（固体力学专业论文）薄板弯曲问题的塑性铰线法应用研究.pdf

辽宁工瑕按术大举疆士学搜谂文 n o l 臻安 薄擞是工穰结构孛比较常熙的一种构件，薄板的塑性极跟程结构的承载力分 辑中占霄缀重要懿逮往，蔑辩逸器戆薄叛的鎏穗穰黻分辑，鸯多释方法，有蕊爵 以得到解析解答。在规则边界的薄板的妲性极限分析过程中，通常会脊产生塑性 铰线这现象。瓣予实赣逶行分据，褥爨一个络论，郡虢是在不耀夏l 边赛款薄板 当达到魍性极限状态时，也会出现想性铰线现象。但由于不规则边界遮一主要黝 素，餮簿塑蛙铰凌翦霞嚣露走囊其骞不璇是整。本文藏矮塑蛙铰线法锋潞足耱不 舰则边界的薄板进行了激性极限的分析工作，具有定的理论意义和实际应用价 谴。 在论文的第一章中，主要阐述了结构黧性极限分析的研究现状，概述了论文 熬主要内容鞋及论文磷究戆意义。第二鞠第三肇孛，论文系统黩论述了应力分耩 的主要细识和榭料塑性分析的然本理论，这些为对不蕊则薄板的塑性檄限分拆魏 定了瑷逢基础。在论文瓣凳露鬻薰，详壤遗搀撂并建囊7 薄投窍麴戆数学模螯， 为后面爨体分析不规则薄板塑缎极限势应蠲鳖性铰线法提供了理论准备。在第赢 章里，黄毙应鼹粱模型墩熊了躐影薄叛戆黧性叛隈，然蓐缭滋了多边形薄板塑瞧 极限分瓣豹塑拣铰线法的原理，最君壤塑性铰线法具体应藤予尼秘不勰列豹薄 援。 研究的结果表明，薄扳塑性铰线的出现位爱与薄板豹边界形状、薄板边界的 约束跨凝和薄援赝承受的横向鼗蘸毒关。但规镣之一怒多边形薄板的爨性铰线部 从边界角点出发。另夕 ，在承受集中载荷作用对，塑性被线汇交于集中载荷的作 矮点。一般情况戆鋈羧铰线的虢寇，爨多豹是依靠经骏。 关键弼；塑性极限分辑挠度投巨蘸载辇挂铰线法 辽宁工毽技术大学疆圭学娆论文 n o l l a b s 蕈慰k c 譬 t h i np l a t ei sac o i n m o nc o m p o n e n ti ne n g i n e e r i n gc o n s t r u c t i o n , t h ep l a s f i cl i m i t o c c u p i e sa l li m p o r t a n tp l a c ei nt h el o a db e a r i n gc a p a c i t ya n a l y s i s t h e r ea r e m a n yw a y si np l a s f i cl i m i ta n a l y s i so f r e g u l a r 饿mp l a t e s o m ec a l lg e th o l o m o r p h y s o l u t i o n s i nt h ec o u r s eo f p l a s t i cl i m i ta n a l y s i s ，m a y b et h e r ea r et h ep h e n o m e n ao f p r o d u c i n gy i e l d - l i n e ，翻黔e x p e r i m e n t a la n a l y s i sg e t ss u c hac o n c l u s i o n ，t h a ti s ，w h e n t h ei r r e g u l a rt h i np l a t ei si nt h es t a t eo f p l a s t i cl i m i t 。t h ep h e n o m e n ao f p r o d u c i n g y i e l d - l i n em a y b eo c c u r b u tt h ei r r e g n t a rb o r d e rm a k e st h ep o s i t i o na n dd i r e c t i o no f y i e l d - l i n ei n d e f i n i t e 。强oa r t i c t ea p p t i e st h ey i e t d - i i n et h e o r yt ot h ep l a s t i ci i m i t a n a l y s i sw o r ko f i r r e g u l a rb o r d e rt h i np l a t e t h ea r t i c l eh a st h e o r e t i cs i g n i f i c a n c ea n d p r a c t i c a lv a l u e i nt h ef i r s tc h a p t e ro f t h ea r t i c l e ，t h ep r e s e n ts t u d y i n gs i t u a t i o no f s t r u c t u r ep l a s t i c 1 i m i ta n a l y s i si si l l u s t r a t e da n di ta l s og e n e r a l i z e st h em a i nc e n t e n ta n dt h e s i g n i f i c a n c eo f t h ep a p e rr e s e a r c h 。i nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r , t h ep a p e r s y s t e m a t i c a l l yd i s s e r t a t e st h em a i nk n o w l e d g eo f s t r e s sa n a l y s i sa n dt h eb a s i ct h e o r y o f m a t e d a lp l a s t i ca n a l y s i sw h i c hf o u n d e dab a s i sf o rp l a s t i cl i m i ta n a l y s i so f i r r e g u l a r b o r d e rt h i np l a t e i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h em a t h e m a t i cp a t t e ro f s l i c ec u l w ei sd e d u c e d a n df o u n d e d ，w h i c hp r o v i d e dt h et h e o r e t i cb a s i sf o rt h ea n a l y s i so f i r r e g u l a rt h i n 瘩蹴p l a s t i c 。l i m i ta n dt h ea p p l i c a t i o no f y i e l d - l i n et h e o r y i n 氇ef i f t hc h a p t e r , f i r s t l y a p p l i e st h eg i r d e r p a t t e r nt os o l v et h ep l a s t i cl i m i to f c i r c l et h i np l a t e a n do f f e rt h e y i e l d - l i n et h e o r yo f p l a s t i cl i m i ta n a l y s i so f m u l t i - b o r d e rt h i np l a t ea n df i n a l l ya p p l y t h ey i e l d - l i n et h e o r yt os e v e r a lk i n d so f i r r e g u l a rt h i np l a t e 。 t h er e s e a r c hr e s u l ts h o w st h a tt h ea p p e a r i n gp o s i t i 0 且o f t h ey i e l d - l i n e 。t h eb o r d e r s h a p eo f s l i c e , t h eb o r d e rs t a t er e s t r a i n ts t a t ei sr e l a t e d 协t h el a n d s c a p eo r i e n t a t i o n l o a do nt h et h i np l a t e o n eo f t h er u l e si st h a tt h ey i e l d - l i n eo f t h em u l t i - b o r d e r 氇i n p l a t es t r e t c hf r o mt h ea n g l ep o i n to nt h eb o r d e nb e s i d e s ，w h e na c c e p t e dt h ec e n t r a l l o a d ，y i e l d - l i n el i n ku p o nt h ep o i n to f c e n t r a ll o a d 。g e n e r a l l y , t h ec o n f i r m a t i o no f t h e y i e l d l i n em o r ed e p e n d so ne x p e r i e n c e k e yw o r d s ：p l a s t i cl i m i ta n a l y s i s t h el o a db e a r i n gc a p a c i t yd e f l e c t i o ny i e l d - l i n e t h e o r y 辽宁工程技术大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 确定极限承载能力有两类方法：一类方法是首先建立结构材料的弹塑性本构 关系，然后结合物体的运动微分方程，几何方程，根据具体问题的边界条件和初 始条件，以及荷载历史，应用解析解法或数值解法，逐步求解结构中的应力和变 形，求得极限承载能力。这类方法是以弹塑性变形理论为基础的研究方法【l , 2 j 。 