（光学专业论文）映射网络的混沌同步.pdf

中文摘要 摘要 本工作首先研究了近邻耦合混沌映射网络，当存在外界驱动或全局耦合作用时，系统能达 到多个振子同步。通过复氏变换，确定最不稳定的模，理论上给出了n 维网络振子个数上限值 与耦合系数之间的关系式。这在理论上是一个突破，由以前的半解析关系式过渡到全解析关系 式。研究还发现外界驱动振子和全局耦合作用对系统的动力学的影响是一样的。当增强驱动( 或 全局耦合) 作用系数，系统的状态大致经历这样一个过程：时空混沌一部分振子同步一完全同 步一时空斑图一时空混沌。 本工作还研究了非近邻耦含混沌映射网络，当最小耦合个数同系统振子个数满足一定的比 例关系时系统就能同步。这种耦台方式在实际操作中很容易实现，而且较全局耦合更能减少耗 资。计算结果还表明：当在一定的参数范围内，固定耦合个数，多个振子的系统能同步，少数 个振子的系统却反而不能同步。 最后研究了映射网络中斑图的产生。在全同振予系统中引入不纯振子，即部分振子和其他 振子不一样，随着演化时间的改变，空间图案总是以不纯振子为中心，成对称分布，而且图案 形状也会改变。 关键词：映射；时空混沌：时空斑图 a b s t r a c t f i r s t l y ，c h a o t i cm a pn e t w o r k sw i t hn e a r e s t - n e i g h b o rc o u p l i n g sa r es t u d i e d i ts h o w st h a tt h e c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o ni ss t a b l ei nt h ep r e s e n c eo ft h ee x t e r n a lo rg l o b a lc o u p l i n g b a s e do nf o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ，b yd e t e r m i n i n gt h em o s tu n s t a b l er n o d e s t h ea n a l y t i c a lr e l a t i o n sb e t w e e nt h ec r i t i c a l v a l u e sa n dt h ec o u p l i n gc o n s t a n t sh a v eb e e ng i v e n t h i si sat h e o r e t i c a lb r e a c hf r o ms e m i - a n a l y t i c a l r e l a t i o n st oa n a l y t i c a lr e l a t i o n s i ti sf o u n dt h a tt h eg l o b a lc o u p l i n gh a st h es i m i l a re f f e c to nt h e d y n a m i c so ft h en d w t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ss h o wt h a t , a st h ed r i v i n go rg l o b mi n t e r a c t i o n s t r e n g t hi n c r e a s e sf r o mz e r o ，t h en e t w o r ks l a t e sh a v et h ew h o l er o u t e s p a t i o t e m p o r a lc h a o t i cs t a l e - c l u s t e rc h a o t i cs y n c h r o n o u ss t a t o c o m p l e t ec h a o t i cs y n c h r o n o u ss t a t e - s p a t i o t e m p o r a l p a t t e r n s p a t i o t e m p o r a lc h a o t i cs t a t e s e c o n d l y , c h a o t i cm a pn e t w o r k sw i t hl i o nn e a r e s t - n e i g h b o rc o u p l i n g sa r es t u d i e d i ti sf o u n dt h a t t h en e t w o r k sc a ns y n c h r o n i z ei ft h em i n i m a l c o u p l i n gn u m b e ra n dt h eo s c i l l a t o rn u m b e