（控制科学与工程专业论文）区间多目标规划在区域水资源优化调度中的应用.pdf

t h e a p p l i c a t i o no fi n t e r v a lm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g i nr e g i o n a lw a t e rr e s o u r c e s o p t i m a l a l l o c a t i o n at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：y a n gt i n g t i n g s u p e r v i s o r ：p r o f l is h u r o n g c o l l e g eo fi n f o r m a t i o n & c o n t r o le n g i n e e r i n g c h i n a u n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) mml2 帅8578iiii1眦y t 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：场壶圭日期：细年月7 口e l 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：壶亟壶壹 指导教师签名： 日期：0 - oi f 年月如日 日期：知f 年彭月肜日 ， 摘要 水资源是工业生产、人民生活所不可或缺的重要资源。随着社会的发展，由水资源 短缺或不合理调度引发的地区间供需矛盾不断加剧，因此如何根据水资源的现状优化配 置水资源已成为当前亟待解决的水资源问题。由于不确定性是资源管理更是水资源管理 中不可或缺的因素，故水资源中的不确定性信息的处理变得越来越重要。随机规划和模 糊规划是两类传统的不确定性优化方法，它们需要大量的不确定性信息以构造变量的精 确概率分布或模糊隶属度函数。然而，对于很多实际问题，获得足够的不确定性信息往 往显得非常困难，这使得这两类方法在适用性上具有一定的局限性。区间数优化是一类 相对较新的不确定性优化方法，它利用区间描述变量的不确定性，只需要通过较少的信 息获得变量的上下界，故在不确定性建模方面体现了很好的方便性。 本文针对区域水资源优化配置模型的建立及求解进行研究，采用区间多目标规划的 方法来处理这个实际问题。建立了区域水资源优化调度区间多目标线性规划模型和区间 多目标非线性规划模型，并介绍了相应的求解方法，最后将得到的多个方案进行了排序。 主要内容如下： ( 1 ) 针对区域水资源优化配置的多目标性和不确定性，引入代表不确定信息的区间 数，建立了区域水资源优化配置的区间多目标线性规划模型。然后介绍了四种求解区间 线性规划的方法，并对这几种方法进行了比较，最后将其应用到东营市的水资源优化配 置中。 ( 2 ) 在所建立的水资源优化配置区间线性规划模型的基础上，加入协调发展约束， 建立了区间非线性规划模型，并对其求解进行了探讨。利用基于区间数的可能度不确定 约束转换方法将模型转换为一两层嵌套优化问题，然后用自适应微分进化算法对模型进 行求解，最后同样将其应用到东营市的水资源优化配置中去。 ( 3 ) 介绍了一种区间数排序的可能度法。基于区间数排序的可能度公式给出了区间 数排序的可能度法，并用它来对多个水资源优化调度方案进行排序。 关键词：区间规划，多目标规划，水资源优化调度，微分进化算法 w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t y ，t h ei n c o n s i s t e n c yo fw a t e rs u p p l ya n dr e q u i r e m e n ti s b e c o m i n gm o r ea n dm o r eo b t r u s i v e h o wt oe x p l o i ta n du t i l i z ew a t e rr e s o u r c e sr e a s o n a b l y a n da l l o c a t et h e ms c i e n t i f i c a l l yo nt h eb a s i so ft h ee x i s t i n gc i r c u m s t a n c eo fw a t e rr e s o u r c e s h a sb e c o m ea ne m e r g e n tp r o b l e mw h i c hs h o u l db es o l v e d a s u n c e r t a i n t yi sa ni n