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曲阜师范大学硕士学位论文 一类流形的拓扑型以及极小子流形的曲率刻画 摘要 在本文中，我们主要研究了r i c c i 曲率有下界完备非紧的r i e m a n n 流形 的拓扑问题以及关于极小子流形的一些结果的研究 首先，我们在第一章对涉及本文研究领域的有关流形曲率与拓扑关 系的研究情况作了简单的阐述，并综述了极小子流形的研究历史接着 在第二章给出了与本文研究内容有关的准备知识，为后面定理的提出与 证明奠定了基础然后在第三章中证明了在一定的曲率条件下或者共轭 半径条件下，只要流形满足一定的大体积增长条件，就有有限拓扑型的 问题最后在第四章中给出了第k 个r i c c i 上曲率的定义，并在这基础之上 给出了一类极小子流形的r i c c i 曲率的刻画 关键诃有限拓扑型，大体积增长，第七个r i c c i 上曲率，极小子流形 曲阜师范大学硕士学位论文 一一二二一 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a n i l ys t u d yc o m p l e t en o n c o m p a c tr i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t h r i c c ic u r v a t u r eb o u n d e df r o mb e l o wa n ds o m er e s u l t so fm i n i m a ls u b m a n i f o l d s f i r s t l y , i nc h a p t e r1 , w ew i l tm a k eag e n e r a ld e s c r i p t i o no nt h er e c e n tr e s e a r c h e si n o u rf i e l d ，a n dg i v eas u r v e yo f t h er e s e a r c h i n gh i s t o r ya b o u tm i n i m a ls u b m a n i f o l d s 。s e c o n d l y , i nc h a p t e r2 , w ew i l lg i v et h ec o n t e n t so ft h er e l e v a n tp r e p a r a t o r yk n o w l e d g e ，w h i c h m a k e saf o u n d a t i o nf o rt h ep r o o fo ft h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e ni nc h a p t e r3 , i th a s b e e n p r o v e dt h a tu n d e rt h ec e r t a i nc u r v a t u r ec o n d i t i o no rc o n j u g a t e r a d i u sc o n d i t i o n ，a s l o n ga st h em a n i f o l ds a t i s f i e st h ec e r t a i nc o n d i t i o no f t h el a r g ev o l u m eg r o w t h ，i th a s f i n i t et o p o l o g i c a lt y p e a tl a s t , i nc h a p t e r4 , w ew i l lg i v et h ed e f i n i t i o no fk _ t hs u p r e m e r i c c ic u r v a t u r ea n dm a k eap o r t r a yo f ak i n do f m i n i m a ls u b m a n i f o l d s r i c c ic u r v a t u r e o nt h i sb a s i s k e y w o r d s ：f i n i t et o p o l o g i c a lt y p e ，l a r g ev o l u m eg r o w t h ，k t hs u p r e m e r i c c ic u r v a t u r e ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d s 