（基础数学专业论文）关于对称环和可逆环的一些结果.pdf

妇n j i e a p r i l2 0 0 7 摘要 本文在p m c o h n 于1 9 9 9 年发表的文章“r e v e r s i b l e r i n g s ”中 提出的可逆环这一概念的基础上，研究可逆环、对称环的一些性 质，讨论一些斜群环7 l m a r t i n d a l e 商环的可逆性。文中所有的环 都是有单位元的结合环。主要内容如下： 第一章，作为预备知识，介绍环的可逆、可约、对称、半交换 等的基本概念以及有关这些环的已有结论 第二章，研究对称环的一些性质以及对称环的t r i v i a l 、d o r r o h 、 n a g a t a 扩张 第三章，找出一类斜群环可逆的充要条件 第四章，证明对称的m a r t i n d a l e 商环保持可逆性，并举反例说 明可逆环的左( 右) m a r t i n d a l e 商环不一定是可逆的 关键词：可逆环；对称环；环扩张；斜群环；m a r t i n d a l e 商环 m s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d y8 0 l n ep r o p e r t i e so fr e v e r s i b l er i n g s ，s y m m e t r i c r i n g s g r o u pr i n g sa n dq u o t i e n tr i n g sw h i c ha r ea s s o c i a t i v ew i t hi d e n t i t y , b a s e d o nt h er e s u l t sg i v e nb yf o r m e rp a p e r s ，t h em a i nc o n t e n t sa r ei n c l u d e da 8f o l l o w s ： ( 1 ) i nc h a p t e r1 ，a 8p r e l i m i n a r i e s ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t sa b o u t r e v e r s i b l er i n g s ，r e d u c e dr i n g s ，s y m m e t r i cr i n g sa n ds e m i e o m m u t a t i v er i n g sa n d a l s os o r t i er e l e v a n tr e s u l t sa b o u tt h e s er i n g s ( 2 ) i nc h a p t e r2 ，w eo b s e r v et h ep r o p e r t i e so fs y m m e t r i cr i n g s ，a n dw ea l s o s t u d yt h et r i v i a l ，d o r r o ha n dn a g a t ae x t e n s i o n so fs y m m e t r i cr i n g s ( 3 ) i nc h a p t e r3 ，w ef i n do u tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e r w h i c hac l a s so fs k e wg r o u pt i n g si sr e v e r s i b l e ( 4 ) i nc h a p t e r4 ，w es h o wt h a ta l t h o u g hs y m m e t r i cm a r t i n d a l eq u o t i e n t r i n g sp r e s e r v et h er e v e r s i b i h t y , t h et i g h t ( 1 e f t ) m a r t i n d a l eq u o t i e n tr i n g sn e e dn o t b er e v e r s i b l e k e yw o r d s ：r e v e r s i b l er i n g s ；s y m m e t r i cr i n g s ；r i n ge x t e n s i o n s ；s k e wg r o u p r i n g s ；m a r t i n d a l eq u o t i e n tr i n g s 一1 1 1 一 绛j n j i e a p r i l2 0 0 7 p r e f a c e t h ef a m o u sk o t h e sc o n j e c t u r es t a t e st h a ti fa r i n gh a sa n o n - s e r on i lr i g h t i d e a l t h e ni th a san o n - z e r on i li d e a l t h i sc o n j e c t u r ew a sr a i s e db yg k o t h e i nt h e1 9 3 0 s ，i ss t i l lo p e n m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v es h o w nt h e i ri n t e r e s t si n t h i sc o n j e c t u r e 。j f i s h e rh a ss h o w nt h a tn i lr ci m p l i e dn i lr ，t h e nt h ek o t h e s c o n j e c t u r ew o u l db et r u e ，f o rr i n g sw i t hn oig | - t o r s i o n 1 0 p m c o i mi n d u c e d t h ec o n c e p to fr e v e r s i b l er i n gi n1 9 9 9i nf 1 】，a n dh ea l s oc o n f i r m e dt h a ti na n y r e v e r s i b l er i n g ，e v e r yn i lr i g h ti d e a lg e n e r a t e sat w o - s i d e dn i li d e a l ，a n dt h es e t o fa