（基础数学专业论文）某些解析函数族与亚纯函数族的性质.pdf

致谢 p s s 2 2 0 本文是在导师姚璧芸教授的悉心指导下顺利完成的。在两 年半的研究生学习期间，导师姚璧芸教授的谆谆教导和无微不 至的关怀使我深受其益，在此致以衷心的感谢! 同时也向那些 在学习和生活上关心、支持和帮助过我的同学和朋友们表示深 深地感谢1 4 某些解析函数族与亚纯函数族的性质 摘要 本文分两章。 第一章给出某些解析函数族的包含关系，主要是函数族屿，d i r i c h e t 型 空间矗( 1 p 2 ) 及b e s o v 型空间曰一与函数族q ，的关系。与之相对应，我 们研究某些亚纯函数族之间的包含关系，即叫，硭，曰，一与q 5 ( 0 p 1 ) 之 间的关系。 第二章用广义的c a r l e s o n 测度研究o ，( 0 p 1 ) ，加权b e r g m a n 空间娥 上复合算子的有界性及紧性。同时探讨了b n 上复合算子的紧性，改进了 b m o a 上复合算子为紧的一个充分条件。 关键词 卅，b p ，o ，徘，广义的c a r l e s o n 测度，复合算子，有界性，紧性。 t h ep r o p e r i t i e so fs o m ec l a s s e so f h o m o m o r p h i c a n dm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yc o n s i s t so ft w o p a r t s t h e p u r p o s e o ft h ef i r s tc h a p t e ri st os t u d yt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns p a c e s 坞，d i r i c h l e t t y p es p a c e s0 ( 1 p 2 ) ，b e s o vt y p es p a c e sb y 4a n dt h er e c e n t l yi n t r o d u c e dc l a s s e so f f u n c t i o n sq p ( o p 1 ) a s c o m p a r e dw i t ht h em e r o m o r p h i cc a s e ( 叫，曩，曰p ，q ；) ，w e g i v es o m es i m i l a rr e s u l t s i nt h es e c e n dc h a p t e rw ec h a r a c t e r i z et h eb o t m d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft h ec o i i l p o s i t i o no p e r a t o r so nq p ( o p 一1 ， q p = ，：，日( d ) ，s u p j ，( ：) 1 2 9 ”z ，a ) d $ d y ) a e d jj d 屿= ，：f 日( d ) ，s u p _ l ，( ：) 1 2 ( 1 一l ( z ) 1 2 ) d z d y ) a e d jj d q 5 = ，：，在d 上亚纯，s u p 上l ，i ( ：) 1 2 9 p ( z ，a ) d z d y m ) e d jj d 柳= ，：，在d 上亚纯，：酱二i ，i ( z ) 1 2 ( 1 一i ( ：) 1 2 ) 9 d z d ， o 。) 。= ，f 日( d ) 尚m 1 儿l ，( 圳2 9 9 ( 印) d z d y = 。) 口；旷 ，：，矗础亚绝，尚m l 儿i ，2 9 p ( z , a ) d z d y = o n = ，：f 在d 上亚纯，s u p i ，0 0 ) 1 ( 1 一吲2 ) o 。) ，n 称为正规函数 z t 上， n o = ，：f 在d 上亚纯，。斗m i ，i ( z ) j ( 1 一2 ) = o ) f ：l _ i a 2 = ，：f 日( d ) ，厶i f ( ；) i d k ( z ) 。) 其中厶。( z ) = ( 1 一 r d a ( ：) ， 妒。( z ) = 摇是d j = f i 9m d 6 i u 。变换，g ( z ，。) = l 。