由于材料本构关系复杂，因而结构的弹塑性分析一般采用增量分析法，这种分析 方法一般要追踪外载变化和结构变形历史一步一步地求解，而且弹性区和塑性区 的交界面在结构加载过程中也不断地变化。所以利用这类方法解决实际工程问题 时，往往遇到许多数学上的困难，只有对比较简单的问题才能得到解答。另外， 应用弹塑性一般理论求解具体工程问题费用较高。这都影响了这种方法在实际工 程中的应用。 第二类方法是假设材料为刚塑性的，并按塑性变形规律研究结构达到塑性极 限状态时的行为。研究结构在塑性极限状态时的理论称为结构塑性极限分析理论 3 - 7 。刚塑性体在荷载作用下，可以不考虑弹性变形，当荷载达到某一数值，并 保持荷载不变的情况下，物体会发生无限制的塑性变形塑性流动( 或称破坏 状态) ，按照比例加载求出对应的极限荷载。值得指出的是，这种由直接对塑性 极限状态极限分析得到的结果，与由弹性状态到弹塑性状态再到塑性极限状态进 行分析得到的结果是完全一致的。对于结构塑性极限分析，可以解决以下三个方 面的问题：( 1 ) 求出结构的极限荷载；( 2 ) 得出极限荷载作用下结构中应力的分 布规律；( 3 ) 求出结构在极限状态下满足塑性变形规律和结构机动条件的破损机 构。这种方法避开了弹塑性全过程分析，直接计算结构的破坏荷载( 即结构的 极限荷载) 。因此将塑性极限分析用于结构设计和结构分析时，是一种可靠而简 便的方法。 1 2 塑性极限分析的发展史及研究现状 人们很早就发现塑性变形现象，然而进行塑性力学的研究是从l1 7 3 年c a c o u l o m b 提出塑性固体( 主要是土坡) 的屈服条件开始的。关于金属塑性力学的研 究，最早始于法国工程师屈雷斯卡( h t r e s c a ) ，他于1 8 6 4 年公布了关于冲压和 挤压的一些初步实验报告。根据这些实脸，他认为金属在最大剪应力达到某临 辽宁工程技术大学硕士学位论文 界值时就发生塑性屈服，也即提出了最大剪应力屈服条件，自此之后，塑性力学 便受到了广泛的重视。但是，由于塑性力学中本构关系的复杂性，塑性力学的发 展是缓慢的，塑性极限分析理论也不可能系统的发展起来。自从本世纪五十年代 初期美国的桌柯( d d r u c k e r ) 从稳定材料的定义出发、讨论了塑性势函数，证明 了塑性应变率与屈服面的正交性，并提出了与屈服条件相关联的塑性流动法则之 后，塑性极限分析的理论和方法都得到了较大的发展。桌柯( d d r u c k e r ) 、普拉 格( w p r a g e r ) 、格林贝尔格( h j g r e e n b e r 曲曾对理想弹塑性模型的平面和空间 问题的上、下限定理进行了研究，而希尔( 限h i l l ) 贝u 用理想刚塑性模型对最大 塑性功原理和最小塑性功原理进行了论证。这两种基于不同变形体模型的论证计 算得到的极限荷载是一致的。 对于极限分析中上、下限定理的研究开始较早。在1 9 1 4 年，卡金契 ( v o n k a z i n c z y ) 和基斯特( n c 鼬s t ) 便对连续梁的极限承载能力进行了研究，提 出了只要满足平衡条件，而在梁的任何截面上都没有使梁破坏的弯矩时，则结构 便不至于破坏。这实际上是下限定理的萌芽。此后，英格斯莱夫( a i n g e r s l e v ) 和约翰逊( k w j o h a n s e n ) 提出了用塑性铰线求板的极限荷载的理论。格握兹捷 夫又就杆系结构和混凝土结构提出了确定极限承载能力上限和下限的准则。布洛 克( j a v a n d e nb r o e k ) ，尔然尼采、尼尔( b gn e a l ) 、贝克( j f b a k e r ) 和浩 恩( m r h o m e ) 都先后写出了有关极限分析和极限设计的专著，对在工程上确 定结构的安全度提供了实用的分析方法。这样，塑性极限分析便逐步成为塑性力 学中能够应用于解决工程实际问题的一个重要分支。在1 9 4 8 年，苏联的费因别 尔格曾用逻辑推理的方法广义的论证了上限定理和下限定理。 关于梁和刚架的极限分析，目前的研究比较完整。对于这一类问题的分析， 已经发展了许多方法，如不等式法与机构叠加法等。求解这一类问题的数学计算 比较简单，其平衡方程式是用代数方程表示的，极限条件也很简单这类结构主 要承受弯矩的作用，因而它的广义应力只有弯矩肘。对于刚塑性材料的梁和刚 架来说，在弯矩m 小于它的塑性极限弯矩时，结构不会出现变形。一般来说， 结构的超静定次数是有限的，因此大多数结构都能利用上、下限定理找到它的完 全解。特别是在尼尔和赛蒙兹( ( p s s y m o n d s ) 提出机构叠加法后，对于较复杂 的连续梁和刚架都能比较有效地进行塑性极限分析，并且得出和实际比较接近的 极限荷载。 辽宁工程技术大学硕士学位论文 板和壳的极限分析比梁和刚架的极限分析要困难些，其原因是这类结构的平 衡方程均为偏微分方程，其用广义应力表示的极限条件往往又是非线性的，因此， 只有比较简单的问题才能找到它的完全解。在这一领域中，有很多方法，而其中 较为简单又十分精确的方法就是塑性铰线法，塑性铰线法研究板可能出现的各种 破坏图形，确定可能的机动容许的位移场，从而求出板的极限荷载。这种方法 的出现，不仅使求解问题更加方便，而且进一步推动了塑性极限分析这门学科的 发展。 