（基础数学专业论文）nlie超代数的分解唯一性.pdf

摘要 本文首先给出了n l i e 超代数的概念及它的一些性质；其次研究了具有 平凡中心的有限维n - l i e 超代数的分解唯一性问题，同时，讨论了它的内导 子超代数和导子超代数的分解问题；最后，研究了有关- l i e 超代数形心的 一些性质，对它在n l i e 超代数分解中的应用有了了解 本文的主要结论是： 定理1 ：如果域f 上的有限维n - l i e 超代数a 有分解 a = a l o a 2 a 为a 的非零理想，i = 1 ，2 则( 1 ) z ( a ) 有分解 z ( a ) = z ( 1 ) o z ( a 2 ) ( 2 ) 如果z ( a ) = o ，贝0 d e r a = d e r a l o d e r 2 工( a ) = 工( 1 ) o 工( a 2 ) 定理2 ：设a 是域f 上的具有平凡中心的有限维n - l i e 超代数，则 ( 1 ) a 可分解为不可分解的理想直和 ( 2 ) 如果 a = a 1 0 0 a m a = b 1o 0 b 这里a l ，a 。，b l ，玩是不可分解理想，则 m = s 且适当调刳恻事后，a = 鼠，t = 1 ，2 ，m ，即分解是唯一的 t 定理3 ：设a 是代数闭域f 上的有限维n _ l i e 超代数，则a 是不可分解 的当且仅当v r ( a ) ，曲的特征值相等 定理4 ：设a 是域f 上的不可分解的半单n l i e 超代数，则 r ( a ) = f 试 关键词；n l i e 超代数；导子；分解；不可分解；形心 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，丘r s t ，eg i v et h ed e 最n i t i o no fn l i es u p e r a i g e b r a sa ds o m e p r o p e r t i e sa b o u ti t s e c o n d ，w es t u d yt h ed e c o m p o s i t i o no f 矗i l i t ed i m e n s i o n a lm l i es u p e r a l g e b r a sw i t ht r i v i 出c e n t e ra n du i q u e n e s s ，a n d 氆 s oo b t 茧n t h ed e c o m p 0 8 i t i o n0 fi n e rs u p e r a l g e b r a sa n dd e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r a sr e - s p e c t i v e l ya c c o d i n gt ot h ed e c o m p o s i t i o n0 fn - l i es u p e r a l g e b r a s f i n a l l y ? w e s t u d ys 0 i n ep r o p e r t i 船a b o u tt h ec e n t r o i do fn l i es u p e r a l g e b r a 8 ，s ow ec a n s e ei t sa p p l i c a t i o ni nt 坨d e c o m p o s i t i o no fn l i es u p e r a l g e b r a s t h em 越nr e s u l t si nt h i sp 印e ra r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m l ：i fa6 n i t ed i m e n s i o n a ln _ l i es u p e r a l g e b r aaa v e r 丘e l df h t h ed e c o m p o s i t i o n a = a 1 0 也 w h e r ea i san o n z e mi d e “o f a ，i = 1 ，2 ，t h e nw eh a v e ( 1 ) z ( a ) h a st h ed e c o m p o s i t i o n z ( a ) = z ( a 1 ) o z ( a 2 ) ( 2 ) i fma d d i t i o n ，z ( a ) = 0 ，t h e n d e r a = d e r a lo d e r a 2 l ( a ) = l ( a 1 ) o 三( a 2 ) t h e o r e m 2 ：l e tab ea 丘n i t