（通信与信息系统专业论文）基于小波变换的语音信号去噪研究.pdf

摘要 摘要 语音对话是人们相互通讯和交流最方便快捷的手段。但是人们在语音通 讯过程中不可避免的会受到来自周围环境、传输介质的干扰，人们引入了噪 声，影响了人们的听辨。在过去，我们一般使用短时傅立叶变换( s f f t ) 在频 域内对语音信号进行分析去噪，但是对于白噪声，这种方法的效果往往不尽 人意。小波变换( w t ) 是一种当今在信号处理领域中十分活跃的理论。 本文主要基于小波变换对语音去噪进行了研究，首先介绍了小波变换的 基础理论、基于小波变换的信号去噪方法以及在语音去噪中的应用。目前在 信号去噪中，基于小波变换的方法得到了广泛地应用，这些方法主要是基于 传统的硬阈值和软阈值方法，本文提出了一种新的双变量阈值函数，能有效 地弥补硬、软闽值方法的不足，是硬、软阈值方法很好的一个改进方案。克 服了采用硬阈值法去噪效果不佳和软阈值法过度光滑使信号失真的缺点。当 噪声和信号对应的小波系数在临界点大小相差比较明显时，阈值的选取可以 有较大的裕度，因此选取就比较容易。基于上述考虑本文提出了基于能量元 的小波阈值语音去噪算法，其中运用了双变量闽值函数，并通过实验验证了 该算法的有效性和优异性。 关键词小波交换；阈值函数；能量元；信噪比；白噪声 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t s p e e c hs i g n a li st h em o s tc o n v e n i e n ta n ds h o r t c u tw a yo fi n t e r c o m m u n i o n h o w e v e r , i nt h ec o u r s eo ft h ei n t e r c o m m u n i o n ，s p e e c hs i g n a li sd i s t u r b e da n d p o l l u t e di n e v i t a b l eb ys u r r o u n d i n g sa n dt r a n s m i s s i o nm e d i u m s a sar e s u l t ，w e a l eu n a b l et oc a t c ho nt h em e a n i n g so fs p e e c hs i g n a l i nt h ep a s t ，w eu s e dt o a n a l y z es p e e c hs i g n a la n df i l t e rt h en o i s eb ys h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r mi nt h e f r e q u e n td o m a i n h o w e v e r , t h i sm e t h o di sn o te f f e c t i v e t ot h ew h i t en o i s e w a v e l e tt r a n s f o r mi sav e r yp o p u l a rm e t h o di nt h ep r o c e s s i n go fd i g i t a ls i g n a l n o w a d a y s t h i sp a p e rm a i n l yp r e s e n t st h er e s e a r c ho ft h es p e e c hd e n o s i n gb a s e do n w a v e l nt r a n s f o r m f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e t ，m e t h o d so f s i g n a ld e n o s i n gb a s e dw a v e l e tv a n s f o r ma n da p p l i c a t i o no fd e - n o s i n gm e t h o d si n s p e e c h r e c e n t l yi nt h es i g n a ld e n o s i n gd o m a i nm o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sa r e u s e dt or e d u c i n gn o i s e db a s e dw a v e l e t i nt h e s ea l g o r i t h m sh a r dt h r e s h o l dm e t h o d a n ds o f tt h r e s h o l dm e t h o da r em o s t l yi n c l u d e d b u tb o t ho ft h e s et w om e t h o d s h a v el i m i t m i o n sa n da r en o te f f e c t i v e n o ww ep r e s e n tan e wm e t h o dt h a tw ec a n c a l li tt w ov a r i a b l et h r e s h