（光学工程专业论文）分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制.pdf

兰州交通大学硕士学位论文 摘要 分段线性系统广泛存在于机械系统之中，是典型的非光滑系统，故其动力学分析和 振动控制一直受到人们的关注。深入研究分段线性系统对了解其运动机理，分析系统的 全局性能有十分重要的意义。混沌现象是非线性系统特有的一种振动形式，混沌振动会 对系统的工作性能和可靠性产生很大影响，所以控制系统的混沌振动具有重要的意义。 本文运用理论分析与数值模拟相结合，研究了分段线性系统的非线性动力学行为，并基 于对系统非线性动力学的研究和对混沌振动的认识，探索了适用于此类非光滑系统的混 沌控制方法。其主要内容如下： 1 叙述了本文的研究意义，综述了非光滑动力系统与混沌控制近年来的部分研究成 果、最新发展动态和尚存在的主要问题。介绍了非光滑动力系统的定义以及基本的分析 方法，例如运用p o i n c a r 6 映射分析系统的运动特性；利用l y a p u n o v 指数及维数判定动 力系统运动的稳定性和混沌特性，并且简单介绍了本文的研究内容。 2 研究了一类单自由度分段线性弹性碰撞系统周期运动横截穿越分界面的动力学 行为。结合光滑系统的f l o q u e t 理论给出此非光滑系统发生倍化分岔的条件。使用数值 仿真进一步揭示了系统周期运动经倍化分岔通向混沌的现象。随后研究了一类两自由度 分段线性弹性碰撞系统周期运动横截穿越分界面的分岔现象和混沌行为。将得到的跳跃 矩阵结合光滑系统的f l o q u e t 理论通过数值方法计算了周期运动发生n e i m a r k s a c k e r 分 岔的分岔点，数值仿真表明系统存在n e i m a r k s a c k e r 分岔和亚谐分岔等连续分岔。 3 本文运用两种控制策略对单自由度分段线性弹性碰撞系统的混沌行为进行控制。 第一种控制策略是采用非线性延迟反馈法控制系统混沌振动，利用分岔图和p o i n c a r 6 映 射图分析了系统的动力学行为，揭示了延迟反馈可以使系统混沌行为镇定到稳定的周期 轨道上。延迟反馈项实际上是一个作用明显的扰动项，通过选择合适的反馈控制参数冠、 足和延迟时间f ，引导非光滑系统的混沌运动转化为规则的周期运动，通过这种方法使 得混沌运动得到控制。 第二种控制策略是运用周期激振力法控制系统的混沌行为，文中选取正弦驱动力为 周期激振力。周期激振力是在工程实际中容易产生与控制的外驱动力，故运用正弦驱动 力控制单自由度非光滑机械系统的分岔与混沌运动。周期激振力法通过给系统直接加入 控制项来减弱系统的混沌运动：周期驱动力与混沌系统中的某一不稳定的周期运动产生 共振时，系统就能从自身不稳定极限环中找到某个与外驱动信号共振的极限环稳定下 来，因此混沌运动得到控制。 一 兰塑銮望奎堂堡主堂垡笙壅 一 - _ _ _ - _ 一一 关键词：分段线性；p o in c a r 6 映射；分岔；混沌；混沌控制 论文类型：应用基础研究 兰州交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ek i n d so fm e c h a n i c a ls y s t e m s ，t h es y s t e mw i t hp i e c e w i s e l i n e a r i t ya l w a y sc a l lb e e n c o u n t e r e da n di sat y p i c a ln o n - s m o o t hd y n a m i cs y s t e m ，s ot h ea n a l y s i so fi t sd y n a m i c si s t h ef o c u so ft h ec u r r e n tr e s e a r c h i th a sv e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ef o rc o m p r e h e n d i n g m o v e m e n tm e c h a n i s ma n da n a l y z i n gt h eg l o b a lp r o p e r t i e sb yf u r t h e ri n v e s t i g a t i n go nt h e s y s t e mw i t hp i e c e w i s e l i n e a r i t y t h ec h a o t i cp h e n o m e n o no n l yo c c u r si nn o n l i n e a rs y s t e m t h ec h a o t i cv i b r a t i o ni nt h ev i b r o i m p a c ts y s t e mc a i ls e v e r e l ya f f e c tt h ep e r f o r m a n c ea n d o p e r a t i o n a lr e l i a b i l i t yo ft h em e c h a n i c a ls y s t e m s oc