1 3 本文研究的任务和意义 对于实际工程，人们最感兴趣的不是结构在变成塑性机构前的应力和变形， 而是结构的极限荷载。塑性极限分析的最大优点就在于挖掘了结构的抗载能力， 而此法却不必考虑应力重新分配的过程和变化规律，只是从可能的最终结果着手 处理问题，这便为数学处理上带来了很大的方便。对于较复杂的结构，找出极限 荷载的完全解几乎是不可能，在这种情况下，运用极限分析的上限定理和下限定 理分别求得并讨论极限荷载的上限解、下限解是很有必要的。从工程实用角度出 发，塑性极限分析方法不仅比弹塑性分析方法计算简便得多，给出的结果也有意 义得多。 由于塑性极限分析具有独到之处，因此已成为近代塑性力学中具有实际意义 的而又卓有成效的课题之一，是实用塑性力学的重要分支。目前，基于结构优化 设计、结构可靠度分析等各方面的需要，塑性极限分析已在建筑结构、金属成型 和航天工业等各领域得到了广泛的、有效的应用和发展。尤其是当外荷载不断增 加，致使结构某些部位屈服或开裂时，结构的应力将不断地进行调整。因此，按 传统的弹性方法进行计算分析时，材料的利用率很低，这样用塑性极限分析理论 系统深入地研究结构的极限状态及超载能力就有着十分重要的意义。 1 4 本文研究的主要内容 对结构进行塑性极限分析的方法有很多，例如力矩分配法，机构迭加法，不 等式法等。这些方法虽然可以避免结构破坏前弹塑性全过程分析并求出极限荷载 值，但这些分析方法在使用上却受到了限制，力矩分配法，机构迭加法，不等式 法，仅适用于梁和刚架的极限分析，却不适用于板结构的极限分析。能量法是适 用于板、壳体结构的极限分析的一种方法。除此之外，最早由i n g e r s l e v 提出的 辽宁工程技术大学硕士学位论文 4 塑性铰线法由于具有简单又十分精确的特点，尤其在板结构的极限分析方面，具 有不可比拟的优势。 本文在吸收国内外研究成果的基础上，采用塑性铰线法对板结构的极限状态 和极限荷载问题进行研究，具体研究内容如下： 1 ) 介绍了塑性极限分析方法的发展及国内外的研究状况； 2 ) 建立薄板的力学分析模型，论证了应力与应变之间的协调关系： 3 ) 概述了极限分析的理论及计算方法； 4 ) 建立了薄板弯曲的数学模型，通过薄板的平衡方程、物理方程、几何方 程三个基本方程，建立了薄板弯曲的挠曲微分方程，并讨论了板的内力及固支边 位移边界条件、简支边混合边界条件等边界条件的意义； 5 ) 系统论述了塑性铰线法的原理，把塑性极限分析理论和塑性铰线法应用 于各种力的作用下的弹性薄板，并对上、下限定理求得的极限荷载进行比较，说 明塑性铰线法分析结果的正确性； 6 ) 对论文所作的工作进行了总结。 辽宁工程技术大学硕士学位论文 2 应力与应变分析理论基础 2 1 一点的应力状态 为了研究一点p 处的应力状态，在p 点处沿坐标轴x 、y 、z 方向取一个微 小的平行六面体，如图2 - 1 ，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方 向重合，各边长分别为x 、缈、z ，假定应力在各面上均匀分布，于是各面 上的应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力分量。按前面约定的表示法， 图2 1 给出的各应力分 量均为正方向。 由图2 1 可知，当 微小的平行六面体趋于 无穷小时，六面体上的 应力就代表p 点处的应 力嘲。因此，p 点处的 应力分量共有9 个，其 中有3 个正应力分量、6 个切应力分 f i g 2 1s t r e s sp i c t u r e 量( 根据切应力分量互等 定理，实际上独立的切应力分量只有3 个) 。把这9 个切应力分量按一定规则排 列，令其中每一行为过p 点的一个面上的3 个应力分量，即 f 仃。f 掣i x z f f盯，f 彤 【f 。 f 础盯： 以上这9 个应力分量定义一个新的量z ，它描绘了一种物理现象，即p 点处 的应力状态。是对坐标系o x y z言的，当坐标系变换时，它们按一定的变换 式变换成另一坐标系0 x y r 中的9 个量 r lt l r j f j ，t f x ：t f m 盯，f ，z 【r z rf z t y 盯r 这9 个分量描绘同一点p 的同一物理现象，所以它们定义的仍为。而仃，、 辽宁工程技术大学硕士学位论文 盯。这9 个量就称为的元素。数学上，在坐标变换时，服从变换式的9 个数 所定义的量叫做二阶张量。根据这一定义，是一个二阶张量，并称为应力张量。 且可证明应力张量为一对称的二阶张量。各应力分量即为应力张量的元素。 应力张量通常表示为仃。 r l 吒k 盯f = lf f 盯， f 盯l ( 2 - 1 ) l k c r z j 其中f ，= x ，y ，z ，当f ，任取x ，y ，z 时，便得到相应的分量 应当指出，物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，即非均匀分布的。 亦即各点的应力分量应为坐标g ，j ，z 的函数。所以，应力张量o r 。与给定点的空 间位置有关，谈到应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的，应力张量完 全确定了一点的应力状态。 