（应用数学专业论文）广义b样条曲线及曲面的求值与节点插入算法研究.pdf

中文摘要 参数曲线曲面造型中的非多项式形式的b 样条方法是计算机辅助几何设计 领域中的热点问题之一。在生产设计应用中，b 样条曲线曲面已成为几何造型的 核心部分，自从1 9 6 4 年s c h o e n b e r g 提出三角b 样条以来，由于其具有与多项式 b 样条曲线类似的良好性质，对三角b 样条曲线的研究逐渐增多，后来又有研 究者建立了双曲b 样条，但都没有给出b 样条的一种统一表示形式。 本文通过研究二阶常系数微分算子的零空间及其初值问题解的唯一性问题， 引入了d 多项式样条空间，并在此样条空间的基础上定义了广义b 样条基和广义 b 样条曲线，给出了b 样条曲线的一种统一表示形式多项式b 样条曲线、三 角b 样条曲线、双曲b 一样条曲线都可以作为其特殊形式来表示。这些样条均可望 在c a d c a m 中成为一种新的造型工具。另外本文对其凸包性质和变差缩减性质 作了分析，还给出了该样条曲线的求值算法及节点插入算法，可以由控制多边形 通过离散割角来得到曲线，这可用于曲线的快速绘制。进一步，还把广义b 样条 曲线直接推广到曲面。同时，在构造张量积曲面的时候，可以在两个方向上取不 同类型的样条，这样很容易构造一些特殊曲面。文中最后给出了曲线和曲面的算 例，通过算例验证了算法的准确性和有效性。 关键词：广义b 样条曲线广义b 样条曲面求值算法节点插入算法 凸 包性质变差缩减性质 a b s t r a c t t h en o n - p o l y n o m i a lb s p l i n e si nt h en e ws c h e m e so fp a r a m e t e rc u r v e s a n d s u r f a c e sm o d e l i n ga r et h er e s e a r c hf o c u si nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g n ( c a g d ) i na p p l i c a t i o no fc a g d ，b s p l i n ec u r v e sa n d s u r f a c e sh a v eb e e nt h ek e r n e l o fg e c l m e t r i cm o d e l i n g s i n c em g o n o m e t r i cs p l i n e si n t r o d u c e db ys c h o e n b e r gi n 19 6 4 ； i th a sb e e ni n v e s t i g a t e db yo t h e rr e s e a r c h e r sb e c a u s eo fi t sp r o p e r t i e sw h i c ha r e s i m i l a rt oc l a s s i c a lb s p l i n ec u r v e s l a t e ra n a l o g o u s r e s u l t sh a v ea l s ob e e ne s t a b l i s h e d f o rh y p e r b o l i cb s p l i n e s ，b u tt h e r ei s n tau n i f i e df o r mf o rb s p l i n e s i n 2 0 0 1 ， m k j e n ai n 仃o d u c e dg b b c u r v e sa n dg e n e r a l i z e dt h es u b d i v i s i o na l g o r i t h m f o r b e z i e rc u r v e st og b b c u r v e s ，w h i c hi st h en e w r e s e a r c hf i e l do ft h es p l i n e s o - p o l y n o m i a ls p a c ei si n t r o d u c e di nt h i sp a p e rb yc o n s i d e r i n g t h en u l ls p a c eo fa s e c o n do r d e rc o n s t a n tc o e f f i c i e n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n dt h eu n i q u es o l u t i o nt o a n i n i t i a l v a l u ep r o b l e m ，a n dg e n e r a l i z e db - s p l i n eb a s i sa n dg e n e r a l i z e db 。s p l i n ec u r v e s a r ed e f i n e do nt h eb a s i co ft h es p a c e t h e nan e wr e p r e s e n t a t i o nt ob 。