（基础数学专业论文）三维实双曲空间中的crofton公式.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 双曲几何是现代微分几何的一个重要的研究领域，空间形式中的c r o t o n 公式在 积分几何中一直备受关注也得到了很多经典的结论本文第三章给出三维实双曲空 间的w e i e r s t r a s s 模型，验证了h i l b e r t 公理体系在模型中成立第四章对三维实双曲空 间中的c r o f t o n 公式进行研究，给出了三维实双曲空间中与任意可求长曲线相交的双 曲平面的c r o f t o n 公式和n 维实双曲空间中与任意可求长曲线相交的凡一1 维双曲超平面 的c r o f t o n 公式，改进了r o b e m o n 的结论本文得到的主要结果如下： 定理4 2 1 ( 皿( 一1 ) 上的c r o 危o n 公式) 设c 为霹( 一1 ) 中长度为l 的光滑曲线，贸为双 曲平面，a = f 研i ( f ，f ) = 1 ，砰n c 曲) ，则与c 相交的开的不变测度为 n ( 砰) d l = 7 r l ， 其中n ( 砰) 为砰与c 的交点个数，d f 为f 的顶点所构成的子集的体积元素 定理4 2 2 ( 衅( 一1 ) 上的c f t o n 公式) 设c 为衅( 一1 ) 上长度为l 的光滑曲线，砰为双 曲直线，b = f 研j ，；) = 1 ，砰n c 奶，则与c 相交的砰的不变测度为 , n ( 羁) d z = 。l 其中n ( 互1 ) 为科与c 的交点个数，拢为z 的顶点所构成的子集的面积元素， 定理4 2 3 ( 日芊( 一1 ) 上的c r o f t o n 公式) 设c 为丑罩( 一1 ) 中长度为l 的光滑曲线，矸一1 为 n 一1 维双曲超平面，n = f 卫矿1 ) = 1 ，矸_ 1n c 甜，则与c 相交的j r “的不变 测度为 上扎( 矸- 1 ) 珊= 诋 其中”( 矸_ 1 ) 为矸1 与c 的交点个数，d l 为z 的顶点所构成的子集的面积元素，为常数 美键词：双曲空间；c r o f t o n 公式；m i n k o w s k i 空间；g r a s s m a n n 流形 扬瑞克：三维实双曲空闻中 c r o f t o n & c r o f t o nf o r m u l ai n3d i m e n s i o n a l r e a lh y p e r b o f i cs p a c e a b s t r a c t h y p e r b o l i cg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tf i e l di nm o d e r nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , c r o t o n f o r m u l a si nd i f f e r e n ts p a c e sa r ei m p o r t a n ti ni n t e g r a lg e o m e t r ya n dh a v eo b t a i n e dm a n y c l a s s i c a lr e e l l l t s i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h ew e i e r s t r a s sm o d e lo f3d i m e n s i o n a lr e a l h y p e r b o l i cs p a c ea n dv e r i f i e dt h et r u t ho ft h eh i l b e r ta x i o ms y 8 t e m i nc h a p t e r4 ，w es t u d y t h ec r o t o nf o r m u l ai n3d i m e n s i o n a lr e a lh y p e r b o l i cs p a c e ，o b t a i nt h ec r o t o nf o r m u l ao f h y p e r b o l i cp l a n e sw h i c hm e e ta na r b i t r a r yr e c t i f i a b l ec u r v ei n3d i m e n s i o n a lr e a lh y