（应用数学专业论文）mra+e紧框架小波及相关问题研究.pdf

摘要 设m = ( ：一：) ，。2 ( ：) ，妒c 。，l 2 c 砰，且也t c z ，= 。 妒t 砂z 一* ， 其中j z ，k z 2 ，e = m 或e = d 若 o j k l j z ，z 2 是空间l 2 ( r 2 ) 的紧框 架，则称妒是e 紧框架小波本学位论文还定义了一类“广义”e 滤波器和e 伪 尺度函数设妒是e 紧框架小波若存在一个e 伪尺度函数曲和一个“广义”e 滤波器h r 使得 ie t n 笋p o ( f ) 可萨丐丽$ 一，) ，e ；m ， 妒( f ) = ie 警舶( ) 顽万可可可币而西( ( d t ) _ 1 ) ，e = d ， 其中加( ) 是以2 ”一z 2 为周期的可测幺模函数，f 5 ( 笔) ，则称砂是m r a e 紧框 架小波 本文的主要内容有三个首先介绍一种用“广义”低通e 滤波器构造m r ae 紧 框架小波的方法，并且证明所有的m t t ae 紧框架小波都可以用这种方法来构造 m t l ae 紧框架小波一定是e 紧框架小波，但是反方面不一定正确因此本文的 第二个内容就是得到e 紧框架小波是否是m r ae 紧框架小波的一个充要条件， 即e 紧框架小波妒来自多尺度分析当且仅当线性空间风的维数为0 或1 ，其中 ( f ) 。丽鸺( 啪1 ) ，( ) 2 西( ( e t ) ( + 2 ”) ) 眦：，j 1 最后。这篇论文还刻画了m r ae 紧框架小波乘子和e 伪尺度函数乘子，“广 义”低通e 滤波器乘子的性质作为这些乘子性质的一些简单应用，也研究了m r a e 紧框架小波的连通性 关键词：多尺度分析，“广义”低通e 滤波器，e 伪尺度函数，m r ae 紧框 架小波，乘子，维数函数，连通性 l 吐= ( ：一：) 。r d = ( ：i ) ，妒l 2 c r 2 ，a n a 屿tc z ，= z t 妒c z m ， if n 挚p o ( ) 可牙可可葡琊( m 一，f ) ， e = m ， 砂( ) = i 一譬p 0 ( ) 百可五? f 乓了1 i 而( ( d t ) 。1 ) ，e = d ， 如m eu n t n 。a 啦”一z 2 叫；o c n cr u n 出。nm w e t = 毪) ，t h e n 蛐c 出e a a n 。r 。n e ，w h e r e 凡( ) = 丽慨( 汕1 ，( ) = 西( ( 矿) ( + 2 ”) ) ) 眦：，j 1 i i 第一节引言 设u 为可测函数若对任意标准正交小波中，即 奶，砖f k z = 2 1 母( 2 j x k ) b ，k e z 为l 2 ( r ) 上标准正交基，( ”乖) 。仍是标准正交小波，则称u 为小波乘子，其中a 和 v 分别表示2 ( r ) 上f o u r i e r 变换和逆变换，z 为整数集合 小波乘子的概念首先于1 9 9 8 年在文献 1 】中引入在 1 】中，作者对工2 ( r ) 中2 进制标准正交小波乘子的性质进行了研究作为这些性质的应用，作者还证明：所 有来自多尺度分析的标准正交小波在l 2 ( r ) 中是弧连通的 框架概念是由r jd u i f i n 和a c s c h a e f f e r ( 【2 】) 于1 9 5 2 年研究非调和f o u r i e r 分析时引入的上世纪八十年代以来，小波理论的研究使得框架理论得到了迅速 发展( 3 】) 由于框架是标准正交基的一种推广形式，所以众多学者近年来讨论了 奶，jj z ，k z ) 构成空间三2 ( r ) 的框架而非标准正交基的情形文【4 】的作者在 空间l 2 ( r ) 中定义了一类“广义”低通滤波器和伪尺度函数，并用这类。广义”低通 滤波器构造m r a 紧框架小波，及分别研究这些m r a 紧框架小波的乘子性质和部 分连通性但在文【4 1 中，所有来自多尺度分析的紧框架小波的连通性问题并没有 得到完全解决而文【5 j 中的作者又介绍了一个新思想方法来处理这个问题，并得 到比较好的结果，即一大类m r a 紧框架小波在l 2 ( r ) 中是弧连通的众所周知， 一个标准正交小波来自多尺度分析当且仅当它的维数函数几乎处处等于1 ( f 6 】) 文 【7 是文( 4 】的继续，主要得到紧框架小波来自多尺度分析的一个充要条件，还研究 了紧框架小波的一些性质 上面介绍的文献只是在空间驴( r ) 中考虑问题2 0 0 0 年，“( 8 j ) 刻画了空间 工2 ( r 2 ) 中e 小波乘子( 定义见f 8 】) 的性质。并证明m r ae 小波的部分连通性，即 若妒。