（固体力学专业论文）压电材料中力学问题的辛体系方法.pdf

大连理】：、博七学位论文 摘要 压电材料具有力电转化效应，因其响应速度快、可控性好、结构简单等优势，在电 子、机械等领域得到了广泛的应用。随着科学技术的发展，人们更加关注该方面的研究 进展和研究成果，更多的问题被提出，因此对压电效应的研究有着重要的科学意义和工 程应用价值。然而电力耦合效应的存在，使得对压电材料的研究更加复杂，所以研究一 种新的方法是必要的。 本文将哈密顿辛方法应用于横观各向同性压电材料的平面问题与空间柱体问题。通 过引入对偶变量建立对偶体系，得到完整的本征解空间，其中包括零本征值本征解与非 零本征值本征解。将问题归结为本征值和本征解问题。 在哈密顿体系下，零本征解以及它们相对应的哈密顿算子矩阵的约当型解完整描述 了圣维南问题，即可以描述刚体位移、电势平移、拉伸、电至伸缩、扭转、纯弯曲、剪 力弯曲等所有的经典圣维南解。而非零本征值本征解所描述的是通过圣维南原理所忽略 的边界效应。通过各阶非零本征值本征解的线性组合，可以描述各种复杂广义荷载和广 义位移边晃条件下产生的边界效应，以及该边界效应的衰减状况。 本文针对平面问题和空间柱体问题，各自引入对偶变量、得到了零本征值本征解及 其约当型和非零本征值及其本征解的解析表达式。利用辛本征解的正交归一关系将广义 荷载和广义位移边界条件进行了转化。形成了一套有效的求解方法和数值方法。数值模 拟结果说明了一些规律和特点，并得到了一些有益的结论。 根据计算结果显示，辛方法在解决压电材料电力耦合计算的问题中具有合理性和可 行性，尤其是非零本征值本征解直接描述了边晁效应及其衰减过程。充分体现对偶体系 的特点和优势。为电力耦合问题及边界效应的研究以及类似学科和研究方向提供了一种 有效的方法。 关键词：辛方法；对偶体系；压电材料；本征解 压电材料中力学问题f r jf 体系方法 a na n a l y s i sm e t h o do fs y m p l e c t i cs y s t e mf o rm e c h a n i c si np i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l s a b s t r a c t p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sc 姐c h a n g ee l e c t r i ce f f e c ta n dm e c h a n i c a ld e f o r m a t i o nt oe a c h o t h e r b e c a u s ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa r ev e r yf a s ti nr e a c t i n g , e a s yt oc o n t r o la n dv e r y s i m p l ei ns t r u c t u r e ，t h e ya r ew i d e l yu s e di nm a n yf i e l d sl i k ee l e c t r i c s ，m a c h i n ea n ds oo n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m o r ea n dm o r eq u e s t i o n se m e r g e d s ot h e r e s e a r c h e so fp i e z o e l e c t r i c i t yb e c o m ev e r yi m p o r t a n t b u tt h ec o u p l i n gc h a r a c t e r i s t i co f p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sm a k e st h ep r o b l e mv e r yc o m p l i c a t e d an e wm e t h o di np i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l si sq u i t cn e c e s s a r yi nt h e 砖s e a r c hw o r k t h i sp a p e rp r e s e n t sas y m p l e c l i cm e t h o do ft r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l i n p l a n ea n d3 dc y l i n d e r ad u a l i t ys y s t e mi s e s t a b l i s h e dd i r e c t l yb yi n t r o d u c i n gd u a l