ed i m e n s i o n a ln l i es u p e r a l g e b r ao v e r6 e l d f 研t ht r i v i 出c e n t e r t l l e n 陀h a 、，e ( 1 ) ac a nb ed e c o m p o s e di t ot h ed i r e c ts u m o fi t 8i i l d e c o m p o s a b l ei d e a b ( 2 ) t h ed e c o m p o s i t i o no fai 8u n i q u e n e s s ，t h a ti si f a = a 1 0 - - o a 。 a n d w h e r e a l a = b 1 0 - o b s a 竹l 扭db l ，ba r ei n d e c o m p o s a b k t h e n m2s i i i a n db ya no r d e r i n go ft h es u m m a n d s a 。= b l ，t = 1 ，2 ，一，m t h e o r e m 3 ：l e tab ean l i es u p e r a l g e b r aa v e ra l g e b r a i c a l l yc l o s e d 丘e l d f ，t h e nai si n d e c o m p o s a b l ei fa n do n l yi fv 咖r ( a ) ，t h ee i g e i a l u e so f 咖 a r ee q u a l _ t h e o r e m 4 ：l e tab ea ni n d e c o m p o s a b l es e i i l i s i m p l en - l i es u p e r 以g e b r a o v c rf i c l df ，t h e nr ( a ) = f 涮 k e y w o r d s ： n _ l i e8 u p e r a l g e b r a ，d e r i v a t i o n ，d e c o i n p o s i t i o ，i n d e c o i n - p o s i t i o n ，c e n t r o i d i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：至盎闷期： i o z 口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：i 遮目指导教师签名：运垂蔓至 1i 、 日 期：型：! ：! 日期：竺：! ：! ! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：撒王旌益盍娩菹i i ! 匣 通讯地址： 电话： 邮编：生! 丛兰 引言 在1 9 8 5 年，f i l i p p o v f l 】提出了n l i e 代数的概念_ l i e 代数在几何学 及物理学上都有它的背景在1 9 7 3 年，y o i c h i r on m b u f 9 】提出了n a m b u 力 学系统一推广的h m i l t o i l i a n 力学系统，将p o i s 8 0 n 括号一相空间上的典型 的二元运算推广为高阶运算在1 9 9 3 年，l e n ot a l c l l t a j a n 1 0 从基本的恒等 式出发，推广了j a c o b i 恒等式，使其作为n a m b u 力学系统的相容性条件， 基于恒等式，l e n o 黜h t a j 提出了n a r n b up o i s s o 流形的概念n a i n b u p o i s s o n 流形在n a l b u 力学系统中与p o i s s o n 流形在h a i n i l t o n i a n 力学系统 中扮演着同样的角色，线性的p o s s i o n 括号结构等价于对偶空间的l i e 代数 结构，n 阶的线性n m b u 结构与对偶空间的n 蛐l b u l i e 代数结构一一对 应，所以n _ l i e 代数在几何学及力学系统中有着广泛的应用下面介绍n l i e 代数的概念； n _ l i e 代数a 是定义在数域f 上的具有n 元运算 ，1 的线性空间， 且，j 满足 。1 ，- 。，z n 】= ( 一1 ) 7 。 z 。( 1 ) ，- - - ，z ，m ) ( 山) 且 n z z ，一，z 。 ，驰，一，蜘 = 扛l ，一， ，驰，一，。 ，z 。( 以) = l 这里口最，r ( 口) 等于0 或1 分别基于矿是偶排列还是奇排列 映射r ( 。