（基础数学专业论文）关于双参数量子群ursso2n1的中心.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e 2 0l0u n i v c o d e ：l0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 6 0 6 0 1 0 0 7 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y o nt h ec e n t e ro f t w o - p a r a m e t e rq u a n t u m g r o u p s 珥，s8 0 2 n + 1 ) d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t m a j o r ： p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：l i e a l g e b r a sa n dq u a n t u mg r o u p s s u p e r v i s o r s ：p r o f e s s o rn a i h o n gh u a u t h o r ： y u x i n gs h i m a y2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 f i i il l ii ii i l lii ii l liii 17 4 3 18 3 郑重声明：本人呈交的学位论文装孑磁星孑舀五p ) 洳咔小 ， 是在华东师范大学攻读础博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 翠 日期：锄i 年r 月西日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 猁盔蝾3 -袭确檄 学位期间在导师指导下完成 q 。枷、西玲r 也t 系本人在华东师范大学攻读 士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用上述授权。 导师签名一= 彳葛阶 本人签名 洳b 年【只肖e l “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 石聿兴硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 王凄碜擞艘僻惭缸学毵留。 主席 孤汔团锻榴雹磊畅钟缸豸乏 萄浓窆磊l 敷碰径。木攒一c r三煳 ，1 一j 一j 。j 目录 摘要 a b s t r a c t i i i 第一章引言1 1 1 研究背景1 第二章珥，。s 0 2 n + 1 ) 的定义及相关性质 3 2 1 u r 。( s d 2 n + 1 ) 的定义 3 2 2 u r ，。( 8 0 2 。+ 1 ) 具有h o p f 代数结构 5 2 3r o s s o 型的定义和性质 6 第三章v r ，。s 0 2 n + 1 ) 的中心1 0 3 1h a r i s h c h a n d r a 同态在偶数的情形是单的 1 0 3 2 z ( v ) 在代数同态下的同态象1 3 3 2 1 代数同态0 a , v 的定义和性质1 3 3 2 2 对于u r ，。( s d 4 。+ 1 ) ，f 是代数同构1 9 致谢” 摘要 本文主要通过h a r i s h c h a n d r a 同态来考虑鼠型双参数量子群的中 心当n 为奇数时，h a r i s h - c h a n d r a 同态一般不是单同态当佗为偶数时， 是单的，本文在同构的意义下确定了岛n 型双参数量子群的中心 关键字：双参数量子群量子包络代数h a r i s h c h a n d r a 同态r o s s o 型b 型 i i a b s t r a c t t h ep a p e rm a i n l yc o n s i d e r st h ec e n t e ro ft w o p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s 珥，口( s d 2 计1 ) v i aa l la n a l