（基础数学专业论文）两类差分方程平衡点的吸引区域.pdf

摘要 差分方程( 或递归序列) 被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数字 解，在经济学、生态学、生物学、物理、工程、神经网络、社会科学等方面有着 十分广泛的应用。对差分方程的研究就是讨论它的解的最终性态，包括解的振 动性、有界性、周期性、平衡点的全局渐近稳定性及吸引区域等。本文主要研究 两类差分方程的平衡点的吸引区域。 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展现状以及与本文相 关的一些已知结果。 在第二章，我们研究非线性差分方程 + 1 ：p + 兰生，佗= 0 ，1 ， + 1 = p 十- 佗= u ，上， ，山孔 的正解，其中o l ，初始条件( z - 1 ，z o ) ( o ，+ ) ( o ，+ 。) 。找出了使此方程 的正解有界的所有初始值的集合，并证明了它的每个有界正解都收敛于正平衡 点，从而解决了m r s k u l e n o v i c 和g l a d a s 提出的另一个公开问题。 关键词：差分方程平衡点有界性正解吸引区域 t h eb a s i n so fa t t r a c t i o no ft h ee q u i l i b r i u m p o i n t sf o rt w oc l a s s e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t d i 丘e r e n c ee q u a t i o n s ( o rr e c u r s i v es e q u e n c e s ) a r ec o n s i d e r e da st h ed i s c r e t i z a t i o na n di l u m e r i c a l s 0 1 u t i o i l so fd i 懿r e r t i a le q u a t i o n sa n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a v eg r e a tn u m b e ro f 印p l i c a t i o n si ne c o n o m i c s ，e c o l o g y b i o l o g y p 1 1 y s i c s ，e n g i n e e r i n g ，n e u r a ln e t w o r k ，s o c i a ls c i e n c e s ，e t c t h e i n 、，e s t i g a t i o no nd i f f e r e n c ee q u a t i o ni st od i s c u s si t se v e n t u a u yb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n s ，i n c l u d i n g 0 s c i l l a t i o n ，b o u n d e d n e s sa n dp e r i o d i c i t y ，9 1 0 b a 】a s y m p t o t i cs t a b i l i t i e sa n db a s i n so fa t t r a c t i o no f t h ee q u i l i b r i u mp o i n t s ，e t c t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h eb a s i n so fa t t r a u c t i o no ft h ee q u i l i b r i u m p o i n t sf o rt w oc l a s s e so fd i 能r e n c ee q u a t i o n s i nc h a p t e r0 n e ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h eh i s t o r i cb a c k g r o u n da n dt h ec u r r e i l ts i t u a t i o no f n o n l i n e