o n t r o l l i n gt h ec h a o t i cv i b r a t i o no ft h e v i b r o i m p a c ts y s t e mi so fi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei ne n g i n e e r i n gp r o j e c t i nt h i st h e s i s ，t h e n o n l i n e a rd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h es y s t e mw i t hp i e c e w i s e - l i n e a r i t yi ss t u d i e db yi n t e g r a t i n g t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s b a s e do nr e s e a r c ho ft h en o n - l i n e a rd y n a m i c s y s t e ma n du n d e r s t a n d i n go ft h e e h a o t i ev i b r a t i o n ，t h ec h a o t i cc o n t r o ls t r a t e g i e so ft h e n o n s m o o t hd y n a m i cs y s t e ma r ee x p l o r e d t h em a i nc o n t e n ti so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n g n l a 【1 【1 e r ： 1 s o m er e s e a r c hr e s u l t s ，n e w e s td e v e l o p m e n tt r e n d sa n dp r o b l e m st ob er e s o l v e di s s u m m a r i z e da n di n t e r p r e t e d n l ed e f i n i t i o n sa n dt h ea n a l y s i sm e t h o d so nn o n - s m o o t h d y n a m i c a ls y s t e m sa r ei n t r o d u c e dp r e c i s e l y , s u c h 嬲t h em o v e m e n tp r o p e r t i e so ft h es y s t e m a n a l y z e db yt h ep o i n c a r ds u r f a c eo fs e c t i o n s ；t h ep r o p e r t i e so fs t a b i l i t ya n dc h a o t i cm o t i o nb y u s i n gl y a p u n o ve x p o n e n t sa n dl y a p u n o vd i m e n s i o n ，t h et y p e so fn o n s m o o t h b i f u r c a t i o n sa r e d i s t i n g u i s h e db yt h ee i g e n v a l u e sd i s t r i b u t e do nt h eu n i t ec i r c l eo ft h ei n t e r f a c e s ；t h ea n a l y s i s o nr i g h t - d i s c o n t i n u o u ss y s t e m sb a s e do nd i f f e r e n t i a lc o n c l u s i o n st h e o r y , a n ds of o r t h 2 t h ed y n a m i c sb e h a v i o r so ft r a n s v e r s a lp e r i o d i cm o t i o n so fas i n g l e d e g r e e - o f - f r e e d o m e l a s t i ci m p a c t i n gs y s t e mw i t hp i e c e w i s e - l i n e a r i t yi ss t u d i e d t h ep e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n o fp e r i o d i cm o t i o n so ft h ep i e c e w i s el i n e a rs y s t e mi si n v e s t i g a t e db yt h es a l a t i om a t r i xa n dt h e f l o q