o l df u n c t i o n t h i sm e t h o dc a ns u p p l yag a p w h e nt h e d i f f e r e n c eo ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t so fs i g n a la n dn o i s ei nc r i t i c a lp o i n ti s g r e a t ，w ec a nc h o o s et h r e s h o l de a s i l ys o ，w ep r e s e n tt h ea l g o r i t h mo fn o i s e d r e d u c t i o ni n s p e e c hb a s e de n e r g y m e m b e rw a v e l e t t h r e s h o l d i n g l a s t l y , e x p e r i m e n tr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h i sm e t h o di se f f e c t i v ea n de x c e l l e n t k e y w o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m ；t h r e s h o l d f u n c t i o n ；e n e r g ym e m b e r ；s n r ( s i g n a l - t o - n o i s er a t i o ) ；w h i t e n o i s e 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于小波变换的语音信 号去噪研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他 人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和 集体，均己在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签字殇砂叫日期：a 。年够月f 声 燕山大学硕士学位论文使用授权书 基于小波变换的语音信号去噪研究系本人在燕山大学攻读硕士学 位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山大学 所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本人完 全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关 部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权燕 山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的 全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密区 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景、意义和前景 在许多情况下，人们所关心的语音信号常常会被其他信号所污染，即 在人们所关心的语言信号中掺杂着噪声，干扰了人们的听辨与识别。这对 人们得到语言信号中夹带的有效信息产生了很大的干扰。研究如何进行语 音去噪的科学意义很大，它能帮助人们解决很多问题，同时它具有广阔的 应用前景，这在诸多领域都有所体现： ( 1 ) 公安领域公安干警往往会窃听犯罪嫌疑人的对话。由于周围环境 的影响、所用设备的限制和犯罪嫌疑人讲话的清晰程度，使得录音的语言 信号或多或少会受到噪音的干扰。这对听清楚犯罪嫌疑人话中的意思，知 道他们的意图带来了很大的困难。如果能去除语音信号中的背景噪声，提 高语音信号的信噪比，就能使公安干警听出犯罪嫌疑人讲话的意思。这将 对加快破案进程起到积极的作用。 ( 2 ) 新闻领域对记者来讲，野外采访是常见的事情，然而由于采访地 点周围环境的影响，如风声、汽车喇叭声、建筑工地的打桩声等等，他所 采访到的录音往往会被周围的噪声所污染，影响了采访效果。这时也需要 对采访录音进行去噪处理，以便让听众能够更清楚地听到记者和被采访者 之间的对话。 ( 3 ) 历史资料领域对于一些历史资料，特别是历史资料中的语音资 料，由于当时条件的限制，往往得到的录音效果不好，当中夹杂着很多的 噪声，影响了它的使用价值和纪念价值。例如，有许多名人的演讲，当中 由于噪声的存在，影响了效果。关键是由于这些演讲具有不可再现性，又 具有重大的历史意义和纪念价值，所以对这种演讲录音进行去噪处理就显 得尤为重要。 ( 4 ) 语音识别领域当前语音识别是一个热门的话题。随着语音技术的 发展，语音识别技术也得到了进步，目前已经出现了许多运用语音识别技 燕山大学工学硕士学位论文 术的产品，例如i b m 的语音识别系统v i av o i c e 。但我们发现这些语音识 别系统都是在实验室可控的条件下进行实验，取得了很高的识别率，到了 实际环境中，由于背景噪声的存在，它将破坏原始语音的频谱，或者把原 始语音部分或全部掩盖掉，造成识别率下降。