（基础数学专业论文）二维定常欧拉方程组的等熵近似.pdf

二维欧拉方程组的等熵近似 摘要 双曲守恒律方程组在物理中有着广泛的应用，其中最具有代表性的就是描述可 压缩流体运动的欧拉方程组在实际问题中。为了研究的方便，人们通常对流体的 某些性质作定的假设，从而得到一些简单的近似模型例如假设流体状态的变化 与时闯无关，只与空间状态有关，那么我们可以得到定常的欧拉方程组；如果再假 设流体的熵保持为常数，那么我们进步得到等熵的欧拉方程组；如果再假设流体 的速度场满足无旋条件，我们可以碍到所谓的位势流方程组在物理实验或者数值 计算中，定常等熵欧拉方程组和定常位势流方程组在某些情况下确实都可以被看作 是定常欧拉方程组的近似因此，我们很自然的问题就是如何在数学上对不同近似 模型之间的解，尤其是对带激波间断的整体弱解进行比较 本文主要研究超音速区域上二维定常的欧拉方程组在等熵与非等熵的假设下由 g l i m m 格式所得到的弱解之阈的误差估计在方程组的初值等熵且全变差充分小 的前提下，本文证明了定常欧拉方程组和等熵欧拉方程组弱解之间的误差可以被初 值全变差的三次方控制；同时也证明了当艉不存在激波时，两方程组的解是互相一 致的 关键词：定常欧拉方程组，等墒的欧拉方程组，二维欧拉方程组，整体弱解， 黎曼问题，误差估计，半群方法 中图分类号： 0 1 7 5 2 9 a m s 分类号t3 5 l 6 5 ，7 6 n 1 5 ，7 6 l 0 5 i s e n t r o p i ca p p r o x i m a t l 0 n o ft h e s t e a d ye u l e rs y s t e m i nt w os p a c ed i m e n s l o n s a b s t r a c i h y p e r b o l i cs y s t e m so fc o n s e r v a t i o nl a w sp l a y i m p o r t a n tr o l ei np h y s i c s o n eo f w h i c hi st h ec o m p r e s s i b l ee u l e rs y s t e m i nt h er e a lp r o b l e m ，p e o p l eo f t e nm a k es o m e a s s u m p t i o n so nt h ef l u i dt os i m p l i f yt h ee q u a t i o n s - f o ri n s t a n c e ，i ft h es t a t e so ft h e f l o w a r ea s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n to ft h et i m ev a r i a b l e ，w ec a ng e tt h es t e a d ye u l e rs y s t e m f u r t h e r m o r e ，i ft h ee n t r o p yo ft h ef l o wr e m a i n sa sac o n s t a n t ，w ec a l lh a v et h ei s e n t r o p i c e u l e rs y s t e m a n di ft h ef l o wi sa s s u m e dt ob ei r r o t a t i o n a l ，w ec a nh a v et h ep o t e n t i a l f l o we q u a t i o n d u et ot h ee x p e r i m e n t sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s ，i th a sb e e ns h o w n t h a tb o t ht h ei s e n t r o p i cs t e a d ye u l e rs y s t e m sa n dt h es t e a d yp o t e n t i a lf l o we q u a t i o n sa r e e x c e l l e n ta p p r o x i m a t em o d e l sf o rt h es t e a d ye u l e rs y s t e m t h e no u rn a t u r a lq u e s t i o ni s h o wt oc o m p a r et h ew e a ks o l u t i o n st ot h ed i f f e r e n tm o d e l sa n dw h e t h e rt h ed i f f e r e n c e b e t w e e nt h es o l u t i o n sf o rd i f f e r e n ta p p r o x i m a t em o d e l sr e m a i n ss m a l lw h e nt h e yh a v et h e s a m ei n t i a ld a t a t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ed i f f e r e n c eo ft h ew e a ks o l u 。 