（基础数学专业论文）一类拟线性椭圆型方程的解的存在性问题.pdf

摘要 本文主要研究一类含d i v ( a ( x ，v “) ) 算子的拟线性椭圆方程的可解性与多解性问 题首先，在非线性项为次临界增涨情形下，通过构造方程对应的泛函的局部极小点， 得到了方程在n e u m a n n 边值条件下一列或是无界的或是收敛于0 的非负非平凡解 其次，在非线性项带临界增涨指致项且算子a i v ( a ( 茹，v 牡) ) 为指定非参致晤面的平均 曲率算子情形下，利用p l l i o n s 的集中紧性原理等变分方法，得到了方程在d i r i c h l e t 边值条件下的非平凡解的存在性 最后，我们通过应用山路引理等变分方法，研究当算子d i v ( a ( x ，v u ) ) 为p * l a p l a c i a n 并且非线性项在原点有奇异性时，方程在d i r i c h l e t 边值条件下非平凡解的存在性 关键调t 椭圆型方程，p - l a p l a c i a n ，山路引理，集中紧性原理，变分方法 作者， 王承富 指导老师t 黄毅生教授 = 耋垫丝焦煎匦型塑矍丝璺鲍壹查璧囹望 垒! 壁! ! 壁 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c n s st h ee x i s t e n c ea n dn m l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gt h eo p e r a t o rd i v ( a ( x ，v ) ) f i r s t l y , i nt h e o fs u b c r i t i c a l n o n l i n e a r i t i e s ，b ym e a n so fc o n s t r u c t i n gt h el o c a lm i n i m u m o f u n e t i o u u ic o r r e s p o n d i n gt o t h ee q u a t i o n ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n n e g a t i v es o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n su n d e r t h en e u m m mb o u n d a r yc o n d i t i o n m o r e o v e r ，t h es e q u e n c eo ft h es o l u t i o n si su n b o u n d e do r c o n v e r g e n tt o0 s e c o n d l y , i nt h ec a s eo fn o n l i n e a r i t i e si n v o l v i n gt h ec r i t i c s ls o b o l e ve x p o n e n ta n do ft h e o p e r a t o rd i v ( a ( x ，v u ) ) b e i n gt h ep r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r eo p e r a t o rf o ran o n p a r a m e t t i c s u r f a c eb yu s i n gt h ec o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l ed u e 协p l l i o n sa n ds o m eo t h e r v a r i a t i o n a lm e t h o d s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n su n d e rt h e d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n f i n a l y , i nt h ee 8 s eo ft h en o n l i n e a r i t i e sb