h e r e n tp a r to fm a n a g i n gr e s o u r c e si ng e n e r a la n da l le s s e n t i a lp a r to f w a t e rm a n a g e m e n t g u i d a n c eo nh o wt od e a l 、析t ht h a ti sb e c o m i n gi n c r e a s i n g l yi m p o r t a n t s t o c h a s t i cp r o g r a m m i n ga n df u z z yp r o g r a m m i n ga r et w ot y p e so ft r a d i t i o n a lu n c e r t a i n o p t i m i z a t i o nm e t h o d o l o g i e s ，i nw h i c hag r e a ta m o u n to fs a m p l i n gi n f o r m a t i o no nt h e u n c e r t a i n t yi sr e q u i r e dt oc o n s t r u c tt h ep r e c i s ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so rf u z z ym e m b e r s h i p f u n c t i o n s u n f o r t u n a t e l y ，i to f t e ns e e m sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i ns u f f i c i e n tu n c e r t a i n t y i n f o r m a t i o n ，a n dh e n c et h e s et w ot y p e so fm e t h o d sw i l le n c o u n t e rs o m el i m i t a t i o n si n a p p l i c a b i l i t y t h ei n t e r v a ln u m b e ro p t i m i z a t i o ni sar e l a t i v e l yn e w l y d e v e l o p e du n c e r t a i n o p t i m i z a t i o nm e t h o d ，i nw h i c hi n t e r v a li su s e dt om o d e lt h eu n c e r t a i n t yo fav a r i a b l e t h u s t h ev a r i a t i o nb o u n d so ft h eu n c e r t a i nv a r i a b l e sa r eo n l yr e q u i r e d ，w h i c hc a nb eo b t a i n e d ，t h r o u g h o n l yas m a l la m o u n to fu n c e r t a i n t yi n f o r m a t i o n t h i sp a p e ra d o p t si n t e r v a lm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gm o d e lt os t u d yt h ep r o b l e mo f w a t e rr e s o u r c e so p t i m a la l l o c a t i o n t h er e g i o n a lw a t e rr e s o u r c e si n t e r v a lm u l t i o b j e c t i v e l i n e a rp r o g r a m m i n g ( i m o l p ) m o d e la n dt h er e g i o n a lw a t e rr e s o u r c e si n t e r v a lm u l t i - o b j e c t i v e n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ( i m o n l p ) m o d e la r ee s t a b l i s h e d t h e nt h es o l v i n gm e t h