（基础数学专业论文）某些非代数曲面上的向量丛.pdf

a c k n o w l e d g e m e n t s iw o u i dl i k eo i lt h i so c c a s i o nt oe x p r e s sm yd e e pg r a t i t u d e f i r s to fa l lt op r o - f e s s o ry i n 溉i 巍珏譬a n dh i sw i f ex u ec a i h u af o rt h e i rj c i n d n e s sa n dc o n s t a n th e l p s i n c e1 9 9 7 ，a n ds e c o n d l yt om yt e a c h e r s ，w a n ga n ，l i np i n g ，g u a nb i n g x i n ，a n d m ys c h o o l m a t e s ，s uj i a n b i n g ，l i uw e i m i n g ，z h a ox i a o x i a ，z h a oz h e n g a n g ，w h o h e l p e dm ei nt h o s ey e a r s i np a r t i c u l a r ，it h a n km a d a mc h e nf a na n dd o c t o r s uj i a n b i n gf o rt h e i rp a t i e n th e l pw h i l e1w a st p y i n gt h i sp a p e r l a s tb u tn o tl e a s t af e ww o r d 8c a n n o ta d e q u a t e l ye x p r e s st h et h a n k sio w e t op r o f e s s o rz h o ux i a n g y ua n dp r o f e s s o rl iq i n g z h o n g w h i l e1w a sp r e p a r i n g t h i sp a p e r ，t h e i re x p e r tg u i d a n c e ，k i n de n c o u r a g e m e n ta n df i n a n d a la i dp r o v i d e d aw a r m l ys t u d y i n ga t m o s p h e r ef o rm e i ti si m p o s s i b l ef o rt h ea u t h o rt of i n i s h t h i st h e s i sw i t h o u tt h ei n f o r m a t i v ed i s c u s s i o nw i t ht h e ma n dt h e i rh e a r t e dh e l p 。 2 彝8 0l i n g m a r c h 。2 0 0 a 掘扫毪e l a b s t r a c t l 胁l na l g e b r a i c 脚施_ 。ex ，s d a w a m a n b e r g e r 【s w 6 1 lh a ss h o w nt h a te v e r yt o p o l o g i c a lv e c t o r b u n d l ew h o s ef i r s tc b e r ac l a s sl i e si nt h en e r o n - s e v e r ig r o u po fx ，a d m i t sah o l o m o r p k cs t r u c t u r e 甄t h e 霸。