（基础数学专业论文）预解算子技巧在迭代算法中的应用、重合点组定理及极大极小组定理.pdf

预解算子技巧在迭代算法中的应用、 重合点组定理及极大极小组定理 基础数学专业 研究生张清邦 指导教师丁协平 本文主要讨论了预解算子技巧在某些广义集值变分包含闷题与广义集值变 分包含组问题的迭代算法中的应用，并证明了所生成迭代序列的强收敛性；同 时，在较弱的假设条件下，讨论了g 一凸空间中的重合点组定理与极大极小坦定 理，从而推广了近期文献的相关结论。 首先，h i l b e r t 空间中介绍了极大叩一单调映像和h 单调算子的概念并引入 了一类新的g 一咎一单调映像，研究了g 一吁一单调映像的性质；介绍了 一单蜩算 子的预解算子的概念，并定义了g 一町一单调映像的预解算子。 其次，利用涉及 一单调算子生成的预解算子的预解算予技巧给出了类广 义集值变分包含的解的迭代算法，并证明了该算法的强收敛性：并利用g 一，7 一单 调映像的预解算子和不动点技巧，给出了逼近一类涉及g 一7 7 一单调映像的广义 隐似变分不等式的解的迭代算法，也给出了由该算法生成的迭 序列的收敛准 则。 然后，利用预解算子技巧，研究了 类广义拟一似变分包含组，给出了求解 的逼近算法，证明了该算法的强收敛性，改进和推广了这方面的结果。 最后，在铰弱的假设条件下，讨论了g 凸空间中的重合点组定理与极大极 小组定理，从而推广了近期文献的相关结论。 关键词：h i l b e r t 空间；预解算子； 广义集值变分包含；广义隐似变 分包含； 广义拟一似变分包含组；g 一凸空间； 转移紧开值；转移紧下半 连续；重合点组定理； 极大极小组定理 t h e a p p l i c a t i o n s o fr e s o l v e n t o p e r a t o rt e c h n i q u e t o t h ei t e r a t i v e a l g o r i t h m s 、 s y s t e m s o fc o i n c i d e n c et h e o r e ma n d s y s t e m o fm i n i m a xt h e o r e m s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t e z h a n go i n g b a n gs u p e r v is o r d i n gx i c p i n g i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h ea p p l i c a t i o n so fr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u et o t h ei t e r a t i v e a l g o r i t h m s o fs o m eg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n d s o m es y s t e m so fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dp r o v et h es t r o n g l y c o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h eg i v e na l g o r i t h m si n h i l b e r t s p a c e a ts a m et i m e ，w ee s t a b l i s hs y s t e m so fc o i n c i d e n c et h e o r e ma n ds y s t e m o f m i n i m a xt h e o r e m si ng c o n v e xu n d e rw e a k e ra s s u m p t i o n s o u rr e s u l t sg e n e r a l i z et h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t si nr e c e n tl i t e r a t u r e t h ef i r s t ，w ei n t r o d u c et h em a x i m a l 巧一m o n o t o n em a p p i n ga n dh 。