（基础数学专业论文）无穷区间上非绝对积分及其应用.pdf

摘要 无穷区间上积分的讨论是积分理论中不可缺少的一部分本文中，我们 对无穷区间上向量值函数非绝对积分理论进行了讨论，并给出了一些初步 应用主要包括以下五部分内容：在第一部分中，我们介绍了本文所用到的 基本概念和引理；在第二部分中，通过定义无穷区间上乒精细的分法，我们 给出了无穷区间上向量值函数的( h ) 积分的定义，并讨论其性质，还给出了 原函数的刻划；在本文的第三部分中，我们着重讨论了无穷区间上向量值函 数( h ) 积分的收敛定理；在本文的在第四部分中，我们首先应用无穷区间上 向量值函数f h ) 积分的收敛定理给出了常微分方程整体广义解的存在性定 理，其次应用强( h ) 积分对b a n a c h 空间常微分方程广义解进行了讨论；最后， 在第五部分中，我们将模糊( h ) 积分推广到无穷区间上并给出了其数值计算 方法 a b s t r a c t t h e i n t e g r a lo ni n f i n i t ei n t e r v a li sa ni n d i s p e n s a b l ep a r to ft h et h e o r y o fi n t e g r a l i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo f n o n a b s o l u t e l yi n t e g r a l t h e o r yf o ri n f i n i t e i n t e r v a la n dg i v es o i n ea p p l i c a t i o n s 0 nt h ew h o l e w e d oa sf o l l o w s ：f i r s t l y , w e1 i s ts o m ec o n c e p t i o n sa n dl e m m a sf o ri a t e ru s e s e c o n d l y ，w ed e f i n ej f i n ep a r t i t i o n sf o ri n f i n i t ei n t e r v a la n d ( h ) i n t e g r a lo f v e c t o r v a l u e df u n c t i o n so ni n f i n i t ei n t e r v a l ，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ff h l i n t e g r a l ，a n dc h a r a c t e r i z ei t sp r i m i t i v e s t h i r d l y , w ed i s c u s sc o n v e r g e n c e t h e o r e m so fv e c t o r - v a l u e df h l i n t e g r a l o ni n f i n i t ei n t e r v a l f o u r t h l y , w e p r e s e n ts o m ea p p l i c a t i o n so fc o n v e r g e n c et h e o r e m so f ( h ) i n t e g r a lo fv e c t o r v a l u e df u n c t i o n so ni n f i n i t ei n t e r v a la n d s t r o n g l y ( h 1i n t e g r a lf o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i n a l l y , w ed i s c u s sf u z z y ( h ) i n t e g r a lo ni n f i n i t ei n t e r v a la n d h i ：a m e r i c a 】c a l c u 】a t o r 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 。 