（光学专业论文）量子噪声实虚部间的关联对单模激光统计性质的影响.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ，自从f u l i n s k i 于1 9 9 1 年首次提出，在某些情况下，激光系统中量子噪声和泵 浦噪声可以存在交叉关联之后，人们开始考虑噪声间的各种关联机制。其中考虑最 多的是乘法噪声和加法噪声之间的关联，最近我们提出由于量子噪声为一复变量， 存在实部和虚部，两者为同一噪声源，因此它们之间可能存在关联。，本文就是在考 虑量子噪声实部和虚部关联的情况下，具体研究了各种单模激光模型的统计性质。 主要为以下几个方面。 第一，在泵噪声为白噪声和考虑量子噪声实部和虚部关联的情况下，我们研究了 各种单模激光的模型，并采用锁相的方法使场幅方程和周相方程脱耦。我们发现对 于不同的模型，他们具有相同的新颖项，因此我们建立了一个普遍的场幅方程。、 ， 第二，研究了白增益模型的定态性质，具体计算了白增益模型的定态几率分布和 ， 各阶矩，0 发现量子噪声实虚部间的关联强度对光强的定态几率分布和各阶矩产生了 很大的影响，光强的定态几率分布出现了“类一级相变”，有关联的标准方差比无关 联的标准方差要大。，- ， 第三，研究了自增益模型的瞬态性质，计算了光强的首通时间和相应的各阶矩， r 并和实验数据进行了比较，发现除了首通时间的均值与实验的比较结果比以前的理 论略有提高外，首通时间的标准方差和偏斜率都与实验结果符合的很好。- 一、 第四，为了使我们的研究更接近实际情况，羲砑应用统一色噪声近似，研究了色 损失模型的定态性质，计算了色损失模型的定态几率分布和相应的矩，发现了许多 白增益模型没有的新现象? 对光强均值 。阈值上 f 曲线会出现一极小值， 随着屯的增大，出现单调一 一极值一 单调的“重复相变”，但不论阈值上或下，随 着厶的增大，整条益线下降，但一旦厶= 1 ( 全关联) ，整条曲线反而抬高。光强 的标准方差五( o ) 在阈值下，五( o ) p ( p 泵躁声强度) 曲线随着f 的增大，会出现 两极值一 单极值的相变。如( 0 ) 曲线无论在阈值上还是阙值下，随着a 。的增大， 华中科技大学硕士学位论文 整条曲线逐步抬高，但当丸= 1 时，整条曲线突然下降。通过本文的研究，找出了一 条优化输出光强的途径。 第五，应用统一色噪声近似，研究了色损失模型的瞬态性质，计算了光强的首通 时间和各阶矩，并和实验结果进行了比较，发现首通时间的均值、首通时间的标准 方差和偏斜率与以前的理论相比较，与实验结果符合的最好。同时也验证了我们导 出的激光方程能更好地反映单模激光的统计性质。、 关键词：单模激光，量子噪声实虚部间的关联，锁相，定态几率分布，首通时间， 一 “一i _ * 一 标准方差，协方差 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c ef u l i n s k ii n1 9 9 1f l r s t b r o u g h t f o r w a r dt h ec r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h e q u a n t u m n o i s ea n d p u m p n o i s em a yb ee x i s tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n si nt h el a s e rs y s t e m ， p e o p l eb e g a nt oc o n s i d e rt h ed i f f e r e n tg r o s s c o r r e l a t i o nm e c h a n i s mb e t w e e nt h en o i s e s a m o n g t h e mt h em o s tc o n s i d e r a t i o ni st h ec r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h ep u m pn o i s ea n d t h eq u a n t u mn o i s e ，h o w e v e rw et h i n kt h eq u a n t u mn o i s ei sac o m p l e x v a r i a b l e ，i th a sr e a l p a r ta n di m a g i n a r yp a r t ，t h e r e a lp a r ta n dt h ei m a g i n a r y p a r to r i g i nf r o mt h ec o m m o nb a t h ， t h u st h er e a lp a r ta n di m a g i n a r yp a r to ft h eq u a n t u mn o i s em a yb ec r o s s c o r r e l a t e di n c e r t a i nc o n d i t i o n s t h i sp a p e ri sj u s tt h ec o n s i d e r a t i o nt h ee f f e c to f