a rd i 能r e n c ee q u a t i o na n ds o m ek n o w nr e s u l t sa b o u to u rt h e o r e m s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ep 0 8 i t i v es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rd i f 五3 r e n c ee q u a t i o n z n + l = p + 盟，n = 0 ，l ，z n + l = p 十，n = u ，上， z n w h e r e0 1 w b6 n do u tt h es e to f 础li n i t i a lv a l u e ss u c ht h a tt h ep o s i t i v e8 0 l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r eb o u n d e d ，a n ds h o wt h a te v e r y p o s i t i v eb o u n d e ds o l u t i o no ft h ee q u a t i o nc o i l 、伦r g e st oi t sp o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t t h i 8a m w e r s a n o t h e ro p e np r o b l e mp r 叩0 8 e db ym r s k u l e n o v i ca n dg l a d a s k e yw o r d s ：d i 骶r e n c ee q u a t i o n ；e q u i l i b r i l l mp o i n t ；b 0 1 l n d e d n e 踊；p 0 s i t v e8 0 l u t i o n ；b a u s i no f a t t r a c t i o n 1 l 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的 成果和相关知识产权属广西大学所有本人保证不以其它单位为第一署名单位 发表或使用本论文的研究内容；除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发 表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名：赵金f 虱 z p 。多年年月，。日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间： 曰即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：匙，复f 氮 导师签名 螺阵缈妒日 广西大学硕士学饿论文两类蔗分方程平衡点的吸引区域 1 1 引言 第一章绪论 差分方程是一种描述离散系统的数学模型，是含有取离散值变量的函数及其差分的方 程，是动力系统的一个重要分支，早期是俸秀有限差分学的一个部分出现的，并与有限差 分学同时发展起来。动力系统的研究起源于十九世纪八十年代创立的微分方程定性理论， 或称微分方程的几何理论，其精神是不通过微分方程的显示解而点接研究解的几何和拓扑 性质。1 7 世纪裂1 8 世纪，伯努剩、欧拉、斯特拣、牛顿等在研究蹑数 羞法季羹缝合计数闻 题的同时建立了差分方程理论。此后随着对数值分析、离散数学以及各种数学物理问题的 深入研究和计算机技术的发展，差分方程理论得到进一步的发展( 见文献。 由于放生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能 给出解的解析表达式，为了得到近似解或研究解的性质，这时需要把方程加以离散化，研究 对应的差分方程。差分方程( 或递归序列) 被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数 字化，它反映的是关于离散变量的取值与变化规律，针对要解决的闻题葶| 入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系建立离散变量所满足的平衡关系等式， 从而建立差分方程。