签名：妥l 彗塞日期：卫! 生童。f z 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 f 保密的论文在解密后应遵守此规 签名：堑蕴差 导师签名： 前言 i l - 一 刖吾 自n e w t o n $ f l l e i b n i z 建立了微积分学基本定理以来，积分理论已经历了三百多年的发 展历史，逐步形成了以r i e m a n n 积分和n e w t o n 积分为代表的经典积分理论及以l e b e s g u e 积 分为代表的现代积分理论众所周知，r i e m a v n 积分和l e b e s g u e 积分都是绝对型积分，即当 函数，( t ) 可积时，绝对值函数t f ( t ) l 也可积虽然( l ) 积分较( r ) 积分更为广泛，但是( l ) 积分 的定义却不如( r ) 积分那样自然和易于理解上世纪初，d e n j o y 和p e r r o n 分别建立了他们的 积分理论，这就是d e n j o y 积分和p e r r o n 积分d e n j o y 积分是用原函数定义的积分，其定义是 描述性的；而p e r r o n 积分却是发展( r ) 积分的d a r b o u x t 里论，用新意义下的上、下积分的方 法定义的一种积分最早系统介绍这两种积分理论的是著名数学家s s a k s 的专著( ( t h e o r y o fi n t e g r a t i o n ) ) ( f 3 9 ”虽然这两种积分推广了l e b e s g u e 积分，是非绝对积分由于它们的定 义都过丁- 复杂，以及未建立好的收敛定理等原因，使这两种积分未能普及于是，寻求兼有 定义叙述简单，性质完善的新型积分的问题显得非常突出到了五十年代后划，英国数学 家h e n s t o c k 年n 捷克数学家k u r z w e i l 分别独立地用p d e m a n n s d 的形式定义了他们的积分虽 然他们的出发点不同，引入的定义形式也有很大的差异，但思想实质却是相阿的后来人 们称他们的积分为k u r z w e i l - h e n s t o c k 积分本文中我们称这一积分为h e n s t o k 积分，简称 为( h ) 积分进一步的研究证明，( h ) 积分，d e n j o y 积分以及p e r r o n 积分是等价的由于( h ) 积 分具有定义形式简单，应用背景广泛的特点，该积分的研究受到数学家们广泛的重视，己形 成一套比较完整的理论，见文献【l 】 2 f 3 t | 4 1 早在上世纪二十年代，人们就提出并研究向量值函数的积分问题当时数学家们的 工作大体上集中在将l e b e g u e 积分理论和p d e m a n n 积分理论推广到向量值函数上去这方 面具有代表性的工作当属b o c h n e r 积分并f l p e t t i s 积分( f 2 8 】) 到了九十年代，r a g o r d o n 在 文f 7 1 讨论了b a n a c h 值函数的m e s h a n e 积分及其收敛定理s s c a o 在文【5 l 利用h e i l s t o c k 积 分的思想和方法首次引入了向量值函数的h e n s t o c k 积分，讨论了这一积分自辱某些初等性质， 并指出在实值( h ) 积分理论中起关键作用的h e n s t o c k 弓i 理在向量值函数的积分理论中并不 成立此后，姚小波在他的博士论文吲中对向量值函数的m c s h a n e 积分和h e n s t o c k 积分做 了更加深入的讨论2 0 0 2 年，c h e wt u a ns e n g 等在文【1 2 】中给出了强( h ) 积分的原函数刻划 及其支配收敛定理同年，叶国菊等在文【1o 】中对定义在j 上取值于b a n a c h 空间的向量值 函数的m c s h a n e 积分与p e t t i s 积分做了讨论 文献f 5 1 ，1 6 及 1 2 】均在有限区间上讨论向量值函数的( h ) 积分理论在区间有限的情况 下，( h ) 