m o n o t o n e o p e r a t o r , d e e n ea n e w c l a s so f m o n o t o n e m a p p i n g s g 一卵一m o n o t o n e m a p p i n g ， s t u d yt h ep r o p e r t yo fg r l m o n o t o n em a p p i n g ，i n t r o d u c et h er e s o l v e n to p e r a t o r p r o d u c e db y h - m o n o t o n e m a p p i n g a n dd e f i n et h er e s o l v e n to p e r a t o rp r o d u c e d b yt h e g 一叩- m o n o t o n em a p p i n g t h e s e c o n d ，b yu s i n g t h er e s o l v e n t o p e r a t o rt e c h n i q u e a s s o c i a t e dw i t h h - m o n o t o n eo p e r a t o r , a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o ni ss u g g e s t e da n da n a l 毋e d t h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d a tt h es a m et i m e ，b yu s i n gt h e r e s o l v e n to p e r a t o r t e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t ha n e wc l a s so fm o n o t o n e 椰a p p i g s 占一r 一m o n o t o n e m a p p i n g ，a ni t e r a t i v ea l g o r i t h m f o r a p p r o x i m a t i n g t h es o l u t i o n so fg e n e r a l i z e d i m p l i c i t v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o ni s s u g g e s t e d a n da n a l y z e d t h ec o n v e r g e n c eo f i t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sa l s op r o v e d t h i r d l y , b yu s i n gt h e 叩一m a x i m a lm o n o t o n em a p p i n g ，a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mt o c o m p u t et h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no fs y s t e m so fg e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a l - l i k e i n c l u s i o n si s s u g g e s t e d a n d a n a l y z e d t h ec o n v e r g e n c e o fi t e r a t i v e s e q u e n c e s g e n e r a t e db y t h ea l g o r i t h mi sa l s op r o v e d a tl a s t ，w ee s t a b l i s hs y s t e m so fc o i n c i d e n c et h e o r e ma n ds y s t e mo fm i n i m a x t h e o r e m si ng c o n v e xu n d e rw e a k e r a s s u m p t i o n s o u r r e s u l t s g e n e r a l i z e t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t si nr e c e n tl i t e r a t u r e k e y w o r d s ：h i l b e r ts p a c e ； r e s o l v e n t o p e r a t o r ；g e n e r a l i z e d s e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n ： g e n e r a l i z e di m p l i c i tv