（基础数学专业论文）两类非线性偏积分微分方程的数值计算.pdf

中文摘要 在记忆材料的热传导、多孔粘弹性介质的压缩、原子反应、动力 学等问题中，常常碰到偏积分微分方程，对于该方程的数值求解，国 外的v t h o m e e ，w m c l e a n ，c l u b i c h ，l w a h l b i n ，j m s a n z s e m a ， e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e r ，国内的陈传淼，黄元清，徐大，孙志忠等 做了大量的研究，他们采用了有限元方法、谱配置方法及样条配置方 法等。 本文考虑两类非线性偏积分微分方程全离散格式，进行数值计 算，主要结果如下： ( 1 ) 给出非线性弦振动方程的离散格式，其时间、空间方向采 用显式差分格式，积分项采用复化梯形求积公式离散，并进行数值计 算。 ( 2 ) 给出一类非线性偏积分偏微分方程的离散格式，其时间、 空间方向采用显式差分格式，积分项通过内积求积技巧离散，并进行 数值计算。 以上几种方法避免了求解非线性方程出现多解的情况，计算量 小，易于求解，并且计算结果精度较高。 关键词：非线性偏积分微分方程；非线性弦振动方程；显式差分 格式；梯形求积公式 a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si n a p p l i c a t i o ns u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y , c o m r e s s i o n o fp o r o - v i s c o e l a s t i cm e d i a ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ，e c t t h e r e sa r el o t s o fd o c u m e n t so fv t h o m e e ，w ：m c l e a n ，c l u b i c h ，l w r a h l b i n ， j m s a n z s e m a ，e c t y a n i k ，g f a i r w e a t h e ri no v e r s e a sa n dc h u a n m i a o c h e n ，y u a n - q i n gh u a n g ，d a - x u ，z h i z h o n gs u n i nh o m e a l o to ft h e mu s e f e m ；s p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s ；s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s ，e c t i nt h e p a p e rt w ok i n do fn o n l i n e a rp a r t i a li n t e g r a l d if f e r e n t i a l e q u a t i o n i ss o l v e db yn u m e r i c a lm e t h o d ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r e d e s c r i b e da sf o l l o w ： ( 1 ) an u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h en o n l i n e a rs i n u s o i d a lv i b r a t i o n e q u a t i o ni sp r e s e n t e d ，i nw h i c ht h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei sa p p l i e d t od i s c r e t et h es p a c ev a r i a b l exa n dt h et i m ev a r i a b l ets e p a r a t e l ya n dt h e t r a p e z o i d a lr u l ei sa d o p t e dt oc a l c u l a t et h en o n l i n e a ri n t e g r a t i o