通过求出或分析方程的解，或者分析得到方程的解的性质( 有界性、收 敛性、蜀期性、全局渐近稳定性、平衡点的吸弓l 区域等) ，从而把握这个离散变量变化的规 律，进一步再结合其它的分析得到原问题的解。如在求解概率问题时，常会遇到某些量的递 归求解问题，如果采用通常的递归求法比较麻烦，而在差分方程理论中有关于一阶，二阶 差分方程的求解方法，通过确定递推关系来求，这样在求解概率闻题时可以将注意力敖在 概率模型上，找出递推关系盾再直接利用差分方程理论求解，即可简便、有效( 见参考文献 【2 】) 。从本质上来说，凡是变量的离散值存在某种递推关系的现象，都涉及到差分方程，而 且离散模型更有利于计算机进行数字模拟帮迭代计算。随着科学技术的进步与发浸，在物 理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学和经济学等许多自然科学和边缘学科的领域中 提出了大量由差分方程描述的具体数学模型。差分方程是用来描述自然现象变化规律的一 种有力工具，差分方程的应用不仅限于信息，电子科学，在许多科学与技术领域中都彳辱到广 泛应用( 觅文献( 3 娟1 ) 。同时，数学学科的其它分支也开始从离散动力系统及差分方程的角 度研究其领域的相关问题，因此差分方程已成为当今科技工作者必不可少的数学工具。 对于遗# 线性差分方程，主要研究它的最终性态，包括全嚣性( 觅文献羚l 】) ，收敛性( 见 文献【1 2 _ 1 4 1 ) ，有界性( 见文献【1 5 - 17 】) ，周期性等对二阶差分方程的研究已比较成熟( 见文 献f 1 3 _ 2 4 】) ，当然还存在许多未解决的问题，此外人们对二阶以上的差分方程的很多特例也 进行了毙较详尽的研究f 觅文献【瑟_ 2 翻) ，甚至对某些高阶非宣治系统的差分方程 也进行了初步探讨( 见文献【9 q o ，2 9 _ 3 0 1 ) 。差分方程理论的研究历史比较短，但由于差分方程 的广泛的应用背景促使差分方程理论的研究迅速而深入的发展，尤其在近几十年时间发展较 为迅速，瘵现了一大批研究成果在这些成果中，毙较有影l 是的代表著箨有貉1 强r ，a g 韶黼t 1 9 9 2 年) 和【1 l 】( v l k o c i c ，g l a d a s ，1 9 9 3 年) 等。1 9 9 5 年，国际差分方程专业期刊j o u r n a lo f d i 骶r e n c ee q l l a t i o n sa n da p p l i c a t i o n s 的创立更加推动了差分方程理论研究成果的发展，为 差分方程研究酶交流与合佟提供了一个平台。该杂志的主编g 。l 越a s 教授把该研究领域孛 遇到不能解决的问题以“公开问题与猜想”的形式在杂志专栏上提出，激起了人们的研究兴 趣，促进了差分方程研究的发展。其中专著【1 l 】在介绍基本理论，总结已有结果与方法的基 广西大学硕士学位论文两类差分方程平衡点的吸引区域 础上提出了许多公开问题和猜想，供研究者去探讨。此外，专著【1 6 】在对二阶非线性差分方 程进行比较系统研究的同时也提出了许多公开问题与猜想，激起人们的广泛兴趣，促进了 差分方程理论的发展。本文主要研究专著【1 6 】中提出的两个公开问题，讨论了两类差分方程 的解的特点和平衡点的吸引区域。 1 2 差分方程z 叶1 = p + 等的知识背景 在文【1 7 】中，a m a m l e h 等研究了下面差分方程 + l = p + 塑兰，铭= 0 ，l ，( “)+ l = p 十- ， 铭= u 上， i 上l ， 其中p o ，得到了下面的定理： 定理1 1 ( 1 ) 方程( 1 1 ) 的每个正解有界当且仅当p 1 ； ( 2 ) 当p = 1 时，方程( 1 1 ) 的每个正解收敛于二周期解； ( 3 ) 当p 1 时，方程( 1 1 ) 的平衡点牙= p + 1 是全局渐进稳定的 在文献【1 6 】中， m r s k u l e n o v i ca n dg l a d a s 证明了： 定理1 2 若方程( 1 1 ) 的某个正解只有一个半循环，则这个正解收敛于正平衡 点 进一步，他们提出了下面公开问题： 公开问题a ( 见文献【1 6 】的公开问题4 8 1 1 ) ( a ) 当o o ，得到了下面的定理： 定理1 3 ( 1 ) 若g = 1 + p ，则方程( 1 2 ) 的每个正解收敛于二周期解； ( 2 ) 若l l 十p l 时，找出使方程 ( 1 2 ) 的正解有界的所有初始值的集合b ( b ) 讨论初始值属于露时，方程( 1 2 ) 的正解的收敛性 本文在第三章将解决上述公开问题 3 广西大学硕士学位论文 两类麓分方程平衡点的吸引区域 第二章差分方程+ t = p 十等平衡点的吸引区域 2 1 一些定义和引理 定义2 1 给出差分方程 彤n + l = ，( 竹，一1 ) ，船= o ，l ， 其中初始条件红乩黝) ( o ，+ 。) ( o ，+ o 。) ( 1 ) 如果点露满足孟= ，渖，雪) ，则称雳是此方程的个平衡点 ( 2 ) 如果此方程的解 彩虹) 罂一，满足。