g i z - - a l g r e e n 函数，培 筇甚牛是，( z ) 的球极导数( ，( z ) 为亚纯函 数) 。 对这些函数空间的研究有一个较长的历史过程，p = 1 时，从 2 和 3 j 3 知，q 1 和肘- 相同且就是b m o a ( 有界平均振动解析函数空间) ，它产生于六 十年代初。q ，和屿( o p 1 ) 是b m o a 的拓广，而0 3 及哪是q ，和蚂，在 亚纯函数中的类似物。在八十年代初y a m a s h i t a 1 】和姚璧芸 3 对q ! 及q 就给出许多研究。按 1 】的记号q i 即u b c ，q ：。即u b c o 。x i a o j i e 对q ，及 啡做了大量工作，从 5 】，我们已经知道口，cq 。，日5cq 5 ( 0 p q 1 ) 。 一4 序言 6 ，【7 】中研究了q ，m p 等空间与b e s o v 空间，且一空间的关系。 8 中说明 v o ( p o c _ ，q ，= m p ，但是v o p 0 ， t ， ， = ，：，日( d ) ，f i ，( z ) 1 9 如d y o o ) j ，“ 掣= ，：，在d 上亚纯，_ | ，4 ( 。) f 如d y 。o ) jj 上) 在p = 2 时，b 为d i r i c h l e t 空间，它的几何意义是象面积( 计重数) 为有限的 解析函数空间，砖相当于球面上的d i r i c h l e t 空间，故我们称为d i r i c h l e t 型 空间。 4 1 中给出1 2cv m o a ( 消失平均振动解析函数空间) ，砖cu b c o 。在 i 5 我们又可看到更精确的包含关系lcn 。q 们，cn 。q ：( 因 为q 扣cv m o a ，础ocu b o o ( 0 g 1 ) ) ，同时在【1 0 】中指出0 p 2 ， v m o a 。从这些结果中我们知道黎曼象面积是否有限可以刻画函数 空间，它在函数空间中也有相当重要的的地位。在第二节中，我们给出在 1 p 2 时，啊与这些函数空间的关系。在第三节，我们定义b e s o v 型 空间曰，在0 a 1 时，给出它与q ，( 0 p 1 ) 的关系。本章同时也研究 了这些空间的小。情形，得到了相应的结论。 第二章主要考虑口，加权b e r g m a n 空间敷及b e , s o v 型空间伊，。上的 复合算子。设庐是d 上的一个解析自映照，是d 上的解析函数。定义 q ：，一，。毋，称是关于毋的复合算子。在 1 1 ，1 1 2 中。已通过计数函 数，c a r l e s o n 测度研究了有关b m o a ( 即q ) 上复合算子的紧性。我们这里用 广义测度为工具来研究仉及b e r g m a n 空间上复合算子有界及紧的条件。 最后我们研究了b ”上复合算子的紧性，给出伊，a 上复合算子为紧的一个 充分条件。 第一章聊，及b 舭，b ”与q ，q 的相互包含关系 1 1 删与噼的关系 由于v 0 z 1 ，1 一z l o g 言，因此v 0 p o 。，口 c 叫。又在 9 中已 经知道当1 p o o 时，0 3 = n ；且叫旺q ；( 0 p o o ) ，由【5 ，当0 p 1 时，q 5 cn 。现在我们来考虑0 p 墨1 的蟛与0 ：关系。 定理1 1 1 设0 p 1 ，则n 硎= 口3 。 证明：只须证明n 碑c 印 ( 0 p 茎1 ) ，设，n n 聊，v a d ，0 r 1 ， 令矿( a ，r ) = ：l 三i r ) 是以。为中心r 为半径的b e r g m a n 圆，则 厶m 汗( 1 0 9 高) 9 州：) = 厶嘶艄r 1 0 8 丽1 珂) 嘲+ k i f r 1 0 8 丽1 珂) 州z ) = n + 口 由于f 叫，故 。o 厶帆( ：) m w z ) m a ( z ) c p 。s u 。p ， 。i f 2 ( 1 一m = ) | 2 ) p d 制 。 又由于，n ，我们有 p = 矗，i ( 圳2 ( 1 0 5 桐i ) p d a p 引s u p ) i f 2 ( 1 制) 2 ) 七( 钆产8 朗1 一m 嘞且( = )矿( ，)。u i 钆i jl j s 2 ”e z ( 1 一击) 。2 ( 1 0 9i 1 ) 由 。 所以成立 supl，l(。)12(109aedj d南) ( ：) o ol 妒nl oj l 第一章聊，及酽。，b ，- 一与诉阱的相互包含关系 即f q 。 