n ； ( 2 ) t h ed i s c r e t es c h e m ei sg i v e nf o rak i n do fn o n l i n e a rp a r t i a l i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i nw h i c ht h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei s a p p l i e dt od i s c r e t et h es p a c ev a r i a b l exa n dt h et i m ev a r i a b l ets e p a r a t e l y t h ea b o v em e t h o d sh a v et h e s ea d v a n t a g e s ： t h es o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a re q u a t i o ni su n i q u e ； l i i t h ec o m p u t a t i o n a le f f o r t si sl e s s ； ( 3 ) t h en u m e r i c a ls o l u t i o nh a sh i g hp r e c i s i o n k e yw o r d s ： n o n l i n e a r p a r t i a li n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ， n o n l i n e a rs i n u s o i d a l ；e x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ；t r a p e z o i d a lr u l e i v 两类北线性偏积分微分方程数值计算 附录三湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：瓒绍致叼年月厂日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：童拗久日期：砷年，月谚日 导师签名：亏弘吼砷年锣日 两类非线性偏积分微分方程数值计算 第一章序言 在工程、物理、生物、控制等许多领域的问题常常由偏微分方程 来描述但是在很多情况下，仅仅一个微分方程并不能精确的描述这 个物理系统，因为一个微分方程只能描述一个系统在某一固定时刻的 状况，它不能反应过去的效果积累；特别是在热传导、原子反应、动 力学和热电理论中，它们常常需要反映这个系统中的“记忆 功效， 这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个积分项，从而得到偏积 分微分方程( 见 1 4 1 ) 若方程中含非线性项，则得到非线性偏积分 微分方程( 见【1 9 ) 我们将研究下面这类非线性偏积分微分方程数值解： + “u x = 上( 卜s ) - 5 u , , 。d s + y ( x ，f ) 工( o ，1 ) f ( o ，丁) ( 1 - 1 ) 其线性部分为： u t = i o s ) 一2u x x d s + f ( x ，) x ( o ，1 ) ，f ( o ，丁) ( 1 - 2 ) 满足如下边界条件： u ( o ，) = u ( 1 ，) = 0 f ( o ，7 - )( 1 - 3 ) 和初始条件： u ( x ，o ) = t , t 0 ( z )x ( o ，1 )( 1 4 ) 比较方程( 1 1 ) 、( 1 - 2 ) 禾n 著名的b u r g e r s 方程： u r + d u j = u h( 1 - 5 ) 我们能更好的了解其性质，( 1 - 5 ) 中时刻t 弹性项的作用由u 。