u e tt h e o r y t h ep e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n sa n dc h a o t i cb e h a v i o r si nt h en o n s m o o t h s y s t e ma r ef u r t h e ri n v e s t i g a t e db ym e a n so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s 1 1 1 eb i f u r c a t i o na n dc h a o s o ft r a v e r s a lp e r i o d i cm o t i o n so fat w o d e g r e e - o f - f r e e d o me l a s t i ci m p a c ts y s t e mw i t l l p i e c e w i s e - l i n e a r i t y i si n v e s t i g a t e d t h es a l v a t i o nm a t r i xi s g i v e no u ta t t h e s w i t c h i n g b o u n d a r i e sa n dt h en e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o np o i n to fp e r i o d i cm o t i o n so ft h es y s t e mi s i n v e s t i g a t e db yt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c eo f n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o na n ds u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o ni nt h en o n - s m o o t hs y s t e m 3 t h ec o n t r o lo fb i f u r c a t i o na n dc h a o t i cm o t i o no ft h es i n g l e - d e g r e e o f - f r e e d o m n o n s m o o t hs y s t e mw i t hp i e c e w i s e l i n e a r i t yi si n v e s t i g a t e db yu s i n gt w oc o n t r o ls t r a t e g i e s d e l a y e df e e d b a c kc o n t r o ls t r a t e g yi st h ef i r s tc o n t r o ls t r a t e g yw h i c hi sp r o p o s e dt oc o n t r o l c h a o s t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a ma n dp o i n c a r dm a p sa r eu s e dt oa n a l y z ed y n a m i cc h a r a c t e r so f i i i 分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制 t h es y s t e m t h eo b v i o u sc o n t r o l l i n ge f f e c ti so b t a i n e dw h i l et h ed e l a y e df e e d b a c kc o n t r o l s t r a t e g yi su s e dt oc o n t r o lc h a o s i ti ss h o w nt h a tt h ed e l a y e df e e d b a c kc o n t r 0 1i nf a c ti sa p e r t u r b a t i o nt e r m s ，w i t hs u i t a b l ef e e d b a c kc o n t r o l l i n gp a r a m e t e r sr l ，r 2a n dd e l a y e dt i m er ， w h i c hc a ni n v e r tac h a o t i cm o t i o nt oar e g u l a rp e r i o d i cm o t i o na n dm a k et h ec h a o sm o t i o nt o b ec o n t r o l l e d ap e r i o d i c a le x c i t i n gf o r c ei s i n v e s t i g a t e df