o g u eo ft h eh a r i s h - c h a n d r ah o m o m o r p h i s m i nt h ec a s e t h a tni so d d t h eh a r i s h c h a n d r ah o m o m o r p h i s mi sn o ti n j e c t i v ei ng e n e r a l w h e n 礼i se v e n ，t h eh a r i s h c h a n d r ah o m o m o r p h i s mi si n j e c t i v ea n dt h ep a p e rd e t e r - m i n e st h ec e n t e ro ft w o p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s 坼，ss o # + 1 ) i nt h em e a n i n g o fi s o m o r p h i s m k e y w o r d sq u a n t u mg r o u p so ft w o p a r a m e t e r , q u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a ，h a r i s h c h a n d r ah o m o m o r p h i s m ，r o s s of o r m ，bt y p e i i i 第一章引言 1 1 研究背景 2 0 世纪8 0 年代中期，源于求解量子y a n g b a x t e r 方程的研究，俄罗斯数 学家d r i n f e l d 和日本数学物理学家j i m b o 分别提出了量子群的概念( 单参 数) 量子群阮( g ) 作为可对称化k a c m o o d y 代数的普遍包络代数形变，是非 交换非余交换的h o p f 代数2 0 世纪九十年代初，k u l i s h ，r e s h e t i k h i n ，s u d b e r y , t a k e u c h i ，a r t i n ，s c h e l t e r 和t a t e ，杜杰，p a r s h a l l 和王建磐，d o b r e v 和p a r a s h a r , 景乃桓。c h i n 和m u s s o n 等数学家研究双参数量子群和多参数量子群他们 主要关注a 型量子化函数代数和量子化包络代数在2 0 0 1 年，b e n k a r t 和 w i t h e r s p o o n 受到d o w n u p 代数的启发，得到了一般线性李代数和特殊线性 李代数的双参数量子包络代数结构( 参考【b w l ，【b w 2 ，【b w 3 ，【b w 4 ) 自 此以后，b e n k a r t ，w i t h e r s p o o n 和他们的合作者k a n g ，l e e 系统研究了a 型双 参数量子群的结构与表示在2 0 0 4 年，胡乃红及其合作者b e r g e r o n 和邰云首 次给出了b e n k a r t w i t h e r s p o o n 意义下的b ，c ，d 型双参数量子群的定义，探 讨了a ，b ，c ，d 型双参数量子群的l u s z t i g 对称性质当双参数的商为非单 位根情形下，讨论了p 范畴权模( 参考【b g h l ，【b g h 2 ) 此后，胡一师，白胡 继续发展了例外g 型和例外e 型的理论( 参考【h s ，i b h ) h u r o s s o z h a n g 定义仿射a 型，得到了量子群的d r i n f e l d 实现，并且首次提出了仿射l y n d o n 基( 参考【h r z ) 此后，胡一张定义了非扭系列双参数仿射代数，发展了它们 的顶点算子表示理论等( 参考【h z l ，【h z 2 ) 当数域k = q ( q ) 的特征为0 ，q 为q 上的超越元时，对于单参数量子 群，h 撕s h c h a n d r a 同态是一个同构d r i n f e l d ，k a n g ，t a n i s a k i ，e t i n g o f 等人 对于有限维单李代数和k a c m o o d y 