积分具有一系列收敛定理，见文献 6 1 7 8 1 1 i 1 2 1 1 3 在这些工作的基础上，我们主 要讨论无穷区间上向量值函数的( h ) 积分，特别是其收敛定理 在有限区间上，实值函数列一致收敛是其逐项可积的一个充分条件，g o r d o n 文【7 】的定 1 前言 理l o 告诉我f l b a n a c h 值( m ) 可积函数列在一致收敛或一致可积的条件下，可以保证其极限 函数可积且积分的极限与极限函数的积分相等同理可知，b a n a c h 值( h ) 可积函数列在一 致收敛或一致可积的条件下，也可以保证其极限函数可积且积分的极限与极限函数的积分 相等但是这个结果在无穷区间上却不成立【4 0 例1 ， i 1 。s i n 詈，0 z n ， 厶( 。) = 礼= 1 ，2 ， io 茁 札 该函数列 ，n ( z ) ) 在区间 0 ，+ o 。) 上一致收敛于函数，( z ) 0 ，虽然每个厶( z ) 与，( z ) 在 区间f o ，+ ) 上可积，但却有 厂+ o 。r + 。 l i m 厶( z ) 出f ( x ) d x 7 j oj o 可见在无穷区间上逐项可积的条件可能更为严刻 本文在更一般的情况下，对向量值函数讨论这一问题主要包括五部分内容：第一部分 介绍了本文中所要用到的基本概念和引理第二部分，我们定义了无穷区间上正精细的分 法，将有限区间上向量值函数( h ) 积分的定义推广到无穷区间上，讨论了该积分的一些初等 性质，证明这种定义与传统的c a u c h y 扩张是相容的，并给出其原函数的刻划第三部分着 重讨论无穷区间上向量值( h ) 可积函数列的逐项积分问题，得到无穷区间上向量值( h ) 可积 函数列逐项积分的一个充分必要条件在本文的第四部分，将向量值函数( h ) 积分的收敛定 理应用到微分方程方面，得到关于整体广义解存在性的一个结果并且应用b a n a c h 值函数 强f h l 积分，给出了b a n a c h 空间常微分方程不连续系统在更广泛的意义下解的一个定义从 而利用上、下解方法讨论了这类不连续系统广义解的存在性本文的最后一部分，我们将 模糊( h ) 积分理论推广到无穷x e f 司上，讨论了不同模糊( h ) 积分之间的关系；进一步，还给出 了这些积分的数值计算方法 本文对无穷区间上向量值函数( h ) 积分的讨论或许使b a n a c h 值( h ) 积分理论更加完善 而对b a n a c h 值( h ) 积分的应用，本文只是作了一些初步的尝试，更深入的研究有待以后继续 进行 2 1 预备知识 1 预备知识 本文中x 表示b a n a c h 空间，l l 为x 中的范数，x + 为x 的共轭空间，b ( x + ) 是x 中 单位球，口为x 中的零元 定义1 1 阳，4 】设6 ：【a ，酗一r + ，说区间【a ，b 的一个分法是5 一精细的是指有序分点a = 。o z 1 0 ，对hh i 上的任何6 一精细分法”= 【u ， 】，) ，有 i ( ”) ：，( ) 扣一“) 一i l 0 ，存 在6 ( t ) ：【o ，6 一r + ，使得对 o ，叫的任何6 一精细分法”= ( u ，” ，) ，有 忖) f 玳) 扣一u ) 一x o i | 0 ，存 在5 ( t ) 0 ，使对陋，6 】的任何5 一精细分法孔，7 - 2 ，有 ，) 球) 扣一“) 一( 丌。) 傩) 扣一训 0 ，存在6 ( t ) 0 ， 对 o ，6 l 的任何j 一精细子分法 【t ，仇】，矗 翟。，有 i i ( ，( 矗) 池一i t i ) 一f ( t ) d t ) l i 0 ，存 在5 ( t ) 0 ，使a ，纠的任何d 一精细分法7 r = 【u ， ，臼，有 ( ”) 忧) 扣一“) 一l ( t ) d t i i 0 ，使对a ，6 】的任何互不重叠的闭区间 【a k ，b k 】) 罂1 ，a k ，b k e ，有 1 | ( f ( k ) 一f ( o t ) ) i l m 3 1 预备知识 称f ( t ) 在 0 ，6 上是y b g 的，是指存在闭集列 b ) 器。，使ub = 【口，6 ，且对任何n ， n ；1 f ( t ) 在日。