（应用数学专业论文）延时神经网络的稳定性和混沌同步.pdf

摘要 本文主要研究了具有时变多延时c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络( c g n n s ) 平衡点的全局鲁 棒稳定性及一组具有常耦合的神经网络的同步特性 在第一部分，基于l y a p u n o v 泛函方法，研究了多延时的c o h e l l - g r o s s b e r g 神经网络模 型的鲁棒稳定性，给出了新的充分条件。我们的结果去掉了连接权矩阵的对称性和放大函数 有界性的限制，推广和改进了已有文献的工作 在第二部分，首先讨论了一组具有时变延时的线性耦合神经网络的同步特性，基于l y a - p u n o v 泛函方法和矩阵不等式技巧，获得了保证耦合网络同步的充分条件；其次，利用k r o n e c k e r 积构造l y a p u n o v 泛函的方法，探讨了耦台神经网络的同步特性，这里我们取消了早期 文献要求内部耦合连接矩阵是对角阵的假设，推广和改进了早期的工作另外，我们的结果 在实际中易于检验 关键词：l y a p u n o v 泛函；全局鲁棒稳定性；平衡点；全局指数同步；耦合神经网络；k r o n e c k e r 积 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h eg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yf o rc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ( c g n n s ) w i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni na na r r a yo fc o u p l e d d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s i np a r ti ，b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，w es t u d yt h eg l o b a lr o b u s ta s y m p t o t i c s t a b i l i t yf o rd e l a y e dc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ，a n dg i v ean e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n o u rr e s u l t sd on o tn e e dt h er e s t r i c t i o no ft h es y m m e t r yo fc o n n e c t i o nm a t r i c e sa n dt h eb o u n d n e s so ft h ea m p l i f i c a t i o nf u n c t i o n s ，a n di m p r o v ea n de x t e n dt h ep r e v i o u sw o r k s ， i np a r t ，f i r s t l y ，w ed i s c u s st h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o no fa na r r a yo fc o u p l e dn e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y b a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o da n dm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，s o m es u f f i c i e n t c r i t e r i aa r eo b t a i n e df o rg l o b a le x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ； s e c o n d ly 1w ei n v e s t i g a t et h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni na na r r a yo fc o u p l e dd e l a y e dn e u r a l n e t w o r k sb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o da n dk r o n e c k e rp r o d u c tt e c h n i q u e ，w h e r et h e i n n e rc o u p l i n gm a t r i xd o e s tn e e dt ob ed i a g o n a l t h eo b t a i n e dr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n