是m r ae 小波，则 ( 定义见 8 1 ) 在驴( 兄2 ) 中是弧连通的，其中 e ：f 11 1 或f 0 2 1 l l 10 之后，文献【9 9 也利用e 小波乘子的性质，证明所有来自多尺度分析的凹小波在 l 2 ( r 2 ) 中是弧连通的 基于上述文献的启发，本学位论文也在空间l 2 ( 冠2 ) 中考虑问题主要对空间 l 2 ( r 2 ) 中的m r ae 紧框架小波的性质及其相关问题进行了研究，并得到若干结 果其内容及结构安排如下： 第二节给出“广义”低通e 滤波器，e 伪尺度函数和m r ae 紧框架小波的定 义，并且为了以后各节一些性质及定理证明的简化，还给出一系列引理，这些引理表 明了m r am 紧框架小波和m r ad 紧框架小波及其相关概念之间的一些关系基 于这些关系，很多结论的证明就仅需证明e = m 情形 第三节提出从“广义”低通e 滤波器出发构造m r ae 紧框架小波的一种方法， 并证明所有m r ae 紧框架小波都可以用这种方法来构造 显然，m r ae 紧框架小波一定是e 紧框架小波那么反之呢? 第四节就考虑 了这个问题，具体得到：若妒是e 紧框架小波，则妒成为m r ae 紧框架小波当 且仅当 d i m f ，o ( ) 1 0 ，1 ) ，a e r 2 ， 其中d i m r ( ) 代表空间凡( f ) 的维数，而 马( ) = 丽( 皿，( 伽i ，皿，( f ) 2 移( ( 矿) ( + 2 栅) ) ) 脚。，j 2 1 第五节分别讨论了e 紧框架小波乘子、m r ae 紧框架小波乘子、“广义”低通 e 滤波器乘子和e 伪尺度函数乘子的性质 最后一节利用第五节得到的m r ae 紧框架小波乘子性质证明了m r ae 紧框架 小波的部分连通性，即若咖是m r a e 紧框架小波，则m 。t ，f 在工2 ( r 2 ) 中是弧连 通的，其中 m l = 妒i 存在”满足够= ”蟊，其中u m r a e 紧框架小波乘子) 2 第二节一些定义和相关结果 们= ( 本文约定e = m 或e = d 设妒el 2 ( r 2 ) ，令 奶k ( ) = 2 母( f z 其中z 表示所有整数集，z 2 = z z ( 2 1 ) 定义2 1 设妒( z ) l 2 ( r 2 ) 若 咖j j z ，k z 2 是空间工2 ( r 2 ) 的紧框架，也 就是说，若存在常数a 0 满足 | ( ， 蜘) j 2 = 圳川2 ，v ，l 2 ( r 2 ) ， ( 2 2 ) j e z k e z 2 则称妒为en 框架s j , t t ( 简记为e t f w ) ，a 为框架界 不失一般性，可设( 2 2 ) 式中a = 1 本文均约定框架界a = 1 另外，约定e t 表 示矩阵e 的转置矩阵，( 如) t 表示向量( 札b ) 的转置( 急) 2 0 0 0 年，m b o w n i k ( 1 0 1 ) 给出了空间l 2 ( r ”) 中函数妒成为e t f w 的一个充 要条件，即若n = 2 ，伸缩矩阵a = e ，则有 定理2 2 设妒l 2 ( r 2 ) 则妒是e t f w 当且仅当 移( ( e r ) ) 西( ( e r ) j 辑+ 2 矗) ) = 0 ，n e r 2 ，ez 2 e t z 2 ， ( 2 4 ) j = o 其中妒的f o u r i e r 变换是谚廷) = 妒( z ) e “”d z ，z 是空间月2 的内积 j 兄2 3 z 2 0 七 o 1 z ，一 | ， d 砧 昭 舻 e eol = 曲 矿 “u ，妒 脚 + 且 定义2 3 若函数日l 2 ( ，2 ) 满足 圩( f ) 严+ f 甘( + r r e 7 印胪= 1 ，则称h 为“广 义”e 滤波器，这里 丁：【0 ，2 。】，t 。：t 。了1 ，0 ：o ，。t 若e = m 【( o ，1 ) t ，若e = d 记集合 卢= h1 日为“广义”e 滤波器) 定义2 4 设l 2 ( 咒2 ) 若存在h 卢满足 ；( e r f ) = 日( ) 函( f ) ，则称是e 伪 尺度函数( 简记为e p s f ) 设毋是e p s f 记 v h r ，记 瓦= 甘lh 卢，毒( e 丁f ) = 日( 溯) ) 抽心) = 酗1 i ( ( 即驯，n o ( i h i ) = 如烈即汴o ) 柏( ) = 眦e r ) 一吼 = 蚓。柏( ( e ? ) “) = o 性质2 5 设是e p s f ，h 瓦若1 i 啦( 5 ( ( e r ) “) = 1 ，则 n + 十 + o 。 西( ) j = 画日 ( f ) = i ii h ( ( e t ) 一f ) i ，o e 且i n o ( i h i ) i = 0 j = 1 证明仅证e = m 的情形由辛( m f ) = 日( f ) 声( ) 和。乒( m 一“f ) = 1 ，n e 那么 腓) l = l h ( m - j f ) ii 毒( m ”) i = 1 ii h ( m - ) l = 柏( ) j = l，= 1 而由l i l l l 壬( m 1 。