（固体力学专业论文）弹塑性裂纹尖端应力约束及厚度效应的有限元分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 结构构件中的裂纹会降低结构系统的安全性，甚至导致整个系统 的失效。因此，对存在裂纹的构件进行强度分析尤为重要。 近年来，已经发展了许多理论和方法来分析二维和三维裂纹尖端 应力水平和约束。其中肌2 双参数法常用来分析二维模型裂纹端约 束效应，而应力商口和离面约束因子瓦理论常用来分析三维模型裂 纹端约束效应及厚度效应。 x 8 0 和x 1 0 0 钢是石油、天然气管道中的新型钢，本文针对这两种 钢，运用应力商口和离面约束因子瓦理论对不同厚度的单边浅裂纹和 深裂纹拉伸试件进行三维应力状态和弹塑性约束分析。讨论厚度效应 和裂纹长度对中面裂纹端应力状态的影响，最后讨论了厚度效应对中 面裂纹端塑性区的影响。同时，柏- a 2 方法的基础上，对具有共线双 裂纹的平板进行弹塑性断裂分析。分别计算单向加载及双向加载，在 不同载荷比时，具有不同裂纹尺寸与不同裂纹间距情况下的主裂纹的 断裂驱动力和约束参数。讨论了塑性区的大小。最后比较了斜裂纹端 与直裂纹端的应力状态，讨论裂纹斜度以及模型厚度对裂纹端应力状 态的影响 关键词：约束效应；双向载荷；离面约束因子；多轴应力商；有限元 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c r a c k se x i s t i n gi ns t r u c t u r a lm e m b e r sm a ya f f e c tt h es a f e t yo fa s t r u c t u r ea n dm a yc a u s eac a t a s t r o p h i cf a i l u r eo ft h es t r u c t u r e t h e r e f o r e ， s t r e n g t ho ft h ec r a c k e dm e m b e ri si m p o r t a n tm a t t e ro fc o n c e r nw h e n m a i n t a i n i n gs t r u c t u r e s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ym e t h o d sh a v eb e e np e r f o r m e dt os t u d yt h e s t r e s sa n dc o n s t r a i n te f f e c tf o rb o t ht w od i m e n s i o n a la n dt h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l s t h et w o p a r a m e t e rj - a 2m e t h o di s a d o p t e df o r a n a l y s i n gc o n s t r a i n te f f e c ta tt h ec r a c kt i pf i e l d s m l t i a x i a l i t yq u o t i e n t 口 a n do u t 。o f - p l a n es t r e s sc o n s t r a i n tf a c t o r 瓦a r ee m p l o y e df o ra n a l y s i n g c o n s t r a i n te f f e c to ft h r e e d i m e n s i o n a lc r a c k e dm o d e l s x 8 0a n dx 1 0 0s t e e l sa r et h en e w l yu s e ds t e e li no i la n dn a t u r a lg a s p i p e l i n e s s o m et e s ts p e c i m e n sg e o m e t r ya n dl o a dc o n f i g u r a t i o nf o rt h e t w ok i n d so fs t e e l sa r es e l e c t e di nt h i sp a p e r m l t i a x i a l i t yq u o t i e n tqa n d o u t 。