札一誊( 对任意托一1 ) ，则称 z 竹 甚一，为该方 程的平凡解 设方程 茹住l = + 竺1 2 爹 王) ，( 2 。l 茹住l = + l 蛰 p + l = i ， 即，( 1 ) c 另一方面，设( 钍， ) o 和( 搿，秒) _ 厂1 ( 钍，秽) - ( 札( 钞一p ) ，钍) ，由乱一牙和 秽 牙得 蓼= 珏一雪，z = 鼍毒( 蛰一p ) 碧， 即厂一1 ( l o ) cl 1 ，因此，( l 1 ) = 工o 设爹) 五。和( 链，管净，( 鬈，爹) = 爹+ 詈) 。由z = 叠和爹 牙， 缸。誊， 孟，u = p + 考 霹， 器i ，( 五o ) c 血。同理可证( 3 得 ( 4 ) 设( z ，可) a 3 和( ，秽) = ，( z ，) = ( 可，南) 由牙 掣和o z 圣和茹 圣，得铭 孟因梵 是同胚映射，且u l l u ( 牙，孟) ) 是a z 的边界，又，( l 1 ) = 和，( 玩) ca 4 ，所以有 趣u lc ，a 2 ) ca 2 u l u a 4 。同理可证a l u 霞lc ，( a 1 ) ca l u 援l u a 3 ， 引理2 2 设o 焉) 因为o 叠，有 茹( 一p ) 一( p 十搿搿) 一 ! 二婴i 篓二型妻二碰g 二趔 口( 茹一p ) 0 p + 影嚣一妇吲”p 遍) 一鬻 。， 设( 吨跏) 笆铂由引理2 ，l ，我们可得；对任意的批1 ， ，圳咒氐卜他州：p + 耳 露+ 因此礼彩。l g 瓣由引理2 。2 ，我们可得n 一十o o 同理可证：如果( 茹乩黝) a 3 ，那么l i 礤z 飙。十 十o 。 引理2 4 设p ( 挚，1 ) 且嚣 矽十l ，则，( = ( 1 一p ) 3 ，2 + 铲一$ ) 秒十嬲在( o ，p l1 ) 上关于y 递减。 证明因为p ( 掣，1 ) ，所以有p 2 十p l o 我们对，( 掣) 关于y 求导可得 ，( 秽) 一2 ( 1 一p ) 矽+ 护一嚣 彤凯羔垒生 o 。 嚣2 站一l p ( 1 一p ) 搿l 婶+ 仞2 一彤2 ，l 1 ) 霈孰十雕2 拜一l 6 广西大学硕士学位论文 从而有 两类蔗分方程平衡点的吸引区域 0 2 托一l z 2 n l p ，。z 2 札 9 2 珏 p + ：= 希= z 2 珏+ 2 爹+ 蔫尹 + p z 2 n l 引理得证 引理2 蔫设学 p l 且 茹辩 是一l 是方程( 2 1 ) 的初始条件扣吨铂) 麓4u 叁 的解，则 z 。) 罂。是无界的 证明不失一般性，我们假设( 鬈“鞠) a 4 ，露理可证p 乩翻) a 3 时，该引 理也成立) 由引理2 5 ，我们只需考虑三种情况； 情况( 1 ) ：z l 舅l 裙z o 观由方程( 2 。1 ) ，我们有 z 1 ：p 十挚p + 翌： z 1 - p 十言曼p + 云鄙3 ， z 2 ：p + 粤p + 翌：茹| 羹 霉l 3 通过递推可证：对任意的n o ， 碧 r 。否则，若m = r ，则有z 2 m l z 2 敝+ l 霉2 m + 3 且 嚣撕z 2 m + 2 $ 2 m + 4 ，从而有 矛盾由上知 他r + 1 ，有 由引理2 情况 z 2 格+ 4 由 z 2 m + 2 ：p 十! 堕 z 2 魄+ 1p + 兰垫型童：z 2 m + 4 。z 2 m + 3 z 2 r l z 2 r + l 。2 r + 3 且。2 r z 2 r + 2 z 2 r + 4 由 瑟 嚣2 嚣一l 茹2 站+ l ，鬈2 拜9 2 荔+ 2 o 。 2 ，可得l i mz 2 n 一1 = + o 。 n + o o 递推可得：对任意 ( 3 ) ：鬈一l 岔l 且髫o 2 。记碍= 礅l 鼗 是：鬈2 奄十l 露2 凳+ 3 季羹r l 矬i 狂 走：茹2 奄+ 2 引理2 5 ，得m r 下谖溉 r 。