o di s i n t r o d u c e d t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra l el i s t e da sf o l l o w s ( 1 ) t h er e g i o n a lw a t e rr e s o u r c e si m o l pm o d e l ，i nw h i c ht h eu n c e r t a i n t yi n f o r m a t i o ni s p r e s e n ta si n t e r v a ln u m b e r , i se s t a b l i s h e d t h e nt h i sp a p e ri n t r o d u c e sf o u rk i n do fm e t h o dt o 目录 第一章前言1 1 1 引言1 1 2 国内外研究现状l 1 2 1 区间规划问题的研究现状2 1 2 2 水资源优化调度问题的研究现状2 1 3 主要研究内容3 第二章预备知识5 2 1 区间优化基础5 2 1 1 区间数学的基本概念。5 2 1 2 区间数的比较方法7 2 2 数学规划基本方法l2 2 2 1 多目标规划方法12 2 2 2 微分进化算法13 第三章区域水资源区间多目标线性规划模型的建立和求解一1 7 3 1 区域水资源区间线性规划模型的建立1 7 3 1 1 目标函数17 3 1 2 约束条件1 8 3 2 区间线性规划模型的四种求解方法1 9 3 2 1 求解方法的介绍1 9 3 2 2 实例分析2 7 3 3 区间多目标线性规划模型在东营市水资源中的应用3 0 3 3 1 东营市水资源区间多目标线性规划模型3 0 3 3 2 模型的求解3 0 第四章区域水资源区间多目标非线性规划模型的建立和求解4 5 4 1 区域水资源区间多目标非线性模型的建立4 5 4 1 1 目标函数4 5 4 1 2 约束条件4 5 4 2 区域水资源区间多目标非线性规划模型的求解4 7 4 2 1 区间非线性规划模型的转换4 7 4 2 2 区间非线性规划模型的求解5 0 4 3 区间多目标线性规划模型在东营市水资源中的应用5 3 4 3 1 东营市水资源区间多目标非线性规划模型5 3 4 3 2 模型的求解5 4 第五章区间数不确定多属性决策方法在水资源评价中的应用5 7 5 1 区间数不确定多属性决策方法5 7 5 1 1 区间数决策矩阵的规范化方法5 7 5 1 2 方案排序6 0 5 2 水资源优化调度规划方案综合评价6 3 结论6 5 参考文献。6 6 攻读硕士学位期间取得的学术成果一6 9 致谢7 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 引言 第一章前言弟一早月i ji 在生产、经济、科学和工程活动中衡量一个方案的好坏的标准往往不只一个，例如 在确定一个橡胶的配方时，不仅要考察它的强度，还要考察它的硬度以及变形等指标。 在很多的生产计划问题中，不仅要求所获利润最大，同时也要求能源的消耗最少。这一 类问题称为多目标数学规划问题或多目标最优化问题，它们的早期来源是经济理论，由 于它的模型比较符合现代化管理决策的实际，方法灵活，有能力处理各种没有统一度量 单位和互相矛盾的多目标，而且便于利用计算机技术，所以已经成为解决现代化管理中 多目标决策问题的有效工具。近年来，多目标规划正受到世界各国运筹学家的重视，应 用成果也日益显著，现在己应用于工程优化设计、地区发展规划、数理经济学和环境保 护问题等许多领域。 在现实中，绝大多数的优化问题都或多或少的存在一些不确定性，因此如何处理这 些不确定性信息成为决策中所普遍关注的问题。目前，处理多目标规划中不确定性信息 的方法可以分为三类：随机多目标规划、模糊多目标规划和区间多目标规划。区间多目 标规划直接在普通多目标模型中引入代表不确定性信息的区间数，而不考虑参数的概率 分布或隶属度信息，因此在数据获取、算法实现上存在较为显著的优越性，已经在一些 区域性的土地、资源规划中得到了成功的应用。因此研究区间多目标规划方法及应用有 着比较重要的现实意义。 近几十年来，水资源短缺、水环境污染、水质恶化等问题目益突出，已经成为影响 水资源开发系统可持续发展的主要障碍。同时，随着社会经济的发展和入口的增加，水 资源供需矛盾日趋严重。这些问题产生的一个主要原因是缺乏有效、公平和可持续的水 资源配置决策，因此，合理的水资源优化配置对区域经济和社会的可持续发展具有重要 的意义。然而，水资源系统是一个复杂的大系统，它包括许多社会、经济、环境、技术、 ， 政治等因素，同时还具有不确定性，例如：过程和条件具有随机特征，模型参数获取时 有误差以及不精确的相关政策约束等。