v a r i a b l e sa n dac o m p l e t es p a c eo fe i g e n s o l u t i o n si so b t a i n e d ls o l u t i o n so ft h ep r o b l e ma r e b o i l e dd o w nt o z e r o - e i g e n v a l u es o l u t i o n sa n d a l lt h e i rj o r d a nn o r m a lf o r mo ft h e c o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n i a no p e r a t o rm a t r i xa n dn o n - z e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n s n ep r o b l e m c h a n g e si n t og e t t i n gz e r oe i g e n s o l u t i o n sa n d n o n - z e r oe i g e n s o l u t i o n s t h ec l a s s i c a ls o l u t i o n sa r ed e s c r i b e db yz e r oe i g e n s o l u t i o n s w h i c he x p r e s st h es i m p l e e x t e n s i o n , p u r eb e n d i n g , s h e a r i n g - b e n d i n g ，e q u i p o t e n t i a lf i e l d ，u n i f o r me l e c t r i cd i s p l a c e m e n t f i e l da n ds oo n o nt h eo t h e rh a n d ，n o n - z e r oe i g e n s o l u t i o n ss h o wl o c a l i z e ds o l u t i o n s ，w h i c h a r ei g n o r e di ns a n v i e n n as o l u t i o n s n o n z e r oe i g e n s o l u t i o n ss t a n df o rt h eb o u n d a r ye f f e c t s c a u s e db ys o m es p e c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dt h e s ee f f e c t sa r er e l a t e dw i t ht h eb o u n d a r y c o n d i t i o n so fe n d sa n da r ea t t e n u a t e dw i t ht h ed i s t a n c et ot h ee n d f o r m u l a t i o n sa n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r el i s t e di nt h ep a p e rf o rb o t hp l a n ea n d3 d c y l i n d e rp r o b l e m s t h ea d j o i n ts y m p l e c t i co r t h o g o n a lr e l a t i o n s h i po fe i g e n s o l u t i o n sa r eu s e d i ne q u a t i o n s t h ef i g u r e so fn u m e r i c a lr e s u l t ss h o we f f e c t so fd i f f e r e n t s t r e s sa n d d i s p l a c e m e n t1 0 a d e do nt r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ac o n c l u s i o nc a nb em a d ef r o mt h en u m e r i c a lr e s u l t st h a tt l l es y m p l e c t i cm e t h o df i t st h e p i e z o e l e c t r i cp r o b l e m sw e l l i ti se s p e c i a l l yg o o di nd e s c r i b i n gt h el o c a