c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h e r e a la n d i m a g i n a r yp a r t so f t h eq u a n t u m n o i s eo nt h ed i f f e r e n tl a s e rm o d e l s t ob es p e c i f i c ， o u rw o r kc a nb ed i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf i v ea s p e c t s f i r s t ，i nt h es i t u a t i o no f t h ep u m pn o i s eb e i n gw h i t en o i s ea n dt h ec r o s s c o r r e l a t i o n b e t w e e nt h er e a la n di m a g i n a r y p a r t so f t h eq u a n t u mn o i s e ，w es t u d i e dt h ed i f f e r e n tl a s e r m o d e l s ，a d o p t i n gt h em e t h o do fp h a s el o c k , w em a d e t h ea m p l i t u d ee q u a t i o nd e c o u p l e d f r o mt h ep h a s e e q u a t i o n i ti sf o u n d t h a tt h es n en o v e lt e r ma p p e a r si nt h ed i f f e r e n tl a s e r m o d e l s s ow ec a nw r i t et h ea m p l i t u d ee q u a t i o n so fd i f f e r e n tm o d e l si n t oag e n e r a lf o r m ， t h a ti st h en e w a m p l i t u d ee q u a t i o n s e c o n d , w es t u d i e dt h es t a t i o n a r yp r o p e r t i e so f t h el a s e ri n t e n s i t yf o rw h i t eg a i n m o d e l ，c a l c u l a t e ds p e c i f i c a l l yt h es t s f i o n a r yd i s t a s b u t i o na n dt h r e em o m e n t so f t h el a s e r i n t e n s i t y w ef o u n d t h ec r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h er e a lp a r ta n di m a g i n a r yp a r to ft h e q u a n t u m n o i s eh a s g r e a ti n f l u e n c eo n t h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o na n dt h et h r e em o m e n t so f t h el a s e ri n t e n s i t y , t h e r ee x i s t s a “f i r s t - o r d e r - l i k e - t r a n s i t i o n w h i c hi n d u c e db yt h e c r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h er e a la n di m a g i n a r yp a r t so f t h eq u a n t u mn o i s e t h ev a r i a n c e a n dt h es k e w n e s sw h i c hh a v ec r o s s c o r r e l a t i o n a r e l a r g e r t h a nt h eo n ew i t h o u t c r o s s - c o r r e l a t i o n t h i r d , w er e s e a r c h e dt h e e f f e c to ft h ec r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e nt h er e a la n d l l i 华中科技大学硕士学位论文 i m a g i n a r yp a r t so f t h eq u a n t u m n o i s ei nt h et r a n s i e n t p r o p e r t i e so f s i n g l e m o d el a s e r w h i t