f ) = 1 ，n b 知，i n o ( i h i ) l = 0 显然成立 4 器 定义2 6 设h j = 若h 满足i g o ( i h i ) ) = 0 ，则称打为“广义”低通e 滤波 基于上面的准备，下面给出m r ae t f w 的定义 定义2 7 设妒是e t f w 若存在一个e p s f 咖和h 瓦满足 f e t 西( f ) = 【e i 学加( ) 取面飞干瓦。；矿两一，) ，e ：m ， ( 2 5 ) 譬p o ( 0 面面可鼍了丽毒( ( d t ) 一，) ，e ：d ， 则称妒是来自多尺度分析的e t f w ，简记妒为m r ae t f w ，其中在( 2 5 ) 式中 加( ) 是幺模的且以2 r z 2 为周期的可测函数相应地，分别把满足( 2 5 ) 式的e p s f 和称为与m r ae t f w 妒相关的e p s f 和“广义”e 滤波器 类似于文m 下面给出m r ae t f w 乘子及相关几个乘子的定义 定义2 8 设t j 为可测函数 ( 1 ) 若对任意e t f w 砂，( 西) 。也是e t f w ，则称v 为e t f w 乘子 ( 2 ) 若对任意m r ae t f w 妒，西) 。也是m r ae t f w ，则称 为m r a e t f w 乘子 ( 3 ) 若对任意与某个m r ae t f w 相关的e p s f 也( 口乒) 。也是与某个m r a e t f w 相关的e p s f , 则称v 为e p s f 乘子 ( 4 ) 若对任意“广义”低通e 滤波器h ，v h 也为“广义”低通e 滤波器，则称 ”为“广义”低通e 滤波器乘子 文【8 1 表明，m r am 小波与m r ad 小波及相关概念之间存在很密切的关系 事实上，m r am t f w 与m r ad t f w 及相关概念之闻也存在着密切的关系，同 时，它们的乘子之间也存在着一定联系基于这些关系，以后对许多结论的证明， 只需证e = m 的情形所以现在先给出几个引理来表明这些关系 5 令 p = ( ：) ，q = ( 二_ ，：) ，只= ( ：) 引理2 9 设妒el 2 ( r 2 ) 则吵足m t f w 当且仅当书( ) = 砂( p ) 是d t f w 证明必要性：设妒是m t f w ，注意到m 1 = m ，因此由定理2 2 ， 岳i 谚 誊移( j = 0 ( m ，卯 _ _ m ，e ) 西( = 1 ，o e f r 2 m j 任+ 2 , r k ) ) = 0 ，n e f r 2 ，k z 2 m z 2 ( 2 6 ) 因为书( z ) = 妒( p z ) ，茹( ) = 西( ( p 1 ) 一1 ) ，又由p d p 一1 = m 知，( d t ) f 汀= p t m j 则对n e fe r 2 ， 1 2 ( ( d 丁) ，) i 1 2 ( ( d 丁) j p t ( p t ) 。1 f ) 1 1 2 ( p t m j ( p t ) 。1 ) i l 丕阳pr)一-prm(pt)一，)12zf e o 姜zi 西( m ，( p t ) 一1 f ) 1 2 j li 1 ( 2 7 ) 至此已证西满足( 2 3 ) 式因此由定理2 2 知，要证西是d t f w ，仅需证币满足 ( 2 4 ) 式即可 v z 2 d 丁z 2 ，类似于( 2 7 ) 式的推导得 ( ( d 了、) f ) 谚( ( d t ) j ( f + 2 ”k ) ) 十o o t - 一 西( m j ( p t ) 一1 f ) 西( m j ( p t ) 一1 + 2 7 ( p t ) 一1 ) ) j = o 6 ( 2 8 ) o 砂 。吵 ：妒 舭御螂 t 廿 m 触 两| ( 萋 曲 pm 妒 m 脚 1 注意到p _ 1 = l 0c p 丁，一1 = ( 二- ，；) ，因此c p r ，一1 t = c e - ，t ：一h ，t 又 对任意的z 2 d r z 2 ，= ( 1 ，2 ) t 都满足2 是奇数，因此k l 为奇数时2 一k l 为偶数，l 为偶数时k 2 一k 1 为奇数那么，v 驴d 丁z 2 ，( p t ) 。