o f - p l a n e s t r e s sc o n s t r a i n tf a c t o r a r e p e r f o r m e d t o s t u d y t h r e e - d i m e n s i o n a ls t r e s ss t a t ea n de l a s t i c p l a s t i cc o n s t r a i n te f f e c tf o rt h e s i d ed e e pc r a c ka n ds i d es h a l l o wc r a c kf o rd i f f e r e n tt h i c k n e s s d i s c u s s e d t h ee f f e c to ft h i c k n e s sa n dc r a c kl e n g t ho nt h es t r e s ss t a t eo ft h es u r f a c e c r a c k f i n a l l y , d i s s c u s s e dt h ee f f e c to ft h i c k n e s so np a l s t i cz o n eo fm i d d l e p l a n e t h ee l a s t i c p l a s t i c f r a c t u r ej - a 2m e t h o di su s e dt o s t u d yt h e c o l l i n e a rt w oc r a c k si np l a t eu n d e rb i a x i a ll o a d i n g t h ef r a c t u r ed r i v i n g f o r c ej - i n t e g r a la n dc o n s t r a i n tp a r a m e t e ra 2o ft h em a i nc r a c k f r o n ta r e 江苏大学硕士学位论文 c a l c u l a t e dw i t hd i f f e r e n tc r a c ks i z e sa n dd i f f e r e n td i s t a n c e so fc r a c ki n b i a x i a ll o d i n gc o n d i t i o nf o rd i f f e r e n tl o a dr a d i o s a sac o m p a r i s o n ， t h er e s u l tu n d e ru n i a x i a ll o a d i n gc o n d i t i o ni sa l s op r e s e n t e d a n da l s o d i s c u s s e dt h es i z eo fp l a s t i cz o n e a tl a s t ，c o m p a r e dt h es t r e s ss t a t eo f s l a n t e dc r a c k sw i t ht h a to fs t r a i g h tc r a c k sf o r d i s c u s s i n gt h ee f f e c to fs l a n t a n dt h i c k n e s so nt h es t r e s ss t a t e k e yw o r d s ：c o n s t r a i n te f f e c t ；b i a x i a ll o a d i n g ；o u t o f - p l a n ec o n s t r a i n t f a c t o r ；m u l t i a x i a l i t yq u o t i e n t ；f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 口。 学位论文作者签名：毫产臣 2 叼年月。日 艚撕虢彦乙位 i l 夏钐7 年月p 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用 的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：龟广乒 日期：上咱年6 月 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 自从英国物理学家g r i f f i t h 于1 9 2 0 年用能量法在对玻璃的断裂问题研究以 来，各国科技工作者对断裂问题做了大量的研究。i r w i n 、o r o w a n 和m o t t 于1 9 4 8 年各自独立地提出了修正的g r i f f i t h 理论，。其中考虑了断裂过程中发生塑性变形 的塑性变形功。由于能量法很难在实际当中应用，i r w i n 于1 9 5 6 年提出了应力 强度因子概念，指出裂纹尖端应力强度因子达到临界值，裂纹就会失稳扩展，从 而奠定了线弹性断裂力学的基础 1 1 。w i l l i a m s 进一步提出了各向同性线弹性材料 的双参数k z 法【2 1 ，b i l b ye t a l 、l a r s s o n 和c a r l s s o n 指出z 应力影响弹塑性裂 纹尖端区域的三轴性和裂纹尖端约束【3 4 1 ，正的z 应力值加强裂纹尖端应力三轴 性水平和产生高的裂纹尖端约束，而负的z 应力值减小裂纹尖端应力三轴性水 平和引起低的裂纹尖端约束【5 1 。