ro fn e t w o r k s r e a c hc e r t a i nr e l a t i o n ，t h i sc o u p l i n gw a yc a b ee a s i l yr e a l i z e da n di tc a nu s el i t t e rc o s tt h a nt h a to f g l o b a lc o u p l i n g c a l c u l a t i o n ss h o wt h a ti ns o m ap a r a m e t e ra r e a , w i t hf i x e dc o u p l i n gn u m b e r , t h e n e t w o r k sw i t hm o r eo s c i l l a l o r se a s i l ys y n c h r o n i z et h a nt h a to ff e wo s c i l l a t o r s l a s t l y t h ep a t t e r ng e n e r a t i o no fm a pn e t w o r k sw i t hs o m ei m p u r i t yi sr e s e a r c h e d s p a t i a lp a t t e r n i ss y m m e t r ya r o u n dt h ei m p u r i t ya n ds p a t i a lp a t t e r n sc h a n g ew i t ht i m e e v o l v e m e n t k e y w o r d s ：m a p ；s p a t i o t e m p o r a lc h a o t i cs t a t e ；s p a t i o t e m p o r a lp a t t e r n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名：日期：2 0 0 6 1 2 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理。 签名：导师签名：日期：2 q 逝! 1 2 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃的发展。其中，对混沌的研究占了极大份额。半个 世纪以来，人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现已经有了十分丰富的认识 。关于混沌的理论和实验研究改变了人们对许多传统现象的认识，为众多长期困扰着人们 的实际问题提供了新的分析思路和解决办法。其中混沌的同步与控制是这一研究领域的一个热 点，这一研究方向的深入开展为系统科学中的非线性现象提供了全新的认识。 混沌系统的一个重要特征是对初值状态的敏感性。系统初始状态或系统参数的一个微小误 差将随着时间的流逝发展成和系统状态信号相同尺度的误差。也就是说，从临近初始状态出发 的两条轨迹在有限时间的流逝其轨迹变得彼此不相关。而混沌同步的要求从不同初始状态出发 的混沌系统随着时间的流逝其轨迹任意接近。混沌和同步从概念上似乎是对立的，但p e c o r a 和c a r r o l 在专门设计的电子学实验线路中实现了两个混沌系统的同步，突破了这个禁锢，开 辟了一片新的天地。并带来诱人的应用发展前景。2 0 世纪9 0 年代的研究表明，通过在混沌系 统之间施加合理的耦合，混沌同步完全可以达到。关于混沌同步的报道很多，涌现出了大量的 新思想与新方法，有的侧重于研究系统的耦合形式，有的侧重于同步稳定性分析，有的侧重于 应用。混沌同步不仅仅是一个有趣的理论问题，而且它有着广泛的应用前景。 在本章中，我们将简单介绍一下复杂性问题研究的几个主要内容，其中包括混沌的定义、 混沌现象、混沌控制和混沌同步，等等。对混沌定义，混沌现象、混沌控制只作简单的描述， 而对本人硕士阶段的主要工作领域混沌同步将作详细的介绍。 1 2 混沌的定义 常差分方程或常微分方程所描述的系统称为确定性系统。差分方程描述的是离散时间点的系 统，称为离散时间系统或映射。微分方程所描述的是时问连续的系统，称为连续时间系统。本 文中指的系统，如果没有明确指出，都是指确定性系统。确定性系统还可以分为线性系统 和非线性系统a 假设丑和恐是系统的任意两组解，如果对于任意常数n 和b ，q + 仍是系统 的解，那么该系统为线性系统，否则为非线性系统。另外，根据系统是否受外界的干预，还可 以分为自治系统和非自治系统。 对于确定性系统来说，系统的稳定解可以是定态，周期运动，拟周期运动。在相空间中对 1 东南大学硕士学位论文 应的几何体分别为：平衡点，极限环，环面。本文研究的对象为混沌系统，此时系统有一种有 界非稳定解( 对初始状态敏感) ，在相空间中对应为奇异吸引子。混沌想象是非线性系统的一 种特有现象。