z ，) ：a + a ，r ( z 。，) ( 。1 ) = 。- ，z 。 称为由 z 2 ，。a 决定的右乘映射，托a ，i = l ，2 ，n m l i e 代数的导子是a 到自身的线性映射，且满足条件 n d z 1 ，- ，z 。 = 。- ，一，d 甄，一，z 。( 以) t = l 。- ，。a ，由等式( j 2 ) 知，右乘映射是导子，称其为内导子，所有导子 生成了鲥( a ) 的子代数，称为a 的导子代数，记为d e r ( a ) ，所有内导子构成 的l i e 代数记为l ( a ) 在 1 7 ，1 1 ，1 2 ，j 中，关于n - l i e 代数的可解性，幂零性，c a r t a n 子代数， 强半单性等其它性质进行了研究本文在n - l i e 代数的基础上，提出了n - l i e 超代数的概念，它与l i e 超代数有着密切的关系，就如同n - l i e 代数与l i e 代 数的关系一样本文将一l i e 代数的一些性质推广到n - “e 超代数上，目的是 研究特征为零的域f 上的有限维的n - l i e 超代数的分解唯一性及形心问题 2 1 ，预备知识 定义1 1 设a 是域f 上的超代数，且a 中有n 元运算【，】满足 下列三个条件； ( 1 ) d ( 。l ，z 。 ) = d ( z 1 ) + ，+ d ( 。)( m o d 2 )( 1 1 ) ( 2 ) z l ，- - - ，。 = ( 一1 ) 5 ( ( 一1 ) ，扣1 。# ” z 。( 1 ) ，z ，( ，) ，- ，z 。o ) ，z ，( 。) 】) ( 1 2 ) 这里。( 1 ) ，z 。( 。) ，。，z 口( 。) 是z l ，z 。的一个排列 s 是指将z ，( 1 ) j 一，。，( 。) 一，o ) ，z 。变成。1 ，z 。的所有对换的次 数 ，( 。1 ，$ 。) 是指按下列方式进行对换将z ，( 1 ) ，z ，( ，) ，z 。( ，) ，。( 。) 变成z ，z 。的所有毛一阶化次数和。 陋。( 1 ) ，z 。( 】，一，z 。( j 】，- ，。a ( n ) 】 ( 13 ) ( 一1 ) 1 ( ( 一1 ) 8 ( 。5 p ) ) 4 。4 ( j 】) + ( 4 4 4 “) ) + 8 。( ，j ( 8 ( 4 一( 件1 ) 1 + + 4 ( 。o 一) ) ) z ，( 1 ) ，- ，z 。( j ) ，z 口( 。) ，z f ( n ) 】) 忱。( 1 ) ，z ，( ；) ，t 一，。o ) ，z ，( 。) 9 ( j 4 ) ( 3 ) p 1 ，。1 ，啦，一，。1 n 一1 = ( 一1 ) ( 8 ( 9 2 ) + + 4 ( 如( d ( 。州) + + 4 ( 。n ) b 1 ，一，z 卜1 ， 粕，驰，一， ，z 件1 ，z 。】 + z l ，z 。一l ，k 。，驰，】( 14 ) 沌1 ，z 2 ，一，_ l ，北，b ( a ) 则称a 为域f 上的n _ l i e 超代数 定义1 2 若域f 上的n l i e 超代数a 中元素z l ，口。满足 则称轧，z 。是交换的若a 中任意n 个元素均是交换的，则称a 是交换 n l i e 超代数 定义1 3设a 是域f 上的m l i e 超代数，b 是a 的而一阶化子空 间，若b 满足旧，b ，引 8 ，则称b 是a 的子代数 定义14 设a 是域f 上的n - l i e 超代数，为a 的而一阶化子空间， 若满足，a ，a 1 1 j ，则称，为a 的理想 3 定义1 5设a 是域f 上的n _ l i e 超代数，则称z 2 一阶化子空间 z ( a ) = z aik ，a ，- 一，a 1 = o 为a 的中心 显然z ) 是 的理想， 定义1 6 设a 是域f 上的n _ l i e 超代数，b 是a 的子代数，令 z a ( b ) = z ab ，b ，a ，a = o ) 称磊( 劭是b 在j 4 中的中心化子 定义l7 设a 是域f 上的n l i e 超代数，d 幽( a ) ，目历，如果 d ( 陋1 ，z 。】) = 【d z l ，茁2 ，z 。】 + ( 一1 ) d ( d ( 4 ( 。1 + “+ 8 。t 一1 陋1 ，一，d 毛，r ，墨；j ( 1 5 ) = 0 比”一，z 。h ，( a ) ，称d 是a 的导子a 的所有导子的集合记为d e r a 易 知d e r a 是p f ( a ) 的子代数 命题1 1 设a 是域f 上的n - l i e 超代数，则 的所有导子组成集合 d e r a 在运算 d l ，d 2 】= d 1 d 2 一( 一1 ) 4 ( d 1 ) d ( d 2 d 2 d 1 下是l i e 超代数，称其为a 的导子超代数 其中d l ，d 2 k ( d e r a ) ，d ( i d i ，d 2 ) = d ( d 1 ) + d ( d 2 ) 定义1 8 设映射月( z ”，z 。) ：a + a ，且 r ( z 2 ，一，z 。) ( z 1 ) = ( 一1 ) 。