t l o n si nt h es u p e r s o n i cr e g i o ng e n e r a t e db yt h eg l i m ms c h e m ef o rt h es t e a d y e u l e rs y s t e ma n dt h ei s e n t r o p i ce u l e rs y s t e mw i t ht h es a m ei s e n t r o p i ci n i t i a l d a t a a s s u m et h a tt h ei n i t i a ld a t aa r ei s e n t r o p i ca n do fs u f f i c i e n t l ys m a l lt o t a l v a r i a t i o n ，w ec a np r o v e t h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h es o l u t i o n so ft h es t e a d y f u l le u l e rs y s t e ma n ds t e a d yi s e n t r o p i ce u l e rs y s t e mw i t ht h es a l v ei s e n t r o p i c i n i t i a ld a t ac a nb eb o u n d e db yt h ec u b eo ft h et o t a lv a r i a t i o no ft h ei n i t i a l p e r t u r b a t i o n f u r t h e r m o r e ，w ea l s os h o wt h a ti ft h es o l u t i o n sd on o tc o n t a i n s h e c k s 。t h et w os o l u t i o n sw i t ht h es a m ei n i t i a ld a t ac o i n c i d ew i t he a c ho t h e r k e y w o r d s l s t e a d ye u l e rs y s t e m ，i s e n t r o p i ce u l e rs y s t e m ，e u l e rs y s t e m ，g l o b a l w e a ks o l u t i o n s ，r i e m a n np r o b l e m s ，a p p r o x i m a t i o ne s t i m a t e ，s e m i g r o u pm e t h o d s c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o m 0 1 7 5 2 9 a m sc l a s s i f l c a t i o n ：3 5 l 6 5 ，7 6 n 1 5 ，7 6 l 0 5 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名地 论文使用授权声明 臁2 仰2 旧 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名 列稠七 导师签名：盛缸亟日期 2 f 妇 第一章绪论 双曲守恒律方程组是偏微分方程中非常重要的类方程，在数学物理中有着广 泛的应用很多物理现象都可以用它来刻画，如可压缩流体动力学方程组相对论 流体力学方程组浅水波方程，热力学方程组、磁流体力学方程组等等在数学上， 双曲守恒律方程有下面的一般形式( 参考1 2 】、【6 】【1 4 ，【1 6 】以及1 1 7 1 ) t m + ，( 仳) 。= 0 ， u r n ，z r m ， ( 1 1 ) 而在双曲守恒律方程中，最具有代表性的就是用来描述可压缩流体动力学的欧拉方 程组( 参考f 5 】，f 1 2 l 以及f 1 9 1 ) , ，ip t + v ( 硐= 0 ， ( ，动t 十vr ( 廊。司+ 唧= 0 ， ( 1 2 ) ( p e h + v ( 触e + 鳓= 0 ， 其中队矗，p 、e 分别代表了流体的密度，速度，压力和总能量，o 表示向量的直积 在只存在两个空间变量，且流体的状态与时间t 无关的条件下，我们可以得到二维 定常的欧拉方程组： i ( 肚k + ( 倒) f = 0 ， ( p u 2 + 神一们俨0 1 ( 1 3 ) l ( p ) 。