d s o m ee a r l i e rw o r k s ，a n dt h e ya r ev e r ye a s yt ov e r i f yi np r a c t i c e k e yw o r d s ：l y a p u n o vf u n c t i o n a l ；g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t y ；e q u i l i b r i u mp o i n t ；g l o b a le x p o a e i j - t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ；m c o u p l e dn e u r a ln e t w o r k s ；k r o n e c k e rp r o d u c t 1 1 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：j 卫卫日期：叠地盘：i ! 曲 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：玉皿导师签名：谴盛丝惫日期：2 q 凼：垃 第一章绪论 1 1 稳定性的研究背景及本文的结果 人工神经网络是以人脑的生理研究成果为基础的，其目的在于模拟人脑的某些机理与机 制，实现某些方面的功能近几十年来，由于神经阿络在智能控制，模式识别图像处理、非 线性优化计算、传感技术与机器入，生物医学等方面的成功应用。神经网络理论已经引起国 内外学者的极大兴趣，形成了世界性的研究热点 1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 提出了一类自适应谐振神经网络模型 1 】： ! ! ! d ! 盟t = 一q ( ( t ) ) | 6 l 。( t ) ) t 仉j 勺( 巧( t ) ) + 】， ( 1 1 ) 3 = 1 其中，( ) 表示第 个神经元的状态变量，m ( ) 为放大函数，6 t ( ) 为适当的行为函数，连 接权矩阵w = ( 撕，) 。x 。描述了神经元在网络中的连接，勺( ) 是神经网络的激活函数，上表 示外部输入的第i 个分量并且他们在连接权矩阵( 硼，) 。对称的假设条件下，证明了系统 ( 1 1 ) 的平衡点是全局渐近稳定的可以看出c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型包括很多神经网 络模型，例如，h o p f i e l d 模型，细胞神经网络模型，联想记忆神经网络模型等纵观几十年 的发展，神经网络在工程上得到了广泛的应用，关于神经网络平衡点的各种稳定性研究已经 非常深入( 见f 2 】一f 3 2 ” 但是在生物神经网络中，不同的神经系统有不同的触突长度，这就决定了神经元的传递 必然是有差异的，从而滞后特性是其固有的在人工神经网络中，由于硬件实现中开关滞后。 参数的变化，分布杂散参数释放特性的影响。使滞后特性也为其固有因此为了使c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络( c g n n s ) 更接近实际，在应用上更广泛，通常考虑带有延时的c g n n s 模型，于是一些研究者又引入了如下的多时滞的c g n n s 模型( 觅【9 】， 1 3 d ： 掣一a i ( z , ( f ) ) 慨( 麓( ) ) 一蟛勺( ( 一a ) ) + 吼 = 1 ，2 ，竹，。 k 一- - - o3 = 1 其中 0 为正整数，且0 = 7 0 n 0 和常数 0 使 得下列矩阵不等式成立： q = 一2 p rp w o p 讳 +m d m ，一( 1 一一( ) ) q i + e e 局 o o p 以 d m 0 一( i 一0 ) ) g + e ，日 0 p h d h o o 一再- i o “= 1 ，2 ，n ) 表示神经元的自反馈；a = ( a k t ) 。 b = ( b k t ) 。舻“分别表示时刻及t 一下( t ) 时刻单个神经网络各神经元之间的连接权矩 阵；延时r ( t ) 是有界函数即满足0 r ( ) 0 ，m j 0 使得l 五( z ) 一五( 彩f 只p 二y l ，f 野( z ) 一乃扫) 7 珊k f ，勘，y r ； ( 飓) 7 - ( t ) 是非负有界的连续可微函数，且f 俅) s 叩 0 ，q = d i a g q 1 仍， 0 ，= d i a g o l ，0 2 ，口。 0 ，对角矩阵= d i a g 6 l ，如，以) 舻”和不可约对称矩阵 u = ( ) r 。满足条件( 1 5 ) ，使得 f 一2 尸g + a + t f p q f + m m p a p 。b 1 0 ，m = d i a g m ，。) 