s p l i n e sa n dt h e c o n c e p to fg e n e r a l i z e db s p l i n ea r ep r e s e n t e d ，w h o s ep a r t i c u l a rf o r m s a r ec l a s s i c a l b - s p l i n ec u r v e s t r i g o n o m e t r i cb s p l i n e s c u r v e sa n dh y p e r b o l i cb 。s p l i n e s c u r v e s t h e vc a nb eu s e da sa ne f f i c i e n tn e wm o d e lf o rg e o m e t r i cd e s i g ni nt h ef i e l d so f c a d c a m t h ec o n v e x h u l lp r o p e r t ya n dv a r i a t i o n d i m i n i s h i n g r e s u l ta r ea l s o a n a l y s i s e d t h ee v a l u a t i o na l g o r i t h ma n dk n o t i n s e r t i o na l g o r i t h mf o rg e n e r a l i z e d b - s p l i n ec u r v e s a r ea l s op r e s e n t e d ；t h ec u r v ec a nb eo b t a i n e df r o mt h e c o n t r o l p 0 1 y g o nv i as u b d i v i s i o n ，a n dt h i sh e l pt oa c c e l e r a t et h er e n d e r i n go ft h ec u r v e t h e g e n e r a t i o no ft e n s o rp r o d u c ts u r f a c e sb yt h i sn e ws p l i n ei ss t r a i g h t f o r w a r d o nt h e o t h e rh a n d ，w ec a nu s ed i f f e r e n tk i n d so f t h es p l i n e st oc o n s t r u c tt h et e n s o rp r o d u c t s u i - f a c e sa n di ti se a s yt oc o n s t r u c ts o m es p e c i a ls u r f a c e s a tl a s t ，n u m e r i c a le x a m p l e s s h o wt h a tt h ea l g o r i t h m sa r ev a l i dt ob o t hc u r v e sa n ds u r f a c e s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e db s p l i n ec u r v e ；g e n e r a l i z e db s p l i n e s u r f a c e ； e v a l u a t i o n a l g o r i t h m ； k n o ti n s e r t i o n a l g o r i t h m ； c o n v e x 。h u l l p r o p e r t y ； v a r i a t i o n d i m i n i s h i n g r e s u l t ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：狱殒 签字日期：加易年2 月弓p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名：彰射卢声名 签字日期：2 伽占年2 月j , 3 0i - 4签字日期：2 汐口石年f2 月夕p 同 第一章绪论 1 1 概述 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n c a g d ) 是随着航 空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科。 在1 9 7 1 年，英国的佛洛斯特( a r f o r r e s t ) 首次提出了c a g d 是对几何外形信息 的计算机表示、分析和综合，研究的是计算机表示以及用计算机控制有关形状信 息的问题。苏步青【2 】教授进一步指出，c a g d 是函数逼近论、微分几何、代数几 何、计算数学特别是数控技术( n c ) 等形成的边缘科学。