注：在本文中c 表示常数，且在不同的地方可表示不同的值。q 表示 只由p 决定的常数。 相应于口：我们定义 叫，。= ，：，在。上亚纯，l 黯o i ，。( 。) l2 ( 1 一i ( ：) 门”如却= 。) 对于叫。口；，。也有类似的结论：显然有啡，。c 碑。( o p 1 ) ；由 1 ，口i ，ocn o ，故有q ：oc 0 ( o p 1 ) 。在0 p 1 时，叫。与q ；，。由如下的关系。 定理1 1 2 设0 p 1 ，则0 n 叫，o = 口；，。 证明：只须证明n o n 畔，。cq ；，。( o ( p 1 ) ，设，0 n 叫，。设h j 为 d 中任一点列，且i a 。i 一1 ( n 一) 。取r ，满足 r 0 ，可取0 1 ，使得i 0 n 时， k i 罴 则v z 驴( n 。，丑) ，有 “拦焉呻f 所以_ ( 口。，咒】cf ：加 n 时， 胚s u p r l ：) 1 2 ( 1 一2 ) 厶。固( 1 一。( 1 0 9 赢) 9 。a ( z )可( a 。，r ) j u l n n ，r )l nl 2 j l 万黑、：) m 一2 儿j u ( o ，r ) ( 1 一( = ) 旷( 1 。喑i z ) 9 盹( ：) 阳( z ) - 【r 】 ，)】 “ 咏s u p 。 i 2 ( 1 一2 ) _ ( 1 0 9 亩) 9 ( 1 一。d a ( j u ( 0 z ) 7 0 k l o ) 在零点的奇异性可忽略。这样由 的任意性，就有 l 器厶i ，l 甩1 0 8 厕1 ) d a ( 加。 即有，让o 。 5 1 2 有关的性质 前面已说过如即d i r i c h e t 积分有限的函数，必属于v m o a 。又 1 0 中已 经知道在0 p 2 时，不能保证属于v m o a ，也不能保证属于b m o a 。 那么在怎样的条件下一个函数可以属于v m o a 或b m o a ，下面来回答 这个问题。 记b = ，：，在d 上解析，：s u 。p ( 1 一h 2 ) l ，( ：) i o 。 ，即b 1 。c l i 函数族；定义 m l b = s u ，p 。( 1 一2 ) 1 ( 。) j 。玩= ，：，在d 上解析，。婪鼍( 1 一h 2 ) 1 ( ：) l = o ) ，即小 ：t ui = f + l b l o c h 函数族。 8 第一章叫，及口一，b 一与诉钟的相互包含关系 一一 定理1 2 1设1 p 2 ，则n b cq 口( 2 一p q l j 。 证明：设，n b ，( 1 p 2 ) 。由，b 知， s u p ( 1 1 4 2 ) i s ( ：) c 3 0 6 d 又，我们有厶1 ，( 圳9 d a ( ：) m 。现设”= 垆。( z ) ，“w ) = ，( 暑笔) 一，( a ) 。 v a ：。一p 。 ，取t ，满足等三产 t 一，则 i s ( z ) 1 2 ( 1 一( z ) 1 2 ) q d a ( z ) j d ：ll i ( 。) i 。( 1 一i ”附d a ( ”) s u p l g ( w ) l ( 1 一l ”1 2 ) ) 2 一。f nl g 。( ”) l 。( 1 一 ”1 2 ) 4 + 。一2 d a ( w ) w e d j u s u p i ，( ：) i ( 1 一l z l 2 ) ) 2 一。( ，_ i g ( ”) 1 9 d a ( ”) ) ； z e d j d ( ( 1 一1 w l 。) 嗨d a ( ”) ) 宁 s c * ( di g ( w ) 1 9 a a ( ”) ) ；( 厶( 1 一i ”1 2 ) 警以( ”) ) 孚 c d mi f ( z ) l d a ( z ) ) ( 厶( 1 一2 ) 訾甜( ”) ) 孚 曼g 妇( 厶( 1 一1 w 1 2 ) 訾姐( w ) ) 宁 一1 。这样就有，口。从而 n b cq q ( 2 一p q 1 ) 。 由于q 。cb m o a ( o g 1 ) ，且包含关系是严格的。因此 推论1 2 1 设l p 2 ，则n b cb m o a ，且包含关系是严格的。 类似地有： 定理1 2 2设1 p 2 ，则i p n b o cq 口，o ( 2 一p g 1 ) 。 证明：设，厶n b o ( 1 p o ，取如，o 如 1 ，取t ，满足掣 f p ，由前 9 第一章明及口一口”。