对于混沌的定义到目前为止还没有一个统一的定义“。我们关注的是混沌同步问 题，在本文中，只要系统初始点敏感( 最大l y a p u n o v 指数为正) ，我们就可以认为是混沌。 1 3 混沌现象 在这一节中，我们将给出一些具体、典型的混沌例子，由此说明混沌运动的一些基本规律， 在本文中，l o g i s t i c 映射( m a p ) 被当作我们研究混沌同步的主要动力学模型。 、 l 0 9 i s 血映射 1 9 7 6 年，美国数学生态学家梅( m a yr ) 发现了一个简单的离散动力学系统： 矗“= a x ( 1 一毛) ( 1 3 1 ) 其中a 是系统参数( 0 a 4 ) 。这一模型可以用来描绘昆虫的数量随时间的变化，考虑的 重要因素是成虫的繁殖和虫子之间的竞争叫。对于这样一个简单映射，我们关心其最终状态是 什么。在图( 1 3 1 ) 中，我们给出了l o c s t i e 映象随参数4 改变的分叉图图( 1 3 1 ( a ) ) 以及 对应的l y a p u n o v 指数曲线图图( 1 3 1 ( b ) ) 。很显然，在图( 1 3 1 ( a ) ) 中从左到右，随着a 的 增加，系统的状态由周期一( 不动点) ，周期二，通过倍周期分叉，向周期2 “逐渐变化，直至 到非周期的混沌解。而在图中从右到左，随着a 的减少，系统状态可以由一个混沌带，两个混 沌带，向2 4 个混沌带变化。最终，这两种变化趋势( 向右的倍周期分叉和向左的混沌带倍周期 分叉) 将交汇于某一个参数值。在混沌带中，我们也能够观察到周期运动，其中最明显的是周 期三窗口。物理学家f e i g e n b a u m 利用重整化群的思想，仔细研究了这一动力学系统晌，发现 了其中很好的标度规律，找到了普适常数：f e i g e n b a u m 常数。 这一模型对于揭示混沌运动的特点有其普适性。另外，比较典型的混沌映象模型，还有： 帐篷映射( t e n tm a p ) ，h e n o n 映射等等。 2 第一章绪论 ( a ) 图( 1 3 1 ) ：( a ) l o g i s t i c 映射的分叉图 二、l o r e n z 振子 c o ) ( b ) l y a p u n o v 指数曲线图 l j = a ( y z ) 夕r xyx z( 1 3 2 ) 【i = x y b z 图( 1 3 2 ) ：l o r e n z x - y z 相图及其x 变量时间序列。 l o r e n z 通过求解l o r e n z 模型，发现初始条件的微小误差竟然会导致系统的面目全非。这 3 变里查堂堡堂竺丝苎 一惊人的发现使他创造了著名的“蝴蝶效应”名言；今天单个蝴蝶的翅膀有可能带来一个月后 的龙卷风。值得提出的是，直到目前为止，人们还没有给出混沌的确切定义。人们普遍接受的 观点就是把混沌的典型性质蝴蝶效应，作为混沌的定义，即混沌运动是非线性系统中的内 在随机性，它的运动轨道对初始条件极端敏感。 三、h i n d m a r s h - r o s e 神经元模型 最后，我们看看存在于神经系统中的混沌现象。1 9 5 2 年h o d g k i n 和h u x l e y 根据离子通道 理论提出了一个后来被广泛应用的神经元模型：i - i - h 模型。在前述模型的基础上，后人经过 简化和修改后得到了几种不同的神经元模型，如f i t z h u g h - n a g u m o 模型m 1 ，h i n d m a r s h r o s e 模 型悯等。下面我们着重介绍一下h i n d m a r s h - r o s e 神经元模型，其方程如下： 竞= 了一n x 3 + b x 2 一z + l 。口， 多= c - - d x 2 一y ，( 1 3 3 ) 2 = r s ( x 一) 一z l ， 其中x ，y z 三个变量分别代表膜电位、恢复因子、缓适应电流。外加刺激用k 表示，并且设定 在神经生物学中有意义的范围( o 一4 ) 内。h - r 神经元混沌吸引子形状可参见图( 1 3 3 ) 。 i 一 图( 1 3 3 ) ：h - r 神经元混沌吸引子三维相图 除此之外，比较典型的混沌振子模型“”1 还有：r o s s l e r 超混沌振子，蔡氏电路，非自治 的d u f f i n g 方程等，所有这些振子均具有混沌系统的最基本特征。 上面我们介绍了种差分方程( l o g i s t i c 映射) 和两种微分方程( l o r e n z 振子方程和 h i n d m a r s h - r o s e 神经元振子方程) ，那在本文中，我们为什么会选l o g i s t i c 映射( m a p ) 作为我 们研究混沌同步的主要动力学模型呢? 原因是低维差分方程可能反映高维微分动力系统的部 4 第一章绪论 分规律，因此差分方程所代表的动力系统要比相同维数( 状态变量数目相同) 的微分动力系统 复杂。