k z 2 m z 2 故由( 2 6 ) 及( 2 8 ) 式可得 + 一 谚( ( d 丁) ) 石( ( d r ) j ( + 2 r k ) ) ；0 ，v kez 2 d 丁z 2 j = o 由定理2 2 ，西是d t f w 充分性的证明与必要性类似 引理2 1 0 ( 1 ) h o 是“广义”低通m 滤波器当且仅当f l o ( - ) = h o ( q ) 是“广义” 低通d 滤波器； ( 2 ) 若垂l 2 ( 舻) 则咖是m p s f 当且仅当* ) = 咖( p ) 是d p s f 证明( 1 ) 磐要性t 设矾是“广义”低通m 滤波器，则由凰的定义可知， 日o l 2 ( r 2 ) ，i h o ( ) j 2 + i h o ( + ( ”， r ) t ) 1 2 = 1 且j n o ( i h 0 1 ) l = 0 又凰( ) = i o ( q ) ，则 显然有j i 0 l 2 ( t 2 ) ，i n o ( 1 矗0 1 ) i = i n o o n 0 1 ) l = o 且 i 鼠( ) 2 + l 鼠幢+ ( ”，o ) t ) 1 2 = i h d q f ) 1 2 + i u o ( q + q ( 丌，o ) t ) 1 2 = l h o ( q s ) 1 2 + i h o ( q + ( 7 r ，一”) t ) f 2 = 1 因此凰是“广义”低通d 滤波器 充分性的证明与必要性类似 ( 2 ) ，必要性：设毋e 三2 ( r 2 ) 是m p s 既存在凰f 满足$ ( 垅) = 凰( ) 占( f ) 又 虱) = 咖( p ) ，q = ( p 了) 一1 ，则虱) = 函( q f ) 且 石( d t f ) = 毒( m q e ) = 日o ( q e ) 乒( q e ) = h o ( f ) 石( ) ， 由( 1 ) 知，瓿( f ) = 凰( q f ) 是“广义”低通d 滤波器，因此石是d p s f 充分性与必要性的证明类似 7 引理21 1 设一，为可测函数则是d t f w ( d p s f ) 乘子当且仅当”l ( - ) = u ( 尸1 ) 是m t f w ( m p s f ) 乘子 证明仅证t f w 乘子，p s f 乘子的证明完全类似 必要性：设u 是d t f w 乘子，妒是任意的m t f w ，由引理2 9 知，巧( - ) = 妒( p - ) 是d t f w ，则( t ，( ) 妒( ) ) = ( ( ) 妒( ( p 1 ) ) ) 。也是d t f w ，再次由引理2 9 ， ( u ( p l ) 书( ) ) 是m t f w ，则由咖的任意性，”l ( ) = ”( p 1 ) 是m t f w 乘子 充分性与必要性的证明类似 引理2 1 2 设p 为可测函数则p 是“广义”低通d 滤波器乘子当且仅当 i l l ( ) = p ( p 1 ) 是“广义”低通m 滤波器乘子 证明必要性：设p 是“广义”低通d 滤波器乘子，h o 是“广义”低通m 滤 波器，由引理2 1 0 ，h o ( q - ) 是“广义”低通d 滤波器，则p ( ) 矾( q ) 也是“广义” 低通d 滤波器，再次由引理2 1 0 ，p ( 尸1 - ) 日o ( ) = p ( q - - 1 ) 矾( ) 是“广义”低通m 滤 波器，因此芦1 ( ) = p ( p 1 ) 是“广义”低通m 滤波器乘子 充分性与必要性的证明类似 引理2 1 3 设妒l 2 ( r 2 ) 则妒是m r am t f w 当且仅当西( ) = 1 】 i ( p ) 是 m r ad t f w 证明必要性：设妒是m r am t f w ，显然妒是m t f w ，由引理2 9 ，币( ) = 妒( p ) 是d t f w ，因此仅需证书来自m r a 既然妒是m r am t f w ，由定义2 7 知，一定存在一个m p s f 咖和h o r 以及一个幺模且以2 ”一z 2 为周期的函数 加( f ) 满足西( ) = e i 号争舶( ) 瓦币百了百1 i 茅而壬( m 一， ) 那么 。 妒( ) = 每( ( p 丁) - 1 ) = e i 譬p o ( ( p t ) 一1 f ) 百虱五f j 可丽可= 哐j _ i ；_ 彳而$ ( m 一1 ( p t ) 一1 )( 2 9 ) = e 4 警p 1 ( f ) 凰( p t m 一1 ( p r ) 一1 + p t ( ，r ，7 r ) t ) 石( ( d 丁) 一1 f ) ；一譬p 。( ) 面面可可可丽( ( d 丁) 一- f ) ， 其中p l ( ) = p o ( ( 矽) _ 1 f ) 也是以2 7 r z 2 为周期的可测幺模函数，且$ ( ) = 妒( p ) 8 凰( ) = 胁( q ) ，由引理2 1 0 ，西是d p s f , 岛是“广义”低通d 滤波器，则由( 2 9 ) 式及定义2 7 知，西是m r a d t f w 充分性与必要性的证明类似 引理2 1 4 设”为可测函数则u 是m r ad t f w 乘子当且仅当v l ( ) = - ( p 1 ) 是m r a m t f w 乘子 由引理2 1 3 和引理2 1 1 可知此引理显然成立，在此不再详写 9 第三节 m r a e 紧框架小波的构造 这一节提出一个从“广义”低通e 滤波器来构造m r ae t f w s 的方法，并证 明所有m r ae t f w s 都可以用这种方法来构造在给出构造方法之前，首先给出 在构造过程中及以后常用到的两个引理 引理3 1 若f l l ( r 2 ) ，则：2 m ，( ( 矿) n f ) = 0 ，e r 2 n - 证明设，l 1 ( 兄2 ) ，不失一般性，不仿设f 0 由单调收敛定理可得 上。