+ ( p v 2 + p ) p = 0 ， l ( “( e + p ) ) 。+ 0 ( e + p ) ) f = 0 ， 其中u ，口分别表示流体z 、y 方向上的速度，p ，p 、e = i 1 以u 2 + 口2 ) + 雕p ，p ) 代表了 流体的密度，压力和总能量，而e o , ，p ) 表示内能对多方气体，内能可以表示为 e 缸力2 i 南， ( 1 f 4 ) 这里1 l 是常数 如果进步假设流体的熵在整个流动过程中保持常数，那么我们可以得到方程 1 组( 1 3 ) 的一个近似模型，即等熵的欧拉方程组： i ( 肚k + ( ) f = 0 ， ( 舻+ p ) z + ( 删) v = 0 ， ( 1 5 ) 【( 删) ；+ ( 胛2 + p ) ”= 0 ， 在这里同样的对多方气体，压力项p 可以表示为 p = , 0 7 ，7 1 ( 1 6 ) 对定常流，我们定义音速为 c = 警， 对等熵流，音速可以进步表示为 。 c = p 1 如果u c ，我们可以看出方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 都是双曲型方程组对两方程 组解之间的相互关系，在数学上我们可以得出这样的结论；如果( “，虬力7 是方程组 ( 1 5 ) 的c 1 解，那么( ，p ，p = 矿) 7 满足方程组( 1 3 ) 即如果假设流体的熵在初始 是为一致常数，且方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的解保持光滑的话，那么两个模型是互相等 价的这就是说，在两个方程组都存在经典解的情况下，两者关于相同等熵初值的 解是完全一致的但是由f 1 1 】( 或1 13 】) ，我们知道对于双曲型方程组，无论初值给得 多么光滑，在大多数情况下，经典解只具有局部存在性在有限时间内解会产生奇 性，在此之后激波就会出现对于完整欧拉方程组( 1 3 ) 来说，如果解出现激波间断 的时候，在越过激波时，流体的熵会增加而不会保持常数；因此在存在激波的时候， 方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的解般是不一致的因此，两个方程组之间的含激波的熵解 是否仍然非常接近成为我们关心的主要问题本文主要目的是在超音速区域中，对 两个方程组具有相同等熵初值的整体嫡解之间的误差在l 1 空间里进行估计对于 超音速流体，方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 弱解的整体存在性都已经被广泛的研究过，例如 【4 】 【2 0 】以及【2 1 】等而在这些文章中，两个方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的弱解都是在对初 值具有充分小全变差的假设下由g l i m m 格式得到的 2 对于不同模型间弱解的比较，本文主要受到了f l j 2 j 、 9 】【1 5 j 和f 2 2 j 的启发 在【1 5 l 中，a n d r e wj m a j d a 介绍了可压缩流体的欧拉方程组( 1 2 ) 以及它的一系列 近似模型，如等熵的欧拉方程组，位势流方程组等等在文中，m a j d a 对不同模型 问解的相互关系，尤其是方程组具有不连续初值或者方程的解含有激波间断的情况 下。如何进行整体弱解之间的比较提出了一些问题 此后，在【9 】中，l a u r es a i n t - r a y m o n d 对一维欧拉方程组 ip t + ( 舢k = 0 ， ( p ) t + ( p 舻+ 印k = 0 ， 博( - 7 - + 普洋+ 普k - o ， 与等熵假设下的欧拉方程组 蕊。嘉：0 ， n 力 i ( 鲫) t + ( p 舻+ p k = ， 。 关于相同等熵初值解的相互关系进行了讨论在文中，l a u r es a i n t - r a y m o n d 求解出 了上面两方程组黎曼问题的精确表达式，并由此对两个方程的黎曼问题进行了比 较然后作者构造了一个与二1 模等价的测度d ，并根据测度d 的性质得到了两个方 程组具有充分小全变差的初值问题弱解的比较 l a u r es a i n t - r a y m o n d 的证职主要是建立在b r e s s a n 关于2x2 真正非线性双曲守 恒律方程由波前跟踪法构造出的解l 1 稳定性的基础上b r e s s a n 在【2 】以及他的一系 列文章中介绍了双曲守恒律方程组( i i ) 波前跟踪法构造整体解的方法，并证明了该 方法得到的弱解生成了个标准的黎曼半群s 利用该黎曼半群的稳定性，b r e s s a n 还证明了由g i l m m 格式构造的解和由波前跟踪法构造的解是相互等价的，并利用 这一系列结果，b r e s s a n 对g l i m m 格式构造的近似解扩咿* 和真实解s t 咖之间进 行了比较。