p e r b o l i c s p a c ea n dt h ec r o t o nf o m u l ao f 几一1d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i ch y p e r p l a n e sw h i c hm e e t a na r b i t r a r yr e c t i f i a b l ec l l r v ei n 竹d i m e n s i o n a lr e a lh y p e r b o f i cs p a c e i m p r o v er o b e r t s o n s c o n c l u s i o n t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h et h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： t h e o r e m4 2 1 ( c r o f t o nf o r m u l ai n 丑 ( 一1 ) ) l e tcb ea na r b i t r a r yr e c t i f i a b l ec u r v e w h i c hl e n g t hi sl ，砰a r eh y p e r b o l i cp l a i n s ，a = f 哥略i ( f ，f ) = 1 ，砰nc 庐) ，t h e n t h em e a s u r eo f 砰w h i c hm e e tci s ， n ( 砰) 捌= 7 r l ， w h e r e 竹( 砰) i st h en u m b e ro ft i m e s 砰m e e tc ，d li st h ev o l u m ee l e m e n to ft h e8 e to f v e r t e x e so ff t h e o r e m4 2 2 ( c r o f t o nf o r m u l ai n 上理( 一1 ) ) l e tcb ea na r b i t r a r yr e c t i f i a b l ec u r v e w h i c h l e n g t h i sl ，矸a r eh y p e r b o f i c l i n e s ，b = f 腑引( z ，z ) = 1 ，砰n c 毋 ，t h e n t h e m e a s u r eo ff w h i c hm e e tci s ， n ( 矸) 础= 2 l ， jj 矗 w h e r en ( 开) i st h en u m b e ro ft i m e sf t lm e e tc ，d li st h ev o l u m ee l e m e n to ft h es e to f v e r t e x e so fz t h e o r e m4 2 3 ( c r o f t o nf o r m u l ai n 上0 ( 一1 ) ) l e tcb ea na r b i t r a r yr e c t i f i a b l ec u r v e w h i c hl e n g t hi sl j p a r en - - 1d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i ch y p e r p l a n e s ，q = t z 卫蛩“f ) = l ，矸- 1 n c 甜，t h e n t h e m e a s u r eo f 矸- 1 w h i c h m e e t c i s 仡( 矸- 1 ) d l = k l ， w h e r en ( 矸“) i st h en u m b e ro ft i m e s 矸m e e tc ，d li st h ev o l u m ee l e m e n to ft h es e to f v e r t e x e so ff ，ki sc o n s t a n t k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs p a c e ；c r o f t o nf o r m u l a ；m i n k o w s k is p a c e ；g r a s s m a n n m a n i f o l