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硕士论文 基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 摘要 随着信息科学的发展，系统要求的采样率越来越高。采样率的逐步提高，不仅对于 模数转换器件的要求越来越高，对于后续的数字信号处理及存储器等周边设备也是一个 很大的挑战。近年来，压缩感知理论的出现，可以有效地缓解人们所面临的困难。 本文所研究的即是压缩感知理论在欠采样系统中的应用。本文首先介绍了压缩感知 的基本理论，对其中的主要参数进行了分析，然后对它进行了仿真。接着介绍了 锄a l o g - t 0 i n f o m l a t i o nc o n v e 他r ( a i c ) 系统，然后重点分析了多通道采样，即m o d u l a t e d 谢d e b a n dc o n v e r t e r ( m w c ) 系统，并对它做了仿真。针对于m w c 模型，设计了它的硬 件系统。原始的模拟信号进入多个通道，同时经过调制，滤波之后，以一个较低的采样 速度进行采样，然后把采样得到的数据暂存在可编程逻辑器件中，并利用串口传输到计 算机，通过m a t l a b 软件的恢复算法对采样信号进行恢复。 恢复出的信号与原始信号相比，虽然在频域上引入了能量很低的新的频谱分量，但 是信号主要的参数没有改变。 关键词：压缩感知，欠采样，正交匹配追踪 a b s l t a c t硕士论文 a b s t r a c t w i mt l l e d e v e l o p m e n to f 删o 册a t i o ns c i e n c e ，t h es 觚l p l i l l g r a t eo ft l l e s y s t e m i s b e c o l l l i n g1 1 i g h c ra n dh i g l l e r m 鲥伽i n c r e 2 l s eo fm es 觚1 p l i n gr a t e ，n o to i d yf o rn l ea d c d e v i c e ，b u ta l s 0 f o r n i ef o l l o 、) l ，i n gd i g i t a ls i 驴a lp r o c e s s i n gd e v 溉a i l do t h e rp e r i p h e r a l e q u i p m e n t s ，i sab i gc l l a l l e n g e hr e c e n ty e a r s ，t h en l e o 巧o fc o m p r e s s e ds e n s i n ga n r a c t s m a n yp e o p l e sa l t e n t i o na n di tc 趾e 腩c t i v e l ys o l v et 1 1 i sp r o b l e m 1 1 l i sp a p c ri st 0s _ t u d yc o r n p r c s s e ds e n s i n g sa p p l i c a t i o ni ns u b n y q u i s ts 锄p l i n g s y s t e m f i r s t l y l et l l e o 巧o fc o m p r e s s e ds e n s i n gi s s t u d i e da i l ds i i i l u l a t e d ；t l l em a i n p 绷锄e t e r so fn l en l e o 巧a r ea i l a l y z e d t h e nt l l ea n a l o 哥t 0 一i i l f l o m l a t i o nc o n v e n e rs y s t e mi s i n t r o d l l c e d 锄dt h em o d u l a t e dw i d e b a l l dc o n v e r t e rs y s t e mi sa n a l y z e d 觚ds h u l a t e d s e c o n d l y ，恤l 觚眦eo f l em o d u l a t e d 、) i ，i d e b 粕dc o l l v e r t e rs y s t e mi sd e s i 印e d m o r i g i r l “a n a j o gs i g n a le n t e r sm 趾yc k m i l e l s 触e rb e i i 培m o d u l a t e d ，f i l t e r e d ，m es i 乎1 a li n e v e r ) ，c h 锄e lc a i lb es 锄p l e da ts u l ) n y q u i s tr a t e t h e nt l l es 砒n p l e dd a t ac a nb es