从而证明了g l i m m 格式解的唯性在此基础上，在【1 】中，b i a n c h i n i 和 c o l o m b o 证明了该黎曼半群关于流函数，项的稳定性，从而证明了相对论意义下的 3 【p + ( p + 刍p ) r 尘备j f + ( ? + 石1p ) 南k = 。， + 1p ) 南”【( p + 知南+ 此- o 【丁u 2 + v 2 + 籍= 某常如 下面给出本文的主要结果z 定理1 1 假设v c o o ) = ( t o ，p o ) t 是常状态，且满足；p o o ，伽 厢定义 砺扫) = c u o c y ) ，v o ( y ) t p o c k ) ) 7 为全变差充分小的有界可测函数，且，旦m u o c y ) = 睹 设n ( 石，) = ( u ，u ，p ，p ) t 和砚( z ，) = ( t ，口，p ，p = ) t 分别是方程组( 1 3 ) 和( l 5 ) 以= ( t o ( 0 ) ，伽( ) ，加( ) ，p 0 ( = 碚( ) ) t 为初值由g l i m m 格式所得到的解假设 4 t v ( u o ) 充分小，使得巩和巩对任意的z 0 都存在，那么存在常敷正k 0 ，使 得对所有满足t 矿( 砺) 0 ，我们有 i l 仉( z ，) 一( z ，) 1 1 l - k ( z 矿( ) ) 3 z( 1 8 ) 这里t 矿( ) 代表了u o ( v ) 的全变差，上标3 - 以及沁分别表示转置和l 1 范数 注1 , 1 在定理以及本文的余下部分中，我们始终在r ；如中求解方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的解这里z 方向被看成时间轴因此在不引起误解的情况下，我们称这里 的砺( ! ，) 和c 信( p ) 分别为方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的。初值。事实上，这里( 1 ，5 ) 的初 值( ) 可以看成是常状态嘣哪的一个小扰动；( v ) 为等熵初值u o 7 届- 1 表 示常状态碟唧位于超音速区域 当初值全变差充分小时，由西4 ， 倒的结果表明t 由g l i m m 格式所得到的 ( 1 , 3 ) 和( 1 5 ) 的解和波前跟踪法所得到的解是相互一致的，并且由肛可可知。两者 都满足相应的熵条件因此我们这里所说的( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的解( 或者弱解熵解) 指 的都是由g l i m m 格式或波前跟踪法得到的解 定理1 1 的证明将在第七章中给出本文的结构是这样安排的：在第二章中，我 们首先列出关于双曲守恒律方程组一些重要的定义和概念，以及一些将在证明中用 到的主要不等式在第三章和第四章中，我们首先要分别对定常的等熵欧拉方程组 ( 1 , 5 ) 以及完整的定常欧拉方程组( i 3 ) 的黎曼问题进行研究此外在第四章中，我 们还将详细的分析定常欧拉方程组( 1 3 ) 黎曼问题的一些性质在第五章中。我们将 比较对应方程组黎曼问题的l a x 参数，从而得到两个方程组在相同等熵初值条件下 黎曼问题解的相互关系在第六章中，我们将详细地给出b r e s s a n 关于两个方程组 弱解的整体存在性和稳定性的结果在最后一章中，我们首先利用第五章得到的估 计，在方程组( 1 5 ) 的解只存在个间断的情况下，对两个方程的解之间的误差进行 分析注意到等熵欧拉方程组( 1 5 ) 任意的一近似解只有有限个相互作用点，因此 我们将首先我们利用不等式( 7 7 ) 来估计等熵欧拉方程组( 1 5 ) 的s 一近似解与定常 欧拉方程组( 1 3 ) 弱解之间的误差，这里的不等式( 7 ，7 ) 是第六章稳定性结果的直接 推论最后，令f 趋向零，我们可以得到所要的结论 5 第二章预备知识 在本章中，我们将介绍若干关于双曲守恒律方程组的定义以及一些本文将要用 到的概念 定义2 1 我们称可制函数t ( 甸是双曲守恒律方程( 组) ：；t 竺三0 仁， 的弱解是指对任何在上半平面r r 。有紧支集的c 。函数似t ，z ) ，我们有； + o o + 0 0 f + o a f 她+ ，( u ) 如d x d t + ，锄( 。) 