其应用范围除了航空、造 船、汽车这三大制造业外，还涉及c a d c a m 、建筑设计、生物工程、医疗诊断、 航天材料、电子工程、机器人、服装鞋帽模型设计等技术领域。随着计算机图形 学的发展，c a g d 还广泛应用于计算机视觉、地形地貌、动画制作、多媒体技术 等领域。 1 1 1c a g d 中曲线曲面造型技术的发展历史 曲线曲面造型是计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中的重要内容之 一，主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析【3 】。 它最早起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等工程应用领域的外形放样工艺，由孔斯 ( c o o n s ) 、贝塞尔( b e z i e r ) 等大师于二十世纪六十年代奠定了其理论基础。如今经 过数十年的发展，已经形成了其自身完善的几何理论体系并广泛应用于图形图像 设计、气象、勘探、医学、环保等各类科学研究和工程技术之中。几何形状信息 的核心问题是计算机表示，需要解决既适合于计算机处理，又能有效地满足形状 表示与几何设计要求，而且便于形状信息传输和产品数据交换的形状描述的数学 方法。1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的佛格森( f e r g u s o n ) 首先提出将曲线曲面 表示为参数的矢量函数方法，并引入参数三次曲线，构造了由四个角点的位置及 两个方向切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形 状数学描述的标准形式。1 9 6 4 年美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯( c o o n s ) 弓i 入超限 插值的概念，给出了一种具有一般性的曲面描述方法，只要给定围成封闭曲线的 四条边界就可定义一块曲面，1 9 6 7 年，c o o n s 进一步推广了他的思想。在c a d 工 程的实践中，应用最广泛的便是c o o n s 双三次曲面片。它与f e r g u s o n 双三次曲面 第一章绪论 片的区别，只是将角点扭矢由零矢量改为非零矢量，但这两种方法都存在形状控 制与连接问题。1 9 4 6 年，s c h o e n b e r g 提出了样条函数的概念，这为解决曲线或曲 面之间的连接问题提供了一种可能。用来描述几何形状的样条方法称为参数样条 曲线设计方法。样条方法在构造整体达到某种参数连续阶的曲线、曲面时非常方 便，但是它没有局部形状调整的自由度，其形状难以预测。1 9 7 1 年法国雷诺 ( r e n a u l t ) 汽车公司的贝塞尔( b e z i e r ) 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。这 种方法不仅简单易行，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计 技术向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但b e z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题，而且当控制多边形边数较多时，则多边形 对曲线的控制减弱。到1 9 7 2 年，德布尔( d eb o o r ) 给出了关于b 样条的一套标准算 法，1 9 7 4 年戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 又把b 样条理论应用于形状描 述，最终提出了b 样条方法。这种方法继承了b e z i e r 方法的一切优点，克服了 b e z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连 续性的基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好 解决。与控制多边形和节点相联系，1 9 8 0 年分别由b o e h m 和c o h e n 等人提出的节 点插入技术是b 样条方法中最重要的配套技术。但随着生产的发展，b 样条方法 显示出不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面的缺点，这就造成了产品几何定义 的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。为了 满足工业界的进一步要求，1 9 7 5 年美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的佛斯普里尔 ( v e r s p r i l l e ) 在他的博士论文中首次提出有理b 样条方法。后来，皮格尔( p i g e l ) 和蒂 勒( t i l l e r ) 等人对非均匀有理b 样条方法进行了深入的研究，终于使非均匀有理b 样条f n u p 0 3 s ) 方法成为现代曲面造型中最为广泛流行的技术。n u r b s 方法的提 出和广泛流行是生产发展的必然结果。 