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文一类流形的拓扑型以及极小子流形 的曲率刻画，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方 式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名多糯魄妒 l， 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类流形的拓扑型以及极小子流形的曲率刻画系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲 阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表沦文的全部或部分内容。 作者签名多f 琴釉期：阿9 多卢 导师签名： 妒。 第一章引言 1 1 关于有限拓扑型 微分几何学中一个基本问题就是理解流形的曲率与拓扑的关系问题黎曼流 形的曲率与拓扑有着紧密的联系一方面，黎曼流形的曲率反映了它的拓扑在微 分几何学中有很多经典的结果都是反映了这一点的，如m y e r s 定理，体积比较定 理( 1 0 1 ) 和= i p i n c h i n g 球定理( 1 8 ) 等；另一方面，黎曼流形的拓扑也可以控制 流形的曲率，如g a u s s b o n n e t - c h e m 定理，h a m i l t o n s 定理等在紧致流形上一个大 家关心的问题是拓扑球定理或者微分球定理，即通过对曲率条件的假设，最终刻画 出流形的拓扑为球面甚至微分球面，而在完备非紧的流形上人们希望得到的结果 是有限拓扑型近些年来，有限拓扑型的问题已成为大家关注的兴趣之一 早在1 9 9 0 年，a b r e s c h 和g r o m o l l 在文( 1 ) 中证明了：若完备非紧流形膨 具有非负的r i c c i 曲率，其截面曲率有负下界，且直径增长的阶小于，：，则流形肘 具有有限拓扑型。c h e e g e r 和g r o m o l l ( 4 5 ) 在1 9 6 9 年到1 9 7 2 年得到的有非负 r i c c i 曲率的非紧完备流形的结构定理：s o u l 定理和s p l i t t i n g 定理，并且由s o u l 定理立刻知道非负截面曲率条件下的开流形具有有限拓扑型然而，如果没有其 它条件的限制，仅有非负r i c c i 曲率这个条件是不能得到有限拓扑型的对此，s h a 和y a n g ( 1 6 ) 构造了相应的反例后来人们想到用体积增长条件代替a b r e s c h 和 g r o m o l l 的直径增长的条件s h a 和s h e n 在( 6 9 中对于非负的r i c c i 曲率，截面 曲率不太小且具有大体积增长的情况证明了有限拓扑型的结果此外，在1 9 9 6 年 s h e n ( 7 ) 证明了在一定的曲率条件下或者共轭半径条件下，只要流形满足一定的 大体积增长条件，即v o t ( b ( p ，力) = c r r ”+ o ( r 1 _ ”) ，就有有限拓扑型o r d w a y , s t e p h a n s ， y a n g 则在( 8 ) 中，将大体积增长条件改进成v o j r ( b ( p ，力) = o ，+ d ( 产一j ) q i a o l i n gw a n g 又在( 9 ) 中，将大体积增长的条件进行了进一步的改进，定理 如下 定理： 对于正数c 0 和整数刀2 ，存在= ( c ，刀) 0 ，使得n 维完备黎曼 流形( 必曲，它满足r i c m - ( n 一1 ) ，共轭半径c o n j t c ，y ( 蚴 0 ，且 l i m s u p ( v o i b ( p ，力 一o 。( 一1 ) ) e v ( d ，p 必 ， 则m 具有有限拓扑型 第一章引言 本文又在此基础之上，进一步改进了大体积增长的条件，用子列 力 ， l i mr i o 。， ，+ o 。 有 1 i m ( v o l b ( p ，r i ) 一y 口口。r i ，一1 ) ) s y ( 力， j _ - - 0 0 。 l i ml r i + 1 一f i i = 0 ， 成立，代替了q i a o l i n gw a n g 的大体积增长条件 l i r as u p ( v o l b ( p ，r ) 一o 。- 1 ) ) e v ( m ) ，p 必 ，o 。 最后在这基础上得到有限拓扑型的结论 定理： 对c 0 ，? 2 ，存在s = s ( c ，z ) 0 ，如果刀维完备黎曼流形( m 曲， r i c u 一伽一1 ) ，c o n j m c ，y ( 加 0 ，存在子列 n ) ， 满足 l i r a ( v o l b ( p ，n ) 一口。