2 2 主应力、主方向与应力不变量 在三维的情况下，在任意一点d 附近取出一微小四面体单元o a b c ，斜面 a b c 的外法线为n 。如图2 - 2 ，如令斜面a b c 的面积为1 ，则三角形o b c 、o a c 、 o a b 的面积分别为 1 c o s ( r ，x ) = ，1 1 c o s ( n ，y ) = 1 2 1 c o s ( b ，z ) = 1 3 图2 - 2 中的微小四面体上力的平衡 方程为 p j = 盯x i l + f 口，2 + f e f 3 p ，= 7 f ，i + 盯，2 + r g l 3 ( 2 - 2 ) p z = f 硝，l + f “f 2 + 盯z 1 3 图2 2 点的应力状态图 f i g 2 2t h es t r e s sc o n d i t i o no f ap o i n t 在过受力物体内一点任意方向的微小面元上，一般都有正应力与切应力， 不同方向的面元上这些应力有不同的数值。当此微小面元转动时，它的法线方向 随之转动，面元上的正应力盯。与切应力f 。的方向和它们的值也都要发生变化。 辽宁工程技术大学硕士学位论文 在打方向不断改变的过程中，必然要出现这样的情况，即面元上只有正应力盯。， 而切应力r 。等于零。我们把这时面元的法线方向栉称为主方向，相应的正应力盯。 称为主应力，盯。所在的面称为主平面。以下将说明，物体上任一点都有三个主 应力和相应的三个主方向。 在图2 - 2 中，如令以、p ，、p ：为a b c 面上单位面积面力芦的三个分量， 则有 p 2 = p ：+ p ；+ p ； ( 2 3 ) a b c 面上的正应力盯。即为 盯。= p x ，i + py ，2 + p z ，3 ( 2 - 4 ) 将图2 2 中微小四面体上力的平衡方程( 2 2 ) 代人式( 2 4 ) 得 盯n 2 ( 盯：，+ 7 ”0 + 7 7 ，3 ) + ( 7 一，l ，盯，：+ 7 一厶) z + ( 7 “+ 7 v 7 z + 盯z 1 3 ) 1 3 ( 2 5 ) = 盯，；+ 盯，譬+ g r ；+ 2 ( f 彬，l ，2 + f 月，2 ，3 + f 皿f l f 3 ) 式( 2 5 ) 为n 方向( 亦即任意方向) 斜面上的正应力的表达式。该面上的切应 力为 f 2 = p 2 一盯： ( 2 6 ) 将式( 2 3 ) 及式( 2 5 ) 代人式( 2 6 ) ，可得法线方向为月的面上的切应力。 如果在一个斜面上的切应力为零，即f 。= o ，则从式( 2 - 6 ) 有盯：= p 2 ，此 时该斜面上的正应力盯。就是主应力。在这种情况下该斜面上的正应力盯。即与歹 的大小和方向完全相同。于是有 ，= p l l = 盯。i l p ，= p 1 2 = c r 。1 2 ( 2 7 ) p z = p 1 3 = 盯。1 3 将式( 2 7 ) 代人图2 - 2 种微小四面体上力的平衡方程( 2 2 ) 得 盯j l l + f 材，2 + f 越，= 仃n l l f f ，1 + 盯，2 + z y z l 3 = 盯 ，2 ( 2 8 ) f 口，1 + f 理f 2 + 盯z 1 3 = 仃n 1 3 式( 2 8 ) 可改写为 ( 盯。一盯。) ，l + f ，2 + f q ，3 = o f f f l + ( 盯，一盯。) ，2 + f 月，= o f “f l + f “f 2 + ( 盯：一盯。) ，3 = o ( 2 9 ) 辽宁工程技术大学硕士学位论文 毛= 锰葛 1 卜l ；+ 1 ；= 1 ( 2 1 1 ) 解。由于式( 2 1 0 ) 说明，。，1 ：，1 ，这三个方向余弦不可能同时等于零，所以式( 2 9 ) i 盯。主盯”盯，! 盯。盯：享二i = 。 c 2 - 2 ， ( 盯，一盯口) ( 仃，一仃n ) ( 盯z 一盯。) + t x y t 月f 缸+ f 删f 月f 巧 仃：一1 1 _ r ：+ 1 2 0 。一1 3 = 0 ( 2 1 3 ) 1 2 = o - x o y + 盯x 盯z + 仃：盯，一r 掣2 一f ”2 一f 辩2 ( 2 - 1 4 ) l ：陲z 到 | k 吒 方程( 2 1 3 ) 是关于盯。的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相 辽宁工程技术大学硕士学位论文 应的三个方向余弦对应于三个主平面。方程( 2 1 3 ) 的三个根都是实根，因为， 式( 2 9 ) 说明主应力是应力张量o r 。的特征值，式( 2 1 2 ) 或式( 2 - 1 3 ) 为特征 方程。因应力张量为对称张量，其各元素均为实数，故必有实特征根，即三个主 应力都是实数，其方向余弦为应力张量o r 。的特征向量。方程( 2 1 3 ) 的三个根 均为实数的证明还可以从三次方程根的性质的代数理论中得到。至于其方向，可 以通过将三个主应力若三个主应力互不相等，即分别代人式( 2 9 ) ( 及将主应力 o r 换为o r 。) 再利用式( 2 1 1 ) 而求得。可以证明，方程( 2 1 3 ) 无重根。则它们 的方向即为主方向，且必互相垂直。