丢，( ( a f 。三二。州四a f 2 暑z “上：玳) 出刮川， o k e z 2k e z ? r 4 2 1 ) 由( 4 2 1 ) 式和0 的定义知，vn e ep f ，存在= ( ) 1 ，2 ，一1 满足 m f p k ，并且+ ( f ) 是定义在蜀上的以2 7 r z 2 为周期的可测函数由假设， d i m f t f l ( m ) = 1 ，n ef p z ，则存在以2 7 r z 2 为周期的可测函数a ：冠+ c 满足 奶一1 ( m ) = a ( ) m ( ) ( m ) ，a e 只， ( 4 2 2 ) 并且a ( ) 0 ，否则 0 = | | m f 一1 ( f ) i i 压| | 皿l ( ) l l 刍0 ，( 4 2 3 ) 由( 4 2 3 ) 式知，皿f ( ) = 0 ，这与f 毋矛盾，因此 ( ) 0 那么由( 4 2 2 ) 和( 4 6 ) 式 知，对a e e p f ， 函( m ) = i 二里塑丛b 西( m m ) 、jj 戛。l 移( m ( m f + 2 j ) ) l “ 志西( 旷1 慨) ( 4 2 4 ) 式说明存在以2 7 r z 2 为周期的可测函数a ：毋c 满足 知( m ) = a ( ) 西( m ) ，n c p t ( 4 2 5 ) 同时由( 4 6 ) 式看出存在以2 ”一z 2 为周期的可测函数b ：日- c 满足岛( ) 0 ， 并且 壬o ( f ) = b ( ) 母( m f ) ，a e 毋 ( 4 2 6 ) 定义 咪) = 箫小最 ( 4 - 2 7 ) 由( 4 2 5 ) 和( 4 2 6 ) 可知，g o ( e ) 是定义在p f ( f 2 ) 上的以2 7 r z 2 为周期的可测函 数且在日上满足( 4 2 0 ) 因此，要证此引理仅剩在马上定义凰( ) v p l ，则一定有m s 或者存在 以2 r z 2 为周期的可测函数+ f ( m ) n 满足m f 最( m f ) 若m s ，定义 ( ) = o ；否则若m 毛s ，则一定存在以2 ”一z 2 为周期的可测函数彳满足 f ；0 ( m ) = 彳( m ) 币( m ( m f ) m ) = 彳( m ) 西( m 。( 心) + 1 ) ( 4 2 8 ) 另一方面，由于f p l ，一定存在以2 ”一z 2 为周期的可测函数爻和百0 ，分别满 足奶( 肘e ) + 1 f = x ( f ) 皿l ( f ) 和毒o ( ) = 百( f ) 每( m f ) 因此，v 尸1 ，心毛s ，定义 g o ( e ) = 笔产 ( 4 。) 显然凰( ) 在p l 是以2 w z 2 为周期的可测函数且在p 1 上满足( 4 2 0 ) 至此，已定义了一个以2 z r z 2 为周期的可测函数1 - 1 0 ：s 。+ c ，且凰在上 满足( 4 2 0 ) 式下面证明( 4 1 9 ) 式vo e s 。，由( 4 7 ) 式知，一定存在z 2 使得南( + 2 7 r ) 0 ，则 $ o ( f 代+ 2 七7 r ) ) = 矾恁+ 2 七丌) $ o ( + 2 k 7 r ) = 凰恁) 如 + 2 k 7 r ) ， ( 4 3 0 ) 因此 咪) = 鬻- 。f l ， ( 4 3 1 ) 妒0 l t 十j 而由引理4 3 ，vne p r 2 ，1 如( m 卢) l i ( ；o ( p ) | 匿此由( 4 3 1 ) 式显然可得 引理4 5 证明完毕 矾( ) l 1 ，a e s 。 刚沪k 纛，罴黑善 。z ， 我们断言( 4 1 6 ) 式对a e f r 2 成立由引理4 4 ，仅须证( 4 1 6 ) 式在s 上成立即 可vf s ，如( ) = 0 由( 4 6 ) 式和d 廿( f ) = 0 知，( 4 1 6 ) 式在s 上成立因此断 1 】5 ( m f ) = e 万丽( ；o ( ) ，n ef 只2 ( 4 3 4 ) 。日0 ( ) = 。