( r i ，一1 ) ) e v ( m ) ， f + 。o l i ml ，j + 1 1 i = 0 ， 卜+ o o 则m 具有有限拓扑型 1 2 关于极小子流形的曲率刻磷 极小子流形是微分几何学的一个重要的研究方向所谓极小子流形就是平均 曲率向量处处为零的浸入子流形我们经常希望外围空间的曲率和拓扑能给极小 子流形的曲率和拓扑带来足够的信息，从而了解极小子流形的几何结构 本文在第四章中，首先给了一个第k 个r i c c i 上曲率的定义： 定义：设七是1 ，2 ，3 ，刀一1 中的一个，我们定义流形胗上点z 处的第 七个r i c c i 上曲率为 r 七、 硒c ( ( 习= s u p y 取8a e i ) le ，e k l 肘为+ 1 ) 个单位正交的切向量 ， i = fj 这里k ( eae f ) 表示工点处e 和e i 所在平面对应的截面曲率 2 曲阜师范大学硕士学位论文 我们又有如下引理 引理：非正截面髓率流形的极小子流形具有非正的r i c c i 曲率 这时，根据上述定义把引理中的非正截面曲率流形的条件改成第胛一1 个r i c c i 上曲率非正的流形，并且在新条件下同样可以得出其极小子流形具有非正的r i c c i 曲率 得到的定理如下： 定理：设 矿c3 + p 是极小子流形，并且 矿p 的第”一1 个r i c c i 上曲率非 正，则 夕的r i c c i 曲率非正 3 第二章准备知识 弗一早 ，隹畲六u 识 2 1 黎曼流形的相关基本概念 这一节，主要介绍一些黎曼几何的基本概念，记号以及熟知的结果 定义2 1 1 设m 是刀维光滑流形，。形( 蚴为m 上光滑向量场空间，m 上的一个仿 射联络是一个映射 v ：影( 哟形( 旧一彤( 旧， 陇的hv x y , 使得对于任何xzz 影( 聊和任意，h c ”( 旧，满足下列条件? ( 毋f x + h y z = 丹x z + h 、t r z ： o o v x ( f y + 力z ) = ( x f ) r + v x y + x h ) z + h v x z 定义2 1 2 设( 坛曲是光滑黎曼流形，m 上的黎曼联络v 是一个仿射联络它除了 满足定义2 _ ，j 中的纠例外，还满足? ( i i o v z y v = i x , 明； p 砂双z ) = ( v x r , z ) + ( v x 乃 其中( ，) 表示关于g 的内积。 定义2 1 3 设v 是黎曼流形( 必曲的黎曼联络定义映射 r ：彤( 均影( 岣叫e n d ( 影( 呐) 倦里的行政形( 旧) 表示彤( 蚴上一切自同态构成的空间，y ) hr ( zy ) 为 r 瞵y ) = v x v ，一v r v x v 陇明， 即 r r ) z ：= v x v 尼一v y v 娟一v x , ) q z ， 则 矗( zx 五叨= 职亿叼田， 确定了一个四阶共变张量场，r j 它也称为黎曼流形的( ；婆曼) 曲率张量 4 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 4 由s 瞵，y ) = ( r ( e i ，爿) xe j ) 定义的二阶对称共变张量场s 称为( 必曲 的r i c c i 的张量场，对于p m 和单位向量昂巧( 岣，有 r i c ( x p ) = s ，耳) ， 称为流形在p 点沿耳方向的r i c c i 曲率 定义2 1 5 设ec 巧( 蚴是一个平截面xy 为e 中任意二个线性无关的向量，则 郴，= 篆黼， 称为黎曼流形( 必曲在p 点关于平截面e 的截面曲率其中， g 五即= 伐z ) ( z 阶一仪即( zz ) 特别地，如果xy 为单位向量并且相互正交j 则上式可以简化为耳但) = r xy ) 在仿射联络空间( 必v ) 中，我们可引入平行性的概念设，：0 ，b ) m 是 一条曲线，它在局部坐标系中的方程为 x = 工( ，) ，a 0 时， v p a 。以- 1 ) y ( 0 口。( 一- 1 ) ，y r 0 ，v p m 则容易得到， i v o t 而 b ( p , r ) 坳y ( 蚴，v ， 。，坳必 2 2 微分流形的相关基本概念 这一节，主要介绍有关微分流形以及流形之间的一些基本概念 8 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 2 1 设m 为m 维流形wcm 是开子集f ：w _ 尺为实值函数如果 对于p 形存在一个包含p 点的坐标图( u 以unw 咖使得函数 f o 妒叫：驴( uni v ) ( cr 胛) _ r 在妒0 ) 点是9 0 动的，则称f ：w _ r 在p 点是p 的如果对于每一点p 形 厂都是的，则称f ：w _ r 为在上的e 函数上p 函数的全体用p ( 聊 表示特别，( 蚴表示m 上所有的p 函数 定义2 2 2 设m 和分别为m 维和n 维c 七流形如果映射厂：肼一对于一点 p 必存在m 上包含p 的坐标图( 配妒) 和上包含q = f ( p ) 的坐标图( kl 如使 得映射 厂= 缈ofo 妒_ 1 ：妒( ( cr ”) 一砂( 功( cr ”) 在妒0 ) 点是p 05 句的，则称映射f ：m _ 在p 点是。