o rc o n t r o l l i n gt h ec h a o t i cm o t i o no ft h e v i b r o i m p a c ts y s t e m ，a n dt h i ss e c o n dc o n t r o ls t r a t e g yp r o p o s e st os u b s t i t u t et h ee x t e r n a ls i n e f o r c ef o r t h e p e r i o d i c a le x c i t i n gf o r c e t h ep e r i o d i c a le x c i t i n gf o r c ei sp r o d u c e da n d c o n t r o l l e de a s i l yi nt h ee n g i n e e r i n gp r o je c t s ot h i ss e c t i o np r o p o s e sam e t h o dt os u p p r e s s c h a o t i cm o t i o nb ya p p l y i n ga ne x t e r n a lp e r i o d i c a lf o r c e t o t h es i n g l e d e g r e en o n s m o o t h s y s t e m t h es t r m e g yo ft h ep e r i o d i c a le x c i t i n gf o r c ew e a k e n st h ec h a o t i cm o t i o no ft h es y s t e m b ym e a n so ft h ea d d e dc o n t r o lt e r m w h e np e r i o d i c a ld r i v i n gf o r c ea n dc e r t a i nu n s t a b l e p e r i o d i cm o t i o no ft h ec h a o t i cs y s t e mb r i n gt h ep h e n o m e n o no ft h es y m p a t h e t i cv i b r a t i o n ，t h e c e r t a i nl i m i tc y c l ef r o mu n s t a b l el i m i tc y c l eo ft h es y s t e mr e s o n a t e st ot h ee x t e r n a ld r i v i n g s i g n a la n d i ti ss t a b l e d s ot h ec h a o t i cm o t i o ni sc o n t r o l l e d k e yw o r d s ：p i e e e w i s e l i n e a r i t y ；p o i n c a r 6m a p ；b i f u r c a t i o n ；c h a o s ；c h a o sc o n t r o l i v 兰州交通大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 本文的研究意义 在实际力学系统中普遍存在非光滑现象，比如铁路制动器中所产生的噪声、印刷锤 的碰撞或者机械工具的咔哒声，这些都是由于存在碰撞、冲击、干摩擦、开关、阈值、 脉冲调制控制、数字控制等大量非光滑因素影响的结果，它们主要是由约束条件、本构 关系和控制方式决定的，通常具有很强的非线性特点。为了能满足航空、航天、交通等 技术发展的需要，对于机械系统的精度、振动和噪声等特性提出了更为苛刻的要求，采 用传统的线性分析和控制理论已经难以满足这一要求。实际的非光滑系统都是强非线性 系统，由于系统内部零部件间的间隙、运动副中的摩擦等因素，传统的理论分析方法是 对其进行的一种近似处理，只有对系统实施非线性分析和非线性控制才能获得精度高、 振动小和噪声低等性能的机械系绀。 由于间隙、撞击、可变刚度等因素的存在，导致非光滑系统产生强非线性振动，这 种振动呈现复杂的周期运动或混沌运动，使得此类系统的动力学行为极为复杂。自2 0 世纪6 0 、7 0 年代以来，人们开始利用p o i n c a r d 映射方法，对单、双自由度的非光滑系 统的动力学进行分析，发现其有某些跟非线性光滑系统相似的动力学行为，但是还有大 量特有的复杂现象。例如碰振系统中多种吸引集( 如多点碰撞周期运动、混沌等) 的共 存现象、擦边碰撞和许多其它的边界碰撞分岔现象，如跳跃、粘滞、切换、尖角等。人 们对次谐周期运动及其稳定性、分段线性系统的擦边行为和擦边轨道的确定、多碰周期 运动的h o p f 分岔、非光滑动力系统f l o q u e t 特征乘子和l y a p u n o v 指数谱计算的通用方 法、非线性动力系统的约束分岔和控制问题等进行了研究。 在现代的高精密机械系统，特别是在航空、航天及交通等领域中，齿轮可能在高速 轻载条件下工作，由于外部激励、内部激励和齿侧间隙的影响，轮齿间的接触状态会发 生变化，导致轮齿间的接触、脱离、再接触的重复冲击，对轮齿的动载荷和齿轮系统的 动态性能产生不良影响【2 】。