给 出，而( 1 1 ) 中时刻t 值必须考虑整个历史，因此在( 1 1 ) 、( 1 2 ) 中记 高校教师在职硕士学位论文 忆积分项能被当作粘弹性力此类问题经常出现在非牛顿力的流体 中从这种意义上来讲，( 1 1 ) 提供了一个包含欧拉导数且带有粘弹性 力的简单模型方程就像b u r g e r s 方程提供了一个研究现实情况下包 含欧拉导数和弹性力的简单模型 问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 一( 1 - 4 ) 常出现在带有粘弹性流体模型及带有记 忆功能的热传导物质，它的齐次方程曾被s a n e s e m a 3 研究，它是介 于标准热传导( 抛物) 方程和波动( 双曲) 方程之间的一类方程 近年来，国内外有很多人研究了这类方程陈传淼、v t h o m e e 和l b w a h l b i n 1 采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元， 积分项通过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估 计j c l o p e z m a r c o s 1 9 研究了一类非线性的偏积分偏微分方程， 采用了一阶全离散差分格式w m c l e a n ，v t h o m e e 2 使用了e u l e r 和 二阶向后差分格式，空间方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题 ( 1 - 2 h 1 - 4 ) 的正则性估计，s a n z s e m a 3 也研究了这类问题，在时间 方向，他采用了向后e u l e r 格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光滑 与非光滑的初始值导出了相应的误差估计徐大 8 考虑了e u l e r 和 c r a n k n i c o l s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差估计 e c t y a n i k ，g f a i r w e a t h e r 5 】使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散， 得到最优阶误差估计y i y a n ，g f a i r w e a t h e r 【6 1 空间方向使用正交样 条配置方法，得到空间半离散的稳定性和收敛性 7 】考虑了不连续 g a l e r k i n 方法( d g ) 、稀疏求积公式，得到问题的先验和后验估计， 并给出了自适用算法w m c l e a n ，v t h o m e e 【8 】先通过l a p l a c e 变换及 两类菲线性偏积分微分方程数值计算 逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而可以采用并行算法来数值 计算【9 】考虑的是v o l t e r r a 积分微分方程，核k ( t ，s ) = o s ) 口，o 。是常数( 3 - 1 ) 用t a y l o r 级数展开方法建立显式差分格式： 假定偏微分方程初值问题的解u ( x ，f ) 是充分光滑的，由t a y l o r 级 数展开有： 两类非线性偏积分微分方程数值计算 u ( x ，f 川) 一u ( x ，f 。) u ( x ，f 。) 一u ( x ，t 川) u ( x ，t 川) 一u ( x j ，f 川) 2 r r 塑1 ”+ 。西1 。 r 抛1 n 。 o 瓦j j + r o u l 月 2 【瓦j ， d ( f ) d ( f ) + o ( r 2 ) u ( x ，f 川) 一2 u ( x j , t 。) 4 - u ( x j ，f 川) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一= = f 2 u ( x + l ，f 。) 一u ( x j ，f 。) h u ( x ，。) 一u ( x 卜l ，t 。) h u ( x + i ，f 。) 一u ( x - l ，r 。 2 办二，i = 【缸+ d ( n = 【缸+ o ( 蛾 ! = 【缸+ d ( ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) + d ( f 2 ) ( 3 - 5 ) 盟业萼掣=萨02pnh 啪2 ) 2 苏一o 、7 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 其中将( 3 5 ) 、( 3 9 ) 代入波动方程，并舍去截断误差项，则得差分方 程： 这里甜；表 甜? + i 一2 u 7 + 甜? 一1 jjj f 2 ：口：u j n , - - 2 u ；+ u t _ , h 2 - = 0 , 1 ，2 ，n = 1 , 2 ，3 ， 示u 于( x ，t 。) 