1 1 2 曲面造型现状及发展趋势 经过三十多年的发展，曲面造型技术己形成了以有理b 样条曲面参数化特征 设计和隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种手段为 骨架的几何理论体系随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的 日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这一趋 势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、集成化和网络化步伐的日 益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，曲面造 型技术在近几年得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方 法的开拓创新。从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面 求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距 第一章绪论 性。从表示方法来看，以网格细分为特征的离散造型与传统的连续造型相比，大 有后来居上的创新之势。与此同时，曲面造型方法在传统的c a g d 纯数学理论的 基础之上又产生了基于物理模型的曲面造型方法、基于偏微分方程的造型方法、 基于能量函数的曲面造型方法以及小波曲面造型方法、流曲面造型方法等等。 1 2 背景分析 曲线和曲面是计算机辅助几何设计中研究的重要内容之一，它们在实际工作 中有广泛的应用【4 】。例如，试验、统计数据如何用曲线表示? 设计、分析、优化 的结果如何用曲线、曲面表出? 汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计， 才能使之美观且物理性能最佳。由于实际问题对曲线、曲面设计不断产生新的要 求，近二十年来，有关曲线和曲面设计的文章、专著层出不穷。样条曲线曲面一 一作为目前c a g d 的主要研究对象之一，可以看成样条函数“几何化”后的产物。 如果利用样条函数来研究图形的几何性质，由于表示方式缺乏几何不变性，所以 非常不方便，1 9 4 6 年舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 提出了参数样条曲线、曲面的形式， 而克服这一局限性的一个有效的方法就是采用参数样条曲线。随后出现了很多与 多项式样条具有相似良好性质的非多项式样条曲线。1 9 6 4 年舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 又提出了三角b 样条曲线【5 1 。随后，莱彻( l y c h e ) 和温泽( w i n t h e r ) 【6 】，证明了三角 b 一样条曲线的一些性质。1 9 8 3 年，舒梅克( s c h u m a k e r ) 又对双曲b 样条建立了类 似的性质( 7 】。1 9 9 6 年，刚瑟( g o n s o r ) 年i 尼姆图( n c a m t u ) i s 通过极形式的概念提出 了b e m s t e i n b e z i e r 的统一理论。2 0 0 1 年，詹纳( m k j e n a ) 等人引入了广义 b e r n s t e i n b e z i e r 曲线【9 】，并将b e z i e r 曲线的子分算法推广到广义b e m s t e i n b e z i e r 曲线，开辟了样条曲线研究的新领域。 综上所述，自由曲线曲面技术是c a g d 的核心，长期以来，几何外形的数学 模犁化和数据平滑化促进了样条方法的发展；反过来，样条理论和方法的建立又 为自由曲线曲面的发展提供了重要的依据和工具。 1 3 本文的主要工作 本文主要针对自由曲线曲面造犁中的非多项式形式b 样条进行了深入研究。 首先概述了曲线曲面造型的发展历史以及现状和发展趋势，介绍了三角b 样条、 双曲b 样条和广义b e r n s t e i n b e z i e r 曲线及其性质，然后通过研究二阶常系数微 分算子的零空间及其初值问题解的唯一性，引入了分多项式空间，并在该样条 空间的基础上定义了广义b 样条基函数和广义b 样条曲线，给出了b 样条曲线 第一章绪论 的一种统一表示形式。此外还介绍了该样条曲线的求值算法及节点插入算法，并 对其凸包性质和变差缩减性质作了分析，进而将样条曲线的求值算法和节点插入 算法推广到曲面，利用广义b 一样条曲线可以构造一些特殊的曲面，用于产品外 形设计。最后给出了相应算例。数值实验表明，求值算法和节点插入算法对样条 曲线和样条曲面均准确、有效。 第二章样条曲线、曲面及子分算法 第二章样条曲线、曲面及子分算法 2 1b 一样条曲线 关于b 样条的理论早在1 9 4 6 年由舍恩伯格( s c h o e n b e r g ) 提出，但是其论文直 至u 1 9 6 7 年才发表。