t o r e di i l f i e l d - p r o 粤锄i l i i l a b l eg a t ea r r a 孔龇l d 仃缸嘲 i l ：m e dt 0c o m p u t e r l a s t l y m es i g r 试c a i lb e d e c o v e r e dn 聃u 曲n l er e c o v e 巧甜9 0 r i t l l r nu s i n gt l l em a t l a bs o f h a r e c o m p a r e dt 0n l eo r i g i i l a l ls i 印a l ，t l l er e c 0 v e r e ds i g r l a l l l a ss o m en e wc o m p o i l e n t si n 舶q u e n c yd o m a hb u tm a i l lp 啪e t e r sd on o tc h a i l g e k e yw o r d s ：c o m p r e s s e ds e l l s i n g ，s u b - n y q u i s ts 锄p l i n g ，o 幽g o 砌m a t c l l i n gp 邺u i t 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 1 绪论 1 1 课题背景及研究意义 过去的几十年间，信息科学取得了巨大的发展。而随着无线技术的长足进步，频谱 资源也显得愈来愈紧张，愈来愈珍贵。频谱稀缺性问题，频谱需求和供应之间的矛盾， 已经在全球范围内引起了广泛地关注。研究发现，在有许可证的频段内，高频部分，尤 其3 g h z 以上的频段内，频谱的利用率相当低。3 4 g h z 的频谱利用率为o 5 ，而 4 5 g h z 的频谱利用率仅为0 3 【1 1 。由此可以看出，若高频频段内的频谱资源能够被充 分利用，频谱稀缺性问题能够得到一定程度的缓解。通信系统和雷达系统中，高频信号 的应用已经越来越广泛，而由此产生的问题也接踵而至。 首先，高频信号要求的高速采样对模数转换器件( a d c ) 压力太大，有时甚至不能 完成。众所周知，实际生活的信号为模拟信号。随着数字信号处理技术的发展，大多数 的系统中采用数字信号处理技术。所以模拟信号到数字信号的转换，是大多数的通信系 统中不可缺少的一部分。模拟信号转为数字信号的过程中，现在依据的理论为经典的奈 奎斯特采样定理，即采样频率应大于信号最高频率的两倍。因种种原因，市场上a d c 器件的采样频率不可能因需求而随意提高，这样模数转换模块就大大限制了高频信号的 使用。虽然可以采用先将高频信号混频到中频，然后再进行采样的方法，可是这样的处 理方法也必然会在模数转换模块前带来一定的信号失真。有的时候，这样的处理方法不 能够满足需求。 。 其次，高速的采样系统对于后续的数字信号处理系统要求太高。信号经a d c 器件 采样之后，一般需要经过存储，然后进行数据通信或者处理。在实时信号处理系统中， 器件上的限制，如存储器的存储速度，数字信号处理器件( d s p ) 或者可编程逻辑器件 ( f p g a ) 的处理速度，已经成为了众多系统设计中的瓶颈。 从以上的分析中不难看出，降低a d c 器件的采样速度，已经成为了一个非常急迫 的问题。奈奎斯特采样定理从频谱的角度证明了理论的绝对权威。然而，实际工程中的 信号大多在很宽的频谱范围内分布着几个窄带信号。从频谱的角度去理解，信号可以认 为是稀疏的【2 】。在一定的条件下，类似的信号可以进行带通采样。而带通采样的前提是 信号的载频已知【3 】。假如信号的载频未知，人们又会变得束手无策。实际工程中常采用 多通道采样的方法，然而这种处理方法对采样时钟的分配要求比较严格，且只是用多路 a d c 器件分担了一路的压力，实际并没有降低采样速度。 压缩感知理论可以解决降低采样频率的问题，实现一个欠采样系统。 l 绪论硕士论文 1 2 压缩感知的发展及应用领域 传统的研究方法中，信号的获取和处理分为四个步骤，分别是采样，压缩，传输和 解压缩【4 j 。然而如果信号本身是可压缩的，那么是否可以将采样和压缩合并为同一个过 程呢? 2 0 0 6 年，c a i l d e s 已经证明，信号可以从它的部分傅里叶变换系数中精确重构， 并以此作为压缩感知的理论基础【4 】。在相关研究的基础上，c 锄d e s 和d o n o h o 于2 0 0 6 年正式提出了压缩感知的概念【4 】【4 j 。 压缩感知( c o m p r e s s e ds e l l s i n g ，c s ) 在刚刚被提出之时，便引起了大家的广泛关注。 它是介于数学和信息科学之间的一个新的研究方向。从字面意思去理解，它好像是一种 压缩技术。传统的压缩技术，都是从信号本身的特性出发，在被完整采集之后，寻找并 剔除出信号的冗余部分，从而达到压缩的目的。也就是说，这样的压缩是在采集之后完 成的。然而，压缩感知并不是如此，它是直接采集压缩之后的数据。