d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：一一日期：一一 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数蠢库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名； 导师签名： 吨侔鱼月三0 日 娥 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 双曲几何是现代微分几何的一个重要的研究领域，起源于证明e u c l i d 关于平行线的第 五公设的尝试l o b a c h e v s k y ，j b o l y a i 和g 8 u 鹞分别独立证明了由一个与e u c l i d 第五公设不 同的假设可以构造出与e u c l i d 几何学不同的双曲几何学它的创立对数学基础有特别重要 的意义。现代公理方法的原理的形成在很大程度上归功于双曲几何学的出现双曲几何学 的应用非常广泛，k i b a c l l e v s k y 将双曲几何学应用于数学分析，得出大约2 0 0 个定积分的 值p m n c 戚将双曲几何成功的应用于自守函数理论的发展双曲几何学在宇宙论中也有广 泛的应用，比如：狭义相对论的速度空间就是一个双曲空间除此之外，双曲几何学也被 成功地应用于基本粒子的碰撞及核子研究的其他问题， 双曲几何学是很多重要的数学成果的基础寻找不同的双曲几何模型是进一步研究 双曲几何学的重要依据，数学家们为双曲空间构造了很多解释第一个解释是b e l t r a m i 解释，它证实在e u c l i d 空间某一个具有常数负g a u s s 曲率的曲面上的内蕴几何学局部合 同于双曲几何学，这种类型的曲面称为伪球面+ b e l t r a m i 的另一个解释由从一个常数 负g a u s s 曲率曲面到圆盘内部的测地映射所构成b e l t r a m i 的两个解释只建立了双曲平面 的一部分的模型，关于整个双曲平面的第一个解释是k l e i n 解释，其中用到了c a y l e y 的射 影度量1 8 8 2 年，p o i n c a r 4 在建立自守函数理论时得出另外两个模型，其一在圆盘内， 其二在半平面上即p o i n c 8 拍模型坐标的引入使得有可能建立双曲平面不同的解析模 型p o i n c a r d 在1 8 8 7 年提出将一个双叶双曲面之一叶上的径面截线的几何学当作双曲几何 学模型，它也可以作为伪e u c l i d 空间的一个半径为纯虚数之球面的几何学来考虑这些 模型可以推广到礼维空间情形也就是说，设丑哥“是含有一个类时方向的礼q - 1 维l o r e n t z - m i n k o w s k i 空间，则一个类时半径的球面的未来叶为佗维双曲空间，双曲空间的这一定义 使其包含在非e u c l i d 空间的射影类中，这个模型被很多的研究者采用f 1 3 1 积分几何是几何学的一个分支，是通过考察各种密度的积分来研究图形性质的一门 学科，它的发展与几何概率有着不可分割的联系 初期的工作几乎完全局限于度量几何，所涉及的概率观念也只是上一世纪由c r o f t o n 和c z u b e r 所提出的经典几何概率中的观念1 9 4 0 年后微分几何和群论新方法的出现使人们 可以把积分几何中若干问题加以统一和推广，从而引出这个领域中的新问题，促进它的 重大发展在考虑一个微分流形以及在它上面作用的一个可迁变换群时，导致了齐性空间 积分几何的出现，而局部紧致群及其不变测度在整个理论中是极其重要的把积分几何方 法纳入齐性空间理论结构是a w e i l 和陈省身的成果但是一般地，积分几何还是局限于李 交换群，更确切些，限于方阵群原因有二：第一，从几何角度看，它们最重要；第二它 们导致较便于计算的成果近来，主要是通过r e m i l e s 的工作，随机过程观念和方法的引 用，丰富了积分几何的内容1 9 6 9 年6 月在o b e r w o l f a c h ( 德国、举行的积分几何与几何概率 讨论会上，d g k e n d a l l ，k k r i c k e b e r g 和r e m i l e s 建议用“随机几何”这一名词来确切 地表示在一定意义下联系着随机过程的那部分几何和群论的内容，这从几何角度看是一 个很有前景的领域 杨瑞克：三维实双曲空问中的c r o f t o n 公式 积分几何与微分几何的各个分支关系密切，积分几何的方法鬻用于研究流形的等周 不等式、特征值估计等整体微分几何问题1 1 9 中给出了平面上的c