这时进行语音降噪处理成为 一个关键的问题。 ( 5 ) 通讯领域在通讯系统中，由于线路宽带的限制，语音信号的采样 频率往往比较低，如电话语音的采样频率为80 0 0h z ，再加上各种设备产 生的电噪声，冲击噪声的影响，使得语音信号的质量有时很低，可听度差， 所以也需要对这些语音信号进行去噪处理，提高它们的可听度。 综上所述，研究如何进行语音去噪处理，有着重大的科学意义以及广 阔的应用前景。 1 2 本课题研究的目的 在语音信号处理中，如何进行语音去噪成为当今的热点之一。在许多 领域特别是通讯领域由于语音信号中不可避免的存在着各种不易消除的噪 声。这些噪声的存在影响了语 音信号的可听度。因此，语音信号的去噪是一个首要的问题，常用的 去噪算法在消除噪声的同时，也会产生较大失真丢失有用信息。8 0 年代中 后期发展并成熟起来的小波理论，由于具有对信号的分时分频特征或传播 行为，根据这些特征的不同，可以将有用信号提取出来。基于小波变换的 去噪算法满足各种去噪要求，如低通、高通、陷波、随机噪声的去除等。 而且与传统的去噪方法相比较，小波去噪有着不可比拟的优点。 小波变换有效完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号分析是一 个强有力的工具。小波变换具有多分辨率( m u l t i r e s o l u t i n o ) ，即多尺度 ( m u l t i s c a l e ) 的特点，可以由粗及精地逐步观察信号；同时还具有品质因数 恒定，即相对带宽( 带宽与中心频率之比) 恒定的特点；适当地选择基本小 波，便可以使其在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此非常 有利于信号分析。由于小波分析具有上述特性，因此有人把小波变换誉为 分析信号的数学显微镜。 第1 章绪论 小波分析由于能同时在时频域中对信号进行分析，所以它能有效地区 分信号中的突变部分和噪声，从而实现对信号的去噪。这也是小波分析的 一个重要的应用领域。但是，由于应用于去噪的小波母函数是一个集合， 在小波去噪的实际应用中采用哪一种小波函数才有最好的去噪效果，是一 个有待解决的、同时很有实际价值的研究课题。对于不同的信号小波去噪 的结果也不尽相同。在实际应用中，我们必须根据实际情况进行小波函数 的最优选择。由于实际应用中通常无法区分真实的信号和污染它的噪声， 因此难以评估各种小波函数的去噪效果。本文针对一段语音信号为背景， 通过在构造给定信号并附加已知噪声的基础上进行试验测试，来评估各种 小波函数和阈值的去噪能力，以进行小波去噪的优化。 小波去噪的另一个重要问题就是阈值的选取问题。采用同一种小波对 同一个信号进行去噪处理的时候，闽值的选取直接关系到去噪效果的优劣。 如果阈值选取过小，那么有一部分的噪声小波系数将不能被置零，从而将 一部分有用信号去掉，使得去噪后的信号丢失信息。小波去噪在这方面比 傅立叶变换显得更为有效，但是，这并不意味着它可以完美的分离有用信 号和噪声。因此，在小波去噪的过程中如何更有效地进行阈值选取，使得 噪声被去除的同时尽可能的避免有用信号的丢失，这也是本文要研究的问 题。 1 3 语音去噪概述 由上面的论述，我们已经知道了语音去噪的意义非常重大，它可以帮 助我们解决许多有关听辨的问题。但是当今从事语音去噪研究的机构并不 算多，在国内，从事这方面研究的机构主要有包括中科院声学研究所、南 京大学声学研究所等。在国外已经有这方面的产品，例如我们熟悉的m a t l a b 工具包中的去噪系统，但是这些产品往往还不成熟，只是供研究员使用 的实验工具，在实际应用中，这些产品并不能有效的去除语音信号中的噪 声，提高信噪比。目前已经有一些人从事语音去噪方面的理论研究，提出 了一些算法，例如非线性小波变换闽值法 1 、最优模糊闽值消噪方法f 3 1 、 小波变换模极大值法【4 1 、小波包去噪法【5 ，6 】等。但是，这些方法用在语音信 燕山大学工学硕士学位论文 号去噪方面，效果并不理想 7 g l 。 在我们的现实生活中，噪声无处不在，而且种类很多。通常我们可以 把噪声分为以下几种：带通噪声、冲击噪声、白色噪声等。以下给出了这 几种典型噪声的特点以及相应的去噪方法。 ( 1 ) 带通噪声带通噪声又叫有色噪声，与白色噪声相对，即：在某个 频带上，信号的能量突然变大。 这种噪声的典型例子为交流电噪声，它的能量重要集中在5 0 h z 左右。 对于这种带通噪声，我们可以先对语音信号进行加窗，然后再进行短时傅 立叶变换并画出频谱图。在频谱图中，我们可以看到语音信号中带通噪声 的能量主要集中在哪个频带上，得到此频带的下限和上限。我们根据此频 带的下限和上限设计一个带通滤波器对语音信号进行滤波。一般情况下， 这种去除方法可以比较有效的去除带通噪声。 ( 2 ) 冲击噪声所谓冲击噪声就是语音信号的能量在时域内突然变大。 这种噪声也很多，例如建筑工地上打桩机发出的打桩声，在语音信号 中每隔一段时间就会出现一个能量峰值。对于这种噪声也需要对语音信号 进行加窗，然后再进行短时傅立叶变换，画出频谱图。在频谱图中，我们 可以对相应时间段上的语音信号的能量进行修改，即：降低冲击噪声的能 量。这种去噪方法一般也能取得比较满意的效果。 ( 3 ) 白色噪声所谓白色噪声就是在频域上不存在信号能量突然变大 的频带，在时域上也找不到信号能量突然变大的时间段，即：它在频域和 时域上分布是一致的1 9 】。