压缩感知理论表明， 如果信号是可压缩的，或者说，信号在某个变换域上是稀疏的，那么就可以采用一定的 方法去变换原信号，然后把经变换之后的高维信号投影到低维空间上，最后通过求解一 个数值最优化问题，采用数学的方法就可以从这些投影中重构出原始信号，而且重构成 功的概率是极高的【5 】。毫无疑问，压缩感知技术有着很大的理论前景和应用前景，它是 传统信息论理论的一种延伸。从被提出开始至今，压缩感知理论的影响已经席卷了大半 个应用科学，并且它在各个方面都有着广泛的应用。 ( 1 ) 压缩成像。 目前美国德州的莱斯大学已经根据压缩感知理论成功研制出了“单像素 压缩数据 照相机【4 】。该相机直接获取的是经过多次随机线性测量值而不是原始信号，这就为低像 素拍摄高清晰的图片提供了可能。另外，压缩成像也应用在了雷达成像领域。采用此技 术之后，设计重点可由传统的接收机硬件转为设计新颖的信号恢复算法，从而简化了雷 达成像系统【4 】。同时，压缩成像也应用在了核磁共振成像领域。 ( 2 ) 信道编码。 快速误差校正编码在实时传输过程中不易受到误差的影响，而压缩感知理论中的随 机性和稀疏性则可以用于设计此种编码方式。目前，基于压缩感知理论，w 撕n 在此领 域已经取得了一些成果【4 】。 ( 3 ) 模拟到数字信息转换。 传统的模数转换过程依据的理论是奈奎斯特采样定理。然而传统的处理方法不仅在 各种场合受到了种种限制，后续的数据存储和处理也已经变成了现在的实时系统设计中 的难点。对此，蹦o l o s 等已经设计出了基于压缩感知理论的模拟数字信息转换器【4 】。 它首先用所得到的测量信息来代替完整的原始信号，然后再用后端的d s p 算法来恢复 出原始信息1 4 】。 2 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 ( 4 ) 生物传感。 在生物传感研究领域中，传统的d n a 芯片虽然能够平行地测量多个有机体，但是 却只能识别有限种类的有机体【4 】。采用压缩感知技术，s h e i k l l 有效地改善了这样一个缺 点。 此外，压缩感知技术还应用在了无线传感器网络，信号检测与分类，地球物理数据 分析，数据通信等众多的科学领域【4 】。 1 3 本论文主要研究工作及工作安排 本文首先讨论了压缩感知的基本原理，并对其进行了仿真。此外，本文重点研究了 压缩感知理论在模拟到数字信息转换领域的应用。在这样一个欠采样系统中，本文首先 对a i c ( a n a l o g t o i n f o m a t i o nc o n v e r t e r ) 和m w c ( m o d u l a t e dw i d e b a n dc o n v c r t e r ) 两 种模型做了一个理论上的分析，然后对m w c 模型重点研究，做出了这个模型系统的电 路板，并对其进行了测试，检验压缩感知理论在这个领域中的实际应用。本文的工作安 排如下： 第一章绪论。简单介绍压缩感知的研究意义及应用领域。 第二章压缩感知的基本理论。主要讲述了压缩感知的理论基础，物理意义，并对其 进行了仿真。 第三章压缩感知在模拟到数字域的转换应用，主要讲述了a i c 系统和m w c 两种 模型的理论基础，并对m w c 系统进行了仿真。 第四章硬件系统设计。此章中对m w c 模型做了重点地研究，给出工程中的电路板 系统，并对系统中各个电路模块做重点地介绍及分析。 第五章f p g a 代码及调试结果。此章中对所编写的v e r i l o g 代码和系统调试过程中 的问题及结果做了分析。 2 压缩感知的基本理论硕士论文 2 压缩感知的基本理论 2 1 问题描述 假设有一个有限长的信号x ，长度为。本文认定任何一个在r 域的信号均可以 用一组基向量( 、i ，；出来表示，其中任意一个基向量长度为。为了简化所讨论的问题， 在此假设基向量均为标准正交。那么，信号x 可用基向量组、i ，来表示： 占 扣备 ( 2 1 ) 其中，瓯可以看作一个加权系数，有： 岛= = 、l ，；x ( 2 2 ) 首先，定义一个向量s ，s = 【s 。，是，如】r 。那么可以认定，无论是向量x ，还是向 量s ，均可完整地表示原始信息。两者的不同之处在于，x 是信号的时域表示，s 是信 号的甲域表示【6 】。 假设信号x 仅由k 个非零基向量线性表示，那么定义信号x 为k 稀疏。也就是说， 在上面的分析中，s 中只有k 个系数为非零，其它的( 一k ) 个系数均为o ，k 。 或者，只有k 个系数值比较大，而其余的系数值均比较小。满足这样的条件时，可以认 定信号为稀疏的，即信号是可压缩的。 按照上面的处理过程，不难看出，基向量、i ，。的选取至关重要。变换处理之后，其 中的k 个大系数要被保留，其余的( 一k ) 个小系数要被丢掉。 于是，本文有了这样的编解码方法。首先，构造基向量矩阵甲，其中： 甲= 【、i ，1 ，v 2 ，v 】 ( 2 3 ) 然后，做变换s = 甲x ，并保留s 中的k 个非零分量及对应位置。然后，k 个非零分量放 回其原来的位置，其它位置为o ，构造为s ，然后做反变换x = 甲，s 。 然而这样的处理过程的三个缺点会带来效率上的降低。