扛噜l 攀幽f 8 话c a s e ，t h e 繇西 台黼c o n d i t i o n 龟洚n s ( x ) ( w h i c hi sa l w a y s 毯 c l 域 8 翠i sn o 妣秽s 谧c i e n t ，t h ew o r k so fe l e n c w a j g - f o r s t e r e f 8 2 a n d 弘莉豳i ep o t i e r b p 8 7 】s h o w e d w e r e c a l lt h a t8h o l o m o r p h i ev e c t o rb u n d l eo fr a r kro v e tac o m p l e xm a n i f o l di si r r e d u c i b l ei fi ta d m i t s n oc o h e r e n ta n a l y t i cs u b s h e a fo fr a n k 七w i t h0 2 ) w i t h 背1 ) 基z - 拭a n d z 锚， ，：( 盔，) 。( 极，一 ：( 乱，。t ) - + ( q 埘鼽， 矗丑 0 瓣| 2 ) w i t h 月- a ( x ) 皇z 日，a n d z 型 h = h i ，h m ，w h e r e h ：( ；l ， ，：( 钆，- ，o ( ) ) ，h 日 ，p n 薯1 ) w i t h0 l p l l i 心l l 1 i 001 椭圆的k3曲面0 12 0 2 2 10 非椭圆的k 3 曲面0 0202 210 椭圆的2 - t o r i 01046l2 非椭圆的2 - t o r i ，0004612 p r i m s r yk o d a i r a 曲面0 103412 s e c o n d m tk o d a i r a 曲面0 101 00 1 引理1 假设x 为投有除子的紧致复曲面，则x 上任意一个第一陈类为0 ，秩为2 的全 纯向量丛e ，都有c 2 ( e ) 20 定理1 设五是一个非椭圆的2 - t o r u s 或i n o u e 曲面，且e 为s l ( 2 ：c ) 丛，则e 上存 在全纯结构的充要条件为血( e ) 20 因而，x 上的每一个第一陈类为0 的，秩为2 的且 c 2 ( e ) 0 的向量丛e 上都存在全纯结构进而，当晚( e ) 0 时，e 上存在一个滤过 定理2 设x 是一个非椭圆的2 - t o r u s 或i n o u e 曲面，著e i s 2 ( x ，o ) ，则e 为准齐性的 定理3 若x 为维数等于n 2 的，没有除子的紧致复流形，则p i c ( x ) 在j 岛( x ，0 ) 上的 作用没有固定点设暇 1 8 2 ( x ，o ) ，i = 1 ，2 ，由下面的正舍序列确定 0 h o x _ 五_ 厶h0 若厶掌o x ，t = 1 ，2 ，则对于任意的线丛m p i c ( x ) ，都有毋掌马o m 定理4 ( i ) 若x 为i n o u e s 曲面，则在s u b - i s 2 ( 工，0 ) 和 0 时，e 上存在一个滤过 定理6 若x 是一个例外h o p f 曲面，则 ( i ) p i c ( x ) 在，兜( x ，0 ) 上的作用没有固定点 ( i i ) 映射 d ：s u b - s 2 ，0 ) + a 】 为双射其中d 的定义见正文。 ( i i i ) s u b j 岛( x ，0 ) 为p i ( ( x ) 在，& ( 一0 ) 上的作用的基本域 ( i v ) s 2 ( x ，0 ) 和a 】c + 之间存在一个一一对应。 博士擎位论文；幕警j 戎数遵面土的向量瑟 7 在本文中，我们还讨论了一类非主h o p f 流形上的线丛，且褥到必下结果； 定臻7h o p f 溅澎上懿线熬均势孚壤翡。 定鬻8 假定x 燕一个# 雅的h o p f 流形fn 2 ) 且w l ( 盖) 黧z 抒，卿辩于任意的绒丛 l 日1 ( x ，o ) ，我们可以得到如下等式， 情形1 ：n 3 ， 鼢0 一d i m k e r p 0 胪，1= d i mc o k e r p o 胪一 ；0 ，2 s 口篡“一2 护m 。l = d i m k e r p 1 ， h p - ”# d i m b 撑n l ， 情形2 ：n = 2 ， 胪，o ( 置q = d i m k e r p o ， 妒2 浮，l ) 一a 扣a o 暖，) ， 氘弘1 x ，l ) 张。( x ，五) + 矗，2 ( x ，二) 特别地，对于两类特殊的非斑h o p f 流形。