否则，若 髫2 m + 4 所以有 m = r + 。， 爨l 茹2 m l 舅溉+ l 霪2 嫩+ 3 且髫2 m 9 2 m + 2 n z 孙= 季，矛盾由上可得茹2 m t z + 1 黝( p ) = p ) ， 煲| 蓼= 毳3 ( 茹) = 鳕1 ( ) 是从( o + 。o ) 到洳，+ 。) 的满的递增可导函数。假设当正整数 糟3 时，我们已经定义了k 是扶( 织+ o 。) 癸( 毳芸l ( p ) ，+ o o ) 的满的递增可导函 数记 茹一热l ) 一( ( 爹) 一筘) 爹( 爹 焱二1 0 砖) ， 则= 十。( z ) = 斌。( z ) 是从( o ，+ ) 到( k 1 ) ，+ o 。) 的满的递增可导函数用这种 方法，我们构造一个递增函数序列s ，= ( z ) ( z o ) 令p o = a 2 ，q o = a 1 对任意札l ，记 f k = ，一1 ( f 一1 ) ，q n = ，一1 ( q n 一1 ) ，l 鼐= ，一1 ( l 竹一1 ) ，j k 一，一1 ( j k 1 ) ( 2 2 ) 由引理2 1 得：毛2 = ，一1 ( 五1 ) c 岛，硒= ，一1 ( 露1 ) c 醌，韪= ，( 岛) c 岛，q l = ，一1 f q o ) c q 0 ，即对任意的n 1 ，有 五懿+ lc ! 一l ，j + lcq 妃一l ，乒kc 一l ，1 2 拜cq 张1 ( 2 。3 ) 设( 茹，耖) l 2 由，( l 2 ) 一l 1 ，( u ，秽) = ，( z ，! ，) = ( 3 ，p 十：) ，可得 p 曼：移：舅，爹：狂 叠。p 一= 移2 茹，爹2 狂 髫 因此z = p 2 ( 秒) = 耖 牙和厶2 = ( z ，彭) ：可= 忱( z ) ，z 孙同理我们可证r 2 = ( z ，秽) ：箩= 毳2 ( ) ，o 髫 蚕 因，是同胚映射，又，限) = 娲，粕u 互lu 饵垂) 是岛的边界， 且，( 五2 ) 一l 1 和，( 五1 ) = l o ，从而有 p l = ( z ，剪) ：牙 秽 茔 同理我们可得 ( l 一 ( z ，材) ： 2 ( z ) 暮 z ， 8 广西大学硕士学饿论文 一四类袋分方程平衡点的吸引区域 所以 z = 9 3 ( 秽) = ( 九2 ( 暑，) 一p ) 秒( 秒 牙) ， 五3 = 茹，萝) ：筝一毳3 ( z ) ，鬈 雳 。 同理我们可得 霞3 = ( z ，秽) ：箩= 是3 ( 苫) ，o z 童 。 因，是同胚映射，又，( p 2 ) = 最和lu 五2u ( 叠，孟) ) 是最的边界，且，( 己3 ) ：l 2 和 ，( 己2 ) = 五l 可得， 最一 ( ，箩) ：毳3 ( 嚣) 蓼 雪 + 同理我们可得 ( 7 2 一 ( ，箩) ：危2 ( ) 寥 挽3 ( 。) ，o 留 厨 ， 磁= ( 髫，蓼) ：爹= 毳聃g ) ，o 髫 碧 。 对任意正整数n 1 ， q 2 。 = ( 髫，箩；：磊2 摊( 髫) 爹 l 善2 辣l ( g ) ，8 茹 鬃 ， q 2 。+ l = = ( z ，可) ：忍2 竹+ 2 ( t ) 暑， 危2 竹十l ( z ) ，o 茹 童 ， p 2 n 一 ( z ，可) ：九2 竹+ l ( z ) 毫， 牙) ， l 您健+ l ： ( 髫，爹) ：j 毫2 锋+ l ( 鬈) 掰有 蚕 3 ( 。) 2 毳5 ( 茁) 7 毫4 ( 。) 2 如2 ( 茁) = 霉 ( 2 5 ) 由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 我们知道，对每个髫 o ，我们可以设 f ( 彤) = 。1 1 1 n 。a 2 霓+ l ( z ) ，g ( z ) = l i 攀忍孙 ) 拜_ 十。嚣_ 十。o 容易看出，当z 茁时，亿g ，当o 嚣费时，最倪 记b 是使方程( 2 1 ) 的正勰有界的所有初始值组成的集合，我们有下面的定 理 定理2 1 设o p l ，则b 一u ( 搿，季) u ，其中啊= ( z ，耖) ：f ( z ) 寥 ( 。) ，季 z 和溉一 。