l ln i l p o t e n te l e m e n t si san i li d e a l r e v e r s i b l er i n g sa r eac l a s so fr i n g sw h i c h i n c l u d e sa l lc o m m u t a t i v er i n g sa sw e l la sa l li n t e g r a ld o m a i n s ，w h e r ea r i n gi s c a l l e dr e v e r s i b l ei f0 6 = 0 i m p l i e sb a = 0 p m c o h nh a si n t r o d u c e dam o r e t e c h n i c a ln o t i o n ，f u l lr e v e r s i b i l i t y , a n ds h o w e dt h a tt h i si st h ep r e c i s ec o n d i t i o n f o rt h el e a s tm a t r i xi d e a lt ob ep r o p e ra n dc o n s i s te n t i r e l yo fn o n - f u l lm a t r i c e s a n d t h e ya l s os h o w e dt h a taf u l l yr e v e r s i b l er i n gi se m b e d d a b l ei na s k e wf i e l di f a n do n l yi fi ti sa ni n t e g r a ld o m a i n 【1 】 i nr e c e n t l yy e a r s ，y a n gl e ee t h a v eg i v e nm o r ea t t e n t i o n st ot h er e l a - t i o n s h i p sb e t w e e nr e v e r s i b l er i n g sa n do t h e r s ，t h o s ea r e ：r e d u c e dr i n g s ，s y m m c 巍一 t i cr i n g s ，s e m i c o m m u t a t i v er i n g sa n ds oo n ar i n gi sc a l l e dr e d u c e di fi th a s n on o n z e r on i l p o t e n te l e m e n t s ar i n gri sc a l l e ds y m m e t r i ci fr s t = 0i m - p l i e sr t s = 0 ，f o rr ，s ，t r ar i n gri sc a l l e ds e m i c o m m u t a t i v ei ff o re v e r y a ，b r ，曲= 0i m p l i e sa r b = 0 。t h e r ea r es u c hi m p l i c a t i o n sf o rt h ea b o v er i n g s w h i c ha r ea s s o c i a t i v ew i t hi d e n t i t y ：r e d u c e d = = s y m m e t r i c = 辛r e v e r i b l e = = s c m i c a r n m u t a t i v e i n | 5 】，n a mk y t mk i ma n dy a n gl e eh a v ee m p h a s i z e dc o n n e c - t i o u sa m o n ga r m e n d a r i zr i n g s ，r e d u c e dr i n g sa n dc l a s s i c a lq u o t i e n tr i n g s a r m e n - 一l v m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y d a r i zr i n gi sr e l a t e dt op o l y n o m i a lr i n g s ar i n gri sc a l l e da r m e n d a r i zi fw h e n - e v e rp o l y n o m i a l s ( z ) = a o + a l x + + n m 。“，g ( x ) = b o + 6 l z + + k 茁“r i x s a t i s f yf ( x ) g ( x ) = 0t h e n 啦砖= 0f o re a c hi ，j ( t h ec o n v e r s ei so b v i o u s l yt r u e ) t h e ys h o w e dw h e nri sav o nn e u m a n nr e g u l a rr i n ga n ds u p p o s et h a tt h e r e e x i s t st h ec l a s s i c a lf i g h tq u o t i e n tr i n go fr ，q ( r ) ，t h e nt h es t a t e m e n t s ：( 1 ) r i sa r m e n d a r i z ( 2 ) ri sr e d u c e d ( 3 ) q ( r ) i sr e d u c e d ( 4 ) q ( r ) i sa r m e n d a r i z ， a r ee q u i v a l e n t i n 【6 】c h a nh u ha n dy a n gl e ea n da g a t as m o k t u n o w i c zh a v e c o n c e r n e dt h es t r u c t u r e so fa r m e n d a r i zr i n g sa n ds e m i c o m m u t a t i v er i n g s t h e y g o tt h a t ：i fr i sas e m i p r i m er i g h tg o l d i er i n g ，( 1 ) ri sa na r m e n d a r i zr i n g ( 2 ) r i sar e d u