上是y b 的 定义1 6 1 8 设f ：【o ，胡一x ，称f ( t ) 在ec 【。，6 】上是绝对连续的，简记为a g 的，是指 对任何 0 ，存在q o ，使对【口，6 】中任何互不重叠的闭区间列 【o 女，k ) 饕1 ，n 女，b k e ，只 要( k a k ) 0 ，使 对【。，6 上任何互不重叠的区间 o k ，b 】) 器1 ，a k ，“e ，有 f u ( f ； 0 * ，6 m 1 ) sm 其中u ( f ；扛，k 】) =s u pi i f ( t 2 ) 一f ( t 1 ) a k 三t 1 s c 2 s h 称f ( t ) 在陋，b j ：是v b g + + 的，是指存在闭集列 玩) 。o o ：，使u 晶= 【a ，6 ，且对任何 n = 1 f ( t ) 在e 。上是v b + + 的 定义1 8 1 6 , 1 2 1 设f ：【o ，6 一x ，称f ( t ) 在ec a ，b j n 是a c + 的，是指对任给的 0 ，存 在q 0 ，使对任何互不重叠的区间 【o ，6 k 】) 器1 ，a k ，k e ，只要( 巩一a k ) ”，就有 f u ( f ；b k l ) 5 o o 称向量值函数f ( t ) 在 o 6 上是a g g 。的，是指存在闭集列 上_ ) 。c o ：1 ，使u 玩= k 6 】， 且对任何n ，f ( t ) 在j 0 上是a c , + 的 i i i 1 设f ： a ，6 一x ，若f ( t ) 芷- ec 0 ，b j s 是a c 8 9 ，则f ( t ) 在ecf 口，b j = 是v b 8 9 ； 若f ( t ) 在eckb 3 a 是a c , 的，贝l j f ( t ) 在ec o ，6 】上是y 鼠的 引理1 3 1 6 , 1 2 】设，：【o ，明一x ，则，( t ) 在【0 ，6 】上强( h ) 可积的充分必要条件是存在一个几 乎处处可导且连续的a e g + + 函数f ( t ) ，使f ( t ) 的导数几乎处处等于，( t ) 4 2 无穷区间上向量值函数的( h ) 积分 2 无穷区间上向量值函数的( h ) 积分 用c a u c h y 扩张的方法或简单积分的思想( 文 1 4 ，1 5 ，1 6 】) 都可以讨论无穷区间上向量值 函数的( h ) 积分，但它们实质上都要取两次极限，故比较烦琐，在讨论时会带来诸多不便，不 易把握本文从另一个角度定义了无穷区间上向量值函数的( h ) 积分，从而简化了讨论而 且使无穷区间上( h ) 积分与有限区间上的( h ) 积分在形式上完全和谐 实直线r 上加入一o 。，十。，得到广义实直线矗对于定义在a ，+ 。) 上的向量值函 数，( t ) ，我们定义，( + 。o ) = 口并规定日( + o 。) = p 定义2 1 设一 0 ，设6 ( + o o ) = ，对 n ，+ o 。 上任何6 一精细分 法”l 和丌2 有 惭，) 胀) 扣一“) 一( 丌2 ) 瓜) 扣一u ) l l ，且l i mh n = + o o ，根据已知条件，对陋，k 】上的 任何6 一精细分法矿，由于陋，k 】上的任何d 一精细分法”“= 心，”】， u 6 。，+ o 。j ，+ o 。 也 是【n ，+ 。 上的一个6 一精细分法，因此有 h6 m 忖) 瓜) ( u 一“) 一( 百”) ，( ) ( ”一“) i l e 5 2 无穷区间上向量值函数的( h ) 积分 对每个 。，6 n j ，取定6 一精细分法哺，设其对应的积分和为( 。8 ) 墨，( ) ( 。一。) ，则对任 1 口】m ，礼有 o f f ( 嵋) 妻瓜) 扣一u ) 一( 霄) 量胀) 扣一。) i i 0 ，存在【，+ o 。】上正值函数6 ( t ) ，使 o ，+ o 。】的任何6 一精细子棼法”： i u i ，吡】，毫) 罂1 有 m f f ( ，( 矗) ( 一u 。) 一f ( 地，地) ) i d ， ，在k 6 上( h ) 可积，l i + r a 。f i r ( t ) 出存在且( 日) r 。