的如果：m _ 在m 的每一点都是9 的，则称厂为p 映射 定义2 2 3 若f ：m 一为双她且和广1 都是连续的，则称厂为同胚若 f ：m 一为同胚且和广1 都是p 映射 则称厂为e 微分同胚且称m 和 是a 微分同胚的 定义2 2 4 设膨和都是口流形，f ：m _ 是a ( 1 j p 映射如果在点 p m 的秩等于m 的维数砚则称映射厂在p 点为浸入如果在m 的每一点都 是浸入则称厂是浸入 定义2 2 5 设，和都是c 七微分流形，c 如果包含映射f ：，_ 是浸 入，则称，是的浸入子流形 设m 和分别为m 维和力维口流形，f ：m _ 为p 0 动映射，p m q = m ) 设( u5 口；一) 和( 形砂；少) 分别是膨上包含p 点和上包含g 点的坐标 图，且八cv 因此，若g o r ( i s ) p s ) ，则g 。f ( 定义2 2 6 设母乙( 胸，定义线性映射 工p ：乃( d _ ( 5 0 ， 对任意的g c r ( 功，有 一 洱澹= 昂电o n 这样的线性映射工p 称为在p 点的切映射 9 第二章准备知识 定义2 2 7 设l o 巧( 砚定义线性映射 石：巧( 加_ 巧( 哟， 对任意的乃乙( 尬有 ( 石u ，昂) = 工，昂 这样的线性映射名称为局的对偶映射 定义2 2 8 定义映射广：r o ( ：o _ 碍( 尬砂h 广弘若s = 0 ，即妒c k ( n ) ， 则广砂= 缈o 若s 0 ，令扩p = 广( ) ) 即对每一个沙碍和任意的 蜀，五乙( 旧，有 扩沙b 隅，五) = ) 旺蜀，脯) 我们称映射广为拉回映射 1 0 第三章有限拓扑型与体积增长 3 1 有限拓扑型的相关历史 定义3 1 1 完备非紧黎曼流形肘具有有限拓扑型是指存在一紧集qcm 使得 m q 同胚于勰( 1 ，+ o o ) 根据上述定义，我们知道，如果流形m 上关于某个点的临界点都在m 的某个 紧致子集内，那么m 就具有有限拓扑型如果流形m 上某点p 没有临界点，则m 微分同胚于彤 定义3 1 2 设彩( 功= a ( p ，曲表示从p 点出发的距离函数，点q m 称为略的临 界点若对于任意的单位向量y 乃必都存在一条从g 到p 的极小测地线y ，使得 z ( v ( o ) ，y ) 等。 这个定义是由g r o v e s h i o h a m a ( 1 2 ) 首次引进的，其事实上跟g r e e n e 和s h i o h a m a 于1 9 8 1 年引进的关于l i p s c h i t z 连续函数的临界点定义是一致的，而后者对 于c 1 函数而言与通常意义下的临界点的定义也是一致的，因此我们称之为临界点 ( 1 4 】) 虽然后者的定义在形式上更符合“临界”的概念，但使用起来并不方便，因 此一般都用上述定义，它叙述简单而且还具有广泛的应用 引理3 1 1 伊劲设m 是n 维完备的黎曼流形，它满足r i c m 一一1 ) 肛，c o 力j m c 0 存在常数c = c ( n ，k ，c ) 0 ，使得，如果7 j ： 0 ，f j _ 必f = 1 ，2 是从p 的正 规极小测地线，：= m a x ( 1 l ，2 ) c 则有 叶 l d ( y l ( 1 x ) ，y 2 ( 如) ) e c 胆l z l y ；( o ) 一z y ；( 0 ) 1 定义3 1 3 所谓射线是，： 0 ，+ o o ) _ 肘的弧长参数的正规测地线，并且对于 v 和，b c 0 ，+ o o ) ，都满足t i e 。，明是极小测地线 定理3 1 1 任何完备非紧的流形从任何一点出发至少有一条射线 证明设m 为一完备非紧的流形，我们用反证法来证明定理3 1 1 假设存在一点p m 使得从这点出发不存在任何一条射线，则v 目乃m 是 单位向量，那么过p 点以y 为切向量的极小测地线有有限的长度v 由测地线关于 第三章有限拓扑型与体积增长 初值的连续性可知，l 关于y 是连续的而乃m 中的单位切向量是一个紧致集合， 所以，厶有上界记为k 从而，b ，p3m 所以肘为紧致的这与已知矛盾则定理 得证 。 