甑( + ( 7 r ，”) t ) ，s ( 4 3 5 ) i 审o ( ) 1 2 = 每( m ) 1 2 - t - l 如( m ) 1 2 ，a e r 2 ( 4 3 7 ) 又若s ，函o ( ) = 0 ，则由( 4 3 7 ) 式显然可得乒o ( m ) = 0 则由引理4 5 得 ( 5 0 ( m e ) = 凰( f ) 乒o ( ) ，n e f r 2 ( 4 3 8 ) 引理4 6 对e r 2 凰( f ) 1 2 + i h l ( 5 ) 1 2 = 1 ( 4 3 9 ) 证明首先考虑s 若+ ( 7 r ，”) r s ，由( 4 3 2 ) 和( 4 3 5 ) 式知，日1 ( ) = 历1 又+ ( 7 r ，7 r ) t + ( ”，7 r ) r s ，则风( f ) = h 1 ( f4 - ( ”，7 r ) t ) = 去，显然( 4 3 9 ) 式成立； v 若+ ( ”，7 r ) t 毛s ，由( 4 3 2 ) 和( 4 3 5 ) 式知， g o ( e ) i 24 - i h l ( ) 1 2 = h 1 ( 5 + ( 7 r ，7 r ) t ) 1 2 + j g o ( 4 - ( 7 r ，7 r ) t ) 1 2 因此仅需证( 4 3 9 ) 式在s 。上成立即可 由( 4 3 4 ) ，( 4 3 7 ) 和( 4 3 8 ) 式知，vn ef r 2 ， i ；o ( ) 1 2 = 【i 凰( ) 1 24 - i h l ( ) 1 2 】i ；o ( f ) 1 2 由风和凰的周期性，对( 4 4 0 ) 式变量替换，再结合( 4 7 ) 式可得 d o ( ) = 【i 凰( f ) 1 2 + i h l ( f ) 1 2 】( f ) ，o e f r 2 ( 4 4 0 ) ( 4 4 1 ) 注意到在s c 上，b p ( ) 0 ，因此由( 4 4 1 ) 式显然可知，( 4 3 9 ) 式在s 。上成立 此引理证明完毕 和 下面再给出一个引理，这个引理说明日1 和风均是“广义”低通m 滤波器 引理4 7 对口e r 2 凰( ) 瓦西习孑而巧= h ，代4 - ( ”，”) t ) 丽 i g o ( ) l = 1 9 1 ( 4 - ( ，7 r ) t ) i ， ( 4 4 2 ) ( 4 4 3 ) i h o ( ) 1 24 - i g o ( 4 - ( ，”) r ) 1 2 = 1 = i 历( f ) 1 24 - i 皿嬉4 - ( 7 r ，”) t ) 1 2 ( 4 4 4 ) 证明首先假设( 4 4 2 ) 式成立那么由( 4 4 2 ) 式和引理4 6 知， 2 3 l 凰( f ) | 2 = i h o ( f ) 1 2i h o ( f + ( 7 r ，丌) r ) 1 2 + i 风( f ) 1 21 月l ( + ( 7 r ，7 r ) t ) 1 2 = i 。巩( + ( 丌，7 r ) t ) 1 2i h l ( ) 1 2 + l 。日o ( f ) 1 2l h l ( f + ( 7 r ，7 r ) t ) 1 2 = i h 】任+ ( 7 r ，”) 丁) 1 2 ， 即( 4 4 3 ) 式成立；而由( 4 4 3 ) 式和引理4 6 知( 4 4 4 ) 式显然成立；因此要证此引理 仅需证( 4 4 2 ) 式成立 首先考虑s u ( s + ( 7 r ，7 r ) 了1 ) ，分三种情况： ( 1 ) s ，+ ( ，”) 7g s ，由( 4 3 2 ) 和( 4 3 5 ) 式， 如( f ) = j ，1 氍+ ( ，7 r ) t ) ，日1 嬉) = h o ( + ( 7 r ，) 丁) ， 因此( 4 4 2 ) 式成立； ( 2 ) s ，+ ( 7 r ，7 r ) r s ，由( 4 3 2 ) 和( 4 3 5 ) 式知， 凰( ) = h i ( c + ( 7 r ，”) 丁) ，h 1 ( f ) = 去= s o f t + ( 7 r ，7 r ) t ) ， v z 则( 4 4 2 ) 式成立； ( 3 ) i s ，+ ( 7 r ， ) t es ，贝0 ( + ( 7 r ，7 r ) 丁) + ( 7 r ，7 r ) t 毛s ，类似地，由( 43 2 ) 和( 4 3 5 ) 式知， 日1 ( f + ( 7 r ，7 r ) t ) = 日o ( 心+ ( 7 r ，7 r ) 。r ) + ( 7 r i7 r ) t ) = 日。任) ，s o f t + ( 丌，7 r ) 丁) 盘h 1 i f ) ， 那么( 4 ，4 2 ) 式成立 下面考虑【s u ( s + ( 7 r ，7 r ) t ) 。对j 1 ，q z 2 m z 2 和。