我们宥如下结果t 定骥9 侯定x 悬个b 缑鳃h o p f 藏璐沁 2 且噩x ) 煞z f ，z 整 ，嚣= h i ，- 一，a 。 ，其中 ，：( 瓤，一，) h ( 卢2 1 ，p ) h ：( z i ，) ( a ( n ) z l ，。m ) “) ， h 豆，0 泌 2 ) ，f l ( x ) 裂z 日：藏z 望 圩= 机、，h ，薮中 h ：( 趣，) h 堪协趣，。，嚣辑知) ，h 鬣 ，： 锄，：n ) - 一( 芦i z 王- ，# 咄巍。j ， 0 0 的余维为2 的局部完全交z c x ，考虑下面的扩张： 0 叫o x _ _ m o 如一0 我们将证明满足条件c l ( e ”) = 0 和c 2 ( e , ”) = c 2 的秩为2 的向量丛确实存在 m o 如关于o x 的扩张与f , x t l ( m o z z ，o x ) 的元素一一对应 存在一个正合序列 0 _ 日1 ( x ，i t o m ( m o 易，o x ) ) _ 融1 ( m 国强，o x ) 一 ， r ( x ，胁1 ( 肘o z z ，o x ) ) 二_ 日2 ( x ，t t o m ( m o z z ，o x ) ) 由于z 的余维为2 ，且z 是一个由离散点组成的局部完全交，所以如是由常值 函数有限生成的。从而，可知 t t o m ( mo z z ，o x ) 岂m + 由于m 笋o x 且x 没有除子，所以俨( 墨m + ) = 0 类似地，可知i i o ( x ，m ) = 0 。 由于x 的典则丛为平凡的，根据s e r r e 对偶，- 2 ( x ，m ) = 日o ( x ，m ) = 0 。 另一方面，由于z 是一个由离散点组成的局部完全交，所以 f , x t l ( m o 勋，o x ) 兰0 z ， 上式蕴含着 e x t 1 ( f 。易o x ) _ r ( x ，。z ) 竺琴c 斗0 取誉c 的单位元在e x t l 。动，o x ) 中的原象，由文献 o s s s 0 可知，相应的扩张 0 _ 0 x _ p _ h i 茵i z _ 0 确定了个满足条件c l ( e ”) = e l ( o x ) + c 1 ( m ) = 0 和q ( ) = c 1 ( o | y ) c 1 ( m ) + d e g z = c 2 的全纯向量丛f 7 ，而且e ”与e 拓扑同构 情形2 ：x 为一个i n o u e 曲面。设e 是一个秩为2 的满足条件a 2 e 兰c | y 和 如= q ( e ) 0 的拓扑向量丛。由于r l ( e ) = r l ( 舻e ) = 0 ，如= o 的情形易证：由文 献f 、_ 、- l - 5 2 】可知，e 是拓扑平凡的，因此它有一个下凡的企纯结构。 现假定如 0 ，取满足条件l 笋 和m 掌工j j + 的线丛，6p i t 。( y ) 岂c 。， 以及一个满足条件d e g z = c 。 0 的余维为2 的局部完全交z 考虑下面的扩张 0 _ l _ 驴_ m 留z z _ 0 1 4 c h 2 主要结果 下面我们将证明满足条件c l ( ) = 0 和c 2 ( e ) = c 2 的秩为2 的向量丛e ”确实存 在。m o 忍关于工的扩张与e x t l ( m 昆，l ) 中的元素一一对应。存在一个正合 序列 0 一日1 ( x ，h o m ( m o z z ，l ) ) _ 脯1 ( m o 勤，工) _ r ( x ，e x t l ( m o 勋，工) ) 日2 ( _ y ，h o m ( m 功，工) ) 由于z 的余维为2 ，所以 h o m ( m o ，工) 兰m + o l ， 因为l 譬m 且盖没有除子，所以h o ( x ，m o 工) = 0 类似地，可得 日o ( x ，m 圆f 固) = 0 由s e r r e 对偶，可知日2 ( x ，m o 工) = 0 根据p d e m a n n - r o c h 和文献 h 7 4 】，可知， 日1 ( x ，m + o l ) = 0 另一方面，由于z 是由离散点组成的局部完全交，所以 e x t l ( m o 乃，l ) 垡o z ， 上式蕴含着 e x t l ( mo z z ，二) 璺r ( x ，o z ) 兰誉c 取蚕c 的单位元在瞄1 ( m o z z ，l ) 中的原象，根据参考文献 o s s 8 0 ，相应的扩张 0 _ 工一e _ m o z z _ 0 确定了一个满足条件c t ( e ”) = 0 和c 2 ( 掣) = d e g z = c 2 的全纯向量丛。 