典型的如航空发动机中的齿轮一转子轴承系统因齿侧间隙、 轴承间隙以及时变刚度等非线性因素所引起的碰撞振动，会导致系统产生高频噪音和混 沌现象；航天器伸展系统中齿轮传动的非线性振动，导致传动误差增大，因而给其位姿 控制系统带来较大困难；汽车变速齿轮传动系统中的齿轮齿侧间隙及离合器齿槽间隙等 非线性因素，会导致系统产生拍击振动( r a t t l i n gv i b r a t i o n ) 问题【3 】；列车在高速行驶时， 车轮与轮轨之间发生碰撞不仅给乘车的舒适度带来影响，也与列车运行安全直接相关【4 j 。 因此，非线性系统的混沌振动及其控制研究引起广泛的关注。 分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制 随着非光滑系统动力学研究的深入发展，人们开始将非光滑因素与动力系统的思想 结合起来，分析分岔、混沌以及复杂性对非光滑动力学特性的影响。在这方面的数学理 论主要有脉冲微分方程和微分包含。虽然目前非光滑系统理论分析多限于低自由度简谐 激励的碰振系统和电路系统，但是在冲击机械、地震、碰摩转子、航天技术、微机械系 统、运输设备中的实际应用开始受到重视。这些研究对于机电系统特性、部件耐久性和 寿命、安全性、舒适性、故障诊断和治理等都有重要意义。此外，非光滑振动系统的控 制问题的研究更是方兴未艾。总的来说，非光滑系统动力学的理论、数值分析和应用研 究是当前国际上动力学与控制领域受到广泛关注的课题，有重要的理论意义和应用价 值。 1 2 非光滑动力系统研究概况 非光滑动力系统作为非线性动力系统的一部分，存在于许多应用科学和工程领域 中，如机械工程中的碰撞振动系统，带有干摩擦的粘滑振动系统等。非光滑系统向量场 的不可微性导致了系统的强非线性和奇异性，在这些系统中存在大量的冲击、碰撞、干 摩擦、脉冲调制控制等非光滑因素。动力机械内部或边界上的间隙常导致碰撞振动，即 由零部件之间或零部件与边界之间的往复碰撞引起部件的损坏以及零部件的磨损，造成 系统整体的强烈振动；动力系统内部或者边界的干摩擦可以引起系统的自激振动、颤振， 高速列车轮轨间摩擦产生的刺耳的噪声；旋转机械的转子轴承系统中的碰摩失稳等引发 的故障等，常会导致系统的不平稳运动，设备部件受到一系列的损害，使用效率、寿命 及安全性也随之降低，甚至引发带来一系列严重故障。上述由碰撞、振动、干摩擦等非 光滑因素引起的失稳，乃至故障，实质上是系统发生了复杂的非线性运动，如产生分岔、 吸引子的对称性破缺和混沌运动等。无论是对非光滑动力系统不稳定运动的控制，还是 对于实际设备的故障诊断，最根本的是对系统发生复杂运动机理的分析。非光滑动力系 统会导致类似于复杂非线性系统具有的分岔和混沌运动，然而很多分岔特性及机理又与 普通光滑非线性系统完全不同，因此非光滑动力系统的研究受到越来越多的关注。 近年来，有大量文献涉及单、多自由度碰撞振动系统周期运动的稳定性、分岔及混 沌 5 1 1 j 。非光滑系统动力学的理论或数值分析主要依靠不同形式的p o i n c a r $ 映射实现， 当系统映射对应的雅可比矩阵的特征值存在复杂的穿越单位圆的情况时，碰撞振动系统 会表现出复杂的动力学性态。n u s s e 1 2 d 4 】最早研究非光滑映射中的分岔并定义为边界碰 撞分岔，而该类分岔在俄文文献中称为c 分岔。文献 1 5 】研究了碰撞振动系统周期运动 的稳定性、亚谐分岔、h o p f 分岔( 含共振情形) 及余维二分岔；分析了系统相关奇异 性和混沌形成的过程；讨论了塑性碰撞振动系统两类周期运动的转迁过程及其分岔特 兰州交通大学硕士学位论文 点。r r m o s 1 6 】运用基于线性刚性项的l i n s t e d t p o i n c a r 6 人工参数法和广义函数理论，确 定非光滑振动系统的极限环频率。b a t t e l l i 1 7 】用泛函分析方法研究不连续系统同宿轨道有 界解的分岔，在三维空间中针对周期扰动分段线性微分方程加以验证。t k f i p p e r 【l 卅应用 泛函分析理论，构造了一个类m e l n i k o v 函数，研究不连续系统同宿轨道解的分岔，推 广到高维情况确定系统的不变锥体和稳定性。b a t t e l l i 1 9 应用泛函分析方法构造一类 m e l n i k o v 函数，研究一类扰动部分有同宿于不连续面的一双曲不动点的滑移同宿轨道 ( s l i d i n gh o m o c l i n i co r b i t ) 离散微分方程的时变扰动混沌行为。徐健学【2 0 j 综述了非线性 全局分析的一些进展，对吸引子及吸引盆、许多复杂动力学行为以及与诸如分形域边界、 w a d a 分形域嵌入在混沌吸引子中的无穷不稳定周期轨道、混沌鞍及瞬态混沌、激变、 筛形吸引域、随机全局动力学等新现象进行研究。韩茂安、张伟研究平面非光滑动力系 统的h o p f 分岔，论证了不同类型非光滑动力系统以及分段线性系统中极限环的分布情 况。研究非光滑l i 6 n a r d 系统的h o p f 分岔，得到一个h o p f 周期性的代数方法，给出了 判断平衡点是否为中心的充分必要条件，展示了一些新的有趣的应用【2 l 。