e 肛r 2 ，由( 4 3 4 ) ， ( 4 3 8 ) 和( 4 3 9 ) 式得， 西( m j # ) 移( m j ( p + 2 q 7 r ) ) = 面面：两丽如( m j 一1 z ) h l ( m j q 卢) ；0 ( m a 一1 ( 肛+ 2 口7 r ) ) ( 1 一i h o ( m j 一1 卢) 1 2 ) $ o ( m j 一1 p ) 乒o ( u j 一1 ( p + 2 口丌) ) = 函o ( m j 一1 p ) 如( u j 一1 ( 卢+ 2 口7 r ) ) 一i h o ( j 一1 p ) 1 2 声o ( p ) 如( m ，( 卢+ 2 q 7 r ) ) 毒o ( m j 一1 p ) 审o ( i j 一1 ( p + 2 q 7 r ) ) 一声o ( m p ) 函o ( m 似+ 2 盯) ) 2 4 又由引理3 1 ，l i m 南( m 肛) 知( m n ( , u + 2 q 7 r ) ) = 0 因此由定理2 2 及上面的计算可 1 v - _ + o o 知，对j l ，q z 2 m z 2 和ep r 2 有 + 一 0 一西( m j # ) 移( ( 肛+ 2 q ”) ) j = o ：一一= 一 = 妒( p ) 母( p + 2 q v ) + 西o ( p ) o ( p + 2 q t r ) 凰( m 一- 肛) 瓦面f 百i 丽一日。( m 一，p ) 瓦可f 百瓦磊而 声o ( f 一1 p ) $ o ( 彳一1 p + ( q 1 + q 2 ，口1 一q 2 ) 丁7 广) 此时既然假设毛s ，f + ( 7 r ，7 r ) t 毛s ，则由( 4 , 7 ) 式知存在k ，f z 2 满足 c 5 0 恁+ 2 k v ) 0 ，( ；0 媾+ ( ，) t + 2 l f r ) 0 若替换( 4 4 5 ) 式中变量为 m - l # = e + 2 k r , ( q l + q 2 ) 叫，+ 1 ) 那么由( 4 4 5 ) 式， 0 = ( + 2 ”) 百i 碡j = _ 再丽一凰任+ 2 ”) 五i 碡j = _ 耳_ 茅p j = h o ( f ) 凰代+ ( 7 r ，7 r ) t ) 则此种情形下( 4 4 2 ) 式成立此引理证明完毕 ( 4 4 5 ) 至此已证上述过程构造的历、凰均是“广义”低通m 滤波器，曲。是m p s f 凰巧，且每满足( 4 3 4 ) 式下面我们将构造满足必要条件的p o 记 n = r 2l 丑i ( + ( 7 ，) 7 ) = 0 1 ( 4 4 6 ) 显然，集合n ，q 。均是可测且2 7 r z 2 平移不变的，又由( 4 4 4 ) 式知， 若n ，贝0 + ( ”，7 r ) t n 。，n e ( 4 4 7 ) v f 群，定义 北) = 丽鬻丽 f 阱 ( 4 4 8 ) 由( 4 4 3 ) 式知，用( 44 8 ) 式定义的s ( ) ：弘+ c 是以2 7 r z 2 为周期的幺模函数 若n ，由( 4 4 7 ) 和( 44 8 ) 式可定义 s ( ) = s ( + ( 7 r ，7 r ) t ) ，n( 4 4 9 ) 则s ( ) 是定义在r 2 上以2 7 r z 2 为周期的幺模函数，并且满足 h 1 ( ) = s ( f ) h i ( + ( 丌，7 r ) t ) ，o e r 2 ( 4 5 0 ) 引理4 8s ( f ) 是以”一z 2 为周期的 证明首先，若r 2 满足凰( ) 瓦舔f ，而r ) = 0 由( 4 4 7 ) 式知，此时一定 有fen ，+ ( 7 r ，7 ) r 毛n 或醐，+ ( ，7 r ) r n ，均可由( 4 4 9 ) 式和s ( ) 以2 7 r z 2 为 周期的性质得s ( f ) = s ( f + ( ”，”) t ) 其次，若r 2 满足凰( ) 瓦恧了百j 茅齐0 由( 4 4 2 ) 和( 4 5 0 ) 式和s ( ) 是幺 模函数的可得 上( ) 士而 + ( 7 r ，7 r ) t ) = h 1 幢+ ( ”，”) t ) 百行百 s ( f + ( ”，”) r ) 凰( ) 可西h o 而，_ 尹j = 【s + ( ”，丌) r ) 硒】 凰( ) 瓦f 可丽可 因此在此种情形下，s ( ) = s 恁+ ( 7 r ，7 r ) t ) 引理4 8 证明完毕 若令 加( ) = 币萨丽，v f r 2 ( 4 5 1 ) 则( 4 5 1 ) 式定义了一个r 2 c 的函数p o 既然8 ( ) 是定义在r 2 上以7 r z 2 为周期的幺模函数，则加是定义在r 2 上是以2 ”一z 2 为周期的幺模函数至此， 2 6 通过上述一系列引理已经构造出m p s f 庐o ，“广义”低通m 滤波器凰和一个以 2 7 r z 2 为周期的幺模函数加因此要证咖是m r a m - t f w ，仅需验证妒，咖o ，h 和 p o 满足( 4 3 ) 式即可事实上，由( 4 3 4 ) ，( 