h u t c h i n s o n 、r i c e 、r o s e n g r e n 建立了硬化材料 的裂纹尖端渐近解，即我们所了解的h r r 解【6 , 7 1 。以h r r 应力奇异场为基础的 弹塑性，积分准则在韧性材料弹塑性断裂分析中得到了广泛应用。然而，许多 实验研究表明，解离断裂的启裂点通常会在，控制区之外【8 】，单参数的j 积分 准则在描述韧性断裂时存在一定的缺陷。因此，双参数，即考虑裂纹尖端约束效 应的弹塑性断裂理论得到发展 s - 1 2 ，并成为国际上研究的热点问题。为了精确描 述平面应变条件下裂纹尖端区域，s h a r m a 和a r a v a s 建立了基于塑性变形能理 论的厂一q 解【”j ，q 用来匹配全应力区域和相关解的不同。o d o w d 和s h i h 简化 了- ，一q 解【1 4 1 。由于材料断裂韧性往往与试件约束条件有关，而面内约束主要研 究试件己知长度和试件宽度之比a w 对试件的断裂韧性的影响。面外约束主要 研究在相同的a w 之比下，试件厚度对断裂韧性的影响。因此，材料断裂韧性 与约束的研究成为断裂力学的研究热点。 目前，裂纹体的失效评估已经得到了很多学者的关注，尤其是承受双向载荷 江苏大学硕士学位论文 的裂纹体失效评估的研究。为了建立一个承受双向载荷的工程失效评估法，两点 应该值得注意。一是研究双向载荷对裂纹断裂驱动力的影响，例如弹塑性j 积分。 j s n s s o n 和d o w l i n g 分别于1 9 8 6 年和1 9 8 7 年得到了承受双向载荷的厂积分解 2 1 - 2 2 ，o d o w d 建立了承受双向载荷且基于塑性变形理论的平面应力和平面应变 中心裂纹板的，评估方法【2 3 1 。这些结论可以指导我们研究双轴载倚对裂纹断裂 驱动力影响，然而，同样应该看出，这些解在实际应用中是非常有限的。第二点 是双向载荷对裂纹尖端应力和约束的影响 1 8 - 2 0 。o d o w d 和h a n c o c k 等研究了 双轴载荷对约束效应的影响【1 5 】。应该指出，现存的工作主要是基于理想的二维 平面体( 平面应力和平面应变条件) ，这对于我们研究双轴载荷对约束的影响提供 了方法。在过去的一些年里，很多学者致力于研究裂纹边缘的面内约束 2 4 1 。这 些研究在解决缺陷问题方面取得了很大的进步。与此同时，三维厚度效应对裂纹 端应力与约束的影响也引起了很多学者的关注。事实上，典型的有限厚度实体的 形变和裂纹尖端应力区域足不能用理想化的平面应变和平面应力状态来模拟的。 这种理想化是很粗糙的，结果是保守的。因此，研究三维实体是很重要的。三维 问题从理论上获得解析解还存在许多困难，更多的工作主要是针对厚度效应，并 集中于实验研究和数值分析。 y a n g 和f r e u n d 冽运用奇异积分方程法研究了弹性薄板中穿透厚度裂纹尖 端的渐近解；m a h g o u b 等【2 6 】运用有限元法研究了缺陷和斜裂纹端的三维应力和 变形区域。k o n g 等【2 7 】指出三轴应力对材料的断裂行为有很重要的影响。y u a n 和b r o c k s 2 s 指出离面应力状念影响裂纹前端区域。近年来，g u o 阱刀l 运用变形 理论和能量法研究了三维裂纹实体，他指出t ( 离面应力约束因子) 是一个可以用 来量化应力三轴性的参数。n a k a m u r a 和p a r k s 3 0 1 ，w a n gx i n 5 和z h a o 等f 3 1 1 分别计算了三维穿透厚度裂纹的r 应力，但他们的工作中没有考虑z ( 离面应力 约束因子1 的影响。 近年来已经建立的这些基于弹塑性断裂理论的裂纹体失效评估方法 3 3 - 3 5 1 。 虽然具体的方法不同，但所有这些方法包括两个基本的部分，一是怎样评估裂纹 2 江苏大学硕士学位论文 断裂驱动力，例如j 积分。对于一个承受不同载荷和不同几何参数的实际裂纹体， 建立一个有效的且可靠的j 积分评估法已经不是一个很困难的工作，除数值方法 外，当前两个最流行的工程j 积分评估法是基于塑性变形理论的g e e p r i 法【3 2 】和 相关应力法1 3 3 - 3 4 l 。第二个是测量材料的断裂韧性。为了能够统一标准，学术界 给出了测量j 积分断裂韧性的标准方法，例如a s t m 3 5 1 。断裂韧性受裂纹尖端 应力和约束的影响 1 4 - 1 6 , 3 6 1 。标准的韧性测试程序保证了裂纹尖端具有足够高的 应力和约束。这里应该指出的是，有限元法是研究约束对弹塑性j 积分和裂纹尖 端应力的一个很重要的方法。 随着我国工业对石油、天然气需求的日益增加，油气输送能力有了长足的发 展，天然气输送管线钢级别从x 6 0 迅速提高到x 8 0 级别，x 8 0 钢具有高强度、 高韧性和良好的焊接性。而x 1 0 0 管线钢 4 0 l 更是目前国际上比较先进的钢种，同 时也是我国石油、天然气管道的新型用钢。在管线钢“家族”中，x 1 0 0 管线钢具 有良好的低温韧性、焊接和成型性能以及更高的强度。