a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n ；s y s t e m so f g e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ；g c o n v e xs p a c e ；t r a n s f e rc o m p a c t l y o p e n v a l u e d ；t r a n s f e rc o m p a c t l yl o w e rs e m i c o n t i n u o u s ；c o i n c i d e n c et h e o r e m ； m i n i m a xt h e o r e m 刖吾 不论是产生于理论科学中的，还是产生于应用科学中的变分不等 式问题，都得到了广泛的引申和推广。解变分不等式问题的数值方法 也有许多种，包括投影方法及其变形，松弛方法，退化法，牛顿法和 辅助原理技巧等。在许多广义混合变分不等式中，由于非线性项的出 现，投影方法及其变形不能被用于解决这些变分不等式的解的存在性 问题。最近，n o o r 在文 1 - 4 】中利用h b r e z i s 5 】在1 9 7 3 年给出的极大 单调算子r 生成的预解算子j ，- u + p t ) 。的定义及其性质，讨论了几类 广义混合变分不等式的解的迭代算法，并证明了算法生成的迭代序列 的强收敛性。 在h i l b e r t 空间，d i n g ”2 们与l e ech ，h n s a r iqh 和y a ojc 3 定义了真泛函妒在某点是叩一次可微分的以及该泛函的叩一近似映像妒， 讨论了町一近似映像a 庐生成的预解算子i ，= ( ，+ p a 妒) “是l i p s c h i t z 连 续的单值映像。在此基础上，他们利用预解算子 ，讨论了不同的似 变分包含问题的解的迭代算法，并证明了算法生成的迭代序列的强收 敛性。y p f a n g 和n j h u a n g 引入一种新的单调算子一一h 一单 调算予，给出了相应的预解算子r ；。；+ 可) ，并在一定条件下证明 了r ：，也是l i p s c h i t z 连续的单值映像。利用该预解算子，讨论了一类 广义集值变分包含的解的迭代算法，并证明了该算法的强收敛性。 随着计算广义变分不等式、广义拟变分不等式、广义变分包含、 广义拟变分包含的近似解的迭代算法的发展，在h i l b e r t 空间，预解算 子技巧己越来越重要和有效。当然，利用单调算子定义的预解算子也 就需要进一步的改进和发展，从而使所解决的问题也越来越广泛。 受上述思想的启发，本文给出了一种新的单调算子一一g 一卵一单 调映像，讨论了它生成的预解算子r 矗 一( g + z m ) 。1 是l i p s c m t z 连续 的单值映像的条件。讨论了预解算子技巧在某些广义集值变分包含问 题与广义集值变分包含组问题的解的迭代算法中的应用，并证明了所 生成迭代算法的强收敛性。 另外，a n s a r ie t a 1 【3 3 】，y u 和l i n 3 4 ) ，d i n g 【3 5 ，l i n 3 6 】 及l i n 和e h e n 3 7 讨论了两个映像簇的重合点定理并给出了一些应用。 而在文【3 6 中仅讨论了拓扑矢量空间的凸子集上的两个泛函组的极大 极小定理。受上述这些文章的启发，本文在较弱的假设条件下，讨论 了g 一凸空间中重合点组定理与极大极小组定理，从而推广了近期文献 的相关结论。 第一章预解算子的发展与推广 本章中，我们首先在h i l b e r t 空间中介绍了极大卵一单调映像和h 一 单调算子的概念；并引入了一类新的g 一1 7 一单调映像，研究了g 一玎一尊 调映像的性质。然后，介绍了h 一单调算子生成的预解算子的概念，并 定义了g 一7 7 一单调映像生成的预解算子。 1 1 基本知识 假设h 是实h i l b e r t 空间，其范数和内积分别为i | - | | ，( ，) 。2 ”表示h 的 非空子集簇，c b ( h ) 表示仃的一切非空有界闭子集的簇。 定义1 1 1 旧欧像”：月日一抒称为： ( i ) 单调的，若对v x ，y e h ，仁一y ，7 7 y ) ) 0 成立；( 1 1 ) ( i i ) 严格单调的，若仅当z t y 时，( 1 1 ) 中的等号成立； ( )强单调的，若存在常数口，0 使得 扛一y ，印0 ，_ ) ，) ) 芑d 肛一y l l 2 ，对一切工，y h 成立： ( i v ) l i p s c h i t z 连续的，若存在常数6 0 使得 怕0 ，y ) | | s6 忙一y 对一切工，y 日成立。 定义1 1 2 设映像r ：hx 日一日。映像g ：h 一何称为： ( i ) 叩一单调的，若( 占o ) 一g ( y ) ，叩 ，y ) ) 0 ，对v x ，y 成立；( 1 2 ) ( i i ) 严格叩一单调的，若仅当石。