于是研究区域水资源优化配置的不确定性模型及 应用具有重要的实际意义。 1 2 国内外研究现状 第一章前言 1 2 1 区间规划问题的研究现状 区间规划问题是指将不确定参数以区间数的形式给出并进行求解。自从m o o r e ， a l e f e l d 提出区间分析的思想，区间数优化己得到国内外学者2 0 余年的研究。 在区间线性规划问题方面的研究相对较多，也取得了不错的成绩。i s h i b u c h i 和 t a n a k a f l 】( 1 9 9 0 ) 就目标函数系数为区间数的线性规划模型进行了讨论，通过引入区间 数序关系将区间目标函数转化为多个确定的目标函数的方法，从而将目标函数系数为区 间数的区间规划模型转化为一确定性的参数规划模型。u r l i 和n a d e a u ( 1 9 9 2 ) 考虑到了 线性规划中目标函数和约束条件均含有区间数的情况，对其进行了求解，结果表明，如 果要取到线性规划的最好最优值的话需要承担很大的风险。i s h i b u c h i 和s a k a w a 对传统线 性规划中“解”的概念进行了推广，定义了线性区间规划中必要最优解集和可能最优解 集的概念，并且给出了求解区间线性规划的一种新方法：基于最大最小后悔准则的优化 方法。达庆利和刘新旺 2 1 对目标函数和约束条件均含区间数的线性规划问题提出了一种 基于模糊约束满意度的求解方法，决策者可以决定不同的目标函数和约束条件的约束满 意度水平，从而得到适合自己的解。郭均鹏和吴育华 3 1 考虑了约束条件为等式的情况给 出了区间线性规划的标准型。徐泽水和达庆利1 4 1 对区间数排序的可能度法进行了研究， 并将其应用于不确定多属性决策的方案排序问题的研究。 在现实生产和实际工程中几乎所有的问题都是非线性的，但是由于非线性区间规划 的复杂程度和求解困难远远高于线性规划，国内外对其研究还比较少。马龙华1 5 j 首次对 区间非线性规划进行了研究，将区间非线性规划模型转换成一确定性的三目标优化问 题，利用两次对不确定变量的优化过程来求取不确定目标函数的区间。然而文章中只给 出了不确定目标函数的处理办法，并没有给出一般的区间约束条件的处理。姜潮等 6 1 利用区间可能度法和区间数序关系提出了两种非线性区间优化的数学转化模型，并利用 区间可能度法对区间约束条件进行了处理，最后用基于i p g a 的两层嵌套优化算法进行 了求解。蒋峥等i 7 】通过引入决策风险因子和偏差惩罚项提出了一种新的区间非线性规划 模型的一般命题形式，问题的求解时采用了基于遗传算法的递阶优化方法。 1 2 2 水资源优化调度问题的研究现状 国外对水资源优化配置的研究主要是从2 0 世纪6 0 年代开始的。1 9 6 1 年，b u r a s 等 首次把动态规划的方法引入联合运用系统，解决了地表水和地下水的蓄水分配问题1 8 l 。 1 9 6 7 年，f l i n n 和m u s g r a v e 建立了最优水量分配的确定性动态规划，并对其可行性进行 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 了论证。7 0 年代的主要成就是将数学规划应用到了农业管理中。1 9 7 1 年，m o o r e 等以水 土资源的最大收益为目标函数，用线性规划的方法得到了农场最优需水量。8 0 年代后水 资源配置理论不断发展，并且开始与不确定理论结合。1 9 8 6 年，s l o w i n s k i 提出了交互式 模糊多目标线性规划方法，将不确定因素用模糊集表示，并将其应用到水资源的优化配 置中来。2 0 0 0 年，b e n d e r 和s i m o n o v i c 提出了一种模糊妥协度方法，对不确定性水资源 优化模型进行了求解。同年，h u a n g 和l o u c k s 建立了两阶段随机规划模型，用以解决水 资源规划中出现不确定因素为离散的随机变量的情况。在此基础上，2 0 0 8 年l ue t 甜建立 了两阶段模糊随机规划模型。 国内对水资源优化配置的研究主要是从8 0 年代开始的。1 9 8 3 年李寿声等根据我国 灌区实际情况拟定了地表和地下水资源联合运用的线性规划模型。1 9 8 8 年贺北方提出了 区域水资源优化分配的问题，建立了大系统逐级优化模型1 9 i 。1 9 9 4 年唐德善建立了黄河 流域水资源多目标优化分析模型，并对其求解方法进行了研究。1 9 9 5 年翁文斌等提出了 区域水资源优化配置的多目标宏观决策分析方法。2 0 0 0 年崔振才【l o 】等建立了水资源系 统多维动态优化模型，并给出了具体的实例应用。2 0 0 2 年贺北方、周丽【l l 】等建立了基 于遗传算法的区域水资源多目标优化配置模型，利用大系统分解协调技术，将模型分解 为二级递阶结构进行求解。 