我们用邱表示从p 点出发的所有射线组成的点集，上面这个定理说明彤是 非空的对于点p m 有是m 的闭子集对于任意的， 0 ，用s p ，厂) 表示以 p 为中心，厂为半径的测地球面 对于， 0 ，我们定义( 1 9 】 2 0 【2 1 ) 形0 ，力= m a x 、c l ( x ，r p ) ( 3 1 ) 笛p ，一 引理3 1 2 伊功设( 必g ) 是玎维完备非紧黎曼流形，它满r i c m - ( n - 1 ) ，y ( 蚴 0 ，则对任意的p m 和任意的， q 有 f s i n h n - l tdt一volb(p,2r)-vpa(2r,-1)0 ， y l “j c ，n 一1 其中0 9 n 是挖维单位球体积 引理3 1 3 ( 有限型引理) 伊剐若流形m 上存在一个点另使得函数彩的所有临 界点都在m 的一个紧致子集里面，则流形m 具有有限拓扑型 3 2 主要结果 引理3 2 1 呼圳对于正数c 0 和整数玎2 ，存在e = e ( c ，疗) 0 ，使得刀维完备 黎曼流形( 必窈，它满足r i c m - ( n 1 ) ，共轭半径c o n j m c ，y ( 旧 0 ，且 l i r as u p ( v o l b ( p ，) 一场口。( 一1 ) ) e y ( m ) ，p i v , 具有有限拓扑型 在此基础之上，我进一步改进了大体积增长的条件，用子列 n ， l i r ar _ o o ， 有 1 i r a ( v o t b ( p ，r i ) 】一y p a 。( r ，- 1 ) ) s y ( 询， l _ + o o l i r al r i 十1 一厂f i = 0 ， i - 一+ 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 成立，代替了q i a o l i n gw a n g 的大体积增长条件 l i r as u p ( v o l b ( p ，力 一场。( - 1 ) ) e v ( 力，p 膨 ，- _ 最后得到有限拓扑型的结论如下 定理3 2 1 对c 0 ， 2 ，存在8 = s ( c ，? ) o ，如果力维完备黎曼流形( 脱勘 r i c m 一( ，? 一1 ) c o n j m cy ( 0 o ，存在子歹oi r e , 1 i mr i _ o o ， 满足 ：l i r a ( v o l f b ( p ，厂f ) 】一o 。( 一，- 1 ) ) g 玎蚴，( 3 2 ) l - - b o o 1 i r al r i + l r f l = 0 ， 则m 具有有限拓扑型 证明： 取正数，= 如，。s ( 丢) c ，使得5s 萼，其中c = c ( 疗，c ) 如引理 3 1 1 令万2 专，取定理中的e = e ( 胛，c ) 为 f = 芋r s i n h t d t 由( 3 2 ) 知，存在亢分大的r o 5 c ，使得 v o z b 0 ，一) 一，- 1 ) 2 酬( 岣 任意的r r o 郎 夕汐( p ，r ) sdr o ( 3 3 ) 根据引理3 1 3 ，我们如果能够证明m b 0 ，哟不包含关于弛，) 的临界点， 则m 有有限拓扑型 对任意的x m b ，徇) ，分为两种情况： ( 口) 存在某一个_ ，使得x s p ，n ) ，记作x i ； ( b ) x 不在任何一个s ( p ，f ) 上，记作z 对于y x m b ( p ，t o ) ，我们令，= d ( p ，曲 1 3 第三章有限拓扑型与体积增长 则对于( a ) 种情况的x i ，记r i = a ( p ，力， 由( 3 1 ) 和( 3 3 ) 有，烈蜀，r p ) 6 因为彤是吖的闭子集，所以存在m i r p ，使得酝，m i ) = c l ( x f ，r p ) 即有e l ( x , ，m i ) 巧 对于( b ) 种情况，吁， 由于 l i mh 1 一f i l = 0 ， 片 所以可取x i + 1 在札l 上，使得d ( e x i + 1 ) 昙 可取到射线r p ，m i + 1 r p ，d ( x i + l ，m “1 ) x 0 ，而邱，i 到如的距离为烈i 而) = a ( z r ，) 由三角不等式， 则 a ( x i + 1 ，m f + 1 ) + d 压x i + 1 ) d 伍m i + 1 ) ， 由上可知，对于y x m b ( p ，r o ) ，存在m r p ，有a ( x ，m ) 6 取7 ： 0 ，+ o o ) _ 必是从p 点出发，穿过所的测地射线 由三角不等式可知， 所以，由 何 以工，y ( 力) d ( p ，7 ( 0 ) 一d ( p ，力 v f 2 r , a ( x ，p ) = - 正 m 7 ( ( o ，2 功 令q = y ( 2 r ) ， 再取从x 分别到p 承，q 的极小测地线y i ： 0 ，f j _ m i = 1 ，2 下面证明 忙么( “( o ) ，昵( o ) ) 三， ( 3 4 ) 1 4 、j “砟一 政 + 、j “ 坍 m 占一2 而 + 攻6 2 a 一 一 i | 、， m 五 吠 曲阜师范大学硕士学位论文 只要( 3 4 ) 式成立，根据前面的定义，就可得出z 不是如，) 的临界点 我们令p = y l ( d ，孕= i r 2 ( o 由三角不等式可得， 2 ，一d ，香) = 放五声) + a ( x ，孕) 一d ，孕) = 吠五p ) 一a ( p ，p ) + a ( x ，q ) 一碳毋牙) 一矗 ，彩 以x ，p ) + a ( x ，q ) 一d p ，q ) = 改五p ) 一a ( p ，m ) + 吠五q ) 一d ( q ，肌)( 3 5 ) 2 碳x ，哟 兰 即证得z 不是d ( p ，1 的临界点定理得证 1 6 第四章一类极小子流形的曲率刻画 4 1 有关子流形的基础理论 对于极小子流形方面的研究早巳成为微分几何学的热门话题本文在这一部 分主要是介绍了有关于极小子流形的一些概念，定理，并且给出了一个新的定义： 第k 个r i c c i 上曲率利用这个定义，刻画出一类极小子流形的曲率特征 我们首先给出一些相关定义，为我们后面结论的得出作必要的准备 定义4 1 1 设( m 曲和( m 西分别是捍和刀+ p 维黎曼流形，f ：m _ 肘是浸入 若在厂( 蚴cm 上处处有 广重= g 。 则称为等距浸入八哟称为等距浸入子流形 命题4 1 1 设x 和y 分别是f x 和f r 的局部延拓，则明和v y y 在八胸上 的限制与延拓的方式无关，这里v 表示( m 西的黎曼联络并且有 i x , 明以加= i f x 工y = 工i x , 明。 根据上面的命题，我们可将f i x 与姒y 与】，等同视之，且取y 队旧可筒记为 v x y 它的正交分解记为 乳y = v x y + b 瞄y ) ，( 4 1 ) 其中v x y t m , b y ) t 上m 命题4 1 2 设f ：m 叫m 为等距浸入则似中的v 是( 坛曲的黎曼联络 定义4 1 2 映射b ：。形( 五力影( 岣_ 。彩上( a 力是对称的和c 。( d 双线性的它 的每点p 必诱导了一个对称双线性映射 b p ：t p ( m ) 乙( 岣一砖( 蚴， 这个映射b 就称为等距浸入的第二基本形式 命题4 1 3 对任意的五y 影( 邶和手上( 旧，有 ( a d x ) ，y ) = ( b c 墨y ) ，手 = ( x , a d y ) ( 4 2 ) 因此0 f ) p ：巧( 蚴一乙( 旧关于内积( ，) 是对称线性变换 1 7 第四章一类极小子流形的曲率刻画 因为m 的余维c o d i m m = d i m m d i m m = p ，所以局部地可选取形上( 均中 p 个幺正向量场靠+ 1 ，靠+ 2 ，翕叩，它们在m 的一点处张成该点的必的法空间 于是，( 4 1 ) 中的b 可以表示成 n + p b y ) = 厅瞎， o t = r t + | 其中陇y ) = 办。( z 称为关于靠的第二基本形式 记a 。= 彳靠，由( 4 2 ) 得 ( 4 3 ) 。的= ( a 。，y ) ( 4 4 ) 定理4 1 1 以r 和r 分别表示m 和m 的曲率张量，xzz 矽彤( 旧，则m 的 g a u s s 方程可表示为 月( 彤z ，z 功= 月( 彬z x 幻十 证明： 设z z 影( d ，由( 4 1 ) 和( 4 3 ) ，可以得到 此外， 蹦v y 劢= v x 0 7 y z + 矿( z 刁品) = v x ( v y z ) 一矿( z ) a 口 + 垆仪v y z ) + 砸矿( z ) ) ) 靠+ 矿( z ) v 支靠 v x r l z = v x r l z + 矿( 明，刁磊 = v i x r z + ( 扩( v x y , z ) - h 口( v 试刁 由上面两个式子我们可以得到， 歌d z = r ( x , y ) z + z h 。v y z 3 - h 。( x 旧 + ，( 炉( z 动) 一y ( 酽c 墨劲) + 驴( v f 咒z ) 一矿( v x y , 刁烁 + 矿( zz ) 毗品一矿刁v ；= 矗 + 厉8 陇z ) a 口( 功一厅。( z ) a 。