， i 、，k 亡 + l ( 善) = 堑a s e c 型h ( , 堂- 瓦孝) 盟+ l 以)=丙rc丽sch(fr考：)cscll ， “i v k 亡l + l 啪) = 糍 “c s c 厅l k 亡l + l b ) 当s = l r 0 时， 脚2丙rse丽c(x而-r孝)gsec ， i 、，k 亡l + l 删2慧2sec k l cl + i 厶(孝)=rc丽sc(x-r孝)gcsc ， i 、，k 0 ) + l 酏) _ 黑c s c 1 l 、k 亡l + c ) 当r = = o 时， a ( o = 詈= c s g , ( o ， 岛( 善) = 虿1 ( 3 ) f 一- g h ，g - p h + o - p 2 ) 弘，h 一- f g + o - r 2 ) g 【p + ( 1 一p 2 ) ，】 9 2 = l - 2 p f + ( p 2 - 1 ) f l h 2 一厂2 + ( 1 一r 2 ) 【1 2 p f + ( p 2 1 ) ，2 】 其中，( 0 ，- 云 一2 jr c o 批删) 一篙，l ( x - 驯丢 驴岛 陋驯 三2 k i 厣 卜叫 和 f s 2 ( k ：z ( x - dt ) ) ，i ( x 一驯 一卜 ( x - dt ) l f 一等r c o s z ( 冬( x - d t ) ) _ 箬肛驯- 万z isp 占 屹2 协 ( x - d t ) i 三k l 雕 川 其中七：丢 二 ，r 为任意常数。 江苏大学硕士学位论文 吩，h 和“2 ，v 2 的图象女i t ( 8 = 4 ，艿= 2 ，允= 4 ，厂= 4 ，= - 1 , d = 1 ，尺= 1 ) ： 图3 - 2 u 2 ：p 屹的数值模拟 ( 2 ) 设距( 而t ) = m ( 孝) = r s i n m ( 孝) ，采取相同的步骤，得到耦合波动方程( 3 1 ) 的i c m k 解 u 32 吃2 rs i n ( k ( x d f ) ) ，i ( x d f ) i 旦2 k 尺 一r ， ( x d t ) 三2 k ( x d t ) 。斋 一了2 6 譬i n ( j j ( x 一所) ) 一芸，i ( x 一历) i 瓦7 1 b 、j ? 己k 一等r 一箬，c x 一所p 轰8 j 、 。钛 等r 一篙c x 一西) 三k 陋驯要 陋姊要 图3 - 4 4v 4 的数值模拟 ，r 为任意常数。 取参数s = 4 ，万= 2 ，z = 4 ，y = 2 , f l = - 1 , d ；1 ，尺= 1 ，我们可以得出鸭，吃描绘的是 k i n k 解，4 ，v 4 描绘的是移动c o m p a c t o n 解。 1 7 江苏大学硕士学位论文 3 2 耦合波动方程的p e a k o n 解 积分式( 3 1 3 ) 一次，并取积分常数为零，可得 ( - d + a t b 2 a 肌( 2 a 2 a b + 2 ) 1 “( 槲+ 历吾矿彬甜。 ( 3 2 1 ) ( 删+ 8 b + s 8 a ) “+ i 1 甜2 ( 冽+ s 彳2 ) = o i ( 切+ 槲么+ 肚2 ) 凡嘲+ 三2 ( - 2 a 2 柏+ 名) p e _ 2 t f l + 1 ( a a 3 + ) p p 瑚= o 【( 捌+ 6 b + 蒯一爿+ 丢( 2 鲥俐2 ) 虬。 d + a 田确+ 础2 0 2 a 2 a b + 1 一o a a 3 + 一o ( 3 2 2 ) 埘- i - 翘+ 6 b a 一0 笏a + c a 2 ；0 求解方程( 3 2 2 ) ，得到该方程的p e a k o n 解， 一圭眄一一分隔一篙， 其中席3 8 。 