1 9 7 2 年，德布尔( d eb o o r ) t 1 1 1 和考克斯( c o x ) 【1 2 1 分别独立地给 出了关于b 样条计算的标准算法，但作为在c a g d 中的一个形状描述的基本方 法，是由戈登( g o r d o n ) 与里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 在研究b e z i e r 方法的基础上引入 的。b 一样条曲线不仅具有b e z i e r 曲线的几何特征，而且还具有曲线形状局部可调 及连续阶数可调等b e z i e r 曲线所没有的特征。且具有_ ! t f i b o e h m 节点插入【1 3 】、子分 【1 4 】等简单易行的计算方法。 2 1 1b 一样条基函数及性质【1 5 - 1 9 1 、定义 b 样条有多种等价定义，在理论上较多地采用截断幂级数的差商定义。我们 只介绍作为标准算法的d eb o o r - c o x 递推定义，又称为d eb o o r - c o x 公式。即 其中约定：0 0 = - 0 。 哪，= 三姜 哪) 2 差+ 慧- l ( ，) 该递推公式表明：欲确定第f 个七阶b - 样条m “力，需要用到， 0 。共斛1 个节点，称区间【f ，f f + 。 为m 。( ，) 的支撑区间。它们支撑区间的并集定义了这一组 b 一样条基函数的节点矢量丁= t o ，l ，t 州 。 2 、基函数的性质 ( 1 ) 正性和局部支撑性 第二章样条曲线、曲面及子分算法 。，mf 0t 纯，f j “) m 膨2 1 ：of 诺i 焉 当节点向量固定时，在同一节点区间( ，+ ，) 上，只有k 个尼阶b 一样条基函 数f 小。，。( f ) ，m m ：，。( f ) ，m ，。( f ) 为正，其余均为零，至于在或0 。处，若j ，i ( f ) 在此点连续，则其值为零；否则取右极限值为其值。 ( 2 ) 权性 ( 3 ) 微分公式 i ，( f ) = 1 t ，t n + 。】 i = 0 础) = 兰+ 篙- l ( r ) ( 4 ) 可退化性 若取节点向量为 “+ 2 = “+ 3 = = t 助为凸，则结论在 区间 t u - n + kt 川) 上也成立。 ( 1 0 ) 直线保持性 当控制多边形退化为一条直线时，曲线也退化为一条直线。 ( 1 1 ) 造型的灵活性 用b 样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况，如图2 3 所示。对 于四阶( 三次) b 一样条曲线段f ) ，若要在其中得到一条直线段，只要p ，b ，只：，& ， 四点位于一条直线上即可，此时p ( 力对应的t i + ，t + 。的曲线，即为一条直线， 且和p ，最。，只：，最，所在的直线重合。 为了使以力能过p 点，只要使p f + l 一+ 2 重合即可，此时以，) 过p 点( 尖点) ， 尖点也可通过三重节点的方法得到，与三重顶点的效果相似。 为了使曲线p ( 力和某一直线l 相切，只要取只，最，只：位于l 上及+ ，的重数 不大于2 即可。 最。 最： p 只。r ：只， ( a ) 四顶点共线 敝o 。 ( d ) - - 顶点共线 图2 - 3 三次b 一样条曲线的特例 只。 第二章样条曲线、曲面及子分算法 2 2b 样条曲线的求值算法及节点插入算法 2 2 1b 样条曲线的求值算法 1 、求值算法的导出 给定控制顶点只( 待0 ，l ，刀) 及节点矢量丁= t o ，t l ，t n + 】后，就定义了七阶 ( k - 1 次) b 一样条曲线。欲计算b 样条曲线上对应一点p ( 力，可以利用b - 样条曲 线方程，但是采用b 样条曲线的求值算法，计算更加快捷。 p ( 0 的值可以通过递推关系式 1 只，= 0 ；i = j 一七+ 1 ，一k + 2 ， 耳一( 垆 鲁p + 竽号密1 】( ，) 【+ i 一，一 + t 一，一 求得。这就是著名的d eb o o r 算法，d eb o o r 算法的控制项点的递推关系如图2 _ 4 所示。 鼻 ； 0 小。) 端+ ：( 哆m ：) 瑞+ ，( e m ，i ； ) 巧u ( f ) e i 只 2 、求值算法的几何意义 图2 - 4 d eb o o r 算法中控制顶点的递推 求值算法有着直观的几何意义一割角，即从多边形e 小，小：开始进行 k 一1 层割角，第r 层割角是用线段掣一础割去角f ，r = l ，2 ，肛l ；f 彳k + r + l ， j - k + r + 2 j - 1 。割角系数( 内分边长的比例数) 不仅与求值参数t 有关，且与节点 第二章样条曲线、曲面及子分算法 值( 依赖于割角层数r 和割角边序号) 有关，最后得到的割角点巧卜1 1 ( f ) 就是所求的 p ( t ) ，由此可得出求点p ( f ) 的几何作图法，如图2 - 5 所示。 图2 - 5 b 一样条曲线d eb o o r 算法的几何意义 3 、由d eb o o r 算法导出三次b 样条的b e z i e r 表示 础+ ，( f ) 在使用时，为了减少计算量，希望曲线次数越低越好，但二次样条曲线是一 条抛物线，不能反应曲线的拐点；所以一般使用三次( 四阶) 样条曲线。下面来讨 论三次( 四阶) 样条曲线与b e z i e r 曲线的关系。