c e dr i n g ( 3 ) ri sas e m i c o m m u t a t i v er i n g ( 4 ) qi sa na r m e n d a r i zr i n g ( 5 ) qi sar e d u c e dr i n g ( 6 ) qi sa s e m i c o m m u t a t i v er i n g ( 7 ) qi saf i n i t ed i r e c t p r o d u c to fd i v i s i o nr i n g s ，a r ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t s ，w h e r eqi st h ec l a s s i c a lr i g h t q u o t i e n tr i n go fr s oi n 【4 】 n a mk y u nk i ma n dy a n gl e ec o n t i n u e dt h es t u d yo fr e v e r s i b l e r i n g sb yc u h n 1 】a n dg o tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ，t h a ti s ：l e tr b eas e m i p r i m e r i g h tg o l d i er i n gw i t hq i t sc l a s s i c a lr i g h tq u o t i e n tr i n g ，( 1 ) ri sa na r m e n d a r i z r i n g ( 2 ) r i sar e d u c e dr i n g ( 3 ) ri sar e v e r s i b l er i n g ( 4 ) qi sa na r m e n d a r i zr i n g ( 5 ) qi sar e d u c e dr i n g ( 6 ) qi sar e v e r s i b l er i n g ( 7 ) qi saf i n i t ed i r e c tp r o d u c t o fd i v i s i o nr i n g s ( 8 ) qi ss t r o n g l yr e g u l a r ，a r ee q u i v a l e n t t h e r ea r ea l s os o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t sa b o u tr e v e r s i b i l i t yi n1 4 f o re x a m p l e ：( 1 ) l e tr b ear e d u c e d r i n g ，t h e nt ( r ，r ) i sar e v e r s i b l er i n g ( 2 ) l e trb eas y m m e t r i cr i n ga n dib e a ni d e a lo frt h a ti sa i la n n i h i l a t o ri nr t h e nr i , i sar e v e r s i b l er i n g ( 3 ) l e tr b ea na l g e b r ao v e rac o m m u t a t i v er i n gs ，a n ddb et h ed o r r o he x t e n s i o no fr b y s i fri sr e v e r s i b l ea n dsi sad o m a i n ，t h e ndi sa l s or e v e r s i b l e ( 4 ) l e trb ea c o m m u t a t i v ed o m a i n ，a n d 口b ea ni n j e c t i v ee n d m o r p h i s mo fr t h e nt h en a g a t a e x t e n s i o no fr b yr a n d 口i sr e v e r s i b l e ( 5 ) f o rar i n gr ，r 吲i sr e v e r s i b l ei fa n d o n l yi fr z ，。_ 1 】i sr e v e r s i b l e ( 6 ) s u p p o s et h a tn 1i sar e v e r s i b l er i n gf o rs o m e i d e a lio fa r i n gr i fii sr e d u c e dt h e nr i sr e v e r s i b l e o nt h eo t h e rh a n d ，i n 【3 】3m a r i ng u t a na n da n d r z e jk i s i e l e w i e zi n d u c e dt h e r e v e r s i b i l i t yo fr i n g st og r o u pr i n g sa n ds h o w e dt h a tw h e nk i so fc h a r a c t e r i s t i c v 一 w p n j i e a p r i l2 0 0 7 0 ，t h e nk q 8 】i sr e v e r s i b l ei fa n do u l yi ft h ee q u a t i o n + y 2 + 1 = 0 h a sn o s o l u t i o ni nk ，a n di fki so fc h a r a c t e r i s t i c2 ，t h e ng q s 】i sr e v e r s i b l ei fa n do n l y i f t h ee q u a t i o nz 2 + z + 1 = 0h a sn o s o l u t i o n i n k i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d ys o m ep r o p e r t i e so fr e v e r s i b l er i n g s ，s y m m e t r i c r i n g s ，g r o u pt i n g sa n dq u o t i e n tr i n g sw h i c ha r ea s s o c i a t i v ew i t hi d e n t