还可以进一步讨论方程( 2 1 3 ) 有两个或三 个重根的情况。 主应力的大小与左边选择无关，故方程( 2 1 3 ) 的三个系数j 。，j ：，j ，也必与 左边选择无关，不然的话，主应力就要随坐标选择的不同而变化，所以i 。，1 2 , 1 ， 为不变量，分别称为第一、第二、第三应力张量的不变量，简称为应力不变量。 解方程( 2 1 3 ) 后，得到所考虑点的三个主应力，从大n d , 记为q ，o r ：，o r ， 即o r l o r 2 o r 3 。 如果坐标轴恰与主方向重合，则应力不变量用主应力表示为 1 12 0 r l + 仃2 + o r 3 1 2 = o r l o r 2 + 盯2 0 r 3 + o r l 盯3 ( 2 1 5 ) 1 32o r i o r 2 0 r 3 f i g 2 - 3p r i n c i p a ls t r e s sp i c t u r e 辽宁工程技术大学硕士学位论文 1 0 以主应力吼，盯：，方向的方向为坐标轴( 记为1 、2 、3 ) 的几何空间，称为 主向空间或主应力空间。要了解在主向空间任意斜面上的应力，可假定某一斜面 的应力矢量为芦，该斜面的方向余弦为l 。、l ：、1 ，如图2 - 3 ，注意到芦在坐标 轴方向的三个投影分别为p 。= o r i l 。、p ：= 盯2 1 2 、p ，= 吒，于是该面上的正应 力盯与切应力f 的关系为 口22 p 2 一f 2 2 p ：2 ：，z 2 _ ：! ，2 一：，( 2 - 1 6 ) = 砰，卜面譬+ 西日一f 2 由于盯= p i l l + p 2 ，2 + p 3 ，3 = 盯l l ? + 盯2 日+ 盯3 f ； ( 2 1 7 ) 故有f = 4 a r 2 l ：+ 盯：2 t ：2 + 盯；日一p 。砰+ 盯：霹+ 盯，f ；r ( 2 1 8 ) 2 3 球张量与应力偏量 = 盯+ s 口 ( 2 1 9 ) 盯= 雎曼 j 。= 盯。；”盯，。盯：羔。 j # = l f 掣盯，一盯埘f ” i f 麒 f 片 盯z 一盯埘l o m = 言b 。一也) = 三h 托坞) 。 盯可定义为球形应力张量，简称球张量；而瓯则称为偏斜应力张量，简称应力 辽宁工程技术大学硕士学位论文 偏量。 球张量表示一种“球形”应力状态。实际上，在主向空间内，如令一斜面上 的应力矢量为，其沿l 、2 、3 轴的分量为 p i = 盯1 1 1 、p 2 = t l r 2 1 2 、p 3 = 盯3 1 3 代入式( 2 1 1 ) 后则得 乏 2 1 0 3 图2 4 ( a ) 应力偏张量 f i g 2 - 4 ( a ) s t r e s sb i a st e n s o rp i c t u r e 图2 - 4 ( b ) 应力球张量 f i g 2 4 ( b ) s t r e s sg l o b et e n s o rp i c t u r e ( 2 2 0 ) l = 蓝一 + 廛一 衍一砰 辽宁工程技术大学硕士学位论文 式( 2 2 0 ) 是一个椭球面方程，它表示在以p l , p ：，p ，为坐标轴的空间内的主半轴 为q ，盯：，吧的一个椭球面，称为应力椭球面，见图2 - 4 ( a ) 。意思是说，当任一 点的每一斜面上的应力都用应力矢量( 其分量为) 表示的话，则任一从做出的就 这种矢量的矢端都落在此椭球面上，如图2 - 4 ( a ) 所示。 当1 7 l = 仃2 = c r 3 = o r 。时，式( 2 2 0 ) 可化为 p ；+ p ；+ p ；= 盯： 这是一个以盯。为半径，以坐标原点为球心的球面的方程，是上述应力椭球 面的特殊情况。它表示一个球形应力状态，如图2 - 4 ( b ) 所示。球张量便由此而 得名。 应力偏量则只由偏应力分量仃，一盯。= s 1 、盯，一盯。= s 2 、盯：- - a 。= s 3 及 切应力分量f 。、f 。、f 。构成。以主应力表示的应力偏量为 s f = 2 t r l 一盯2 一盯3 3 0 0 0 2 t r 2 一盯3 一盯1 3 o 0 0 2 t r 3 一t l r l 一盯2 3 对于球张量和应力偏量毛，可以类似于应力张量那样得到其应力不变量。应 力偏量的三个不变量为 其中 j l = o ，：= 一昙k 仃。一仃：) ：+ ( 仃：一仃，) z + ( 仃，一仃。) z 】 0 = 一i 1 i ) 。2 + s ；+ s ；) ( 2 - 2 1 ) = s l s 2 + s 2 s 3 + s 3 s 1 j 3 = s i s 2 s 3 2 4 主应变与主应变方向 前面我们讨论了受力物体的应力，下面开始讨论与应力相对应的应变。三维 2之2( 一 一 一 吼吒吒 = = = s s s 辽宁工程技术大学硕士学位论文 应力状态下的各应变分量为 d “ s j2 _ 以 洲 占，2 万 o w s = 抛加 2 万+ 瓦 加跏 2 瓦+ 万 却加 比2 瓦+ 瓦 ( 2 2 3 ) 显然，x 轴与y 轴间的角度变化和y 轴与工轴问的角度变化是没有什么不同 的，即有 ，掣= ，f ，盯= ，掣，皿= ，g ( 2 2 4 ) 式( 2 - 2 3 ) 称为应变位移关系式。