推论2 1 1 设x 是一个非椭圆的2 - t o r u s 或i n o u e 曲面，则x 上满足c 1 ( e ) 0 的 秩为2 的向量丛曰上存在全纯结构进而，当( 2 2 ( e ) 0 时，e 存在一个可滤的 全纯结构 在文献f m 删中，d m a l l 证明了一般的h o p f ( g e n e r i ch o p f ) 益面上的秩为2 的 满足条件c 2 ( e ) = 0 的可滤的向量丛e 都是准齐次的，并且在经典的h o p f ( c l a s s i c a l h o p f ) 曲面上，集合j s j 僻，0 ) 中的向量丛只有平凡丛是齐次的。 在文献 e f 8 2 】中，e l e n c w a j g - f o r s t e r 证明了2 - t o r u s 上的秩为r 2 的陈类为零的 单丛都是齐次的在本文中，我们有以下结果： 定理2 1 2 假定x 为非椭圆的2 - t o r u s 或i n o u e 曲面。若e i s 2 ( x ，o ) ，则e 为准 齐次的 证明：根据文献 e f 8 2 中的定理2 2 ，存在一个正合序列 其中厶m p i e ( x ) 且z c x 是一个余维为2 的子空间。由于c 2 ( e ) = 0 ，z 必定为 空集。m 关于工的扩张与h 1 ( x ，h o m ( m ，三) ) 型h 1 ( x ，m + 二) 中的元素一一对应。 下面我们分两种情况讨论 情形1 ：x 是一个非椭圆的2 - t o r u s 。可证 ror 型1 ， ( x ，吖。工) 2 ；：。l ；菇 事实上，若l 兰m ，则d i m h l ( x m $ 工) = q = 2 。另一方面，若l ，则 h 0 ( x ，n o 工) = 0 。否则，取满足s 0 的s h o ( 一， f 4 圆“，则+ 8 l 兰o x ( d ) ， 2 1 一类没有除子的曲面上的向量丛 其中d 是由截面s 决定的除子由x 没有除子，可知m l 型o x ，该结论与 l 笋m 的题设矛盾类似地，可得口o ( 置m l ) = 0 ，另一方面，由于x 的典则 丛是平凡的，根据s e r r e 对偶，可得 z 产( x ，m o 工) = 三产，m o l ) = 0 由于 x ( x ， f + 固二) = x ( x ，o x ) + ；( c 2 + c l c ) = ；c 2 其中c 1 = c l ( x ) ，c = c 1 ( m + o l ) 另一方面， 0 = ( e ) = 4 c 2 ( e ) 一c 1 ( e ) 2 = 4 c 1 ( l ) c i ( m ) 一( c l ( 工) + c l ( ，) ) 2 = 一c 1 ( m + o 工) 2 因此x ( x ，m o l ) = 0 该式蕴含着日1 ( 蜀m o l ) = 0 。 现在我们有两种可能，我们将证明第二种可能不会发生事实上，若 d i m h l ( x ，m o l ) = 0 则m 关于工的扩张总是平凡的，即e 鲁m 毋l ，该结论与e 不可分解矛盾。因 此，可得 0 l _ e _ l - - - 40 工关于工的扩张与日1 ( 盖，h o m ( l ，三) ) 岂h 1 ( x ，o x ) 中的元素一一对应。 对于任意的r a u t ) ，令r + 作用在下面的正合序列上 0 l e l _ 0 司得 0 斗，l _ + 下e 斗r l 斗0 且r 工关于r 工的扩张与日1 ( x ，h o m ( v l ，r 工) ) 垒h 1 ( x ，o x ) 中的元素一一对应 因此，r 在日- ( x ，o x ) 上的作用是平凡的，该结论蕴含着r e 鲁e 。