对于标准白噪声，它的均值为零，方差为一个常 数，也就是五 x ( ”) 】- 0 ，e x 2 m ) 】_ 盯2 。 对于被这种噪声污染的语音信号，我们既不能在某个频带上修改语音 信号，也不能在时域内修改语音信号。使用以上两种去噪方法都很难达到 令人满意的效果，有时反而产生负面的影响，即：语音信号的信噪比不但 没有提高，而且引起语音信号的严重失真。主要原因有以下几点：白噪声 的频带很宽，几乎占据了整个频域，与语音信号相互重叠，且没有规律性， 无法区分哪些部分是语音信号，哪些部分是白噪声；语音信号是一种准周 期性的随机信号，特别对于语音信号中的清音来讲，其性质同白噪声差不 第1 苹绪论 多，很难区分：不少滤波器的滤波参数往往在设计的时候就定下来了，不 能根据语音信号和白噪声的具体特点调整滤波参数，影响了去噪效果。 因此，人们又设计了不少其他去噪方法来处理白噪声，例如l m s 自 适应滤波器 1 0 】。所谓自适应滤波器就是利用前一时刻的滤波系数和输出值 调整当前的滤波参数，达到滤波器效果最优的目的。l m s 白适应滤波器又 叫做最小均方差自适应滤波器，它的基本原理是使滤波器的输出信号工( f ) 与期望响应y ( f ) 之间的均方误差值最小，即：使e y ( t ) 一x ( f ) 2 的值最小， 式中y ( r ) = x ( r ) 一聆( r ) ，x ( f ) 为输入信号，”( f ) 为白噪声，这种去噪方法对去 除白噪声有一定的效果，但是存在着计算量大，收敛速度慢的严重缺陷。 因此针对白噪声有必要寻找其他去噪方法。 1 4 小波分析在语音去噪处理中的应用 小波分析作为一种新兴理论已经和正在科学技术界掀起了一场轩然大 波。在科学家们看来，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别 是在信号处理、图像处理、语音分析以及众多非线性科学领域，它被认为 是继f o u r i e r 分析之后又一有效的时频分析方法。 随着小波理论研究的不断深入，小波分析的应用范围越来越广，遍布 自然科学、应用科学的许多方面，如在信号和图像分析、地震信号处理、 计算机视觉与编码、语音合成与分析、信号的奇异性检测与谱估计等方面 都取得了突破性的成果。在小波去噪方面，主要有以下两种方法 1 1 , 1 2 ： ( 1 ) 由s m a l l a t 和s z h o n g 于1 9 9 2 年提出的模极大值法。 ( 2 ) 由d l d o n o h o 和1 m j o h n s t o n e 于1 9 9 5 年提出的小波阈值去噪法。 1 4 1 模极大值法 当信号中混入随机噪声，由于随机噪声通常导致信号的奇异性，奇异 性的大小由l i p s c h i t z 指数来度量。随机噪声的l i p s c h i t z 指数与有效信号本 身的奇异点的l i p s c h i t z 指数大小不一样，从而它们的小波变换模的极大值 在不同尺度下的传播行为也不一样，利用这一特性可将有效信号从随机噪 燕山人学1 二学硕士学位论文 声中提取处理。 小波变换的一个非常吸引人的特点是能够刻化信号的奇异性1 3 , 1 4 1 。 设x o 为信号f ( x ) 的局部突变点( 奇异点) ，对于的领域x ，即x x o ，则 f ( x ) 的小波变换在取得极大值，有： l 形，f ( x o ) l 1 彬，f ( x ) ， x 5 x o( 1 - 1 ) 且有： i 形，厂( x ) 峰k ( 2 甲( 1 - 2 ) 对公式( 1 2 ) 取对数得： 1 0 9 2 i 职，f ( x ) 峰l 0 9 2 k + a j( 1 - 3 ) 式中，k 为非零常数，称为l i p s c h i z 指数，它是用来表征信号突变，尖锐， 陡峭程度( 即奇异性) 的特征值。 由公式( 1 3 ) 可知，如果f ( x ) 在x 处的奇异性大于零( 即口 0 ) ，则随着 小波变换的尺度，增加，小波变换模极大值 形，厂( 的对数值也变大；若 a 0 则具有负的奇异性。 下面说明白噪声具有负的奇异性。 定理1 1 若 o ) 为零均值高斯白噪声n ( o ，d2 ) ，其中盯2 为方差，记为 n ( t ) n ( o ，仃2 ) ，则n ( f ) 的小波变换系数哌即( f ) 仍未零均值高斯噪声，且有 彬n ( f ) n ( o ，v 2 l i 仃2 ，s ) 。 证明：因为小波变换为线性变换，所以高斯信号竹( r ) 的小波变换系数 形行( f ) 仍服从高斯分布。下面分别求睨n ( r ) 的数学期望和方差。 对形”( f ) 求数学期望得： e ( 形玎( ，) ) 2j _ 。e ( 疗( “) ) i f ，o u ) a u2 0 ( 1 _ 4 ) 对彬玎( r ) 求方差得： e ( iw , ，z ( f ) | 2 ) = e ( ee 竹( “) n ( v ) 虬( ) 虬( f - v ) d u d v ) 0 - 5 ) 又因为胛( r ) 为白噪声，对疗( f ) 求自相关，得： e ( h ( ) 聍( v ) ) = 仃2 5 ( u v ) ( 1 - 6 ) 将公式( 1 3 ) 代入公式( 1 - 2 ) ，得： 第1 章绪论 e ( 1 w ；玎( f ) 1 2 ) = ee d 2 6 ( 村一v ) l f ，o 一“) i f ，。