忙1 ) ( 8 ( 。2 ) 十+ 8 ( 。n ) 陆l ，一，z 。】( 1 6 ) 称r ( z 2 ，z 。) 为由z 2 ，一，z 。a 所决定的右乘映射，v 孔h f ( ) ， 江l ，2 ，n 由( 14 ) 式知，右乘映射及其线形运算也是导子。称其为内导 子所有内导子也构成一个l i e 超代数，记为三( a ) 由( 1 4 ) 式和( 1 6 ) 式知 陋( n 1 ，d 1 ) ，r ( b l ，k 1 ) 一r ( 月扣1 ，- ，q 。一1 ) ( 6 i ) ，b ，6 。一1 )( 1 7 ) n 一1 + ( 一1 ) ( 4 ( 6 1 ) + + 4 ( 6 一1 ) ) ( 4 【8 1 ) + + 4 ( t ) 兄( b 1 ，- ，r ( 1 ，- - ，n 。一1 ) ( “) ，b 。一1 ) 定义1 9 设a 是域f 上的- l i e 超代数，如果月1 = ，圳o ， 且a 只有它本身和零两个理想，则称a 是单n - l i e 超代数 定义1 ，1 0设a 是域f 上的n - l k 超代数，i 为a 的理想，定义 j ( 8 + 1 ) = ，( 引，( 引，a ，a 】 s o 4 如果存在整数，使，( ) = o ，这里p ) = ，则称，是可解理想 若a 不包含非零可解理想，则称a 是半单一l i e 超代数 定义1 1 1设a 是域f 上的n _ l i e 超代数，为a 的理想，定义 j 5 + 1 = j 。，j ，a ，一， s 1 如果存在整数r l ，使，= o ，这里j 1 = f ，则称j 是幂零理想 特别地，若j 1 = o ，则称j 是交换的 定义1 1 2设a 是域f 上的n - l i e 超代数，a l ，a 2 是a 的两个非零理 想，若 = a l o a 2 ，则称a 是可分解的否则，称a 是不可解的 显然，若a 是单n l i e 超代数，则a 是不可分解的 命题1 2 设a 是域f 上的n l i e 超代数，v d 口( d e r a ) ，z 1 ，z 。一l k ( a ) ，则 d ，r ( z l ，z 。一1 ) 】= r ( d z l ，z 2 ，一，z ，卜1 ) ，1 一l + ( 一1 ) 4 d 4 ( 。1 斗+ 4 ( 。卜1 ) r ( 石l ，一，d 盈，一，茁。一1 ) l = 2 从而l ( a ) 是d e r a 的理想 命题13 设a 是域f 上的n l i e 超代数，a l ，a 2 是a 的两个非零理 想，若以= a l oa 2 ，则a 。的理想是a 的理想，诘l ，2 证明：不妨取忙l ，设，是a l 的理想，由于a l ，a 2 均为j 的理想， 所以 a l ，a 2 ，a ，一，a a ln a 2 = o 所以 ，a 2 ， ， 】m 1 ，a 2 ，a ，一，a 】= o 所以 j ，a ，- ， = ，a l o a 2 ，a ，一，州= j ，a h 一，a 1 1 j 因此，是a 的理想 命题14设a 是域f 上的l i e 超代数，b 是a 的子代数，则乳( b ) 是4 的子代数；如果b 是a 的理想，则巩( b ) 也是a 的理想 证明： 显然巩( | b ) 是4 的历一阶化子空间，1 勿( 且) ， z 2 ，- ，z n 9 ( 。z a ( b ) ) ，掣 9 ( b ) ，掣l ，s h 一2 九9 ( ) z l ，一，z 。】，掣，掣l ，一，掣。一2 】 = ( 一1 ) ( 4 ( ”) + “( 玑) + + 4 ( 矶，一2 ) ) ( 4 ( ) + + d ( 。n ) z l ，可，v 1 ，! h 一2 】，z 2 ，一，z n 】+ 5 + 陋1 ，一，z 。一l ，扛n ，可，1 ，- ，铷一2 ”= o 所以陋v 一，z 。】戤( 占) ，故z ( b ) 是 的子代数 v z ( b ) ，l ，一，肌。一l g ( 且) ，掣 g ( b ) ，z 1 ，z 。一2 b ( a ) b ，l ，一1 ，z t ，一，z 。一2 】 = ( 一1 ) ( 8 ( ) + 4 ( 。1 ) + + 4 ( 。n2 ) ) ( 4 ( m ) + + 4 ( 鼽1 ) ) k ，掣，z l ，z n 一2 ，甜l ，一，* i 一1 + + k ，可1 ，一，* 。一2 ，一1 ，弘z l ，- ，石。一2 】= o 所以陆，9 l ，_ 。