首先，虽然尺比较小，然而 初始的数据x 的长度依然是一个比较大的值。其次，虽然丢掉了( 一k ) 个系数，仍 需计算所有的加权系数蜀。最后，不仅k 个非零元素的值要被保存，其位置的信息也要 记录下来。 为了解决上面的问题，本文引入一种新的解决方法。考虑一个线性测量矩阵m ，定 义： m = 咖，如，如】 ( 2 4 ) 此矩阵中共有个列向量，任意一个列向量妒，尺肌1 ，_ ，= 1 ，且膨 。定义向 量y 为： y = m x ( 2 5 ) 4 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 把x = 甲s 代入，得： y = m x = m 甲s = 0 s ( 2 6 ) 其中。为m 维矩阵。 在这样的处理过程中，线性测量矩阵m 为非自适应的，也就是说，m 一旦确定， 便不可改变。经过这样的处理之后，原始信号x 便被变换为了y 。 在此变换过程中，有两个问题值得关注。首先，在变换过程中，需要选择一个稳定 的测量矩阵m ，保证原本的k 个大系数部分没有被损坏。其次，找到一种合适的算法， 可以从y 中恢复出x 。 2 2 测量矩阵的选取 对于y = 呶，矩阵的每一个行向量都可以看作是一个传感器，它提取了信号的 部分信息【7 1 。有了y 中的m 个信息和线性测量矩阵m ，信号就可以完美地重构了。本文 首先从方程的角度来分析这个问题。 经过上面的讨论，可以看出，经过变换之后，原1 维向量x 变换为了m 1 维向 量y 。公式y = 西x = m 弧= 0 s 中，方程共有m 个，而未知数有个，且m 。这样 的方程无法求出一个确切的数值解。然而，因信号x 为k 稀疏，这样求解出k 个未知的 解即可。因k m ，这样方程便可以求解。 讨论完了数值可求解的问题之后，接下来开始讨论测量矩阵m 所要满足的条件。如 果把m 构造成与t 极端相似，也就是拿出t 的前m 行来构造西，显然这个做法是错误 的，因为这样的处理方法就是默认为前m 个信息分量是重要的i 。然而，信号重要分量 的信息是不可预知的，而且随着信号的不同而变化。矩阵m 也可以由最重要的k 个信 息分量来构造，但是这样做的正确率只有1 c 菩。 已经证明，在选取测量矩阵m 的时候，m 与t 应该为极端不相似。并且，数学上 也已经证明，对于任意的k 和稀疏信号x ，取任意常数6 ( 0 ，1 ) ，满足： l 一6 | | o x l l 2 i lx i l 2 1 + 5 ( 2 7 ) 那么就能够从m 1 维矩阵y 中恢复出k 个大系数值。满足此条件的矩阵。定义为满足 有限等距性质( r e s t r i c t e di s o m e 仃yp r o p e r 够，简称r j p ) 。 目前，常用的测量矩阵有：高斯随机矩阵，二值随机矩阵，傅立叶随机矩阵，哈达 玛矩阵【6 】。 2 3 恢复算法 恢复算法本质上是一个求解方程的问题。此处，本文采用一个工程上最常用的“正 交匹配追踪法”( o n h o g o n a lm a t c m n gp u r s u i t ) 【引。 对于正交匹配追踪，它的本质还是来源于“稀疏”的思想。本来，算法的目的，就 5 2 压缩感知的基本理论硕士论文 是为了找到这k 个非零元素。为了便于分析，方便理解，首先假设k = l ，即只有一个 非零元素。 对于矩阵方程y = o s ，首先假设唯一的一个非零元素在s 中的g 行，并假设此元素 值为s 。显而易见，在这种简化处理情况下，矩阵。与s 的乘法运算就是矩阵0 的第g 列0 。与s 中的唯一非零元素s g 的乘积，定义向量y g 为二者乘积的结果，即如= o 。这 个问题也可以这样理解，矩阵0 的第g 列与y 的相似度最高。在数学上，可以表示为： i 爿 1 时的情况。上述的内积处理之后，定义余量l ：l 为： = y o 口 ( 2 9 ) 因为k 1 ，即应该至少有两个非零元素。此时继续做内积处理，找出余量l 与。中所 有列向量内积绝对值最大的那列即可。此处比较时，不与第一次的内积值比较，因为它 已经被保存了下来。经过这两次的操作之后，找到了两个列向量，分别记为。，o g ：。其 中，o 。为第一次找到的列值，o 口：为第二次找到的列值。此时，记= ( o 护o 。：) 。此时 按照式( 2 9 ) 继续更新余量，然后需要继续重复上面的操作，直至找出变换域中所 有的k 个非零分量。由此可以看出，正交匹配追踪算法循环的次数掰k 。算法总结如 下： ( 1 ) 定义一个向量p ，对其初始化，有：p = y 。 ( 2 ) 令。中的每一列均与p 做内积运算，找出内积绝对值最大时o 中对应的列， 记为0 一l ，将此列值保存在矩阵v 中，此时v = 0 叫。l 。 ( 3 ) 定义矩阵w = ( v r v ) 1 v r p 。 ( 4 ) 更新向量p ，p = y v w 。 ( 5 ) 用更新过的向量p 重复过程( 2 ) ，即令。中的每一列均与p 做内积运算。但 是需要注意，此时不再对记录在矩阵v 中的列向量做内积运算。记录此时最大内积绝对 值对应的0 中的列，记为0 m 。2 ，并记v = 【vo 一：】。 ( 6 ) 重复( 3 ) ，( 4 ) 中的更新，并重复( 5 ) ，( 6 ) 的运算，直至达到自己需要的 迭代次数。 至此，本文已经简单介绍完了压缩感知理论的基本原理及基本算法。从中可以看出， 压缩感知能够采用很少的点来完美地恢复出原始信号。虽然它的理论是这样地具有突破 性，然而在实际工程中，除了美国工程师设计出了简单的实际产品外，压缩感知依然停 留在理论的层面，在实际中并未取得广泛地应用。这是因为，压缩感知也有它自己需要 6 硕士论文 基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 改进的一些缺点。首先，y 的长度应该是重要分量长度的4 倍，才能够完美地恢复原始 信号。在数学上，有更严格的定义：m 4 k 或者m 之k 1 0 9 ：( k ) 。其次，恢复算法 很复杂，需要大量的计算。 2 4 仿真分析 以上分析了压缩感知理论的整个过程，首先总结一下压缩感知的整体过程： ( 1 ) 选取合适的基向量矩阵甲，测量矩阵m 。 ( 2 ) 原信号s 与测量矩阵相乘，即：y = 西x 。 ( 3 ) 获得矩阵o = 西甲，并将y 与。带入正交匹配追踪算法。 ( 4 ) 重构原始信号。 在压缩感知算法中，有两个参数影响恢复算法的性能。第一个是y 的长度m 。只有 m 4 k 或者m k l o g ：( k ) ，才能完美恢复出原始信息。第二个是正交匹配追踪算 法中迭代次数m 。只有聊后，才能够找出所有的非零元素。 经过以上的分析之后，生成由若干个正弦信号叠加的信号作为原始信号x ，测量矩 阵西选用高斯分布白噪声矩阵，基向量矩阵y 选用傅立叶正变换矩阵，并运用这些参数 做仿真分析。 ( 1 ) m ，肌均符合算法时的仿真分析 原始信号的稀疏度k = 7 ，原始信号长度= 1 2 8 ，y 的长度m = 4 0 ，正交匹配追 踪算法迭代次数所= 4 k 。仿真结果如图2 1 所示： 复。 图2 1m ，所选取正确时仿真图 图中可以看出，y 的长度m ，迭代次数朋均选取合适参数时，信号可以完美地恢 7 2 压缩感知的基本理论硕士论文 ( 2 ) m 符合，肌不符合算法时的仿真分析 原始信号的稀疏度k = 7 ，原始信号长度= 1 2 8 ，y 的长度m = 4 0 ，正交匹配追 踪算法迭代次数朋 k 。仿真结果如图2 2 所示： 重建信号 不： 图2 2m 正确，所不正确时仿真图 图中可以看出，m 符合，历不符合算法时，信号不可以完美地恢复。 ( 3 ) m 不符合，朋符合算法时的仿真分析 稀疏度k = 7 ，= 1 2 8 ，y 的长度m = 2 0 ，迭代次数坍= 4 k 。仿真结果如图2 3 所 图2 - 3 肘不正确，所正确时仿真图 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 图中可以看出，m 不符合，聊符合算法时，信号不可以完美地恢复。 2 5 小结 本章主要介绍了压缩感知的基本理论。在本章中，讲述了压缩感知的问题模型，测 量矩阵的选取及其恢复算法。在此算法中，有两个参数影响其性能，一个是观测得到的 数据长度，还有一个是恢复算法的迭代次数。与此同时，本章还对压缩感知的基本算法 做了仿真。 9 3 欠采样系统硕士论文 3 欠采样系统 3 1 舡c 系统 3 1 1 问题描述 通过第二章压缩感知基本理论的分析，本文验证了一个离散信号经变换之后可由信 号中少量的稀疏成分完全恢复。受到这样的启发，本章把理论的应用范围扩大到模拟信 号领域，首先引入舭c 模型。 仿照离散信号的线性表示，假设有一有限连续时间信号缸，) ，仍可以用一系列的基 函数去表示它，即： ， 缸，) = 、i ，( ，) ( 3 1 ) i = l 定义a = a 。，a ：，a 】。其中，在位中，非零元素的个数是有限且稀少的。也就是说， 信号是稀疏的。在离散信号域中，本文构造了两个矩阵：一个是线性测量矩阵m ，它 建立了观测信号y 与原始信号x 之间的关系，即：y = 西x ；还有一个是基向量矩阵甲， 它建立了原始信号x 与加权系数向量s 之间的关系，即：x = 甲s 。并且，定义恢复矩阵 o = m 甲。a i c 系统框图如图3 1 所示： 模拟信号f ) - l 数字信号y 【刀】一d s p 信号统计特性 a i c 系统构造 l 图3 1 a i c 系统框图 从中不难看出，越c 系统仍然仿照离散域的处理方法，首先对原始信号进行变换， 然后对变换之后的数字信号y 【乃】去通过d s p 恢复出原始信息。 3 1 2 系统描述 m c 系统处理过程如图3 2 所示： 1 0 见( f ) 一l ，+ l 图3 2 a i c 系统处理过程 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 整个过程包括调制，滤波，采样三个部分【9 】，本文首先做一个数学上的公式推导。 模拟信号 c ( f ) 首先与一个由l ，+ 1 组成的伪随机序列以( ，) 相乘，相乘之后的结果 通过一个低通模拟滤波器，低通模拟滤波器的冲击响应为j l z ( r ) ，然后对滤波之后的信号 以l m 的符号速度进行采样，采样之后的信号用y 【m 】表示。