l i z e de f f e c t sa n dt h e i r r e d u c t i o n ，w h i c ha r es e l d o mm e n t i o n e di nf o r m e rr e s e a r c h e s t h ed u a l i t ys y s t e mp r o v i d e sa n e f f e c t i v ew a yi ns o l v i n gp i e z o e l e c t r i cp r o b l e m s k e yw o r d s ：s y m p l e c t i cm e t h o d ：d u a l i t ys y s t e m ：p i e z o e l e c t r i c ；e i g e n s o l u t i o n 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：砀红 导师签名： 兰生迅骘 勋印年乡月u 一日 人l 理工大学博士学位论文 引言 压电材料是一种特殊的材料，在外载荷作用下或外电场作用下会产生力电耦合的现 象，即压电效应。自从1 8 8 0 年压电现象被发现，学术界对于压电材料具有的电效应与 机械变形效应耦合的特征产生了很大的兴趣。在一百年间，压电性质的理论建立并发 展起来，很多新的压电材料被发现或制造出来。所有这些更引起了对压电性质相关研究 与发展的广泛兴趣，这一领域的研究一直倍受关注。 以压电材料为主体所形成的智能结构，在电子、机械控制、传感等领域，有着广泛 的应用。相比于早期的电磁型作动器，由压电材料所制成的电力转化装置有着明显的优 势，压电材料的力电耦合效应来自于材料本身的特性，因此对于电与力之间的转化极为 迅速，在声波、高频振动等需要高速响应的领域有着极其重要的用途。另外由于压电材 料本身结构简单，因此在复杂的电磁场干扰、高温高压等恶劣环境下也可以正常工作。 而且人造压电材料在一定工作范围内有近似线性的力电转化关系，对于实现连续可控电 子作动装置，有着重要的意义。 对压电材料的理论探索一直是本学科中非常重要的一环。基于对横观各向同性压电 材料中位移、应力、电势、电位移和电场强度的完整表述，在早期的研究中s o s a 、p a k 和c a s t r o | 2 - 4 l 提出过很多理论，他们最先提出了压电近似问题的线性本构方程，并且基 于此方程对压电材料的层状、半平面和空间裂纹问题进行了讨论。针对压电结构，特别 是壳体结构，t z o u 等1 5 - 8 】提出了很多理论方法，并将其运用到非线性压电弹性的动力 问题和微型传感器研究中，取得了很好的结果。d u m a 等【9 - “1 研究了横观各向同性压电 介质的格林函数方法在半空间、内含杂质和非均匀材料方面的问题，其结果对于边界元 法和裂纹问题很有效。 t i n g t ”j 曾经研究了半空间各向异性压电材料中表面波的传递、旋转等问题，是压 电材料在声波领域的一种应用。k a p u f i a ，d u m i r 等 1 4 - 1 7 l 针对层状复合压电简支梁的弯曲 问题，利用傅立叶展开法使变量满足边界和端部条件，并由势能函数推导出控制微分方 程，得到了简支圆柱壳的轴对称解，这一方法在压电二维壳体理论中很适用。h e y l i g e r 和b r o o k s l l 8 i 得到了层状压电薄片堆纯弯曲的精确解。c h e n 和s h e n t x g l 研究了层状压电 晶体感应片的表面荷载效应，并将其应用于压电传感器的研究。k r o m m e r 和 v a r a d a n l 2 0 - 2 l 针对复合压电板的柱状弯曲、拉伸，二维热力弹性压电梁等问题，建立了 个低阶模型，并对压电梁在剪力、旋转等情况下的内部电场作了分析，还将此方法扩 展到上下层电势差作用下的压电薄板问题中。 压电材料中力学问题的辛体系方法 由于有限元、边界元等数值方法的逐渐成熟，压电弹性问题的研究中也大量采用了 这些数值方法。b e r g e r 和k a r i i 冽用有限元数值方法研究了横观各向同性压电陶瓷纤维 问题，用体积元素法，着重研究了柱状纤维体排列方阵的数值逼近。w a n g 和t a n t 圳用 边界元法对横观各向同性压电材料二维问题作过研究，得到了耦合的应力场与电场的数 值结果。s c h e r z e r t ”1 研究了压电材料表面转角裂纹问题，利用本正函数展开的方法，讨 论了经典的一型和二型裂纹问题，并用数值近似的方法得到了问题的解。f e r n a n d e s ， p o u g e t 等l “”l 建立了拉格朗日多体系统下的精确模型，研究层状压电平面在集中力和电 势载荷下的响应，利用有限元数值方法，研究了层状压电片平面问题和双压电晶体的三 维问题中的表面集中力荷载和电势变化， 在后续的研究中，b e m a d o n 和h a e n e l i ”- 3 1 i 利用有限元数值方法研究了压电薄壳的 平面问题及压电壳体结构的应用，b o w e n 和p e r r y i 矧利用有限元法，研究各向异性压电 材料及其在流体探测器中的应用，s t r a s h i l o ! ”】也利用数值方法，研究了各向异性压电晶 体问题。