一1 】巩( 日) ，故蟊( 日) 是a 的理想 6 2 主要结果 定理2 1如果域f 上的有限维m l i e 超代数a 有分解 a = a 1 0 a 2( 2 1 ) a 。为a 的非零理想， = l ，2 则( 1 ) z ( j 4 ) 有分解 z ( a ) = z ( a 1 ) o z ( a 2 ) ( 22 ) ( 2 ) 如果z ( a ) = o ，则 d e r a = d e r a lod 8 r a 2( 2 3 ) 工( a ) = 工( a 1 ) o 三( a 2 ) ( 2 4 ) 证明：( 1 ) 因为z ( a ，) 。，i = l ，2 ，所以z ( 且1 ) n z ( a 2 ) 1 n a 2 = o ， 易知z ( a 1 ) ，z ( a 2 ) 是z ( a ) 的磊一阶化子空间由定义1 5 及( 1 4 ) 式知， z ( a ) 是z ( a ) 的理想，持l ，2 b k z ( a 1 ) o z ( a 2 ) ，则z = z l + z 2 ，瓤z ( t ) z ( a ) ，i = 1 ，2 k a ，a = p l + 现，a 一，a 1 = o 所以z z ( a ) ，因此z ( a 1 ) o z ( 2 ) z ( a ) v 嚣z ( a ) a = a 1 0 a 2 ，则z = z 1 十z 2 ，札a t ，i = 1 ，2 陋l ，a l ，一，a 1 】= 扛一z 2 ，a 1 ，一，a l 】= o 所以z 1 z 1 ) ，同理可证z 2 z ( a 2 ) ，因此z ( a ) z ( a 1 ) o z ( a 2 ) ，故 z ( a ) = z ( a 1 ) oz ( a 2 ) ( 2 ) v d d a 1 ，将其扩张成a 的线性映射d 扛+ g ) = d z ，z a l 、g a 2 ， 贝0v z l ，一，z n a 1 ，掣l ，蜘a 2 d ( k 1 + g l ，z 。+ 抓】) = d ( k l ，z 。 + 幽1 ，- 一，】) = d ( k l ，一，岳n 】) 7 = d z l ，z 2 n 斟d + ( 一1 ) 4 d 。1 h + 。一1 陋1 ，。一，d ，。，z n 】 仁= 2 = 【d ( z l + 可1 ) ，z 2 + 耽，一，z n + 】 n + ( 一1 ) 4 ( d ( 4 ( 。1 ) + + d 2 t 一1 陋l + y 1 ，一，d ( 戤+ 鼽) ，一，嚣n + 掣n l = 2 所以d d e r a ，因此d e r a l d e r a ，同理可证d e r a 2 d e r a ，这样 d e 7 a 1 + d e r a 2 d e r a 显然，对d d e r a ，d d e r a l 当且仅当d ( a 2 ) = o ，d d e r 2 当且仅当 d ( a 1 ) = 0 v d d e r a lnd e r a 2 ，贝4d d e r 1 且d d e r a 2 ，v z = 1oa 。，则 z = z l + z 2 ，吼a ；，i = l ，2 ，因此d ( z 1 ) = o ，d ( z 2 ) = o ，而 d ( z ) = d ( z l + z 2 ) = d ( 茹1 ) 十d ( 贯2 ) = o 所以d = o ，从而d e r a l n d e r a 2 = o v d d e r a ，定义d 1 ，d 2 如下： d l ( 茁l + z 2 ) = d 扛1 ) ，d 2 ( l + z 2 ) = d ( z 2 ) ，她a t ， = 1 ，2 则 d l ( z 2 ) = d 1 ( 0 + z 2 ) = d ( 0 ) = 0 因此d 1 d e r a l ，同理可证d 2 d e r a 2 v z = z l + z 2 a = a 1 0 a 2 ，甄a ，t = 1 ，2 v d d e r a d 扛) = d ( 2 1 + z 2 ) = d ( z 1 ) + d 0 2 ) = d 1 扛1 + z 2 ) + d 2 ( z 1 + z 2 ) = ( d l + d 2 ) ( z l + z 2 ) = ( d l + d 2 ) ( z ) 所以d = d 1 + d 2 ，因此d e r a d e r a l + d e r a 2 ，故d e r a = d r a l d e r a 2 v d g ( d e r a ) ，下面证明d ( a ) a ，i = l ，2 b 0 1 9 ( 1 ) ，z 2 7 b ( a 2 ) ，z 3 ，。一，z n ，b ( a ) ， 因为 z 1 ，z 2 ，z 3 ，- - ，z 。】