o v ) d u d v = 1 1 2 仃2 s( 1 - 7 ) 即 仃；= i i v i l 2 仃2 s ( 1 8 ) 彬n p ) n ( o ，| | 妒2 | | 盯2 i s )( 1 - 9 ) 这里采用二进小波变换，则有j = 2 ，代入上式，得： 彬，n ( ，) n ( o ，j | y 2 i l d2 2 )( 1 1 0 ) 由公式( 1 7 ) 表明i 彬，h ( f ) 2 的平均幅度反比于尺度j ，即白噪声有负的奇异 性。 1 4 2 小波阈值去噪法 小波分解实质是把信号分解于不同的频段中，由于白噪声在各个频段 具有相同的能量，因此通过适当的选择小波分解的级数，在相应的频段内， 信号的能量要大于噪声的能量，因此选择一合适阈值来处理小波系数，认 为小于此阈值的小波系数主要由噪声控制，把其去掉，用剩下的小波系数 重建信号，就可实现信噪比的提高，其中的关键问题就是阈值的选取，其 具体步骤如下： ( 1 ) 对观测信号应用离散小波变换，得出各级小波系数。 ( 2 ) 应用非线性阈值函数( 如硬阈值函数) 处理各级小波系数，基于所 选择的阈值得出各级小波系数的估值。 ( 3 ) 在各级小波系数估值的基础上应用离散小波反变换，得到信号的估 值。 由于当信噪比较低时，在较小尺度上，局部模极大值的位置和幅度主 要由噪声控制，很难利用该尺度上的模极大值信息来恢复信号，而小波阈 值法没有这一缺点，因此本文重点研究基于阀值的小波去噪方法。该方法 相对于传统方法可以通过选择一合适阈值来处理小波系数，同时对于小波 基的选择进行了研究，并且通过了大量的实验来对得到的实验结果进行验 证和说明。 燕山大学工学硕士学位论文 1 5 本文的主要研究内容及结构 本文的主要研究内容为： f 1 、对语音去噪和基于小波变换的去噪方法的历史和现状进行了归纳 总结，指出了它们的意义及其存在的主要问题。 ( 2 ) 对小波分析方法进行了分析，概括和总结。 ( 3 ) 针对本文研究的语音信号，通过实验得出采用不同小波母函数的阈 值去噪方法性能分析，从而得出分析语音信号的最佳小波母函数。 ( 4 ) 对小波闽值估计方法进行了分析、概括和总结，同时为了克服小波 闽值估计方法中阈值函数的缺点，本文提出了一种新的双变量闽值函数， 并且通过实验证明了与传统硬闽值法、软闽值法相比它具有明显的优越性。 ( 5 ) 根据小波阈值去噪的思想，给出了基于能量元的小波阈值语音去噪 算法，其中运用了前面得到的最佳小波母函数以及新的双变量阈值函数， 通过仿真实验，验证了该算法的有效性和优越性。 本文的主要结构为： 首先第2 章介绍了小波分析的基本原理，接着在第3 章中介绍了采用 不同小波母函数的阈值去噪方法的性能分析以及第4 章中的基于小波变换 的去噪方法，最后介绍了基于小波变换的语音信号去噪方法。 第2 章小波分析基础 第2 章小波分析基础 小波分析及其应用是一门新的学科，在短短的十多年内得到了蓬勃的 发展。随着小波理论研究的深入和目趋成熟，其应用已逐步渗透到许多领 域。一般说来，传统上使用f o u r i e r 分析的地方，现在都可以用小波分析取 代并取得更好的结果，它能对几乎所有的常见函数空间给出简单的刻画， 也能用小波展开系数描述函数的局部性质，特别是在信号处理和语音分析 中，由于它的局部分析性能优越，在数据压缩、去噪和边缘检测等方面比 现有手段更为有效。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性， 克服了传统f o u r i e r 分析的不足，而且由于它对高频采取逐渐精细的时域步 长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。近年来小波理论得到了进一 步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，同时也从另外一个 角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波 理论不断完善。随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。 小波分析与f o u r i e r 分析的区别在于：f o u r i e r 分析只考虑时域和频域 之间的一对一的映射，它以单个变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波 分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信 号的区别在于：时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析描述非 平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间一尺度 平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号 分析的多尺度观点是小波分析的基本特征【1 5 j 。 本章对小波分析的发展史进行了简单的回顾同时给出了关于小波分 析的一些基本概念、定理及算法。 2 1 小波分析发展简史 自f o u r i e r 提出了f o u r i e r 分析这一全新的观点后，在分析领域内产生 了极为重要的影响，使数学、物理等学科发生了很大的变化，引起了众多 燕山大学下学硕士学位论文 科学家的广发关注。