e g a i nm o d e l t h ea n a l y t i c a lr e s u l t so f t h em e a n ，v a r i a n c e ，a n ds k e w n e s so ff a s tp a s s a g e t i m ed i s t r i b u t i o n ( f p da r ep r e s e n t ，a n dc o m p a r e dw i t he x p e r i m e n t a lm e a s u r e m e n t s t o g e t h e rw i t ht h eo t h e rt w ot h e o r e t i c a lr e s u l t s ，w ef o u n de x c e p t t h em e a no ff p to fw e o b t a i n e di ss l i g h t l yi m p r o v e dt h a nt h a to f t h ep r e v i o u st h e o r y ，t h ev a r i a n c ea n ds k e w n e s s o f t h ef p ta l lf i tt h ee x p e r i m e n t a ld a t a w e l l f o u r t h ，i no r d e rt om a k e o u rr e s e a r c hm o r ea p p r o a c ht h ea c t u a ls i t u a t i o n ，w eu s et h e u n i f i e dc o l o r e dn o i s ea p p r o x i m m i o nt or e s e a r c ht h es t a t i o n a r yp r o p e r t i e do fs i n g l e - m o d e l a s e rc o l o r e dl o s sm o d e l t h es t a t i o n a r yi n t e n s i t yd i s t r i b u t i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n g m o m e n t sa r ec a l c u l a t e d , m u c hn e w p h e n o m e n o n i sf o u n dw h i c ht h ew h i t e g a i nm o d e l h a s n o t i ti ss h o w nt h a tc r o s s - c o r r e l a t i o ni n t e n s i t y 屯o f t h ec o m p l e xq u a n t u mn o i s ec a l l i n d u c eaf i r s t - o r d e r - l i k et r a n s i t i o n w h e nt h ep u m pn o i s ei sc o l o r e dn o i s e ( f o ) ， i m p r o v e dt h ep u m pp a r a m e t e r sm o n o t o n o u s l y , t h ec u r v e so f 级( j ) e x h i b i tr e e n t r a n t p h a s e t r a n s i t i o n t h ef l u c t u a t i o n so fl a s e ri n t e n s i t ya 坞s t r o n g l yi n f l u e n c e db y 厶a n df w h e nt h el a s e ri so p e r a t e dn e a ro rb e l o wt h r e s h o l d e s p e c i a l l yw h e nr 0 ，t h eh e i g h to f t h e p e a k o ft h ec u r v e s o f 如( o ) 一a oa n d ( o ) a o ( h e r ea o i st h en e t g a i n c o e f f i c i e n t ) g o e su pa s 屯i n c r e a s e s ，h o w e v e rt h e e n t i r ec u l v e s o f 五( o ) 嘞a n d 五( o ) 口o a r ea b r u p t l ys u p p r e s s e dw h e n 厶= 1 ，i ns i m i l a r i t yt op h a s et r a n s i t i o no f s t a t i o n a r yi n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n w h e nt h el a s e ri so p e r a t e d a b o v et h r e s h o l d , i n c r e a s e dt h e c r o