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数学奥林匹克初中训练题9 第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.满足方程的实数解x的个数为( ).(A)1 (B)2 (C)4 (D)无数多2.如图,在单位正方形ABCD中,以边AB为直径向形内作半圆,自点C、D分别作半圆的切线CE、DF(E、F为切点).则线段EF的长为( ).(A) /3 (B)3/5 (C) /2 (D)2/33.如图,在ABC中,B为直角,A的平分线为AD,边BC上的中线为E,且点D、E顺次分BC成三段的比为123.则sinBAC=( ). (A)12/13 (B)4 /9 (C)2 /5 (D) 4.将2 008表示为k(kN+)个互异的平方数之和.则k的最小值是( ).(A)2 (B)3 (C)4 (D)55.在矩形ABCD中,AB=56,AD=35.用分别与AB、AD平行的直线,将其分成3556个单位正方形.则被对角线AC从内部穿过的小正方形共有( )个.(A)84 (B)85 (C)91 (D)926.若正整数a、b、c、x、y、z满足ax=b+c,by=a+c,cz=a+b,则乘积xyz可能的取值个数为( ).(A)2 (B)3 (C)4 (D)无数多二、填空题(每小题7分,共28分)1.设|a|1,化简(a+)4+2(1-2a2)(a+)2+3的结果是 .2.a1,a2,a10分别表示1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这十个数码,由此作成两个五位数m=,n=0(mn).则m-n的最小值是 .3.如图,在RtABC中,BC=3,AC=4,AB=5,其内切圆为O.过OA、OB、OC与O的交点M、N、K分别作O的切线,与ABC的三边分别交于A1、A2、B1、B2、C1、C2.则六边形A1A2B1B2C1C2的面积是 . 4.若用6张12的纸片覆盖一张34的方格表,则不同的盖法有 种.第二试一、(20分)已知ai、bi(i=1,2,3)为实数,且a21-a22-a23与b21-b22-b23中至少有一个是正数.证明:关于x的一元二次方程x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(a21-a22-a23)(b21-b22-b23)=0必有实根.二、(25分)如图,自ABC的外接圆上的任一点M,作MDBC于D,P是AM上的一点,作PEAC,PFAB,PGBC,E、F、G分别在AC、AB、AD上.证明:E、F、G三点共线.三、(25分)如图,时钟的表面圆周上有12个等分点,顺次标有数字1,2,12.请以这些等分点为顶点作出4个三角形(将这12个等分点分为4组),使得满足:(1)任两个三角形没有公共顶点;(2)每个三角形的三个顶点上所标的数字中,一数等于另外两个数的和.试求出所有不同的分组方案.(以数字a、b、c为顶点的三角形可以用(a、b、c)表示.)数学奥林匹克初中训练题9参考答案第一试一、1.D.令x0=,方程可改写为|x0-2|+|x0-3|=1.其几何意义是:在数轴上,点x0到点2和3的距离之和为1.因此,x0可取满足2x03的一切实数.故x=x20-1的值可取无数多个.2.B.如图,设半圆的圆心为G,联结AE、AF、BE、BF、GF.由A、D、F、G四点共圆知BGF=ADF.故ADFBGF,BF/AF=BG/AD=1/2. 记BF=x,则AF=2x.在RtABF中,x2+(2x)2=1.解得x2=1/5.在等腰梯形ABFE中,由托勒密定理得EFAB+BFAE=AFBE,即 EF+x2=(2x)2.故EF=3x2=3/5.3.C.设BD=x,AB=y,则DE=2x,EC=3x.由BD/DC=AB/AC,得AC=5y.又AB2+BC2=AC2,即y2+(6x)2=(5y)2.所以,x2=2y2/3,sinBAC=6x/5y=2 /5.4.B.因奇平方数模8余1,偶平方数模4余0,若2 008为两数平方和,即a2+b2=2 008,则a、b皆为偶数.记a=2a1,b=2b1,化为a21+b21=502,则a1、b1皆为奇数.而502模8余6,矛盾.故k3.当k=3时,设a2+b2+c2=2 008,则a、b、c皆为偶数.记a=2a1,b=2b1,c=2c1,化为a21+b21+c21=502.解得(a1,b1,c1)=(5,6,21).于是,102+122+422=2 008.因此,k的最小值为3.