实际上，微分动力系统受到其状态变量应是连续变化的要求，这种连续性使其运动要受 到较严格的限制。而在离散映射中，状态变量的变化是不连续的，从而它不存在连续性对运动 的限制，这就是离散系统的运动可以更丰富多彩。因此总的说，离散系统的运动比之相同维数 的微分动力系统要复杂得多，或者说所蕴含的信息量要多。比如，一维或二维的微分动力系统 不可能作混沌运动，但是一维离散映射却可能出现混沌。另外一个原因就是差分方程利于理论 推导。 1 4 混沌控制 一般情况下，混沌的无规则性是人们不需要的，那么，如何将混沌运动控制到规则运动就 成为混沌应用需要解决的问题之一。自从1 9 9 0 年，m a r y l a n d 大学的o t t ，c j r e b o # 和y o r k e 首 次提出o g y 控制方法以后，控制混沌很快成为人们研究的热点问题。人们提出了各种各样 的混沌控制方法，并且已经出现有关混沌控制方面的综述性文章】。总的来说，可以分成两类： 反馈控制和非反馈控制方法。反馈控制一般以原系统的固有态( 在非控制系统中它们是非稳的) 为控制的目标态，通过改变其稳定性，实现控制，而当实现以后，控制项的影响消失。然而对 非反馈控制，人们一般对混沌系统注入一个与系统无直接关联的作用力，因而无需对原系统数 据采样，方便实用，但坏处在于，它的作用在实现控制后必须始终保持，因而最终实现的态通 常不再是非控制系统原有的态。 1 5 混沌同步 对于混沌控制，人们总是试图将混沌轨道加以消除，得到我们实际所需的规则态。然而， 有时混沌运动正是我们所需要的( 如混沌保密通信等) ，因而我们试图将混沌系统驱动到我们 所需的混沌轨道上，这就产生了混沌同步问题。由此看来，混沌同步本质上是一类特殊的混沌 控制。如果我们用一个混沌信号去驱动一个原本混沌或不混沌的系统，那么输出和输入的关系 又将如何，这两者之间可能存在有各种同步关系。这些都是人们在对单个混沌系统的规律熟知 以后，在扩大混沌应用范畴时所首先面对的问题。对于现实世界的耦合时空系统中的自组织现 象，以及各种斑图的形成，人们也迫切希望找出其中的根源。混沌系统的同步理论对于揭示耦 合单元之间的关系无疑是一个很好的工具。 混沌同步的理论在近十年的研究中，借助于混沌控制和其它领域的一些理论和方法，取得 了很多有意义的理论结果，并成功的应用于实际中去。人们借助于混沌控制和非线性系统中的 5 东南大学硕士学位论文 方法，提出了很多混沌同步方案，主要有驱动响应同步，耦合同步，输出反馈同步等。下面 我们重点介绍一下驱动响应同步和耦合同步的原理。 1 5 1 驱动一响应同步 p e c o m 和c a n o l i 针对可分的混沌系统，并将系统的状态变量分解为“和v 两部分，其中“作 为驱动矢量直接输入到响应系统中。相应的将系统分解为稳定和不稳定的两个子系统，将其中 稳定的予系统复制为响应系统。这样就得到了驱动，响应总体的动力系统如下： a = f l ( u ，d 1 讧，2 m ，v ) 咖= 五( ，w ) ( 1 5 1 1 ) ( 1 5 1 2 ) 令e = v - ，则得到自同步的误差子系统为a = l ( u ，v ) 一l ( u ，o 。我们可以通过计算条件 l y a p t m o v 指数，或者构造误差系统的l y a p u n o v 函数，再根据l y a p u n o v 稳定性原理来判别同步 的稳定性。驱动一响应同步方案它用驱动变量替代响应系统中相应的变量，且要求系统可以分为 稳定的和不稳定的两个子系统。这存在一些实际的困难，对于一些实际的非线性系统，由于物 理的、生物的或内在的原因而无法分解，这样就无法构造响应系统。驱动，响应同步方案有一定 的局限性，应用范围有限。 1 5 2 耦合同步 耦合同步的实验及理论研究具有重要的意义，它是一种普遍的现象。特别是，自从八十年 代末在中央神经系统中发现了被同步的神经激发活性以来，大大促进了从理论上研究同步的数 学物理机制，人们相信神经同步代表在大脑信息处理中至关重要的目标特征的接合问题，从生 物物理细节抽象来看，神经系统就是属于一种用脉冲相互作用表征的一类重要的耦合振荡子。 简单的耦合系统能够展示复杂的图样及真实系统中所期望的时空混沌。w u 和c h u a 对线性耦合 作了一般的分析，从理论上证明了：子系统之问的足够强的耦合能够使各子系统的轨迹趋于同 步 2 2 1 。 6 第二章受外界驱动振子和令局耦合作用的最近邻耦合映射网络的振予个数不稳定性研究 第二章受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻耦合映射网络 的振子个数不稳定性研究 2 1 引言 由完全相同的混沌子系统构成的耦合混沌系统出现完全混沌同步态时，由于整个耦合系统 稳定到耦合系统的子空间同步流形上，我们可以通过线性化方程的对角化，建立非常漂亮的混 沌同步理论。事实上，我们会比较普遍地遇见具有较复杂耦合方式( 如全局耦合，星型耦合、 次近邻耦合等等) 的n 个完全相同混沌振子耦合起来的动力系统。