代数的量子群中心做了很多工作在这 些论文中，大家普遍定义一个在伴随作用下不变的非退化双线性型，再定 义h a r i s h c h a n d r a 同态，并且很容易证明它是单同态最大困难在于确定 h a r i s h c h a n d r a 同态象i m 对于a 型双参数量子群( 参考【b k l l ) ，b e n k a r t ， k a n g 和l e e 也是这样处理，不过需要对n 分奇，偶两种情况讨论，结果也相 差很大李立斌等证明了( s f 4 ) 的中心同构于满足一个关系式的四个未定 元的多项式代数的商代数( 参考【l w w ) 2 0 0 9 年，段佳在同构的意义下确 定了叽，。s 0 5 ) 的中心，并且证明了其同构于两个变量的多项式代数( 参考 【d u a n j i a ) 2 0 1 0 年，甘霜霜刻画了g 2 型双参数量子群的中心( 参考【g s s ) 本文类似地处理鼠型双参数量子群的中心类似地，风型双参数量子群，也 需分奇偶两种情形当n 为奇数时，h a r i s h c h a n d r a 同态一般不是单同态 当佗为偶数时，f 是单的，本文确定了它的同态像i m 2 第二章珥，s8 0 2 n + 1 ) 的定义及相关性质 2 1 珥，s8 0 2 n + 1 ) 的定义 文章 b g h l 给出了b 型双参数量子群的定义其中k = q ( r ，s ) 是有 理函数域且r ，s c ，r 2 + s 2 1 ，r s 西是s d 2 。+ 1 的根系，是单根系，( ，) 是标准欧氏空间e = r n 的内积1 1 一，e n 是e 的标准正交基，即岛表示第 i 个分量为1 ，其它分量为0 的向量 = 啦= e i 一州，1 垂= 士岛4 - 勺， i 儿一1 ，o l n = e n ) ， 1si ，歹 礼，土e j ： r i = r ( 口t ：口 ，s t = s ( 口l ，口i ) 1 歹n ) 定义2 1 双参数量子群u = 坼。( s 0 2 n + 1 ) 是定义在k 上的含1 的结合代 数，它由生成元e i ，五，辞1 ，t 4 - 1 ( i = 1 ，n ) 生成，并且满足以下关系式 ( b1 ) 一( b 7 ) ： ( b 1 ) 时1 ，鲈1 互相交换，且咄町1 = 1 ，q 哼1 = 1 ，1 z ，歹几 ( b 2 ) 对1 i n ，1 j n ，我仃 有 e 蜉1 = 中舡f s p “毗e ；， 勺u i l = 7 _ 静，q 勺， w n e n 蝠1 = ( e n , o t n ) 。n - - ( 5 n i 口n ) e 几， ( b 3 ) 对1 i n ，1 j 1 ，我们有( r ，s ) s e r r e 关系式： 【e i ，e j 】_ 【五，乃】- 0 3 ( b 6 ) 对1 i 竹，1 歹 n 一1 ，我们有( r ，s ) s e r r e 关系式： e i 2 白+ 1 一( + s i ) e i e i + l e i + ( n s l ) e t + 1 e ；= 0 ， 咯1 勺一( 群l + 瞬1 ) e j + l e j e j + l + ( 啄1 啄1 ) 勺e 2 = 0 ， e i e n 一1 一( 巧2 + r i l s i l + s x 2 ) e ：e n 一1 e n = 一( 巧1 s 二1 ) ( r 二2 + r 9 1 s x l + s x 2 ) e n e n 一1 e ：+ ( 巧3 s x 3 ) e t l 一1 e n 3 ( b 7 ) 对1 i 扎，1 歹 n 一1 ，我们有( r ，s ) s e r r e 关系式： a + i 芹一( n + 岛) 五 + l f i + ( i i 8 t i f ? + 1 = 0 ， 乃盛一( 瞬，+ 瞬，) 办+ - 乃乃+ ，+ ( 瞬，瞬。) 盛。乃= 0 ， 厶一1 露一( 巧2 + 1 s 二1 + s 二2 ) a a 一1 露 = 一( 巧1 s 9 1 ) ( r i 2 + 1 s 二1 + s x 2 i f 差f 一1 厶+ ( r 二3 s 二3 ) 露厶1 4 2 2 珥，s ( 8 0 2 n + 1 ) 具有h o p f 代数结构 由 b g h l 可知，代数珥，。( 8 0 2 n + 1 ) 具有h o p f 代数结构 定理2 1 b g h i v r , 。