2 2 j 。文献 2 3 】针 对在间隙支撑处没有阻尼的单自由度分段线性非光滑系统，通过求出各分界面处的切换 矩阵，应用f l o q u e t 理论分析了该系统发生倍化分岔的条件，最后通过建立p o i n c a r 6 映 射，采用数值方法研究了该系统发生的倍化分岔现象。陈予恕院士和l a n g f o r d 将。 l y a p u n o v s c h m i d t 方法与奇异性理论结合，提出了可以揭示非线性振动系统拓扑周期分 岔解与系统结构参数之间关系的c l ( c h c n l a n g f o r d ) 方法，成功统一了长期困扰非线 性振动学术界的有关非线性参数激励系统似乎矛盾的结果，也为结构优化设计、参数识一 别和分岔控制提供了新途径；对高余维分岔的普适分类、高余维非对称分岔的普适开折、 约束分岔的分类等问题的研究，进一步丰富和发展了c l 方法，从而形成研究非线性 系统周期解高余维分岔的方法体系。 n o r d m a r k 最先推导了刚性碰撞振子擦边分岔附近的局部映射，得到了一个具有平 方根奇异性的分段映射，提出了非连续映射的概念和方法。后来b e m a r d o 进一步在擦边 分岔( g r a z i n gb i f u r c a t i o n ) 点附近发展了该方法，并应用于角点碰撞分岔( c o m e r - c o l l i s i o n b i f u r c a t i o n ) 、滑动分岔( s l i d i n gb i f u r c a t i o n ) 附近非连续映射，考虑周期轨线的全局 p o i n c a r d 映射，将得到的映射定义为规范形映射【2 4 彩】。文【2 6 】研究了两自由度碰撞振动 系统周期倍化分岔及拟周期分岔通向混沌的非典型演化路径。文 2 7 1 建立了三自由度碰 撞振动系统的动力学模型，推导出系统刀一1 周期运动的六维p o i n c a r d 映射，研究了此碰 撞振动系统周期运动经拟周期分岔和周期倍化分岔通向混沌的演化路径。文 2 8 1 研究了 两自由度碰撞振动系统同时满足h o p f 分岔和f l i p 分岔条件时，系统周期运动的拟周期 分岔和倍化分岔的相互作用，给出了系统局部动力学行为的两参数开折，证明系统存在 分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制 周期l 点的h o p f 分岔、倍化分岔以及周期2 点的h o p f 分岔或不变圈的曲线( 环面) 倍 化分岔。 陆启韶【2 9 】等综述了微分方程中周期轨线的三类非光滑分岔，即擦边分岔、角点碰撞 分岔和滑动分岔，总结了具有不同奇异性的分段线性非线性规范形映射。针对这类分段 映射，根据非光滑映射的分岔理论，基于边界两侧j a c o b i 矩阵的特征值可以对非光滑分 岔作进一步的分类，并研究经由非光滑分岔通向混沌的路径。研究了非光滑映射由非光 滑倍周期分岔通向混沌的路径，既可以通过非光滑的倍周期分岔直接进入混沌，也可以 通过光滑倍周期和非光滑倍周期相间隔的分岔序列进入混沌，但其方式不同于常规的倍 周期分岔序列。而且非光滑映射中存在一类典型的逆加周期分岔，揭示了混沌带和周期 共存对于周期运动之间转换的重要作用。对非光滑系统的不连续分岔，a l b e r tc j l u o 考虑了一个分段线性周期激励系统，通过建立相应映射，来表示各类稳定和不稳定的周 期运动。提出了一种研究非光滑动力系统局部奇异性的方法，深入地研究了分段系统的 切分岔和分岔吸引子等问题，从理论和数值方面展示了擦边分岔的特性，这些方法为其 它类型的非光滑系统研究提供了借鉴【3 0 】。a l b e r tc j l u o 通过开关边界向量场的g 函数， 研究受周期力驱动的不连续系统运动转换解析条件，讨论系统的周期运动，给出了两周 期运动和解析条件。进一步分析混沌的控制与运动稳定性，研究不同边界上滑移和擦边 运动条件，进行了局部稳定性和分岔分析。对于受周期力驱动的不连续系统，在相平面 上把倾侧边界看作此动力系统的开关控制，得到了相类似的结论【3 1 , 3 2 j 。 数值方法一直是揭示非光滑动力系统复杂运动的主要手段。a w r e j c e w i c z t 捌较早在 数值仿真中发现了干摩擦系统的混沌。p o p p 等研究了机械系统由干摩擦自激引起的爬 行振动，针对由碰撞及摩擦引起的两类主要非光滑系统，综述了建模、主要研究成果及 其应用情况。l a e t i t i a 3 4 】研究了一类无阻尼单侧约束有限自由度的机械系统，针对无弹性 冲击与振动问题给出一个凸的非光滑允许集，给出了近似解的一个实用算法。m a r c e l o a s 等【j 5 j 运用光滑化开关模型数值分析非光滑系统，设计了实验装置验证数学模型及数 值结果。对单自由度不连续振动系统的数值分析与模型试验，获得了包括跃变、分岔和 混沌等丰富的动力学行为。u g og 1 3 6 提出了一个新的数值方法计算非光滑动力系统吸引 盆的分界线，计算结果表明它与p o m c a r 6 截面的交线是一条非光滑曲线。j a m e si n g 3 7 通过实验、解析与数值分析，研究了单边弹性擦边约束的冲击振动系统，观察到光滑与 非光滑分岔。