e i n gs i n g u l a ra t0 ，b yu t i l i z i n gt h em o u n t a i n - p a s st h m ma n ds o m eo t h e rv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n s o ft h ee q u a t i o n su n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r ye o n d i t i o n ，w h e r et h eo p e r a t o rd i v ( a ( x ，v u ) ) i st h ep - l a p l a c i a n k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ，p - l a p l a c i a n ，t h em o u n t a i n p a s sl e m m a ，t h e e o n c e n t r a t i o n - e o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，v a r i a t i o n a lm e t h e d s i i w r i t t e nb yw a n gc h e n g f n s u p e r v i s e db yp r o f h u a n gy i s h e n g 、7 8 1 2 8 3 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：壁a ! 鏖日期：堡生! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的伞部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：之趣窒 日期：丝兰! 导师签名：趣 日期：奠丛：堡! = 差型垡壁煎墅型壅墨盟堡笪壹查丝喧望墨= 童! 堕 第一章引言 本文中，我们研究一类拟线性椭圆方程 i d i v ( a ( 茁，v u ) ) = g ( _ f 上，茁，t ) 茁q ， 口9 ( “) = 尼( z ) 。a n 非平凡( 弱) 解的存在性，其中ncr ( 3 ) 是包含原点0 的有界光滑区域，p r 是一个参变量记a ( z ，s ) = 常n ( 扎t ) d t ，设a ( x ，s ) 满足以下条件t ( a 1 ) a ( 露，0 ) = 0 v 茁q ( a 2 ) a ( x ，半) ，s ) + 5 a ( 茁，t ) v 嚣丽，s ，t r ” ( a 3 ) a ( z ，s ) i 1 8r 9 孬，8 r ，p l ，a 0 为一常数 ( 0 4 ) a ( x ，3 ) 关于嚣连续，关于3 一阶连续可微 注ta ( x ，s ) 可以包含通常见到的一些算子如 ( 1 ) 当n ( z ，s ) = i s r 2 s ，其中p 1 ，p 2 时，哇( ，s ) = ：j sj 9 ，则得到通常的p - l a p l a c i a u ( 2 ) 当。( z ，v u ) = ( 1 + i w f 2 ) 擎审u ，其中p 2 时，4 ( z ，v u ) = ： ( 1 + j v 1 2 ) 一1 ，就可 得到指定非参数曲面的平均曲率算子 当算子为p - l a p l a c i a n ，g ( “茁，t ) 关于u 是次临界的并且关于“是奇爵致( 即 g ( p ，茁，一u ) = 一g ( 芦，$ ，u ) ) 时，方程( 印) ，对应的泛函为偶泛函，已有很多学者对这类方 程在d i r i c h l e t 边值条件下的多解的存在性进行过研究，大多利用喷泉定理、对称型山 路引理等变分方法，如文【1 】一【6 】等当孽( p ，z ，不是t 的奇函数，d i v ( a ( x ，v u ) ) 不 是p - l a p l a c i a a 时，多解的获得就变得复杂了 另一方面，在2 0 0 2 年。r a y m o u d 在文( 7 】中，讨论了在p = 2 ，g ( 芦，。