随着长距离输送管线钢的 大量应用，x 1 0 0 管线钢必将为我国国民经济的发展做出更大的贡献。由于管线 在使用过程中受到介质腐蚀或焊接缺陷会产生相邻的裂纹，因此，研究管线钢中 多裂纹的断裂问题将是十分必要的。因此多裂纹研究有其更实用的价值。尤其是 本文的多裂纹双向加载问题研究，其对压力容器的断裂问题的研究有实用的参考 价值。 1 2 研究内容 本文采用有限元软件a b a q u s ( v e r s i o n 6 5 ) 计算裂纹模型，并输出裂纹端应 力应变场。 主要工作如下： 1 ) 以x 1 0 0 管线钢材料为研究对象，计算三维穿透裂纹板的裂纹模型。运用 多轴应力商口理论研究裂纹端的约束效应对裂纹端断裂驱动力的影响。运用离面 约束因子理论研究厚度效应的影响。讨论厚度效应对三轴应力性的影响。 2 ) 采用x 8 0 管线钢材料为研究对象，计算平面应变状态下，具有不同次裂纹 3 江苏大学硕士学位论文 尺寸与不同裂纹间距板的裂纹端应力状态。运用j 一如理论讨论不同次裂纹尺寸 与不同裂纹间距对主裂纹端应力状态的影响。 3 ) 计算不同厚度下，不同裂纹斜度的三维斜裂纹端应力状态。讨论斜度对裂 纹端线弹性和弹塑性应力状态的影响。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章断裂力学的基本理论 裂纹有多种形式，对同一种材料，在相同的环境条件下，由于所受的外应力 ( 外载荷) 不同，裂纹的变形也不同。有鉴于此，裂纹( 或断裂) 模式分成三类：张 开型( i 型) ，滑移型( i i 型) 和撕开型( i i i 型) ，如图2 1 所示。 ( a ) 张开型( i 型)( b ) 滑开型( i i 犁) ( c ) 撕开型( i i i 型) 图2 1 三种基本裂纹模式 图2 1 ( a ) 所示为i 型裂纹，其特征是外载荷垂直作用于裂纹面，裂纹沿作 用力方向张开，沿裂纹面扩展。图2 1 ( b ) 所示为i i 型裂纹，又称面内剪切型， 载荷沿着裂纹面方向，并且裂纹面在其平面内沿着x 方向相互滑动。图2 1 ( c ) 所示为i i i 型裂纹，对应于反平面剪切，又称为面外剪切或纵向剪切，在这种情形 下，裂纹面也相对滑动，但是沿z 方向滑动。 实际裂纹的扩展并不局限于这三种形式，往往是他们的组合，如i i i 、 i - i i i 、i i - i i i 型复合形式。在这些不同的裂纹扩展形式中，以i 型裂纹扩展最危 险，容易引起脆性断裂。因此，在研究裂纹体的断裂问题时，总是以这种裂纹为 主。 2 1 应力强度因子理论 在图2 2 所示的坐标下，在满足r 口1 的裂纹顶端临近处，i 型、i i 型和 i 型裂纹应力场的近似解为1 。 5 江苏大学硕士学位论文 i 型裂纹尖端附近的应力场为 ( ，棚= 盯寺c 。s 詈( 一s ；n 詈s i n 警) ( 2 1 ) ( ，朋= 盯寺c 。s 詈( ，+ s ；n 兰s i n 警) ( 2 2 ) c r ，。= 盯寺c o s 詈s mc o s 詈 ( 2 3 ) i i 型裂纹尖端附近的应力场为 c r 一气云s ；n 詈( 2 + c o s 詈c 。s 詈， g c ，- 棚= f 昙s ；n 詈c 。s 兰c 。s 警 g 国 啪班f 昙c o s1 “n 扣 ( 2 6 ) i 型裂纹尖端附近的应力场为 吒( r ，舻一一寺s i n 詈 。 ( 2 7 ) ( r ，俨f 摆c 。s 詈 ( 2 8 ) 上式中为正应力，f 为切应力。 i 型和i i 型裂纹都属于平面内的问题，i i i 型裂纹是反平面问题( 本文不研 究、。 6 江苏大学硕士学位论文 从近似解表达式( 2 1 2 8 ) 中，人们认识到裂纹尖端的应力正比于1 j r ，当 ，j 0 时，应力值趋于无穷。这一性质被称为应力的1 7 阶的奇异性，这一点 对于断裂力学是很重要的。应力场在裂纹尖端邻域的“强度”可以由一个仅依赖于 裂纹几何参数和载荷条件的单一因子去表征，针对不同的裂纹模式，它们分别记 为k i ，硒，硒，称为应力强度因子。它们与坐标无关，代表应力的强度，而不 是应力分布。这样，应力分布一般地可以表示成 ： ( ，秒) = 面1 l a - ，( 秒) + 墨。刀1 ( 秒) + 墨t - 1 。( 臼) 】 ( 2 9 ) 其中片( 秒) ，芹( d ，矿( d 由( 2 1 ) - ( 2 8 ) 给出。 根据特殊的裂纹，力( 乡) 具有不同的形式，其中，g r i f f i t h 裂纹已经由( 2 1 - 2 8 ) 式给出。 在公式( 2 9 ) 中略去的高阶项与d ( 以) 相当，因此当，卅时高阶项均趋于零。 应力强度因子考虑了裂纹尖端应力的1 7 奇异性，又描述了外载荷和缺陷 的应力集中效应，是表征材料与结构断裂现象一个物理量，在断裂力学的发展中 起过重要的作用。 引进蝎，k n ，硒之后，渐近场( 2 1 2 8 ) 可以重新写成下列式子。 对于i 型问题： 啪黔去c o s 争s m 扣争 啪。