整个过程可用下列公式 表示： 吧 少【朋】= i 甄f 汩。( f 撖f f y r i ，。j ，l ， ( 3 2 ) 把式( 3 1 ) 代入式( 3 2 ) ，整理之后得： y m 】：兰亡、l ，。( r ) 见( r ) 以删一f 胁 ( 3 3 ) 令。 一= e 、i ，。( f 境( f 顺枷一r 沙 ( 3 4 ) 这样，c s 模型就构建成功了。 3 2m w c 系统 在通信领域，现在的通信信号一般是在很宽的频带范围之内分布着几个具有一定带 宽的信号。且相对于奈奎斯特采样率，带宽一般都很窄。其频谱示意图如图3 3 所示： 4 4 4 j 衅， 乇五 六 z 。 假设一个连续时间实信号双f ) ，它的频谱位于 一1 2 r ，l 2 丁) 之间，其中 l r = 钿。一般情况下，对于信号双f ) ，它在频域上是分段连续的。在图3 3 的信号 模型中，信号在频谱中只有六段频谱，定义参数：= 6 。 m w c 系统框图如图3 4 所示【1 0 】： 3 欠采样系统 硕士论文 图3 4 m w c 系统框图 系统框图中共有乘法，低通滤波和采样三个过程。在介绍系统的基本原理之前，本 文先对系统的参数做下介绍。 信号a ( f ) 为一个1 ，+ 1 组成的随机序列，其周期为瓦， a d c 器件的采样率为l z 。定义： = 1 乙，z = l 互 并且，令z = 无。另外，定义参数： 厶= l ( 钿+ z ) 2 l l 另外，令： f = l j ，l 。其中历= 2 。 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 朋= 2 厶+ l ( 3 7 ) 在规定了上述的参数之后，信号a ( r ) 便可做一个明确的定义： p l ( f ) = 口业，七乙m ，( 后+ 1 ) 乙m ，o 七m 一1 ( 3 8 ) 其中，a f j l ，+ l 。 从图3 4 中可以看出，模拟信号顶，) 同时进入肌个信道。在每一个信道中，信号顶f ) 首先与随机序列b ( ，) 相乘。在理论上，a ( ，) 只需要是一个周期信号即可，即： 只( ，+ 珂乙) = 只( f ) ( 3 9 ) 信号“f ) 与p ，( r ) 相乘之后，经过一个截止频率为1 2 c 的低通滤波器，然后被采样率为 l 瓦的a d c 采样。 分析了系统的基本流程之后，接下来分析系统的原理。 任意取一个信道f 进行分析，因为信号a ( f ) 是周期函数，所以有： 1 2 03( 耻 露 pc 佃h = p 中其 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 c l ，= 1 弓f a ( f 弘川，r 7 触衍 ( 3 1 1 ) 6 信号顶r ) 与a ( f ) 相乘之后，定义： x f ( f ) = 双f p ，( f ) ( 3 1 2 ) 对信号为( f ) 做傅立叶分析，得到： 咒( 厂) = q ，以厂一毵) ( 3 1 3 ) ，= 其中，坝厂) 为原始信号f ) 的频谱，凰( 厂) 为信号而( r ) 的频谱。 从上述分析中可以看出，信号缸，) 与a ( ，) 相乘之后，即是对叹，) 频谱的搬移。所 以，滤波器的输入，是原始信号频谱x ( 厂) 经过昵搬移之后的线性组合。假设原始信号 f ) 频谱中每一段频谱均不超过b ，即b 为每一段频谱的最大带宽。因信号的频谱分布 于【一钿2 ，钿2 ) 范围之内，所以任意一路信号频域最多有i 锄b1 个非零部分。 信号经过低通滤波之后，只有位于【一弘2 ，声2 】之间的频谱被保留了下来。 因此，经采样之后的信号儿【”】的离散傅立叶变换为： l o r ( p 广2 矾) = 白x ( 一圪) ( 3 1 4 ) ，暑一工o 上述公式建立了采样之后的信号y ，【聆】的频谱与未知原始信号缸，) 频谱的关联。这 个公式是后面的恢复算法的关键。为了方便后面的分析，将式( 3 1 4 ) 写成矩阵的形式， 有： y ( 厂) = a z ( 厂) ( 3 1 5 ) 其中： y ( 厂) = k ( 厂) ，k ( 厂) ，匕( ) 】r ( 3 1 6 ) z ( 厂) = 硪厂一厶) 坝厂) 以厂+ 厶) 】1 在矩阵a 中，有： a i l2c i l2ct l 在此，定义： ，t p f m d t = 睾i 矿1 强| d l 上p o 计算可得： 奶= 朦篡 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 1 3 3 欠采样系统 硕士论文 同时，还定义：日= p j 2 州m ，所以，化简可得： ，一l c f ，= 4 a f 9 肫 ( 3 2 1 ) i 却 定义： f f = 【p o ，9 1 ，日m 一1 x 】r ， 0 f m 一1( 3 2 2 ) 同时定义s 为册肘的符号矩阵，即s ， = 上，d = 旃昭( 吃o ，以上o ) ，其中的西由式 ( 3 2 0 ) 得到，那么式( 3 1 5 ) 可写成如下形式： x ( 厂) e ( 厂) ( ) 卜 2 匕 q 肛1 o 卜l i i f o f 肋 i i li o0 oi l o “j 坦厂一厶) 坦厂) 坝厂+ 厶) ( 3 2 3 ) 至此，m w c 模型的基本过程已经分析完毕。