取参数s = 5 ，万= 1 ，兄= l y = 5 ，= 3 ，d = 1 ，我们得到，v 5 的图象如下： 图3 - 5 蚝，v 5 的数值模拟 1 8 江苏大学硕士学位论文 3 3 耦合波动方程的孤立波解 假设方程( 3 1 ) 有如下行波解： h 偕) - r c o s h “偕) ( 3 3 1 ) 和 u ( o i l lr s i n h “( 告) ( 1 3 3 z ) 将( 3 3 1 ) 代入( 3 1 3 ) 并整理得 酬d + a b 2 a + 肚2 m 2 ) c o s h + ( 甜+ z ) r 3 小砌躺( 0 ( 3 3 3 ) + ( 2 a a b + a ) r 2 m c o s h “皓) 一r k 2 r m ( m 一1 ) ( ? 竹一2 ) c o s h - - 3 9 ) 一0 ( 一d a + 8 b + z b a ) r m c o s h m - 1 ( 0 + r 2 m c o s h 2 “- 1 ( 孝) ( 2 雅+ a 2 ) ；0 ( 3 3 4 ) 令同类项系数为零，得到关于a ，b ，d ，m ，r ，k ，万，口，g 的方程组，并求解得 f u 68 r c o s h ( k ( x d 呦， 卜2 占万r c o s h 似卜训一篙 l 占 占 i 吻= r c 。s h 2 ( 每( x 一历) ) ， 卜- r c o s h 2 ( k ( 卜例一篙， 对于( 3 3 2 ) ，采取相同的步骤，得到 f u s 2 r s i n h ( k ( x d 卜2 9 8r s i 蜊卜驯一篙 iu 9 = r s i n h 2 ( 冬( x 一历) ) l 鸭一等觚汕2 唾c 卜叫，一篙 其中| j = 1 1 2 2 + 4 d f l ，r 为任意实数。系数满足矽一8 。 取参数占= 2 ，万= 1 ，五= - 2 ，厂= 1 ，= - 1 , d = 3 ，我们得到u 6 ，和u s ，v 8 的图象如 - f1 1 9 江苏大学硕士学位论文 图3 - 6 u 6 ，v 6 的数值模拟 图3 - 7 ，屹的数值模拟 直接拟设法是求解非线性方程最常用的方法，也是最直接有效的方法。但是 它所求得的结果比较单一。要得到方程更丰富的精确解还要采取一些其它的方法， 如下一章要介绍的广义投射r i c e , a f t 方程方法等。 2 0 江苏大学硕士学位论文 第四章推广的r i c c a t i 方程法及其应用 上一章我们利用拟设法得到耦合波动方程c o m a p a c t o n 解，p e a k o n 解和孤立波 模型解，本章我们对传统的r i c c a t i 方程法进行简化和推广，给出了两个新的r i c c a t i 方程组，并将其分别应用于几个重要非线性发展方程。除了得到许多已有结论外， 还得到了许多新的结果。研究表明该方法完全包含传统结果，可适用于包括“同 秩”和“不同秩”方程在内的大量非线性方程。 4 1 广义投射r ic c a ti 方程方法介绍 文献【3 6 】中提出一种新的拟设法如下，对非线性发展方程 e ( u ，u t ，u x ，“心，) - 0( 4 1 1 ) 寻求如下形式的解： m d 2 善呸，4 ( 善) + 善吃，一( o g ( o 或 “ d ；芝q 厂1 ( d + 厂一( o g ( o ( 4 1 2 ) 其中一似f ) ，口 一a t ( x ，t ) ，一6 ， ，f ) ，( f 、j 一1 ，2 ，以) ，孝一孝似f ) 均是关于相应变 元的任意函数，x 一“，恐，毛) ，n 是待定常数，它可以通过平衡最高阶导数项和 非线性项确定；而厂( 多) 、g ( d 满足如下投影m c c a t i 方程组： ( i ) ，玢t 可回g 渤g 玢- 砸一9 2 固一r ( o ，9 2 - 1 一研+ ( ，2 + 厂2 ( 4 1 3 ) 这里表示老，占= 1 g 为任意实数，后面雷同，方程( 4 1 3 ) 有下列解： z ( 孝) = 石：5 五i ；孑歹；：a j 五矗趸丽，岛( 孝) = 石兰萋要害爹芋罕丢器 ( 4 1 4 ) 其中当占= 1 时c 2 ；a 2 + 6 2 ，当占= 一1 时b 2 。