y 时，( 1 2 ) 中的等号成立： ( i i i ) 卵一强单调的，若存在常数r 0 使得 ( g ( x ) 一g ( y ) ，v ( x ，) ，) ) ，肛一y h 对一切x ，y e h 成立； ( i v ) t 7 j l i p s c h i t z 连续的，若存在常数t 苫0 使得 恬o ) 一占( y ) j is f 肛- y l l ，对一切z ，y h 成立： ( v ) 【7 】强单调的，若存在常数a ，0 使得 国0 ) 一g ( y ) ，工一y ) z 口妊一) ，4 。，对一切工，y h 成立。 定义1 1 3 8 】设映像订：h h 一日。映像m ：h 一2 “称为： ( i )节一单调的，若对一切x ，y e - i ，掰e m g ) ，v c m ( y ) 都有 ( “一v ，叩0 ，y ) ) 0 ： ( i i ) 极大印一单调的，若它是卵一单调的且没有其它的叩一单调映像 满足它的g r a p h 严格包含在m 的g r a p h 中。 若g ；j ( 恒等映像) ，则定义1 1 2 ( i ) ( i i ) ( i i i ) 分别退化为定义1 1 1 ( i ) ( i i ) ( i i i ) 。若对一切而y e h 都有叩 ，y ) t x y ，则定义1 1 3 分别退化 为多值映像m 的单调和极大单调映像且定义1 1 2 ( i i i ) 退化为定义 1 1 2 ( v ) 。 定义1 1 4 设h ：h 一日是单值映射，：h 一2 ”是集值映射，若 ，是单调的且( h + 衫) ( 抒) = h ，v a ) 0 ，则称，是h 一单调的。 1 2 g 一7 7 一单调映像 定义1 2 i 设映像g ：爿一h 和映像野：日x 日一日是单值映像， m ：h 一2 ”是集值映像。称m 是g 一，7 一单调的，若m 是叩一单调的且对 一切a 0 都有 + 胧) ( 好) - h 。 注1 2 1 ( i ) 若g = i ( 恒等映像) ，则g 一叩一单调映像退化为【8 ， 1 0 】中的7 7 一单调映像。 ( 2 ) 若对一切x ，y e x 都有叼y ) = z y 且g = h ，则g r l 一单调映 像退化为 9 】中的h 一单调算子。 命题1 2 1 设g ：h 一日是严格珂一单调的单值映像且肘：日一2 “ 是g r l 一单调映像，则m 是极大r l 一单调的。 证明因为m 是r l 一单调的，由【8 】的命题1 知，只需证明下面性 质：对一切( y ，v ) e g r a p h ( m ) ，红一u 叩o ，y ) ) 20 蕴含着“e m ( x ) 成立， 其中g r a p h ( m ) = ( x ，y ) h h ：y m ) ) 为m 的g r a p h 。 假设存在 。，“。) f 去g r a p h ( m ) 使得 l , t o v ，n ( x o ，y ) ) 2o , v ( y ，v ) g r a p h ( m ) 。 ( 1 2 1 ) 因为肘是g r l 一单调映像，对一切a ，0 都有0 + a m ) ( h ) t h ，则 存在0 1 ，h 1 ) g r a p h ( m ) 使得 g ( x 1 ) + a u l = g ( x o ) + 砌o 。 ( 1 2 2 ) 由( 1 2 1 ) 式和( 1 2 2 ) 式可得： a ( w o 一“l ，叩 o ，x 1 ) ) ；一( 9 0 0 ) 一g ( x 1 ) ，o ( x o ，x 1 ) ) 芑0 。 由g 的叩一严格单调性，可知x ，z 。由( 1 2 2 ) 式，则有u 。t u 。 因此 。，“。) g r a p h ( m ) ，这与假设矛盾。因此m 是极大玎一单调的。 下面两个例子说明肘是g 一砰一单调的，但不是叩一单调的( 见例 d 1 2 1 ) ；m 是极大叩一单调的，但不是g 一叩一单调的( 见例1 2 2 ) 。 例1 2 1 设日= 只。占，m 和斗分别定义如一f ：吕0 ) = j3 ，m 0 ) = z2 ： q ( 戈，y ) ；x 2 一y2 ，则m 是g 一叩一单调的，但不是叩一单调的。 证明因为对一切y r 都有( m ( x ) 一m ( y ) ，叩0 ，) ，) ) = 0 2 一y ! ) 2 0 。 因此a f 是吁一单调的。又因为对一切z ，v r 都有 ( g + m ) ) = z 3 + 工2 = x 2 十1 ) 尺，即( g + m ) ( 尺) = r 。因此m 是g 一叩一单 调的。 但因为对一切善，y e r 都有( ，+ m ) ) ；x + z2 一i 1 ，+ * ) ； 即 ( ，+ 肼) 僻) ，r 。因此又【8 】中命题2 知，m 不是极大，7 一单调的。 例1 2 2 设h = r 。