，( ) 出= r ，( ) 出 证明( 必要性) 对任给的 0 ，由于函数，0 ) 在 0 ，+ o o ) 上( h ) 可积，存在 o ，+ 上的正 值西数d ( z ) ，使对k ，+ o 。j 的任何6 精细分法”= 阻，”】，) ，有 。 瓜) ( v - u ) 厂“f ( t ) d t l l n ，( t ) 在陋，6 】上( h ) 苛颖，即对上述最 o ，存在 0 ，6 】上的正值 函数民( t ) 0 慨( t ) 0 - 选择单调增加的序列p 。) ，使a = b o b l b n ，且l i r ak = + o 。由 于，在 b o ，6 l 】上( h ) 可积，存在5 0 ：【b o ，b 1 一r + ，使对【6 0 ，b l 】的任何品一精细子分法丌o = ( f “，”】，) ，有 忖) 瓜叫一f 1 邢) 出i l 壶 z c 每+ n 1 ，存在区i e 【b 。，k + 1 】上的正值函数民( t ) ，使对，k + 1 的任何矗一精细子分 法”“一 【“，” ，) ，有 忖) 熊m 叫一e ) 出l i 南 由丁1 6 璺c ，( t ) 出= 。，存在，使6 6 时，有 i i f ( t ) d t z o l i 0 ，存在a a ，使对仟何6 1 ，b 2 ，有 l | 窿。f ( t ) d t l l 或l | 胺f ( t ) d t i l 0 ，由于，g 在 o ，+ o o ) 上( h ) 可积，存在陋，+ c o 上l 拘i e 值函数6 1 ( t ) ，如( t ) ， 使【n ，+ o 。】的任何6 一精细的分法”= 阻， 】， ，有 忖) 玳叫一厂) 出怦 【a ，+ o 。 的任何如一精细的分法丌，= 【u ，叫，f ，有 忖) g ( 一“) 一+ o o g ( t ) d t l l s ， 8 2 无穷区间上向量值函数的( h ) 积分 l r s ( t ) = m i n 6 1 ( t ) ，如o ) ) ，t 陋，+ 0 0 ) ，5 ( + 0 0 ) = m a ) c 6 1 ( + o 。) ，如( + o 。) ) 则【o ，+ o 。】的任 何6 一精细的分法”= 【u ，u 】，既是d 1 一精细的也是5 2 一精细的分法，故 i l _ ) ( ，健) + 9 ( 。) 扣一u ) 一( z + 。，。) d t + j ( + 。9 。d t ) l l | | ( ”) ，( 。扣一“) 一z + 。，( t ) 出l l + 1 1 ( ”) 9 ( 。( ”一u ) 一z + 0 。，。) 出i | 0 ，由于，在 o ，+ 。) 上( h ) 可积，存在【o ，+ o 。】上的正值函数6 ( t ) ， 使a ，+ 。】的任何d 一精细的分法7 r = h u ，) ，有 ) 球) ( ”一u ) 一f ( t ) d t i i 及 o ，6 上的任何6 一精细分法7 r = 【u ， ，) ，有 ) 球) 扣一“) 一x o i l 0 ，由于，在a ，+ o o ) 上( h ) 可积，存在6 ：【a ，+ o 。】一r + ，使 对a ，+ 。1 上的任何6 一精细分法7 r = 阻，v l ，) 有 忖) 球) o u ) 一f ( t ) d t i l ，易见a ，纠上的任何d 一精细分法 7 r = 【u ， ，f ) u 陋，+ o 。】，+ 。o ) 也是k + 。】上6 一精细分法，仍记为7 r 于是有 壹胀) ( v - u ) 一f ”f ( t ) d t ir ：瓜) ( 。一“) 一厂“) 酬 0 ，因为，在 o ，+ o 。) 上简单( h ) 可积，设积分值为，存在及 6 ： a ，+ 。) 一r + ，使对任给的6 a 另t a ，纠上的任何5 一精细分法7 r = ，) 有 ) 瓜) ( ”一“) 一x o l l ) 的6 精细分法7 = h ，) u 【6 ，+ o 。 ，+ 。) ，仍记为7 r 从而有 忖) 玳) 扣一“) 一( 日) f ( t ) d t i i = 惭) 胀) 扣一“) 一( 日) f ( t ) d t i i s 故，( t ) 在【0 ，+ o 。) 上( h ) 可积 以下讨论无穷区间上( h ) 可积函数的原函数若，( t ) 是k + 。) 