毋( o ，) 如= 0 ( 2 2 ) j o ，- 6 0 j - o o 定义2 2 如果对于方程( 组) ( 2 1 ) ，存在关于u 的函数目( 叻和q ( u ) 满足， 那么我们称口( ) 和口( t ) 分别是方程( 组) ( 2 1 ) 的熵与熵流量 定义2 3 我们称u 是双曲方程( 组) ( 2 1 ) 的熵解是指它在满足( 2 2 ) 的基础上，对 任意的严格凸熵q ( t ) 和对应的熵流量口( ) ，在分部意义下还满足下面的熵不等式： 事实上，对于方程组( 1 5 ) ，对应的熵条件可以写为( 参考【4 】，【5 】) ， ( t ( e + p ( p ) ) k + ( u ( e + p ( 力) ) v 曼o ， 其中，e 代表了流体的能量，p ( p ) 代表了压力而对方程组( 1 3 ) 来说，假设s 是流 体物理熵，对应的熵条件可以写成( 参考1 4 】，1 5 】) ： ( p t 心b + ( p s ) v 曼0 在这里值得指出的是，当“ c 时，方程组( 1 3 ) 和( 1 ，5 ) 对应的熵是严格凸的 6 注2 1 对于方程组( 2 1 ) ，如果进一步假设( 2 1 ) 是严格双曲型方程组且特征场为真 正非线性或者线性退化，那么由，j 可上所证明的结果我们可以得到，当初值全变差 充分小时。由g l i m m 格式或者波前跟踪法构造出的弱解也是满足熵条件的因此在 下文中我们所称的方程的解( 或者弱解可容许解熵解等) 都是指由g l i r n m 格式 或波前跟踪法所得到的解 定义2 4 令c 是”空间中的常向量，口是l 1 ( r - ) + c 中的闭集，我们称s ： d 【o ，+ o o ) 一口是李普希兹半群是指对任意的“，口口和8 ，t 0 ，它满足下面的 条件； i ) s 啦= 。s t s 啦= s + 水， 例0s t u s s r i l l l l “一训i l - + l q t 一8 1 其中i f 怯表示二1 空问上的范敷，厶1 ( r ”) + c = 0 时。方程组 ( 1 5 ) 是严格双曲的，系数矩阵三个不同的特征值分别为( 在不引起混淆的情况下， 为了和下文的指标一致，我们用来表示方程组( 1 5 ) 的第三族特征) t j = 1 ，4 ， k = ： 相对应的特征向量为： r j = 妨( 一，1 ，掣) t j = l ，4 ， r 2 = ( “，口，o ) t 这里 幻= 奇赤。= l ，4 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 如= ( 一，1 ，坐等型) 当t c 时，v ( 。 p ) 毛0 ，j = 1 ，4 ，即第一三族特征场是真正非线性的，因此 我们定义的b 在u c 是有确切定义的( 参考【4 】) 此外，第二族特征场对任意的 “都是线性退化的：v a 2 r ：0 因此根据l a x 的结果【l o l ( 参考f 4 j ， i 6 l ，【2 0 | 或 1 2 1 】) ，我们首先有下面的引理； 引理3 1 存在常数6 1 0 ，使得下面的结论成立j 对于任意的常状态矾仇。( u o ( o ) ) c 舻，方程组( 1 5 ) 所有能通过第j 族简单波与矾相联结的状态都落在某二阶可导的 波曲线鸟向，研j 上，进一步的，通过选取合适寺争参敷勺，我们可以得到奶向，版) 8 满足下面的性质： 鲁( 0 矾) = t i ( 吼 等( 0 ，啦v 嘶) r j ( 吼 更连一步的，我们有这样的结果t 未垂，( 勺，仉) = , j c e ，c , j ，矾) ) 勺2o ，歹= 1 ，4 以及 老奶( 矾) 一：( 畎刚 这里奶( 勺，矶) 定义为奶( 勺，现) = ( 叼( 勺，研) 吩( 勺，珥) ，丹( 勺，珥) ) t ，而珥= ( 埘，研，店) t ， 以及印= ( 伽，v o ，p o ) t 都延续定理j j 中的定义。o , , ( u c o 。) 是r 3 中以睹为中 心而为半径的开球 在此基础上，定义 d = ( ( u ， ，p ) 7 o a 。( ) cr 3 舻 矿一1 考虑方程组( 1 5 ) 下面黎曼问题： 一2 三磐一f l 0 ，使得对于任意的矾，醵d ，器曼问题( 3 3 ) 有唯一的可容许 解该解是由三族简单波构成，珥可以表示为 珥= 圣( e l ，8 2 ，4 ，阢) ，( 3 4 ) 且垂l e l = e 2 4 9 4 _ - - - - 0 矾，筹k ：q ，= o = r j ( 矾) ，j = 1 ，2 ，4 9 i 正b q 事实上，方程组( t 5 ) 的黎曼问题( 3 3 ) 的求解等价于求解方程( 3 4 ) 中的参 数q 对方程( 3 4 ) 两边关于勺求导，我们有； 出t ( 否i ；i 耄习) l 。；。；。= 础扣c 奶，r 。c 嘶，r t c 阢， o ， 由隐函数存在定理，当阢，阱d ，以充分小时，方程组( 3 4 ) 有唯一的解勺= 勺，矾) ，j ；l ，2 ，4 证毕 1 0 第四章定常欧拉方程组的黎曼问题 这一章中我们将研究定常欧拉方程组( 1 3 ) 的黎曼问题；并且在此基础上，对 解的某些性质进行讨论类似于上一章的讨论，在这里我们仍旧将z 方向视为时间 轴 方程组( 1 3 ) 系数矩阵的特征值由下面的四次多项式方程所决定， 扣一a + “) 2 ( 扣一a + u ) 2 一c 2 ( 1 + a 2 ) ) = 0 ， 这里， c 2 ：丝 p 显然，这个方程的解可以写成。 