s s - c o r r e l a t i o n i n t e n s i t y 厶m o n o t o n o u s l y , t h e f c u r v e se x h i b i t r e e n t r u n t p h a s et r a n s i t i o n w h e t h e r t h el a s e ra b o v et h r e s h o l do rb e l o wt h r e s h o l d , t h ew h o l e fc u r v em o v e sd o w n a s 丸 i n c r e a s e s ，h o w e v e r w h e n 九= 1 ( p e r f e c t c r o s s c o r r e l a t i o n ) ，t h ec u r v eo n t h ec o n t r a r ya b r u p t l yr u n su p w i t ht h ei n c r e a s e so f ， t h e 厶( o ) p c u r v e s ( p i st h es t r e n g t ho f t h eq u a n t u mn o i s e ) e x p e r i e n c et h ep h a s 。 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = ；= = = = = = = = = ；# = = ；= = ；= = = = 一： ： t r a n s i t i o nf r o mp o s s e s s i n gt w oe x t r e m ai n t o p o s s e s s i n gs i n g l ee x t r e m u mf o rt h el a s e r b e l o w t h r e s h o l d ，a n dt h e 五( o ) p c u r v e sg r a d u a l l yg ou pf o r t h el a s e ra b o v eo rb e l o w t h r e s h o l d ，b u tt h ew h o l ec b r v es u d d e n l yd e s c e n d sw h e n 丸= 1 t h r o u g ht h es t u d yo f t h i s p a p e r , t h ep a t ho p t i m i s e d f o ro u t p u tl a s e ri n t e n s i t yc a nb ef o u n do u t f i f t h s ，a p p l y i n gt h eu n i f i e dc o l o r e dn o i s ea p p r o x i m a t i o n ，w er e s e a r c ht h es t a t i o n a r y p r o p e r t i e so fs i n g l e m o d el a s e rc o l o r e dl o s sm o d e l a n dc a l c u l a t e dt h em e a n ，v a r i a n c e ，a n d s k e w n e s so ft h ef p t t h e nw ec o m p a r e dt h et h e o r e t i c a lr e s u l t sw eo b t a i n e dw i t ht h e e x p e r i m e n t a lm e a s u r e m e n t s ，i ti s f o u n dt h em e a n ，v a r i a n c e ，a n ds k e w n e s so ft h el a s e r i n t e n s i t yw e o b t a i n e di sm o r e a g r e e w i t ht h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t st h a nt h ep r e v i o u s t h e o r y s ot h em o d e lw e b r i n gf o r w a r d c a nr e f l e c tt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so f s i n g l e - m o d el a s e r b e t t e l k e y w o r d s ：s i n g l e - m o d el a s e r , c r o s s - c o r r e l a t i o nb e t w e e n t h er e a la n di m a g i n a r y p a r t so f t h eq u a n t u mn o i s e ，p h a s el o c k , s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no fl a s e ri n t e n s i t y , f i r s tp a s s a g et i m e ，u n i f i e dc o l o r e dn o i s ea p p r o x i m a t i o n ，m e a n ，v a r i a n c e ， s k e w n e s s v 华中科技大学硕士学位论文 1 1 非平衡统计物理概述 1 综述 非平衡统计物理是研究系统在远离平衡时与外界环境及内部耗散共同作用下的 宏观突变行为与现象的- - i 物理学分支【啦】。