用方程组表示为， 正；= ， j ) + ( 岛- r d r ( u “一u i ) + ( e t 一) m j - f 一a j = l j = o ，1 ，n 一1 ， ( 2 1 1 ) 其中， ) 是作混沌运动的非线性函数，l 是相互作用范围，岛和分别代表相距为l 的扩散耦 合参数和梯度耦合参数，r 是一个与耦合方式有关的n x n 的常数矩阵。美国海军实验室的 p e c o r a 和c a r r o l l 提出的主稳定函数法( m a s m rs t a b i l i t yf u n c t i o n ) 和北师大物理系非线性研究 组的胡岗和杨俊忠提出的本征值分析法( e i g e n v a l u ea n a l y s i s ) “8 1 都从理论上系统地解决了这类 耦合系统中的混沌同步问题。我们将分别介绍他们的工作，这对于建立完整的混沌同步物理图 景是很有帮助的，同时它很好地揭示了与同步混沌相关的一些重要性质。 他们的思路如下：引入同步流形和横向l y a p i l n o v 指数的概念，若同步混沌稳定( 演化时 间趋于无限大时，系统最终落在同步流形上) ，则所有的横向l y a p u n o v 指数均为负。对方程组 在同步解s ( f ) 附近作线性化，“，= s ( r ) + 卵，可以得到： 疗= ( 巧( j ) ，+ b f ) f f ， ( 口r 7 7 ) j = ( 岛一巧) r ( 乃“一仉) 十( 岛+ 吒) r ( 7 _ f 一仉) ， 1 = i ( 2 i 2 ) ( 2 1 3 ) 这里d r ( s ) 是，对j ( f ) 的雅可比矩阵，1 7 = ( 哺，仍，) 7 ，是n x n 的单位矩阵，b 是 n n 的耦合矩阵。将矩阵口对角化，可得 张= 凡i 识，k = 0 , i ，n i ( 2 1 4 ) 以本征矢唬为基展开玎，可得到1 7 = v t ( t ) 确t 。这里k ( f ) ( 七= o 。l ，n 一1 ) 是复系数，满足 7 东南大学硕士学位论文 方程 吃( f ) = d f 0 ( f ) ) + 五r 】咋( f ) ，k = 0 , 1 ，n 一1 ( 2 1 5 ) 上式中屹) 的演化只决定于z 矿( j ( ，) ) 和k 的本征值，与其它模式无关。这一方程形式被p e c o r a 和c a r r o l l 称作主稳定方程( m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n ) ，因为它可以被用来表示任意耦合方式下 的单个独立模矢的稳定性。 以上通过本征值分析方法，我们将一个复杂的耦合问题分解成两个相互独立的，简单且易 于处理的问题：主稳定方程和耦合矩阵的本征值分析。首先，通过数值计算，在复空间上确定 五的稳定区分布，即找出方程中的最大l y a p u n o v 指数为0 的临界曲线，以此为界，将复平面2 分成稳定区域和非稳定区域。然后观察耦合矩阵曰的本征值落到哪个区内。同步混沌态应对应 于除了k = o 模矢落于平面上的( 0 ，0 ) 点( 稳定区外) ，别的模式的本征值落在稳定区内。在此 基础上，通过不同的耦合方式确定不同形状的临界曲线，本征值分析方法可以直观地对同步混 沌进行分类，而通过观察本征值如何穿过临界曲线，它可以非常方便地用来确定同步混沌态失 稳的方式，如短波分叉等。由此，复杂的耦合系统的同步混沌问题得到了全局性、直观性解释。 在上文分析中我们已经看到p e c o r a 和c a r r o l l 早期使用的傅立叶变换方法以及胡岗和杨俊 忠提出的本征值分析法的本质是要将耦合系统对于同步混沌态的线性化方程对角化，得到独立 的模矢稳定方程，其中k = o 模矢决定同步流形上的混沌运动，而k 0 模矢决定同步流形横向 方向上的稳定性。因此，对于不同模矢k 稳定性的分析可以通过计算相应的最大l y a p u n o v 指数 来获得。对应于k = o 模矢的最大l y a p u n o v 指数应该是正的( 同步态是混沌的) ，而对应于k 0 模矢的最大横向l y a p u n o v 指数是正或是负则决定了同步混沌态是稳定的或不稳的。摒弃计算 对应于每对( 七，n ) 的最大l y a p u n o v 指数的方法，一种更全面、实用的方法是引入一个新的量： 简化波数q = k i n ，q 是 o ，1 中的连续变量。这样通过计算最大l y a p u n o v 指数名( q ) 可以判断 同步混沌态的稳定性。 前人已经通过数值计算对具有最近邻对称耦合或近邻单向耦合的环型结构中混沌振子个数 不稳定性规律做了研究，研究表明对于这两种结构同步振子个数有一个上限值。我们自然会问， 如何使多个振子的结构同步呢? 我们发现受外界驱动振子或全局耦合作用的大型网络也能同 步，所以在本文中我们主要研究受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻非对称耦合网络。 