( 8 0 2 n + 1 ) 是一个h o p f 代数，其余乘，余单位和对极满 足： ( 时1 ) = 时1o 辞1 ， a ( e i ) = e io1 + w io e i ， ( 谤1 ) = ( 叫尹1 ) = 1 ， s ( 津1 ) = 嵋1 ， s ( e i ) = 一w i - 1 e i ， ( “士1 ) = u 尹1o “土1 ， ( ) = 1 + 五圆“， e ( e i ) = s ( f i ) = 0 ， s ( “士1 ) = u 1 ， s ( y i ) = 一五“ 人= 0 銎】z f i 7 i 是b 。型双参数量子群的权格，其中u 7 i 是基本支配权 a + = 入a l ( c t t ，a ) 0 ，1 i n ) 是玩的支配权集 q = o 冬】z o i 是b n 的根格 。( n 士) = o 叶q + 嗜( n 士) 是q 土阶化，其中对7 7 q + u q 一，u 阳, 7 ( n 士) = o u r ，。( n 土) i 咄畈1 = ( 嵋，w g ) a ，吣i - 1 = ( u ；，咄) 1 n 而且，u = o 叩q 叼。( g ) 是q 士阶化，其中p o t = r l ，r ( 或场) 是某个单项式 ， ( 或e j l e j 。) 且o t i l + + o t i l = o t ( 或l + + 。= p ) ， u 即, 7 ( g ) = r 吒叫”昂u l 咄f a 吒w y e t h ：1 = ( u ；咄) 只u ：昂， u ：r 吒u u 场u f l = ( ，一口) - 1 r u ：u 。昂 ( 1 ) ， r l = 0 时，我们规定u 。, 1 。( g ) = u o u 有三角分解u 笺u - ( n 一) ov o u + ( n + ) 这里是由潆，“士生成的子代数u + ( n + ) 是由e l 生成的子代 数u _ ( n 一) 是由 生成的子代数b 是由e j ，u 产生成的h o p f 代数b 7 是由 办，“士生成的h o p f 代数 5 2 3r o s s o 型的定义和性质 定理2 2 b g h 2 j 在h o p f 代数b 7 和b 间存在唯一斜配对( ，) ：b x b - k 满足以下等式： ( 五，勺) = 熹， ( “，) = r 2 ( a i ) s 2 ( 钳l 口t ) ， ( “，w n ) = r 2 ( e n ，o t i ) ， ( u 1 ，叮1 ) = ( “士1 ，屿) = ( “，) 千1 ， 1 i ，歹n ， 1 i n ，1 j n ， 1 i n ， 1 i ，j 礼， ( u ：l ，w n ) = r s 一 所有其他生成元对为0 对n b 7 ，b b ，我们有( s ( n ) ，s ( 6 ) ) = ( a ：6 ) 推论2 3 b g h l l 对 是u ”( n 一) 的基，所以矿( t k ，1 ) = 0 令 t k ，z = 删。删“u 可以断言：n 为偶数时，矿( t ) = 0 ，v a ，则t k ，f = 0 此断 言等价于说 p a ( u ：u 咖) = 矿( u ：蛳) 甘叩= ( ，砂= 妒 ( 3 ) 也等价于 矿( u ：u 毋) = 1 = 今r = 0 ，咖= 0 ( 4 ) 当凡= 2 时，此命题在参考文献【d u a n j i a 中已证明 当礼= 4 ，6 ，8 时，通过具体的计算是正确的这里对礼为偶数的情况给出 一个一般性的证明注意到觋= e 1 + + 矗( v i n ) ，砜= ( s l + + e n ) 矿( ) = 1 兮矿0 知一帕+ 咖) = ( 8 2 r - 2 ) 慨舟) m 矿t ( + 毋) = 1v i 营 ( 8 2 r 一2 ) r h ( r 2 s 2 ) ( ，7 1 + 毋1 ) + + ( 啦一l + 咖一1 ) r 2 ( r h + 咖( r s ) 一( 仉+ “) = 1 ，v i n ( 盯一1 ) 瓢( r s ) ( 叩1 + 咖1 ) + + ( o n - l + 4 h 一1 ) r ( 鼽+ “( r s ) 一号( 伽+ “) = 1 当l i n 时，对上式比较s ，r 的指数得方程组 i 一1 2 碾+ 2 ( 仍+ 咖) 