近四十年来，非平衡统计物理取得了令 人瞩目的进展，对物理学和对整个自然科学乃至社会科学产生了意义深远的影响， 大大改变了人们对必然与偶然、对社会与自然的认测“7 1 。为了说明这个观点，不妨 先让我们简单回顾一下物理学的历史。在牛顿力学统治的时代，人们普遍假定：只 要拥有足够的智慧，在给定了初始条件后就能洞悉世界的过去，预知世界的未来。 虽然后来在工程实践中诞生了平衡态热力学和统计物理，但这些统计的概念只不过 是牛顿力学体系的自然外延，对包含有大量客体的系统中的单个对象的描述，仍然 使用基本的牛顿术语和概念，随机的观念只不过是对宿命论框架的一个有益的补充。 随着人们在认识自然过程中的实验现象的积累，本世纪初物理学发生了革命，革命 过后，相对论和量子力学取代了牛顿力学成为物理学的基石，物理学的基本观念也 随之改变。量子力学断言，组成这个世界的基本微观客体本质上是随机的、不可确 定的。这样，世界从根本上说是随机的。但量子力学初创时期，人们认为量子规律 只支配微观世界，当大量粒子组成宏观系统时，由于粒子波包的坍陷，描述系统的 宏观物理量仍按照经典物理规律变化，而经典物理是确定性的，因此宏观物理量的 变化仍然是确定性的，涨落的作用可以忽略不计。这种观念实质上隐含这样的假定： 构成宏观系统的微观子系统处于热力学平衡态。从这个假定可以很自然的外推：世 界处于死寂的热力学平衡态，或者是正向热力学平衡态演化，将交的越来越无序和 均衡：但我们所处的世界却是生机勃勃丰富多彩的，世界演化的历史是混乱和高度 有序交替出现，总的来说是变得越来越复杂，越来越高级。这些观察说明，现实的 世界并不是处在热力学平衡态，而是处在远离热力学平衡态的非平衡态，平衡态统 计物理无法用来描述现实世界。理论与实践的巨大差异呼唤新的学说，终于，在六 十年代初，非平衡统计物理走上了前台，成为物理学研究的“热点”，各个学派百花 华中科技大学硕士学位论文 齐放、百家争鸣，呈现一片欣欣向荣的“非平衡”学术景观，其中较为著名的有普 里高津学派的耗散结构和啥肯学派的协同学。下面我们对这两个学派作一简单介绍。 耗散结构理论是关于开放的热力学系统在非线性和非平衡条件下，怎样通过与 环境交换物质和能量而从混乱无序的状态向一种高度有序的结构( 称为耗散结构) 演化的理论【“】。该理论是普里高津教授领导的布鲁塞尔学派经过二十年的探索而建 立起来的- ( q 自组织理论，在自然科学和社会科学许多领域引起广泛关注，普里高 津也因此而荣获1 9 7 7 年诺贝尔化学奖。耗散结构的基本方法是研究系统在相变临界 点的行为，认为熵产生率减小给出了非平衡过程发展的方向；并用分歧理论研究非 平衡定态的稳定性，找出临界点，通过在临界点引入涨落建立主方程，探索随机力 对系统有序结构形成的作用。近年来，普里高津学派着重探索自然界的“时间箭头” 问题 4 a o ，通过构造对称破缺变换使不可逆性与不允许时间反演的半群联系起来，试 图把热力学第二定律概括为一个动力学定律，通过建立“内部时”概念而把动力学 时间和热力学时间统一起来，在“存在”和“演化”间构筑一座桥梁。普里高津学 派这些有益的探索，丰富和深化了我们对时间与空间、动力学与随机性等基本概念 的认识。 协同学研究非平衡系统的性质，尤其是在相交前后的性质；研究有序结构是如 何形成的【删。德国物理学家哈肯在研究激光时发现，激光远离平衡所发生的相变， 与其他学科中的非平衡相变极为类似，都是由非平衡系统内部的大量子系统协同作 用的结果。系统动力学可能包含有大量的微观或宏观变量。但决定系统演化的仅是 其中少数几个量，称为序参量。协同学通过线性稳定性分析寻找序参量，使用支配 原理建立序参量方程，综合运用动力学和随机理论求解序参量方程。经过这样的处 理就可以了解系统如何从无序走向有序的自组织过程。近年来，哈肯把协同学的微 观方法( 核心是支配原理) 拓展到宏观t 1 2 1 。宏观方法的核心是最大信息熵原理。若 把该原理运用到不可逆热力学，可以得到与以往理论相同的结果，而当把宏观方法 运用到层次丰富的宏观复杂系统时，能得到用微观的方法根本无法进行研究的新的 结论，为研究生物之类的复杂系统开辟出一条新途径。协同学最近的发展是把最大 信息原理用于机器的模式识别问题【1 3 】，试图模仿人类的认识过程，找到机器识别复 2 华中科技大学硕士学位论文 杂模式的简单途径，哈肯派称之为“协同计算机” 可见，非平衡统计物理的各个学派出发点千差万别，所用的数学工具也不尽相 同，但他们的基本观念是相同的，即：世界是非线性的、非平衡的：在现实世界中， 涨落或者说随机力、噪声无处不在，并且不应被忽略：在涨落力的作用下，非平衡 系统可以从无序混沌走向有序，形成复杂而丰富多彩的结构，噪声在系统的演化中 扮演了重要的角色阳。卯。这些非平衡统计理论成功地解释了自然界与人类社会的许 多非平衡现象，形成了称为“自组织的宇宙观”的哲学流派( 1 6 l ，在社会实践和技术 中都有许多成功的应用i s ，l ”，因此获得蓬勃发展。 