a 2 + c 2 。 ( i i ) ，翰一旷g ，g 侈) - q 1 + 9 2 一矿( 劫，9 2 = 一1 + 万+ ( 1 一r 2 ) 厂2 ( 4 1 5 ) 方程( 4 1 5 ) 有下列解： l ( o2 赢万蒜以伊意鬻器( 4 1 6 ) 2 1 江苏大学硕士学位论文 其中a 2 - b 2 + c z 。 将( 4 1 2 ) ，( 4 1 3 ) 和( 4 1 2 ) ，( 4 1 5 ) 分别代入( 4 1 1 ) 并令厂( 0 9 ( 旬 o ，j = 咄，0 j , 2 , ，刀) 系数为零，可得一关于所有待定系数的非线性代数方程组 ( t q a e s ) ，借助m a t h e m a t i c a 软件求解该n a e s 便可由( 4 1 4 ) ( 4 1 6 ) 得( 4 1 1 ) 的精确 解。 显然，对( 4 1 4 ) ( 4 1 6 ) 选取特殊的认趴c 、小，的值，就可以得到【1 2 卜 1 9 1 f l 勺 结果。如：当取b = a = q = 1 c = 0 ；c = 口= 口= 1 ，6 = 0 时 石，( 孝) = 夏函而1 ，蜀。( 孝) = 石函s i n 而h f ，石：( 孝) = 磊五忑1 葺7 ，岛：( 孝) = 磊c 五。歪s h i 这是【1 2 】【1 3 】的情形；若再取6 = 5 ，口= 4 ，c = 3 则石3 ( 孝) 2 夏聂五石万a i 磊石丽， 9 1 3 ( 伊意警蒜，这是【1 4 】【1 5 】的情形；当取汹- 1 ，g = 厮， q = 一朋h 9 】，b = q t l 9 】1 ，c = q t l 9 】七；r = ，b = o 时五皓) ，五g ) ，g l ，g ：回同【1 6 】【1 7 】中的 吒，q ( f ：1 ，2 ，3 ，4 ) 相差一个常数倍，这一点通过“拟设形式中厂( 善) g ( 善) 的系数完 全统一；当取口= 1 q = 一脚9 l ，b = q t l 9 1 ，c = q 1 9 产或g = 脚9 】，6 = 唧9 】，c 唧9 l k a = 1 时，五，五( f ) ，g l ( 9 ，9 2 ( 善) n 1 9 q b 的正( 勃( 旬o = 1 2 ) 相差一个常数倍， 因而 ( 4 1 4 ) ( 4 1 6 ) 完全包含文献【1 2 - 1 9 】的情形。 若( 4 4 ) 中取g = 一1 , r = c = o 6 = 口，q = 1 则得钟型孤波解、扭型孤波解： 正( 孝) - s c c h 孝，蜀( 0 - t a t l h 孝；取s = 1 ，= 6 = o ，c = 口，q = 1 则得奇异行波解： z ( 善) 一c s c j l 孝，邑( 0 - c o t h 孝；同理在( 4 1 6 ) 中选特殊的r 、c 、趴仉q 则可得 c 孝、c s c 孝、t 觚孝、c o t e 型的三角函数周期解。 本节给出的新的r i c c a t i 方程组( 4 1 3 ) 、( 4 1 5 ) ，得到的解( 4 1 4 ) 、( 4 1 6 ) 完全 包含文献【1 2 - 1 9 】的结果，且方程简单，解组丰富，适普性更强。 接下来我们应用该方法去求解几个重要非线性方程。其中4 2 节为( 1 + 1 ) 维情 形，4 3 节和4 4 节为( 2 + 1 ) 维的情形。 江苏大学硕士学位论文 4 2 带强迫项变系数b u r g e r s - f is h e r 方程的精确解 本节研究带强迫项变系数b u y e r s - f i s h e r 方程 1 , 1 t d ( f ) z k + 口( r ) ”蚝+ 6 ( f ) ( 甜2 一甜) = 灭( r ) ( 4 2 1 ) 其中d ( o ，口o ) ，6 0 ) ，r ( t ) 为f 的任意函数，r ( t ) = 0 ，d ( f ) ，口o ) ，b ( t ) 为常数时，方程 ( 4 2 1 ) 转化为b u y e r s f i s h e r 方程。