g ，m 和印分别定义如下：g ( x ) = z2 ，m ( x ) = x ， q ( x j ) = i 叫1 一y ) ，则m 是极大，7 一单调的，但不是g v 一单调的。 证明 因为对一切工，y r 都有( m 0 ) 一m ( y ) ，玎( x ，y ) ) = 阿k y ) 2 0 ，因此m 是叩一单调的。又因为对一切r ，y 月都有 ( ，+ 肘) ( x ) = 2 x e r ，即( ，+ m ) 僻) = r 。因此由【8 】中命题2 知，m 是极 大w 一单调的。 但因为对一切z ，y e r 都有( g + 肘) ( x ) 。z 2 + x 卜j 1 ，+ 。) ， 即 ( g + m ) ( r ) r 。因此i l ，不是g 一，7 一单调的。 定理1 2 i 设g ：h 一日是严格珂一单调的单值映像且m ：h 一2 “是 g r l 一单调映像，则算子国+ z m ) 。1 是单值的。 证明对任意给定的“日，设z ，y ( g + a m ) 1 ( “) ，则有 一g ( x ) + “a m ) ，一g ( y ) + “x m ( y ) 。 由吖的卵一单调性可知 0s ( ( 一g ( 工) + “) 一( 一g ( y ) + “) ，7 0 ，) ，) ) t 一( 占( x ) 一g ( y ) ，_ 印，y ) ) 。 又由g 的严格叩一单调性得x = y 。因此( g + 删) 。是单值的。 定义1 2 2 ”3 设h ：日一日是r 一强单调算子，：日一2 “是h 一单调 算子，则预解算子r ：，：日一日定义为： r ；。 ) = ( + 可) 。以) ，v u h 。 定义1 2 3 设g ：仃一日是严格叩一单调映像且m ：h 一2 “是g 一叩一 单调映像。预解算子r 0 ；：h 一日定义如下： 其暑 ( 戈) = ( g + a m ) “g ) ，v x e h ( 1 2 3 ) 5 定理1 2 2 设g ：h 一日是7 7 一强单调映像，其系数为，： r ：h h h 是l i p s c h i t z 连续映像，其系数为6 ；m ：h 一2 ”是g 一”一 单调映像。则预解算子尺品，。：h h 是l i p s c h i t z 连续的且系数为誓， 即： | | 硝。仁) 一磁，。( y ) 忙手忙一y 0 ，v x y h 。( 1 2 4 ) 证明 设任意给定的t y e h ，由( 1 2 3 ) n - 得 r 嚣，a 扛) ；( g + a m ) 。1 0 ) 且r 嚣。( y ) ；( g + ) 。) 。 于是有 _ 0 一占蛊a ) ) ) m ( r 导，。0 ) ) 且 ( y g ( r 嚣，。( y ) ) ) m 俾当。( y ) ) 。 因为m 是玎一单调的，所以 ( z g ( r 盖。 ) ) 一 y 一占( 尺嚣。( y ) ) ， r ( r 鲁。 ) ，尺嚣。 ) ) ) 0 。 于是有 肛一y 叩( 磁，。o ) ，硝。( y ) ) 忙扛一y ，叩( 睇，。o ) ，聪，。( _ ) ，) ) ) z ( g ，a ( 并) ) 一g ，。( y ) ) ，卵( 月嚣。0 ) ，r 品。( y ) ) ) 之，粉，a o ) 一硝，。( y ) n 因为叩是l i p s c h i t z 连续的，于是对一切z ，y 日都有 f | 硝，。0 ) 一硝。( y ) 忙非一y l f 。 注1 2 2 若g = i ，则命题1 2 ，1 和定理1 2 1 退化为 8 】中命题2 和【1 0 中定理2 1 ；定理1 2 2 退化为 1 0 】中定理2 2 ；其中，是恒等 映像。若叩_ ) ) 一石一y ，v x ，y 片且g = h ，则定义1 2 2 即为 9 】中h 一单 调算子的定义。 第二章预解算子技巧在变分包含问题中的应用 作为当今数学的一个重要科目，变分不等式不仅用于解决偏微分方 程，而且用于解决由物理、优化与控制、经济平衡等问题产生的各种 问题。变分包含问题是混合变分不等式的一个重要发展方向。n o o r 。， d i n g “2 “，l i w e i l iu “等人在不同的假设条件下对变分包含问题进 行了研究。 本章中，我们先在h i l b e r t 空间利用涉及h 一单调算子生成的预解算 予的预解算子技巧，给出了一类广义集值变分包含的解的迭代算法， 并证明了该算法的强收敛性；然后利用g 一婶一单调映像的预解算子和 不动点技巧，给出了逼近涉及g 一印一单调映像的广义隐似变分不等式 的解的迭代算法，也给出了由该算法生成的迭代序列的收敛准则。 2 1基础知识 设是目实h i l b e r t 空间，其范数和内积分别为f h | ，( - ，) ；( h ) 表示h 的非空有界闭集族。 定义2 1 设映射a ：h 一2 ”，( j ) ：x h h ，g ：h 一日； ( 1 ) ”称( ，) 在第一变元关于a 是口一g 一松弛l i p s c h i t z ，若存 在常数a ) o 使得 ( ( w 。