= 去c o s 争血罢s i n3 2 0 ) ( 2 n ) 啪咖去c o s 罢s m 罢s 了3 0 ( 2 1 2 ) 对于i i 型问题： 啪舻一去咖c o s 詈c o s g 均 啪纠= 去如知争詈 ( 2 1 4 ) 江苏大学硕士学位论文 啪舻去c o s o ( 1 “n 争等 ( 2 1 5 ) 对于i i i 型问题： 啪期一去s i n 詈 ( 2 1 6 ) 啪棚= 击c o s 詈 ( 2 1 7 ) 这些公式有很广泛的应用，包括提供了用近似方法确定应力强度因k l ，硒， 硒，并且在非线性断裂力学中也得到了应用。 由( 2 1 0 2 1 7 ) 看出，裂纹尖端附近的应力由应力强度因子k i ( k 、k i n ) 控制。 又飚与盯口成正比，这个量很简单，却把缺陷尺寸和外加应力有机地结合在一 起，描述了裂纹尖端的应力状态。自从裂纹尖端应力场提出后，i r w i n 经过艰苦 的探索，用实验的方法测定出嫡的临界值，对每一种材料，在一定的条件下， 这个临界值是一个常数。如果把这个常数记为，则可以建立一个判据 k i = k i c ( 2 1 8 ) 在一定的条件下，式( 2 1 8 ) n - f i - 以起到一个判据的作用。线弹性断裂力学就建 立在判据( 2 1 8 ) 的基础上。有了式( 2 1 8 ) 后，由于在实际应用中有广泛的需要，又 迫使人们去大量地研究嫡( 梳，k i n ) 。于是，线弹性断裂力学开始迅猛发展，并 目逐渐成熟。 2 2 弹塑性断裂力学 2 2 1 j 积分理论 ，积分在弹塑性断裂力学发展中起着重要的作用。在，积分的定义过程中， 假设材料满足全量塑性理论的应力应变关系。在这种模型中，应力与应变仍有 一一对应的关系，但它不允许卸载发生。这要求结构体始终处在加载且是单调加 载状态下计算裂纹尖端应力场。根据这一特点，在小变形下定义如下应变能密度 w = w ( 岛) 8 江苏大学硕士学位论文 = f d 勺 ( 2 1 9 ) 那么应力应变关系可以表示成 ：0 了w ( 2 2 0 ) 2 瓦 ( 2 2 0 ) r i c e 定义了下列j 积分去描述平面裂纹尖端附近的力学状态 卜i ( w d y 叫罢凼) ( 2 2 1 ) 其中m 代表作用在曲线r 的微弧d s 上的外应力矢量，口为该处的位移矢量，r 是 一条从裂纹下表面开始按反时针方向绕裂纹顶端且终止于裂纹上表面的曲线，见 图2 3 。 蛭 m = x x 2 腕b - u 一秒一丫 、 j 唧1 j 一 图2 3 裂纹尖端的- ，积分回路 上述积分对路径r 守恒，即选择不同的这种曲线，积分值保持不变。这就是 j 积分的路径无关性。 在线弹性条件下，积分与应变能释放率g 和应力强度因子k 之间的关系为 - ，：1 - v 2 k 2 ：g e - 厂：! k z ：g e 式中e 为弹性模量， ，为泊松比。 ( 平面应变情形) ( 平面应力情形) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 上面两式表明线弹性材料的j 与g 等价，即它代表裂纹应变能释放率。基 于这一事实，可以说在材料非线性情形下，是由k 或g 推广而得到的，这也表 明线弹性断裂力学在断裂问题研究中具有基础的意义。 2 2 2h r r 渐近解理论1 4 1 1 9 江苏大学硕士学位论文 线弹性断裂力学建立在裂纹弹性解的基础上。同样，弹塑性断裂力学建立在 裂纹塑性解的基础上。不同的是，我们不可能得到非线性问题的精确解，只能得 到渐近解，所得到的渐近解中就会有某些待定的因子。 h u t c h i n s o n 与r i c e 和r o s e n g r e n 同时发表了i 型裂纹在弹性全量塑性理论 框架下的渐近解，称为h r r 解。 在裂纹尖端建立坐标系( 厂，回，如图2 2 所示。略去体积力和惯性力时，在 此坐标中，平面问题的平衡方程为 旦! 生+ 一1 0 c r , e + 垒二! 塑：0 1 务ra 臼 r l 等七鲁+ 孕= oja rra 8r 1 ( 2 2 4 ) 引进应力函数( ，d = 吾九+ 芦1 ( 2 2 5 ) d r 鲫= 砂玎 ( 2 2 6 ) o - t o = - ( 1 厂, 疗) ， ( 2 2 7 ) 其中 ( ) ，= 导，( ) ，口= 南 由上式定义的应力函数( ，d 自动地满足了平衡方程( 2 2 4 ) 。 在下面的讨论中引进无量纲量： d ，= 厅r r | 6 s 。6 自8 = 否粥| a s ，d 旧= 吞r ，| d s ，咖= 歹a , a 2 ，r = f l a 其中毛，无f 代表了有量纲的应力分量，应力函数，矢径，口为裂纹长度，g 为 屈服强度。 应变位移关系为 岛：掣( 2 2 8 )岛2 毕 占鲫= 等+ 吾面o u o ( 2 2 9 ) 1 0 江苏大学硕士学位论文 铲1 1 ( 1c a u r i + 盟o r u ，o ( 2 3 0 ) 一2 ii + 卫，j ( 2 3 0 ) 其中，u ，和。