= o ，所以 b l ，z 2 ，d z 3 ，z 4 ，一，z n 】 = z l ，j 屹，。3 ，d 茁4 ， ，z n 8 则 d z h 石2 ，z 3 ，一，茁n 】 = = b 1 ，龅，z 3 ，一，d z 。】= o d ( k 1 ，嚣2 ，。3 ，一，z n 】) ( 一1 ) 8 ( d ) 4 0 1 ) f z l ，d z 2 ，。3 ，z 。1 n 一( 一1 ) d ( d 4 ( 。1 + + “( * 1 阢z 2 ，d 越，t l = 3 =一( 一1 ) 4 ( d ) d ( 。1 ) 陆l ，d 茁2 ，z 3 ， ，z 。 a ln 2 = o 所以 d z l ，z 2 ，z 3 ，z n 】= z 1 ，d z 2 ，z 3 ，- ，z n j = o 因为z ( a ) = o ，所以z 。) = 0 ，于是d z ；a ，i = l ，2 ，即d ( a ：) a ，= l ，2 易知d e r a 是d e r a 的恐一阶化子空问，江l ，2 最后证明d e r a 是0 8 r a 的理想 = l 2 v d 9 ( d e r ) ，d l k ( d e r a l ) ，vz 2 k ( j 4 2 ) ( d 1 ，d 】( z 2 ) = d l d 0 2 ) 一( 一1 ) d ( d 1 ) 4 ( d ) d d l ( z 2 ) 一。 所以( d 1 ，d 】d e r j 4 h 即 d e r a l ，d e r 驯d e r a l ，所以d e r a l 是d e r a 的理 想同理可证d e r a 2 是d e r a 的理想因此d e r 4 = d e r a lod e r a 2 ( 3 ) 易证得l 似1 ) ，( 2 ) 均是三( a ) 的理想，并且( a i ) n 二( a 2 ) = o 由定 义1 8 宣接计算得三( a i ) o ( a 2 ) l ( 脚 v n l ，。，n 9 ( j 4 ) ，则毗= 孔+ 肌，札h g ( a 1 ) ，鼽h g ( a 2 ) ，i = 2 ，扎 d ( 吼) = d ( 茁，) = d ( 玑) ， = 2 ，礼v r ( 0 2 ，r 一，o 。) 工( a ) ，则 r ( 0 2 ， ，o 。) 0 1 ) = ( 1 ) 。( “1 ) ( “( 幻) + + 8 ( 8 n ) ) n 1 ，n 2 - 一，n 。】 = ( 1 ) 8 沁1 ) ( 。( 8 口) + + 4 ( 。n ) 1 q 1 ，z 2 + 2 ，z n + g n = ( 1 ) 烈4 - ) ( d ( 毗) + + 4 ( 8 n ) ) ( n 1 ，2 2 ，z 。】+ n l ，抛，聃j ) = r ( z 2 ，z 。) ( a 1 ) + 兄( 啦，一，肼。) 0 l ) = ( r ( 2 2 ，一，z 。) + 兄( 啦，一，”。) ) ( 0 1 ) 9 所以r ( 口2 ，。) = 冗( z 2 ，) + 冗渤，) ，而且( 现，z 。) 工1 ) ， r ( 抛，一，可。) l ( a 2 ) ，所以r ( 口2 ，一，n 。) 工( a 1 ) o 工( a 2 ) ，即 l ( a ) ( a 1 ) ol ( a 2 ) ，因此工( a ) = ( j 4 1 ) o 工( a 2 ) 引理2 1 设a 是域f 上的n l i e 超代数，a = a lo 2 ，a 为 的非 零理想，江l ，2 b 是a 的邑一阶化子空间，a 1c b ，则有 b = l o ( b n a 2 ) 证明：易知a 1 ，b n a 2 均为b 的邑一阶化子空间因为 l ，b ，一，b 】1 ，a ，一，a 】a 1 所以a 1 是日的理想因为 f _ b n a 2 ，b ，b 】b ( 25 ) b n a 2 ，b ，- ，b 】2 ，a ，- ，捌a 2 所以 b n 也，b ，一，b 】b n a 2 故b n a 2 是b 的理想由a = a 1 0 a 2 知 j 4 l n ( br a 2 ) = ( a l n 口) n a 2 = a 1 n a 2 = 0 v 6 b ，由a = a 1o a 2 及b 是a 的忍一阶化子空间知b = 。l + z 2 ，孔a ， i = l ，2 ，而z 1 a l b ，则石2 = 6 一z 1 b ，因此z 2 a 2nb ，所以 6 = 2 1 + z 2 a l o ( 2 n b ) ，点斤以b a 1 0 ( a 2 n b ) ，显然，a 1 0 ( a 2 n b ) 日， 因此( 25 ) 式成立 定义2 1 设a 是域f 上的n l i e 超代数，线性映射曲：4 一a ，满足 ( a 日) 山，目邑，即d ( 毋) = o ，且v 。