i t y o n t h eb a s e so ft h er e s u l t sg i v e nb yf o r m e rp a p e r s ，t h em a i nc o n t e n t se r e ：( 1 ) w eo b s e r v et h ep r o p e r t i e so fs y m m e t r i cr i n g s ，a n dw ea l s os t u d yt h et r i v i a l ， d o r r o ha n dn a g a t ae x t e n s i o n so fs y m m e t r i cr i n g s ；( 2 ) w ef i n do u tt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e u tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hac l a s so fs k e wg r o u pr i n gi sr e v e r s i b l e ； ( 3 ) w ed i s c u s st h a ta l t h o u g hs y m m e t r i cm a r t i n d a l eq u o t i e n tr i n g sp r e s e r v et h e r e v e r s i b i l i t y , t h er i g h t ( 1 e f t ) m a r t i n d a l eq u o t i e n tr i n g sa r en o tt ob er e v e r s i b l e v l 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： m a s t e r sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y c h a p t e r1 pr e l i m i n a r i e s 1 1t h ec o n c e p t so fr e v e r s i b l er i n g sa n dr e l a t e dr i n g s p m c o h ni n 【1 】h a ss t u d i e dac l a s so fr i n g sw h i c hi n c l u d e sa l lc o l m n u t a - t i v et i n g sa sw e l la 8a l li n t e g r a ld o m a i n ：r e v e r s i b l er i n g s ，w h o s ed e f i n i t i o ni sa s f o l l o w i n g ： d e f i n i t i o nl l 】la r l r gr 瑶c a l l e dr e v e r s i b l ei f 动= 0i m p l i e s b a = 0 f o r a ，b r w e l l ，as t r o n g e rc o n d i t i o nt h a n “r e v e r s i b l e ”w a sd e f i n e db yl a m b e ki n 【1 3 】 t h a ti ss y m m e t r i c ： d e f i n i t i o n1 1 2 ar i n gri sc a l l e ds y m m e t r i ci fr s t = 0i m p l i e sr t s = 0 f o r a nr ，8 ，t r ( a ne q u i v a l e n tc o n d i t i o no nar i n gw i t ht m i t yi st h a tw h e n e v e r ap r o d u c to fa n yn u m b e ro fe l e m e n ti sz e r o ，a n yp e r m u t a t i o no ft h ef a c t o r ss t i l l y i e l d sp r o d u c tz e r o ) d e f i n i t i o n1 1 3 ar i n gri sc a l l e dr e d u c e di f 。2 = 0i m p l i e sz = 0 f o ra l l z r d e f i n i t i o n1 1 4 ar i n gri sc a l l e ds e m i c o m m u t a t i v ei ff o re v e r ya r i t s r i g h ta n n i h i l a t o ro v e rr ，r r ( a ) i sa ni d e a lo fr 一1 一 w e n j i e a p r i l2 0 0 7 l e m m a1 1 5 ( 【4 】l e m m a1 1 ) ar i n gri ss e m i c o m m u t a t i v ei fa n do n l yi ft h e f o l l o w i n gt h r e ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t sh o l d ： ( 1 ) a n yr i g h ta n n i h i l a t o r so v e rr i sa ui d e a lo fr ( 2 ) a n yl e f ta n n i h i l a t o r so v e rr i sa ni d e a lo fr ( 3 ) f o ra n ya ，b r ，a b = 0 i m p l i e sa r b = 0 s o ，ar i n gr i sc a l l e ds e m i c o m m u t a t i v ei ff o ra n ya ，b r ，a b = 0i m p l i e s a 鼢= 0 d e f i n i t i o n1 1 6 f 2 】2ar i n gri sc a l l e d2 - p r i m a li ft h ep r i m er a d i c a lo frc o i n - c i d e sw i t ht h es e to fa l ln i l p o t e n te l e m e n t so fr p m c o h ns h o