虽然上面提到的主稳定函数的方法很实用，但它也有局限性，因为它最终还是必须通过数 值分析的方法来得到结果。m p i n e d a 和地g c o s e n z a 对受外界驱动振子和全局耦合作用的 最近邻对称耦合网络作了初步的研究，他们也通过复氏变换得到l y a p u n o v 指数的表达式，然 8 第一二章受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻耦合映射网络的振子个数不稳定性研究 后数值分析得到同步区域。圳。对于m a p 网络我们可以通过确定最不稳定的模从而得出混沌振 子上限值 0 与耦合系数之问的全解析表达式。这在理论上是一个突破，也是本篇论文的一个 亮点。 2 21 维映射网络( 1 d w ) 的振子个数不稳定性研究 下面通过复氏变换，理论推导受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻非对称耦合1 d w 的 振子个数不稳定性问题，下面是该网络受驱动振子的表达式： 粕o ) 可伉o ) ) 蚝【厂( ，一助- ，瓴u ) ) l + a j d f ( x d + 1 ) ) 一触( ) ) 】 弋d2 n i 瓶( d ) _ 矧删+ 彬_ 矧) ) l ( 2 2 1 ) v i f l 其中，( 埘= u x m ( 1 - x 。) 表示节点的动力学为l o g i s t i c 映射，是网络的总节点数。方程 ( 2 2 1 ) 里的第二、三项是近邻耦合，第四项和最后一项分别是全局耦合作用及外界驱动作用。 外界驱动我们定义为f ( 砷= ，o 嚣) = l 戚( 1 一碍) ，并且用了周期边界条件。 我们把同步态= ( 力，w 用下面的方程来描述： 矗“= ( 1 - a o ) f ( ) + 嘞，( 碍) ( 2 2 。2 ) 定义( j ) = x m ( j ) - x m ，为了研究同步态的稳定性问题，我们通过复氏变换将方程( 2 2 1 ) 对角线性化。 a x m ( j ) = 专车驰) e 一础 燹换方程为： l ( t ) = ，( ) 【( 1 一印一口h a j + l - d ) + a j 掀7 + a j + l e - z 。掀7 + 号护t ， 旺2 舢 = ，1 ) “l a o 一和一口一i d ) + 口，_ l p 汜麻7 + a j + l e - i 2 石k l n 】毒l ( 七) 令：4 用= 6 c 妒幻，其中b 和c 分别为扩散耦合和梯度耦合系数，得 磊+ i ( = 八) 【1 一一d 一砌+ 幼c o s 警十f 知s i n 警瑶( d ( 2 2 5 = 以七) ，i 晶) 磊( _ j ) ， 其中n 耻) 是网络耦合矩阵的本征值，七= o l ，2 ，n - i 由公式( 2 2 5 ) 我们得到l y a p u n o v 指数( l e ) ： 东南大学硕士学位论文 构以+ l n | 酬 = 石一- o 一晋斜 q 2 6 其中磊是根据方程( 2 2 2 ) 算出来的l y a p u n o v 指数，磊= l i m m 一去篆l n i “( 1 2 再) l 。 图( 2 2 1 ) 元与的关系曲线图，“= 4 。 图( 2 2 1 ) 就是“= 4 时，冗与的关系曲线图，我们发现同步态都是混沌态。从方程( 2 2 6 ) 我们可以发现，全局耦合作用和外界驱动对网络动力学所起的作用一样。当似k ) o ，v k ， 即 n 一嘞一d 一帖s i n 2 - 簪1 2 + 和2 s i n 2 等 r 勰， ( 2 2 7 ) 时，系统才能达到混沌同步。令工= 1 一嘞一d 一铀s i n 2 - 簪，y = 2 c s i n 簪。方程( 2 2 7 ) 能写成这 样的形式r + ) ，： o ，而又因为c b ，所以从方程( 2 2 7 ) 出发我们得出最不稳定的是七= 1 和k = n 一1 两个模。设最大的节点数为m ，要使混沌同步稳定就要满足下面的方程： 【1 一嘞一d 一拍s i l l 2 舻+ 和2 s i n 2 甏 一， ( 2 2 8 ) 当岛，d ，b ，和c 取不同的值，c 的取值也不一样。当m j m ，同步条件变成： 第二章受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻耦合映射嗍络的振子个数不稳定性研究 1 一口0 一d o ，a o = d = 0 时，i d w 不可能达到m - - o o 的混沌同步。 如果1 - a o - d 一2 , 0 ，最不稳定的是七= 婴这个模。方程( 2 2 7 ) 变成： 4 b 一( 1 一a o - d ) p 一。b ( 2 2 1 0 ) 这正是肛- 一时的混沌同步条件。对于不同的a o ，d ，b ，和c ，为了求出m ，我们令最不稳定 的模为七；婴1 ，对于大的m ，这是一个很好的近似。