一i ( u n + 咖n ) = 0 ， j 2 1 (5)i-1 、一， 一2 碾+ 2 ( 仍+ 咖) + 2 ( 仇+ 也) 一i ( u n + 咖n ) = 0 j = l 由方程组( 5 ) 两式相加得珑= 九( v i n ) 黧z 絮裂：翟n 鼍地剐 由方程组( 6 ) 两式相加得= 九 简得 侬+ 2 叩1 + + 2 7 1 i 一1 一t = 0 ，v i 礼 + 2 r h + + 2 r l n 一1 + n = 0 对( 7 ) 进行数学归纳法，得 7 7 1 一= 0 ， 叩2 + 2 r h 一2 r l n = 0 兮7 7 2 = 0 ， 铂+ 2 7 7 1 + 2 7 7 2 3 = 0 令r 3 = ， 7 7 4 + 2 r h + 2 r 1 2 + 2 r 1 3 4 = 0 号7 4 = 0 ， 叩5 + 2 r h + 2 r 2 + 2 叩3 + 2 r 4 5 = 0 号r 5 = ， 啦t 一1 + 2 卵1 + 2 r 1 3 + + 2 r 1 2 i 一3 一( 2 i 一1 ) 兮r 2 i 一1 = ， 伽t + 2 r h + 2 7 1 3 + + 2 r 2 i 一1 一( 2 i ) r h t 号仡t = 0 ， 一1 + 2 7 7 1 + 2 r 3 + + 2 r h , 一3 一( 礼一1 ) 兮一1 = ， r n 一1 + 2 r h + 2 7 7 3 + + 2 一1 一例号= 0 ( 7 ) 于是我们有叩= 0 ，= 0 ，所以上面的断言成立，因此f 是单的 口 3 2z ( u ) 在代数同态下的同态象 3 2 1z ( u ) 代数同态矿，p 的定义和性质 对入a ，定义代数同态矿，a ：。k ，q o ，a ( “) = ( r s 一1 ) ( 什毋 m 对 a ，肛a ，定义代数同态p a ，p ：u o 一k ， 矿 p ( u ：) = 矿o ( u ：) 扩p ( 嵋) = 矿( 嵋) 矿p ( 嵋) 引理3 1 3 对任意的b n 型双参数量子群，若t = “w e ，7 ，q 假设 p a ，p ( u ) = 1 ，对所有a ，肛a 贝0u = 1 证明：记叩= 叩1 q 1 + 啦q 2 + + o ，i ，= 1 q 1 + 2 0 , 2 + + 。口n ， l o o ，口( u ：u 妒) = p s 一1 ) 叩+ ，叨) = 1 = 号r + t = o ，v i ， 护，o ( “u q ) = ( s 2 r 一2 ) 毗，咄) 仇= 1 = 净碾= o ，v i 推论3 1 4 若u u o ，矿，p ( 仳) = 0 ，对所有( 入，p ) a 人成立，则u = 0 口 证明：( a ，p ) 卜矿，p ( u ：，) ，( 叩，) q q 是群a a 上的特征标由引理 3 1 3 可知，不同( 叩，) 定义不同的特征标假设u = 如，爷皈，口叶，妒k ， ，曲矿泓( u ：) = 0 ， 对所有( 入，p ) a a 由不同特征标的线性无关性可知，如，= 0 ，乱= 0 口 令昭= 0 姒和一叶，定义w e y l 群在昭的作用， 叶q 盯( “u 一竹) = 以( 7 ) u 一盯( f 7 ) ， 对所有矿彬叩q 定理3 1 5 对任意的b n 型双参数量子群，矿( a ) ，p ( u ) = 矿，p ( 口- 1 ( 乱) ) ，对所有 t 正u p ，o r 和a ，p a 证明：只要对u = u ：叫一叩进行证明即可首先，我们证明 矿( a ) ，o ( “) = 一o ( 仃一1 u ) 当1 i n 且j i 时， 襞粼：烈( u ：) 州o i - 1 - - 町i q - o i + l ) 酽j ( 0 i ( o f r ；d 一卵) ) 匕u 一矿7 7 1 3 ( 8 ) = ( s 2 r 一2 ) 巧) ( 2 仇一啦- l _ 褂1 ) = 1 当i = 1 且歹i 时， 锱= 删i 一- - 11 - ( 妒)一( 口1 ( “u t 7 ) ) 譬u “r 177 = ( s 2 7 一2 ) q ) ( 2 ，7 2 ) = 1 当i = 扎且j i 时， 锱= 洲疋旷( 2 r ) 一( u 知一叼) ) 2 、一矿77 = ( s 2 r 一2 ) a n ，功) ( 2 珈一2 珈一1 ) = 1 = ( s 2 