与q ，q ；的相互包含关系 一 一节的定理证明过程， ，( z ) 1 2 ( 1 1 妒。( ：) n 。d a ( ：) =：。m)12(1小。12)。da(卅k。)ifd ( 圳2 ( 1 扎“( 圳2 衅) ， 一u f o hf c l o u i o n ，r =q + 序 由定理1 , 2 1 的证明， a q a j o ( 卜i z n 呼d a ( z ) ) 宁 0 ，敌只要r 。充分接近1 就有n 0 ，取o 5 1 ，使得6 引 1 时， ( 1 一即) i f ( ：) 1 时，驴( ，n ) c ：5 i z i 时， 卢疗i u 曼、 i ，( z ) 1 2 ( 1 一l z l 2 ) 2 ) 石( 。，。) ! ! 擀d a ( z ) ，( n n 】r f ) 、 。 一s冀、m：)mm20，。)(1一9q。且(：)u(o n ，) ” gs u pl ，7 ( g ) 1 2 ( 1 一 ) 2 g e 妒曼( 1 因此由 d 。) 的任意性知，q q ，o ( 2 一p g 1 ) 。 因为v 邮cv m o a ( o q 1 ) ，且包含关系是严格的a 因此有： 推论1 2 2 设1 p 2 ，则n 玩c v m o a ，且包含关系是严格的。 下面是亚纯函数时相应的结果： 定理1 2 3设1 p 2 ，则 茸n c 母：；g n n oc q ：。( 2 一p q 1 ) 第一章叫i p 及b p , n i 口一d 4 与q ，砚的相互包含关系 一一+ 推论1 23 设1 p 0 曰一= ，：，日( d ) 1 。, 伽p i i ( z ) m 一胛i 一2 ( 卜眦) 1 2 ) 以( z ) o 。) 琊= ，：，日( d ) ，i 瓣厶批) m m 一( 卜z ) 阳a ( 2 ) = o ) b p = ，：，日( d ) ，船厶j ，( ：) m l z l 2 尸- 2 d a ( z ) o 。) 彤= ，：，在d 上亚纯，：器厶l ，。( z ) 1 9 ( 1 1 = 1 2 ) p - 2 d a ( z ) o 。) 我们再定义几个函数空间：设0 sn m ，o p ， 胖= ，：，日( d ) i 。s u 。pj 。1 1 7 ( z ) m 1 2 1 2 眦1 一呲) 门“以( = ) o 。) 日扩= ，：，日( d ) ，j 牌厶m ) m 一i 冲( 1 一m z ) f 2 ) ( ：) = o ) b r 一= ，：，在d 上亚纯，：普厶i ，4 ( ：) r ( 1 一h 2 ) _ 2 ( 1 一i ( z ) 1 2 ) 。a ( z ) ) 曰护。= ，：，在d 上亚纯，l 当m 1 厶i ，l ( 。) j ( 1 i ：1 2 ) 9 _ 2 ( 1 一j p 。( ：) 1 2 ) 。“( z ) = o 当1 a 时， 由【2 3 ，b p a = b ；_ 8 s “= b o 。由( 5 】，口n = b ；q a ，0 2 且u 因此，口p 4 = q 。；懿4 = q 叩 第一章嘶，l 及b p 一，b p 一与0 ，诉的相互包含关系 当口= 0 时，b p ，o = b ，x i a o j i e 7 已经探讨了易与q 们( 0 q 1 ) 的关 系，即有 b pcn 口qo ( 2 p o o ) ；b ，cnq qo ( 1 ps2 ) 譬 g 1 o q 1 且包含关系是严格的。 当n = 1 时，曰，1 = b v ，缪捷 6 给出 b ”cq 1 ( 1 p 2 ) ；0 1cb ”( 2 p o o ) 且包含关系是严格的。 在0 a 1 时，情况又会怎样? 本节来回答这个问题。 首先我们给出二个引理。 引理1 3 1 设0 a 。，0 p o o ，若，b p 一，则，b 且存在常数 c ，满足1 1 1 1 b c l l f l l 且一，这里 l i l i b n a = s u p i f ( ：) 1 9 ( 1 一i z l 2 ) p - 2 ( 1 一i 妒。( ：) 1 2 ) “d a ( = ) ) ； a e dj d 。 证明：当1 a o o 时，由 2 3 定理，我们立即得到结论。当0 1 ，由上面这种情况知， i l i b c s u p l ，( z ) 1 9 ( 1 一i z t 2 ) 一2 ( 1 一1 p 。( = ) 1 2 ) 。