r o f t o n 公式和球面上 8 f l c r o f t o n 从式 r n ( 7 ) 舡( 7 ) = 2 l ( 1 ) j g y r o b e r t s o n 在【1 】中对于n 维实双曲空间中的测地线段证明了如下形式的c r o f t o n 公式 p ， s 盯 s n i x 吲庐 = a d ( x ，y ) 这类公式能应用于很多方面，比如：当曲线是不可求长的但是f 1 ) 式的左边有意义时，可 利用它来定义这种曲线的“长度”，也可用来估算曲线的长度 本文在耐中的一个类时半径的球面的未来叶上建立了三维双曲空间的w e i e r s t a s s 模 型，详细验证了i - f i l b e r t 公理体系在此模型中成立，在【1 】1 1 9 】的基础上，定义了三维双曲空 间中与任意可求长曲线相交的双曲平面的测度计算出其相应的c r o f t o n 公式，验证了双曲 平面中与任意可求长曲线相交的双曲直线的c r o f t o n 公式对所定义的测度给出合理的解 释，进而给出n 维双曲空间上与任意可求长曲线相交的竹一1 维双曲超曲面的测度，改进 了r o b e r t s o n 的结论 2 一盔薹里三查堂塑堂焦鲨壅 2 预备知识 本章主要介绍双曲内积，孔十1 维m i n l 碱空间，双曲三角公式及双曲平面和双曲直 线的定义 2 1 双曲内积( h 内积1 记卿+ 1 = ( 。o ，z 1 ，x ) l z l 疵，0 i s 钆为佗+ 1 维向量空间 定义2 1 ，i 【2 】衍+ 1 中任两个向量x = ( o ，。l ，) 。y = ( 珈，l ，) ，称 x y = x o y o - 4 - z l 1 + + ， 为e 内积；称 ( x ，y ) = - x o y o + x l y l + - + x n y n 为h - 内积 对任意向量x = ( 知，x l ，霉。) ，记墨盯= ( 一$ o ，z 1 ，。) 为此向量关于坐 标平面盘o = o 的反射，则 ( x ，y ) = x 硒= ，- x y = x ，可) = ( x ，盯，y ) 若x ，y 皿3 ，则 j o e ，k e ，= 一( j rx y ) ，盯， ( x zxw ) = 一( x ，z ) ( rw ) + ( z ) ( x ，w ) 注：x y 仍为欧氏意义下的外积 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 定义2 1 2 1 2 若( x ，y ) = 0 ，称向量x 与y 为缸正交；若x y ：0 ，称向量x 与y 为e - 正 交 引理2 1 3 【2 】x 与y 为缸正交 = 辛k ，与y 为e 正交( 或x 与k 。，为e - 正交) 2 2 r t + l 维m i n k o w s k i 空间 定义2 2 1 f 3 】称( 刀件1 ，( ，) ) 为n + l 维m i n k 。购l d 空间，记为丑晋十1 定义2 2 2 1 3 】对于丑诈+ 1 中任意一非零向量x ，称 1 ) x 是类空的，若( x ，x ) 0 ； 2 ) x 是类光的，若( x ，x ) ：0 ： 3 ) x 是类时的，若( x ，x ) 0 定义2 2 3 1 1 目对于研+ 1 中任意非类光向量x = ( 跏，z 1 ，) ，定义它的长度为 f f xl l = i 僻，x ) i = l 一镌+ 。i + + 碟1 如果0 x0 = 1 ，则称x 是单位向量 3 掏瑞克：三维实双曲空闻中的c m 氏o n 公式 引理2 2 4 1 1 3 丑辨“中的向量满足下歹i j 性质： 1 ) 两类时向量不能缸正交； 2 1 类时向量与类光向量不能h 一正交； 3 ) 两类光向量缸正交，当且仅当这两向量线性相关 定义2 2 5 1 3 】卫蛩+ 1 中任意一非零向量 ，h p ( 1 ，c ) = x 匠r l l ( x ，! ) = c ，c 皿 为具 有，卜法向量的超平面，称 1 ) h p ( i ，c ) 是类时的超平面，若2 为类空的向量； 2 ) h p ( 1 ，c ) 是类空的超平面，若沩类时的向量； 3 ) h p ( i ，c ) 是类光的超平面，若沩类光的向量 2 3 双曲三角公式 2 j i t 2 3 1 f 2 】a b c 为双曲三角形，设q ，p ，份别为边口g a c ，a b 的长，a ，b ，e 为兰 内角，则 c e s h = c o s h 口c o s h l 一面吐f l s i n h - y c o