f f t ( 快速f o u r i e r 变换) 的提出更使f o u r i e r 方法从理论 走向实践，成为大们进行分析的强有力工具。 f o u r i e r 变换及其逆变换具体定义如下； ，) = j 1 ” (1)oe f ( t ) d t 2 - 及 f ( x ) = 寺e ”夕( 州( 2 - 2 ) 但是f o u r i e r 分析有如下一些主要的不足之处： ( 1 ) 为了从模拟信号中提取频谱，就要取出无限的时间量，使用过去的 和将来的信息只为计算单个频率的频谱。 ( 2 ) 由公式( 2 - 1 ) 可知属于某一给定的区间反映不出f ( t ) 在以时间区域上 的信息。 ( 3 ) 因为信号的频率反比于其时间周期长，因此对高频谱信息而言，时 间区域应相对窄；而对低频谱信息而言，时间区域应相对宽。即应给一个 可调时频窗，f o u r i e r 分析不能做到这一点，从而不适于做局部分析。 因此，在信号处理界和数学界中，人们长期以来都在寻求一种新的信 号表示方法，它应该综合三角函数系和h a a r 系两者的优点。 b a l i a n 提倡寻求关于时间变量与频率变量都适合的基底，希望在给定 的时间内，把一个震动的信号表示成为每一个都同时拥有足够确定的位置 与频率的初等小波的叠加。g a b o r 于1 9 6 4 年提出了加窗f o u r i e r 变换。定 义了一对互逆的变换公式： g f ( p ，9 ) 2 责量弛) g ( 。一碍k ”出( 2 - 3 ) f ( x ) 。去j ：a f ( 剐) 姒协”d p d q ( 2 - 4 ) g ( x ) 为给定的窗函数( 例如可以选取g ( x ) 为g u a s s 函数) 。窗口f o u r i e r 变换作为一种时频局部化分析工具，弥补了f o u r i e r 分析的一些不足，但由 于其窗口的大小及形状均为固定值，所以并不能完全满足信号分析的要求。 笙! 至尘鎏坌堑堇壁 小波分析应运而生，它的时频分析窗口大小固定但是形状可以改变， 因此能够满足时频局部化要求。即反映信号的高频成分需要较窄的时间窗。 而反映信号的低频成分需要较宽的时间窗。函数v ，( ，) 1 1 ( 月) nz 2 ( 五) 被称为 小波函数是指它满足下面的条件： g = j ： 嗡净国 m ( 2 s ) 令 ( f ) ：i 口降l f ，( 三兰)( 2 6 ) n y - 定义函数f ( t ) l 2 ( r ) 的小波变换为： w f ( a , 垆 1 口i - 5 邝) v ( 掣) a t ( 2 - 7 ) 此时有重构公式： ，( f ) = 吲j 町( 咖帆警( 2 - 8 ) 由妒( f ) ，1 ( 胄) ，可知i r l g ( t ) d t l o o 即l f ，( ，) 具有局部衰减性，特别地， i c ，( ，) 是局部非零的紧支函数。在这个意义下，它是小的。由小波函数的定 义可知i 1 v ( t ) a t i = 0 ，故y ( f ) 具有波动性。可以看出小波变换是b a l i a n 思 想的一种最本质的体现。 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。它的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交基以及19 3 8 年l i t t l e w o o d p a l e y 对f o u r i e r 级 数建立的l p 理论。其后，c a l d e r o n 于1 9 7 5 年用他早年发现的再生公式给 出了抛物空间上日1 的原子分解。它的离散形式已经十分接近小波展开。 1 9 8 4 年法国的地质物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，基于群论 首先引入了小波的概念，对信号进行了分解。m o r l e t 方法取得数值分析的 成功，不仅激发了m o r l e t 本人对小波分析进行深入研究的兴趣，同时也大 大鼓励了法国的理论物理学家g r o s s m a n ，他们开始携手进行小波分析理论 燕山大学工学硕士学位论文 的共同研究。随后，他们研究了m o r l e t 的这种信号按一个确定函数的伸缩 r，一、1 平移系 i dj 嘭v ，f x - _ _ _ 2 b1 ：毋b r ，口o 展开的可行性。1 9 8 6 年，m e y e r 创造 l 1 7 j 性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数l f ，( z ) ，其二进伸缩平移系 ， 一， 、 妒肚( x ) = 2 以妒2 - j x k ) ：工k z 构成了p ( 月) 上的规范正交基。后来被称 i 、 ， 为m e y e r 基，这对小波的理论研究作出了重要贡献。在那以前，人们认为 具有如此好性质的小波函数只是一个数学上的神化。同年，m e y e r 和 l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。 1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集光滑正交小波基d a u b e c h i e s 基， 将小波分析的研究工作带入了一个新的阶段。