d a ( ：) ； a e dj d c s u p | ，( z ) 1 9 ( 1 一i z l 2 ) 9 2 ( 1 一f ( ：) 2 ) “d a ( ：) ) a e dj d 。 c l t f l i b ，n 故| | ，| | 日曼c l l 1 1 日。 引理1 3 2 设。 a 1 ( 女 1 ，2 ，) 。则下列条件等价： 。c ( 1 ) ，b ”( 2 ) ，联。( 3 ) 2 k c x - ( 1 ) l a k l 9 o 。 m = 1 证明过程类似于 6 中当a = 1 时的证明。 1 2 ， 第一章蟛及b ”，b ”。与诉讲的相互包含关系 下面给出这节的主要定理： 定理1 3l 设0 a 1 ，则 b p l 。cb 船。 ；丑s “。c 曰护。( 0 p l p 2 o 。) 并且包含关系是严格的。 证明：设0 a 1 ，先证b p ” b p 。( o p l p 2 o o ) 。设f ( z ) b p 一1 ， 由引理1 31 ，( ：) b 且有i i f l l b 茎c l l f l l s nn ，则 厶i ( ：) 1 9 7 ( 1 一 p 2 - - 2 ( 1 一：) 阳d a ( z ) ；s u 。p l l ( z ) i ( 1 一i z l 2 ) ) 9 。一9 1 。s u 。p ， 。i i ( z ) 9 1 ( 1 一i z i 2 ) 1 2 ( 1 一f 妒a ( 2 ) 1 2 ) 。且( z ) 。 从而 s u p i ，( z ) 1 9 。( 1 一h 2 严。2 ( 1 一 ( z ) 1 2 尸d a ( z ) o 。 a 6 d j d 即( z ) b p 2 。同理可证曰s “。c 日酽4 ( 0 p - p ： o o ) 。现在说明包含关系 是严格的。 设o p 1 p 。 。，取北) ：壹2 一! 掣：”，则 k = l 手川“：手k(1-c,2k(1-a) 2 - k ( 1 - c , ) ( 署_ 1 】 0 0 川“= 并。 = 1k = 1 由引理1 3 2 ，( ：) b m ”。但2 ( “。胁1 9 1 = 0 0 ，据引理1 3 2 ，( z ) b “。 k = l 由定理1 3 1 及q 。= b 2 一，q 邮= 霹4 可以直接得到： 推论1 3 1 设0 a 1 ，则 b 9 一cq 。；璐4cq 。，0 ( 0 p 2 ) q 。cb 9 “；口。，0c 曰s 。( 2 p 0 0 ) 并且包含关系是严格的。 对于解析函数有这种性质，我们要问对予亚纯函数是否也有相类似的 结论呢? 其实日，一：不具有b 一那种关于p 的单调扩大性质，但可以简单地 证明v 0 a o o ，当0 p 1 p 2 0 0 时， n 曰扎。c n 曰砘。 ； n b g 似。c n 口g 。 。 一1 3 一 第一章嘲，及b 一，b ，。5 与，。；的相互包含关系 相应于定理1 3 1 ，我们得到 定理1 3 1 设0 ( q l ， n 曰9 l ，“cn n b e - , ，“ 并且包含关系是严格的。 说明：证明与定理3 , 1 证明过程相仿，从略。由于上面说举的函数，( 。) 是有界解析函数，因此i ，( 划与| ，4 ( ：) i 等价，故，( z ) 可以同时说明曰一4 ( 叫 43 ) 删 关于p 是严格单调扩大的。 相应于推论1 3 1 ，我们也有 推论1 3 1 设0 n 1 ，则 n b p ，a 爿c0 0 q 詈cn n 口”8 并且包含关系是严格的。 n 曰g ，吃q 耋0 ( o p 2 ) q 翥c n n 璐。( 2 p 嘲 1 4 阮 n 0 n 野 nc a p 0 口n 则 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 设是d 上的一个解析自映照，是d 上的解析函数。定义c o ：，一，c ，曲， 称c 。是关于的复合算子。复合算子的研究是解析函数论和算子理论结 合的产物，通过研究复合算子，可以利用经典解析函数论中的结论来探讨 算子理论中的基本问题，也能利用算子理论作为工具研究函数论中的经典 问题。近些年来，已研究过许多这类问题，并且一些非常深刻的结果不断 出现。复合算子的有界性研究产生于著名的l i t t l e w o o d 从属原理【1 5 】，它的 进一步性质紧性也与函数论结果发生联系。对( 加权) h a r d y 空间矿有很广 泛的研究 1 4 】 f 1 5 】， 1 1 j 1 2 】中通过复合算子研究b m o a 空闯， 1 6 中也同 样通过复合算子来刻画b l o c h 空间。 