上( h ) 可积的向量值函 数，记( 向量值) 函数f ( t ) = j ：f ( s ) d s ，t o ，+ 。o ) 为其积分原函数 命题21 设，：【a ，+ o 。) 一x ，( t ) 在k + 。o ) 上( h ) 可积，则其积分原函数f ( t ) 在k + o 。) e 连续 引理2 3 设f ： a ，b 一x ，( 一o 。 a b 0 ，由于，( t ) 在h6 上( h ) 可积，存在6 ： a ，6 】一胪，使a ，6 】的任何口精 细分法”= h ”】，f ，有 i i ( ”) ( ，( ) 扣一u ) 一f ( “，”) ) | | ； 设5 ( t ) sl ，t i a ，纠令 焉。= 卜 a + 寻肘孙弛) l i m ，i 1 6 ( t ) 茎而1 ，t i o , b l ， m = 1 ，2 ，3 ，n 一2 ，3 ，i = 1 ，2 ，- 一 固定已。， 【o m ，饥】) 2 ：。互不重叠，a k ，k j l 。，则 【o k ，叫，o k ) 是【n ，6 】的6 一精细的子分 法，根据引理1 2 ，有 i i ( f ( 。t ，靠) 一，( 口e ) ( k 一。e ) ) | l ； 女 一 于是 1 0 2 无穷区间上向量值函数的( h ) 积分 l l ( f ( n t ，b k ) 一，( n t ) ( 6 t 一。- ) ) l i + i i ，( 。* ) i l ( 纸一口* ) k k 。，使对任何b a ，有 f - - o o i i 厶( ) d 亡j j a ，函数，( t ) 在k6 上( h ) 可积，且有 产，6 ( 日) 上，( 。) 出2 县恐( 日) 上 ( ) 出j d ”- + j b ( 3 ) ，n ( ) ) 在【o ，+ o 。) 上等度( h ) 可积 则，( t ) 在k + o 。) 上( h ) 可积且 l i r a ( h ) j 。，n ( 。) 出= ( 日) 上， ) a t 证明对任给 0 ，由于 厶( t ) ) 在【n ，+ o o ) 上等度( h ) 可积，存在o o ，当6 2 b 1 o 时，由条件( 2 ) 有 胍刎f 坤驯f 刮熙( 硎f 加圳f 恕弧哪f 加圳l 茎。s 由推论2 1 ，( ) 在k + 。) 上( h ) 可积， 对上述5 0 ，存在 a o ，使对任意取定的b ，有 忻。加) 毗峨。坤) d t l l 时，有 l l c t 厶( 。) 出一上，( t ) 出| | n 及n ，使对任何b a ，存在地，当n n b 时，有 f f 。( t ) d t i l 0 ，存在陋，+ o 。】上 的正值函数6 ( t ) ，使对【o ，+ 。o 】的任何乒精细分法7 r = 【u ， 】，f ) ，有 ) ，n ( ) 扣一u ) 一f ( t ) d t l l 0 ，由于 ( ) ) 在k ，+ c o ) t - - - 致( h ) 可积，存在k + o 。 上的正值函数6 ( t ) ， 使对【。，+ o o 上的任何6 一精细分法7 r = i ，叫，) ，以及所有n ，下式成立： i l ( 丌) ( f ) 扣一牡) 一( 日) 厶( t ) d 亡1 1 ，取定区间【a ，6 】的某个5 一精细分法丌0 = h ，) ，7 r = 7 c 0l j i b ，+ o 。】，+ o o ) 为区间【o ，+ 。】的乒精细分法由于厶( ) 一，( t ) ，对【0 1 叫的乒精细分 3 收敛定理 法7 1 0 = 阻，”】，) ，存在n ( r o ) ，当n ，m n ( r o ) 时，对分法丌0 中的所有结点有 i i ，m ( ) 一 ( 刚 ( 丌o ) 时， ，+ o o，+ o 。 1 i f ( t ) d t 一 y , ( t ) d t i i j oj o | | f 。( t ) d t 一( 丌0 ) ( ) 扣一u ) | | + i i ( 丌0 ) ，n ( f ) 扣一) 一( 丌0 ) ，i ( ) ( ”一u ) + o o + o ) ，m ( ) p 一“) 一厶( t ) 酬 6b n ，使 忪) ( ) 扣一u ) 一( ”) 瓜) 扣一“) 1 i e 于是，对【0 ，+ o 。 