后来信号分析专家m a l l a t 巧 妙地将计算机视觉领域内的多分辨率分析思想引入到小波函数的构造以及 信号按照小波变换的分解与重构中，从而成功地统一了在此之前 s 仃o m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 等人提出的具体小波函数的构造，研 究了小波变换的离散化情况，并将对应的算法现称为m a l l a t 算法，有效地 应用于图像的分解与重构。多分辨分析的原理与人类的视觉和听觉的原理 十分相似。当我们在远处观察某个物体时，只能看到它的大致轮廓，这就 是高频边缘的提取；但当我们离被观察物体较近时，我们就能够观察到此 物体的细节部分，这就是低频分析。 m a l l a t 算法作为快速小波算法( f w t ) ，是小波分析理论中突破性的成 果。其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中快速f o t t r i e r 变换( f f t ) 。m a l l a t 算 法的提出标志着小波分析由理论研究重新走入宽广的应用领域。1 9 8 8 年， a r n e o d o 及g r a s s e a u 等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论。1 9 9 1 年，j a f f o r d 及l a u r e n c o t 将小波变换应用于偏微分方程数值解。而 w i c k e r h a n s e r 等人将m a l l a t 算法进一步深化，得到小波包算法。从此小波 分析的理论和方法在科学技术界引起了一场轩然大波。数学上，小波分析 可以看作为一个新的数学分支，它是泛函分析、f o u r i e r 分析、样条分析、 调和分析、数值分析的最完美结晶。在应用上，特别是在信号处理、图像 处理、语音处理、模式识别、量子物理以及众多非线性科学等领域，它被 1 2 第2 章小波分析基础 认为是近年来在工具及方法上的重大突破，被美誉为数学显微镜。 小波分析是科学家、工程师和数学家们共同创造出来的，反映了大科 学时代各学科之间综合、渗透的趋势，它是f o u r i e r 分析的新发展。小波分 析无论从理论上，还是从方法上都是分形理论与神经网络进一步发展的强 大推动工具i l 。 2 2 函数卷积 对于两个函数厂( z ) 、g ( x ) 它们的卷积用，( x ) + g ( x ) 表示其数学定义 为： ，( x ) g ( x ) = i rf ( y ) g ( z y ) a y ( 2 - 9 ) 卷积是一种把两个函数结合在一起产生第三个函数的合成法。卷积有 乘积定理如下： 若f f ) 忙l ( r ) ，l g ( c o ) k l ( r ) ，此处f ( x ) 与g ( x ) 的f o u r i e r 变换分别 为f ( o j ) 与g ) ，则： ( 1 ) 厂( z ) 有一个有界的f o u r i e r 变换f ( ) ，g ( c o ) 有一个有界的f o u r i e r 反变换g ( x ) 。 ( 2 ) f ( o a ) g ( c o ) l ( r ) 。 ( 3 ) 【，( x ) 4g ( x ) 】“= f ( r _ o ) g ( o o ) 。 2 3 连续小波及其变换 定义2 1 ：设l f ，( x ) r ( r ) n l l ( r ) 且驴( o ) = 0 ，则经由函数矿( x ) 伸缩和 平移得到的函数族。( x ) ) 叫做分析小波或连续小波。 l l t l l a ( 茁) 刮口1 以y f ) ，a ，口( , b “ br0 2 - 1 2 ) 式中，v ( x ) 叫做基本小波或母小波。a 为伸缩因子，b 为平移因子。 定义2 - 2 ：设v ( x ) 是基本小波，。( x ) ) 是公式( 2 - 1 2 ) 给出的连续小 波。对任意函数f e ( r ) ，可定义信号f ( x ) 的连续小波变换w f ( a ，6 ) 为： 燕山人学工学硕士学位论文 r r f ( 咖) = 制彤肌( 等矽( 2 - 1 3 ) 2 4 二进小波及其变换 实际应用中，特别是在计算机实现中，往往需要将连续小波及其变换 离散化。一种方便的形式是对变换进行二进制离散。把这种经过离散化的 小波及其相应的小波变换，称为二进小波和二进小波变换。 定义2 3 ：若存在二常数a ，b ，0 a b o o ，使得下式成立： a l y ) ( 2 “) 1 2 b ( 2 - 1 4 ) 则函数l f ，( x ) r ( r ) n 卫( r ) 被称为二进小波，公式( 2 1 4 ) 被称为稳定性 条件。 若a = b ，则称为最稳定性条件1 7 1 。 函数序列 t 厂( x ) 。叫做厂( x ) 的二进小波变换。其中： 。- 厂( z ) = ，+ y ：。( x ) = 可1 上，u m 【j x - 一i 疵( 2 - 1 5 ) 此时，根据卷积定理，有： 哌。f ( c o ) = 于( ) 驴。( ) = 广( ) 妒( 2 ) ( 2 1 6 ) 据此，公式( 2 1 4 ) 等价于： a p ( 刮1 2 艺慨，( 郴 o ) ，则随着小波变换的尺度，增加，小波变换模极大值的值l 吩( 27 ，刮也 变大；但若信号具有负奇异性时，则相反。 ( 2 ) 随机噪声的奇异性在1 4 1 中已经证明了随机噪声具有负的奇异 性，这与一般信号的奇异性是完全不同的。