，。) - n ( w z , ) ，占0 ，) 一g ( u ：) ) s a 8 9 ，) - g ( u ：) 8 2 ，v u ，“：e h ， w 1 爿 1 ) w 2 一 2 ) ： ( 2 ) 称( ，) 关于第二变元是卢：一l i p s c h i t z 连续，若存在常数& ，0 使得 ( ，k ) - n ( ，v ：) 忙声：鼽一v ：v u ，v ：日 类似可定义，( ，) 关子第一变元是反一l i p s c h i t z 连续。 ( 3 ) 称( 。，) 在第一变元关于a 是口一g 一强单调的，若存在常数口，0 使得 ( n ( w i ，) 一( w 2 ，。) ，g 1 ) 一g ( u z ) ) 苫。她一2 v u l ，h 2e h ，w 1 爿0 1 ) ，w 2 爿0 2 ) 。 注2 1 当g = i ( 恒等映象) 时，定义2 1 中( 1 ) 就退化为 14 中( ，) 在第一变元关于彳是a 一松弛l i p s c h i tz 连续的定义。 7 定义2 2 1 7 1 设集值映像a ，t ：h c b ( i - 1 ) ，映像，卵：h 日一日。 ( i ) 称( ，) 在第一变元关于a 是7 7 一强单调的，若存在常数a ，0 使得 ( ，) 一( w ：，) ，引名，茗：) ) z a 肛。一x ：旷， v x l ，x 2e h ，w 1e a 1 ) ，w 2e a 0 2 ) ； ( i i ) 称( ，) 在第一变元关于a 是野一余强制的，若存在常数i ) 0 使得 ( n ( w t ，) - 2 v ( w ：，) ，7 7 ( h ，x 。) ) 己f f ( m ，) 一n ( w 2 ，) 1 2 ， 1 ，x 2e h ，w 1e a ) ，w 2c a ( x 2 ) ； ( i i i ) 称n ( - ，关于第一变元是f 。一l i p s c h i t z 的，若存在常数e ， 0 使得 胁( m ，) 一( ，) l l - f 。忆一w 2 i i , v w t ，w 2 ； 类似的，我们定义( ，) 关于第二变元是s 2 一l i p s c h i t z 的； ( i v ) 称a 是一一l i p s c h i t z 连续的，若存在常数l l 0 使得 h 口o ) ，爿( y ) ) 1 1 忙一e l l ，v x ，ye h ， 其中日( ，) 表示c 占( 日) 上的h a u s d o r f f 距离。 类似的，定义丁的z ，一h l i p s e h i t z 连续性。 2 2 在一类广义集值变分包含问题的应用 设是h 实h i l b e r t 空间，其范数和内积分别为m ，( ，- ) ；c a ( n ) 示 h 的非空有界闭集族，爿，t ：h c b ( h ) ，：h 一2 “是集值映射， g ，h ：h 一日是单值映射，( j _ ) ：月h 一日是非线性算子，甜日，求 u e h ，w a ( u ) ，v e t 0 ) 使得： o x ( 9 0 ) ) + g o 一( w ，p ) ， ( 2 2 1 ) 称问题( 2 2 1 ) 为广义集值变分包含。该问题正是文 1 8 研究过的。 注2 2 1 当( m v ) = ( w ，p ) 时，问题( 2 ，2 1 ) 退化为：求 u e h ，w e a ( ) ，v r ) 使得： 0 e n ( w , v ) + ，( 占 ) ) + 脚 ( 2 2 2 ) 注2 2 2当一0 时，问题( 2 2 2 ) 从形式上退化为 1 6 中所研 究过的问题；当彳，z ：月一片是单值映射，o ) ，丁函) ) ；- a ( u ) ，g 一，( 恒 等映像) 时，问题( 2 2 2 ) 退化为 9 中所研究过的问题。 引理2 2 ，l 【9 1 设h ：h 日是r - 强单调的单值映射，：h 一2 “是 h 一单调的，则厂是极大单调的，且预解算子r h 。= + 可) 。：h 一日是 1 一l ip s c h i t z 连续的，即 ，q ) 一r 孙v ) 忙跏一v 1 ，v u ，v e h 。 引理2 2 2设h ：h h 是，一强单调的单值映射，：t t 一2 ”是 h 一单调的，则v ) 是问题( 2 2 1 ) 的解当且仅当以，w ) 满足 g ( “) = 只h ，。 ( g ( “) ) 一a 脚+ 允( w ，v ) ) 证明 由r ；= + 可) 。1 可得： g ( u ) 一r m h0 ( g ) ) 一a + , k l v ( w ，v ) ) ，( 十可) ( g ( “) ) = h ( g ( h ) ) 一 + a ( w ，v ) 。 ，可( g ( “) ) + h ( g ( h ) ) = h ( g ( “) ) 一 + 州( w ，v ) 0 f ( g ) ) + 0 3 一( w ，v ) 。 