g p 曲阜师范大学硕士学位论文 即有 由此，对任意的w 彤( d ，利用( 4 4 ) ，便得 湎陇y ) 五即= ( 尺隅) + 妒伍z ) 矿( z 叨一矿( z z ) 矿陇即j ， 月( 彬z xy ) = r ( 彬z zy ) + ( 曰( 形，曰( 乙y ) ) 一( b ( 彬功，口( z 柳) 则定理得证 定义4 1 3 设：m _ 露是等距浸入，m 的平均曲率向量日= 三加，若h = o ， 则称f 为极小浸入，m 称为极小子流形 4 2 第k 个r i c c i 上曲率 我们知道之前有文献已经给出了关于第k 个r i c c i 曲率的定义，这个定义是用 下确界来定义的： 设k 是1 ，2 ，3 ，押一1 中的一个，我们定义流形胗上点x 处的第k 个r i c c i 陷率为 ricc力=时壹敏eei)l岛钆，艮txm为(k+i=1，个单位正交的切向量) ， r i c ( 力= 时 敏 p ，钆，艮 1 ) 个单位正交的切向量 ， ， 这里k ( eae f ) 表示x 点处e 和e i 所在平面对应的截面曲率 受此启发，我把上面定义中的下确界嫩f 改成了上确界s u p ，由此给出了第尼个 r i c c i 上曲率的定义 定义4 2 1 设k 是1 ，2 ，3 ，甩一l 中的一个，我们定义流形”上点工处的第k 个r i c c i 上曲率为 r i c ( k ) ( x ，= s u p ( 5 ，| ；k ( e e i ) 1 1岛，铅l m 为c 七+ ，个单位正交的切向量 ， x ) = s e ，铅l m 为( 七+ 1 ) 个单位正交的切向量 ， lf =， 这里k ( eae 1 ) 表示x 点处e 和e i 所在平面对应的截面曲率 第k 个r i c c i 上曲率和我们熟悉的r i c c i 曲率以及截面曲率有着十分密切的 联系 1 9 第四章一类极小子流形的曲率刻画 命题4 2 1r i c 1 ( 蚴c 即为截面曲率k m 已而r i c ( n 一1 ( 蚴0 一1 ) c 成 立的充分必要条件则是r i c c i 曲率g i c ( m ) ( 刀一1 k 这里为方便起见，我们用 r i c d ( 0 c 表示y x 正r i c ( 2 ( x ) c 证明：首先证明，r i c ( 1 ) ( 加c 即为截面曲率k m c 因为融c 1 ( 旧c ，即对于y x m 有r i c ( 1 ( 石) c 则 r i c 1 ( 力= s u p k ( eae 1 ) 旧e l l 必为2 个单位正交的切向量) c 又由x 的任意性可得， k ( e ia 勺) c ，其中e i ，e j 疋m 为2 个单位正交的切向量，且i 即鼬c 其次证明r i c ( - t ( 蚴q 1 ) c 成立的充分必要条件则是r i c c i 曲率砒c ( 旧 ( 玎一1 ) c 因为r i c ( 川( 蚴0 1 ) c ，即对v z m 有 r a c ( - 1 ) ( 班哪僖瞰e e 311叫扩心l 必为以个靴正交的肭量) 咖啦， x j = s u p 瞰e ，钆，e 女l 必为以个单位正交的切向量 仞一1 ) c ， 信j r i c ( g 沪r 肜， f 则 硒c 川( 曲= s u p k ( g p ，) = s u p p d c ( e f ) ， 悟i 所以，r i c ( e j ) 0 1 ) c 由其睡意性可得，p j c ( a ds 研一1 ) c 如果已知硒c ( 卸0 1 ) c ，则可得到对y x 必有 n l r i c ( 刁= 脚 p f ) ( 疗一1 ) c 扭l c一聆 f = ( 印p 卜( s ( e l , e 1 ) ，s ( g ) ) 一心( e l , e i ) 1 2 fj f 2 1 第四章一类极小子流形的曲率刻画 因为r i c ( n - 1 ) ( 均0 ，所以f ( 总，e i ) = ：2k ( e fae 3 0 ，则上式第三行第 一个和式小于等于零； 又因为7 7 = 0 等价于fs ( e l ，e i ) = 0 ，所以上式第三行第二个和式为零， 于是 r i c ( x , 0 命题得证 推论： 第刀个r i c c i 上曲率为非正的流形的极小子流形具有非正的数量曲 塞 2 2 参考文献 【i a b r e s c h ，u a n dg r o m o l l ，d ，o nc o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i e c ic u r v a t u r e j a m e r m a t h s o c ，1 9 9 0 ，3 ：3 5 5 3 7 4 【2 p e ih ew a n ga n dc h u nl is h e n ，as p h e r et h e o r e mw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dr e v e r s e v o l u m ep i n c h i n g j 】a c t a m a t h s i n ，2 0 0 7 ，5 0 ( 5 ) ，1 - 6 【3 】p e ih ew a n g ，ad i f f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m0 1 1m a n i f o l d sw i t hr e v e r s ev o l u m ep i n c h i n g j a c t a m a t h h u n g a r 。