4 5 0 ) 和( 4 5 1 ) 式知，va e r 2 ， 口( m f ) = e m 丙丽如( ) = e 铂舔硒硪了巧再而如( ) = 矿1 p ( 4 ) 日j ( + ( 7 r ，7 r ) t ) 加( ) 即( 4 3 ) 式成立，充分性证明完毕 第五节乘子的特征刻画 定义2 8 给出了e t f w ，m r ae t f w ，e p s f 及“广义”低通e 滤波器乘子 的定义，这一节将用几个定理分别给出这些乘子的性质 定理5 1 若u 是可测函数则v 是e t f w 乘子当且仅当”是幺模的且 u ( e t ) 石丽以2 n z 2 为周期 证明由引理2 1 1 可知，仅需证当e = m 时定理成立即可 充分性；设妒是m t f w ，u 是可测的幺模函数且- ( m o 一”( o 以2 n z 2 为周 期令万= ”函，下证硒也是m t f w 显然硒满足( 2 3 ) 式，又v z 2 m z 2 ， 誉参( m ，) 参( 埘( + 2 ”) ) 一 m ) ；+ o o 。( m ，) 硒颐厕西( m ) 而研丽 j = o 而 u ( m f ) 玎莉虿两 = ”( m ) 而订两西( m j 一1 幢+ 2 7 r k ) ) 丽丽百丽( m j 一1 ) 可丽可百丽两 = u ( m ) 丽厅丽”( m j 一1 ) 丽( m j 一1 f ) 研万琵厕 = ”( m j 一) 可丽可再丽而 = - ( 0 可可忑而， 将之代入( 5 1 ) 式得 + o o ! 一 咖( a ) 妒( m j ( + 2 7 r k ) ) j = o ：孽。( m ) 面硒厕西( 埘) 丽丽厕 j = 0 一十o o r 一 = u ( ) t ，( + 2 r r k ) 妒( m j ( ) 妒( m ，幢+ 2 7 r k ) ) j = 0 = 0 2 8 则由定理2 2 知，西是m t f w ，又由妒的任意性，t ，是m t f w 乘子 必要性：设”是m t f w 乘子，妒是m t f w 且满足西( f ) 0 ，口| e e r 2 ，例 如妒可选为m h a a r 小波【8 ，e x a m p l e l 则巧= ( 矿西) 。也是m t f w ，由定理2 2 知， 。 l 声( m j f ) 。：i ”( 埘 ) i hl 每( 彬f ) 1 2 = l ，n e r 2 j z i 1 j z 那么vn n ，l ( ) 1 2 “l i 西( f ) 1 2 1 ，。e r 2 ，又注意到西( ) 0 ，口ef r 2 ，因此 i ”( ) i 1 ，a e er 2 又 乏m m j s ) 1 2 i 谚( m 1 2 2 薹i 参( m ) 1 2 = t 2 薹l 西( m j z f ) 1 2 ， f z，z o 则l 审( m ，) i 。( 1 一i u ( 删) 1 2 ) = 0 ，那么结合l u ( ) i 1 可得( ) l = l ，o - e r 2 若妒是m t f w 时，妒满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式，而u 是m t f w 乘子可以保证 万= ( u 谚) v 也满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式，又”是么模的，则| 莎1 1 = 1 1 ( ”谚) vi i = l l 妒l i ，那么 u 一定是m 小波乘子( 【8 ) ，即”是幺模的且”( m ) i 两以2 7 r z 2 为周期( 【8 ) 定理5 2 若u 是可测函数则”是m r ae t f w 乘子当且仅当u 是幺模的且 u ( e t ) - - 7 5 以2 7 r z 2 为周期 证明必要性：设u 是m r ae t f w 乘予，妒是m r ae t f w ，令万= ”t 5 相同于定理5 1 的证明知”是幺模的，则i f 石i i = 1 i 妒又u 是m r ae t f w 乘子 可以保证石也满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式，因此u 是m k a e 小波乘子( 【8 】) ，则u 是幺模 的且u ( e t f ) u - - 1 - 6 以2 v z 2 为周期 充分性t 设妒是m r ae t f w ，u 是幺模的且 ( e t ) 石雨以2 7 r z 2 为周期 由定理5 1 知，u 是e t f w 乘子令万= u 审，仪需证万来自m r a 又由定理4 1 ， e t f w 妒来自m r a 车= 争d i m 昂( f ) = 0 ，1 ) ，而 ( ) = 硒而 ( ) 21 ) ：硒丽 畅( f ) b 1 ，= 如( ) 显然有 d i m