w a n g 和z h e n g t “l 在横观各向同性压电介质的三维问题中，得到静态控制方程 的通解，该解由四个调和函数表示，满足二阶偏微分方程。 从1 9 9 8 年开始，丁皓江和陈伟球等人在压电材料的研究方面作了大量的和系统的 研究工作并取得了很多成果，利用f o u r i e r 变换得到平面问题状态方程的通解, 3 6 1 ，对 于单位集中力和单位点电荷，给出了压电介质平面问题各种情况下的有限形式的基本 解；用复宗量的b e s s e l 函数求解无限长中空压电圆柱体的自由振动频率1 ”l ；利用推广 的a l m a n s i 定理，通过三个调和函数来表示所有的物理量，推导了半无限平面直线边界 受集中力和点电荷下的解1 3 s j 9 1 。 丁皓江等1 4 0 - 4 2 1 以四个调和函数表示通解，用镜像法，对压电材料特征根，给出了横 观各向同性压电材料半无限体的两类闭合形式g r e e n 函数。用积分的方法得到了旋转体 轴对称问题的基本解1 4 3 - “。给出了横观各向同性压电材料轴对称问题有限元法列式 1 4 6 - “j ，叙述了压电材料有限元法分析中的一些特殊处理步骤，包括无量纲化和特征值问 题计算中对电势自由度的凝聚。对压电材料轴对称问题的一些经典静力问题进行有限元 计算，同时对压电圆板的轴对称自由振动进行计算，和解析结果作了比较。 陈伟球等1 5 2 - 5 4 i 通过对压电弹性体的线性本构方程直接作厚度方向的积分，并引入适 当的变量及对位移的分布作一定的假设，导出了对应的二维简化扳理论，考虑了矩形简 支板的自由振动，给出了算例，并与三维理论的结果作了比较。还针对压电材料的半无 限空间问题，讨论了裂纹、集中力、均布正应力等情况的解。 大连理工大学博士学位论文 在层状压电问题方面，p a n 和h a r t i ”曾经利用格林函数研究过多层压电弹性半空 间问题。w u 和c h i e n 【7 4 1 用有限元法研究了压电平板的谐振响应，固有频率，压电传感 器等效回路。b e n v e n i s t e 7 5 - 7 7 1 讨论了压电材料的极化效应和体积力问题。p o s t n i k o v 嘲利 用本征值和本征函数法，研究了压电晶体板的振动等问题。 v e l 和b a t r a l l 2 “刎研究了嵌入式多层压电作动器的问题，以有限元的数值方法得到 了矩形简支层状压电厚板的三维变形的解，通过在法向极化的复合压电夹层在上下表面 加力载荷与电载荷，比较了不同长厚比的均匀压电板与弹性夹层压电板的位移和应力。 结果表明，在复合层状压电堆作动器的使用中，粘接表面产生的剪应力比极化方向的正 应力还要大。 y i n i 例通过控制方程，利用高阶本征函数，得到压电平面问题的通解。o u 和c h e n ”1 给出了横观各向同性压电材料平面问题的本征值与本征向量的显式表达，y o n g 和c h o ! e l l 利用简化的有限元数值法得到了压电振动问题的特征值，n o e l 和l l u n e l l t “1 借助于哈 密顿原理研究了各向异性压电晶体。l e o 和t o n g 叫讨论了压电梁平面动力问题的数值 方法。 姚林泉，俞焕然等1 1 3 0 - 1 3 2 1 分析了在横向外载和电压共同作用下，压电板的变形。将 电压转化为等效作用量，用哈密顿原理导出压电结构板弯曲变形的有限元公式。并分析 了弹性环形压电片在电压和径向压力作用下的轴对称屈曲问题，利用初参数法以及传递 矩阵法得到环板屈曲的特征方程，计算了结构的屈曲载荷。 z h a n g 和y o n g t 驯用有限元矩阵法研究了层状压电晶体片振动，s h i1 8 5 - 8 7 1 等利用含有 弹性常数和压电常数的耦合方程，形成势能函数，研究了压电悬臂梁的均布荷载问题。 t u l l i n i 和s a v o i a 嗍研究了正交各向异性悬臂梁受力弯曲问题，d c n d a 和a r a k i1 8 1 利用格林 函数的时间调和函数边界元法研究二维压电本征值问题。e b e n e z e r ! g o , 9 1 l 以本征函数方法 研究极化压电陶瓷的圆柱薄壳问题。 沈亚鹏等【l “1 “j 采用数值分析和实验方法研究了压电材料对支架的振动控制，利用 哈密顿原理，采用速度反馈，并考虑力电耦合效应推导了振动主动控制有限元方程。基 于拉格朗日体系，建立了弱非线性耦合假设下压电智能结构的有限元控制方程，分析了 不同边界条件下压电板的屈曲和后屈曲。 t a m “叫7 l 给出了压电问题在状态空间法中的方程，利用这一方法研究了条形和环 形压电板在拉伸、剪切、弯曲、均布电位移以及温度变化等荷载作用下的内部力电耦合 情况，并把问题扩展到了柱体和空心柱体压电问题的研究中。 