这样得到下面的方程： 【1 一n d d 一铀c o s 2 帮2 + 稚s i n 静2 础 q 2 j d 下面我们从方程( 2 2 8 ) 给出1 d w 的m 。 s 衅惫2 1 0 一嘞一d 弦一2 c 2 卜【( 1 一嘞一d 涉一2 c ” 仿 一( 护一c z ) ( 1 一一d ) 2 一e - 2 旬】声 【4 ( 6 z c ：) 】- - s i l l 2 轰= 【( 1 一嘞一d ) 2 一旷埔】【8 酞l 一一d 一2 6 ) 1 - 1 p 2 c ) 从方程( 2 2 9 ) 我们能得到 c o s 2 惫2 【( 1 一一d 涉一2 c 2 】+ 【( 1 一氏一d 涉一2 c 2 】2 伯c ) c o s 2 惫2 【r 绚一( 1 一嘞一d ) 2 1 1 8 6 ( 2 b 一( 1 一嘞一d ) ) r l p = d 2 2 。1 3 根据公式( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 我们得到了网络振子同步上限值肌与嘞，d ，b ，和c 的全解 析表达式。 2 3n 维映射网络( n d w ) 的振子个数不稳定性研究 2 2 中我们主要讨论了1 维系统，具体的说格点的空间位置由一个指标数j ( j = 1 2 n ) 来 描述，如果把空间位置指标数增加到n 个，就变成了一个n 维系统。n d w 是一个更普遍的模型， 而且前人还没有对高维网络进行过仔细的研究。下面我们利用2 2 中的方法，对受外界驱动振 子和全局耦合作用的最近邻非对称耦合n d w ( n = 2 ，3 ，) 的振子个数不稳定性问题进行研究， 下面是该网络受驱动振子的表达式： 东南大学硕士学位论文 钿“，五 ，五) = “x ( i ，五，动 + j 巍一【，m ，五 ，五) ) _ ，瓴“，互，t ) 啁 i = 1 魏一l 融“，j i 扎。五) 卜照挑，如，五) ) 】 鲥 峙! ：嘏，乙五醢，) ) 低“，五 一五) ) 】 + 砌，五，上) p ( ：) _ 代晶i ，五，工) 叮 ( 2 3 1 ) 其中，( ( 五，五，五) ) = ( 1 一而) 表示节点的动力学为l o g i s t i c 映射，五= 1 2 ，m 是五方向上 的节点指标，= 1 2 m 是网络的总节点数。方程( 2 3 1 ) 里的第二、三项是所有方向 上的近邻耦合，第四项和最后一项分别是全局耦合作用及外界驱动作用。外界驱动我们定义 为：f ( 曲_ - f c 磺) = m 以( 1 一) ，并且用了周期边界条件。 我们把同步态而= ( 丘五，五) ，厶，五用下面的方程来描述： 矗+ 1 = o - a o ) f ( ) + a o f ( 碟) ( 2 3 2 ) 令, 1 0 ( 1 ，如，厶) = 印，w l ，应，厶， d “，如，毛) = d ，如，。定义 ( 五，j 2 ，厶) = x m ( j l ，j 2 ，厶) 一，a j i + lz 矿为了研究同步态的稳定性问题，我们通 过复氏变换将方程( 2 3 1 ) 对角线性化。 n 。 一 ( ，如9 1 9 厶) = ( 1 1 n i ) 2 厶( 白，k 2 ，k n ) e x p 一1 2 万j i k i ，】 i = l i k i i = l 为了研究同步态的稳定性问题，我们将方程( 1 ) 线性化： 磊。( 岛，岛，毛) = 烈毛，如，毛) ，k ) ( 岛，岛，颤) ， ( 2 3 3 ) 其中毗，岛，o # 0 9 屯) 是n维网络耦合矩阵的本征值， 似缸，) ：1 一n 0 一d 一( nq 十q + j 十i t ( 可e j 2 确，i + 方，厅2 确7 胁) 岛= o ，1 ，2 ， - 1 我们令筇= 6 ，缸，弛- b 3 ，其中岛和q 分别为扩散耦合和梯度耦合系数，得到 l y a p u n o v 指数( l e ) ： 五编，岛，蛐以侧嗽，岛一，划 以叫，喝可每a 嚼 ，嘎嗜冲 q 3 4 其中磊是根据方程( 2 3 2 ) 算出来的l y a p u n 0 v ( l e ) 指数，五= n m 。一击篆l n 卜。一2 西) i 。 从方程( 2 3 4 ) 我们可以发现，全局耦合作用和外界驱动对网络动力学所起的作用一样。当 1 2 第二章受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻耦合映射嘲络的振于个数币稳定性研究 似k l ，k 2 ，k 。) o ，v 毛，如，鼻，即 【l 一嘞一d 一硅包( 1 - - c o s ( 弓印) r 十畦c f s i n 等) 2 肿， (235)1= 1ii = 11 i 时，系统才能达至 j 混沌同步令矧一嘞小窀n 耻c 。s ( 赞) ) ) ，2 毽q s i i l 赞t 方程( 2 3 5 ) 能写成这样的形式x 2 + y 2 o ，而又因为岛 觑，所以从方程( 2 3 5 ) 我们能得出最不稳定的是岛= l 和岛= m - 1 两个模。