0 ， a o = + a t ) 是a 的对称部分 定理3 1 2 在假设( k 1 ) 和( ) 下，耦合框架矩阵g 是不可约的且满足条件( 1 5 ) ，若存 在正定矩阵p 0 ，和正定对角矩阵q = d i a g q l ，9 2 ， 0 ，；d i a g a l ，0 2 ，靠) 0 ，对角矩阵= d i a g 5 1 ，如，“) r “”使得 ，、 - p ( c + ) 一( c 十a ) p + f q f + m e mp a p b la t p - e0 i 0 ， h 和p 将在定理证明中给出 在第三章第二节中，考虑了如下的模型： 掣= 一c h ( x , ( f ) ) + a ( x , ) + b ，( 引t 叫t ) ) 州) n + c , j d z j ( t ) ， i = 1 州2 ，肛 ( 1 6 ) 3 = 1 其中z ；，c ，a ，b ，g ，r ( ) 与系统( 1 4 ) 中符号的意义是相同的，延时7 | ( ) 是有界函数满足 0 r ( t ) r ，d r 一“表示任意两个结点的内部耦合连接矩阵，且d 未必是对角的。 g = ( g o ) n 。n 满足条件( 1 5 ) 5 东南大学硕士学位论文 作如下假设： ( a 1 ) 激活函数 ( ) 是l i p s c h i t z 连续的，且l i p s c h i t z 常数是厶； ( a 2 ) 九( z 。) 是连续可微函数且满足0 0 ， 半正定矩阵q 舻“和矩阵t 舻“使得 f 一2 v c r 一( y r + 丁t y ) v a + s l v b i a t y + s l一2 s + q0 i 0 ，r = d i a g r l ，h ) 0 定理3 2 2 在假设( a 1 ) 一( a 3 ) 下，耦合框架矩阵g 是不可约的对称矩阵，且满足条件 ( 1 5 ) ，若存在正定对角矩阵v = d i a g v l ，耽，) 0 ，s = d i a g s l ，8 2 ，s 。) 0 ，半正 定矩阵q 舻“和矩阵t r - “使得 一2 v c i ：t 一( 1 旷丁+ 丁t y ) v a + s l y b i a t y + s l一2 s + q 0 i 0 ，r = d i a g r l ，r 2 ，) 0 定理3 2 3 在假设( a 1 ) 一( a 3 ) 下，耦合框架矩阵g 是不可约的对称矩阵，且满足条件 ( 1 5 ) ，若存在正定对角矩阵v d i a g v l ，他，) 0 ，s = d i a g s l ，s 2 ，s 。) 0 ，半正 定矩阵q r “和矩阵t r “”使得 一2 v c r 一( y t + 严y ) 解v + s l b t v v a + s l v b ) 一2 s + q o i = 1 ，2 ，n 一1 ，) ，则系统( 1 6 ) 是 全局指数同步的，其中l = d i a g l 1 ，l 2 ，厶) 0 r = d i a g r l ，r 2 ，一，h ) 0 第二章 c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的鲁棒稳定性 在本章中，我们将讨论时变多延时c o h e n - g r o s s b e r g ( c g n n s ) 神经网络平衡点的鲁棒稳 定性，该模型是1 9 8 3 年c o h e n 和g r o s s b e r g 提出来的f 1 】，然而由于参数摄动及建模误差 的影响，互连结构要实现完全对称是很难的；另一方面，在神经网络实现过程中，由于放大 器转换速度的限制，不可避免的存在时滞，并可能引起振荡及系统的不稳定，因此研究延时 c o h e n - g r o s s b e r g 模型的动态行为是非常必要的对于延时c o h e n g r o s s b e r g 模型，存在一 些有意义的创新工作，可见文献( 【8 】- 【9 】，【1 l 】- 【1 4 】，【1 6 一【1 9 ”本章中，我们通过构造适当的 l y a p u n o v 泛函，利用线性矩阵不等式技巧，给出一些判断多时滞c o h e n g r o s s b e r g 模型的鲁 棒稳定的充分条件 2 1 神经网络模型和鲁棒稳定性 令r 表示实数集，r “表示所有佗n 实矩阵的集合；对于任意实对称矩阵a ， a 0 ( a 0 , a 0 , a 0 ) 表示a 是正定( 半正定，负定，半负定) 矩阵；厶表示n 阶单位 矩阵；a 7 表示矩阵a 的转置矩阵； ”f f 表示向量的欧几里得范数；“”表示矩阵的对称 部分这些符号的意义在以后的章节中，如没有特殊说明，则具有相同的意义 2 1 1 神经网络模型转化及相关引理 考虑下列多时滞c g n n s 模型； 掣= _ 8 ( 引啪【6 。( 州) ) 一壹( ”+ 叫) 勺( q ( t ) ) 一r n ( ”妒+ 罐) s j ( 巧( t 一( 洲+ j = l k = l ，= 1 ( 2 1 ) 或者以矩阵形式给出； 掣：叫) ) ) 一( w o + a w o ) s ( ) ) 一壹( 阢+ a w k ) s ( 邢一郇) ) ) m ，( 2 2 ) k = l 其中n ( z ( ) ) = d i a g a l ( x l ( t ) ) ，( 。( t ) ) ) ，p ( 茁( t ) ) = 【b l ( x ( t ) ) ，6 n ( ( ) ) 】t ， s ( 茁( t ) ) = 【8 1 ( 。( ) ) ，s 。( 。( t ) ) 】；n 2 表示网络中神经元的个数，表示第i 个神 经元的状态变量； 毗( ) 为放大函数，乜( ) 为适当的行为函数；连接权矩阵v c k = ( ) 。 描述了神经元在网络中的连接情况，w ；= ( 伽) 。