压电材料中力学问题的辛体系方法 从以上的研究概述中可以看出，对于压电效应理论的研究方法，大多在拉格朗日体 系下讨论的。由于电力耦合效应的特殊性，不得不将问题归结为高阶偏微分方程的求解 问题。为求解此问题，必须通过一些近似，假设和变换等手段将问题简化，而且求解过 程很烦琐和困难。 而在压电材料的边界效应与应力集中现象的研究中，目前所使用的大多是有限元等 近似数值方法。这些方法可以解决很多复杂边界和荷载的问题，但是这些方法对算法的 依赖性比较大，往往因为使用不同的计算方法或应用网格划分形式等差异，使得到的结 果存在明显的差异性。而且仅仅利用数值结果，对理论问题的研究和应用设计的探讨， 有一定的局限性，且很难解释问题的内在规律。 在哈密顿体系应用方面，借鉴了现代控制论数学模型与力学一类问题的模拟关系， 钟万勰等l ”4 叫在这个领域作了大量工作。将哈密顿体系成功引入到了弹性力学问题中， 采用了本征解展开方法1 1 1 4 脚j ，将问题化为哈密顿算子矩阵求解问题。建立了混合变分 原理方法，讨论了弹性动力问题，在静力问题与哈密顿体系相关。讨论了哈密顿体系下 的辛共轭正交和归一及展开定理。 上述研究工作，为讨论此类问题提供了有效的工具和研究方法。由于压电材料问题 与弹性力学问题有相似之处，但其更加复杂，尤其是边界条件。将辛体系方法应用于压 电问题是一种尝试。 本文将哈密顿体系引入横观各向同性压电介质的平面问题和空间柱体问题，得到问 题的对偶方程。在哈密顿体系的辛几何空间中，将问题归结为零本征值及约当型解和非 零本征值本征解问题。利用广义分离变量法将高阶微分方程降阶，从而比较容易得到问 题的解。零本征值本征解及其约当型解和非零本征值本征解可解析表出。此本征解空间 是完备的。 在针对具体边界荷载和位移条件以及混合边界问题，本文将问题分解为两类：一类 是满足等效边界条件的解；另一类是满足具有局部效应的边界条件的解。前者可由具有 整体效果的零本征值本征解描述，而后者由具有局部效应的非零本征值本征解表述。这 两类解组合构成问题的解。在讨论和研究局部效应的问题中，利用辛本征解向量的正交 共轭关系和特性，将问题归结为代数方程问题，形成了一种求解问题的特殊方式和数值 方法。由于辛体系下本征解的空间完备性以及本征向量的共轭正交性，可以讨论更加复 杂的边界条件，并且可以揭示衰减现象及因素。 相比于传统的数值方法所得到的结果，本文中的解是以解析形式给出的。所有圣维 南解都可以直接用零本征值本征解表示。它们描述整体的力学行为，在远离边界部分可 大连理i 大学博士学位论文 以是问题的近似解。而精确解是需要考虑局部效应的，即被圣维南原理所忽略的解，也 就是非零本征值本征解所描述部分。此两部分组成问题的完整解。 非零本征值的绝对值越大，对应本征解模态形式就越复杂，也就意味着该模态解的 衰减速度越快。正是由于这种衰减速度的差异，使得复杂加载条件下的局部效应，总是 从奇异的组合解形状，逐渐过渡到平滑的低阶本征解形状，最后影响减小到可以忽略不 计的程度。 这种局部效应的衰减变化，与以往的数值方法以及试验所得到的结果相比，在解的 直观图形上几乎完全相同，但在求解方法和理论意义上却并不一样。以辛体系下的非零 本征解来描述问题的局部效应，并借助辛正交归一关系求解其组合形式，是从另一个角 度理解边界效应的产生形式，并揭示其衰减变化的规律。这在边界局部效应问题的研究 中是一种全新的方法，在理论研究中具有重要的意义。 在第一章中，首先将辛方法用于一般弹性材料的平面问题。这一章中使用的示例为 弹性悬臂粱，对于这一问题的研究，其他方法早已有成熟的结果。通过对零本征值本征 解以及数值算例结果的分析，得到的结果与其他方法所得结果基本一致。通过这种对比， 验证了哈密顿对偶体系在问题中的可行性和合理性。 同样是针对弹性悬臂梁平面问题的研究，由于加入了压电材料的电力耦合特性，第 二章的工作就显得稍微复杂了一些。通过研究，得到了问题的解。这些工作表明，本文 所使用的哈密顿体系下的辛方法，在对于包含复杂电力耦合效应的研究中，有很好的适 用性。 第三章的工作，是将问题扩展到了空间柱体坐标系中，不再局限于平面。这一章研 究的是空间柱体中的一种特殊情况：轴对称问题。由于对解的形式作了轴对称条件的限 定，推导的过程就简化了许多。从得到的结果来看，圣维南原理下的整体解部分，依然 可以由零本征值本征解的组合覆盖：而边界效应在问题中仍然存在，通过算例的数值结 果图示，可以清晰的显示出来。 为了将问题进一步深化到空间柱体的一般性问题，必然要考虑到非轴对称因素。本 文的第四章在解决这一问题的过程中，采用了引入哈密顿子体系的方法，并收到了令人 满意的效果。辛体系子系统的应用，使得非零本征值及其本征解得以分离变量求解，并 且满足辛正交共轭关系和辛空间完备性。由数值计算得到的结果，展示了在几种复杂载 荷条件下的横观各向同性压电柱体问题的广义应力和广义位移状态，这些结果表明了辛 体系方法在类似复杂问题中的适用性。 压电材料中力学问题的辛体系方法 最后在第五章，针对实际的工程应用情况，改变了研究对象的形状和边界条件的类 型。