s a ， s i n h 乜 b i n h 卢s i n h l 丽2 i 面2 面万， 成立；若e 为直角，则 s i n h 口= s i n h ? t s i n a t a a h a = t a n h t c o s b 成立 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 ，4 ) 2 4 双曲平面 因本文第四章中只涉及双曲平面中的双曲直线，所以在本节中只给出双曲直线及有 关定义 超曲面 啦( - 1 ) = y 磷i ( x ，x ) = 一1 ，z o 1 ) ( 2 4 1 ) 是空间曲率为一1 的二维攀曼流形，称为双曲平面 避( 一1 ) 中的点x ( 。o ，z 1 ，z 2 ) 有参数表示 x ( r ，= ( c o s h r ，s i n h r s i nq o ，s i a h r c o s 访， 其中0 rs + o o ，0 妒7 r ，称( r ，妒) 为点x 的极坐标利用日罩( 一1 ) 的参数表示可直接 计算得其g a u s s 曲率为一1 定义2 4 1 1 2 1 衅( 一1 ) 中的任两点p q 之间的双曲距离d = d p 。为满足方程 c a s h d = 一( 只q ) ( 2 , 4 2 ) 的唯一的非负数 4 大连理工大学硕士学位论文 定义2 4 2 【q 双曲直线的方程为 砰= x 艘( - 1 ) l ( x ，1 ) = 0 ，( f ，f ) = 1 ( 2 4 3 ) 约定伍，f ) = o - 与 x ，一2 ) = o 为不同的双曲直线- 则双曲平面上任意一条双曲直 线( x ，f ) = 0 对应唯一的一个向量2 ，其顶点为极点 5 大连理工大学硕士学位论文 3 双曲空间的w e i e r s t r a s s 模型 本章主要在赋中的超曲面( x ，x ) = 一。3 + z + $ l + 石i = 一l ( x o 1 ) 上建立空间常 数为一1 的双曲空间避( 一1 ) ，并验证h i l b e r t 公理体系在此模型中成立及其与k l e i n 球的一 一对应 注：在本章中“直线”和“平面”指的是卫铅中的直线和平面，双曲空间中的直线和 平面都指明“双曲直线”和“双曲平面” 3 1 避( 一1 ) ，双曲距离，双曲平面及双曲直线 超曲面 肆( 一1 ) = x 厨i ( x ，x ) = - 1 ，x o 1 ) ( 3 1 1 ) 是空间曲率为一1 的三维黎曼流形，称为三维双曲空间，其中z o 是时间坐标，z l ，2 ，x 3 为 空间坐标 耐中所有满足( x ，x ) = o 的点x 组成三辞( 一1 ) 的渐近锥面，也叫光锥很容易验证在 光锥内部的点x 满足( x ，x ) 0 班( 一1 ) m 的点x ( x o ，。l ，z 2 ，z 3 ) 有参数表示 x ( r ，妒，0 ) = ( c o s h r ，s i n h rs i nc o s 0 ，s i n h r s i n 妒8 i n p ，s i n h r c o s 妒) 其中0sr + ，0 妒7 r ，0 0 2 r ，称( r 咖，日) 为点x 的极坐标利用耻( 一1 ) 的参 数表示可直接计算得其截面曲率为一1 为推导双曲距离及双曲平面公式引入下列引理： 引理3 1 1v a ，v b ，v c 为空间中具有公共端点且不共平面的三条棱，设”，e 分别 为y a 与v b ，v a 与v c ，y b 与y a 所夹的角，又面a v b 与面a v c 所夹的二面角为0 ，则 c o s q = c o sc o s ( - - s i n s i n e c o s 0 成立 下面推导双曲平面公式 设7 r 为双曲空间中任一双曲平面，从双曲原点o 】引此双曲平面的垂线，垂足 为p ( a o ，入1 ，k ，a 3 ) ，设点p 的极坐标为0 ，p ，口) ，x 为此双曲平面上任一点，其极坐标 为( r ，妒，日) 连接p ，x ，0 l 三点组成一双曲直角三角形，由引理3 1 1 及( 2 3 4 ) 式知： 。一t a n h p = t 曲h r 圈- l l 妒8 i n 妒o p a ) + c o s 妒c o s 币 ， 整理得 。 一跏a o + x i a i + x 2 a 2 + 0 3 a 3 = 0 幸= = 争( x ，? ) = 0 ， 其中 a o = s i n h p ， a l = c o s h p s i n a c o s 乜 a 。