w e dt h a tf o rr e v e r s i b l er i n g s k o t h e sc o n j e c t u r ei st r u e i n f a c t ，a l lr e v e r s i b l er i n g sa r e2 - p r i m a l ，a n dt h ek o t h e sc o n j e c t u r ei sc l e a r l yt r u e f o r2 - p r i m a lr i n g s w h e nri sa l la s s o c i a t i v er i n gw i t hi d e n t i t i e s ，a m o n gt h ef o u rc o n d i t i o n s ： r e d u c e d ，r e v e r s i b l e ，s y m m e t r i ca n ds e m i c o m m u t a t i v e ，w eh a v et h ef o l l o w i n gi m - p l i c a t i o u s ： r e d u c e d ：= s y m m e t r i c = = r e v e r s i b l e = js e m i c o m m u t a t i v e n o w ，w eg i v et h ep r o v eo ft h ea b o v er e s u l t s p r o o f ：( 1 ) r e d u c e d 哥s y m m e t r i c t op r o o ft h i sr e s u l t ，w ef i r s tp r o v et h a tar e d u c e dr i n gi sr e v e r s i b l e l e t a b = 0 t h e nb a b a = b ( a b ) a = 0 ，t h a t i s ( b a ) 2 = 0 爿b a = 0 ，t h e n w eg e t i t n e x tb yt h er e v e r s i b i l i t y , w en o t i c et h a t ： x a 2 = 0 = a x a = 0 净a x a x = 0 辛= 0t h e nx a = 0 b yt h es a m ew a y , a 2 x = 0 = a x = 0 l e ta b c = 0 ，i ti m p l i e sc a b = 0 ，8 0b c a = 0 ，t h e nc b c a = 0 号a c b c = 0 = a ( a c b c ) b = 0 净n 2 ( 西) 2 = 0 号( c b ) 2 a s = 0 t h a ti sc b c m a = 0 ，a n do w et h e a b o v e t w or e s u l t s ，w eg e tc b c b a = 0 t h e n0 = c b a c b = c b a c b a ，8 0c b a = 0 口 ( 2 ) s y m m e t r i c 考r e v e r s i b l e ， a b c = 0 号a c b = 0 ，l e tb = 1 ，t h i sr e s u l t i s t h u s p r o v e d 口 ( 3 ) r e v e r s i b l e = 争s e m i c o m m u t a t i v e m a s t e r bd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i u gn o r m a lu n i v e r s i t y 0 6 = 0 号b a = 0 t h e nb ( a r ) = 0 ，t h e na r b = 0 口 b u tt h e s ei m p l i c a t i o n sa r ei r r e v e r s i b l ea sf o l l o w s ： e x a m p l e1 1 7 ( 1 ) t h e r ee x i s t sar i n gw h i c hi ss e m i e o m m u t a t i v eb u tn o t 肛 v e r s i b l e s ： 一。b ；1 a , b , c , d e r f 0 0 口 i sa8 e m i c o m m u t a t i v er i n g h o w e v e r 0 ：11 ) ( ) = ( ；i | ) o ( ) ( ；：1 泸 ( 2 ) t h e r ee x i s t sar i n gw h i c hi ss y m m e t r i cb u tn o tr e v e r s i b l e 队，= ( iii i w h e s i sa d i v i s i o nr i n g , t h e n i i s n o tr e v e 商b 龇 她e n t s ( i i | ) a n d ( 1 ) b u tii ss y m m e t r i cs i n c ei ti sn i l p o t e n to fi n d e x3 t h e r ei sa l s oan o n s y m m e t r i cr e v e r s i b l er i n gb y 【9 ，e x a m p l e1 5 】a n d 【2 ， e x a m p l e7 】口 ( 3 ) t h e r ei san o n c o m m u t a t i v en o n r e d u e e ds y m m e t r i cr i n gb y 【9 ，e x a m p l e i i 5 r e m a r kl 1 8 t h es e c o n di m p l i c a t i o ni nt h ei l l u s t r a t i o na b o v eh o l do n l yu n d e r t h ec o n d i t i o nt h a ta l lr i n g sa r ea s s o c i a t i v ew i t h i d e n t i t y a n di n 【2 ，e x a m p l el 】t h e a u t h o rh a ss h o w e dt h a tf o rr i n g sw i t h o u ti d e n t i t