2 0 0 8 年刘行刚、徐征和【1 2 l 以灌区调水量最小和经济效益最大为目标建立了地表水 和地下水联合调度模型，并用主目标法进行了求解。在研究水资源的不确定性模型方面， 张海涛等【1 3 1 考虑水资源利用过程的模糊性，建立了绿洲农业水资源模糊线性规划模型， 模型中将约束条件的右端向量即资源视为模糊变量，通过定义资源约束的口一截集，得 到模型的清晰等价形式，最后利用计算机模拟求解了张掖绿洲在不同管理背景下的农业 水资源分配模型并为管理者制定决策提供依据。马涛等【1 4 恫样建立了区域水资源模糊 规划调度模型，但将模型目标函数视为具有模糊性，采用隶属函数处理模型并用目标规 划进行求解。m e n gl i h o n g 等i l5 】利用模糊综合评价的方法建立了水资源承载能力评价模 型。王海政【1 6 】建立了基于随机与模糊的水量配置的多目标风险决策模型和调水工程方 案选择排序的多目标风险决策模型。 1 3 主要研究内容 本文正文共分五章，主要内容如下： 第l 章介绍水资源优化调度和区间规划的研究意义和国内外研究现状。 第一章前言 第2 章介绍了一些相关的数学规划理论和方法。 第3 章针对区域水资源优化配置的多目标性和不确定性，建立了区域水资源优化配 置的区间多目标优化配置模型。然后介绍了几种求解区间线性规划的方法，并对这几种 方法进行了比较，最后将其应用到东营市的水资源优化配置中。 第4 章加入了协调发展约束，在所建立的水资源优化配置区间线性模型的基础上， 建立了区间非线性规划模型，并对其求解进行了探讨。利用基于区间数的可能度不确定 约束转换方法将模型转换为一两层嵌套优化问题，然后用自适应微分进化算法对模型进 行求解，最后同样将其应用到东营市的水资源优化配置中去。 第5 章介绍了一种区间数排序的可能度法。基于区间数排序的可能度公式给出了区 间数排序的可能度法，并用它来对多个水资源优化调度方案进行排序。 本文创新性如下： 将区间多目标规划的方法应用于区域水资源优化调度，这在国内还不多见。对相应 的求解算法作了研究，重点研究了区间多目标非线性规划模型的求解方法，将其应用到 水资源区间多目标非线性规划模型。 4 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 2 1 区间优化基础 第二章预备知识 弟一早似亩刘以 2 1 1 区间数学的基本概念 ( 1 ) 区间数的表示形式 根据m o o r e 1 7 】区间分析，区间数可被定义如下： 记a = 【a - , a + 】= xl 彳一x 彳+ ，x r ) ，则称彳为一个区间数。式中，a 一 表示区间的下界，a + 表示区间的上界。显然，当a 一= 么+ 时，区间数么退化为一普通的 实数。 另外，区间数还可以表示为a 士= ，其中m ( a ) 表示区间数a 的中点， 以爿) 表示a 的半径： 聊( 舻华 w ( 舻竿 当w ( 彳) = 0 时，区间数a 退化为一普通的实数。 图2 1 给出了区间的几何描述： 彳 ， 彳一彳+ m ( a ) 图2 - 1 区间的几何描述 f i g2 - 1 g e o m e t r i c d e s c r i p t i o no fi n t e r v a ln u m b e r s 第二章预备知识 区间变量的不确定度被定义为： u d ( a ) = w c a ) l m ( a ) ( 2 ) 区间数的运算及性质 设a = 【a - , a + 】，b = 【b - , b + 】，名r 贝0 有 1 ) 加法运算 彳+ b = 【a - , a + 】+ 【b 一，b + 】= 【a 一+ b 一，a + + b + 】； 2 ) 减法运算 a 一b = 【a - , a + 卜【b 一，b + 】= 【a 一一b + ，么+ 一b 一】； 3 ) 乘法运算 彳b 士= m i n ( a b - , a 一y ，a + b - , a + b + ) ，m a x ( a b - , a b + ，a + b - , a + b + ) 】 4 ) 除法运算 彳+ b = 【么一，a + 】 旷，b + 】= 彳一，a + 】 1 b + ，1 b 一】( o 仨b ) 5 ) 数乘运算 旯么= 力t 么一，彳+ ，= 三：三：三：三三： 6 ) 符号运算 酬= _ 1 要主三 7 ) 绝对值运算 i ai = - a 磊器 8 ) 区间数的交集记为彳f ib ，且彳士f ib 2 = z er iz 彳且z b ) ，若彳一 召+ 或 者b 一 a + ，则a 2nb 2 = ；如果a + nb ，则a 2nb 仍然是一个区间数，且 a nb + = 【m a x ( a - , b 一) ，m i n ( d + , b + ) 】 9 ) 区间数的并集记为彳ub ，且彳2u b 1 = z 尺iz 彳2 毙矿) ；两个区间数的 并不一定为区间数。