表示连接权矩阵中参数的不确定 性； 如( ) 是神经网络的激活函数，延时“( ) 是有界的连续函数，且满足0 仉( ) 0 ； ( 也) 8 ，( r ) 在r 上是有界的单调非减函数； ( 风) s ( - ) ：r r 是l i p s c h i t z 连续的，且l i p s c h i t z 常数是l ，； ( - 4 ) a w k = h f j k ，其中日，j k 是已知矩阵，f 是未知矩阵，且满足f 7 f k 易证系统( 2 1 ) 的平衡点存在唯一( 【1 1 j ) 假设系统( 2 1 ) 对任意的输入j 有唯一的平衡点矿= 陋：，z ；，z ；j t 为了简化证 明，将平衡点平移到原点，令y ( t ) = z ( ) 一矿，y ( t 一( ) ) = z ( t 一( ) ) 一矿，则系统( 2 1 ) 可转化为 壁考= 一口。( 鼽( ) ) 【展( 叭( ) ) 一( 伽妒t 叫妒) 缈( 聊( t ) ) 一( 叫+ 字) 毋( 纷p 一仇( ) ) ) 】 3 = 1 b lj 。l 其中a ( 玑0 ) ) = n l ( 玑( t ) + z ；) ，屈( 玑0 ) ) = 6 l ( 玑( ) + z ：) 一以( z ：) ，乳( 幻( t ) ) = 勺( 蜥0 ) + z ；) 一s j ( ；) ， 记 y ( t ) = i y l ( 吸珈( ) ，( t ) 】ta b ( ) ) = d i a g a l ( 口1 ( ) ) ，他( t ) ) ，q 。( 鲰( ) ) ) ， b ( ) ) = f 岛( 9 l ( t ) ) ，岛( 妇( ) ) ，尻( 鲰( t ) ) 】t9 ( ”( t ) ) = b l ( y l ( t ) ) ，9 2 ( y 2 ( ) ) ，蜘( 鲰( t ) ) 】t ， 则有 掣= 一a ( 婢) ) | b ( y ( 嘲一( + w o ) g ( 心) ) 一壹( 肌+ ) 9 ( 揶一n ( c ) ) ) 】，( 2 3 ) 下面只需研究系统( 2 3 ) 的稳定性即可显然由假设( 凰) 和( 风) 可知，9 l ( ) 是单调非 减函数，且满足； 挑( t ) 仇( 玑( 芒) ) 0 ，爵( 玑( f ) ) sz t 玑( ) 虫( 执( ) ) v ；“r ，i = 1 ，2 ，- ，( 2 4 ) 由假设( 日z ) 可知，有 鼽( ) n ( 矾( ) ) m ? ( t ) ( 2 5 ) 下面引入一些定义和引理； 定义2 1 1 若关于所有的不确定的参数矩阵w ；，系统的平衡点是全局渐近稳定的， 壅童奎耋至圭兰篁丝壅 1 0 则称系统( 2 1 ) 是全局鲁棒渐近稳定的 引理2 1 1 ( s c u l a xc o m p l e m e n tf 2 1 1 ) 线性矩阵不等式( l m i ) ( 嚣剐姐 等价于下面其中任意一个不等式： ( 1 ) q ( z ) 0 ，r ( z ) 一s r ( z ) q 一1 ( 。) s ( z ) 0 ， ( 2 ) a ( z ) 0 ，及常数 0 使 得下列矩阵不等式成立t q = 一2 p fp p m +m d 1 + 十一( 1 一( t ) ) q l + 砰e 1 0 o p-诈ph d md h 0 0 一( 1 一( ) ) q ，十霹e 、0 0 一- ，- - + - i 0 ，我们知道该系统的平凡解是全局渐近稳定的( 详见文 【5 1 ，定理1 ) ，因此要证明定理的结论，我们只需证明s 0 即可下证n 0 蕴涵s k 0 和常数 0 使得下列线性 矩阵不等式成立； - 2 p fp w op w ip w tp h m d w l，p w d h + 一q l + e e s l - 0 0 1i!；! 0 一q r + c 霹e t 0 00 一者j 0 ，d = d i a g d l ，d 2 ，如) 0 ，使得下列矩阵不等式成立； 忙一 rp w o r - 2 d l 。r + d w o - t - 叮d + q k 女= 1 p d 叭 - ( 1 一一( ) ) q - 0 p 嫩 d 弧 o 一( 1 一( t ) ) 口 0 ，d = d i a g d , ，如，厶 0 ， 和常数 0 使得下列的线性矩阵不等式成立， f 尸w o 一2 d l 一1 r + m w o 十仰斧d + q 1 + e 霹岛 t p m 尸日、 。肌 删l o ( 2 1 0 ) - q l - t - e e t e l 0 l o i f ， 则对任意的输入，系统( 2 9 ) 是全局鲁棒渐近稳定的，其中p = d i a g 7 l ，7 2 ，) ， 三= d i a g l l ，1 2 ，一，k 注2 1 1 在文献1 12 】，【1 3 】中，需要假设0 0 使得i 扛) 一，t 白) i e l z y ，l g j ( z ) 一毋( 可) is ”j i z y i ； ( 恐) r ( f ) 是非负有界的连续可微函数，且一( 茚s 叩 0 ，存在常数m 0 ，使得对任意的初值妒，( s ) c “一7 - ，o l ，r “) ，当t 0 充分大时，对所有的 t ，有】i z , ( t ) 一( # ) sm e 。，则称耦 合系统( 3 1 ) 是全局指数同步的 由定义3 1 ，1 知，系统( 3 1 ) 的同步状态趋近于线性子空间 。