芍= 业掣等乒例，t ， ) 越= 姆= ： ( 4 - 2 当u c ，时，对应的特征向量为t r j ：啄( 一譬，1 ，掣，p ( 碍“一”) ) t j = l ，4 ， r ；= ( u ，口，0 ，0 ) ， r = ( 0 ，0 ，1 ，0 ) ， 这里 6 ；5 审石蔫0 2 1 4 ) ， 弓：( 一碍，1 ，掣，p ( 碍n v ) ) 同样的，当u c 时，第一，四族特征场是真正非线性的，因此我们这里定义 的6 在“ c i 时也是有确切定义的( 参考f 4 】) 而对第二，三族特征场对任意的 “ c 都是线性退化的：v 婶r j 0 ( j = 2 ，3 ) 因此根据l a x 的结果1 1 0 1 ( 参考 【4 l ，【1 6 】，【2 0 】或【2 1 1 ) ，我们有下面的结果： 引理4 1 存在这样的常数如 0 ，使得下面的结论成立二对于任意的常状态叼 o 如( 以1 ) cr 3 ，方程组( 1 3 ) 所有能通过第j 族简单波与町联结的状态都落在某 二阶可导波曲线q ( 勺，叼) 上，选取合适的参数勺，我们可以得到圣；( 勺，町) 满足下 面的性质- 婵，u ；) 2 u ， 誓( 0 ，町) = i ：i ( 吼 等( 。，町) ；v 哼( 叼) 哼( w ) 更进一步的，我们有这样的结果t 未q ( 白，町) = 哼( q ( 勺，町) ) 勺2o ，j = 1 ，4 以及 刍孵( 勺，町) = 哼( 圣；( 勺，w ) ) t j = 2 ，3 这里雪；( 勺，吖) 定义为 q ( 勺，w ) = ( 嵋( 勺，w ) ，吗( 勺，町) ，店( 勺，w ) ，巧( 勺，町) ) 7 ， ( 4 3 ) 而叼= ( “q ，p i ，p f = ) 7 ，以及咙1 = ( t l o ，如，p o ，p o ；西) t 英中的( u o ，v o ，印) t = 咙，p 1 ) ：仉都延续定理j 1 中的定义，o 如( “1 ) 是r 4 中以皤1 为中心，如 为半径的开球 同样的。我们定义 d = ( 钆锄，p ，p ) t o 屯( 酲1 ) c 时l 铲 ，p o 考虑方程组( 1 , 3 ) 下面黎曼问题t ( 4 4 ) 其中w ，吩d 。为常状态根据引理4 , 1 的结果。方程组( 1 3 ) 所有能通过第j 族 简单波与左状态所连接的右状态都落在一以勺为参数的曲线叼上因此定义； 垂( e “旬，旬，乱，w ) ；壬：( e 4 ，圣；( e 3 ，圣；( e 2 ，由；( 1 ，w ) ) ) ) 删驴砌胁 m 脚 脚 = = 叼w ，il，l_ = 归 旷 与前一章类似的结果，根据l a x 【i 0 1 ( 参考 4 1 ，f 1 6 j ，( 2 0 】或【2 q ) ，我们有下面的结 论： 引理4 2 存在如 0 ，使得对于任意的w ，昨d + ，黎曼a , 1 题( 4 。4 ) 有唯- 的- - r 容 许解该解是由四族简单波构成，w 可以表示为 睇= 扩( 8 l ，眈，e 3 ，日，w ) ，( 4 5 ) 且扩k 。；。；。= w ，鼍i ；。，。，；。卸= r ；( 町) ，j = l ，2 ，3 ，4 证明类似的，方程组( 1 a ) 的黎曼问题( 4 4 ) 的求解等价于求解方程( 4 5 ) 中的参 数勺对方程( 4 5 ) 两边关于勺求导，我们有t 戤( 壤；i ：! 兰而) l 。：“= 。2 拟( 唰叼n ；( 町) r ；( 町) r ：( w ) ) 0 ， 由隐函数存在定理，当叼，睇d + ，屯充分小时，方程组( 4 5 ) 有唯一的解勺= 勺( 睇，w ) ，j = 1 ，2 ，3 ，4 证毕 下面，我们将对这个黎曼同题解的杲些性质进行研究，尤其是当印0 时，对 方程组( 1 3 ) 的简单波曲线在相空间中的一些性质进行讨论为了方便，在不引起混 淆的情况下，我们将q ( 勺，叼) = ( q ( 勺，w ) ，嵋( 勺，w ) ，力( 勺，町) ，巧( 勺，叼) ) t 简记为 ( 巧，丐，巧，苟) 7 首先，我们可以得到下面的引理； 引理4 3 当勺0 ，j = 1 ，4 时，下面的等式成立； 巧= ( 一) 7 ( 4 6 ) 证明当勺2o , j = l ，4 时。由引理4 1 ，巧与巧分别满足下面的常微分方程t 知( 勺蚓= 6 ；掣， 善巧( 勺，w ) = 啄巧( 碍嵋一时) 这里c 2 = 鲁，那么由上面两个等式，对乌之。， 薯筹- 0 ， ( 4 7 ) d e fd 钾 求解这个常微分方程( 4 7 ) 我们可以得到南= 常数而当勺= 。