从求解和推导过程中可以看出，文中利用辛体系正交共轭关系形成求解方程时对问 题的各类边界条件具有良好的适应性，不论是广义应力载荷还是广义位移条件，都可以 灵活的组合求解。 辛本征方法在本问题的运用中也受到了一定的局限，主要的问题来自于现有的计算 能力不足，无法精确描述复杂程度较高的情况。由于哈密顿正则方程的非零本征值在理 论上是无穷多个，因此要覆盖完备辛本征解空间，也对应的需要无穷多组非零本征解。 实际的计算中，不可能实现无穷多项本征解的同时求解，于是可用于求解的本征值数量， 就决定了计算结果的精确程度。 对于形状不规则的复杂边界条件和荷载条件，涉及到的本征解数量是非常多的，因 此这一类算例需要的运算量极大，给研究工作带来不便。为了缓解这一状况，文中将问 题的零本征解部分和非零本征解部分的组合系数分别求解，先通过边界的等效积分方 程，将整体解确定下来，再从边界条件中把这一部分影响减去，这样在单独解决局部效 应问题的时候，所有的边界条件都转化为不产生整体影响的问题，非零本征解部分就可 以单独求解。 对于非零本征值及其本征解，本文也进行了分类求解。在平面问题中，非零本征解 按照模态形状被分为对称解与反对称解。在空间柱体问题中，解的类型分为轴对称和非 轴对称情况，分章进行了讨论。这样就避免了过多的本征解在同一方程中求解的状况， 节省了计算时间。 以上这些方法降低了数值计算上的难度，但是使得求解的过程比较繁琐，方程形式 也不够统一，不论从理论研究还是实际应用的角度来看，对于辛体系方法的进一步扩展 和深入都是不利的，只是权宜之计。基于辛本征方法对于各种数值方法的适应性，以及 计算机技术的高速发展，在今后的研究中计算能力上的限制必然会逐渐减弱，这种方法 也会在更多的研究和工程领域得到应用。 大连理工大? 博士学位论文 1 横观各向同性弹性平面问题 在本章中，研究对象是横观各向同性材料的平面问题：假设一个均匀材料的平面条 形区域，符合垂直于长度方向的横观各向同性。 1 1 平面基本问题 选择迪卡尔坐标g 力，其中z 轴沿长度方向，x 轴沿宽度方向，坐标原点置于材料 中轴线上。条形宽度设为2 4 ，长度设为2 f ，于是有边界z 一卸，：一“。 平面横观各向同性问题的本构方程为： 吒- c l 。面a u + c 1 ，t 却z q - c l ，i a l l + g 警 ( 1 1 ) 武北 - 譬( 鲁+ 芸) 一 其中：c q 为弹性刚度。本文研究的材料为横观各向同性材料，因此只有4 个弹性刚度 为独立的材料常数。 问题在拉格朗日体系下的平衡方程为： 其中的六，正是外加体积力。 为了方便辛体系的引入，这里将z 坐标看作虚拟时间坐标，并将所有的娑都写 成，的形式。 可得到势能密度函数u 伽，们为： u - 三 c l l ( 罢) 2 + 气卜2 + ( 筹) 2 】+ g 矿 + c n 筹谛+ 印芸 3 ， 在拉格朗日体系下，其拉格朗e l 函数为： l 0 ，叻- u 0 ，叻一i 坑一w 无( 1 4 ) 力0 o o i l + + 监拓望拓 + + 监缸丝缸 压电材料中力学问题的辛体系方法 势能可以由如下积分表示： 。j = ，j 二l o ，w ) d x 出 ( 1 5 ) 由最小势能原理m i n h ，可得到方程： 且 吖，l o ，w ) d x d a _ 0 ( 1 6 ) 在拉格朗日体系中，控制方程和侧边界条件都可以由方程( 1 6 ) 得到。此方程用位移 形式表达，因此只含有一种变量并且属于拉格朗日体系。 1 2 对偶变量与哈密顿体系 为了引入哈密顿体系，将位移矢量写成如下形式： q 。 ：，) m 7 ) 由此拉格朗日函数( 1 4 ) 可以写成l ( q ，m - l ( u ，w ) 。此外，将( 1 6 ) 式对工方向分 部积分，可以得到： 可得到哈密顿形式所要求的对偶变量p ： 方l p 。石。 c + 掣 x 气i a u + c 3 ，谛 x 。 很明显，对偶变量p 的物理意义是剪应力和z 方向的正应力。 基于对偶矢量q 和p 的表达式，可解得： 一w 扣口册一万 一u w 叫3 p 2 叫2 万 其中：”瓦1 ， 老，铲i 1 8 一 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 4 l i l、，、l_， 业以 枷 嘭， + 一o 丝以 气 大连理工大学博士学位论文 这里引入哈密顿函数： h ( q , p ) 一p t q l ( q , 1 ) 则变分方程( 1 6 ) 变为： 驴v 她，p ) k 娜加。 将上式积分，可得到哈密顿体系关于对偶变量的基本方程： 6 h 6 p 6 h 6 q 若将q 和p 视为各自独立的变量，即可得到问题的哈密顿方程： 五 谛 p l p 2 0一旦 缸 一4 旦0 缸 a 2 q 石o 0o q 0 0 4 3 0 - 4 旦 缸 一旦0 缸 w p 1 p 2 + 0 0 一正 - l ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 其中：口一l + 孚 、， 这里得到的哈密顿方程( 1 1 4 ) ，替代了拉格朗日体系下的平衡方程( 1 2 ) ，由此将问题转 入了对偶体系。 