因此，e 为 准齐次的 情形2 ：x 为i n o u e 瞳面，可证 f 1 ( x ，m 圆l ) = 【 三兰m l ma n d m 0l 掌k 工掌ma n d m ol 垒k 事实上，若l 掣m ，则d i m h l 伍，m o l ) = q = 1 。若l 笋m 且m 圆l k ，即 m o l o 耳掣p x ，由于x 没有除子，可得俨( x ，m o 上) = 0 和日o ( x ，m l ) = 0 。 由于x ( x ，m + o l ) = 0 ，根据r i e m a n n r o c h 定理，可得h l ( x ，m o 工) = 0 。 若工笋m 且m 圆l 型k ，则日o ( x ，m + 国l ) = 0 ，且 日2 ( y m 4 冀工) 掣日2 ( 一) 兰o ( y 0 n ) 型c 根据r i e m a n n ，r o c h 定理，可得d i m 日1 ( 凡，n + 学l ) = 1 。 现在我们有三种可能。我们将证明第二种和第三种可能不会发生。事实上，第 二种情况的排除与非椭圆的2 - t o r u s 的情形类似，在这里我们略去证明的细节。 1 6 c h 2 主要结果 至于第三种可能，若d i m h l ( x ，m o 工) = 1 且l 笋m ，m + o l 掣k 用m 张量 上下面的正合序列 可得 0 一工_ f _ 埘_ 0 0 一m o 工一m 。o e 一0 x _ 0 即 0 _ 肖_ m + o e - - - - 4 0 x 叫0 o x 关于k 的扩张与h 1 ( x ，i - i o m ( k ，d x ) ) 粤h 1 ( x ，k 4 ) = 0 中的元素一一对应，该结 论蕴含着m 圆e 掣k o o x ，即e 型m o 耳o m ，其中是非平凡的。该结论与 e 是不可分解的相矛盾因此，可得 0 _ 工一e 一工一0 余下的证明与非椭圆的2 - t o r u s 的情形完全类似 定理2 1 3 假定x 为非椭圆的k 3 曲面，贝4j 岛( x ，0 ) 为空集。 证明t 假设3 e x s 2 ( x ，0 ) ，则存在厶m p i e ( x ) ，使得下面的序列为正合序列 0 _ 工_ e m 叫0 其中的线丛l 和盯的存在性由文献阻f 8 2 j 中的定理2 2 保证m 关于工的扩张与 h 1 ( x ，l o m ( m ，l ) ) 型日1 僻，m + o 工) 中的元素一一对应要么l 岂m 要么l 掌m ， 下面我们分情况讨论 情形1 ：若l 望m ，则d i m h l ( x ，m o 工) = q = 0 ，该式蕴含着工关于工的扩张 总是平凡的从而e 型l s l ，该结论与e 是不可分解的相矛盾 情形2 ：若l m ，则m o 工喾翰且m l 乒巩由x 没有除子，可得 日o ( x ，m o l ) = ，0 和日o ( x ，m + o l ) = 0 。由于x 的典则丛为平凡的，根据s e r r e 对 偶，可得h 2 ( x ，m 。o 三) = 0 根据r i e m a a n - r o c h 定理，可得 埘( 置m + 。工) - _ ；c ( m 。驴+ 2 由于n s ( x ) = 0 且 - ( m + o l ) 是一个非负的整数，矛盾因此，岛( x ，o ) 是空集。 定理2 1 4 假定盖是一个i n o u e 曲面，则在集合s u b i s 2 ( x ，0 ) 和 0 ，1 ) 之间存在 一个一一对应 证明：设吲s u b - i s 2 ( x ，0 ) ，则存在【l 】p i e ( x ) ，使得下面的序列为正合序列 0 _ 0 x _ e _ 工_ 0 由于e 不可分解，必然有 日1 ( j y ，h o m ( l ，o x ) ) 兰日1 ( x ，p ) 0 根据文献 i n 7 4 中的引理1 ，要么r 岂o n 要么l 掣地。确切地说，我们可得 h 1 ( x ，0 x ) = g = 1 和 j 。( x k y ) = 7 ，( x k x ) + ( x k 、) = i j + ( 一0 x ) = 1 根据文献 e f 8 2 i ，对于一个没有除子的流形l 和其上一个给定的秩为2 的向 量丛e ，存在惟一一个正合序列 0 _ n e _ m 避：i z _ 0 2 1 一类没有除子的曲面上的向量丛 其中 m p m ( y ) ，z c y 是一个余维为2 的局部完全交或空集。 