但如果a 2nb ，则a ub 2 仍然为区间数，且 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 4 u b = 【m i n ( a - , b 一) ，m a x ( a + , b + ) 】 在上述运算中，区间数的加法和减法运算之间、乘法和除法运算之间不再互为逆 运算。区间数的运算具有如下性质： 设彳，矿，c 士均为区间数，则有 a ) 加法结合律 【彳一，么+ 】+ ( b ，b + 】+ 【c 一，c + 】) = ( 【彳一，a + 】+ 【b 一，b + 】) + c 一，c + 】 b ) 乘法结合律 【彳一，彳+ 】( 【b 一，b + 】 c 一，c + 】) = ( 【彳一，a + 】【b 一，8 + 】) 【c 一，c + 】 c ) 加法交换律 【彳一，a + 】+ 【旷，b + 】= 【b - ，b + 】+ 【彳一，a + 】 d ) 乘法交换律 【彳一，a + 】【b 一，b + 】= 【b 一，b + 】【彳一，彳+ 】 e ) 数乘分配律 旯( 【彳一，a + 】+ b 一，b + 】) = 2 a - , a + 】+ 2 b - , b + 】 由上述区间数的运算和性质，我们可以推出对区间数中点和半径的运算： m ( a + b ) = 加( 彳) + r e ( b ) m ( a b ) = m ( 彳) 一所( b ) 以彳+ b ) = w ( a b ) = w ( 彳) + 以b ) 2 1 2 区间数的比较方法 ( 1 ) 区间数在数轴上的位置关系 任意两个区间数彳和矿在数轴上的位置关系有四种情况：1 ) 不相交；2 ) 相交且 只有一个交点：3 ) 相交且交点有多个但不包含；4 ) 相交且包含。如图2 2 所示： 7 第二章预备知识 彳和曰不相交 彳一彳十b b +b b + 彳一么+ 彳和召相交且只有一个交点 a a + ( b 一)b + b b + ( 4 一)a + 么和b 相交且交点有多个但不包含 彳一b 一彳+b +b 一 彳一b +彳+ 彳土和b 2 相交且包含 b 一彳一彳+b + 彳一b b +么+ b 一( 彳一)( 彳+ ) b +彳一( b 一) b +彳+ 彳一 b 一( 曰+ ) 彳+b 一( 彳一)彳+b + b a 一( 彳+ ) 召+ 图2 - 2 区间数的位置关系 f i g2 - 2 t h er e l a t i v ep o s i t i o no fi n t e r v a ln u m b e r 8 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 这四种情况给出了两个区间数在数轴上的所有可能的情况。 ( 2 ) 基于区间序关系的比较方法 区间序关系是指区间数比较的确定性关系，即对于任意两个区间数a ，b ，它们 之间的大小关系是确定的，只有三种情况：彳优于萨，彳劣于矿或者a 与矿等价。 因此区间序关系比较适合用于在线性区间优化中评价目标函数区间的优劣。 下面给出的是具有代表性的几种区间数比较方法： 1 ) 1 9 7 9 年m o o r e 1 7 1 提出的区间数比较方法( m o o r e 法) ： a b 当且仅当a + b 一时成立。 2 ) 1 9 9 0i s h i h u c h i y 伟i t a n a k a 0 1 提出三种区间数序关系：，毛，。 ia 士rb 当且仅当4 一b 一且彳+ b + 区间序关系臁：1 a 詹b 当且仅当彳r 召且彳b la 士s 。b 当且仅当m ( a ) 所( b ) 且w ( a ) w ( b ) 区间序关系伊：1a 。，b 当且仅当彳。召r a 2 b 区间序关系加：1a l 。b a b il c 当且仅当a 一b 一且埘( 么) r e ( b ) 当且仅当a 。b r a b 3 ) 1 9 9 7 年曾文艺【1 8 1 提出的区间数比较方法：中点法 a b 当且仅当m ( a ) m ( b ) 4 ) 2 0 0 1 年刘进生、王绪柱f 1 9 】提出的乡序法和，一0 序法 p 序法：a 口b 当且仅当m 口( 彳) m p ( b ) ，一目序法：a ，( b ) 其中m 护( 么) 定义为区间数a 士的秒点，m o ( a ) = ( 1 - o ) a 一+ o a + ，0 o ，l 】， l ( a ) = 2 w ( a ) ，( b ) = 2 w ( b ) 分别表示区间a ，b 的长度。 