设最大的节点数为 k ( i = 1 ，2 ，功，要使混沌同步稳定就要满足下面的方 程： 【1 一一d 一碴i = 1 卯一c o s 甓) ) p + 蛇1 = 1 c f s i n 甏) 2 一， ( 2 3 6 ) 1 k 当a o ，d ，白，和q 取不同的值， 0 的取值也不一样。当 k _ 。= 1 2 ，雄) ，同步条件变成 1 一口0 一d o ，= d = 0 时，n d w 不可能达到虬_ 一的混沌同步。 如果1 一一d 一嘻岛 o ，最不稳定的是岛= 等“= 1 ，2 ，1 ) 这个模。方程( 2 3 5 ) 变成 4 妻岛一0 一a o d ) p 粕 i = 1 ( 2 - 3 8 ) 这正是j 屯专* “= 1 ，乏，功时的混沌同步条件。对于不同的a o ，d ，岛，和岛，为t2 驶l i i 0 我们 令最不稳定的模为毛a 等l ，对于大的i 屯这是一个很好的近似。这样得到下面的方程： 【1 一嘞一一穗加+ c o s 嚼) ) 】2 + 4 ( 宝g s i = ln 晋) 2 种， ( 2 3 9 ) i 耐ji i 作为例子，下面我们从方程( 2 3 6 ) 给出1 d w 的 k 。 s i n 2 奄2 【( 1 一嘞一d 蝴一姘卜【( 1 一一d 地一新1 2 ( 醉一q 0 ( 1 一一d ) ：一一】i i 【4 ( 鲆一q o - ， s i n 2 惫2 【( 1 一嘞一妒一种】嘲( 1 一一d 一翰) r 1 从方程( 2 3 9 ) 我们能得到 1 3 慨c 1 ) = q ) ( 2 3 1 0 ) 东南大学硕士学位论文 c o s 2 惫2 “0 一嘞卅地一研卜o 一? 卅蝴一研1 2 。 一醉一砰) 【( 1 一嘞一d ) 2 一r 铀】f j 【截鲆一砰) 1 1 c o s 2 奄2 【一一( 1 一嘞一d ) 2 】【蹶( 施一( 1 4 0 d ) ) r l 3 g ) 2 3 1 1 与2 2 中的结果比较一下，二者是吻合的，也就是说方程( 2 3 6 ) 和( 2 3 8 ) 给出了更一 般的结果。 2 4 结论 我们通过复氏变换，理论推导受外界驱动振子和全局耦合作用的最近邻非对称耦合i d w 和 n d w 的振子个数不稳定性问题，通过判断最不稳定的模，给出了网络振子同步上限值和各系数 之问关系的全解析表达式。而且我们发现，只要各系数满足一定的关系，网络振子同步个数能 达到无穷大。 1 4 第三章受外界驱动振子或今局耦合作用的最近邻耦合映射网络的同步过程 第三章受外界驱动振子或全局耦合作用的最近邻耦合映射网络 的同步过程 3 1 引言 自然界中存在着丰富的时空复杂行为，时一空斑图就是在时间或空间上具有某种规律性的非 均匀宏观结构。例如宇宙中的星云、水面的波浪等，它们都足远离热力学平衡态的条件下形成 的时一空斑图现象( 本文的研究范围仅限于远离同步态条件下时空系统的斑图动力学行为) 。事 实上同步是斑图形成的动力学起因。我们可以设想一个有许多相同基本单元构成的系统，如果 通过互相作用，它们实现了完全同步，结果在空间上就形成一张平凡的斑图；如果它们之间实 现的是以某种规律形式出现的滞后同步，就可能在空间出现以波的形式的斑图。因此可以想象 复杂系统的各种斑图与各种同步有关。 下面我们针对对数值模拟出现的几种斑图来分析随着参数的变化，受外界驱动振子或全局 耦合作用的最近邻耦合m a p 网络的同步过程，即系统是如何由不同步状态过渡到同步状态。 同步过程的深入研究有利于我们对系统的动力学行为有一个更深刻的理解。 3 2 受外界驱动振子作用的最近邻耦合1 d w 的同步过程 这1 节我们以受外界驱动振子作用的最近邻耦合i d w 为例，模拟随着参数的变化，系统会 出现哪些时一空斑图，进而分析系统的同步过程。下面是该网络受驱动振予的表达式： 粕o ) 可伉o ) ) + 嘞。【厂u d ) - ，阮o ) ) 】+ 嘞一【，阮( ，+ 1 ) ) - ，伉o ) ) 】 + 岛【f 诹u ) ) l ( 3 2 1 ) 其中f ( x m ( j ) ) = u x m ( 1 - - x 。) 表示节点的动力学为l o g i s t i cm a p ，是网络的总节点数。方程( 3 2 1 ) 里的第二、三项是近邻耦合，第四项是外界驱动作用。外界驱动我们定义 为：f ( 矽= ，c 碍) = i 嘏( 1 一碍) ，并且用了周期边界条件。 3 2 1受外界驱动振子作用的最近邻对称耦合1d w 的同步过程 首先我们以受外界驱动振子作用的对称最近邻耦合为例，a j l ：l ：l _ - - a i t ，砰= b l _ - r - q ，q = o 。 对于受外界驱动影响的对称1 d w ，当驱动强度从零开始增强时，系统的状态大致经历这样一个 1 5 东南大学硕士学位论文 过程；时空混沌一部分振子同步一完全同步一时空图案一时空混沌。图( 3 2 1 1 ) 是不同的参 数范围对应的系统不同的状态，白色和灰色区域分别代表了不