11 9 ( i 一2 ) ( 2 0 0 8 ) ，6 3 6 9 4 】c h e e g er ，j a n dg r o m o l l ，d ，t h es p l i u i n gt h e o r e mf o rm a n i f o l d so fn o n n e g m i v er i c c ic u i v a = t u r e j j o u r d i f f g e m o ，1 9 7 1 ，6 ：11 9 1 2 9 5 c h e e g e r ，j a n dg r o m o l l ，d ，o nt h es t r u c t u r eo f c o m p l e t em a n i f o l d so f n o n n e g a t i v ec u r v a t u r e j a n n o f m a t h ，1 9 7 2 ，9 6 ：4 1 3 雄3 【6 j s h aa n dz s h e n ，c o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dq u a d r a t i c a l l yn o n - n e g a t i v e l yc u r v e di n f i n i t y j a m e r j m a t h ，119 ( 19 9 7 ) ，1 3 9 9 1 4 0 4 7 】z s h e n ，c o m p l e t em a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v er i c c ic u r v a t u r ea n dl a r g ev o l u m eg r o w t h j i n - v e n t m a t h ，1 2 5 ( 1 9 9 6 ) ，3 9 3 4 0 4 8 】o r d w a y , d ，s t e p h e n s ，b a n dy a n g ，d ，l a r g ev o l u m eg r o w t ha n df i n i t et o p o l o g i c a lt y p e j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 8 ( 2 0 0 0 ) ，11 9 1 一t1 9 6 【9 9q i a o l i n gw a n g ，f i n i t et o p o l o g i c a lt y p ea n dv o l u m eg r o w t h j a n n a ! so fg l o b a la n a l y s i sa n d g e o m e t r y , 2 5 ( 2 0 0 4 ) ，1 - 9 【10 】b i s h o p ，r l a n dc r i t t e n d e n ，r l ，g e o m e t r yo fm a n i f o l d s m a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k , 1 9 6 4 【1i 】c h a v e l 。i r i e m a n n i a ng e o m e t r y ：am o d e mi n t r o d u c t i o n m c a m b r i g eu n i v p r e s s ，n e wy o r k ， 1 9 9 3 1 2 】g r o v e ，k a n ds h i o h a m a ，k ，ag e n e r a l i z e ds p h e r et h e o r e m j a n n m a t h ，1 0 6 ( 1 9 9 7 ) ，2 0 1 2 1l 【13 】c y x i a ，l a r g ev o l u m eg r o w t ha n dt h et o p o l o g yo fo p e nm a n i f o l d s j m a t h z ，2 3 9 ( 2 0 0 2 ) ， 5 1 5 5 2 6 【14 】g r e e n e ，r ，ag e n e a l o g yo f n o n e o m p a c tm a n i f c ! d so f n o t m e g a