下面我们简介算子紧的定义及等价条件。设t 是线性赋范空间x 到线 性赋范空间y 的线性算子，若它把x 中的有界集映为y 上的相对紧集，则 称t 为紧算子。我们考虑线性赋范空间上算子紧的等价条件。设x ，y 为线 性赋范空间，t 为紧算子的一个充要条件是若 ，n 在x 中有界，则t r 厶) 在y 中有收敛子列。 本章主要讨论空间q ，( 0 p 1 ) ，加权b e r g m a n 空间戢上以及伊一空 间上复合算子的有界性及紧性。 2 1q ，( o 1 9 1 ) 上复合算子的有界性及紧性 设j 是o d 上的一段圆弧，i j i = d o ，西为a d 上的规范l e b e $ g u e 测 度。定义，上的c a r l e s o n 区域为： s ( x ) = r e 讲：i 一1 引 r i ，e 糟j ) 给定p ( 0 ，o 。) ，设芦是d 上的一个正的有限b o r e l 测度。称p 是一个p - c a v l e s o n 测度，若1 1 , 1 1 ，= 器丛簖碧 o 。；称p 是一个消失p c a m s 。n 测度，若 f 掣- o o 在 1 3 中，已经给出单位圆盘上一个解析函数，属于0 ，( 0 ，。) 的一个充 要条件： 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 定理a 设0 0 ，存在r ，0 r 1 ，使得 v ，eb m o a ，l i f l l ，s1 ，v ico d ，成立 x n ，( ：) ( 1 一i z l 2 ) 1 i ( 庐( 2 ) ) 1 2 曲( z ) 1 2 d a ( z ) e l j l 其中i l f l l 。：s 。p 婵牡+ i f ( o ) l 。 i c o dl i 定理b 中如，= ( 1 一2 ) t f7 ( ：) 1 2 d a ( z ) ，我们猜测在q ，( 0 p 1 ) 也有类似 的结果。 定理2 1 1设0 p 1 ，垂( = ) q ，是d 上的解析自映照，q 在q ，上 有界的充要条件是v ，吼， i f l l o ，i ，存在r ，0 r 1 ，满足 恶丽1 乩m ( = ) ( 1 一i f ( 荆) 附( z ) 1 2 d a ( z ) o o ( 2 1 ) 证明：必要性：设，q p ，咖，= ( 1 一i z l 2 ) p l f 0 ) t 2 d a ( z ) 是一个p c a r l e s o n 测度，若咏在q ，上有界，则，o q ，。故( 1 一i z l 2 ) 一i ，( 庐( z ) ) 1 2 ( z ) 1 2 d a ( z ) 是 一个p c a r l e s o n 测度。显然( 2 1 ) 成立。 充分性：设f eq ，i l y l l o ，s1 ，取r ，0 r 1 ，使得( 2 1 ) 成立。因为 阡1 ( 1 邛门w 。( 北川2 眦妒州；) = 赤厶糯( 1 卟1 2 川，仳川2 肌扩州z ) + 赤砷( 1 邛1 2 ) p i 九北川2 肌胪州z ) 茎尚丽1 凡m ( ：) ( 1 一9 i ，( 俐附( ：) j 2 d a ( z ) + 器丽1 厶砷( z ) ( 1 一1 种l ，( ( 删肌) j 2 鲥( z ) ( 2 2 ) 一1 6 一， 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 取引理1 3 1 中的p = 2 ，n = p ，我们得到ir l l b 曼c l i i i q 。又由于( n ；) 是d 中的一个相对紧集，故，( 曲( = ) ) ，( ( = ) ) 在n ；在上有界。于是有 赤l 姗( 1 却1 2 州，和扩眦炉州z ) 剑刑日阡1 厶硼( 1 斗1 2 ) p ( 1 州门。2 批铲删z ) c 杀毒赤厶( - 斗1 2 一毋k 炉州z ) sc r i i i i q ， 故 脚s u p 。i 南厶( = ) ( 1 卟一i ，7 ( 北) ) 1 2 肌) 1 2 州枢g 再由( 2 1 ) 式知 船赤厶( 1 卟n w b 汗肌圹州枢。 o 。 故由( 2 2 ) 知1 1 1 。训口，sc ，从而在印，上有界。 在讨论q ，上复合算子紧性之前，我们先给出一个有用的引理： 引理2 1 2 设0 p 1 ，庐( ：) q p 是d 上的解析自映照，c 为口，上的 复合算子，对。