的 ( 3 1 0 ) 近似值，初始条件用下列差分方程代替： ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 显然，( 3 - 1 0 ) 1 拘截断误差的阶是o ( rz + h2 ) ，而( 3 - 1 2 ) 的截断误差的 阶仅为d ( f ) 为了提高( 3 1 2 ) 的精度，也可用中心误差商代替，得 9 n ，刍 铲一锄 r - _ l 高校教师在职硕士学位论文 华吲 于( 3 1 0 ) 令n = o ，又得 坚笋甜华r 门 ( 3 1 3 ) 消去扰则 “i f ：；【( x 1 ) - i - 比o ( z 川) 】+ ( 1 ) ( 工，) + 印1 ) (3-14)r - i - i 比o_r2(xj “= i 【( x 一1 ) ( z + 1 ) 】+ ( 1) ( 工，) + 印1 ) 【3 。 其中 r = 口_ c | h 是网比 f f l j 厍j ( 3 3 ) 、( 3 4 ) ( 或( 3 6 ) ) 可算出初始层( n _ o ) 及第一层( n = 1 ) 4 9 r n 格 节点上的值，然后利用差分方程( 3 2 ) 或 “；= ，2 ( “工。+ “；+ 。) + 2 ( 1 - r 2 ) 扰；一“；一 ( 3 - 1 5 ) 就可以按时间逐层算出各层的值 ( 3 1 0 ) - - - ( 3 1 2 ) 是显的三层差分格式，上述格式也可以用以解混合 问题： 害甜窘眼八斛 u ( x ，o ) = c o ( x ) ，”，( x ，o ) = 伊( x ) ， ( 3 - 1 6 ) u ( o ，t ) = a f t ) ，u ( l ，f ) = f l ( t ) 这时取办：l j ，f ：t n ，除( 3 1 0 ) - - ( 3 1 2 ) ：9 b ，再补充边值条件 “o n = a ( n r ) ，u j ”= f l ( n r ) ( 3 1 7 ) 即可计算 两类非线性偏积分微分方程数值计算 3 3 迎风格式 我们冉采讨论对流万栏 塑+ 口坐：o ，x 尺，f 0 ( 3 18 ) o t o x 。 、 7 作方程( 3 1 0 ) 的显式差分格式自然有如下三种格式： 生蔓+ 口车鱼：o ( 3 - 1 9 ) ，生蔓+ 口生萼：o ( 3 - 2 0 ) 望兰+ a 鱼蔓l ：o ( 3 2 1 ) f2 h 、7 前两个方程截断误差的阶为d ( f + | 1 1 ) ，第三个方程截断误差的阶为 o ( r + z ) 从稳定性分析将会知道，这三个格式并不都可用 记 ，= a r h 将方程( 3 1 9 ) 、( 3 2 0 ) 、( 3 2 1 ) 改写成 “；+ = r “土i + ( 1 一，) “；， 豁；州= ( 1 + 厂) 铭歹一脓a l ， “，n + i = “，n + 三“二- 一三“a - 按f o u r i e r 方法，以“；= 1 ，”e x p ( i a x 从f = = i ，x = j h ，娓任意实参数) 代 到上述方程，消去公因子，分别得 v 州= ( r e 嘲+ ( 1 - r ) ) v 盯= v 一， v 肿1 = ( ( 1 + ，- ) 一r e 脚) y 疗= 以，”， v 州= ( 1 一i r s i n a h ) v 一= 五3 ，一 高校教师在职硕士学位论文 i n y 寸i 如| _ ( 1 + _ r 2s i n2 口厶) 对任何，0 都不满足v o nn e u m a n n 条件， 故( 3 2 1 ) 绝对不稳定 其次，i 丑怿l 等价于，2 ，。即 ( 口r ) 2 ( a r h ) 故( 3 1 9 ) 的稳定的充要条件是 口o ，f 竿i 1 以 同理( 3 2 0 ) 稳定的充要条件是 口0 ，i _ a - ti o ，( 3 - 2 2 ) f甩 竺丝+ 口竺盖l ：j 二生：o ，口 0( 3 - 2 4 ) 因为a 0( 3 2 5 ) 与例1 相比，例2 中a o ，我们取格式( 3 2 2 ) 对方程( 3 2 5 ) 进行 离散，同例1 一样，选择k = h 2 ，取k = o 0 1 ，h = o 1 来进行计算 运行结果如表3 2 此数值例子是基于m a t l a b 7 软件，在c p u 为赛扬9 0 0 的个人计 算机上运行得到 下面是对应的误差图表： 高校教师在职硕士学位论文 表3 - 1 u ( x ，t ) = x 3 + 3 t x 2 + 3 t 2 x + t 3 的误差 x = o 1x = o 2x = o 3x = o 4x = o 5x - = o 6x - - o 7x - - o 8x - - o 9 t - - o 10 0 0 3 4 20 0 0 6 1 2o 0 0 8 8 20 0 1 1 5 2o 0 1 4 2 2o 0 1 6 9 1 6o 0 1 9 5 6 9o 0 2 1 9 0 l0 0 2 2 5 5 8 t - - - o 2 o 0 1 2 2 4 0 们7 6 4o 0 2 3 0 3 8 o 0 2 8 4 2 60 0 3 3 7 5 70 0 3 8 8 2 6o 0 4 2 9 4 l0 0 4 4 3 l l0 0 39 | 6 4 l t - - o 3o 0 2 6 4 5 70 0 3 4 5 4 4o 0 4 2 5 8 4 o 0 5 0 4 5 20 0 5 7 7 7 3o 0 6 3 6 2 9 o 0 6 6 2 2 7o 0 6 2 9 2o 0 5 l 1 0 2 t - - o 40 0 4 6 0 2 2o 0 5 6 6 6 9o 0 i 6 6 9 9 80 0 7 6 5 0 30 0 8 4 1 7o 0 8 8 3 l l0 0 8 6 7 2 80 0 7 7 3 7 9o 0 5 9 3 0 8 t - - o 50 0 7 0 6 7 4o 0 8 3 4 1 20 0 9 5 0 8 4o 1 0 4 6 5o i 1 0 5 3o 1 1 0 8 70 1 0 3 9 5o 0 8 8 9 0 5o 0 6 5 9 2 8 它= 电60 0 9 9 7 17o 1 1 3 5 60 1 2 5 0 90 1 3 2 8 70 1 3 5 2 4o 1 3 0 7 5o 1 1 8 5 70 0 9 8 7 1 40 0 7 1 8 3 8 t = o 7 0 1 3 1 9 6o 1 4 5 5 30 1 5 5 3o 1 5 9 7 90 1 5 7 7 20 1 4 8 3 2o 1 3 1 4 7o 1 0 7 6 20 0 7 7 4 4 5 t - - o 8 0 1 6 5 9 7o 1 7 7 8o 1 8 4 4 8o 1 8 4 8 4o 1 7 8 1 5o 1 6 4 2 20 1 4 3 3 50 1 1 6 0 90 0 8 2 9 2 7 表3 1 误差图如下： 两类非线性偏积分微分方程数值计算 表3 - 2u ( x ，t ) x 3 - 3 t x 2 + 3 t 2 x t 3 的误差 x = o 1x - - o 2x = o 3x = o 4 x = o 5x = o 6x - - o 7 x - - o 8 x = o 9 t - - - - o 1 0 o 0 0 5 2 50 0 0 2 2 0 0 4 0 0 0 4 7 0 9 80 0 0 7 3 8 3 0 o l 0 0 80 0 1 2 7 80 0 1 5 4 8o 0 1 8 1 8o 0 2 0 8 8 t - - o 20 0 0 3 7 6 9 3o 0 0 l9 8 5 8o 0 0 4 9 0 5 7o 0 0 9 5 8 2 60 0 14 8 0 5o 0 2 0 l6 8o 0 2 5 5 6 lo 0 3 0 9 6 o 0 3 6 3 6 t = o 3o 0 1 9 9 1 6 2 o 0 0 6 16 6 80 0 0 4 1 3 6 20 0 0 8 0 8 9 4o 0 1 4 6 9 2 o 0 2 2 3 1 60 0 3 0 2 8 20 0 3 8 3 4 90 0 4 6 4 4 2 t - - o 40 0 6 0 4 8 5 0 0 2 4 2 4 80 0 0 9 1 0 0 80 0 0 6 8 5 7 8 0 o l1 7 1 4 0 0 2 0 0 6 5 0 0 2 9 9 5 3 0 0 4 0 4 4 7 o 0 5 1 1 5 4 t - - o 50 1 3 7 1 20 0 6 7 1 1 90 0 2 8 8 6 50 0 1 2 5 lo 0 1 0 0 7 80 o l5 7 4 50 0 2 5 7 0 70 0 3 7 7 4 1o 0 5 0 6 8 3 t - - o 60 2 6 1 80 1 4 6 3 l0 0 7 3 9 3 40 0 3 3 8 0 70 0 1 6 3 5o 0 1 3 7 4 6 0 0 2 0 1 5 7o 0 3 1 6 20 0 4 5 6 9 3 户幻70 “6 4 90 2 7 3 6 3o 1 5 5 5 9o 0 8 0 9 4 4o 0 3 9 0 6 40 0 2 0 5 8 8 o 0 1 7 8 2 4 0 0 2 4 9 2 60 0 