b ( t ) = o ，r ( t ) = 0 时，方程( 4 2 1 ) 为变系数 b u r g e r s 方程u t d o ) + a ( t ) t a t xl0 ，这是数学和物理学中经常出现的非线性波动 方程之一。如声波在具有粘滞性和热传导性的介质中传播，若不考虑介质的频数 特性和弛豫过程，控制方程在一定条件下可以归结为b u r g e r s 方程 u t d u = + a u u x 一0 。若考虑的是柱面波或球面波，所得方程就是变系数b u 唱e m 方 程。当d ( t ) = 0 ，r ( t ) = 0 时，( 4 2 1 ) 为变系数f i s h e r 方程，用以描述热核反应等离 子物理和人口增值等问题的非线性现象，是两个种群的l o t k a v o l t e r r a 竞争系统 的特殊现象。因此，研究( 4 2 1 ) 的精确解有重要的理论意义和实际应用价值。 利用上节介绍的两个推广的r i c c a t i 方程求解方程( 4 2 1 ) 如下： 由齐次平衡原则，可设 u ( o a o ( t ) + o a ( t ) f ( o + a 2 ( f ) g ( 0 ， ( 4 2 2 ) 其中孝t ) t 七o p + z o ) + 彘，彘为任意常数。 情形一：将( 4 2 2 ) ( 4 1 3 ) 代入( 4 2 1 ) ，并令厂( o g ( 0 系数为零 ( i = 1 ，2 ，= o ，1 ) 得一n a e s 其中：a o a o ，o l - q ( f ) ，a 2la 2 0 ) ，k = 七 ， a = 口o ) ，b = 6 ，d = d ( 吩，s = 1 ，g ，为任意实数。借助m a t h e m a t i c a 软件及吴消 元法求解该n a e s 可得三组解： ( 1 ) d ( d = c o b ( t ) ，k o ) = k 。，o ) = ，r ( t ) d t + c i ，啊( t ) = + 3 c o k 2 0 q 2 ，a 2 ( t ) = 0 ， m ) = h 一口( f ) k ( p ( f ) 衍+ c 1 ) p + c 2 ，= 1 ，g = 一1 其中尺( f ) ，d o ) ，6 ) 满足约束关系 f r ( f ) 衍+ c 1 = 了1 一万1l 。a 。2 9 2 ，3 d ( f ) k o q r + 3 c o d ( t ) k ；q 4 r - a o ) 2 = o ， k o 毒0 ，g 0 ，q 0 ，q ，c 2 均为常数。 ( 2 ) d o ) - g a ( t ) ，足( f ) = k 。，嘞( f ) = p ( ，) 刃+ c l ，( t ) - o ，a 2 ( t ) = c 3 q k o ， 江苏大学硕士学位论文 m ) = 忙k + 掣户十c 4 ，咻灿洲嘴足： p ( ，) d r + c l = 一丢+ 其中k - o ，c o 一0 , q 乒0 , g ，c 4 ，厂均为常数。 ( 3 ) d ( t ) = c o b ( t ) ，k ( t ) = k o , r = i ，s = 1 ，( f ) = i r ( t ) d t + c l ，吒( r ) 一o ， 口1 ( ，) = + _ 3 c o k 2 0 q 2 ，( f ) = s ( - o ( ，) k o ( f r ( t ) d t + c 1 ) p + c 2 ，r ( f ) ，6 ( f ) ，口( f ) 满足约 束关系 ，r ( t ) d t + q = 1 ，- 1 ，c o k ；q 2 , 3 d ( r ) k o q 2 r + 3 c o d ( f ) k 3 0 q 4 r