，u ) = ，( ) 情 形下，利用泛函取局部极小点的方法，获得( q ) 2 在d i r i c h l e t 边值条件下的多解的存 在性在2 0 0 3 年，a n e l l o 与c o r d a r o 在文 8 中。利用同样的方法，讨论了在算子为 p - l a p l a c i a z l ，9 ( “2 ，) = z f ( z ，u ) a ( ) i u l 9 2 h 情形时，) p 在n e u m a n n 边值条件下解 的存在性问题，这里，( 嚣，乱) 不是珏的奇函数 我们受上述方法的启发，在文中获得了方程 f d i v ( a ( x ，v u ) ) = 肛8 ( o ) ，( “) z 2 ， 1宴：0鲫 ” l 的一列非负非平凡的解存在性，并且这列解或是无界的或是趋于0 的，其中，( u ) 是非 奇的次临界增涨的连续函数 我们注意到，若9 ( 弘，筑“) 含u 的s o b o l e v 临界指数项i r 1 项时，一般的，即便 当算子d i v ( a ( z ，v “) ) 为特殊的l a p l a c i a n ( a u ) 或p - l a p l a c i a n ( a p u ) 情形，边值条件为特 殊的d i r i c h l e t 边值条件时，方程对应的泛函般来说是非紧的，不满足( p s ) 条件， 标准的求i 临界点的变分方法将失效此时，p l l i o n s 的集中紧性原理结合山路引理 成功地解决了当算予为a u 或一情形下 ) ，的非平凡解的存在性问题，如文 9 】、 【1 0 】、f 3 】等，但对方程含一般形式的算子d i v ( a ( z ，审t ) ) ，并且非线性项带临界指数增 涨的情形，解的存在性问题还未见到讨论我们见到有些学者对含这种算子且在次临 界条件下进行过研究，如2 0 0 3 年，在文f i i 】中，n 自i c u t e a p o l i 与m a r i a n i 讨论了方程 ( 诉) 在9 ( p ，茹，“) 含次临界增涨条件时的可解性2 0 0 4 年，冉启康在文 1 2 l 中，研究了 当g ( u ，乱) = 1 u p 一1 + x f ( w ，h ) 且d i v ( a ( x ，审u ) ) = d i v i ( d 十1 v u 2 ) 2 v 叫情形时，( q ) p 在d i r i c h l e t 边值条件下正解的存在性和唯一性。这里，( 。，u ) 同样要满足次i | 缶界增涨条 件 本文利用集中紧性原理等变分方法，获得了方程( q p ) 在g ( 肛，茁，t ) 含临界指数， d i v ( a ( z ，v u ) ) 为指定非参效曲面的平均豁率算子并且在d i r i c h l e t 边值条件下非平凡解 的存在性 我们又注意到，若孽( “z ，) 关于茹是奇异的，如含有的负指数项时，前面的方 法，包括集中紧性原理不能直接使用了1 9 9 8 年，在文f 1 3 】，姚庆六、吕海琛对一维奇 异p - l a p l a c e 方程 i ( j y 7 i 一2 y ) + g ( t ，) = 0t ( 0 ，1 ) ， i ( o ) = y ( 1 ) = 0 得到两个正解的存在定理。其中a ( t ，y ) 在t = 0 ，t = 1 处是奇异的他们通过使用 l e r a y - s c h a u d e r 非线性抉择及上下解方法建立i t i ! 这一结论 本文受此启发，通过构造一个加权的s o b o l c v 空间，得到方程 l 一出v ( 1 w l p - 2 v u ) = n ( 茹) ，( 珏) 茹n ， i 札：o z 锄 的径向对称正解的存在性，其中n ( ) 关于。在原点是奇异的我们的研究方法不同于 文i l3 本文的结构如下。 第一部分是引言，介绍了本文的主要研究内容与背景 第二部分是预备知识，给出一些我们在后面常要用到的定义与引理 第三部分我们研究方程( q ) ，在n e u m a n n 边值条件下多解的存在性 第四部分我们研究菲线性项带临界指数的情形 第五部分我们研究非线性项为奇异项的情形 第六部分是结论 2 第二章预备知识 文中用到的c ，c ，c t ，。