= c o s h p s i n t o s i n q a 32c o s h p c o s a 7 杨瑞克：三维实双曲空间中c r o f t o n 公式 且( f ，f ) = 1 ，即为超曲面( x ，x ) = 1 上的点 定义3 1 2m ( 一1 ) 中的双曲平面的方程为 砰= ( x ，z ) = 0 lv x 避( 一1 ) 且( 2 ，f ) = l ( 3 1 ，2 ) x ( x ，f ) = o 为赌中三维线性子空间，则双曲平面为耐中三维线性子空间与超曲 面( x ，x ) = 一1 的上半叶的交集约定x ，z ) = 0 与( x ，一f = 0 为不同的双曲平面，则双曲 平面与其法向量f 是一一对应的 定义3 1 3 王毪( 一1 ) 中的双曲直线是两个双曲平面的交线，其方程为 j 伍，2 1 ) = 0 ，l l ，；1 ) = 1 ， l ( x ，2 2 ) = 0 ，( 1 2 ，1 2 ) = 1 令i l = ( 沁，a 1 ，a 2 ， 3 ) ，f 2 = ， l ，仇，啦) 。双曲平面( x ，1 1 ) = o - 与 0 为唯一确定的正数，则 ( a ，a ) 2 1 = p 2 ( ( a ，b ) 2 1 ) ， ( b ，g ) 2 1 = a 2 ( ( a ，b ) 2 1 ) 证由( 3 1 5 ) 得 ( c ，c ) = 一a 2 + 2 a i u ( a ，b ) 一卢2 ( a ，c ) = 一a 2 + p ( a ，b ) ， ( b ，c ) = a 0 c o s h ( d a c 牟d m c ) = c o s hd a c c o s hd b o s i n hd a cs i n hd b c = c o s hd a cc o s hd m g + ( c o s h 2d a c 一1 ) 主( c o s h 2d b d 一1 ) = ( a ，g ) ( a b ) + ( ( a ，a ) 2 1 ) ( ( b ，a ) 2 1 ) 用( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 重写最后一个式子得 c o s h ( d a c - 卜，d b c ) = ( 一a + p ( a ，b ) ) d ( a ，b ) 一2 ) + a 弘( ( a ，日) 2 1 ) 9 杨瑞克：三维实双曲空间中的c r o f t o n 公式 = ( a ，b ) ( 一p + 2 a # 0 现证明此引理对直线上任一点都成立 记s = 8 ( t ) s ( 如) ，d ( a s ) d t = 5 ( t ) ， 则 c o s ha s = 一( x ( t ) ，x ( 如) ) ， ( 3 2 1 ) 对f 3 2 1 1 关于t 两次微分得 ( t ) s i n h a s + ( s ，( ) ) 2 c o s h a s = 一( x ”( ) ，x ( t o ) ) ，( 3 2 2 ) 在( 3 2 2 ) 中令t = t o ，则$ = 0 得 j ( 豢) 2 k t o = - x ”( 幻) ，x ( 幻) ) ， ( 3 2 3 ) 又仪q ) ，x ( t ) ) = 一1 ，对其关于t 两次微分 ( x ”( t ) ，x c t ) ) + ( x 7 ( t ) ，x 协) ) = o 斜一( x ”( ) ，x ( t ) ) = ( x ( t ) ，x ( t ) ) ，( 3 2 4 ) 则( 3 2 3 1 又可写为 ( 新t t 。；( f ( 幻) ，x 缸。) ) ， 由t o 的任意性此引理成立，& p ( a s l a t ) 2 = 僻( t ) ，x ( t ) ) 若取双曲距离为参数，则d s d t = 1 即 ( x ( s ) ，x ( s ) ) = 1 对任意的5 向量x ( s ) 位于p = x ( o ) 及t = x ( 0 ) 张成的平面上 其中a ，口为可微的实值函数由 ( x ，x ) = - i ，( x 7 ，x ) = 1 可得 l 口2 一俨= 1 ， l 口席一理曙= 1 1 0 ( 3 2 5 ) 证毕 ( 3 2 6 ) 设x ( s ) = a ( s ) p + 卢( s ) 丁， 大连理工大学硕士学位论文 b a ( 0 ) = l ，p ( 0 ) = 0 ，解此方程得 ja ( s ) = e x 】s h 8 ， lp ( s ) = s i n h s 命题3 2 2 双曲直线的参数方程为 x ( 8 ) = p c o s h s + t s i n h s ( 3 2 7 ) 其中p x ( o ) ，t = x 7 ( o ) 且( p p ) = 一l ，( z t ) = 1 ，( p ) t ) = 0 3 3 双曲角 设a b g 为碑( 一1 ) 中任意一双曲三角形。