的任何正精细分法7 r = 【u ，口】，臼，有 ) 球) 扣一u ) 一z 。1 i 刮( ”) 球) ( ”一“) 一( 丌) a f t ) ( ”一“) | | + a ( 一“) 一f m ( t ) d t l a ( t ) d t x o o ( 丌) 时 ) ( ) o u ) 一 厶( t ) d 亡i | 0 ，由于，( t ) 在a ，+ o 。) 上( h ) 可积，存在陋，+ 。 上的正值函 数6 ( t ) ，使对k + o 。1 上的任何6 一精细分法7 r = k u l ，) ，有 忖) 瓜) 扣一“) 一f ( t ) d t i i 时， i i f 。( t ) d t 一 s ( t ) d t l i n ，当n 何) 时，有 ) 厶( ) 一“) 一( ”) 艇) 扣一u ) 1 1 ( 丌) 时，就有 忖) ，n ( ) 扣一u ) 一 a ( t ) d t l l 驯( z ) 厶( o 扣一乜) 一( 订) 熙) 一u ) 忡) 瓜) 扣一u ) 一f 邢) 出 | p+。r+o。 + l | f ( t ) d t 一 a ( t ) d t i l 0 ，因为厶( t ) 在【o ，+ o 。) 上一致( h ) 可积，存在a ，+ 0 0 】上的正值函 数6 ( t ) ，使对【0 1 + o 。】上的任何6 一精细分法”= 阻，”】，) ，有 ( 一“) 一：o ( o d t l i i 则对任何矿b ( x + ) ，根据定理2 3 ( 3 ) 有 ( 以v - u ) 一4 z f n ( t ) d t i 。，当 b 时，有i 口o 。g ( t ) d t l o ，( ) 在【o ，6 】上( h ) 可积，且存在o ，+ 。) 上( h ) 可积函数9 ( t ) 与 ( t ) ，使9 ( f ) 兰，( ) ( # ) ，。 。，+ o 。) ，则，( t ) 在 0 ，+ o 。) 上函) 可颖 证明令6 0 = a ，b 。+ o 。定义 删= 。甏 则对每个n ，函数厶( t ) 在【n ，+ 。) 上( h ) 可积，且有厶( t ) 一，( t ) ，m 。o 。) ，t f o ，+ 。) 根据已知条件，存在【n ，+ o 。) 上( h ) 可积函数9 ( t ) 与 ( t ) ，使 g ( t ) a ( t ) s ( t ) ，t o ，+ o 。) 利用控制收敛定理4 2 ，( t ) 在 0 ，+ o o ) 上( h ) 可积，且 曼怒上厶( ) 出= ，熙z i ( t ) 4 t2 z f ( t ) d t 引理4 1 ( 第二中值定理) 若函数，( t ) 在k ，司上( h ) 可积，9 ( t ) 在【o ，6 j 上单调有界，则g ， 在f n ，明上( h ) 可积，且存在f k6 j ，使得： g f d t = g ( d ) f ( t ) d t + 9 ( 6 ) f ( t ) d t ”“ j o j f 定理4 4 设，n ，g n ：【o ，+ o 。) 一r 若 ( 1 ) 厶( ) ) 在 n ，+ o 。) 上等度( h ) 可积； ( 2 ) 如( t ) 关于t 单调且一致有界； 则t 厶( t ) 肌( t ) ) 在【o ，+ o 。) 上等度( h ) 可积 证明任给 0 ，由于 ( t ) ) 在【n ，+ o 。) 上等度( h ) 可积，存在 n ，当6 。，6 2 时，有 j f 加删j f 。肿) 班一r 。加蚓z e 根据引理4 1 知，对每个聍，有 r b一，6 2 上。，n 如出2 ( 6 l 厶厶o ) 疵+ ) z 厶( 。) d 亡， 又因为 如( t ) 卜致有界，即存在m ，使i 卧( t ) i n ，f ：f ( t ) d t - - 致有；g ； ( 2 ) g 忆( t ) ) 关于单调，且当t 一十o 。时，g n ( ) 关于n 一致趋于零； 则 ，n ( t ) ( f ) ) 在【o ，+ o 。) 上等度( h ) 可积 证明类似定理4 4 易证 引理4 21 1 5 设f ： a ，+ 。o ) 一r ，r z j f 在f n ，+ 。) 