；a ，l = l ，2 ，一，几 曲( 0 l ，一，n n ) = f 妒( n 1 ) ，- ，毋( n 。) ( 26 ) 则称西是a 的自同态 若0 是单( 满) 映射，则称是单( 满) 同态 若毋是双射，则称毋是同构映射 1 0 定义2 2 设西是域f 上的n l i e 超代数a 的自同态，若西满足 曲兄( n 1 ，一，n n l ) = r ( 。l ，一，n n 1 ) 西b h l ，。一1 a( 2 7 ) 则称是a 的a 一自同态 例2 1 设a 是域f 上的- l i e 超代数，且= a l o a 2 ，a 为a 的非零 理想，扛1 ，2 ”是a 到a l 的投影，则 是a 的小自同态 例2 2 ( 1 ) 著曲是域f 上的n l i e 超代数a 的自同态，是任意正整 数，则扩也是a 的自同态 ( 2 ) 若妒是域f 上的l i e 超代数a 的a 一自同态，女是任意正整数， 则扩也是a 的a _ 自同态 引理2 2 设a 是域f 上的n l i e 超代数，咖是 的小自同态，则存 在，使得 ( 1 ) a 有如下分解 a = k e r 扩oj m 扩 ( 28 ) ( 2 ) 若a 是不可分解的，则 = o 或4 t ( a )( 2 9 ) 证明： ( 1 ) 显然女e r 矿，j m 矿是a 的子空间，e r 扩+ ，m 扩a 下证a e r 矿+ ，m 扩 令，( ) = g ( t ) 是的最小多项式，这里( t ，9 ( ) ) = 1 ，则存在多项式( t ) ， ( t ) 使9 ( ) “( t ) + 矿”( t ) = l ，从而9 ( 西) “( + ( ) 矿= j ( j 表示a 的恒等变换) ， 则v a ，y = 9 ( ) u ( 曲) ( g ) + 扩 ( 纠( g ) ，因为，( t ) 是曲的最小多项式，所以 ，= o ，从而 咖2 ( g ( 曲) u ( ) ( 掣) ) = ( 曲g ( 曲) ) ( “( 曲) ( 可) ) = ，( 毋) ( u ( 曲) ( ) ) =0 所以9 ( 毋) u ( ) ( g ) e r 矿，显然扩 ( ) ( ) ，m 矿，故a e r 矿+ h l 扩 v 口 e r 扩n ，m 矿，则扩( g ) = o ，且存在帅a ，使9 = 矿( 如) ，所以 可 =9 ( 毋) “( 西) ( 剪) + 口( ) ( ) = 9 ( 毋) u ( 曲) 曲( o ) + ( 曲) 曲“( 9 ) 1 1 = ，( ) ( 妒) ( s 船) 十o = o 于是a = e r 扩 j m 扩 令七e 7 0 曲2 = a 6n 七e r 曲2 ，七e 7 i 曲= 4 in 七e r ，贝0 易知七e r 毋= 七e 矿。血e ”i 2 ， 所以k e r 矿是a 的z 2 一阶化子空间同理可证，m 扩是a 的玩一阶化子空 间 忱1 e r 扩，z 2 ，z 。且，有扩( z 1 ) = o ，因为咖是a 的自同态，由例2 2 知 扩也是a 的自同态所以 ( k ，z 。】) = 矿( z 1 ) ，咖( z 。) 】 = o ，( 。2 ) ，。( 。) =o 即 e r 矿，a ，州e r 扩，所以e r 矿为a 的理想 v ，m 扩，则存在珈a ，使= 矿( 珈) ，因为自是a 的小自同态，由例2 2 知矿是a 的小自同态，所以h ，z 。一l 9 ( a ) b ，z 1 ，z 。一1 】= 咖2 ( 珈) ，1 ，z 。一1 1 =( 一1 ) d ( 币( _ 。) ) ( 8 0 ) + + 8 ( 。川) ) r ( 。1 ，一，z 。一1 ) ( 咖( s 帕) ) = ( 一1 ) ( d ( 审) + 4 ( 如) ) ( d ( 。- ) + + 4 ( 。川) ( r ( z 1 ，一，z 。一1 ) ) ( ! 町) = ( 一1 ) 4 ( 如) ( 4 ( 。1 ) + + d ( 。n - ) ( 扩r ( z l ，一，茹。一1 ) ) ( ! 0 ) = 矿，z ”一，。一l 】 m 扩 其中d ( 扩) = o ，即f ，m 矿，a ，州，m 扩，所以j m 矿是a 的理想因此 j 4 = 肫r 扩o ，m 矿 ( 2 ) 若a 是不可分解，则由( 1 ) 知，女e r 矿= a ，j m 扩= o 或 ，m 扩= ，e r 扩= o ，从而矿= o 或扩 ( a ) 下证a u t ( a ) 比，9 a ，若( z ) = 咖( v ) ，贝4 一1 西( z ) = 一1 ( g ) ，目口。