由引理2 2 ，2 ，我们可以构造如下迭代算法： 算法2 2 1 对任意u o e h ，w 0 e a ( u o ) ，v 。， o ) ，由文 1 9 可以构造 迭代序列仁。， k ) ， v 。) 如下， “。+ 。= ( 1 一p ) u 。+ p 【“。一g ( “。) + r ； ( ( 占( “。) ) 一a 山+ 五n ( h o ，v n ) ) ， l f k 。一忙( 1 + 鲁0 口 。) ，爿( “。) ) ， 慨+ ，一忙( 1 + 击归口 。) ，r 。) ) ，n z 0 ， 其中常数p ( o ，1 1 。 定理2 2 1 设h ：h h 是，一强单调：r h i p s c h i t z 连续的单值 映射；厂：h 一2 ”是h 一单调的；( ，) 在第一变元关于a 是a g 一松弛 l i p s c h i tz 连续，关于第一变元是崩一l i p s c h i tz 连续，关于第二变元 是卢2 一l i p s c h i t z 连续；g ：h 一日是一强单调，s l i p s c h i t z 连续的 单值映射；a ，t ：h c 占) 分别是。，s 2 一h l i p s c h i t z 连续的；且满 足下列条件( $ ) 1 一t m ：扛丽+ 正五万c 1 ，s 。岛，e ：卢：， r 。口一巾：s ：( 1 一m ) 知x 磊甄f 万五而 卜舞剥c 匝画写磊乎巫匝 则由算法( 2 2 1 ) 生成的迭代序列恤。) ， k ) ，p 。) 在h 中分别强收敛于 问题( 2 2 1 ) 的解 ，w ，v ) 。 证明由迭代算法( 2 2 1 ) ，有 慨+ t 一“。1 i - i i o p ) ( “。一驯+ p 0u n 一“。一 o 。) 一g ( u 。) ) i 1 + p f 陋；，。 c g 。) ) 一a + z n ( w ，k ) ) 一r h ( g 以“) ) 一a + a n ( w _ 1 ，v ) ) 0 ； 由引理2 知， 忙；，。( g 。) ) 一a + a ( 以) ) 一r h ( g 。) ) 一a m + 肌，( 。v 。) ) 0 s 肛( 9 0 。) ) - h ( 占 。) ) + ( ( ，k ) 一( h o + h 一。) ) f f s h l l h ( g ( u 。) ) 一h ( g o , 。一。) ) - ( g ( “。) 一g ( “。一，) ) 0 + l p ( ( 岷，v n ) 一( 。) ) + 国0 。) 一g 。) ) + a | ( 二- 1 ，v n ) 一( ”二- l ，k 一1 ) 0 ) ： 由定理2 1 的条件知， f l 卜。一“。0si i g ( u 。) 一g ( u 。一。) | | ssj b 。一“。一，i l 肛国。) ) - h ( g ( u 。) ) - ( 9 0 。) - g ( u 。) ) j i s 1 2 r + f 2 l 1 9 0 。) 一占0 。一。) ) 0 ， f i g ( u 。) 一占( “。) 一0 。一“。一。) 0 s 1 2 t + s2 肛。一“。| | ：s 4 1 2 r + f 2 j b 。一h 。一l ， l i ( ( ，叱) 一( h _ 一，v ) ) + ( g 。) 一s ( u 。) ) 8 2 = 矛( ，v a - 2 v ( w o 。，v ) 1 1 2 + l l g ( u 。) 一g ( u 。) j j 2 + 2 a ( n ( w 。，v 。) 一( 二一l ，v 。) ，g ( u 。) 一g ( u 。一1 ) ) s ( 妒岛2 s 1 2 ( 1 + 音) 2 2 a t2 a + s 2 _ k 。一u n - 1 n i i ( ：。，v 。) 一( 一。，v 。一，) 0 s ：f ：( 1 + m 陋。一“。一。i | ， 由( 1 ) ( 7 ) 可以得到， ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ) ) ) ) l 2 3 4 ( ( ( ( 恤。一1 2 n j j s 1 p + p 1 2 t + s2 + - ( s 4 1 2 r + r 2 + 2 s ：( 1 + 吾) ) + s 2 2 2 t 2 口+ 矛卢。2 s 1 2 ( 1 + ) 2 扛。一u n _ 1 1 ， ( 8 ) 令0 。：正五了+ g 正石了 + 邵：2 ( 1 + ) + 小2 2 m2 口+ a 2 属2 e 1 2 ( 1 + ) 2 ) ，0 ：正丽+ 0 正丽+ 印：s ： + s 2 2 2 i 2 口+ 2 岛。f l 。) ，( 胆，。) 由条件( $ ) ，当n 充分大时，0 c0 c 1 ：由( 8 ) 式得* 。 是c a u c h y 序列，即存在满足h 。一“。 由算法( 2 2 1 ) 得 1 w 。一w 。