2 ，c 3 等，若无特别说明，均指正常数( 上下文中的c 1 c ，可能不同) ，全文中，我们用一”、“一分别表示在相应空间中的强收敛与弱 收敛，用“一”表示一个空间嵌入另个空间现给出本文中常用到的一些定义与引 理 以下设x 是( 实) b a n a c h 空问，x 表示x 的对偶空间 定义2 1 ( 1 4 ，p 2 3 5 ) 设，c 1 ( x ，r ) 如果序列 t k 】cx 满足条件 f ( u ) ) 有界， ，( “ ) - + 0 在x 中， ( 2 1 ) 则称 u k ) 为，的p a l a z s s m a l e 序歹0 简称( p s ) 序列，如果j 的任一( p s ) 序列 k ) ( u k x ，k = l ，2 ，) 在x 中都是列紧集，则称泛函j 满足p a l a t s s m a e 条件 l 角繇t p s ) 条件) j 定义2 , 2 ( 1 4 ，p 2 3 5 ) 设，e 1 ( x ，r ) ，c 醒，如果序列 饥 cx 满足条件，当七。o 。 时，有 j ( 毗) 一( ： ，( ) 。o在x + 中， ( 2 2 ) 则称 t ) 为j 关于c 的( p s ) 。序列如果j 的任一( p s ) 。序列都有收敛子列，称j 满 足( 硝) c 条件 引理2 1 ( 山路引理，【1 4 ，1 5 】) 设x 是b a n a e h 空间，c 1 ( x ，r ) 满足 ( i ) z ( o ) = 0 ，存在p 0 使得j l a 既( o ) 0 ， ( i i ) 存在e x 丽使得z ( e ) 0 令r 是x 中联接0 与e 的道路的集合，即r = 臼g ( 0 ，l 】，x ) l g ( o ) = 0 , 9 ( 1 ) ：e ) 再记。：2 冀n r f m h a x l 】，o ( # ) ) 一帮么，c 兰靠，关于c 有( 删c 序列，如果，再满足( 删。 条件，则c 是，的临界值 引理2 2 ( 集中紧性原理。 1 4 ，1 6 ) 设1 p ， i i u 兰c l l u l l l 舯u w o 一( n ) ，当p 1 ，p 0 ， a ( z ) 0n | e 在q 且存在口琏，满足p 一1 q 0 ，有s u p i ，( ) j l 1 ( n ) ( f 3 ) s u p t ：f ( t ) o ，其中f ( t ) = ，( s ) d 8 记t t = h h + m 。m f 石而务丽，则 当肛 旷时。方程( 3 1 ) 有一列无界的非负弱解 满足定理3 ，l 的函数是存在的，如下例 例3 1 设2 p p + 5 n ，d ( 0 ，q p + 1 ，令函敷f ：一l ps i n ( 1 1 5 ) ，则，健) = f ( ) 满足定理3 的条件 事实上，对f 0 ，有 ，( ) = f ，( f ) = 删r + 扛2 ( 品s i n ( 1 1 6 ) + 6 e o s ( ”) ) = o ( 1 5 1 r 十扣1 ) 从而( ，1 ) 成立由于2 是s i n 的周期，可选取0 如 2 丌，使得c o s o 0 ，尉对足够 大的整数，f ( ( 如+ 2 栅) ) 有与c o s o 相同的符号，从而保证( ，3 ) 成立最后，由于 l f ( f ) i | 卵，对0 o 成立 推论3 1 对方程 r - d i v ( a ( z ，v u ) ) + ( z ) f 钍i p 一2 “= 芦n ( 。) ，( “) 届f t ， 祟= ( 】 。o f t ( 3 2 ) 5 若a ( z ) l 。c a ) x e s 8 1 醴1 ( 0 ，a ( z ，s ) 满足条件( n 1 ) 一( 0 4 ) ，( t ) 满足条件( ，1 ) 一( 厂4 ) ， 且有。s i i p k 坐学 o ，则当“ 肛时，牙- , e tc a m ) 有一歹q 无界的非负弱解 若将定理3 1 中关于，条件改变如下，可得下面结论 定理3 2 若a ( z ，s ) 满足条件( 口1 ) 一( a 4 ) ，( s ) 满足下列条件 ( f l ) i ( o ) = 0 ( ，2 7 ) 齐 0 ，使得s u pj ，( ) j l 。( n ) 培f o 御 ( ，3 ，) 存在r 中两数列t n ) 与 ) ，o n o ，1 1 , 1 冀tp 矿= t 缘1 n 石西丽t p i 两五，方程( 3 1 ) 有一列非负 弱解强收敛干口且互不相同 3 2 定理的证明过程 定理3 , 1 的证明t 事实上，由( ，3 ) 可得，存在一数列 矗 ，且靠一+ 。