代表无量纲的位移分量，即 m ，= 霉a ，= 而a 由此可以得到小应变下的应变协调方程 吾( r g 卯) + 7 1 鲫一吾，一芦2 ( 一叩) r _ o ( 2 3 1 ) 弹塑性硬化材料应力- 应变曲线由r a m b e r g o s g o o d 经验公式描述 = 占。+ f 9 = 仃+ 口矿( 2 3 2 ) 其中上标“e ”代表弹性，“p ”代表塑性，口和n 为材料硬化系数与硬化指数，由实 验测出，把单轴下的应力应变关系推广n - - 维，可以得到全量塑性理论的应力 应变关系 气十峨+ 孚岛+ 三口。1 吩 ( 2 3 3 ) 其中，占= 云岛，最= 瓯e ，吒= 瓦瓯， 占( 。) = 万( 8 ) 乞，s ( 9 ) = 万( 9 ) t 。 这里瓦代表屈服应变，代表应力偏张量，吒为等效应力，即 1 吩2 焉吼2 一言岛 ( 2 3 4 ) 吒= 瓦吼= ( 五3 勃勃) 1 2 ( 2 3 5 ) 以上方程( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 构成了基本方程组，下面主要研究平面应变 下的裂纹问题。为此，在平面应变条件下 s z z = s 8 z = r z = 0 ( 2 3 6 ) c r r o24 2 ，吒：= y ( + 仃卯) ，仃如= q ：= 0 ( 2 3 7 ) 在塑性理论中，一般假定体积应变为弹性的，如果略去体积应变的贡献，可 以推导出 v = o 5 这样，略去弹性变形后，有 江苏大学硕士学位论文 其中 = = 一；1 = 三( 盯，一仃鲫) s = s 鲫= 一三= 丢( 一盯卯) = 心：。 s 1 25 仃，疗，32s 32s 2 320 略去弹性变形之后，由应力一应变关系，有 q ，：0 3 。a c r ：q ( 一a o o ) q ，2 。i 1 ( 一 乞：詈口一，( 。) 乞z2 2 i 口1 ( ) q 2 ：日：昙口一t q 疗 q 22 日2 专口- 1 q 疗 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 吒= ( 三勖) v 2 = ；c 。- 一口锄，2 + 3 仃名 v 2 ( 2 4 4 ， 先将应力分量表示成应力函数，则( 2 4 1 2 4 3 ) 成为应变与应力函数之间的关 系式，再将应变代入应变协调方程，可以得到最终的控制方程 陆1 万0 2 一等一善p c 每吨， 磊暇以昙c 知叫2 粥， 取应力函数的渐近解： 矽( ，d = s 办( + ，晚( d + ( ， d 若仅取第一项作为解，即 矽( ，乡) = p r 5 议印 实际上，这一项代表了控制项，其中p 与s 待定。 到关于议印的4 阶非线性常微分方程如下： ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 将此式代入( 2 4 7 ) 中，得 嘉叫川砌( 川) + 2 忙奴2 叫础 + 4 ( s 一1 ) 【，z ( s 一2 ) + 1 】( 箧。1 矽疗) ，一= o 把( 2 4 7 ) 代入( 2 2 5 - 2 2 7 ) 中，则各应力分量形式上的表达式如下： o r , = p r ”2 【s 歹+ i i ! 础】= p r ”2 西( o 1 2 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 江苏大学硕士学位论文 = p ，”2 s p 一1 ) 痧= 尸，”2 ( d( 2 5 0 ) q 一= 丹”2 0 一1 ) 元= p ，”2 每一( 0( 2 5 1 ) 吒= n n ( 睇+ - 2 一昙讳+ 3 丐- 2 口) u 2 = n 5 瓯( d ( 2 5 2 ) 其中，角分布函数瓦( 国为 厅( 臼) = s + 哆( 2 5 3 ) ( 0 = s ( s 一1 ) 矽( 2 5 4 ) t 口( d = - ( s 一1 ) 矽曰 ( 2 5 5 ) 若应力存在奇异性，则s 2 ，另外，在裂纹尖端的应变能密度取有限值的条 件下，s 必须满足以下条件： 2 n ( n + 1 ) s 2( 2 5 6 ) 这个方程相当复杂，长时间以来只能用数值方法求解。求解中需要用相应的 边界条件。这些条件是：裂纹面上不受力，即万阳( + 万) = 巧坩( + 万) = 0 ，由应力与 应力函数之间的关系可知： ( 万) = 痧口( 万) = 0( 2 5 7 ) 由i 型裂纹问题的对称性，在0 = 0 处，o r 一，a 0 0 和a 仃础0 0 应该都等 于零，也就是 矽口( o ) = 矽伽( o ) = 0 ( 2 5 8 ) 由于是渐近解，又由于方程( 2 4 8 ) 是齐次方程，加上以上条件，解仍不能确 定，还必须附加一个条件，称为归一化条件，在h u t c h i n s o n 的工作中，取 矛( d 一= 1 ( 2 5 9 ) 在这些条件下，用两点边值问题的4 阶r u n g e k u t t a 方法求解。