从中可以看出，原始信号经过与随机 序列相乘，低通滤波，采样之后，原始信息的频域与采样之后的信号频谱之间建立了关 联。而就是这样一个关联，是恢复算法的基础。 上述分析中本文建立了原信号与采样信号之间频谱的关系，下面从另外一个角度分 析m w c 模型的工作原理。 整个系统可用下述公式表示： y ，【力】- ( 顶，塘( ，) 故，) ) l ：。瓦 ( 3 2 4 ) 将式( 3 1 0 ) 代入，得： o 咒【 】= ( 双f ) 白2 州研+ 坝f ) ) l ；。= 白( f 弘一7 2 础厅以f ) 【硼) ( 3 2 5 ) 有了这样的一个公式，图3 4 可用下面的等效系统图代替【l l 】，如图3 5 所示： 1 4 。人入xl ( f ) 。、1z 一【，l 】。 弋6 7 厅( f ) x ( ，) ，器生- i 高一 m ，低通 、s 傅立叶系 数矩阵 引o h ，i - 、州吗 c p + ? 删r i ，? 瓦 脚肘 人a x 册( f ) 。、1z 上【疗】。 叫八 7 ( f ) 图3 5m 、c 系统等效系统框图 l 【刀】 朋【玎】 硕士论文 基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 从图3 5 中可以看出，信号颤，) 首先进入( 2 + 1 ) 个信道，其中每个信道与不同的 指数函数相乘，完成的功能是频谱的搬移。经过低通滤波，采样之后，得到的信号用矩 阵z 表示。因信号) c ( f ) 在频谱范围内只有有限个带宽的信号，显然在不同的z ，【，z 中， 有的信道是有数据的，而有的信道经滤波之后没有数据。信号矩阵z 与傅立叶系数矩阵 c 相乘之后，得到最终获得的信号y ，用公式表示： y = c z( 3 2 6 ) 其中，c r ”州，z r 肌，y r ”，m = 2 三+ l ( 假设采样了个数据点) 。 以上本文从两个不同的角度分析了m w c 系统，最后得到的都是一个方程。而恢复 算法的本质就是去求解这样一个未知数个数多于方程个数的矩阵方程。 3 2 2 恢复算法 以上讲述了m w c 模型中的采样部分，下面开始介绍如何从采样到的信息中恢复出 原始信号。恢复原始数据z 的本质是求解未知数个数多于方程个数的方程。然而，因为 未知数中大多数是o ，所以只要找到待求解的矩阵中哪些位置数据为o ，哪些不为o ， 这个方程便可以求解。 首先定义，若一个向量u 中只有k 个非零元素，或者只有k 个较大的元素，那么向 量u 被称为k 稀疏向量。定义s = s u p p ( u ) 记录的是非零元素或者较大元素在向量u 中的 位置。针对于式( 3 2 6 ) ，s 中保存的是矩阵z 中非零行的位置信息。求解向量s 的过程 如图3 6 所示： y q = d 【刀】，【聍】 q 。 构造矩阵v ， v 求解v = c u s = s 叩反u ) 一 满足q = w 厅 图3 6s 求解框图 在图3 6 中，矩阵y 为采样得到的数据矩阵，利用公式： q = j 取) 】，( 渺= y y r ( 3 2 7 ) 厂e 尽 ”。 可以求得矩阵q 。之后，需要构造任意一个满足 q = w 日 ( 3 2 8 ) 的矩阵v 。此处，可以选取矩阵q 的特征向量组成的矩阵和对应特征根的算数平方根 所组成的对角矩阵的乘积作为矩阵v 【1 2 】。 在确定了矩阵v 之后，便可以利用正交匹配追踪方法来求解方程v = c u 。这样向 量s 便可以确定，从而可以确定矩阵z 中非零元素所在的行。 1 5 3 欠采样系统 硕士论文 定义c 。为在s 索引下由矩阵c 中的列向量组成的矩阵。同时，定义： c s + = ( c 。日c 。) 一1 c 。h 这样，便可以用公式： z s 刀】- c s + y 刀】 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) z f 厅】= o ，注s ( 3 3 1 ) 去恢复信号【埘。需要注意的是，此时，z 【玎】的采样率是z 。因此，还需要对此信号进 行内插。内插过程用如下公式表示： 三 二】_ 叭刀】二= 比，胛z i i od 历e 刑括g ( 3 3 2 ) 经过内插之后，信号被恢复到奈奎斯特速率。因位于不同频带的信号在采样前均被 搬移到了基带，所以最后还应该把它们搬移到原来的位置。各信号经过搬移并相加之后， 原始的信息便恢复了出来。 3 2 3 仿真分析 为了验证m w c 模型的性能，对系统进行仿真。 首先，设定系统的通道数朋= 4 ，奈奎斯特采样率= 1 0 0 m h z ，采样率声= 1 6 m h z ， 低通滤波器的截止频率彦= 8 m h z 。那么，通过计算可得，肘= 7 ，即周期函数a ( f ) 在 一个时间周期l 内共有7 个值。 3 2 3 1 理想参数仿真 整个系统前端共分为相乘，低通滤波，采样三个部分。