：= 而；，j ) ，称之为同 步流形由于g 满足条件( 3 2 ) ，当系统达到同步时趋近于下列解耦状态： j ，、 兰篆! = 一c s ( t ) + a g ( s ( t ) ) + b f ( s ( t r ( ) ) ) + ( t ) ， u “ 定义3 1 2 ( ( 5 2 j ) m f ( 1 ) ：矩阵m 只有列，且膨中每一行只有两个非零元o t i 和 一。 ，其他元素均为零，由这样的矩阵m 构成的集合记为m f ( 1 ) 定义3 1 3 ( f 5 2 】) m f ( n ) 和m 岁( n ) ：m c ( n ) = m = 府o i 府m f ，( 1 ) ) ，即集合 m f ( 1 ) 中的每一个元素他，用r n n ，厶代替得到的矩阵m 构成的集合记为m f ( n ) ；而集合 m g ( n ) 是m ，( n ) 的子集，且满足对任意的- - x 十指标i 和j ，存在指标i z ，i 2 ，i t 且 l = i ， i l = j 和指标p l ，p z ，研一1 使得对所有的1 曼9 0 ，q = d i a g q l ，q 2 ，q n ) 0 ，e = d i a g 印，口2 ，) 0 ，对角矩阵；d i a g 5 1 ，如，“) 舻。“和不可约对称矩阵 d = ( “u ) r 。”且u 满足条件( 3 2 ) 。使得 p ap b 一eol 0 ，m = d i a g m l a k + a 7 ) 是a 的对称部分 ( 3 4 ) ) 0 ， 证明：u = ( “o ) r 。”是不可约的对称矩阵，由引理3 1 1 存在一个pxn 矩阵 庇m 参( 1 ) 使得u = 一舻庸令m = 府。厶，则m m ( n ) ，且记 c = i n 固cc 、= i p 9 ca = i n 愈aa l = l p oa b = i n 园bb 1 = i p o8 厶= i n 国厶丛= i p 园a p = 厶o pq = o q g=gor mm f 陶尸ph 舻 ep一 露 幺 对且 东南大学硕士学位论文 x d t ) = k 1 ( 如以2 ( t ) ，x i , a 吲t ， v i = 1 ，2 ， 。( t ) = 旧( t ) ，霹( ) ，瑶( ) 】t g ( 。( ) ) = b t ( 。l ( ) ) ，9 t ( j 沈( ) ) ，夕t ( 2 ( f ) ) 】t ， f 0 ：( t 一7 - ( ) ) ) = f f t ( $ l 一r ( t ) ) ) ，f t ( 9 2 ( t 一7 - ( ) ) ) ，一，t ( 。( t r ( ) ) ) 】t ， i ( t ) = f i t ( ) ，i t ( t ) ，尸 ) t r 则系统( 3 1 ) 可写为； 皇挚= 一( c + ) z ( t ) + a g 江( 啪+ b f ( z o 一7 ( 亡) ) ) + i ( ) + ( g + 净( 玎 ( 3 j 5 ) 4 9 y ( t ) = m z ( t ) = 【y t ( o ，y 手0 ) ，谚( t ) 】t ，玑0 ) = 【y i , 1 ( t ) ，玑，2 ( ) ，一，y i 。( t ) 】ti = 1 ，2 ，p ， 其中鼽( t ) = o ，( ，( t ) 一z 。( t ) ) 且m 0 再记毛( t ) = 【霉l j ( t ) ，x 2 a ( t ) ，- ，x n j ( t ) t ，则有 易( t ) = m 毛( ) ，对j = l ，2 ，一，n 由引理2 1 1 ，条件( 3 3 ) 等价于 一2 p ( c + a ) + f q f + m z m + ( 1 一，( t ) ) 一1 p b q 一1 b t p + p a 一1 a t p 0 使得 ， 2 p ( c + a ) + 2 e p + f q f + m z m + ( 1 一一( ) ) 一1 e 缸7 “) p b q 一1 b t p + p a 一1 a t p 0 ( 3 6 ) 构造如下的l y a p u n o v 泛函： y ( z ( ) ) = e 知z t ( t ) m t p m x ( t ) + t r r ( x ( s ) ) m r q m f ( z ( s ) ) e 缸 d s j t r ( t ) l y a p u n o v 泛函沿着系统( 3 5 ) 的解的导数为； 笔掣= 2 卿) m t p m 础) + 2 e 缸t x t m t p m 叩+ 蛳+ a g ( 删 + b f ( x ( t r 0 ) ) ) + 1 0 ) 】+ 2 e 知。z t ( ) m t p m ( g + ) z 0 ) + e 2 c f t ( z ( ) ) m t q m f ( x ( t ) ) 一( 1 一f 7 ( t ) ) e 知。一7 ( ) ) f r 0 ( t 一 r ( t ) ) ) m w q m f ( x ( t t ( t ) ) ) 由m 的构造，有下列等式成立： m a = a 1 mm b = b 1 mm i ( t 1 = 0 m ：l mm c ：e 1 m 奎童奎耋堡圭兰堡丝壅 2 1 因此 驾掣= 2 e 2 e t 以t ) m t p 【- ( c 1 + 1 - - 6