但首先要知 道s 的值，h u t c h i n s o n 用数值方法试算，对于平面问题 s ：了2 n i + 1 ( 2 6 0 ) s = i z 咒+ 1 、 具有很高的精度，这与r i c e 和r o s e n g r e n 文章推算的结果一致。 根据j 积分的定义，可认为弹塑性应力强度因子k 与j 的关系为 江苏大学硕士学位论文 k _ ( 南厂u 则应力、应变、位移为 警= ( 赤r 厂卯，q冁g 。 华= 堕e ( 一a c t ：r j 。r 厂硼， 毛l ”7 删，= 等( 者 n ( n + 1 ) r l ( n + 1 ) 咿， 其中，l 是一个积分常数。 ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 从公式( 2 6 2 2 6 4 ) 看出，弹塑性裂纹尖端应力场具有，。1 7 州的奇异性，应变 场、位移场具有，1 7 ( 槲) 的奇异性。在式( 2 6 2 2 6 4 ) q b ，除了材料常数外，j 积分 是裂纹尖端应力大小的唯一度量，厂积分在塑性断裂过程中起一个控制作用，它 类似于应力强度因子k 。 2 2 3 q 双参数理论【2 3 1 对不同裂纹构件，0 ，d o w d 和s h i h 2 3 1 ( 1 9 9 1 ) 发现，裂纹前端 j o r - 5 j 嚷区域内的全应力场解和h r r 区域解腿的应力场之间的差 别为一个静水压力值。于是他们提出- f j _ q 理论，其裂纹端区域应力表示为 = 硝腿+ q h 腿嘎岛，j 吼和蚓n 2 ( 2 6 5 ) 这里，q h 赇为应力三轴参数，它反映裂纹端静水压力水平。硝赇为h r r 奇异应 力场f 6 】，如下式 竖_ f 熹 而哪甩) ( 2 6 6 ) o - ,【- 畈吼l ，- j 9 、7 这里，氏( 研忍) 为无量纲应力函数。根据等式( 2 6 5 ) 并- t 1 ( 2 6 6 ) ，参数q h 娘可表达 为 1 4 江苏大学硕士学位论文 q m m ：o o o - - o o o h 口：0 ，r ：2 j 吒( 2 6 7 ) o r 有限元结果表明1 4 2 1 ，在各种变形水平下，等式( 2 6 7 ) 对1 _ _ j c r ，蚓万2 ( 2 6 8 ) 这里，参数q 蠢y 如等式( 2 6 8 ) 所示，通过等式( 2 5 0 ) 确定，而小范围屈服应力 解爵8 y 需要通过有限元法来测定。研究表明【4 2 】，q s s y 相对q h 腿在 j 吼r 5 j 吒区域内基本上与距离无关。但是，大范围屈服下的参数瓯y 对 不同的弯曲试件，包括大范围屈服下的单边缺口拉伸( s e n t ) 试件和单边缺1 2 1 弯 曲( s e n b ) 试件，在一定范围内受距离影响还是很大。显然，q s s y 与距离相关是 由周向弯曲应力引起的。所以，等式( 2 6 7 ) 和i ( 2 6 8 ) 在本质上没有什么区别。因此， 对大范围屈服( l s y ) 下的弯曲试件，q h 腿和瓯y 都与距离相关，式( 2 6 5 ) j g i ( 2 6 8 ) 的结果偏离裂纹端区域精确的数值解。 2 2 4 乒a 2 双参数理论阻o 】 其中 基本方程建立在h r r 解的基础上，只是在渐近解中取多项 矽( ，印= a ， + 2 荔( 印+ a ：r s z + 2 无( d + 那么，应力分量可以展开成多个部分 g = a ，而嘞1 ( o ) + 如，屯6 2 ( o ) + 吩= 6 r 鱼而1 ( 0 ) + a 2 r 电毛2 ( e ) + ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) 江苏大学硕士学位论文 其中 勘：噍芦一昙圣附4 f ( z = 1 ，2 ，) 2 一i ( 忙l ，2 。) a 。r t = ( 仍) 。+ ( & + 2 ) 仍( 1 = 1 ，2 ，) ( 箩锄= o f + 1 ) ( 母+ 2 ) 仍( 扛1 ，2 ，) t 研= 一( + 1 ) ( 仍) 。( 扛1 ，2 ，) 用二项式展开，可以得到等效应力也足由多个部分组成 吒= a r 鼍瓯1 + 如，恐或2 + 氏= ( 兰嘞，岛。) 啦，c - 。2 3 6 妒，吃，瓯。 因此，有 - 1 = 硝- 1 ，鱼曙1 + 一1 ) 群- 2 如，”2 鱼地曙2 瓯2 + 应变分量表达式 白= a a l r 呐弓1 + 舒_ 1 如，”砷鱼+ 恐毛2 + a i r 唧葫+ 嘞= 兰9 秒1 毛，e l 毛：= 詈曙1 【 一1 ) 而，曰吒+ 西：】 霸= ( 1 + d 岛，一 ，吒。岛 平面应变下= 0 ，裂纹尖端v = 0 5 ，有 吒1 = ( 西l + 0 0 0 1 ) 2 ( 2 8 0 ) ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) ( 2 8 3 ) 吒2 = ( 毵2 + 孑鲫2 ) 2 ，( s 2 3 ，s 3 = 2 s 2 一曲。a 待定，通过方程( 2 9 2 ) - ( 2 9 4 ) 所描述的应力场同有限 元解在各点上对照起来而求得。 