其三边与三角分别为，6 ，c ；a ，鼠7 魂 与g 百的参数方程为 b a = ：c e c 。o s h h b 。+ + t u s 。i ；n 吐h b 。, 其中t ，u 是在点c 处双曲射线弓靖，己裔的切向量，则 c o s h c = 一( a ，b ) = c o s h a c o s h b s i n h a s i n h b ( t ，u ) 设 ，个t t 瞄7 2 ( z u ) 2 面粉， 则双曲余弦定理在我们的模型中成立 定义3 3 1 上匠( 一1 ) 中点p 处两双衄射线 jx ( 8 ) = p c o s h 8 + t s i n h s ，s 0 iy ( t ) = p c o s h t + u s i n h t ，t 0 所夹的双曲角度口满足方程 c o s ：竖堕；f 3 3 1 1 ( ( l t ) ( 阢c 厂) ) 、 下面验i 正h i l b e r t 公理i i i 4 设( x ，2 ) = o 为艘( 一1 ) 中任意一双曲平面，在此双曲平面 中任取一点0 ，为公共顶点，设口f 0 a 2 7 r 1 为任意给定的数。则过此公共顶点必有两双 曲直线所夹的双曲角为q 任意取定另一双曲平面( x ，2 1 ) = 0 ，在此双曲平面内任意取定一 公共顶点0 ”及任意过此顶点的双曲直线o a 下面要证明在0 ”l 给定的半平面内存在唯 一一双曲直线0 ”使得c 0 8 a = ( e ，) 设x ( s ) = 0 1c o s h s + t8 i n h s 为赢的参数方程，首先构造一条在点o ”与西咳h - 正 交的双曲直线因为双曲直线0 ”j 在双曲平面( x ，f 1 ) = 0 中，则有( t ，f 。) = 0 ，所以双曲直 线 y 0 ) = o ”c o s h 钍+ f 1s i n h t ( 3 3 2 ) 为在点d “与0 ”jh 正交的双曲直线f 假定这条双曲直线在j 的给定的半平面内1 着定义u = t c o s 口+ 1 1s i n c e ，可验e ( o ”，u ) = 0 ，( 以u ) = l ，( e u ) = c 0 8 ， 则f 3 3 2 1 为所找的双曲直线 场瑞克：三维实双曲空闻中c r o f t o n 公式 下面验证h i l b e r 七公理珏1 5 ，a a b c 为的三边a b ，a c ，b c 的长分别为口，b c ，顶点a ，b ， g 所对应的三内角分别为p ，7 设b 为另一双曲三角形，其三边a 7 8 7 ，a g ，b g 7 的 长分别为n ，6 ，c ，顶点，日7 ，所对应的三内角分别为n 7 ，f l , ，r ，g a = 0 7 ，b = 矿，7 = ， 证。笔0 7 由 c o s h c p = c 0 8 h c o s h 一s i n h a s i a h b c o s 7 = c o s h a c o s h b s i n h a s i n h b c o s = c o s h c 所以c = d ， 由 c o s h6 ，c o s hc ，一c o s h a 7c o s h b c o s h c c o s h a 。0 8 a2 i 丙五面广一。蕊瓦面f2e 0 8 0 所以口= 口，h i l b e r t 公理i i i 5 成立 3 4 齐次解释 上理( 一1 ) 上的每一点x 决定一条在光锥内部且过原点的直线，反过来一条过原点且 在光锥内部的直线与三啐( 一1 ) 交于唯一一点因此，双曲空间即看成啦( 一1 ) 上的所有点 的集合。也可看作为所有过原点且在光锥内部的直线的集合这两个集合是一对应的 艘( 一1 ) 中任意一点x 0 ，可用f x l 表示直线。叉，o 叉上的任一点y 0 为x 的非零常数 倍且满足( y ) 0 ，则( p a ) 0 在( 3 5 1 ) 中用向量一a ( p ，a ) ( 也 在上半时上) 来代替a 使其标锥化仍用4 来表示向量一a p ，a ) ，则( 3 5 1 ) 的标准形式为 ( a ，叉) = - a o x o + o 1 0 1 + a 2 x 2 + 0 3 2 3 = - 1 定理3 5 。