r 一2 ) ( 口t l ，一口t ) 啦一1 + ( 眦，一蛳) 挑+ ( n 件1 ，一a ) 哺+ 1 ( s 2 7 一2 ) 陋l ，t ) ( 仇一( 仇一l 一叩t + 叩 + 1 ) ) = ( s 2 r 一2 ) 口1 ，一口1 ) 叩l + ( a 2 , - 口1 ) 啦( s 2 7 一2 ) a 1 ，口1 ) ( 叩1 一( 啦一7 1 ) ) = 1 当i = n 时， 矿“) ( u 知一t 7 ) p 4 “( ( u ：u t 7 ) ) = ( s 2 r 一2 ) 口n l ，一口n ) 珈一l + ( 口n ，一n n ) r n ( s 2 7 一2 ) 陋n ，冒n ) ( 伽一( 2 弧一l 一伽) ) = 1 由此可以得出：矿( a ) ，o ( u ) = 矿，o p 一1 ( 札) ) ，对所有a 人，盯w 成立 下面证明矿，p ( u ) = 矿，p ( 盯_ 1 ( 仳) ) 矿，p ( u ，1 u u f m “百7 2 ) = p ( o ，( ，上l + p 2 沁1 + ( p l + | i 上2 ) n 2 ( u ，1c ) 。1 r 1 2 , , - - 7 1 1 u i 7 2 ) = ( r s 一1 ) ( ( p l + p 2 ) 口l + ( p 1 + ，1 2 ) n 2 ，o ) 1 4 黥 矿一酽 当 1 1 一l l = ； 当 = 1 p o 泓( 盯一1 ( u ，1 “俨u f m “i 7 2 ) ) = 1 q o ( a ) ，p ( 让) = 矿( a ) ，o ( u ，1 “俨u f 叩1 “i 啦) 扩p ( ，1 u u f 叼1 u i 啦) = p 凡o ( 盯一1 ( u ：7 u 一，7 ) ) p o “( 盯一1 ( “u 一，7 ) ) = 矿泓。一1 ( u ，1 “俨u f m u i 啦) ) = 矿泓o 1 ( “u 一叶) ) 对所有1 1 , 卵，矿( a ) 泓( u ) = 矿，p p _ 1 ( t ) ) 口 我们定义 ( 田) w = u v oo ( u ) = u ，v c r ) ， , r , 0 ( 入，肛) = p a ，p ( u ：7 u 咖) 和k ；，1 f ，( a ，肛) = 矿2 n ) p ( ：t f ) ，( a ，肛) a a 引理3 1 6 对于b 2 。型双参数量子群，若u u o ，矿( a ) ，p ( u ) = 矿，p ( u ) ，对所有 入，p 人和盯w 贝0 札( v o ) w 证明：若乱= 叩，“u o ，满足矿( a ) p ( 乱) = 矿，p ( 乱) ，对所有入，p a 和盯w 如，毋矿 p ( 叫：) = ( ，7 ，曲) ( e ，妒) 此式可以改写为 如，妒扩 ，p ( u 妒) ，对a ，p a ，咖托们= 氏，妒k 知 ( 9 ) ( ，7 ，咖)( e ，妒) 由引理3 1 3 ，等式( 9 ) 两边都是ax 人上不同特征标的线性组合若，妒0 ， 贝0 ，c ，7 ，曲= ，c ，砂，对某个( ( ，妒) ax 人 令叼= j 仍q ，= j 咖哟，( = j 白，妒= j 奶对l 歹礼， 则有 k 叩，西( o ，巧) = 扩，q ( u ：) = ( r s - 1 ) 7 m 功 ( 1 0 ) = ，c ；，妒( o ，q ) ( 1 1 ) = 扩，巧( u ：蛳) = ( r s _ 1 ) 抛吲0 2 ) 由此可以得出 ，7 + = ( + 妒( 1 3 ) 下面计算： k 椰( 砚，o ) = 砖妒( c i 7 i ，o ) ( 1 4 ) ，c 可，妒( c 口l ，0 ) = 仡；，妒( 乞i 7 i ，0 ) 舒篇黼刘 铮p 叨( “一c 郇一妒) = p 吨( 以蛳) = 亭p 卿( “一c u n 一( ) + 妒一( “妒) ) = p 川( o 一( 吣+ 妒) _ = = p 矾( “一c c ，一( 叩一( ) ) = p 一口( “c ，一( ( 叱+ 妒) 铮( s 2 r - 2 ) 铲q = ( s 2 r 一2 ) 吣l 口) a l + ( 口t ) 矗+ ( o q + l , - - a i ) ( t + 1 p 咄( 毗+ 妒) 当1 i n 时， ( s 2 7 _ 2 ) 仇一q( 1 5 ) = ( s 