由求值算法，下列公式成立： p ( 0 ) = 巧3 ( 0 ) = 擘) p ( 5 + 。) = 磷j ( 0 + 。) = 2 2 1 ( 0 + 。) p ( 0 ) = 3 ( 础( 0 ) 一巧翌( 0 ) ) p ( 0 + 。) - - 3 ( 爿2 1 ( t j + ：) 一础( 0 + 。) ) 由于j p ( f ) 在区间0 ，t j 小上是三次多项式，故以上两个性质表明：这段曲 线如表示成三次b e z i e r 曲线，则其控制顶点为：碍习( 0 ) ，e 三( 0 ) ，巧( 0 + 。) ， 毕l ( t 川) ，如图2 - 6 所示。即尸( f ) 可表示为： 第二章样条曲线、曲面及子分算法 p ( f ) = 只，。( f ) 硼( 等) + 枇蹦哥) ( 2 - 1 ) 坤略蹦等州2 乜+ 1 ) ( 寻) 其中，t j t t j + l ，a t j = t j + l t j 。式( 2 - 1 ) 表明：对四阶b 一样条曲线以f ) 而言，求值 算法不仅是求以力的方法，也是把b 一样条曲线以，) 转化为一段b e z i e r 曲线的工具。 图2 - 6 四阶b 一样条曲线转化成b e z i e r 曲线 2 2 2 b 一样条曲线的节点插入算法：o - 2 3 】 在计算机辅助几何设计中，应用b 样条方法表示和设计自由曲线曲面时，常 要用n b 样条曲线的节点插入技术。通过插入节点，可增加曲线曲面造型的柔性， 可统一不同b 样条曲线的节点向量，还可求b 样条曲线上的b e z i e r 点等等，此外， 实现b 样条曲线的另一基本运算一一升阶运算也需要插入节点。 1 、节点插入算法的导出 对于由给定的节点向量丁= 【f o ，乙+ 。】和控制顶点p ( f = o ，1 ， ) 定义的七 阶b - 样条曲线，则把f ( 乞 f 乙+ 。) 作为新节点插入丁以后，由此得到新的节点 向量一1 1 = t o ，t l ，f ，o 。】，足阶b 一样条曲线的新的控制顶点可由以下递推式 第二章样条曲线、曲面及子分算法 一1 1 = 只 i u + ，一k + 1 器即篇只u + l - k + 2 i u 最l i 甜+ 1 得到。这就是著名的b o e h m 节点插入算法。其中，是节点的重数。 2 、节点插入算法的几何意义 节点插入算法的几何意义是：若在节点向量t 中插入一个节点，则引起控制 多边形的改变就是用| | 一，一1 个新控制顶点f 1 1 ( f = u + l - k + 2 ，u + l - k + 3 ，“) 代 替七一，一2 个老控制顶点0 ( = z ，+ ，一k + 2 ，u + l 一七+ 3 ，”一1 ) ，即相当于割去以 e 为项点的一层角，而点p 1 1 是边曩。只上的一个内分点，内分比是 ( f _ 4 1 1 ) ：( 识一f ) ，如图2 - 7 所示。 图2 7 插入一个节点引起k 阶b 一样条曲线的控制多边形的改变 2 3 三角b 样条曲线和双曲b 一样条曲线 自从s c h o e n b e 玛引入了三角b 一样条以来，出现了大量研究三角b - 样条的文章 2 4 - 3 0 ，并且有研究者引入了双曲b 样条，这些样条均可望在c a d c a m 中成为一 种新的造型手段。 2 3 1 三角b 样条曲线 i 、三角b 样条基函数 设，：= 【口，6 】，对于给定的节点序列丁= ，t 2 k 。) ，其中a = = = t k ， 第二章样条曲线、曲面及子分算法 乙+ 。= = 乙+ 。= 6 ，并且假设节点向量满足0 + 。一0 l ，s 是三角b - 样条曲线，c 是由下式定义的节点平均值： 击雾o 石，委， 定义e ：= ( ，o ) ，= 1 ，2 ，刀为样条曲线s 的控制顶点，称 c c 工，= 丢篆端c j + 弓吾端c p 。一，= ，2 ，刀一- 为样条曲线s 的控制曲线。如图2 - 8 所示。 第二章样条曲线、曲面及子分算法 ( 2 ) 求值算法 图2 8 三角b 一样条曲线及其控制曲线 设x j ，且是使得x 0 ，0 + 。) 的数。 ( i ) e ；q ，j = 一m + l ，a m + 2 ， ( i i ) c 净坐i lc ：一- + s i n ( t j + m _ ，- x ) c r - i c：2。，_一c；+一c；i 。s i n ( t j * ，一t ，) s i n ( t j + 。一，一t j ) 广1 ( i i i ) s ( x ) = 。1 ，= 1 ，2 ，m 一1 ；j = 一m + r + l ，t m + ，+ 2 ， 图2 - 9 三角b 一样条曲线的求值算法 1 5 第二章样条曲线、曲面及子分算法 2 3 2 双曲b 样条曲线 与三角b 一样条类似，s c h u m a k e 一7 】定义了双曲b 样条曲线。 1 、双曲b 样条基函数 设，：= 口，6 】，对于给定的节点序列t = f 2 + 。) ，其中，l = = ， o 。= = + 。，并且假设节点向量满足对于任意的工，y 口，6 ，s h ( x - y ) 0 ，则 规范化双曲b 一样条基函数定义如下： q = 器巍钆+ l 啪净j 蒜等+ 瓦s h ( t j + 习r - x ) 明 0 t j t j + r 其他 2 、双曲b 一样条曲线 。 