，爹) ：g ( g ) 秽f ，8 鬈 1 ) ， z 12 再瓦一( 垡 1 + p 1 j ( 3 1 ) 令d 一( o ，+ 。) ( o ，。) ，定义，：d d ，使得对任意酶( ，蓼) 廖， m m 吡，等) 髭然，若 茁靠 墨一l 是方程( 3 王) 的正解，受l 对任意的髓o ，托扛- l 鬈o ) = ( 秸砘) 记 a l = 固，i ) ( o ，动， a 3 = ( o ，虿) ( 瓦十。) ， 岛= 忙 ( o ，搿) ， 嚣l = ( o ，荔) 动， 么2 一簿，+ 。) ( 蚕，+ 。) ， a 4 = ( 虿，+ 。) ( o ，虿) ， 厶o = 虿) ( 搿，+ 。) ， 三l 一( 蚕，+ o 。) 瑟。 其中瑟= p + q l ，则d = ( u 叁la ) u 上ou 五lu 凰ur 1u ，碧) 】。 类似子引理2 1 和引理2 2 ，我们有弓 理3 1 和引理3 2 引理3 。l 关于，有下列结论成立： ( 1 ) ，：d ，( d ) 是同胚映射 ( 2 ) ，( 五1 ) = 五。且，( 三o ) ca 4 ( 3 ) ，( r 1 ) = 叠) p 一苁，孟) 且，( r 0 ) ca 3 ( 鸯，( a 3 ) ca 4 且，( a 4 ) ca 3 ( 5 ) a 2 u 三1c ，( a 2 ) ca 2 u 厶1u a 4 ，a 1u r lc ，( a 1 ) ca 1u 冗lu a 3 引理3 。2 设譬 羔爹 薹，且 茹辣 甚一l 是方程( 3 。圭) 的正解。 ( 1 ) 如果l i 啦2 n = o ( o ，+ 。o ) 且o p ，贝i j1 1 平2 圳一l = o = 勇。 n o 十o 。礼_ 十 ( 2 ) 如果l i 攀。2 拓一l = 务( o ，+ o 。) 且6 爹，则l i 举2 。= 务一童。 n _ 十o 。礼_ 十。 引理3 3 设g l + p l ， 甚一l 是方程( 3 1 ) 的初始条件( 2 吐。o ) ga 4 的正解 如果存在某个诏o ，使得z 2 。一l z 孰+ l 那么茁孰娩肘2 证明由( z - 1 ，渤) a 4 和引理3 1 知；对任意的托o ，有( z 2 犯“现似) a 4 我们只 广西大学硕士学位论炙 望叁茎坌查堡塑：量竺垦! ! 堕璺 需证当z 一1 z 1 时，有跏珏用反证法，假设z l z 1 且如 o 断言1 当z l 面时，有 ( 矿+ 口一1 一口z 一1 ) 2 4 ( g 一1 一p ) p q z l 芝o 那么有 断言1 的证明对函数9 ( z ) = 2 + 口一卜掣) 2 4 ( q 一1 一p ) p q z 求导数得 9 7 ( z ) = 2 q ( 1 + g z 一矿一g ) 一4 p 口( g l p ) 2 q 【( q 一1 ) 2 + p 2 + p ( 1 一q ) + p 】 ：2 9 【( g 一1 ) ( q p 一1 ) + p 2 + p 】 0 故当z 一。露时，有 p 2 + q 一1 一口z 一1 ) 2 4 ( q 一1 一p ) p g z 一1 ( 9 2 + 卯一2 q + 1 一p 2 ) 2 4 ( q 一1 一p ) q p ( q + p 一1 ) ：( q 2 2 口+ 1 一p 2 ) 2 + 2 口p ( 9 2 2 口+ 1 _ 二p 2 ) + ( g p ) 2 4 ( 9 2 2 9 + 1 一p 2 ) 删 ：( 9 2 2 口+ 1 一p 2 一p 口) 2 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 0 断言1 得证 由( 3 5 ) 式得 驴唑尘曲业嚅写至巫 ( 3 7 ) 或 水出生曲_ 嚅看至巫 ( 3 8 ) 断言2 我们有 ( ! ! 兰= ! 二芝二业翅耍二譬二堂二型! 二! 二丝2 牙( 3 9 ) 2 ( 口一1 一p ) 。二望查曼望型堂坠曼笙苎二二二二。 垦耋蕉坌查璺! 塑：墨竺垦! ! 堡堕 一一 r 1 ，乞赢，刀口寸王一r 1 耵口、曰| 吸畸i l 基螨 且 地趟超萼藉手正隧掣。( 3 - 1 0 ) 2 ( 鼙一l 爹) ；_ ：；( 3 1 0 ) 断言2 的证明因为 坠堕堡型型霉耍乏逦曼匦亚 z g 一王一爹， 所以只须证明 2 【g + p 一1 ) 这等价于 2 1 口+ 罢一1 ) ( 口一l p ) 一【1 十q ( 口+ p 一1 ) 一p 2 一刎 2 譬一矿一2 譬l 一帮t f 3 。圭l 墓薹五竺一2 9 + l 归so ，则( 3 1 1 ) 式显然成立若口2 一p 2 一幻+ 1 一眙 o ，( 3 1 1 ) 式相当于 一1 。 