从公式( 2 9 2 2 9 4 ) 看出，j 一如三项解中所描述的裂纹尖端应力场的奇异性 发生变化，不再是唯一的- 1 ( n + 1 ) 。 2 2 5 多轴应力商理论 4 3 1 应力三轴性可以由多轴应力商留【4 3 l 来量化。多轴应力商q 定义为等效m i s e s 应力( 吒) 与静水应力( ) 之比。本文中为了比较方便，计算同一位置的g 值。即： 口：# 在秒：o ；厂：型盟；z ：o ( 2 9 6 ) 1 3 、 这里 吒： ( o - 1 一吒) z + ( 吒一巳) z + ( 吒一q ) 2 ) 互 = ( q + 吒+ o - 3 ) 3 q ，吒，吗为三个主应力 m i s e s 等效应力代表剪切载荷，静水应力代表拉伸载荷。因此多轴应力商口 给出了剪切载荷和拉伸载荷之间的关系，这里剪切载荷控制韧性断裂，而拉伸载 荷控制脆性断裂。按这个定义，三轴应力或约束较高时，q 值较小。当处于纯静 水应力状态时o - o = 0 ，或q = 0 ，这时三轴应力或约束处于最高的水平，塑性变形 完全受到限制。这个应力商留值可以由断裂力学试件的有限元分析得到。 2 2 6 离面约束因子理论 2 4 1 为了更好的描述裂纹尖端应力场的三维特性，引入离面约束因子互冽来描 述沿厚度方向的应力分布状态： 1 8 江苏大学硕士学位论文 互：旦 ( 2 9 7 ) o d o 料 式中吒，吃分别为五y ，z 方向的正应力。 在各向同性线弹性体中，t = 0 对应于平面应力状态，t = ，对应于平面应 变状态。互是描述裂纹端应力三轴性的一个重要的参数，同时也是决定结构单元 断裂韧性的一个很重要的参数。这里，o - = 是离面应力，是面内应力。疋 对三维裂纹前缘应力状态和断裂韧性的影响已经得到了关注【2 4 ，捌。 1 9 江苏大学硕士学位论文 第三章三维厚度试件的三轴应力性与弹塑性约束分析 这一章对x 1 0 0 管线钢进行弹塑性断裂分析，材料成分如表3 1 ，本章采用 单边裂纹拉伸试件，用a b a q u s ( v e r s i o n 6 5 ) 软件对这种试件进行弹塑性有限元 分析。用多轴应力商口法来量化三维厚度试件中面的约束情况，同时采用离面约 束因子方法分析厚度效应的影响。 3 1 材料性能 弹塑性断裂分析中，应力应变曲线采用r a m b e r g - o s g o o d 幂函数形式为 詈厶o - , 口“ = + 口i l 毛嘎 ( 3 1 ) 这里，屈服应力c r = 7 3 3 m p a ，弹性模量e = 2 0 7 g p a ，泊松比v - 0 3 ，硬化指数n = 2 0 ， 材料常数口= 0 9 5 。 表3 1 x 一1 0 0 钢的化学成分( w t ) 本节通过使用a b a q u s ( v e r s i o n 6 5 ) 对单边缺口拉伸试件( s e n t ) 进行弹塑性 有限元分析，输出裂纹端的应力场，由区域积分方法可以得出断裂驱动力j 积分 值，计算离面约束因子互与多轴应力商g 。计算模型宽度w = 3 0 m m ，厚肋分别 为1 0 m m ，2 0 m m ，3 0 m m 的裂纹模型。在钲；a q u s 分析中，利用对称性取1 4 实体 建模。为了解决单元不可压缩问题，模型单元采用缩减积分立方体单元。f e a 模 型包括7 6 8 0 个2 0 结点缩减积分立方体等参单元( c 3 d 2 0 r 单元) 和3 4 7 8 7 个结点。裂 纹尖端采用三角形退化奇异等参数单元【4 4 问，只要把边中点移到1 4 边长位置， 即可反映裂缝端部的奇异性，应用较为方便【钥。围绕裂纹尖端的局部网格有3 0 圈，每圈有2 4 单元。沿厚度方向等比例分配8 个单元，以此来解决沿厚度方向的 应力梯度问题。图3 1 给出了裂纹体模型图。 江苏大学硕士学位论t 3 2 数值计算和约束分析 3 2 1 数值模型 ( c ) 创31 ( a ) 试件儿f n ；l 矾c o ) 有限元模掣0 ) 郝裂纹尖端峰标 3 2 2 计算结果与分析讨论 裂纹尖端的断裂驱动 j 积分由a b a q u s 软件直接褂出，由丁沿j 孕膻山向 ，秘分值是变化的，凶此小卓计算采用叶t i i i ! p 最大的j 移 分值。为了他j ：比较分 析，引入参数： * 2 形 仉2 嗨= p ， 蝼r ir ，j 和q 分刖是再厚度状态卜巾向的j 秘分值和心j 商g 值，而j 。和q 是相 应平面应变条什f 的j 积分值和应力商口值。 江苏大学硕士学位论文 图3 2 深裂纹模型的( a ) l o g ( , a a , ) 一q 曲线，( b 蛔一r 曲线 图3 2 ( a ) 给出了三种不同厚度( b = 3 0 m m ，2 0 m m ，1 0 r a m ) 的深裂纹( a w = o 5 ) 试件在不同载荷下，裂纹前缘( ，= ”脚吒) 的应力商g 值，图3 2 中同时也给出 了平面应变状态时的结果。由图3 2 可以看出，除了厚度很小时，如1 0 m m ，裂 纹驱动力的增加对裂纹前端应力商q 值的影响很小。因此，应力商g 可以比较好 地描述裂纹尖端的面内约束。图3 2