5 ) 另外两种比较典型的区间序关系：毛，岛 9 区间序关系月：l 彳 rb a b i矗 土 当且仅当a + b + 当且仅当a rb 且彳2 b 各种不同的区间序关系代表了决策者对区间的不同偏好，以上所述的区间数序关系 均是针对最大化优化问题提出的，而最小化优化问题与最大化优化问题中的有些评价指 标是相反的，因此它们的区间序关系的表达形式也是不同的。最小化优化问题中的区间 数序关系形式为： 1 ) m o o r e 法：a b 当且仅当b 一 a + ia + l 霄b 士 当且仅当a 一b 一且4 + b + 2 ) 区间序关系朋：1a 异b 当且仅当彳r 召且彳b ia 。b 当且仅当i n c a ) 所( b ) 且w ( 么) w ( b ) 区间序关系。：1a t 。b 当且仅当么。，召t 且彳b 区间序关系l c ：1 彳 工。b a b l c 当且仅当a 一b 一且所( 么) m ( b ) 当且仅当a 上。b + 且么b 3 ) 中点法：a b 当且仅当m ( a ) r e ( b ) 4 ) 0 序法：a 一b +当且仅当m a a ) m a ( b ) ，一0 序法：a i ( b ) ia ，b 当且仅当a 一之b 一 5 ) 区间序关系 工：1 彳 ：b 当且仅当彳：b t 且彳t b 区间序关系r ： 三：三： 当且仅当a + b + 当且仅当彳rb 且彳b 2 ( 3 ) 基于度的区间数比较方法 区间序关系将区间数之间的大小关系绝对化，给出了两个区间数比较的确定性关 i o 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 p ( 彳b ) = m ；n ，m a x ( 7 赫，。) ) 刖矿，一 o ，l - 一c 志志脚) + + 、m i n ，( 彳) + ，( b ) ，m a x ( a + 一b - , o ) p ( a b 1 = 二二二二= 一一： 州) ：篙篇 = 三：) ， b b - 一 f 1 矿 刑) = 而- i - bb+鬲+-a-而a-一b-+o5而+一a-堕b+-b-b-a- 2 ) = 二f i 十二f i j f ：万十u ) 二f i s i 尝+ o 5 _ + - b - 彳一 曰一 b 2 ) = 以o ) 出+ ，六( x ) d r ，f n ( y ) d y + j 无( x ) 以( 少) 咖出 a b 一月一 一一 矿x 六( x ) 出+ ，六( 工) fa ( y ) a y a x 彳一b + 召一 彳一 b + 彳+ a 一 b 一 b + a + l巾rj伊矿rj护 第二章预备知识 6 ) 张兴芳等提出了可信度法 口= m i n 1 一等- 一等，卜瑚 7 ) k u n d u 提出了模糊左关系法 l e f t ( a , b 士) = m a x o ，只占 y ) ) 8 ) 基于极大区间数的区间数排序方法 p ( 彳b 土) = j 乙矛i 笔筹 式中，肘表示区间数、矿的极大区间数，d ( b ，m ) 表示区间数矿和m 之间的距 离。 2 2 数学规划基本方法 2 2 1 多目标规划方法 在许多实际工程问题中，衡量一个设计方案的好坏指标往往不止一个，这一类问题 被称作多目标优化问题。其一般形式为： u 曲雎) 钏( x ) 原x ) ，( x 矿( 2 - 1 ) 【s 1 蜀( x ) 0 ，i = 1 ，2 ，m 其中x - - ( 五，x 29j 9 ) r ，p 2 下面给出多目标规划问题的几种求解方法。 ( 1 ) 主要目标法 主要目标法是从多个目标函数中确定出一个主要目标，其它的目标只要求满足一定 的条件。如问题( 2 1 ) 中，若石( x ) 为主要目标，其余目标满足q z ( x ) b li = 2 ，3 ，p 则上述问题可化为求解如下的单目标规划问题： i m i n 彳( x ) s j & ( x ) 0 ，i = 1 ，2 ，m 【巳z ( x ) 屯，j = 2 ，j ，3 一p ( 2 ) 理想点法 在问题( 2 1 ) 中先分别求解p 个单目标规划问题 1 2 中国石油大学华东) 硕上学位论文 i r a i n ，( x ) ， i = 1 ，2 ，p 【s 1 g j ( x ) 0 ，j = l ，2 ，聊 令z = m 。i r n z ( x ) ，i = 1 ，2 ，p ，其中足= 蜀( x ) 0 ，f = 1 ，2 ，肌 ，则称 ，= ( 彳，片，) 7 为值域中的一个理想点，一般情况理想点是达不到的。于是期望寻 找一个点来尽量接遍它，故构造评价函数如下： h ( x ) 全办( ，( x ) ) = 则以上问题化为： m i n办旷拿” l j j x 武 ( 3 ) 线性加权和法 对问题( 2 - 1 ) 中的p 个目标函数按其重要程度给以适当的权系数五o ( i = l ，2 ，p ) ， 且五= l ，然后构造评价函数办( x ) 皇乃( f ( x ) ) = 以z ( x ) 作为新的目标函数来求解原问 题。 ( 4 ) 极小一极大法( m i n m a x 法) 在决策时，采取保守策略是最稳妥的，即在最不利的情况下找出一个最有利的策略 方案，按照这种想法，可以构造评价函数办( f ( x ) ) = m 吲a ，x p f j ( x ) ) 。然后求解以下的问题： m i n 办旷( x ) ) 2 卿 嘴p 乃( x ) x “ 1 5 ，s 。 【s ， x r 2 2 2 微分进化算法 ( 1 ) 基本的微分进化算法 1 9 9 5 年，p r i c e 和s t o r e 针对全局优化问题提出了一种基于浮点数编码的新的进化算 法并称之为微分进化算法( d e 算法) 。和其它的进化算法相比，d e 算法是一种并行直 接搜索算法，它易于实现，收敛速度快，空间搜索能力强，因此近年来它的发展受到了 广泛的关注。 d e 算法的原理非常简单：随机产生一个初始种群，计算出种群中每一个个体的适 应度值，对每一个个体根据一定的准则构造一个新的个体，如果新的个体的适应度值优 于原个体，则用新的个体来取代原有个体。在新个体的的产生过程中，通过把种群中两 第二章预备知识 个个体之间的差向量增加到第三个个体上来产生变异向量，然后将变异向量与原个体向 量按交叉概率( c r ) 交叉来产生新的个体向量，若新个体的适应度值优于原个体，则 代替原个体进入下一代。种群中所有成员在每一代的进化过程中必须都经过这样的操 作，以便产生新的种群。 和其它的进化算法一样，d e 算法也是要先产生一个初始种群，设种群的规模为p ， 维数为d 。我们用离散的时间表示种群的进化代数，如t = 0 ，1 ，2 t , t + l ，因为向量在 进化过程中是变化的，我们采用下面的符号来表示当前代种群中的第f 个向量： z o ) = ，l ( f ) ，薯，2 0 ) ，3 ( f ) 毛，d o ) 】( f = l ，2 p ) 这些向量被称作基因组或染色体。 对于每一个搜索变量可能存在一个确定的搜索范围( 变量自身的约束条件) ，在d e 算法开始时，必须先初始化参数变量以保证它们能在可行的数值范围内。因此，假如种 群中的第j 个参数有最小值和最大值( 如巧，) 限制时，我们初始化种群中第f 个个体 的第，个元素为： 五，( o ) = 砖+ r a n d ( o ，1 ) ( 巧u 一巧) 其中r a n d ( o ，1 ) 表示产生一个o 1 之间的随机数。 要产生新的个体，首先要对每一个个体置( f ) 生成一个变异向量k ( f ) ，此时选择当 前代中除自身之外的任意三个个体，用实数常量因子f 缩放这三个个体中的任意两个作 差的差向量，然后加到第三个个体上去，k ( ，) 中的第个元素可表示为： v i , g ( r + 1 ) = x r i , j o ) + f ( 2 , j ( f ) 一x r 3 , j ( f ” 其中x r l , j ( ，) ，x r ：，( f ) ，x r 3 , j ( f ) 是群体中随机选择的三个个体的第个元素，且 r l r 2 r 3 f ，f 为一实数常量因子，通常被称为放缩因子。 为了提高变异向量的多样性，提出了d e 算法的交叉操作。于是变异向量( ，) 和原 向量x ( f ) 结合后生成了新的向量u ，( f ) = 眦，。( f ) ，：( ，) ，d ( ，) 】： = 焉三蔷三= ( j _ 1 ，2 n p ，= 1 ，2 d ) 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 式中，r a n d b 是【o ，1 1 2 _ l 日q 0 0 n 机数，r a n d r 是 1 ，d 】之间随机选择的整数，用来确保u ( ，) 至少要从k ( ，) 中获得一个元素，否则可能不会产生新的向量，那么群体也就不会更新。 c r 称为交叉常量，是 o ，l 】之间的常数，表示交叉的可能性。通过上面的变异操作和交 叉操作，我们得到了种群中每个个体产生的新个体向量，为了保持种群数量不变，接下 来就要对这些个体进行选择。d e 算法在选择过程中采用达尔文的“优胜劣汰 的原则， 可被描述如下： ，= 箍器三麓翟 此时( ) 为最小化问题中的适应度值。即如果产生的新的向量u ( ，) 的适应度值比原 个体向量五( f ) 的适应度值好，则取代原个体向量进入下一代的进化中，否则原个体向 量继续进入下一代进化中。 以上是基本的d e 算法的操作，实际应用中还有一些其它的形式。下面给出d e 算 法变异操作的几种形式，可以用符号d e x y 来表示，其中x 表示选择的被变异的变量 是随机的还是最优的：y 表示需要使用的差向量的个数： ( 1 ) d e r a n d l ： k