二十世纪八十年代以来，远离平衡的非平衡统计物理研究又有了较大的突破， 发现了非线性随机系统中的许多新奇现象，如：随机共振1 9 i 、共振激活f l o - 2 0 i 、淬火现 象( 9 j 、噪声诱导相变【9 川、噪声诱导输运【2 2 m i 、分子马达删及蛋白质分子的能量输运 p 6 j 等等。这些研究工作大大促进了非平衡统计物理在物理学的各个分支和其它诸如 化学、生物学、生态学、天文学、大气物理、地球科学等自然科学乃至经济学、金 融学、新闻学等社会科学领域的应用，成为理论物理和其他自然科学以及社会科学 的交叉点，大大改变了人们对自然和整个社会的认识，使人们对自然世界的认识从 严格的因果确定论转向随机的概率统计论。另一方面，通过对非线性随机系统的研 究，人们还认识到，“世界是随机的”这一论断并不意味着我们将会失去对世界的把 握和控制，相反，在某些情况下，噪声能为我们服务。例如，把含有白噪声的信号 输入一个非线性系统，在适当条件下，增加噪声的强度不断不降低反而会迅速增加 输出信号的信噪比，也就是“随机共振”。近年来研究者们认为，生物大分子的高效 输运也许得益于化学能转换过程中的非平衡涨落。这种机制称为“噪声诱导输运” 正如英国新科学家周刊1 9 9 9 年1 月9 日的评论文章标题：。噪声有妙用”。 1 2 噪声 在宏观世界里，随机涨落是普遍存在的。这种涨落快速变化、不可预言的，我 们称之为噪声。这种随机力对非平衡相变的影响，特别是研究由噪声诱导的非平衡 相变现象，是非线性系统的随机理论的一个重要内容。通常，人们认为噪声总是消 3 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一一= ： 极的东西，它产生杂乱的运动，破坏次序，破坏功能，抹去相和相之间的差异，导 致均匀，起到破坏相变的作用【4 】。但它在相变中起到决定性的作用，一系列在确定性 方程中不可能产生的相交行为在噪声的作用下成为可能。这些相变导致了序的形成， 对称性破缺。噪声在自组织和耗散结构中起着很大的作用，比如：噪声诱导相变、 噪声诱导输运、噪声诱导相位输运、分子马达、噪声维持模式以及随机共振等 4 8 - 5 3 】。 依据噪声的起源不同，可分为内噪声和外噪声。内噪声通常认为是系统内部动力学 的结果，即热运动引起的，在激光系统中，还有一种量子噪声，是由于粒子的自发 辐射引起，也是量子效应( 遂道效应) 的直接结果，源于量子力学的不确定原理【5 2 】。 这种噪声比较小。外噪声则是由于系统的外部环境引起的，可以通过系统的参量加 以控制，激光系统中的泵浦噪声就是外噪声。 在朗之万方程中，与参量无关的噪声源，就是加性噪声，内噪声通常就是加性 的；而与参量有关的噪声源就是乘性噪声，外部噪声通常就是乘性的。此外，噪声 还可根据其统计性质，分为白噪声和色噪声。其统计性质为分别为： 1 ) 白噪声 白噪声的统计性质为： = of t - - 2 d s ( t - s ) ，( 1 2 1 ) 其中 代表系综平均( 注意，这里与量子力学中波函数的狄拉克表示法不同) 。 之所以把它称之为白噪声，是由于其功率密度： s ( o j ) = i2 d s ( t ) e - “出= 2 d ， 为常数，与无关，即谱是白色的。这种噪声实际上是没有的，只是对实际噪声的一 种抽象近似。因为这种噪声具有无穷大的功率( 矿* i s ) 如= m ) ，所以真实的噪 声必然要对功率谱进行截断，仅保留其低频部分。这样作的结果正是色噪声的特性， 使噪声的不同时刻之间具有了关联，对s 佃) 一种常用的截断是使s ( o j ) 为洛伦兹型： s ( o j ) = 南 2 ) 色噪声 色噪声( 这里主要是指o - u 噪声) 的统计性质为： 4 华中科技大学硕士学位论文 c ( ，) ： ：d e x p ( 一正型)( 1 2 2 ) ff 当f - - - 0 时，c ( a t ) = 2 d f i ( a t ) ，色噪声回归为白噪声。另外噪声又可分为高斯和非 高斯两种情况，一方面高斯噪声集平稳、高斯、马尔可夫性等统计性子一身，处理 起来比较容易；另一方面，大数定理又使得高斯噪声是许多实际问题中的涨落的有 效近似。其高斯噪声的高阶矩满足： = 【c ( f 一t k ) 一c ( ，t 。一t b ，) 】， = 0 。 1 3 噪声问的关联 整个自然界，之所以多姿多彩，正是由于它们之间有着一定的联系；人类社会 之所以走向文明，正是因为人与人之间的相互作用。人类认识自然的过程，也是人 与自然的相互作用。否则，这个世界就是一个不可认知的“迷”。自然界中的涨落噪 声之间也必然会存在着一定的关联。长期以来，人们一直把噪声看作没有“记忆性”， 即“白化”了的白噪声。在激光系统中，把乘法噪声( 泵浦噪声) 和加法噪声( 量 子噪声) 加以理想化，即看作是高斯白噪声。把随机力驱动的整个随机过程看作是 马尔可夫过程。在这种近似处理下，作了大量的工作，而且也与实验的结果达到了 较好的一致 5 3 - 5 。j 。比如：在过去，有不少的工作是认为量子噪声和泵噪声间没有关 联【斓。f o x 和r o y 【删研究了量子噪声和泵噪声之间没有关联时的光强涨落，并得到 一个新的朗之万方程，即现在普遍使用的单模激光光强的l a n g e v i n 方程。但是，自 然界中的同一系统( 过程) 的不同噪声源之间必然存在某种关联。