o ，使得，( 靠) 0 一子列 靠，) 使得矗 靠 矗+ 1 且 v t ( 靠，靠飞有f ( t ) f ( 靠) 定义 从而，存在 ( 3 3 ) 舭，= 甾 记g ( ) = 是g ( s ) d s ，玩= 扣( 留) w 1 p ( n ) ：忱n ，0 u ( x ) “ 札( ) = 如a ( 茁，v u ) d 留一弘矗a ( z ) g ( ( z ) ) 出由于w 1 ( n ) 紧嵌入l q + 1 ( n ) ，映射i - - - - + g ( u ) 是 连续的。从而r 是弱闭集，札有定义且为弱下半连续，并且在w 1 p ( n ) 中可檄 第一步，我们证明九( “) 在如上有下界，并且有极小值 事实上，v u e 。，当l n 时，由条件( ，2 ) ， 从而钆( “) 在岛中有下界，因此存在n 。= 犁札( “) o k n ，j 饥( t ) 6 k ，使得o g n 札( 饥) 。+ 女，因为 a l i v v a t p d x 五a ：v d 。? 警? + ：厶- 。g 讥。 4 2 。， + ；+ 芦n 嗡7 + 等玎) 五a 妇 6 所以 仇( 茹) ) 在1 一( n ) 中有界从而存在子列 。) ， 。政，使得u 。一i t 。既 n 。咖，( u 。) 一十。咖p ( 。) 十一n 。 ( 3 5 ) 因此“( “。) = o 。 第二步，我们证明妇f t ，u n ( z ) 【0 ，靠】 定义h ：皿一r 为 f 0 ( ) = t k t 0 0 t 矗 矗。 t 令t ：w 1 9 ( n ) + e 。，t u ( x ) = h ( ( 。) ) 记 + = h ( “( z ) ) ，x = 茁q ，t ( 霉) 隹【0 ，矗 ) 由 ( 3 3 ) 式及第一步，可知当z x ，矗 靠，g ( “( 。) 一丁u ( 嚣) ) = a ( u ( z ) 一靠) d ( u ( z ) 一矗) + 雨a 【u ( 茹) 什1 一f 纩1 ， 定义c = 器坚糕孵盟，有g ( u ( z ) 也( 。) ) g 一t u ( 。从而 札( u ) 一九( t u ) = 上a ( z ，v u ( 霉) ) 如一p 上。( 。) g ( u ( z ) ) 如一点a ( z ，v 乳) 出+ p 上a ( z ) g ( t u ) d x a u t u i i p 一，上o ( z ) a i u t u l q + 1d x q f 3 t 6 1 由s o b o l e v 嵌入定理，有 p a ( x ) c l u t u l q + 1 d x i z c li 一t u1 1 9 + 1 - | | n ( 茹) i i ， 从而 妒，。( u ) ，( t u ) 十i l u t u l f ( h 一# c 1 | | o ( ) i i 驴- i i “一t u f l 叶1 9 ) ，( 3 7 ) 因为t 连续，= t t h ， i l u t u | | l i “一t k l | 十l l t 一t 钍| | = | | t 一u 。| | + i l t 。一t t , i i 由q4 - l p 0 ，选取足够小的p 0 ，对“w 1 , 9 ( q ) 且i l u 一肛，使得a u c d l a ( x ) l l l r ij u t u i i q + l - - p 0 因t u 晶，所以钆( n ) 札( u 。) 从而由( 3 7 ) 式， 可得 钆( u ) 2 九( t u ) 钆( n ) 即钆在有个极小值 最后，对肛 旷= t 当1 n f 石砰话丽，取l 噩，使得 五1 厶选取子列 缸，) ，使得鼠， 缸， t k 艮对k n ，有 n 。s 妒。( t k ) = 五a ( x , 、t t k ) d 。- - i t 互a ( z ) z “，( s ) d s d x ! 一工p 从而。l 乎o 。= ，1 1 乎钆( 。) = - - 0 0 若局部极小点序列 t 。) 有界，则存在子列， k 叶+ o 。r + + o 。 不妨仍记为 。) ，有 。