2 7 一2 ) “一2 c i + a + 1 s 一2 ( ( | 一l + ( s 2 r 一2 ) a + 砒r 2 ( q + l + 妒件1 1 ( 1 6 ) 比较8 ，r 的指数，可得 捌三絮笺嚣三笼二裂老恐，l 一2 ( 侬一白) = 一2 ( q 一1 2 q + ( ：f + 1 ) 一2 ( 6 + 讹) + 2 ( 6 + 1 + 以+ 1 ) 、工v 化简得 踪袭：二裟 ， 易得 以一1 + 6 1 = 砒+ 1 + 6 + 1( v1 i n ) ( 1 9 ) 当i = 1 时，( s 2 r 一2 ) 仇一l = 8 2 r 一2 ) 一2 ( 1 + ( 2 ( s 2 r 一2 ) ( 1 + 妒1 r 2 ( ( 2 + 忱) 比较s ，r 的指 数，可得 卜盱臼3 。2 卜2 咖+ 2 忆( 2 0 ) 【2 ( 叩1 一臼) = 一2 6 + 2 ( 2 + 2 妒1 、- 叫 化简得 易得 f m 2 7 _ ：! l 如 ， l 叩1 = 已+ 矽1 u u ( 2 + 仍= 0 ( 2 2 ) 当i = n 时，( s 2 r 一2 ) ( 伽一白) = ( s 2 7 一2 ) n 一1 一( n s 一2 【( n l + 妒n 一1 ( 7 2 ( r s ) ) 白+ 妒n 比较s ，r 的指数，可得 f一厶) = 2 ( 厶一l 一厶) 一2 ( 厶一1 + 一1 ) + 厶+ ， 【一( 一厶) = 一2 ( 厶一l 一厶) 一( ( n + 饥) 化简得 l = - 2 一l + ， 【= 2 1 一1 + 易得 厶一1 + 如一1 = 0 所以当n 为偶数时，由公式( 1 9 ) ，( 2 2 ) ，( 2 5 ) 可知 若0 t j ，咖0 ，则 q + 魄= 0( v1 i n ) 嵋昭， 再由定理3 1 5 ，矿，p ( u ) = 矿( a ) ，u ( u ) 盯w 则u = o - - - 1 ( u ) ，乱( 叼) 牡卵 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) = 矿，p ( 盯- 1 ( u ) ) 对所有入，t a 和 口 定理3 1 7 对任意的b n ，有0 a + 舭( ( z ) ) = o r ( a + p ) ，p ( f ( z ) ) 特别的，当引理 3 1 6 成立，也就是当n 为偶数时，( z ( u ) ) ( 昭) 证明：若z z ( u ) ，选择适当a ，a 使( 入，q y ) 0 对某个固定i v , x ，肛 m ( 矿p ) 是最高权向量 z v a ，p = 7 r ( z ) 玖，p = p a p ( 7 r ( 2 ) ) 坝，p = p x + p , p ( f ( z ) ) 玖 因此，z 作用在m ( o x ，p ) 上为标量璺a 怕p ( ( 石) ) i 扫 b g h i 引理2 6 ， e t 。：，“坝，p = o + 队q ? ) + 1 耐枷：， 考虑 r 口咄一s a ；，“ ( r _ a ，a y “矗一s _ a 口y 以) a ，p = ( i 址y 矿，。( ) 一s f a ，口y 矿p ( “ = ( 嘲以蚍) 一s p 岭。( 刃： 1 7 一s a ，p 扩u ( w i ) 叭，p 坝( 2 7 ) 、，、l 、l，、i， 当i 佗时，q y = 氅繁 ( 可协q 1 蚍一s f 九a v “) 叭，p = ( 7 - 2 a 一a ：，r 2 e ，a s 2 e i + l a 一s 2 ( 一a ：，) r 2 忙件- ，a ) s 2 ( t ，a ) 矿，p ( “矗) u a ，p = ( r 拈t 一s 2 俺+ l a 一s 2 如i 一口2 ，) r 2 ( ) 矿，p i ) 掣却 = ( r 2 n 忍川s 2 m a _ r 2 ( a , e t + 1 ) 8 2 池酬) 矿，p 池) = 0 当i = 佗时，q y = 赢 ( r _ a 口y “屯一s _ a 口y “) a ，p = ( 7 m 7 2 ”( r s ) 一s 小霹n ) s 2 m ( r s ) ) 矿，p ( 咄) 氓弘 = 0 所以对任意的i ，( 2 7 ) 式都等于0 因此，勺z a 口y + 1 坝，脚：0 名口舯坝，弘= 丌( z ) 扩q 