理想的低通滤波器如图3 7 所示： jl l 仃w ，i w c 0w c jl 妒l w j w f o 五 w f 0 图3 7 理想低通滤波器幅频和相频特性图 它所对应的冲击响应为s i l l c 函数【1 3 1 ，即： 敝f ) ：竺生s i i l 【( ，一岛) 】 ( 3 3 3 ) 兀 理想低通滤波器冲击响应是无限长的。然而，无论是仿真，还是实际的工程，均不 1 6 硕士论文基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 可能选用无限长的冲击响应。此处冲击响应的点数为珂姗6 p ，= 4 2 0 0 0 。冲击响应的实现 是对 1z e r o s ( 1 ，2 甩“m 6 e r 彦钿一1 ) 数组进行内插，内插至4 2 0 0 0 个点。 m a t l a b 中仿真的理想低通滤波器幅频响应如图3 8 所示： 理想低通滤波器幅频响应 趟 馨 翘 爨 图3 8m a hab 仿真理想低通滤波器幅频响应图 图3 8 中可以看出，设计的滤波器边沿极其陡峭，且在通带内基本没有波动，基本 可以看作为理想滤波器。 3 2 3 2 非理想参数仿真 图3 8 中设计的滤波器近似为一个理想的低通滤波器，然而实际的工程中，这种滤 波器是不存在的。滤波器在通带之内不仅有一定的波动，还存在过渡带，即截止频率处 并不是这样的陡峭。另外，在阻带内，也不可能达到完全的衰减【1 4 】。实际的低通滤波器 幅频响应如图3 9 所示： 1 7 3 欠采样系统 硕士论文 顾) i 如 1 jl 厂、厂、厂、 一1 j _ 4 0 vy 7 过渡带 图3 9 实际滤波器的幅频响应图 需要强调的是，在仿真的时候，必须按照所选的实际滤波器的器件去仿真。另外， 在仿真的过程中，还可以对采样过程进行量化处理。综合硬件设计和算法性能，此处选 用9 位的a d c 进行量化处理。 以上分析了在仿真过程中参数的选取问题，下面对分析的结果进行对比。仿真时的 输入信号为一个1 0 瑚z 的正弦信号。当选用理想低通滤波器，采样之后的结果没有经 过量化处理时，恢复信号的频谱如图3 1 0 所示： 理想参数的仿真结果 1 8 岔 已 毯 馨 密 爨 图3 1 0m w c 系统理想参数仿真恢复信号频谱图 硕士论文 基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 当选用非理想低通滤波器，采样的结果经9 位a d c 量化时，恢复信号的频谱如图 3 1 1 所示： 实际工程参数的仿真结果 图3 1 1m w c 系统实际工程参数仿真恢复信号频谱图 图3 1 0 和图3 1 l 仿真结果之间有很大的差距，而造成这个差距的原因，主要是滤 波器的边沿不够陡峭。滤波过程中，并没有将搬移后的频谱有效地衰减掉。 以上本文对m w c 系统进行了仿真。然而在此需要说明的是，系统恢复算法的成功 是有一定概率的。而影响其是否能够恢复出原始信号的就是周期函数p 。( f ) 。周期函数 p 。( f ) 不仅影响系统的恢复概率，还影响系统的恢复效果。但是，理论上，周期函数p 。( r ) 的选取还没有得到很好的解决。 3 3 小结 本章主要对压缩感知在欠采样系统中的应用做了介绍。欠采样系统有a i c 和m w c 两种模型。本章首先对a i c 系统的理论做了介绍。紧接着，本章详细分析了m w c 系 统，并在理想参数和实际参数两种情况下做了仿真。在m w c 系统中，周期函数的选取 会影响系统的恢复概率和恢复效果。 1 9 4 m w c 系统硬件设计硕士论文 4m w c 系统硬件设计 本章将开始讨论系统的硬件设计。整个系统的框图如图4 1 所示： 图4 1m w c 系统硬件框图 整个硬件系统可以分为三部分，第一部分为乘法，滤波组成的模拟电路模块，第二 部分为模数转换模块，第三部分为后端的数字信号处理模块。再加上电源系统，时钟系 统和印刷电路板( p c b ) 设计，本章共分6 部分对系统进行讨论。 在具体讨论之前，首先定义系统中的参数。 系统的通道数为4 ，奈奎斯特采样率为1 0 0 m h z ，采样率为1 6 m h z ，低通滤波器 的截止频率为8 m h z 。那么，通过计算可得：m = 7 ，即周期函数p ，( f ) 在一个时间周 期内共有7 个值。如表4 1 所示： 表4 1 硬件系统的参数指标 参数 参数值 硕士论文 基于压缩感知理论的采样系统设计与实现 4 1 模拟电路设计 模拟电路模块完成的功能有两个：一个是乘法模块，即信号与随机序列相乘，完成 信号频谱搬移的过程；另外一个是滤波模块，即完成信号的低通滤波。 系统框图如图4 2 所示： 图4 2 模拟电路系统框图 4 1 1 功分器设计 输入信号由信号源产生，由无线电天线接口( s m a ) 连接至电路板上。因信号要 由一路转为四路，而如果不经过处理，直接分为四路信号，势必会造成阻抗的不连续。 当信号在传输线上传输时，若阻抗不连续，会造成信号的反射1 5 】。信号的反射会对信号 的完整性造成严重的影响，所以首先对信号的反射理论做一下简单的分析。 反射系数是衡量信号反射量的一个重要参