此外，白噪声小波变换的局部极 大值点的稠密度也随着尺度的增大而减小。这些特征可以作为小波变换去除 随机噪声的依据。由于信号和噪声具有不同性质的l i p s c h i t z 指数，因此，可 以通过观察在不同尺度之间模极大值的变化情况来区分模极大值是由噪声 或是由有效信号所产生的。根据前面的分析，如果信号在某处的奇异性大于 零，那么随着尺度的增加，小波变换模极大值也变大：若当尺度减小时，模 极大值的数目和幅度剧烈增加，表明相应的奇异点具有负的l i p s c h i t z 指数， 即具有负奇异性，负奇异性意味着比不连续更差的奇异性，模极大值主要由 白噪声所支配，或者当尺度从2 ，到较粗糙的尺度2 川时，模的极大值幅度和 数目明显增加的点认为是白噪声，把它去除然后进行恢复，就得到去噪后的 信号。 4 2 3 屏蔽去噪法 小波域滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同形态表现， 构造出相应的规则，对信号和噪声的小波变换系数进行处理，处理的实质在 于减小以至完全剔除噪声对应的小波系数。信号经小波变换之后，其小波系 数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明 显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。因此，可以 考虑利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性区分系数的类别，从而进 燕山大学上学硕士学位论文 行取舍，通过这样滤波之后的小波系数基本上对应着信号的边缘、达到了去 噪的效果 2 9 , 3 0 川。 该方法把低分辨率( 大尺度) 上的小波变换系数全部保留，高分辨率( 小尺 度) 上的小波变换系数则只有确认为边沿附近的各点的才给与保留，其余的都 加以去除。由于噪声的小波系数主要集中在小尺度各层次中，因此经上述处 理后，噪声基本去除而边沿得以保留。 方法的关键是如何识别边沿。在一维情况下，边沿在数据中的表现是阶 跃性的跳变。当采用波形反对称的小波函数对其进行尺度a = 2 ，的小波变换 时，在多个尺度上小波变换的值在跳变处均表现出明显的峰值，其符号正负 则决定于此阶跃是正跳变还是负跳变，而噪声的小波变换则随着尺度的加大 而迅速减小。因此把一部分尺度上对应于同一空间位置处的小波变换相乘， 就能将边沿表现的更突出，并把噪声的变现削弱。实际工作时刻通过提取边 沿再加以剔除的方法取得“空间屏蔽滤波器”。把这个屏蔽滤波器与各尺度 的小波系数相乘，得到新的小波系数。最后，再把各个尺度得到的新的小波 系数合起来做反演变换，便得到去噪后的结果。 4 2 4 平移不变量小波去噪法 该方法是对小波阈值去噪方法的一种改进，由于闽值法去噪后在信号的 奇异点处会产生p s e u d o g i b b s 现象，从而使去噪后的信号在急剧部分产生振 荡现象。为了抑制该现象，可以通过平移不变量法去噪 3 2 , 3 3 】。其方法是：对 含噪信号进行次n 次循环平移，对平移后的信号用闽值法进行去噪处理，然 后再对去噪的结果进行平均，这就是所谓的“平移一去噪一平均”的平移不 变量小波去噪法。例如，用h a a r 小波对含噪信号作小波变换，当奇异点位 于4 2 处时，其变换结果几乎不出现p s e u d o g i b b s 现象，而在其他位置如3 时，将表现出显著的p s e u d o - - - g i b b s 现象，可以通过预先的平移，使原来不 在2 位置的奇异点平移到位置，抑制p s e u d o - - g i b b s 现象的产生，然后再 通过反向的平移，恢复到同原始信号一样的排列次序，从而达到目的。 对于信号，( f ) ，0 f n 一1 ，定义c 为平移1 1 位的平移算子： e ( ，( f ) ) = f ( t + h ) m o d ( n )( 4 4 ) 第4 章基于小波变换的去噪方法 式中，1 称为平移量。由于，：，是一一对应的，所以得： ( e ) = e 。 ( 4 - 5 ) 设信号闽值去噪过程为一个分析运算丁，通过平移消除振荡的过程可写 为： ，= 。( 丁( e ( _ 厂) ) ) ( 4 - 6 ) 式中，尹为原始信号厂经平移不变法去噪后的信号。 4 2 5 非线性小波阈值去噪法 4 2 5 1 非线性小波阈值去噪原理由于小波变换具有一种“集中”的能力， 可以使一个信号的能量在小波变换域中集中于少数系数上，那么相对来说这 些系数的取值必然大于小波域内能量分散于大量系数上的噪声的小波系数 值。这就是说可以采用对变换系数进行切削、阈值处理等方法去除噪声3 4 3 7 1 。 其框图见图4 2 。 图4 - 2 信号去噪处理框图 f i g 4 - 2t h ep r o c e s s i n gf i g u r eo f s i g n a ld e 。n o i s e d 4 2 5 2 非线性小波阈值去噪步骤含噪信号模型见公式( 4 - 2 ) ，若要从被噪 声污染的5 ( f ) 中恢复出原始信号x ( j ) ，大致可以分为三个阶段，可按照以下 步骤进行： ( 1 ) 正交小波变换选择合适的小波和小波分解层数，将被噪声污染信号 进行小波分解至层数，得到相应的小波分解系数。 ( 2 ) 小波系数处理对分解得到的小波系数进行阈值处理，得到原始信号 小波系数