3 7 8 t - - o 80 7 0 3 1 90 4 6 10 2 8 5 50 1 6 4 9 80 0 8 8 1 6o 0 4 4 6 2 4 o 0 2 5 1 9 50 0 2 2 2 8 3o 0 3 0 0 3 2 表3 - 2 误差图如下： 从上述例1 、例2 不难看出，对流方程在不同的情况( a o ) 下，空间方向运用相应的差分离散格式，计算精度能够达到o ( h 斗- k ) 与 理论相一致 高校教师在职硕士学位论文 本章例1 的程序： u ( x ，t ) = ：x 3 + 3 t x 2 + 3 ( t 2 ) x + t 3 c l o s ea l l ； c l e a ra l l ； a ：- l ；b = 0 ；c = 1 ；t 0 = 0 ；t n = l ；m = l o ；n = 1 0 0 ； h = ( c - b ) m ；k = ( t n - t o ) n ；j = 1 ；r = a k h ； f o ri - - 1 ：m + l x t - - ( i - 1 ) ； v 0 ( i ) - - x t 幸x t 毋x t ； u ( j ，i ) - - x t x t 幸x t ； e n d f o r j 2 2 ：1 0 t t - - o - 1 ) k ； f o ri - - 1 ：m v 1 ( i ) = ( 1 + r ) v o ( i ) 一r v 0 ( i + 1 ) ； x t - - ( i - 1 ) h ； u o i ) - - x t x t 幸x t + 3 x t 幸x t t t + 3 x t t t 木t t + t t 宰t t 木t t ； e r r ( j 一1 ，i ) = a b s ( u ( j ，i ) - v l ( i ) ) ； e n d f o ri = 1 ：m v 0 ( i ) = v1 ( i ) ； e n d v 0 ( m + 1 ) = 1 + 3 宰叶3 木t t t t + t t t t t t ； e n d 例2 的程序： u ( x ，t ) = x 3 - 3 t x 2 + 3 ( t 2 ) x - t 3 c l o s ea l l ； c l e a ra l l ； a = l ；b = 0 ；c = l ；t 0 = 0 ；t n = l ；m = l0 ；n = 10 0 ； h = ( c b ) m ；k = ( t n - t 0 ) n ；j = 1 ；r = a 幸k h ； f o ri _ l ：m + l x t = ( i 1 ) ； v 0 ( i ) = x t + x t 幸x t ； u o ，i ) - - x t x t x t ； e n d f o r j = 2 ：1 0 t t = ( i - 1 ) ； v 1 ( 1 ) = t t 宰t t t t ； f o ri - 2 ：m v 1 ( i ) ：( 1 一r ) 幸v 0 ( i ) + r v 0 ( i 1 ) ； 1 6 两类非线性偏积分微分方程数值计算 x t = ( i 一1 ) 地； u ( j i ) = x t 宰x t 木x t 一3 枣x t 幸x t 木t t + 3 木x t 宰t t 木t t - t t 木t t 牛t t ； e r r ( j - 1 ，i 1 ) = a b s ( u ( j ，i ) 一v 1 ( i ) ) ； e n d f o ri _ l ：m v 0 ( i ) = v1 ( i ) ； e n d v 0 ( m + 1 ) = 1 3 宰t t + 3 宰t t 水t t - t t 枣t t t t ； e n d 1 7 高校教师在职硕士学位论文 第四章非线性弦振动方程的数值计算 本章研究的是一类非线性弦振动方程： 一( 风+ hf 铭( 舌f ) 2 d o u = = “墨f ) 烈砥5 ：! ：c 乏絮擞 件，) 如o ) - - h i o ( 的，蚝( 五o ) = v 吖 供q t ，x e ( o , l ) , te ( o , 砌 弦振动方程是数学物理方程中的经典方程之一，对于非线性弦振 动，其方程虽早已经获得 2 1 】，但其物理意义却不十分明确而其中 大部分方程的数学精确解不易求出，所以有必要研究它们的数值 解二阶线性双曲型方程的差分方法以显式差分格式的计算最为简 便，本文将这种格式运用到我们所研究的偏微分方程中，方程中的积 分项计算采用简便的梯形求积公式 中： 4 1 非线性弦振动方程的差分格式 取两个正整数m 和n ，用网格qhxqk 覆盖 o ，1 】 0 ，1 ，其 q j i ，= b ml 工m = m h ，0 ，竹m ，h = 1 m ) q 七= 以it 聆= n k ，0 刀n ，k = t k 设u _ 叱10 m m ，0 ，n ) 是q hx qk 中的一个网格函数，令 c 。