基于这样的考虑， f u l i n s k i 等于1 9 9 1 年提出在某些情况下，激光系统中的量子噪声和泵噪声可以存在 交叉关联 6 1 , 6 2 。之后，许多研究者研究了泵噪声和量子噪声交叉关联时的统计涨落 性质，而且这些结果进一步与实验相符 6 3 - 6 9 。z h o u 等人【6 i 】考虑了量子噪声的实部与 虚部间的关联，柯等人州在考虑量子噪声的实部和虚部间的关联的基础上，得到的 光强朗之万方程在= 去时，与f o x 和r o y 【删等得到的结果完全一致，并且揭示了 激光的锁相正是由于量子噪声的实部与虚部间的关联所致。我们认为对于同一个噪 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = 一= ： 一 声的实部和虚部起源于同一个源，因此他们间可能存在关联，在柯等人的基础上， 我们又进一步研究了量子噪声实虚部间的关联对自增益模型和色损失模型的影响， 计算了相应的定态性质和瞬态性质，并和实验数据进行了比较，结果很理想。 下面我们将简要介绍噪声问的各种关联形式。 1 9 9 1 年，f u l i n s k i 等人 7 1 】提出了两个白噪声f ( f ) 和叩( f ) 间的万函数关联，即白关 联形式，其统计性质为 = = 0 乃- 等! ：；：茎嬲：2 o - s 。) 、 ( 1 3 1 ) 7 2 2 ( f ，5 ) = = 2 d s ( t j ) 、7 y 2 l ( r ，s ) = = y 1 2 ( t ，j ) = = 2 2d v 哂8 ( t j ) 其中允为噪声关联强度，这里是个常数。 1 9 9 6 年，魏学勤等人f 1 0 6 】提出了两个色噪声f ( ，)r ( t ) 间的e 指数关联，即色关 联形式，其统计性质为 n ，( t a b _ = 垒唧( 一生型) 如( r ，f ，) ： = 旦e x p ( 一e 型) ( 1 3 2 ) 枷h 彬，) 叫删恤掌唰一警 其中五为噪声关联强度，这里为常数。 1 9 9 7 年，贾亚等人f 2 9 】提出了两个白噪声f ( f ) 和刁( r ) 间的e 指数关联，即色关联 形式，其统计性质为 善( f ) ) = 三：；丝) 得到非物理的解。所以小f 近似展开不是对x 均匀有效的，而且这一负 扩散系数的问题在非线性色噪声系统的f 展开中是普遍存在的。小d 近似使的在f 不 大( 对双稳系统1 一f 0 ) 时，扩散系数在整个x 域上是正的，f p e 不存在负扩散 问题。但是当f 较大时，存在x 的区间( 对双稳系统x ： z r - _ _ _ 1 ) 中的扩散系数为 负。所以，在色噪声具有长相关时间时如何处理这一区间存在的负扩散问题，以及 与此相关的各种发散问题成为色噪声理论中的一大难题。对此，提出了一种新的近 0 华中科技大学硕士学位论文 似：统一近似解决了大r 时的负扩散问题。 c 统一色噪声近似( u c n a ) 这种近似是将一色噪声驱动系统应用绝热近似，变换到个由白噪声驱动的朗 之万方程，这种近似，无论f 、d 多大，也无论x 取何值，扩散系数均为正，f p e 方 程不会出现负概率的非物理结果。但这一结果在1 一酊( x ) 0 这一区域是不适用的。 而且这一结果在f 一0 和f 专q o 时，与实验符合的很好，但在r 取中等大小时，结果 不理想。因此，h a n g g i 等人又引入一个非线性辅助函数，采用绝热近似将统一色噪 声理论进行了改进，它们又提出了适用于各种f 值的跨接理论。这一理论在处理一 个乘法色噪声和一个加法白噪声驱动的非线性系统时，其结果与数值模拟能较好地 相符【7 7 ，7 钔。 d 内插函数近似 为了扩大统一色噪声近似的适用范围，c a s t r o 等又提出了用内插法对统一色噪 声近似进行改进。他们将随机过程用路径积分的观点来处理，认为统一色噪声近似 之所以对r 中等范围取值有较大误差，是因为统一色噪声近似所得到的近似马尔可 夫过程对应的不是最可几的路径。于是他们在统一色噪声近似的基础上引入一内插 函数族，根据系统调节内插函数中的参数，然后找到一条最可几路径对应的近似马 尔可夫过程。这样就大大提高了统一色噪声近似的精度。 e 最速下降法 当噪声强度很弱时，广义势在曲线c ( 工) + y = 0 上取极值，且这一峰值十分陡， 那么概率将处于势谷邻域。因此，将广义势在这一曲线上展开，那么其低阶展开部 分就为最速下降法的近似结果。这一近似理论对大r 和小f 均适用，而且这一结果与 统一色噪声近似和小d 近似完全相符。但它仍然没有解决统一色噪声近似在 1 一酊( z ) s0 这一区域出现的负扩散问题，这说明这一区域有着深刻的物理背景和数 学根源。 9 华中科技大学硕士学位论文 1 5 平均第一通过时间 平均第一通过时间是指系统的某一物理量在噪声的驱动下第一次到达边界的统 计平均时间，一般简写为m f p t 。它是描写随机系统的一个重要特征量之一。它的 应用是很广泛的。首先，在物理学和化学等学科领域，比如电子器件的开关时间、 化学反应率问题和扩散问题、自相似结构中的反常扩散问题、光学双稳及核反应等 研究都用到平均第一通过时间理论。在工程技术领域，m f p t 也有着实际的应用。例 如，当涨落电流或电压超过某一给定值，警报器被触发，这就是所谓的“虚警”问 题：在机器装置中，当振动幅度超过稳定阈值将会导致机械破裂：由于裂缝而造成 的可塑材料的疲劳断裂。此外，