p 中任一在d 上内闭一致收敛于。的有界函数列 ) ，若 ，。) 依q ，范数收敛于0 ，那么c t 在q ，上为紧。 证明：用u 表示口，上的闭单位球，设 厶) 是u 上的一个函数列，我们 希望证明函数列 o 厶) 在0 ，中有一收敛的子列。由引理1 3 i ，v n ， _ 日 且i l 怕c l l 丘 l o ，c 。则 ，二) 在d 中内闭一致有界，由m o t e l 定理，能得 到 厶) 的一个子列( 仍记为 厶 ) 在d 中内闭一致收敛于d 上的解析函数 g 。又| ，n 慨1 ( n = 1 ，2 ，) ，故 厶( o ) ) 是有界。数列，从而它存在一个收 敛的子列。不妨再将此s 数列记为 ( o ) ) ，且设 厶( o ) ) 收敛于i ( o ) 。现设 ，( z ) = g ( w ) d a ( w ) + i ( o ) 。则 厶( 。) ) 在d 中内闭一致收敛于，( = ) 。因此 阡1z ( 1 卟门9 j ，( z ) 1 2 d a ( ：) + i i ( 吲 = 匦( 赤z ( 1 叶门喊( 圳2 州卅叫) 1 7 墨三童茎些堕塑窒塑圭墨鱼簦三兰蔓墨竺墨墨垡 一 珏鸟。| | 厶l q 。茎1 所以，( ：) q ，且m 1 。故 一，) 是q ，中一个有界函数列 在d 上内闭一致收敛于0 。由条件，得到所需的结论： 吼( 一f ) ip q ，一。 定理2 1 2 设0 p 1 ，( z ) 0 p 是d 上的解析自映照 在r ，0 o ，现取 r ，0 r 时，v z f 2 ；：， l 。曲( ：) i n 时， x a r 。( ：) ( 1 一l z l 2 ) 9j ( 妒( ：) ) 1 2 f ( 。) f 2 d a ( ；) j s ( j ) s s 氏小”邛眇肌) 1 2 d a ( z ) s e 恻i 仉1 jj 9 由( 2 3 ) 知，v n ， x n ，( ；) ( 1 一j zj 2 ) ，l ( ( = ) ) 1 2 j ( ：) | 2 d a ( z ) n 时， ( 1 一i = 1 2 ) ” ，( ( = ) j 2 l ( z ) j 2 d a ( z ) l ，1 9 ( 1 + 1 1 + 1 1 口，) j s f j l 又熙矗( ( z ) ) = o ( z d ) ，所以撬1 1 厶。训。，= 0 。故o ：q ，一q 一为紧c 相应于v m o a ，我们得到0 。，上复合算子有界的一个充要条件： 一1 8 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 定理21 3 设0 p 1 ，烈z ) q p ，u 是d 上的解析自映照，c 在l l 上 有界的充要条件是存在n0 r 1 ，使得v ，q “，i i t l o ，s1 ， l 百1i s ( x ) x f 2 r ( z ) ( 1 i 9 i ，( 荆) w ( z ) 阳( z ) = 。( 2 4 ) 证明：必要性显然。充分性：设，印p 妒q ，o ，取r ，0 r 1 ，0 0 ) 为紧的充分必要条件是 ? 、。是紧的n c a r l e s o n 测度。( 其中a 。毋。表示质量k 一( 曰) 集中在单 位圆盘的每个b o r e r 集b 上的测度【1 9 ) 。这里通过引入某种广义的c a r l e s o n 测度，利用它作为工具给出不同加权b e r g m a n 空间上有界的或紧的瓯的特 征。 一1 9 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 下面给出本节的主要定理及证明： 定理2 21设q 一1 ，卢 一1 ，0 p g 一1 ，0 psg o 。，妒是d 上的解析自映照， 则c ：蠼一鸽紧的充分必要条件是 m型某掣：0izlo i i i2 学 按 1 8 ，定义加权b e r g m a n 空间娥上的n c a r l e s o n 测度。设0 6s2 ，( a d ，令s ( e ，5 ) = 2 d ：泌一c i 一1 。若 。：s u p 鹄掣 o o ， 其中s u p 是对一切e o d 及0 6 2 而取，则称p 是一个a c a r l e s o n 测度； 若 l h n sup鳔掣=oc 6 一oe d d 6 0 十。 则称p 是一个紧的n c a r l e s o n 测度。