因此按以下规则定义的映射 d ：s u b - i s 2 ( x ，0 ) o ，1 ) 是一个一一对应若e s u b - i s 。( x ，o ) 使得下面的序列为正合序列 0 _ 0 y _ _ e _ 0 j y _ 0 则定义d ( e ) = 0 ；若e 使得下面的序列为正合序列 0 0 x _ e _ 耳+ _ 0 ， 则定义d ( e ) = 1 定理2 1 5 假设x 是一个非椭圆的2 - t o r u s ，则s u b - i s 2 ( x ，o ) 只有一个元素国， 且下面的序列为正合序列 0 _ 0 x _ e _ p x _ 0 1 7 证明；假定【司s u b - i b 2 ( x ，0 ) ，则存在lep i c ( x ) ，使得下面的序列为正合序 列 0 o x - - - f e _ l - - + 0 可证 h 1 ( x ，l + ) = ；：球l “- o x , 事实上， 1 ( x ，o x ) = q = 2 ，若工喾o x ，由于x 没有除子，从而h o ( x ，工+ ) = 0 = 日o ( x ，l ) 根据s e r r e 对偶，可得日2 ( x ，l ) = 0 。由p d e m a a n - k o c h 定理，可知 且1 ( x ，工+ ) = 0 第二种可能性可以排除掉，否则，可得e 皇呶。工，该结论与e 为不可分解的事实相矛盾。因此e 使得下面的序列为正合序列 0 _ d x 叫e _ 仉_ 0 并且由于非椭圆的2 - t o r u s 没有除子，e 的扩张惟一 定理2 1 6 假定x 是一个没有除子的n 维紧致复流形m 2 ) 若i s 2 ( x ，o ) 非 空，则p i c ( x ) 在j ( x ，0 ) 上的作用没有固定点。 证明：设【司i s 2 ( x ，o ) ，则存在线丛，m p i c ( x ) ，使得下面的序列为正合 序列 0 _ n _ e _ m _ 0 假定存在l p i c ( x ) 满足l 掌o x ，使得e 兰e o l ，则可得下面的图表 而且，要么p o 汪0 要么p o i 0 。 0 上 01 m l g _ p l o e i， ；斗 _0 1 8c h2 主要结果 若po i = 0 ，则i r a ick e 印= i m q ，该结论蕴含着存在一个非零的映射s j x o ( x ，t t o m ( n ，no 工) ) 垒i i o ( x ，l ! ，而它与日o ( x ，l ) = 0 的事实相矛盾。( l 学0 x 且x 没有除子蕴含着t t o ( x ，三) = 0 ) 类似地，若p o i 0 ，则驴( x ，i - i o m ( n ，m o 三) ) 兰i - o ( x ，n 圆m l ) 0 因此， n o m o l 掣o x 扩张 0 一n _ e _ m 二_ 0 必是平凡的否则，e 掣n o m 与e 不可分解相矛盾因而， 丑o ( x ，t t o m ( n ，a f ) ) 些- - o ( x ，n + 圆m ) 0 ， 蕴含着n 。o m 垒0 x 归纳上述内容，可得l 垒o x ，该结论与题设l 喾0 x 矛盾。 定理2 1 7 假定x 是一个没有除子的n 维的紧致复流形22 ) 且i s 2 ( x ，o ) 非 空设嘧】j 岛( x ，0 ) ，i = 1 ，2 ，由下面的正合序列确定 0 _ o x _ 置一厶_ 0 若厶雾o x ，i = 1 ，2 ，则对于任意的m t i e ( x ) ，蜀笋岛固m 证明：首先，由阻】和【岛】为岛( x ，o ) 中两个不同的元素，可知e z 笋最o o x 假设存在m p i e ( x ) 满足m 笋o x ，使得日型马o m 则可得下面的图表 0 上 o x 1q 0 _ m 岛圆m _ l 2 0 m _ 0 l p l l 上 0 要么p o i = o 要么p o i 0 若p o i = 0 ，则i m i c k e r p = i m g ，该式蕴含着 日o ( x ，t t o m ( m ，o x ) ) 皇t t o ( x ，m ) 0 事实上，由m 掌0 f y 和工没有除子，可得t i o ( x ，m + ) = 0 若p o i 0 ，则胛( x ，t t o m ( m ，l 1 ) ) 兰t t o ( x ，m + o l l ) 0 ，该式蕴含着m 固l l 兰 o x ，即m 兰l 1 因此，e l 兰马o m 兰岛o l ，且可得下面的正合序列 0 _ o x _ 岛。