上( c r ) 可积的充要条件为存在实数i ， 对任给的e 0 ，存在h + 。) 上单调不增正值函数6 ( t ) 2 乏z x o ，使【n ，6 】( 6 ) 的任何d 一精 细的分法”= 阻，”】，) ，有 瓜) 扣一u ) 一1 1 0 ，存在h + o 。】上正值函数d ( t ) ，使5 ( t ) 在陋，+ 。) 上单调不增 2 常微分方程整体广义解的存在性 作为无穷区间上( h ) 积分收敛定理的一个应用，我们讨论常微分方程广义整体解的存 在性 考虑方程 ， 2 m ，。) ，( 4 1 ) 【茁( n ) = x 0 。 其中，：r “k 酣一舒，但，( 。，t ) 未必连续对于这类不连续系统的解，最早给出的 是c a r a t h e o d o r y 意义下的解，并得到了解的存在性定理( 见文【2 7 】) 文献【2 4 【2 5 】 2 6 】讨论了 不连续系统广义解即( h ) 意义解的存在性及性质但是以前的讨论均局限在有限区间上 我们讨论方程( 4 i ) m 当，：j px 【a ，+ o 。) 一舻时整体解的存在性 在即中定义序关系为坐标序，即任给的x ，y 形，。= ( x l ，x 2 ，o 。) ，y = ( y 1 ，y 2 ，) ，z y 的充分必要条件为舷玑，i = 1 ，2 ，n 注4 1 函数z ：k ，+ 。) 一月n 是方程( 4 1 ) 的广义解的充要条件是：对任给的t a ，有 x ( t ) = z ( o ) + ( 日) ，( z ( s ) ，s ) d s j n 定理4 6 设，：舒 a ，+ ) 一即若满足： ( h 1 ) ，( - ，t ) e j l 乎处处的e 【a ，+ o 。) 连续； ( h 2 ) 对每个茁形，积分( 日) r 。，( z ，s ) 如存在； ( h 3 ) 存在b ，+ o 。) 上( h ) 可积的函数k t ) ，a ( t ) ：【。，+ 。) 一舒，使 g ( t ) f ( x ，t ) s g ( t ) ，t 【a ，+ o 。) ，z r n 则对任何x o 印，y y 程- ( 4 1 ) 存在过点( o ，x o ) 的整体解 1 9 4b a n a c h 空间不连续系统广义解的讨论 为了证明定理4 6 ，我们先证明以下引理4 3 4 6 引理4 3 设，：【a ，+ 。) 一钟贝f j f ( t ) = ( ，1 ( t ) ，2 ( t ) ，厶( t ) ) 在i a ，+ o 。) 上( h ) 可积的 充分必要条件为每个分量，m ( t ) ，( m = 1 ，2 ，礼) 在h + o 。) 上( h ) 可积且( r o 。( o d t ) 。= r o 。f m ( t ) d t 其中( r 。f ( t ) d t ) 。表示j ? 。，( t ) 出的第m 个分量 证明易证 根据引理43 ，不失一般性，我们可以在一维的睛况下进行讨论 引理4 4 设，：r 【a ，+ o 。) 一r i 茜足条件( h 1 ) ( h 2 ) ( h 3 ) ，若妒：【a ，+ 。) 一r 黾连续函 数，则( h ) r 。，( s ) ，s ) d s 存在 证明由妒：陋，+ o o ) 一尉奎续，妒( s ) 可表为简单函数列 ) 的极限根据条件( h 。) 及 定理2 3 的( 2 ) ，对每个n ，( 日) 口”，( ( s ) ，s ) d s 存在，又根据条件( h 3 ) 及控制收敛定理4 2 ， ( 日) r ”，( 妒( s ) ，s ) d s 存在 引理45 若，：r 【a ，十。) 一r 满足条件( h 3 ) ，则对任给的z o r 及任给的b a ，存 在d ：a ，纠一冗+ ，使得任何u ：f a ，明一r 及c n ，6 j 的任意d 一精细分法口= a ( b o 及z o r ，设 妒n ( t ) ) 。；l ，2 如如引理4 6 中所定义，据引 理4 6 ，在| 凸，6 】上存在一个点点收敛的子列，仍记该收敛子列为，并设：骢( ) = 妒( t ) ，t 【a ，6 根据条件( h 1 ) ，对几乎处处的t a ，6 ，有 l i m ，( 妒。( t ) ，t ) = ，妇( t ) ，t ) 因为妒。连