分析了典型分岔及其相互作用，例如吸引子的演变是受由光滑与非光滑分 岔之间复杂的相互作用所支配。e s i t n i k o v a t 邛j 最近研究带形状记忆合金( s m a ) 约束的 振动冲击系统动力学行为的建模与数值分析。运用s m a 元素的力学特性及冲击过程的 非光滑属性划分了五种不同的运算模式。数值分析展示了复杂的动力学响应，恰当的控 兰州交通大学硕士学位论文 制可以降低振动。深入探讨了不同振幅下s m a 元素对振子的运动及分岔的影响。j j b e n j a m i nb i e m o n d e 3 9 l 数值分析了平面连续系统平衡态的非光滑分岔，提出了求解连续非 光滑微分方程描述的一类混合系统平衡态分岔极限集的方法。 目前该领域存在的主要问题有p j ： ( 1 ) 对实际非光滑系统的研究需要建立正确的模型，关键在于约束的确切描述。 对此，针对不同约束的情况，对系统状态变量的协调性、耗能与碰撞机制、控制过程等 给出合理假设，在进行细致分析和综合之后，才能建立更合适的模型并进行理论研究。 ( 2 ) 非光滑系统的研究由于其复杂性，通常需要利用定性分析与数值仿真相结合 的思路去解决。根据微分包含和脉冲微分系统的理论和思想，探讨一些处理这类问题的 有效数学工具和数值算法，这对于研究非光滑现象的本质是十分重要的。 ( 3 ) 非光滑系统有着极其复杂的动力学行为，即使最简单的分段线性系统也是如 此。因此，必须深入分析非光滑系统的复杂运动形式和分叉行为，以及通向混沌途径的 多样性，还要分析各种非光滑因素( 包括冲击、接触、刚度、阈值、控制等方面) 和时 滞、随机因素对动力学行为的影响。 ( 4 ) 针对一些典型的实际系统( 如碰振、连接、伸展、研磨、电路、控制等方面) ， 在理论建模、定性分析、数值模拟、真实实验等方面进行比较细致的研究，揭示它们的 ，。 非光滑动力学机理和规律，为航天、机械工程、电路、控制系统等领域的实际应用提供 重要的理论依据。 1 3 混沌控制研究概况 随着人们对动力学系统混沌振动特征和产生途径认识的深入，人们开始探索如何对 非线性系统的混沌行为进行控制，一方面对混沌运动进行主动控制，避免混沌对机械系 统造成损害；另一方面开始研究如何利用混沌，即混沌的“反控制 ，使其服务于生产 实际。如何对混沌进行控制和利用混沌已成为非线性科学领域的一个新的研究热点。 在许多实际问题中，混沌是一种有害的运动形式，因此抑制混沌成为控制混沌的一 个重要任务。控制混沌的一种最直接的方法就是改变系统参数，使系统从原有的混沌参 数条件转变到各种需要的稳定的规则有序的参数条件。然而，在实际问题中这些参数常 常是客观给定不可改变，或大的参数改变要付出极大代价。在实现抑制混沌中，最大限 度的利用混沌运动的特性和优点，对于确定控制目标标和选取控制方法具有重要意义。 一方面，在变量空间中混沌吸引子具有比任何周期吸引子大的维数，而在混沌运动中系 统在混沌吸引子上各态历经。这样，人们就可以在整个混沌吸引子的广大范围内来实行 控制操作和选择控制目标态，这使混沌控制具有很大灵活性。另外，混沌运动具有初值 分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制 敏感性，任何近邻轨道之间的距离随时间演化会以指数形式迅速发散，但利用这一特性 对混沌进行控制，即对系统施加极小的影响就可使系统运动产生重大变化，这使人们有 可能在混沌条件下用精心选择的微小信号来灵活而有效的控制系统的运动结果。混沌运 动的另一个主要特点是其内涵极为丰富，在任何稳定的混沌态中镶嵌着穷多个周期轨 道，这些轨道为馄沌控制目标态的选择提供了极为丰富的内容。 目前混沌控制的目标主要有：其一是对混沌吸引子内原已存在的某个不稳定的周期 轨道进行稳定控制，这种控制不改变系统中原有的周期轨道；其二则是根据实际需要， 将系统控制在任意轨道上，使系统获得新的动力学行为；其三是实现两个或多个相同动 力学系统的周期同步、混沌同步或超混沌同步；其四是消除多重的混沌或超混沌吸引子 流域。 混沌的控制方法归纳起来可以分为两类：一是通过调节参数( 微扰) 达到对系统混 沌行为的控制，如o g y 方法、参数共振法等；二是对系统的变量实施反馈或无反馈控 制，如脉冲反馈法、延时反馈法、自适应反馈法、外力反馈法、辅助参考反馈法等。 研究表明：系统所具有的混沌状态，其中存在着微妙的结构。混沌运动对初始条件 的敏感依赖特性允许使用很小的反馈扰动来控制系统的轨道，这种能力是非混沌系统所 不具有的。s h a w 4 0 1 研究了受简谐激励的单自由度冲击振子混沌运动的控制问题，通过 在激励中附加适当的高频项，以消除p o i n c a r 6 映射的同宿点，使系统镇定于某个周期轨 道。19 9 0 年美国马里兰大学的物理学家e d w a r do t t ，c e l og r e b o g i 和j a m e sa y o r k e 4 l j 基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一性质，提出了一种参数微扰法 控制混沌运动的具体实施办法，即现在称之为的o g y 方法。很快他们提出的控制混沌 的思想和方法被w l d i t t o 等【4 2 】人所作的非晶磁致弹条系统及电路系统混沌控制的实验 所证实，稍后也被r r o y 等【4 3 】人在一个激光系统中加以利用和拓展。