型咝丽w 1 巾( n ) 从而札( 西) s 1 i mi n f 钆( 。) = 一o o ，矛盾，证毕 _ + o o 推论3 1 的诫明，在空间1 ，一( n ) 中引入新的范数为 她n = ( 点a i v u i p d x + 互a ( 刮u i 如) ；，j nj n 由s o b o l e v 嵌入定理，它与w 1 9 ( q ) 中通常定义的范数是等价的类似定理3 1 的证明 过程，可知结论成立 1 定理3 2 的证明： 事实上，由( f 2 ，) 1 可知3 a 0 ，对0 t - ，有i ，( 驯a 定义 f ，固t i ， g ( t ) = f ( t ) 0 t ， 【0 t 旷= 。l i r a 。+ i n f 石而参蕊时，有。l i m 0 + s u p 厶坐娑业 j 取数列 h ) ，使h 单 调递减且趋于o v 仇n ，厶堂“瓷造生 贝4 存在而n ，烯 矗7 ，对常值函数 札( ) 札( ) = 札( k ) 5 五a ( x , v t m ) d x - 肛j t 。( 。) f ( 。m ) 如j nn ：一肛，。( z ) f ( t w ) 出 ( 3 1 0 ) ，土九( u n ) 。o a fl v u 。| p d 茁上a ( v u n ) d x 一九( ) + p 上。( z ) z “1 。( s ) d s d x 9 因此，l i mj u 。lr p = 0 因为钆( ) 0 为一实参数，五一：= d i v ( ( 1 + i v 牡1 2 ) 2 v 叻为指定非参数曲面的平均曲率 算子 所谓“嚼p ( n ) 是方程( 4 1 ) 的( 弱) 解，是指v v 喇p ( q ) ，有 上( ，+ i v u n 譬v u v v d z = z 川p * - 2 u v d x + a 上，( 。，) ”d x 我们对f ( x ，s ) 做如下假设t ( ，1 ) ，( z ，s ) ：丽r 一醒是连续函数 ( ，2 ) l ，( z ，8 ) 1 c ( 1 + 8 1 9 1 ) ，v ( 羁s ) n r ，其中p 0 ，0 0 ，p + 0 p + ，使得0 0 ，使得当a 抽时，方程( 4 1 ) 至少有一 非平凡解 4 2 ( p s ) 。条件 在下面，用x 表示喇1 9 ( n ) ，记| | t 暇= 矗i v u 9 d x ，方程( 4 i ) 对应的泛函为： ，( 札) = ；z ( - + i v u l ， d x - ) , 上f ( x , u ) d x 专点川矿如， ( a 2 ) 则易知j ：嘲，婶) 一r 是c 1 的，其f r 4 c h e t 导数为： ( 咄归( 1 + 帆4 2 ) 学v u v v d x z p * - 2 u v d 2 一m ”d x ，v v 甜，4 4 3 ) g t j n n 从而，( “) 的i l 缶界点即为方程的解 对a ( z ，v u ) = ( 1 + i v u l 2 ) 2 v “，有a ( x ，v 牡) = ；l ( 1 + l v ”1 2 ) g 一1 1 ，它满足引言中 的条件( a 1 ) 一( a 4 ) ，同时，由于a ( 。，v u ) 比较特殊，它还具有下面的性质， ( n 1 ) ：0 曼( 1 + i w l 2 ) 2 手i v “1 2 ( 1 十t w l 2 ) g 一1 ( a 2 ) ：；1l ( 1 + i v u l 2 ) g l i a v u i p ，其中a 0 为常数 另外，由文【l l 】知，通过积分，条件( a 1 ) 蕴涵着， ( 0 3 ) ：；ll ( 1 + i s v u l 2 ) l 1 l ；1 ( 1 十酬2 ) l 一1 p v s 1 ，甄， 用类似方法，条件( ，3 ) 蕴涵着z ( ，5 ) ：f ( x ，s ) f ( z ，v ) s p + 。，v f u f 印，s 2 l ，盘珏 下面我们验证由( 4 2 ) 定义的泛函，满足山路引理2 1 的条件 引理4 1 存在p 0 ，a 0 ，使得l ( u ) l o s e ( o ) n 0 证明t 由( f 4 ) ，垤 0 存在d 0 ，当 6 时，使i ，( 文3 ) l c l s l ”- 1 ，积分得， f i x ，u ) l ：m i p 由( ，2 ) 得tv ( 茁，s ) s 2 r ，l f ( z ，8 ) 1 c i s l + ；1 s 1 2 ，其中p 叮 0 所以 j ( ) a v “l p 出一a 正f ( z ，u ) d x 一刍z 矿如 = a fl w l 9 咖一 五l 。