定义向量i ，。 q ，h 为哈密顿算子矩阵，在域内体积力为零的情况下，方程( 1 1 4 ) 可记为： 审一i i i ，( 1 1 5 ) 为了求解哈密顿方程，这里采用分离变量法：令i ，一i ，。o ) e 即，代入( 1 1 5 ) 后则 可得到： h 、i ，- p ，l ， ( 1 1 6 ) 可以看出p 是本征值，而i ，是方程的本征解 压电材料中力学问题的辛体系方法 在这里有关于方程( 1 1 6 ) 的几点说明：如果肛，是本征值，则一肛，也一定是本征值； 由本征解i ，组成的本征向量空间是完备的，任意状态向量v 总可由本征函数向量组线 性表示。以上问题的证明可参考 1 0 9 1 1 3 1 文献。 同时由方程( 1 8 试，可以将问题的侧边界条件表示成： ra “ j4 面叫2 p 2 。q( x 加) ( 1 1 7 ) 【p 1 一 若侧边界无外加约束，则右端项为零。 1 3 辛共轭正交关系 在上一节中，定义了本征解向量：i ，史l ，在辛体系下的本征解存在共轭正交关 【p j 系，下面用数学的表达式来表述这种关系。 定义如下矩阵： 叫二：1 q - 酌 其中单位阵i 的阶数，与对偶向量q 和p 的维数相同。 则辛共轭正交关系可表述如下： ( v ，j ，v ) 一以样p p 一秽p ) 一“ ( 、l ，j ，竹) 一0 ( 1 1 9 ) ( i ，j ，v 妒) 一0 其中：乳一1 1 。( o nl 。七) ) ，后文中用到此符号表示时意义相同，不再解释；角标口与卢 用于区分共轭的一对向量。 在本文讨论的问题中，辛本征向量之间均满足以上正交共轭关系。 1 4 零本征值本征解及其约当型 由于有自由边界存在，问题必然会存在零本征解。零本征解向量会存在不同阶数的 约当型，其物理意义就可由不同形式的约当型解中给出。 1 0 大连理工大学博士学位论文 1 4 1 零本征值本征解 对于零本征值问题，即u 一0 ，方程( 1 1 6 ) 可退化为： h v 0即： 一娑+ 口幽一。 武 一4 ：爹+ 4 z 。 。，2 。， 毛参吨誓一。 一 亟。0 对方程( 1 2 0 ) 求解，就得到了零本征值问题的本征解： 喜：篙- o 0 0 10 警 q 2 ， 秽一l ，妒o 1 。 它们的物理意义分别为：沿x 方向刚体位移和沿z 方向刚体位移。 1 4 2 本征解的各阶约当型 对于零本征解，存在方程： h i ，! “- i ，p o - 1 , 2 ) ( 1 2 2 ) 若存在符合边界条件，且满足方程( 1 2 2 ) 的本征解，文中称其为零本征解的第厅+ 1 阶 约当型。 这里要说明：对于第 阶约当型加一1 , 2 , 3 ) ，其主向量町并不是原问题的解，原 问题的解应为： 矿一t q - 蠢磊计“ c - 2 3 ) ( 1 ) 一阶约当型： 由方程( 1 2 2 ) u - j 得到一阶约当型的控制方程为： h 一一g - 1 , 2 ) 方程的解为： i ，( 1 l 一 o 吖0o ) r i ，尹一 4 声00 旷 ( 1 2 4 ) 压电材料中力学问题的别本系方法 其中：a 5 。a 3 口2 根据( 1 2 3 ) 式，可得到原问题的一阶约当型解为： 一坩+ 训：o ) - z 0o ) 7 q 尹- v 7 + 州妒- a s x z0 1 ) 7 这组解的物理意义分别为：平面内刚体转动和均匀力拉伸。 ( 2 ) 二阶约当型： 二阶约当型的控制方程为： h v ；2 一i ，p ( f - 1 , 2 )( 1 2 7 ) 当i 一1 时，方程的解为： i ，( 2 ) i - j 1 矿o o 吖r ( 1 瑚 在i 。2 时，方程( 1 2 7 ) 的解不满足问题的边界条件，因此其对应的约当型解系到此 中断，更高阶的情形可不必考虑。 原问题的二阶约当型解为： 舻w 切p 甲z 2p - 半一l ( 1 2 9 ) 这个解的物理意义为；平面内的纯弯曲。可以看到，正应力办( 吒) 与x 坐标里线 性关系。 ( 3 ) 三阶约当型： 在三阶约当型解中，只需要考虑i 一1 情况，其控制方程为： h i ，p 一l ，：2 ( x 3 0 ) 可以解得： v i 扎 。一譬z 其中：口6 ! 学 o 而原问题的解可表示为： 竿寸 m 3 - ， 大连理【大学博士学位论文 喵3 。v ：3 ) + 训：2 + v i ”+ i z - v ( 2 _ i 。争等谚竿工竿 其物理意义为：平面内的剪力弯曲。 问题的四阶约当型解不符合边界条件，因此不存在更高阶的约当型解。至此，得到 了原问题零本征值部分的全部本征解。 