1 一 7u p j 叫 里j 垡；，+ 鼍：2 窜：r 一( 9 2 一p 主一幻+ l 一印) 辩+ 9 2 + 秽一2 譬一护+ 9 2 一矿一幻+ l 刚。 芝4 p 口( ( q 1 ) 2 一p 2 】 “1 整理得 2 十2 q 2 一驴一4 9 2 口2 4 9 十2 2 p 2 ， 这是显然的，故( 3 。9 ) 式成立下证( 3 。l o ) 式 嚣一l ( 垡一1 ) z l p2 坐墼型量b 雩享罩蓉匹叠正臣匾 2 ( 口1 一鼢1 一 3 豕砑两石崇斋篙每雨蔫藏 2 ( 垡一圭一纠f ( 1 + 秘一l 一矿一譬) v 飞i j i i i j 三? 蓄笋三亏事尹：运蓑i 吾三了f 三萧 等价于 。 。譬1 卅陬t 矿一g 十瓶而i 虿哥j 丽确锄h 一爹) ， 整理得 ( g 1 ) 以耳五= 万丽e 丽矿t 丽石 。 瓤( z l p ) ( g 1 ) ( 1 + 弘一l ，n 2 ) 雾驾野了二t p ) 一墨一1 7 ( 1 二篓t _ 篓：芝挈，则( 3 1 2 ) 式显然成立若轴。一，p ) ( 譬i ) ( 1 鼙舅一l 一矿一g ) o ，( 3 王2 ) 式专墓当予 一“1 0 1 ) 2 ( 1 + 归一l p 2 g ) 2 4 p g ( 口一1 一p ) z 1 j 4 p 2 尊2 ( 。一1 一p ) 2 锄( z 一1 一p ) ( g 1 ) ( 1 + 口z 一1 一p 2 一尊) + 国一1 ) 2 ( 1 + 够】一p 2 一护 广西大学硕士学位论文两类蔗分方程平衡点的吸引区域 整理得 粥( 茹一l p ) 2 一( 。一l p ) ( 鼙一1 ) ( 1 十擘z l 一扩一g ) + 国一1 ) 2 ( g l p ) 髫一l o 。( 3 1 3 ) 设矗( 。) 一p g ( 一p ) 2 ( 茁一p ) ( 蟹一1 ) ( 1 + g z 一矿垡) + ( 鼋一1 ) 2 ( 口一l p ) z 我们有 九7 ( z ) = 2 p g ( z p ) 一【( g 一1 ) ( 1 + 口z p 2 一口) + g ( g 一1 ) ( z p ) 一( 口一1 ) 2 ( q l p ) 】， 其中。的系数轴一2 9 国一1 ) l 且 z 杵) 黯一l 是方程( 3 1 ) 初始条件( z - 1 哟) a 3ua 4 的 正解，则 z 。 墨一。是无界的。 证明显然函数，( z ，秒) = 喈( g l + p 1 ) 关于z 递增，又因厂( z ，箩) = 蟹= p + 胃，数当z 时，溺数，关于箩递减 不失一般性，我们假设( 。扎跏) a 4( 当( z 扎茁o ) a 3 时同理可证上面的引 理i 出引理3 。3 ，我嬲只需考虑三种情嚣。 情况( 1 ) ：z 一1 z 1 且跏由方程( 3 1 ) 得 一警警咱。 由蜘2 2 得 因此 髫。等， 砣焘2 p ( z l + l g ) + ( 鼙一1 ) = p 十篇兰 所以有 一警警警 同理递推下去可得，对任意的n o ， 摩 z 2 n l z 2 珏+ l ，z 2 牲z 2 n + 2 0 。 广西大学硕士学位论文 - _ 两类麓分方程平衡点的吸引区域 由引理3 2 ，则l i 哪z 加一l 一+ 。 n 十0 0 情 z 2 奄+ 4 ) 况( 2 ) ：霉一l 由引理3 3 ， 婶l r 若m r ，则 。鲰+ 4 可得茹2 m + 2 p 9 2 蠡+ 3 帮r l 鞋i 珏 凳：鬈2 惫2 得l i mz 一1 = + o 。下设 n p p o 。 髫2 m lsz 2 m + l z 2 m + 3 且茹2 m 翌兰孕旦丰! ：生j ! ! 皇里：z 2 m + 2 搿2 m + 42 了j _ 磊：j 一1 f f i i ：；一3z 2 m + 2 矛盾由上知珏一t 又由 z 2 r 十l z 2 r + 3 且z 2 r 曼搿2 r + 2 z 2 r + 4 ， p z 2 r + 2 十q z 2 r + 1 规r + 32 i i i - 所以 丝等塑：鬈知恼 l 茹勿+ 矗 珏+ 2 锄+ 4 可得鳓+ 2 p ；，所以 孙+ 4 ：丝等塑丝喾塑：茹鼢跨 l + 髫2 r + 3王+ 嚣2 r 十5 由递推可得，对任意n r + 1 ，有 碧 z 2 托一l 窭2 髓+ l ，茹2 髓20 2 露专2 0 。 由引理3 2 ，贝0l i mz 2 n l 一+ n 4 + 。o 又因 情况( 3 ) ：z l z l 且髫o 。