舯玖，p = 矿t ( a + p ) 啊p ( 7 r ( z ) ) a ：，+ 1 坝，p = 扩( a + 力，p ( ( z ) ) 口y + 1 坝，肛 z 作用在m ( 矿，p ) 上为标量扩( a + 力班( f ( z ) ) 因此， 矿- f p , p , ( ( z ) ) = 扩( a + p ) p ( ( z ) ) ( 2 8 ) 现在证明对任意a 人，( 2 8 ) 式成立若( 入，a y ) = 一1 ，则入+ p = 吼( a + p ) ，( 2 8 ) 式成立若( a ，q y ) 一1 ，令入7 = 吼( a + p ) 一p 则( 入7 ，a y ) 0 ， 入7 使( 2 8 ) 成立将a 7 = 吼( 入+ p ) 一p 代入( 2 8 ) 式，可以得到a 使( 2 8 ) 式成 立因为w e y l 群是由单反射吼生成，我们得到 型o a + p , p ( ( z ) ) = 矿( a + p ) ，p ( ( z ) ) ， 对所有a ，a ，o r w 由引理3 1 6 ，立即得出我们要证的结论 1 8 ( 2 9 ) 口 3 2 2 对于珥，88 0 4 n + 1 ) ，是代数同构 引理3 1 8 z z ( u ) 当且仅当a d l ( x ) z = ( o e ( z ) ) 2 对所有z u ，g - ：u _ k 是u 的余单位，：k _ u 是u 的单位映射 证明：z z ( u ) 对所有z u ， a d l ( x ) z = ( z ) z ( 1 ) z s ( z ( 2 ) ) = z 乏二z ( 1 ) s ( z ( 2 ) ) = ( o ) ( z ) z 扛) 反之，若a d l ( x ) z = ( 6 。) ( z ) z ，对所有z u 则 妣名町1 = & d i ( w i ) z = ( 6 oe ) ( u 1 ) z = z 同样可以得到“z ( 7 ) f 1 = 名而且 0 = ( 6 oe ) ( e t ) z = a d l ( e i ) z = e i z + 咄z ( 一岈1 ) 艮= e i z z e 和 0 = ( o ) ( 五) z = a d l ( f t ) z = z ( 一 ( “) 一1 ) + 五z ( u ：) 一1 = ( 五z z 五) ( u ：) 一1 因此，z z ( u ) 口 引理3 1 9 假设皿：u p ( n 一) u ”( n + ) k 是一个双线性函数，( 7 ，) q q 那么存在u u p ( n 一) u o u p ( n + ) 使得 ( u ，则：l u 。z ) c ，=( “。，) ( u ：，u 咖，) 皿( y ，z ) 对所有z u ”( n + ) ，y u p ( n 一) 都成立 证明：对p q + ，u f ，遄，u 乞为u p ( n + ) 的一组基，u f ，u 譬， u p ( n 一) 的对偶基，即( 皑，t 学) = 如令 u2 m ( 哆，仳? ) 蟛瞄哕( r s _ 1 ) _ 2 ) 很容易验证u 满足( 3 0 ) 式 ( 3 0 ) ，u 乞为 我们在u + 上定义一个u 模结构，u ，( z ，) ( 口) = ，( a d ( s ( z ) ) ) 口：u - u + ， p ( u ) ( 秽) = ( u ，u ) u 对u ，v 由( ，) u 非退化性可知，p 是单射 口 ( 3 1 ) 定义3 4 m 是有限维u 一模对m m 和，m ，我们定义q ，m u + ， o ，m ( t j ) = f ( v m ) ，”矿 幻 定理3 2 0 m 是有限维u 模且m =om x ， x e w l ( m ) m x = m m l ( w i 一矿( 蚍) ) m = o ，( “一矿( u ：) ) 仇= o ) 对，m ，m m ，存在唯一的1 , u ，使得c s ，m ( ) = ( u ，口) ，对所有 u u i 正q l ：唯一性从( ，) c ，非退化性直接得出因为c s ，m 关于m 是线性的，可以 直接假设m m x 对 u = 弘l u 妒1 z ， z u p ( n + ) ， y u p ( n 一) ，( 叼1 ，砂1 ) ( ? q ， c s ，m ( 钉) = q ，m ( 可u ：7 。o d 4 , 。z