时，p l = 一，因 此蟛= ( p ；) 1 证毕 在此基础上，我们进一步得到下面的引理 引理4 4 当勺20 ，j = 1 ，4 时，下面的等式成立 例c 2 ( 巧，巧) = c 2 ( 巧) 一7 ( 砖) 7 一， 例婶( 骘( 勺，叩) ) = ( q ( 勺，w ) ，嵋( 勺，叼) ，巧( 勺，叼) ) ， 圳6 ；( 叼幻，叼) ) = 如( 蟛( 勺，叼) ，丐( 勺，叼) ，店( j 叼) ) ， 这里c = 、万菏代表了等煽流的音速，代表了等熵欧拉方程组( 1 5 ) 对应的 特征值，6 与g ：- 章中的定义一致 证明结论( i ) 的等式显然可以由引理4 3 直接推出在( i ) 的基础上，我们司以置 接得到结论( i i ) 中的等式，即， 硼删：塑型掣擎， 这里的c ( 力) = i i i 乒下面我们主要证明等式( i i i ) ，首先定义。和矿是下面关 于a p 的函数， n ( 力= c 2 = 7 矿一， 矿( p ，力= c - 2 = 警， 这时，我们可以看出知和对具有相同的数学结构，我们将它们简记为， 知；业盟型霉：聃椭 勺= 五互_ = - 孑广一= ，t 珏口， 芍；u v + _ ( - 1 ) ) 拦c u ；2 孑+ v 2 至- c * z 咧) 1 这里的局表示为“，口以及o ( 或者矿) 的函数由前面的结论，当叼d 时，如 和 都是有确切定义的 1 4 因此 6 ；。( 圣；( 勺，w ) ) 一吁1 ( 哼( 勺，w ) ，嵋( 勺，w ) ，店( 勺，w ) ) = v “m 一 p ) 墨，罨一v ( 一力如+ 毛l 扣。，) ；妈，1 ，；，晴p ；) = ( 豢- 瓦a f j 嗡o f ! 。o 劫a * 。，篆筹) ( 一弘，丛瓮；掣似枷叫) 7 l ，咖心哆巧p ；， 一( 普，筹，等雾) ( 一，丛生刍型) 7 l 州州孵， 注意到我们这里的f = ( “，p ，p ，力t = 譬( 勺，叼) ，勺0 ，运用结论( i ) ( i i ) 中的结果， 我们可以直接得到： 证毕 = o v j a a p ( x 铲+ 嘉器酏忆一舛删， a 乃o a p ( a j u 一口) l o ao p c 2 ( “m p ) = ( 哼，哼巧 = 出掣鲁( 一芳彬p 叫7 - 1 ) 忆。神却扣冲) = 业c 2 型塑o a ( 一等+ - 7 2 - ( 7 2 刊) l 删小弘砷；， 引理4 5 当旬20 ，j = l ，4 时，下面的等式成立； 老( 季萎! 囊；) = 吣c 嵋，哆，刃，瞄( 勺，町) ( 毒) j ( a 8 ) i ( ” p ) ；( 畸，町，哼) 这里知与第三章中的定义一致，嵋( 勺，w ) ，嵋( 勺，w ) - 巧( 勺，町) ，p ；( 勺t w ) 由( 4 3 ) 式定义奶表示等熵欧拉方程组第，族的简单波曲线 1 5 证明事实上，根据引理4 1 ，我们可以得到t 粥删蚓( 舀沁腓畔州茑， 而根据引理4 3 的结论，我们知道当勺o ，j = 1 ，4 时，呼( “? ，嵋，巧，力) = b a , q ，町，西) 譬= ，c 以= c 2 ，因此等式( 4 8 ) 成立证毕 在此基础上，我们可以得到下面的结论。 引理4 , 6 当勺o ，j = l ，l 时，下面的结论成立， 魄馁引 ( 4 9 ) 巧国，w ) = ( 西白，w ) ) 7 ( 4 1 0 ) 同样的，这里6 j 与第三章中的定义一致，嘭( 勺，w ) ，哆( 勺，叼) ，巧( 勺，w ) ，巧( 勺，吖) 由 ( 4 3 ) 中定义垂，表示等熵欧拉方程组第j 族的简单波曲线 证明( 4 1 0 ) 已经由引理4 3 证明 对于( 1 9 ) 式，首先注意到当勺= 0 时，两边有相同的初值，而由等式( 4 8 ) 知 道。两边还同时满足相同的常微分方程；根据常微分方程解的唯性，我们可以得 到( 4 9 ) 式的成立证毕 注4 1 事实上，当勺20 ，j = 1 ，4 时，方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的第，族简单波在物理 上对应的是稀疏波的情形，数学上解则是c 1 连续的因此，这个引理从另一方面证 明了两个方程组相同初值的稀疏波是相互一致的 1 6 、llj 吖町勺勺勺 哼丐巧， 旦屿 第五章黎曼问题解的比较 在本章中，我们将对两个方程等熵初值的黎曼问题的解之间的误差进行分析， 也就是比较定常等熵欧拉方程组( 1 5 ) 以 = 艇2 二等，嚣 和完整定常欧拉方程组( 1 3 ) 以 。= 脏麓1 ) r ：黑，”三l 睇= ( 脚，序，舟= 霹) 。， o 为初值的解其中阢，d ，町，睇d ，d ，d + 与前两章中一样定义为z d = 7 矿一1 j ， d + = ( 弘n 力p 而( 以1 ) cr 4 j u 2 ：p p 同样的，我们设 西( e 1 5 2 ，4 ，矾) = ( i ) 4 ( e 4 ，壬2 ( 眈，圣1 0 l ，阢) ) ) ，( 5 1 ) 圣+ 0 l ，e 2 ，6 3 ，如，w ) = 圣i ( 4 ，圣；( 3 ，壬；( 6 2 ，圣：忙l ，w ) ) ) ) ，( 5 2 ) 川= ( 鬻黔 通过前两节的分析我们知道，这两个方程组的黎曼问题都没有精确的表达式；但是 在两个黎曼问题的求解过程中，由引理3 2 和引理4 2 我们看出两个方程组黎曼问 题的求解等价于求解( 5 1 ) 和( 5 2 ) 式中的相应简单波曲线的参数勺因此，在这里 我们将通过对相应参数的比较反映黎曼问题解之间的比较首先。