2 ，记r n = 狲l n 凳：。2 奄十l 茹2 南+ 3 和r l n i n 奄：霈2 静+ 2 搿2 船+ 4 ) e l j 引理3 3 ，得m 曼r 下证m r ， 若m = r 十o o ，贝0 。2 m l z 2 m + l ：，所以有 矛盾。若 一等高等 塑警生丝坚：髫2 m + 4 一 1 + z 2 m + 3 m = r = ，由弓| 理3 。2 得碧 l i 黪鬈钕= 曩。矛盾由上可得茹撕一l 茹2 m + l l 且 黯一，只由一个半循环构成，则 茹髓 罂一l 收敛于 正平衡点茗= 口十p 1 证明情形( 1 ) ：对任意羟一l ，o 髫孙小如果对某个翰，有譬一董 o z 瓤+ 1 一茹2 椎12 1 了i u 故有z 。叶，茁。n 也即奇数项是递增且有e 界的同理可证偶数项是递增且有上 界的。设l i 翠z 2 蚪l = 8 ，l i 翠z 2 。一坟则有 搏+ 。强_ + 。 p 6 一牮8 n2 酉， 矗= 絮， 从而有。一6 = 牙 情形( 2 ) ：对任意露圭，鬈羁碧= p + 霉一王。因为函数歹溆爹) - 喈在茹 ：时 关于可递减，所以对任意佗一1 努z n 善1 + 窜z n 茗时221 干i 尝 类似予睛形( 1 ) 可证：n 2 时n 茹钒2 瑟- 3 。2 主要结论 现在我们描述方程( 3 1 ) 的平衡点的吸引区域令局= 石，q o = 石对任意竹l ， 记 f k = ，一1 ( 尹去一1 ) ，q 摊= ，一1 ( q 露一1 ) ，五档= ，一1 ( 毛摊一1 ) ，j 一，一1 乏r 拜一1 ) 。 ， 由引理3 1 得：五2 = 厂1 1 ) c 玮，飓= 厂1 ( r 1 ) cq o ，p l = 厂1 ( 鳓) c 岛，q l = ，一1 ( q o ) c q o ，即对任意的魏l ，有 厶n + 1c 。产一1 ，f k 十lcq n l ，kcf k l ，q ，lcq n 1 记s 是使方程( 3 。1 ) 的正解有界的所有初始值组成的集合，则我们有下面的 定理 定理3 1s 一阳县。貔】u n 墨o r 】+ 证明设 z n ) 齄一。是方程( 3 1 ) 的初始值( z - l 蜘) s 的正解 如果秘“翻) n 是。矾，则对任意媳o ，有，蟪( g 矗翻) = 嚣髓函觏) 两，蓦p 够扎 箍一l 构成一个半循环，由引理3 4 得( 茹“黝) s 如果( 茁- l ，o ) n 函焉。对任意辣o ，茹函z o ) 玩，则，n ( 彤“如) 一- l 鼠) 忑， 即 z n ) - 器一l 构成一个半循环，由引理3 ，4 得( z “嚣o ) s 。 下设( z 乩z o ) d s ， z n ) 罢一l 是初始值为( z 吨蜘) 的方程( 3 。1 ) 的正解 1 6 广西大学硕士学位论文 两类麓分方程平衡点的吸引区域 如果( z 一1 ，z o ) a 3 u a 4 u ( u 圣1 l ) u ( u 墓l 诧) ，由引理3 2 得，2 一l ，铷) = l ，z 2 ) ( z ，夥) ：( z 一童) ( 可一搿) 季 ( 托2 ) ，教对任髫 垂= p 专垡一王，我们有 牙 3 ( z ) 5 ( z ) 九4 ( z ) 2 ( z ) 圊第二章一样，我们令f ( 髫) = 张毳2 暗l 缸) ，g ) = 社毳2 羁( 髫) 则有q 函r = ( 嚣潮： f 仕) s g 0 ) 1 7 广秘大学硕士学位论文鼹类差分方程平衡点的吸季l 区域 参考文献 1 ( 现代数学手册( 经典数学卷引言) 华中科技大学主编，华中科技大学出版社 2 】朱晓峰，姜玉英，差分方程在概率问题中的应用北京印莉学院学报，2 0 0 6 年o l 期 矧赵庭红，差分方程在银行信贷业务中的应用。甘肃科技，2 0 蕊年0 2 期。 【4 lj a c q u e sb e l a i r ，p o p u l a t i o nm o d e l 8w i t hs t a t 盼d e p e n d e n td e l a y s m a t h e m a t i c a lp o p u l a t i o nd 扩 珏a 黻i e s ，毛e c l l r en o t e si 鼗p u r e 勰da p p l 量e dm a 恚h e 搬a 专i c s ，糙8 f c e ld 矗猃瞪，n e w 均r 款也a s e l 一嚣。羚g k o n g ，1