f ( 。，u ) d x - 五脚f 池珏) 如一上嘉矿如 a fl w , 1 9 如一等兀出一 厶脚水i 如a 不融；川2 出一刍五p 出 a 上f v ”f 出一a ；z 川如一a 五c l i 卵如一专上川矿如 由s o b o l e v 嵌入定理，存在正常数c 2 ，c 3 ，c 4 使得t j ( u ) a fl v u l 9 幽一a 啦( f n1 w l ，如) ；一a 警上| v u | 出一拳( zi v u | 出) 譬 = a i 警一a 睨曼一a 警l 量一剐嘣 由p 1 ，取伽0 且咖e x ，伽( 霉) 8 0 ， ，( 。撕) = ；z ( ，+ 。v 呦 2 ) l 一，】d x - - 、正f ( 。，t 撕) 如一专上i t 咖f 如 菩似叩计肛- d x - a t p + 口帅 蛇0 f 轴) 如+ m i 卟詈加r 出， 其中m ：s u p ( i f ( z ，8 ) 磊，1 8 s8 0 ) 因为f ( z ，) o ，从而当_ 时，有 j f t 伽) 。一0 0 因此，存在t p 使得j ( t o ) 0 这就证明了，存在e 。t u o x b a o ) 满足z ( e ) 0 i 显然由引理4 1 ，引理4 2 及，( o ) = 0 ，可知山路引理条件满足，令r 是x 中联接0 与e 的道譬冬的集厶，即r = 9 c ( i o ，1 ，x ) l g ( o ) = o ，删= ej 再记c 一口i n f r 延m 川a x 砌( 吼 则有f 关于c 有( e s ) 。序列 下面我们证明这样的( p s ) 。序列在x 中有界，即下面的引理- 引瑗4 3 ，的每一个( p s k 序列在x 中有界 证明t设 ) 为j 的一( p s ) 。序列，因为 f ( ) 一i 南( ，( 锄) ，) = ；肚们蚶烀- 如一南上( - 叩甜) 譬i 吼坪如 一入互f ( z ，u ) 如+ 丢厶“孔) 出 一歹1 上p 如十巧上k 旷出， 由条件( ，3 ) 得。对l 8 0 ，有 成立，由此及条件( 口1 ) ，得 南m 胁) _ f ( z ，) 。 j ( ) 一d 弓，( ) ，) ( ；一弓) 上【( ，十l v 门一， d x - 、j n f ( $ ，) 出+ 上，( 为) 如 一嘉小r 如十南加恤 ( ；一南) 胁们删。 如+ 止。 刍他隔) t k - a f 忙，h 如 一( 嘉一矿1 而) 上i 矿如， 令m = 8 u p 1 南，( 羁) - f ( x , u ) l 豆，i ( 删s 0 ) 移项，整理得4 ( ；一去百) 上 ( ，川v 固8 一 咖 纠一南( ，b 。) 胁) + a m i 卟( 嘉一南) z j p 。 1 2 将条件( a 2 ) 代入，有， ( 1 - 南) a 五陬阳z ，( ) 一歹而1 ( ，7 ( ) ，) + a m i n i + 歹1 一p + 刍) z l u l l r 如 利用s o b o l e v 嵌入不等式，由上式及i ( u n ) 一c ，( u 。) 一0 ，得， ( 1 - 歹为) a i i i l 妥+ 备云车并训u 川蔓，( ) 一p + 1 _ o ( 以) ，。) + m l n ；c + o ( 旷黠忪。i i x + 删呲i 若 ( z ) 无界，不妨设| | 1 1 - 一+ o 。，m 一十o 。) ，两边同除“。暇，当n 一+ o 。时 因为l 一南 0 ，上式左边一+ o 。，右边一0 ，矛盾 1 4 3 生要结论与定理的证明 记b ( x o ，r ) = 茁ni 茁一如i r ) ，选取截剖函数l p c 8 0 ( - ) ，使得0 妒1 ，且 在b ( o ，；) 恒为l ，s u p p 妒cb ( 0 ，1 ) 记性= 烈；) ，e o 下面给出将要用到的一个技术 性结论，由文【9 l 引壤4 4 对任意的缸r j r ，u 酽( r 1 ) ，有t 1 u ( 霉) v 恍 一抚) r d 。( i v 妒i 岛出) 争( ： 川9 如) 号 引理4 5 对引理4 3 中满足( p s ) 。条件的 “。j ，存在子序列 。) 和“x ，使得 k 一时，有( 1 + l v 。1 2 ) 字v 钍。