用张量符合可缩写为 白= ( 嘶。+ i g j , t )( f ，= x ，y ，z ) ( 2 2 5 ) 可知，当f = 时，得到的是正应变；当f ，时，得到的是切应变。对切应变有 8 q 28h(2-26) 与讨论应力状态时相似，我们把切应变等于零的面叫做主平面，主平面的法线方 向叫做主应变方向，主平面上的正应变就是主应变。 与应力情况相类似地有 ( 占，一占。) s ，+ 占掣s ，+ e = s z = 0 s 每s 。+ ( 占，一s n ) s ，+ 占肛s ：= 0 ( 2 - 2 7 ) h sx + s 旺s y + 婶i s s l = o 或 ( 勖一岛s 。蛉= 0 ( 2 2 8 ) 可以得到一个以占。为未知量的三次方程 占：一j is ：+ i 2 占。一i 3 = 0( 2 2 9 ) 其中 j 2 2 s ，占，+ s ，s z + 占：占，一s 刍一s 三一占三( 2 - 3 0 ) f 勺f j 3 = l f 掣 s ， s 岿i = e x s ，占z + 2 占掣s 肛占托一( s r 占肛2 + s ，f 三+ 占z 占刍) i 占冠 s 肛占z 分别称为第一、第二、第三应变张量的不变量。 辽宁工程技术大学硕士学位论文1 4 变为 方程( 2 - 2 9 ) 有三个实根，即主应变毛，占：，毛完全类似地可以得到最大切应 前已述及，对于大多数金属来说，在很大的静水压力作用下仍表现为弹性， 因而可引进应变偏量这一畸变变形的量，即各应变偏量的分量为 s j 一占m = p 1 s y 一占埘= p 2 ，占z 一占脚= p 3 及，。，如，k ，其中s 。为平均正应变 s 。= l ( e x + 6 y + 占z ) 以主应力表示的应变偏量及其不变量分别为 及 ( 2 e i - 6 = _ z - e 一3 ) 0 0 3 o 0 j = 0 j 2 e l e 2 + 8 2 e 3 + p l e 3 j 2 e l e 2 e 3 0 ( 2 占3 一占l s 2 ) 3 ( 2 3 2 ) 2 如颤巩 一 一 一 斯撕撕 = = i ， 掌 辽宁工程技术大学硕士学位论文 3 塑性极限分析的基本理论 3 1 塑性极限分析的任务和假设 固体材料的性质是复杂的，很难用一个统一的力学棋型来描述。对于不同的 材料，不同的应用领域，我们可以采用不同的变形体的模型，这种模型关系到材 料性质的基本假设。我们选取的模型必须符合材料的实际性质，否则，计算的结 果便不能反映结构或构件中的真实的应力及应变状态。其次，我们所选取的模型 在数学上必须是足够地简单，以便使我们在解决具体问题时，能够容易地获得解 答。 最简单的力学模型是描述材料弹性性质的虎克限h o o k e ) 定律，即应力与 应变之间是一种线性关系。它与荷载增加的过程无关，即每个外荷载的线性组合 都引起同样的应力应变及位移的组合。这种模型称为线弹性体模型。但是，变形 体的许多重要性质都不能包括在线弹性体模型中。例如，塑性性质是材料的一个 重要性质。因此，塑性体模型在描述材料塑性性质方面起着十分重要的作用。理 想刚塑性体变形模型既能描述许多金属材料的塑性性质，又能使计算工作十分简 单，因而在结构塑性分析中受到普遍的重视，并得到广泛的应用。 当外荷载达到某一极限值时，结构将变成几何可变结构，变形将无限制的增 长，从而失去承载能力，这种状态称为结构的塑性极限状态。由于结构变成机构 而丧失承载能力，即结构被破坏。因此，经常将结构的塑性极限分析称为结构的 破损分析。 为了确定弹塑性结构的极限承载能力，可以采用两类方法。一类方法是研究 随着荷载的不断增加，结构由弹性状态过渡到弹塑性状态，最后达到塑性极限状 态，从而失去承载能力。这类方法是以弹塑性变形理论为基础的研究方法。利用 这一方法解决工程实际问题时，往往遇到许多数学上的困难，只有对比较简单的 问题才能得到解答。第二类方法是假设材料为刚塑性的，并按塑性变形规律研究 结构达到塑性极限状态时的行为。即只考虑结构的极限状态，而忽略中间弹塑性 过渡的过程。研究结构在塑性极限状态时的理论称为结构塑性极限分析理论。在 塑性极限分析中，由于不考虑弹性变形，分析问题大为简化，而得到的塑性极限 荷载与考虑弹塑性过程时得到的结果是完全一样的。而在后一方法中，当分析粱 时，使用了塑性校的概念。塑性变形只能在塑性铰处发生，此处梁的曲率变化可 辽宁工程技术大学硕士学位论文 以任意增长，由于曲率变化率出现不连续，就好像一个铰样，故称为塑性铰。 塑性铰和普通铰( 普通结构上的铰) 不完全相同，其相同处是铰两边的截面可以发 生有限的相对转角；其区别有两点：即普通铰所受的弯矩为零，而塑性饺却能承 受塑性弯矩m 。；其次，普通铰是双向铰，相对转角可以沿两个方向自由转动， 塑性饺是单向铰，只能沿一个方向自由转动。因此塑性弯矩的方向总是与转角的 方向一致的。塑性铰为单向铰，是由于材料屈服造成的。当变形方向与应力方向 一致时，则可以发生自由塑性变形。如果变形方向与应力方向相反时，则材料又 处于弹性状态，而不能自由变形。这种只考虑极限状态的方法在计算上比前种方 法要简单得多，而在实际问题中却又有一定的意义，因此近年来获得了较大的发 展。然而根据塑性极限分析理论却不能得到塑性极限状态前结构中的应力和应变 的分布规律。 