1 9 9 3 年，p y r a g a s 删 首先提出了以混沌吸引子内部丰富的不稳定周期轨道作为控制目标，利用简单的负反馈 实现混沌控制的方法。在他的论文中，提出了利用特殊设计的外部振子产生目标信号和 外力延迟反馈的反馈方法。这种方法与o g y 方法最大的不同在于它们都是一种时间连 续的小扰动方法。对混沌实现控制的例子也较多，如应用经典的随机最优控制技术对 l o r e n z 热对流中的混沌进行抑ne 4 5 1 ，采用动力吸振器对简谐激励下d u f f m g 混沌吸引子 的消除【4 6 , 4 。7 1 。文 4 8 1 提出了修改的自适应控制律对混沌进行控制；文 4 9 】提出了一种基于 刚度分段线性动力吸振器的半主动振动控制策略。文 5 0 】给出了将一类单自由度冲击振 动系统的一维简化映射的混沌轨道控制成周期轨道的方法。 近年来，这一研究方向的理论和实验及应用上的工作进展得异常迅速【5 l - 5 3 1 。y u - c h u t i a n 等【5 4 l 研究了由h u b e r m e n 、s i n h a 等提出的自适应控制法，它是通过目标响应与实际 兰州交通大学硕士学位论文 响应的差值来调节系统某些参数，使系统的实际响应稳定到目标响应。g a n gf e n 9 1 5 5 1 将 模糊控制策略结合自适应控制方法中，实验结果表明对离散时间混沌系统可以实现快速 稳定；王忠勇等【5 6 】提出了一种基于改进型b p 神经网络控制系统混沌运动的新途径，不 必提供系统运动的轨迹，只需要给出控制的目标点，即可实现混沌运动控制。 混沌控制的研究虽然有很大的进展，但仍处于初期阶段，许多理论尚未成熟，有待 于进一步探索和研究，其发展的主要方向有： ( 1 ) 实现复杂的控制目的，即实现混沌系统在任一状态中自由的转换。例如：一 段时间系统处于混沌状态，当它需要镇定到某一个不动点时，就可以将混沌系统镇定到 该点；现在又需要将系统稳定到另一个不动点，这时就可以将系统再还原为混沌系统， 当条件适合时，将系统镇定到目标点。总之，可以实现任意状态的转换。 ( 2 ) 考虑环境噪声，现在所应用的混沌控制方法在小噪声的情况下，还是可行的， 但是在大噪声的情况下，现有的控制方法就不能达到预期的效果。因此需要改进现有的 混沌方法或者提出新的控制方法。 ( 3 ) 拓宽现在研究的理论模型，控制混沌兴起之初，一般研究都是映射和常微分 方程描述的有限维耗散系统中稳态时间混沌的控制，随着控制混沌问题研究的深入，瞬 态混沌、保守混沌、超混沌、偏微分方程描述无限维系统混沌及时空混沌的控制问题也， 应该有相应的研究。 ( 4 ) 实现高维复杂系统中混沌的控制，现在所研究的混沌模型都是像二维或者三 维这样的低维系统。高维复杂系统包括偏微分方程描述系统、带时滞的微分方程描述系 统、代数一微分混杂系统和常微一偏微混杂系统等。这类系统的复杂动力学行为不局限 于一般的时间混沌，还会出现时间超混沌、空间混沌和时空混沌等。高维复杂系统的低 维约化和解耦对混沌性态的影响及相应对控制混沌方案的影响都值得研究。此外，由大 量简单元素非线性耦合而成的系统如人工神经网络中控制混沌的研究在理论和应用上 都很有意义。 ( 5 ) 实现控制混沌的实际应用，大量研究表明混沌存在于多种工程系统如航天器 姿态动力学、车辆动力学、船舶晃动动力学、机床动力学等以及其他物理、化学、生物、 经济、社会系统中，控制混沌在这些系统中的应用有广阔的应用前景。此外，混沌和控 制混沌在数据分析和信息处理中更是有直接的应用，己受到广泛重视。随着控制混沌方 法的完善和普及，各相关领域的专家将会以此为工具发现并解决各自领域中的控制混沌 问题。 分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制 1 4 本文研究内容 本文针对向量场连续，但是向量场的j a c o b i 矩阵不连续的非光滑动力系统，建立了 一类单自由度和一类两自由度分段线性非光滑动力系统模型，对它们的动力学行为进行 了研究：采用f l o q u e t 特征乘子理论判定系统分岔的类型；运用p o i n c a r 6 映射分析了系 统的运动特性；分别采用延迟反馈控制法与周期激振力法对系统的混沌运动进行控制； 讨论了控制法中的控制参数与控制效果的关系以及在不同时间加入控制项对控制效果 的影响。论文内容安排如下： 第一章绪论部分。本章介绍了本文的研究意义，综述了非光滑动力系统近年来的部 分研究成果、最新发展动态和尚存在的主要问题，简要的介绍了近年来混沌控制的研究 概况和前景，以及概要的叙述了本文的研究内容。 第二章首先阐述了非光滑动力系统的定义，介绍了三类典型的力学模型，并逐一分 析向量场的性质，总结其动力学特性，随后综述了非光滑动力系统的基本研究方法，简 要的介绍了非光滑映射的非光滑映射的非光滑分岔分析。 第三章研究了一类单自由度分段线性弹性碰撞碰撞周期运动横截穿越分界面的动 力学行为。求出该系统分界面处的跳跃矩阵，结合光滑系统的f l o q u e t 理论给出系统发 生倍化分岔的条件。建立时间p o i n c a r 6 映射，找到了系统发生倍化分岔的分岔点，使用 数值模拟方法通过相图、p o i n c a r 6 映射图、