( z ) = 矿( y ) ，由 矿a u ( a ) 知z = 玑故砂是单射 均a ，由a ( a ) 知存在珈a 使曲( 珈) = 玑即咖( 曲一1 ( 珈) ) = 9 ，故 是满射而西又是同态，从而毋a u t ( a ) 引理2 3设 是域f 上的不可分解n _ l i e 超代数，1 ，和壹也 t = 1 1 2 ( j = 1 ，2 ，一，m ) 都是a 的a 一自同态且 母l + + 母。= 佩( 2 1 0 ) 则存在指标t ，使得也a “t ( a ) 证明：对m 使用归纳法证明 当m = l 时，结论显然成立 当m = 2 时，因为也+ 向= d ，所以l ( l + 加) = ( l + 如) 机，从而1 2 = 2 曲1 若1 ，也g a u t ( a ) ，由引理22 ( 2 ) 知，存在，扛1 ，2 ，使得毋= o ，江1 ，2 选 取k h + 乜，则以= ( 1 + 也) = q 硝_ j 镌= o ，矛盾，所以l a 位( a ) j - u 或廿2 a u t ( a ) 如果m 2 ，令妒= 莹1 也，则妒，均是 的小自同态且妒+ 如= d ，从 上面讨论知， 毋。a “t ( a ) 或妒胤f ( a ) 第一种情况时引理显然成立第 二种情况时，即妒 u t ( a ) ，有妒- 。，妒l 妒，一l 妒一1 都是a 的a 一自同 态且莹1 也妒一1 = i d ，由归纳假设知，存在指标l ，使得妒1 j 4 n ( a ) ，所以 l = l 也a 谢( a ) 定理2 2设a 是域f 上的具有平凡中心的有限维n - l i e 超代数，则 ( 1 m 可分解为不可分解的理想直和 ( 2 ) 如果 a = 以10 o a m a = 日l o - o b 8 这里a h 一，a 。，b h ，玩是不可分解理想，则 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 且适当调节顺序后，a = 最，江1 ，2 ，m 即分解是唯一的 证明： 对a 的维数用归纳法易证结论( 1 ) 现对s 用归纳法证明结论( 2 ) 当s = l 时，4 = b 1 ，而b l 是不可分解的，所以a 是不可分解的，所以 m = s = l ，a l = 毋= a 现设s 1 ，因此m l ，假设s l 时结论成立 设对于( 2 1 1 ) 式来说，j 4 到a 1 的投影为”：a ，a 1 ，a 1 到a 的嵌入为 1 3 a ：a 1 一a 对于( 2 1 2 ) 式来说，a 到b 。的投影为风 嵌入为t ：b f a ，i = 1 ，2 ，s ，所以，m ，几和 的小自同态，且p 1 + p 2 + + 出= i 以，设 丌：= 丌丁i = 霄i b 。：丑 一+ a 1 a 一旦，鼠到a 的 壹胁( 1 j s ) 都是 硝= n 盯= 胁i a ，：a 1 叫且t = 1 ，2 ，一，s 则口；心是a 的自同态，z = 1 ，2 ，s 又因为v z l ，z n b ( a 1 ) p ；兄( z 2 ，一，z 。) ( z 1 ) = ( 一1 ) 8 扣- ) ( 8 ( 。z ) + + 8 ( 。“) ) p 。【z l ，z 。】 =( 一1 ) 武2 1 ) ( d ( 2 j ) + 一+ 4 扛“) ) 丌【p t ( z 1 ) ，z 2 ，一，茁n 】 = ( 一1 ) 4 ( 2 1 ) ( 4 ( 2 2 ) + + 4 ( 2 n ) 丌p i ( 茁1 ) ，z 2 ，一，z 。 = 兄( z 2 ，z n ) 7 r p t ( 。1 ) = r ( 耽，z 。) ”；席( z 1 ) 所以口；p ：r ( z 2 ，。) = r ( z 2 ，z 。) ；瞄因此”；硝是a 1 的a l 一自同态 定义a 的小自同态 ，jj t 戊：a a ，( n 肌) 0 ) = 内 ) t = lt = l t = l v z a ，所以 ”( n 以) a = 嵋p 净”+ m l a 。 t = 1t ；li 等l 是且l 的a l 自同态对于v n a l 有 即壹”；心：i d ，由引理2 3 ，存在指标 ，使得 ；心a “t ( a 1 ) ，适当调整 t = 1 b l ，b 的顺序，使= 1 ，则”；硝a 疵( a ) ，所以硝：a l ，且是双射设 则 a + = a 2 0 o a m b + = 玩o 9 风 z ( a ) = z ( b + ) = o ，a + = h ( a 1 ) ，b + = j ( b 1 ) 1 4 口 店 疗 ， | | 勘p 。酣 ” 互4 ( a + ) = a l ，互4 ( 且+ ) = b 1 ，b + = 七e r p l 所以 o = 七e r 硝= a l n 七e r p l = a 1 n b + icz ，4 ( b + ) = b l 由引理2 1 知，b 1 = a o ( b ln 卅) ，这与b i 不可分解矛盾，所以b i = a l ， 因此a + = b