一，8 ( 1 + 吉) e 。她。一“。一；i 咿。一v 。t ( 1 + 书s ：* 。一“。 即 ) ， v 。) 也是h 中的c a u c h y 序列；设w 。一w ，v 。一v e h ，由算法 ( 2 1 ) 及g , h ，n ，尺； 的连续性得 g ) = r h r ，f j i ( g ) ) 一a & ) + 州( w ，v ) ) ( q ) 由于 d ( w ，4 ) ) s1 1 w 一| i + d ( w ，爿 ) ) s1 1 w 一i ! + h ( a ( u 。) ，爿( h ) ) s 忖一卜s 。帆一u l i o ，一。) 因此w a ( u ) ；同理可证明v 丁( “) 。故 ，m v ) 是问题( 2 2 1 ) 的解。 注2 2 3 当0 3 = 0 ，n ( w ，v ) = 一u ( w ，v ) 时，定理2 2 1 改进了 1 6 中定理3 2 的( ，) 的条件，也改进了 1 1 中的定理3 2 ；又由定义d 知道，当h = ，( 恒等算子) 时，r ；。退化为 9 中的预解算子；当适当 选择映射，爿，t ，g 时，定理2 2 ，1 就退化为 9 中的定理3 1 。 当u ( w ，v ) 一m ( w ，p ) 时，由定理2 2 ，l 的证明可类似得到下列定理： 定理2 2 2设h ：一h 是卜强单调；r l i p s c h i t z 连续的单 值映射；厂：h 一2 “是h 一单调的；( ，- ) 在第一变元关于a 是a g 一强 单调的，关于第一变元是3 , 一l i p s c h i t z 连续，关于第二变元是 卢2 一l i p s c h i t z 连续；g ：h h 是f 一强单调，s l i p s c h i t z 连续的单 值映射；a ，t ：h c b ( h ) 分别是l ，2 一h l i p s c h i t z 连续的；且满足 下列条件： 卅：r - s 以- _ 2 r + r 2 r 一5 sl 压r + t 2 i n 砖巫巫磊争) ； 心 1 岛 2 p 2 则由算法( 2 2 1 ) 生成的迭代序列伍) ， k ) ， v 。) 在h 中分别强收敛 于问题( 2 2 2 ) 的解( “，w ，v ) 。 证明由定理2 2 1 的证明过程可类似得证。 2 3在一类广义隐似变分包含问题中的应用 设是日实h i1 b e r t 空间，其范数和内积分别为圳，( - ，) ；c b ( h ) 表示h 的非空有界闭集族；m ：日一2 ”是g r l 一单调映像，a ，t ：h c b ( h ) 是 集值映像且r t , ( ) ：h 日一h 是单值映像。考虑下列广义隐似变分包 含问题：求，1 , 9 4x ) 且v e t o ) 使得 0 n ( w ，v ) + m 0 ) ( 2 ，3 1 ) 特例 ( 1 ) 若g = j ( 恒等映像) ，叩 ，_ ) ，) + 町( ) ，工) = o ，魄，y h 且 m ( x ) 一o 。萨( x ) 是在x e d o m 的印一次微分，使得对一切允，0 都有 r ( i + 柏。) = h ，则i = - t 题( 2 3 1 ) 等价于求石h ，w e a ( x ) ，v t ( x ) 使得 ( ( 屿v ) ，r l ( y ，z ) ) 驴( y ) 一0 ) ，v c h ；( 2 3 2 ) 其中妒：日一ru + 。) 且在x d o m 的叩一次微分的定义为 7 ，8 ，1 9 中相 关定义。 ( 2 ) 若对一切工日都有4 ，t ：h h ，n ( a x ，t x ) ；t ( x ) 一a ( x ) 且 妒0 ) 一( 工) ，则问题( 2 3 1 ) 等价于【8 】中已研究过的问题：求x e h 使得 x e d o m j i 且 ( r ( ) 一爿( z ) ，r l ( y ，工) ) 妒 ) 一妒( y ) ，v y e h 。( 2 3 3 ) ( 3 ) 若，7 0 ，y ) = x y ，坛，y ，g ；h 且膨是h 一单调算子， a ，t ：h h ，x ( a x ，t x ) = a x 。则问题( 2 3 1 ) 退化为 9 】中已研究过的问 题：求石e h 使得 0 爿o ) + m 0 ) 。 适当选取m ，爿，t ，叩和( ，) 的形式，我们可获得作为问题( 2 3 1 ) 特 殊情况的已研究过或新的变分不等式和变分包含问题。 引理2 3 1 设g ：h 一日是严格玎一单调映像且m ：h 一2 “是g 一叩一 单调映像，则x e h ，w 爿 ) ，v r ) 是问题( 2 3 1 ) 的解当且仅当 工= r 嚣。( g ( 工) 一五( w ，扩) ) ， 其中r 0 。= ( g + 埘) ，常数 0 。 由引理2 3 1 ，我们可构造逼近问题( 2 3 1 ) 解的迭代算法。 算法2 3 1 对任意x 。h ，w 。e a 0 。) ，v o e t g