我们有下面的引 理： 引理5 1 当j = 1 ，2 ，4 时，下面的等式成立t 誓( 0 u t ) = r j ( 吼 ( 5 3 ) 等( 0 f 吣芬( 0 咖v 粥h ( 吼 ( 5 4 ) 进一步，如果勺2o , j = 1 ，4 ，那么我们有： q ( 勺，w ) = 马( 勺，矶) ，j = l ，4 ( 5 5 ) 证明事实上，我们在引理4 6 中已经得到下面的结论- 当勺之o , i = 1 ，4 时， 馁黔 刃( 勺，w ) = ( 店( 勺，w ) ) ， p ；( 勺，w ) = ( 店( 勺，w ) r = ( 丹( 勺，阢) ) 1 这样可以得到当j o ，j = 1 ，4 时，等式( 5 5 ) 成立 另方面，注意到和易都是c 2 连续函数，由引理4 1 ，可以直接得到( 5 3 ) 我们还有j = 2 的情形当j = 2 时，因为特征族是线性退化的，所以我们可以 写出垂2 ( e 2 ，矾) 和呓( s 2 ，w ) 的精确表达式。 不难验证，我们( 5 3 ) 、( 5 4 ) 以及( 5 6 ) 在j = 2 时也是成立的证毕 引理5 2 假设研= ( ，q ，所) d ，对任意充分小的，k = 1 。2 ，4 ，下面的方程 州m 咖( 淼器) 一川 慨， 有唯一的解( 历，岛，角，厥) 进一步，我们有估计t 反= 船+ o ( 1 ) k 一 ( 5 8 ) 岛= o ( 1 ) 1 0 r ；1 3 ，j ( 5 9 ) 这里w = ( 铆，m 刀) t ，巩= ( u t ，研，a t ) t ，口一= m i n ( a ，o ) ，0 0 ) 的选取与舰和研 无关 证明由于 融( 瓦瓦；i ；丽) f 历；岛。角；m 。2 如t ( r ( 町) i r ；( w ) ，r ；( w ) i r ：( w ) ) 0 根据隐函数存在定理，当钒充分小的时候，方程( 5 7 ) 存在唯一的解油，岛，角，反) 满足序= 岛( a ，巩) 毋显然，当诹= 0 时，岛= 0 ( 这里j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 要得到岛的精确估计，我们首先对方程( 5 7 ) 两边关于o t k 求导，同时令o k = 0 ， 根据引理4 1 和5 1 ，我们有z 妻甏b 御) _ r 脚) ，z ，a ， 而r ；( w ) ，= 1 ，2 ，3 ，4 是线性无关的向量组，因此： 孰：。嘞2 黔蓉 慨 我们对方程( 5 7 ) 两边关于鲰求两次导数，同时令鲰= 0 ，我们有： 妄麴a , ，21 。狮器b = 酱b ，_ t ， 同样的根据引理4 1 和5 1 ，我们得到t 簧。i 一。= 餐。i 一。，b 1 1 2 ，4 研* o5 可* o ”l 矗4 同样的根据r ；( 叼) ，j = 1 ，2 ，3 ，4 是线性无关的向量组，我们可以得到： 畿l o ( s 1 x o k = o ) a o ；l 7 因此，由( 5 1 0 ) 和( 5 , 1 1 ) 两式t 我们可以得到关于岛的估计， s k = a t + o o ) l a k l 3 ， = o ( 1 ) l , k 1 3 ，j k ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) 同时。当讯0 时，根据( 5 5 ) ，由隐函数存在定理，当n k 充分小的时候，方程 ( 5 7 ) 有唯一的解， 凤= a i ， 0 j ；0 1j k 综合( 5 1 2 ) ( 5 1 5 ) 式，我们可得出相应的结果证毕 ( 5 1 4 ) ( 5 1 5 ) 第六章弱解的存在和稳定性 当流体的速度在超音速区域的时候，等熵欧拉方程组( 1 5 ) 是严格双曲的因此 我们可以用波前跟踪法( 【2 】) 来构造等熵欧拉方程组( 1 5 ) 的整体弱解，对于定常欧 拉方程组( 1 3 ) ，情况相应的结果可以类似得出在本节中，我们将详细介绍b r a n 【2 】以及k o n g - y a n g 【8 】的结果，其中大部分的结论将会在后面主要定理的证明中运 用首先我们给出e 一近似解的定义： 定义6 1 对于任意给定的 0 ，我们称某连续映射z 一畴( z ，) l 1 ( r ，r “) 是方程 组( 1 5 ) 的一近似解是指它满足下面的条件； 例啦= 吩( z ，) 是分片常数函数，并且在整个上半平面r 孝x 嘞只有有限个 问断而整个不问断跳跃可以归纳为三种形式t 激波( 或接触间断) 分片稀疏波间 断以及非物理波。下面我们分别记为：，= s u 冗u a r p ； 例睚的初始值满足二 i i 孵( o ，) 一u o ( u )