由于双曲b - 样条基函数张成了空问以，x 寸y - v h 以，都有如下的表示形 式： 厅( x ) = o 嘭( x ) j = l 则 ( x ) 称为双曲b 样条曲线。 2 4b 样条曲面 在当前的自由曲面的设计中，b 样条曲面是一个重要的数学工具。b 一样条曲 面具有连续性高，整体配置控制顶点的优点。b 样条曲面采用网格点阵控制，进 行外形曲面设计的大致思想是：先用控制顶点勾画出待设计曲面的大致形状，再 由计算机画出曲面，曲面不一定通过这些项点，只需保持控制网格的大致形状， 设计人员通过人机交互方式不断调整控制网格，直到设计出满意的几何外形曲 面。这样自由型曲面设计具有较大的自由度。 给定参数轴甜和1 ，的节点矢量u = 【，z ，。+ ，】和v = i v , ，v 2 ，k 。】，p x q 阶b 样条曲面定义如下： e ( u ，y ) = 只，f ，p ( “) m ，。( v ) 第二章样条曲线、曲面及子分算法 其中弓o = o ，l ，m ；= o ，l ，) 是给定的空间( 朋+ 1 ) ( 时1 ) 个点列，构成一张控制 网格，称为b 一样条曲面的控制网格。f ，p ) 和u ，( 1 ，) 是b 一样条基，分别由节点 矢量【，和v 按d e b o o r - c o x 递推公式决定。b 一样条曲线的一些几何性质可以推广 到b 样条曲面，图2 一l o 是一张双三次b 样条曲面片实例。 2 5b e z i e r 曲线 图2 1 0 双三次b 样条曲面片 2 5 1b e z i e r 曲线的定义和基函数的性质 1 、定义 给定空间n + 1 个点的位置矢量只( 江0 ，1 ，玎) ，则b e z i e r 参数曲线上各点坐 标的插值公式是： p ( f ) = p e ，。( f ) ，t 【0 ，1 ，= j 其中鼻构成该b e z i e r 曲线的控制多边形，e 。( f ) 是刀次b e r n s t e i n 基函数： ( ，) = 掣( 1 叫川= ，( 1 _ ，) 川( 扛。l ，刀) b e z i e r 曲线实例如图2 11 所示。 第二章样条曲线、曲面及子分算法 2 、b e r n s t e i n 基函数的性质 ( 1 ) 非负性 ( 2 ) 端点性质 ( 3 ) 权性 ( 4 ) 对称性 ( 5 ) 递推性 图2 1 1 三次b e z i e r 曲线 10t = 0 ，l 骂州2 1 lf ( i l ) 扛1 ，2 ，”1 ； ，= 器嚣 刚，= 器嚣 e ，。( f ) 三1 t ( o ，1 ) e ，。( ，) = b - j 。( ，) ，只 e 。( ，) = ( 1 一f ) e 扩l ( ，) + 毽1 川( f ) ( i = 0 , 1 ，玎) 即高一次的b e m s t e i n 基函数可由两个低一次的b e m s t e i n 调和函数的线性组 合表示而成。 ( 6 ) 导函数 j ， 一 ， 、 _ 一 一 昂 、：飞 一 ， ， ，- ， o j 昂 第二章样条曲线、曲面及子分算法 ( 7 ) 最大值 ( 8 ) 升阶公式 ( 9 ) 积分 或。( f ) = 唾e - i , n - i ( f ) 一垦，( ，) 】，i = 0 , 1 ，玎； 忍。( f ) 在f - 二处达到最大值 刀 ( 1 - t ) b ，f ) - ( 1 一嘉) 忍卅l ( f ) ( f ) = 熹+ 1 ( r )挖+ 1 = ( 1 一熹) ( f ) + 熹+ l ( ，) 觑( f ) 沈= 熹 2 5 2b e z i e r 曲线的基本几何性质 1 、端点性质 ( 1 ) 曲线端点位置矢量 由b e r n s t e i n 基函数的端点性质可以推得，当t = 0 时，p ( o ) = b ；当户l 时， p ( 1 ) = 。由此可见，b e z i e r 曲线的起点、终点与相应的控制多边形的起点、终 点重合。 ( 2 ) 切矢量 因为 尸( f ) = 玎【忍- l , n - i ( f ) 一忍扩，( ，) 】= 刀p 膨扩。( ，) i = 0i = 0 其中衅= 最。- e , ，所以当f = 0 时，p ( 0 ) = 月( # 一只) ，当t = 1 时，尸 ( 1 ) = 刀( 只- g 一。) ，这说明b e z i e r 曲线的起点和终点处的切线方向和控制多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。 ( 3 ) 二阶导矢 第二章样条曲线、曲面及子分算法 当t = 0 时， 当t = l 时， n - 2 尸o ) = 刀( 刀一1 ) ( 鼻+ ：一2 只+ ，+ 只) e ，。一：o ) p ( o ) = n ( n 一1 ) ( 一2 片+ 只) p ”( 1 ) = n ( n 一1 ) ( 只一2 只一。+ 一：) 上式表明：2 阶导矢只与相邻的3 个顶点有关，事实上，阶导矢只与( 一1 ) 个相 邻点有关，与其它点无关。 ( 4 ) k 阶导函数的差分表示 聍次b e z i e r 曲线的k 阶导数可用差分公式为： = 志参i = 0 以) f 0 ，1 】 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： 2 、对称性 p = a 扣1 只l - a 卜1 p 由控制顶点只= 一，( 江0 , 1 ，”) ，构造出的新b e z i e r 曲线，与原b e z i e r 曲 线形状相同，走向相反。因为： c ( f ) = 只+ e ，。( f ) = 只一，忍，。( f ) = 只一，或_ i 。0 - t ) - - e 只e ，。( 1 一f ) ，t 【o ，l 】 i = 0i = 0i = 0i = 0 这个性质说明b e z i e r 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 3 、凸包性 由于e ，。( f ) 三l ，且o e ，。( f ) l ( o ，1 ，扛o ，l ，刀) ，这一结果说明当f 在 i = 0 区间【o ，1 】变化时，对某一个f 值，p ( f ) 是控制多边形各顶点的加权平均，权因子 依次是鼠一( ，) o 在几何图形上，意味着b e z i e r 曲线以f ) 在t 0 ，1 】中各点是控制顶点 p 的凸线性组合，即曲线落在只构成的凸包之中，如图2 1 2 所示。 第二章样条曲线、曲面及子分算法 4 、几何不变性 e p17；,，：-，!、-、-，k：、!、。6p 4 、_ 。o j、 p 厶，一一一一一，。一”五、，、p , i t 0 15 图2 1 2 b e z i e r 曲线的凸包性 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。b e z i e r 曲线的位置与形状 与其控制多边形顶点p ( 汪o ，l ，以) 的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有： 5 、变差缩减性 主i = 0p 忍“f ) = 喜只e 等署) ( 参变量甜是r 的置换) 若b e z i e r 曲线的控制多边形昂，暑，只是一个平面图形，则平面内任意直线 与p ( f ) 的交点个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数，这一性质叫变差缩 减性。此性质反映了b e z i e r 曲线比其控制多边形的波动小，也就是说b e z i e r 曲线 比其控制多边形的折线更光顺。 6 、仿射不变性 对于任意的仿射变换彳： 彳( 尸( f ) 】) = 彳 只e ，。( 饼= 4 p 】e ，。( f ) i = 0 即在仿射变换下，尸( f ) 的形式不变。 2 5 3 b e z i e r 曲线的子分求值算法 计算b e z i e r f t t l 线上的点，可用b e z i e r l t t l 线方程，但使用d ec a s t e l j a u 提出的递 推子分求值算法则要简单得多。1 9 7 4 年，c h a i k i n t 3 u 提m 对多边形割角的方法来 产生自由曲线，1 9 8 0 年l a n e 和r i e s e n f e l d t 3 2 1 把c h a i k i n 方法推广到空间多边形的所 第二章样条曲线、曲面及子分算法 有边每次都同时取中点的递归割角。这是b e z i e r 曲线的简单割角法。但是早在 1 9 5 9 年前后，d ec a s t e l j a u 3 3 1 就提出了递归割角算法，它是简单割角法的推广。 墨 图2 1 3 抛物线三切线定理 如图2 1 3 所示，设尸o 、牙、岛是一条抛物线上顺序三个不同的点。过昂和县 点的两切线交于只点，在点碍的切线交昂暑和置于层1 和爿，则下面的比例成 立： 丝：丝：丝 日1 号爿劈爿 这是所谓抛物线的三切线定理。 当日，罡固定，引入参数f ，令上述比值为f ：( 1 一f ) ，即有： e 1 1 = ( 1 - t ) p o + 嵋 爿= ( 1 - 0 8 + 缇 露= ( 1 - t ) p 1 1 + 趔 t 从0 变到l ，第一、二式分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一 次b e z i e r 曲线。将一、二式代入第三式得： 碍= ( 1 一，) 2 p o + 2 t ( 1 一f ) 曰+ f 2 罡 当，从0 变到1 时，它表示了由三顶点昂，异，忍三点定义的一条二次b e z i e r 曲线。并且表明：该二次b e z i e r 曲线譬可以定义为分别由前两个顶点( p o ，曰) 和 后两个顶点( 片，足) 决定的一次b e z i e r 曲线的线性组合。依此类推，山四个控制点 第二章样条曲线、曲面及子分算法 定义的三次b e z i e r 曲线碍可被定义为分别由( 只，墨，) 和( 只，只) 确定的二条二 次b e z i e r 曲线的线性组合，由( + 1 ) 个控制点只( 待o ，l ，胛) 定义的刀次b e z i e r 曲线臂可被定义为分别由前、后玎个控制点定义的两条( 玎一1 ) 次b e z i e r 曲线譬- 1 与掣。的线性组合： 彤= ( 1 - t ) p g