yt h es t a t e m e n tt h a ts y m m e t r y i m p l i e sr e v e r s i b i l i t yi sn ol o n g e rt r u e w e n j i e a p r i l2 0 0 7 1 2 p o l y n o m i a lr i n g s i ns o m ep a p e r s ，t h ea u t h o r so b s e r v e dt h ep o l y n o m i a lr i n g so v e rr e v e r s i b l e r i n g sa n ds o m ek i n d so fr i n g sr e l a t e dt or e v e r s i b l er i n g s i nf 6 】 t h ea u t h o r ss h o w e d t h a tp o l y n o m i a lr i n g so v e rs e m i c o m m u t a t i v er i n g sn e e dn o tb es e m i c o m m u t a t i v e i n 【4 】，t h ea u t h o r ss h o w e dt h a tp o l y n o m i a lr i n g so v e rr e v e r s i b l er i n g sn e e dn o t b er e v e r s i b l e o nt h eo n eh a n d ，t h e yp r o v e dt h a ti fri sar e d u c e dr i n gt h e n r x l ( z “) i sar e v e r s i b l er i n g ，w h e r e ( 扩) i st h ei d e a lg e n e r a t e db yx na n dn i s ap o s i t i v ei n t e g e r ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h e yp a i ds o m ea t t e n t i o n st oa r m e n d a r i z r i n g s ，l a u r e n tp o l y n o m i a lr i n g sa n do t h e rr e l a t e dc o n c e p t s a l s oi n1 1 3 】，t h ea u - t h o r ss h o w e dt h a tp o l y n o m i a lr i n g so v e rs y m m e t r i cr i n g sn e e dn o tb es y m m e t r i c a n di nt h r e ep a p e r s ，t h e ys h o w e dt h e i rr e s u l t sb yt h es a u l ee x a m p l e d e f i n i t i o n1 2 1 ar i n gri sc a l l e da r m e n d a r i zi fw h e n e v e rp o l y n o m i a l sf ( x 、= 0 0 + a l x + + z ，g ( x ) = b o + b l x + + k z “r x 】s a t i s f y ( x ) g ( x ) = 0 t h e na i b ) = 0 f o re a c h i ，j d e f i n i t i o n1 2 2 t h er i n go fl a u r e n tp o l y n o m i a l si nz c o e f f i c i e n t si nar i n gr c o n s i s t so fa l lf o r m a ls u m s 兰m 4 矿w i t ho b v i o u sa d d i t i o na n dm u l t i p l i c a t i o n ， w h e r em ra n dk ，礼a r e ( p o s s i b l yn e g a t i v e ) i n t e g e r s ，i sd e n o t e db yr x ，x - 1 】 w eg a t h e ra l lr e s u l t sw h i c hw ec a nf i n di nf o r m e rp a p e r s ，t h e r ea r ef o l l o w i n g i m p l i c a t i o n sb e t w e e nt h ep r o p e r t i e so fr i n g sa n dp o l y n o m i a lr i n g s ( 1 ) ar i n gr i sr e d u c e d 钳r x 】i sr e d u c e d ； ( 2 ) ar i n gr i sc o m m u t a t i v e 骨r x 】i sc o m m u t a t i v e ； ( 3 ) ar i n g 冗i sa b e h a n 错r i x 】i sa b e l i a n ； ( 4 ) ar i n gr i s2 - p r i m a l 甘r i x 】i s2 - p r i m a l ； ( 5 ) ar i n gr i sa r m e n d a r i z = 孛r f x 】i sa r m e n d a r i z ； h o w e v e r ，w h e nr i ss e m i e o m m u t a t i v e ，r e v e r s i b l ea n ds y m m e t r i c ，t h er e s u l t s a r e ： ( 1 ) r m n e e dn o tb es e m i c o m m u t a t i v ei far i n gri ss e m i c o m m u t a t i v e 【6 ， e x a m p i e2 】； m a s t e r l sd e g r e ed i s s e r t a t i o no fn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t y ( 2 ) r x 】n e e dn o tb er e v e r n b l ei