揪) = h 。+ h 。r “( 孝，础) 2 蟛 睇 一j 叫 一斛 叱 心 ，l 【一2 扣。虿 一 k v 厂、吖 纠 位 础 川 见 砌 如 j n 材 ” 两类非线性偏积分微分方程数值计算 “，如办，n k ) = ( uj ：一u ) 厅 ，威) = 古 二”一2 u 。 + u j ：一) 将( 4 2 ) 式代入方程( 4 1 ) 则可得差分格式如下： 吉( 叱“一2 聪+ 职。1 ) 一马掣( 睨+ 。一2 睨+ 叱- i ) = f ( m h , 玎七) 1 玎m - 1 ，1 疗sn - 1 当n = l ，由上式和初边值条件可得： 古( 以一弛+ 职) 一掣哦, - 2 g + 咄。) = 砌危七) 整理后可得 u 三= 2 uj ：l u 三+ k 2 b 脚 6 用= 厂溉尼) + 掣( u | ：i + 1 - 2 u 二+ u (43)h 、， m = 1 , 2 ，m 一1 4 2 计算积分 接下来讨论如何计算( 4 3 ) 式中的积分项g ) 对于g g 尼) ，玎 1 可 类似计算 当n = l 时， 以= 职垅矗p ，m = o , 1 , 2 m 简单地用显式e u l e 方法近似( 1 ) 中的甜一( x ，o ) = ，。( 川，得 u i ：l = u o + k v o ( m h ) 从而计算出u i ：| ，再利用梯形求积公式可得： 高校教师在职硕上学位论文 c 。( k ) = h o + h i 弘) 2 2 旌 至此，只要将以、g ) 和初边值条件代入( 4 3 ) 式即可求出以，以此 类推可依次求出u ：、u 二 4 3 数值例子 例：设甜( x ，t ) = p j + f 2 ，可知： u ( o ，f ) = 1 + f 2 ，u ( 1 ，f ) = p + f 2 u ( x ，0 ) - - e 工，u t ，o ) = 0 八x ，f ) = 2 一( 日。+ h 1 【下e - 1 + 2 e f - 2 t 2 + t 4 ) ) e x 我们取l = i ，h 0 = h i = i ，选择k = h 2 ，并取k = 0 0 1 ，h = 0 1 来进 行计算，方程为： _ ( 1 + 2 蛳- 2 - 洋+ 2 e t 2 _ 2 t 2 + t 4 ) e x u ( o ，f ) = 1 + f 2 ，u ( 1 ，f ) = p + f 2 u ( x ，0 ) = e x ，u t ( x ，0 ) = 0 ( 4 4 ) 此数值例子是基于m a t l a b 7 软件，在c p u 为赛扬9 0 0 的个人计算 机上运行得到运行结果如下表4 一l 叫一2 调整h o 、h l 的取值，对h 0 = h i = 4 和h 0 = i 、h i = 1 0 分别进行了 计算，结果如下表4 3 _ 4 6 两类非线性偏积分微分方程数值计算 表4 1取h o = h i = i 时u ( x ，t ) 的数值解 x = 0 。1x = o 。2x = 0 3x = 0 4x = 0 5x = o 6x = o 7x = o 8x = 0 9 t - - o 0 l1 1 0 5 21 2 2 1 41 3 4 9 81 4 9 1 8i 6 4 8 6i 8 2 22 0 1 3 62 2 2 5 42 4 5 9 4 t = o 0 21 1 0 5 4 1 2 2 1 61 3 5 1 4 9 2 1 6 4 8 81 8 2 2 22 0 1 3 8 2 2 2 5 62 4 5 9 6 t - - o 0 31 1 0 5 l 1 2 2 1 4 1 3 4 9 81 4 9 1 91 6 4 8 81 8 2 2 2 2 0 1 3 9 2 2 2 5 8 2 。