实际上由方体s ( i ) 与s ( e ，6 ) 的等价性， 这里的a c a r l e s o n 测度及紧的a c a r l e s o n 测度就是上面的p c a r l e s o n 测 度及消失p c a r l e s o n 测度，其中的p = o t + 2 。我们可以替换有关方体 s ( 1 ) 与s ( ( ，5 ) 的条件。 定理2 2 1 ，2 2 2 的证明类似于【1 8 】中的证明，只要把【18 】中的测度_ “改 为a z 毋，再由方体s ( 1 ) 与s ( ( ，6 ) 的等价性就可得到。在做出这个结果后我 们看到2 0 1 也有高维空间上的类似结果。 至于g p ，在【1 7 】中用一般的计数函数研究得到有界( 紧) 的一个 充分条件。我们在此用广义c a r l e s o n 测度得到c 。有界( 紧) 的一个充分条 件。给出定理前，我们先引进一个引理： 一2 0 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 引理c 【2 i 设a d ，0 r 0 ，便得 v ，h ( d ) ，满足 i ，。1 ) ( n ) i 一茎 g 。“i ；! ：；装) 一i ；器( p ，) l 产k 俨墨，糟器( 0 一1 ，0 g p 一1 ，卢 一l ，0 g p o o 。设f 职， d ，由引理，取 r = 互1 。n = 0 ，v 0 g o 。， ，d 巾“i f q d a m ) 卜c 。青前 由于比d ；( ”) ，存在常数耳，可使得1 一l z i 盯l 掣，故对任意的b o r e f 正测度p ，有 。 s q 厶喾忡， t 9 2 c q 五札( ”) 厶x 。 ( 圳，( 刮e ( 1 一i 加。2 以( ：) = 华f dl f ( 刈即刊i ) - 2 州：, o 峰加川w ) = 华上i f ( z ) l m 刊i ) _ 2 邶弘) ) d ) 在上式中取p 为知，得 上l 刑( 训h 1 一i ) 口d a ( ”) = 厶i 伽耶嘶( w ) c q 厶1 f ( z ) m i z 旷如妒一1 ( d ( z ) ) d 且( z ) 第二章某些函数空间上复合算子的有界性及紧性 由于( 25 ) 成立，且在 2 1 甲足理j 芏释甲指出( 2 5 ) 寻价十 愀s 。u 忙pn 掣 o 。所以劬有界。 定理2 2 4设n 一1 ，卢 一1 ，0 g p 掣+ 1 ) ( 2 7 ) i 川_ + o ii ” p 。 7、7 则嘭：钙一码为紧。 证明：设0 口 p 。，( 2 7 ) 成立。假设 厶) c 啦，且i i a l l ：s1 ，n = 1 ，2 ，只要证 ，no 甜在鸽中有一收敛子列。因 解析，由l 厶i ，的次调和 性及由【2 2 】，v ：d 。( l 掣) ，i d a ( l 掣) l 。( 1 一1 w 1 ) ：。( 1 一h ) 。，可得 厶( ”) p 高二。( 掣) 刮)丽厶。( 掣) 以纠”蚰p c 掣箫上“掣，即u z ) c l l t t l 二g ( 1 一1 w 1 ) 一2 c ( i 1 w 1 ) 一2 因此 在d 的任一紧子集上一致有界，则由m o n t e l 定理，存在 a ) 的一 个子列在d 的任一紧子集上一致收敛，不妨将此子列仍记为 ) 。设 厶，内闱 一2 2 一 j 墨三里二薹些鱼墼竺塑圭复鱼篁三塑壹墨堡墨茎堡 一致收敛于解析函数，。由于 二叭z ) 9 n n ( ：) s 堑墨k 。二j ( 刮，d k ( ：) 墨垴一x i i a j i 麓c 一 因此，馊。又( 2 7 ) 成立，则由定理2 2 3 ，。躬。下面来证 i i a 。一，。圳 5 0 ( n o o ) 取冗i 1 五 1 ，记风= = ：h s 研。则从定理2 2 3 的证明过程知， f d i a 。曲( ：) 一，。毋( ：) j a d 知( 。) = f 。i a ( 。) 一，( z ) 户嘶一，( ：) q 二觜w 圳嘶) = c ；上。1 专；。 ：j i ：3 掣a 一庐一，( 。 ( ：) ) 。f a ( 。) + q 五。监尚铲w ( 邓硼啡) 瓣茎铲啪眦奶岍蝴酆 扯c ，d - o d 糌1 襻蜊 ( h ) 2 一_一百j i 雨d a 【z j 能j 厂o - o 。警掣d a ( ：) o ( i 一2 1 “u ， c e 五一。( f ( z ) 一，。) h l i ：i ) 譬)