一( 1 + i v u n 孚v u 证明t由引理t 3 ，因为 在x 中有界，由s o b o l e v 嵌入定理，可知 ) 在矿( q ) 中有界，在p ) 中为列紧的设有子序列，仍记为 ) 和牡x ，有- 睦r 嚣l ( 4 4 ) ( 4 5 ) 1 存在最多可数的指标集j ，不同点的集合 x j j j 及 吩 c ( o ，o 。) ，使得t ( 4 6 ) 2 存在p s 垆，使得； p i v u l + 脚屯 ( 4 7 ) j j 其中s 为s 。b 。i e v 嵌入吲9 ( n ) 一l p + ( n ) 的最佳常数，即s = ( ) 。i w n f ，( 牾警，屯为 q 的d i r a c 测度 分两步证明引理4 5 ： 第一步t 存在至多有限点子r 的有界子集上 对固定的足够小的s ，有l p 佃一町) x ，矗i 0 一町) 1 9 d x 如l 9 d x ，由引理 4 4 ，得， v ( 协 一句) ) 1 9 d x 2 p 。( 1 v 恍( z 一) i f 1 9 + i 协 一勺) 严t w i ) d x j nj n 妒1 m 叫p d 妒( 正。阿i 为学+ 上l v 蚶d 司， 即 恍扛一q ) ) ) 在x 中有界，对( ( “。) ， ) ，由，铷。) 一0 ，取 = 忱 一q ) t r i ，则有t ! ( 1 + i v 一学i v t t l 2 ( x - x j ) 如+ ! ( 1 + i v u 一学v v 恍( x - - ) 如 抽 r， 。q ( 4 8 ) ， 、， = 皓( 。一) l 钍。i p + d x + 妒。( 嚣一茁j ) t 。，( 正，u 。) d z + d ( 1 ) 因为对任意的d 0 ，存在岛 0 ，由y o u n g 不等式，有t ( 1 + f w 1 2 ) 呼v v 恍 一x j ) d x l j n 6 五 ( 1 + i v u 。1 ) 孚f v u 。| 寿出+ g 上i v 忱 一) 1 9 如 由( 4 4 ) 式及恍0 一) 的定义，利用s t r a u s s 引理【1 9 有一 从而有 l i r a 厂| v ( z “_ + 。，n 妁) 1 9 如= 厂| 钍( z j n ) 严d x 甄i 正( 1 + l v 甜i ) 孚v “n v 硝。一) 如j 凰z ”l v u ) 譬 v 圳盎蚺c a f a l u v 妊( - z j ) l 1 4 由引理4 4 ，有， zi u v 铅( 。一x j ) 1 9 如c - ( z 白di “i 矿出) 芳 其中c l = ( 厶。l v l p l 焉d z ) 2 尹是常数，又因为i f ( x ，s ) l c ( 1 十i s r l ) ，有。 熙以恍( z x j ) f ( 。，讪。) t t 。如= 厶恍 一) ，( z ，) 如 因( 1 + f v “。j 2 ) 2 笋f v f 2 f 可n 。h 由( 4 8 ) 式，得； 。l 。i r a 。j n i v u n l 9 纯忙一x j ) d x 恕点( 1 + j v u 1 2 ) n - 2 2 l v 1 2 快 一x j ) d x 恶厶忱 一) l ：d x + ，熙a 厶睡。一) ，u ) d z + 。l i r ai ! ( 1 + f v f 2 ) 学v u n v 忱p 一巧) 如i s ，熙上仇一) k f 矿如+ 熙a 上仇。一町) ，( 。，) 如 十铙c 1 ( | u 旷如) 声+ 5 c ， j 口( q ，e ) ( 注意 ) 有界，从而岛( 1 + l v 1 2 ) 宁i v j d x 厂n ( 1 + i v 1 ) p 一1d x e ) ，从而； 上 ，恍扣巧) 中s 上 一q ) d v + a 上忙一) ，( $ ，钍) “d x + c 6 + c j c l ( i uj 9 d 茹) 乒 ，b ( z j ，e ) 因此； p ( 口。一町) ) 5 ( b ( q ，) ) + l ， ，u ) u d x 十c 6 + c o c l ( m p + d 。) 争， j 日扛， )j b ( x ) 由集中紧性原理，令e o 十，有t 萨s 峪+ 5 c ，再令6 一o + ，有p 尹s 吩，即 吩s i b 0 ，i 矿 印) ，对于0 0 ，札( z )