工1 _ 工l _ 0 从而可得下面的图表 0 _ q _ 奶一以_ 0 由于岛是不可分解的，下面的扩张必是平凡的 0 _ 日_ e _ o x _ 0 从而， 日”( 工i - i o m ( l ：，0 x ) ) 掣h o ( 一l 1 ) o 上式蕴含着l 型o x ，该结论与l ，掌0 、，i = 1 2 的假设相矛盾。 定理2 1 8 假设x 为一个k 3 曲面，不一定为非代数的，则一上不存在秩为 2 j 一类没有除子的曲面上的向景丛 r 2 的陈类消失的单丛 ， 证明：假设e 是一个秩为r 的陈类消失的单丛，则 日o ( x ，e n d e ) 望c ， 由于x 的典则丛是平凡的，根据s e r r e 对偶，可得日2 ( x ，e n d e ) g 日o ( x ，e n d e ) 由r i e m a n n r o c h 定理，可得 x ( x ，e n d e ) = h o ( x ，e n d e ) 一h 1 ( x ，e n d e ) + h 2 ( x ，e n d e ) = r 2 x ( x ，o x ) + 一一1 ) c l ( e ) 2 一r 2 q ( e ) 从而， 1 ( x ，e n d e ) = 一( 2 r 2 2 ) 0 这是不可能的 推论2 1 3k 3 曲面x 上的陈类消失的秩为2 的向量丛e 上存在一个滤过，且 有表示e 垒嚷 证明：由定理2 1 8 ，陈类消失的秩为2 的向量丛不是单丛，而非单丛蕴含着 其上存在一个滤过根据文献 e f 8 2 中的定理2 2 ，存在l p i c ( x ) 使得下面的 序列为正合序列 0 _ 二_ e 一工_ 0 二关于工的扩张与日1 ( x ，h o m ( l ，工) ) 望h 1 ( x ，o x ) 中的元素对应但是m ( x ，o x ) = q = 0 ，因而l 关于工的扩张总是平凡的，它蕴含着e 垒lo l 。由q = 0 可知 n s ( x ) 是平凡的且所有线丛都是平凡的，从而，可知下面的映射为单射 0 斗日1 ( x ，d + ) 三b 日2 ( x ，c ) ， 其中c - 为陈映射因此，e 垒d 曼 在文献田r 9 6 】中，v b r i n z a n e s c u 证明了：设x 是一个满足n s ( x ) = 0 的2 - t o r u s ， e 是x 上的秩为2 的拓扑向量丛，且满足c 1 ( e ) = 0 ，句( e ) = 1 ，则e 上的单的全 纯结构的模空间m 铲是一个6 维的复流形。 由于k 3 曲面的n s ( x ) 总是平凡的，且k 3 曲面是l d i h l e r 的，我们禁不住想对 于k 3 曲面上的满足c 1 ( e ) = 0 和c 2 ( e ) = 1 的秩为2 的向量丛e ，会发生什么? 正如下面的定理所示，其结果与2 - t o r u s 的情形截然不同 定理2 1 9 设x 是一个k 3 曲面，不一定是非代数的，则x 上不存在满足条件 c l ( e ) = 0 和。2 ( e ) = 1 的秩为r 的单丛e ，其中r 22 。 证明；若e 是一个满足条件c ，( e ) = 0 和c 2 ( e ) = 1 的秩为r 的单丛，则 1 ( x ，e n d e ) = 2 一r 2 m ( 2 ，c i ) 。根据文献 田p 8 7 l 中的定理( 0 1 ) ，存在满足条件c 1 ( e ) = c ，和e 2 ( e ) = c 2 的秩为2 的可滤的全 纯向量丛昱，根据文献i b h 8 9 】和1 7 t a 8 2 ，x 上满足c 2 ( f ) = n 2 1 的秩为2 的稳定 的s l ( 2 ，c ) 向量丛f 的模空闻是f 上的个光滑的，非空的复4 n 维的s u ( 2 ) 瞬 子 因此，存在一个满足c l ( f ) = c 和c