塑性极限分析理论能解决以下三方面的问题，即： ( 1 ) 求出结构的塑性极限荷载( 简称极限荷载) 。 ( 2 ) 得出极限荷载作用下结构中应力的分布规律。 ( 3 ) 求出结构在极限状态下满足塑性变形规律和结构机动条件的破损机构。 解决以上三方面的问题是结构塑性极限分析的任务。为了求解这些问题，除 了知道结构材料的有关常数外，还需要知道静力的和机动的条件，这些条件是： ( 1 ) 极限条件，即结构出现屈服时其内力组合应满足的条件。利用屈服条件 及有关假设可以得到该条件。 ( 2 ) 破损机构条件，即在极限状态下结构的运动规律；或者说在极限荷载作 用下，结构失去承载能力是的运动形式。 ( 3 ) 平衡条件，变形前的坐标系。 ( 4 ) 几何条件，即应变和位移之间的关系，对于小变形情况时，还经常假设 材料在塑性状态下其体积是不可压缩的。 上述第一、二两个条件应该建立在理论分析和实验研究的基础上，这两个条 件是结构极限分析理论的物理依据第三、四两个条件是结构处于弹性状态或塑 性状态都必须满足的条件。如果求得的解答能够同时满足以上的条件( 在边界上 并满足所给定的边界条件) ，这样的解即为极限分析的完全解。对于梁、刚架、 析架、轴对称圆板以及旋转轴对称薄壳等均已找到它们的完全解。对于较复杂的 结构，找出完全解仍是困难的。在这种情况下，用极限分析方法找出结构极限状 辽宁工程技术大学硕士学位论文 态时承载能力的上、下限是很有意义的。 在结构分析理论中，一般采用如下几个假设，即： ( 1 ) 材料是理想刚塑性的，即采用刚塑性变形模型。，不考虑材料的弹性性质 和强化作用。 ( 2 ) 结构的变形足够小，因此变形前后都能使用同一平衡方程，而且材料变 形的几何关系是线性的。 ( 3 ) 在达到极限荷载前，结构不失去稳定性。 ( 4 ) 塑性铰并不影响塑性弯矩的传递，弯矩可以由铰的一端传到另一端。 ( 5 ) 所有的外荷载都按同一比例增加，即满足简单加载的条件。 以上假设对于各类结构均适用。此外，在不同结构的极限分析中，还采用了 一些假设。 3 2 塑性屈服条件 屈服条件又称塑性条件，它是判断材料处于弹性阶段还是塑性阶段的准则。 在简单拉伸实验中，可以用拉伸应力的某一数值作为材料达到塑性状态的标准。 即当应力小于屈服极限盯。时，材料处于弹性状态，当材料中的应力达到屈服极 限盯。时，便可认为材料进入了塑性状态。当物体上只有某一点达到材料屈服极 限时，称此状态为物体的弹性极限。随着荷载继续增大，这些塑性区亦将扩大， 开始时由于塑性区受到周围弹性材料的牵制，塑性流动不大。但当荷载达到某一 临界值时，在此荷载不再增加的情况下，物体继续产生塑性流动。此时，则认为 物体已进入极限状态。而在复杂的应力状态下，一点的应力状态是由六个应力分 量所确定的，因而不能选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入了望性 状态的标准。而是应该考虑所有这些应力分量对材料进入塑性时的影响。由于材 料的屈服极限盯，是唯一的，所以，应以应力或应力的组合作为判断材料是否进 入了塑性状态的标准。为此应引进应力空间的概念，所谓应力空间就是以应力为 坐标轴的空间。在应力空间中的每一个点即代表一个应力状态。在应力空间中应 力变化的曲线称为应力路径。根据不同应力路径所进行的实验，可以定出从弹性 阶段进入塑性阶段的各个界限。在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来就形 成一个区分弹性区和塑性区的分界面，这个分界面称为屈服面，而描述这个屈服 面的数学表达式称为屈服函数或称屈服条件。 在复杂的应力状态下，关于材料进入塑性状态的原因有不同的假设。伽俐略 辽宁工程技术大学硕士学位论文 1 8 ( g a l i l i e o1 曾认为材料进入塑性状态是由最大主应力所引起的，此后圣维南 f s a i n t v e n a n t ) 5 己认为最大主应变能判断材料是否进入塑性状态。这两个假说都被 实验所否定，因为在各项等压时，压应力可以远远超过材料的屈服极限仃，而 材料并未进入塑性状态。这个实验结果与他们所提出的假说是矛盾的。在此之后 贝尔特拉密( b e l t r a m i ) 提出，当物体中的弹性能达到某一极限值时，材料便进入 塑性状态，但这个假说由于将形状改变能和体积变形能混在一起考虑，因而和实 验结果也是不符合的。 到目前为止，对于屈服条件的研究己有两个多世纪经过许多实验检验，证 明符合工程材料特性，又便于工程应用的常用屈服条件有以下几种： 3 2 1 屈雷斯卡( t r e s c a ) 屈服条件( 又称最大剪应力条件) 屈雷斯加( h t r e s c a ) 根据自己的实验结果，认为最大剪应力达到某一个 数值时材料就会发生屈服。即 f 。2 f o ( 3 。1 ) 此处，t 。为材料的剪切屈服应力。对于不同的固体材料钒值要由实验确定。 最大剪应力条件要求预先知道最大与最小主应力。假定盯。盯：仃，则 f = 三( 仃。一仃：) 。在简单拉伸情况下，当仃。= 仃。，仃：= 1 7 ，= o ( 仃。为简 单拉伸屈服应力) ，则 仃l 一仃3 2 仃o k 。= ( o - 。一引= = 仃。 ( 3 - 2 ) 在纯剪