1 4 3 本征解的辛共轭正交性 在零本征值问题中，上面得到6 个特征向量，它们满足辛正交关系，其对应关系在 表1 1 中给出 表1 1 共轭向量的辛正交关系与对称性 t a b 1 1t h ea d j o i n ts y m p l e c t i co r t h o g o n a la n ds y m m e t r yr e l a t i o n s h i p s 特征向量物理意义共轭向量物理意义 关于并轴关于z 轴 ，7 f o ) 沿j 向平移 叩f 3 剪力弯曲反对称对称 叩 o ) 沿：向平移 ，7 尹 简单拉伸对称反对称 叩p 平面内旋转 叩f 2 纯弯曲反对称 反对称 现在已经得到了零本征值问题的本征解，从特征向量的形式上可以看到，它们所组 成的解空间，覆盖了该问题所有的圣维南解。 1 5 非零本征值求解及其本征解模态 在这一节中，要讨论非零本征值的问题。 1 5 1 非零本征值的求解 当肛i , t0 时，方程( 1 1 6 ) 转化为： 【h p i _ ) i i ，- 0 ( ，l - o 为了得到方程n 3 3 ) 的通解，讨论特征方程： 压电材料中力学问题的辛体系方法 - a - a a l 一口2 a p 0 a 4 a 2 0 一“ 0oa 1 0即： p 4 + 口7 芦2 a 2 + 口8 a 4 荨0( 1 3 4 ) 其中：a 7 - a l a 4 - 2 a 2 ，a 8 一a 3 a 4 + 拉； 令墨。年，屯等，则方程c - s 的根可表示为：a - s d z i 和a 一土s 2 p i 。 控制方程( 1 3 3 ) 1 钓通解可表示为以下两部分： 对称解： 反对称解： - 铂- s i n ( 墨肛) + 4 q ：s i n ( s ：肛) 】e ” 二二麓a 电s i n ( 纠s d 。x 啦) + a 屹2 a 盎s i n ( s 川2 。卜c ) ”e ，： ( 1 s 5 ) p l 一4 口3 。 ”2 、7 p 2 一肛【4 口。- c o s ( 毛，t z ) + 4 口n c o s ( 5 z z x ) e ” “- 【4 s ( 墨肛) + 4 口1 c o s ( s ：肛) e ” w - 【4 a ”s i n ( s d z x ) + a 4 a “s i n ( s 2 1 z x ) e ” p x g a j a 3 ，c o s ( 毛肛) + 4 口“s ( 毛x ) 】p ” p z p 和”s i n ( s d l x ) + a 4 a 4 4s i n ( s 2 。x ) e ” 其中的彳( ，- 1 , 2 , 3 , 4 ) 为待定系数， 系数阵口一 1 s x ( a 1 4 2 一a 3 ) a l + 4 彳 l + a 2 砰 a 1 + 口彳 s i ( 1 + 4 2 s 2 ) a l + a 3 并 l 屯( 4 1 口2 一a 3 ) a l + a 3 s 2 l + a 2 2 a l + 4 ，； s ：( 1 + 口囊) 4 l + n 荔 1 5 1 ( 4 1 口2 + 4 3 ) 4 l 一口： l + a 2 n l a i 5 1 ( 1 + a 2 $ 2 ) a 1 一a 3 5 2 1 5 2a l a 2 + 4 3 ) a l 一口3 l + a 2 s ； a l a 3 j ； 5 2l + a 2 s 2 2 ) a 1 4 ， i ：1 = 1 ( 1 3 5 ) 式和( 1 3 6 ) 式线性表示的解是完备的，并且要满足如下的边界条件： 一1 4 大连p ：大学博士学位论文 j4 8 石a n - a 3 p z - 0( 1 3 7 )j 石 z ( 1 1p 1t o 因此将( 1 3 5 ) 掰1 j ( 1 3 6 ) 式代入边界条件( 1 3 7 ) q b ，可得到方程： 每佐 一。或t t 阶。 m 3 酚 舯叶4 x 口：盛扣，2 a 1 2 + a z a ( 4 2 ) c o s s ms m u a $ 2 ) 似吗】 i li 眄jij ”【( - a , s l a ”+ a 2 a i o 州) s i n 似q 1 a 删1 4 + a 2 ( 鹏) s i l ) l 似训】 对于方程组( 1 3 回，其存在非零解的条件为； i 岛l o 或hi o ( 1 3 9 ) 由方程( 1 3 7 ) ，就可以得到非零本征值，这里得到的本征值的个数是无穷多的，因 此可以把它们记为：以伽- 1 , 2 3 ) 为了说明问题，下面将具体的材料常数代入问题中，取横观各向同性材料的弹性常 数为：c 1 。- 1 2 ，c 心- c 廿- 7 5 ，c 3 3 - 1 1 ，气- 3 以下列出经由数值计算得到的非零本征值结果，由于本征值是无穷多的，这里只列 出其中前八个 对称解： p 一【3 5 4 6 2 5 9 2 5 89 5 7 5 11 1 8 8 4 9 1 5 5 1 4 9 1 8 0 8 3 0 2 1 4 3 7 7 2 5 0 4 9 0 】 反对称解： p - 2 9 6 1 3 6 5 8 2 98 8 9 7 71 2 5 4 9 3 1 4 9 0 7 8 1 8 4 7 6 6 2 1 9 9 3 9 2 4 4 0 1 3 】 1 5 2 各阶本征解模态特征 上面得到了问题的非零本征值，接下来讨论它们对应的本征解。 将所得到的本征值以代回方程( 1 3