4 5 9 9 t = o 0 41 1 0 4 4l ，2 2 0 71 3 4 9 31 4 9 1 41 6 4 8 51 8 2 2 l2 0 1 3 92 2 2 62 4 6 0 2 t - - o 0 51 1 0 3 2i 2 1 9 61 3 4 8 41 4 9 0 71 6 4 81 8 2 1 82 0 1 3 92 2 2 6 12 4 6 0 7 t = o 0 61 1 0 1 61 2 1 8 li 3 4 7 11 4 8 9 61 6 4 7 21 8 2 1 32 0 1 3 72 2 2 6 32 4 6 i l t = o 0 71 0 9 9 81 2 1 6 21 3 4 5 41 4 8 8 31 6 4 6 l 1 8 2 0 6 2 0 1 3 4 2 2 2 6 5 2 4 6 1 5 t - - o 0 81 0 9 7 71 2 1 3 9i 3 4 3 41 4 8 6 61 6 4 4 91 8 1 9 82 0 1 3 l2 2 2 6 62 4 6 1 9 t - - o 0 91 0 9 5 41 2 1 1 21 3 4 l1 4 8 4 61 6 4 3 3l ，8 1 8 82 0 1 2 62 2 2 6 82 4 6 2 3 t - - o i1 0 9 31 2 0 8 l1 3 3 8 21 4 8 2 31 6 4 1 61 8 1 7 62 0 1 2 l2 2 2 6 82 4 6 2 5 表4 2 取h o = h i = i 时u ( x ，t ) 的误差 x = 田i x = o 2x = o 3x = o 4x ：o 5x = o 6 x = 0 7 x = 0 8 x = o 9 t - - o 0 l0 0 0 0 l0 o 0 0 10 0 0 0 l0 o 0 0 10 0 0 0 l0 0 0 0 l0 0 0 0 lo 0 0 0 l0 0 0 0 l t = o 0 20 0 0 0 1 9 4 3 3 o o o o l 9 8 3 8o 0 0 0 1 9 8 2 lo 0 0 0 1 9 8 0 2 0 0 0 0 1 9 7 8 l0 0 0 0 1 9 7 5 80 0 0 0 1 9 7 3 20 0 0 0 1 9 7 0 4o 0 0 0 19 2 5 3 t = o 。0 30 0 0 0 9 6 8 4 5 o 0 0 0 9 2 2 8 5 0 0 0 0 8 6 8 6 40 0 0 0 8 0 8 5 30 0 0 0 7 4 2l0 。0 0 0 6 6 8 6 9 o 0 0 0 5 8 7 5 5o 0 0 0 4 9 7 7lo 0 0 0 3 9 5 0 9 t = 0 0 40 0 0 2 4 0 9 2o 0 0 2 2 7 3 70 0 0 2 i l1 50 0 0 1 9 3 1 70 0 0 1 7 3 3d 0 0 1 51 3 50 o o l 2 7 0 80 0 0 1 0 0 2 l0 0 0 0 7 2 4 7 7 t = o 0 50 0 0 4 4 8 2 40 0 0 4 2 5 0 90 0 0 3 9 2 7 l0 0 0 3 5 6 7 80 0 0 3 1 7 0 80 0 0 2 7 3 20 0 0 2 2 4 70 0 0 1 7 l i l0 o o l 2 0 5 3 t = o 0 60 0 0 7 1 3 5 6 0 0 0 6 8 5 2 60 0 0 6 3 1 5 5o 0 0 5 7 1 70 0 0 5 0 5 5 50 。0 0 4 3 2 4 3o 。0 0 3 51 6 3o 0 0 2 6 2 7 5o 。o o l 8 6 4 9 t - - o 0 7o 0 1 0 3 0 3o 0 1 0 0 7 30 0 0 9 2 7 70 0 0 8 37 9 50 0 0 7 3 8 7 20 0 0 6 2 9 0 5 0 0 0 5 0 7 8 6 o 0 0 3 7 5 6 6 0 0 0 2 7 3 4 3 t - - o 0 80 o l3 9 0 90 0 1 3 9 0 10 0 1 2 8 ll0 o l l 5 5 50 0 1 0 1 6 60 0 0 8 6 3 0 5 0 0 0 6 9 3 4 5 o 0 0 5 1 0 7 5 0 0 0 3 8 4 4 2 t = o 0 9o o i7 8 7 70 0 1 8 3 1 70 0 1 6 9 1 80 o l5 2 4 50 0 1 3 3 9 20 0 1 1 3 4 40 0 0 9 0 8 5o 0 0 6 6 9 3 20 0 0 5 2 2 31 t - - o 10 0 2 2 1 3 3d 0 2 3 2 90 0 2 1 5 9 30 0 1 9 4 4 80 0 1 7 0 6 6d 0 1 4 4 3 2d o l l 5 3 20 0 0 8 5 3 l0 0 0 6 8 9 5 4 表4 3取h o = h i = 4 时u ( x ，t ) 的数值解 x = o ix = o 2x = 0 3x = o 4x = 0