1 衅( 一1 ) 中的极限球为磁中的超平面与避( 一1 ) 的交集，此超平面的b 法 向量为类光向量特别的，过点p 且以理想点a 为球心的极限球的绝对方程为 ( x ，a ) = ( p a ) ，( 3 5 2 ) 在光锥的上半叶有唯一的向量a 满足 似，x ) = - 1 ( 3 5 ，3 ) 3 6 交线和交点 3 6 1 两双曲平面的交线 设( x ， 1 ) = o 和( x ，z 2 ) = o 为珥( 一1 ) 中的任意两双曲平面，其中z 1 = ( b ，a 1 ，k ，入3 ) ，1 2 = ( ，7 0 ，讥，r , 2 ，铂) ， 1 3 扬瑞克：三维实双曲空闽中 c r o f t o n d ( i ) 当 l ：1 2 + l ：1 2 + l ：1 2 1 ：麓1 2 + j ：1 2 + j 竺2 1 2 时，骈中的三维子空间( x ，i 1 ) = o - 与( x ，f 2 ) = o 的交集为过原点且与超曲面伍，x ) = l 相 交的平面在此平面与超平面，x ) ；1 的交线中任取- - , 点p ，点p 又可决定一双曲平 面x ，p ) ：0 ，且( p ，f 1 ) = ( p i l 2 ) = 0 ，所以双曲平面x ，p ) = 0 与双曲平面仪，f 1 ) = o 和伍，f 2 ) = o 垂直，即双曲平面( x ，1 1 ) = o - 与( x ，z 2 ) ；o 分离 3 6 2 两双曲直线的交点 设 和 f 岱，l t ) = 0 ， i ( 置f 2 ) = o i ( x ，f 1 ) = 0 ， j ( x ，1 2 ) = 0 ， l ( x ，f 3 ) = 0 ， i x ，1 4 ) = 0 的解，其 r a n k ( 1 1 ，2 2 ，f 3 ，1 4 ) t = 4 可知此方程组有唯一一个解，即有唯一一交点，记 为p ( i ) 若( 只p ) 0 ，则有唯一的实数c 使得( c 只c p = 1 ，即这两条双曲直线相交于超 曲面( x ，x ) = 1 上的一点设此交点为q ，0 确定一双曲平面僻，q ) = 0 ，且有 j ( q ，1 1 ) = 0 ， 【( q ，z 2 ) = 0 和 榴， 3 ) = 0 ， l ( q ，1 4 ) = 0 则此两条双曲直线都与双曲平瓦( x ，q ) = o 垂直，即此两条双曲直线相互分离， 3 7 等距面 选定一双曲平面江，f ) = 0 ，令y ( u ) = x c o s h 札+ 2s l a b ，则有f ) ，y ( 钍) ) = - 1 对 双曲平面，f ) = 0 上任一点x 及任意的让，y ( u ) = xc o s h u + 2s i n h u 表示一族与( x f ) = 0 垂直的双曲直线而对固定的d 0 ，y ( d ) = x c o s h d + f s i n h 攘示与双曲平面( x ，f ) = 0 的距离为d 的点族一又( y ( u ) ，z ) = s i a h d ，则对( x ，f ) = o 上的每一点x ，( y ( u ) ，f ) = s i a h d 为双曲平面伍，1 ) = 0 的一个等距面，另一个等距面为y ( t ) ，- i ) = s i n h d ， 定理3 7 1 ，f ) = o 为上理( 一1 ) 中一双曲平面，以此双曲平面为底面且与其双曲距离 为d 的等距面的方程为 ( x ，士z ) = s i n h d( 3 7 1 ) 3 8 f 至( 一1 ) - 与k l e i n - b e l t r a m i 球的一一对应 ( 1 ) 对衅( 一1 ) 上的每一点p ( 阳，p l ，p 2 ，砌) ，都有过碍原点的直线f p 】与超平面劫= 1 交 于唯一一点( 1 ，u ， ，t 1 ) ，且u ， ，叫满足t 1 2 + v 2 + w 2 1 设过原点的直线【p 】的方程为 ! 翌! 。x 2 - - p 2 x a - p a ：x o - p o 令。o = 1 得 f 一嚣， 一嚣， 【叫= 嚣 巨鎏 1 5 ( 土矿 一 | | 一 狮+矿得“ 一 = 壤 + 磋 + 衍 + 稍 入 代 扬瑞克：三维实双曲空间中的c r o 盎o n 公式 所以 铲+ 2 + ”2 0 可得 瑚2 们，p 1 2 帆 船q 2 ，阳2 怕 与假设矛盾，f 2 ) 得证 由( 1 ) 的计算知，点p 对应唯一的点( u ， ，似) ( 3 ) 艘( 一1 ) 中的双曲平面与球中的圆盘一一对应，双曲直线与球中的弦一一对应的 日晕( 一1 ) 中的双曲平面方程为 - x o a o + 茁1 a 1 + x 2 a 2 + z 3