注:因要求平方数互异,故选项(D)与拉格朗日四平方和定理并不相违.5.A.取A为原点,AB、AD所在直线分别为x轴、y轴,除了坐标轴外的水平线有35条、竖直线有56条,对角线AC与每条线都相交,得35+56=91个交点(其中包括重合的交点在内).再计算重复量.由于C(56,35),其最大公约数(56,35)=7,故水平、竖直线的交点Ck(8k,5k)(k=1,2,7)在AC上.因此,方格表的纵、横线落在AC上的不同交点共有91-7+1=85个(包括原点A).它们将AC分成84段,每段穿过一个小正方形,共穿过84个小正方形.6.B.如果三数a、b、c全相等,则x=y=z=2,此时,xyz=8.如果三数a、b、c不全相等,不妨设c为最大数,则a+bn,所以,a1a6.为使m-n最小,应取a1-a6=1,m的后四位数应取得最小,而n的后四位数应取得最大.由1,2,3,4,5,6,7,8,9,0中的不同数字能组成的最大四位数是9 876,最小四位数是0 123,剩下两数4,5,再取a1=5,a6=4,得m=50 123,n=49 876.故m-n=247.3.2 + +2 /3-11/3.如图,设O的半径为r,O切BC、CA、AB于点D、E、F,联结OD、OE、OF.则SABC=6. 由 r(AB+BC+CA)=SABC,得r=1.故CD=CE=1,BD=BF=2,AE=AF=3,OA=,OB=,OC= ,AM= -1,BN= -1,CK= -1,SAOE=3/2,SBOD=1,SCOD=1/2.SAMA1/SAOE=(AM/AE)2=,则SAMA1=,SAA1A2=;SBNB1SBOD=(BN/BF)2=, 则SBNB1=,SBB1B2=;SCKC1/SCOD=(CK/CD)2=3-2 ,则SCKC1=,SCC1C2=3-2.因此,S六边形A1A2B1B2C1C2=SABC-SAA1A2-SBB1B2-SCC1C2=2 +2 /3-11/3.4.11.如图,将方格表的各格编号.用M(a,b)表示编号为a、b的相邻两格被同一张纸片盖住的情况下,全表的盖法种数.我们关注8号格被盖的情况.有M(8,5)=2,M(8,11)=3,M(8,7)=M(8,9)=3.于是,全表的不同盖法种数为11种.第二试一、不妨设a21-a22-a230,则a10.作一元二次方程(a21-a22-a23)x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(b21-b22-b23)=0.记f(x)=(a21-a22-a23)x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(b21-b22-b23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a1x+b1)2-(a2x+b2)2-(a3x+b3)2(a10).取x0=-b1/a1,有f(x0)0.所以,二次函数f(x)的图像与x轴有交点,即方程有实根.故方程的判别式0.因为方程、有相同的判别式,所以,方程有实根. 二、如图,联结GE、GF、MB、MC.因为PEAC,PFAB,PGBC,则 GPF=ABC,GPE=ACB.由PGMD, 得PG/MD=AP/AM.又由APEBMD,得AP/BM=PE/MD.得PG/MB=PE/MA.由此,PEGMAB.故PGE=ABM.同理,PGF=ACM.故PGE+PGF=ABM+ACM=180.所以,E、G、F三点共线.三、设4个三角形为(ai,bi,ci),i=1,2,3,4,其中,ai=bi+ci,bici.设a1a2a327.由此,10a311.若a3=10,则由a1+a2=17,a2a1+a2=17,得a2=9,a1=8,即(a1,a2,a3,a4)=(8,9,10,12).再由8=b1+c1,9=b2+c2,10=b3+c3,12=b4+c4,必须b4=11,c4=1,共得两种情况:12=11+1,10=7+3,9=5+4,8=6+2;12=11+1,10=6+4,9=7+2,8=5+3.对应于两种分法:(12,11,1),(10,7,3),(9,5,4),(8,6,2);(12,11,1),(10,6,4),(9,7,2),(8,5,3). 若a3=11,则a1+a2=16.于是,8a211,分别得(a1,a2)=(6,10),(7,9).对于(a1,a2,a3,a4)=(6,10,11,12),得三种分法:(12,8,4),(11,9,2),(10,7,3),(6,5,1);(12,9,3),(11,7,4),(10,8,2),(6,5,1