（应用数学专业论文）细分曲面与经典样条曲面的融合.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 细分方法已成为曲面造型的有力工具但是，让细分曲面进入现有的造型 系统，与n u r b s 曲面相融合，仍有大量工作要做本文围绕d o o s a b i n 细分f f f f 面、c a t m u l l c l a r k 细分曲面与n u r b s 曲面的融合展开研究，以便构造自由型 曲面时可以使不同的造型方法紧密结合，扬长避短 首先，研究了二次c b 样条和d a o s a b i n 曲面的性质，给出了基于二次 c b 样条生成d o o s a b i n 曲面的算法这一算法不但能够生成圆柱面、圆锥面 等常规工程曲面，而且通过c b 样条引入的控制参数还可以调整曲面的形状， 从而使得这样的细分曲面具有跟n u r b s 方法相同的生成二次旋转面的特点 然后，探讨了非均匀c a t m u l l c l a r k 细分曲面和n u r b s 曲面的联系，在 用非均匀c a t m u l 卜c l a r k 细分方法的轮廓删除模式构造n 边曲面片的基础上， 为n u r b s 曲面的混合和n 边洞填充给出了具体算法同时，还考虑了用非均匀 c a t m u l l - c l a r k 细分模式构造n 边曲面片的另一方法一一角点插值法，通过改 变边界附近的边所对应的参数，把角点插值法归入了非均匀c a t m u l 卜c l a r k 细分方法的轮廓删除模式，并由此给出了n 边洞的个填充算法，填充曲面 和基曲面拼接 本文给出的算法都已在微机上实现实验表明，本文的算法简单、有效 关键字：细分曲面，c - b 样条，o o o s a b i n 细分曲面，c a t m u l l c l a r k 细分曲面，n i j r b s 曲面，曲面混合，n 边洞填充 细分曲面与经典样条曲面的融合 a b s t r a c t s u b d i v i s i o nm e t h o di sn o wb e c o m i n gap o w e r f u l i m p l e m e n to fs u r f a c e r e n d e r i n g t h ep u r p o s e o ft h i s p a p e r i st o s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n d o o s a b i ns u b d i v i s i o ns u r f a c e 、c a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c ea n dn u r b s s oa st oi n t e g r a t es u b d i v i s i o nn l e t h o dw i t hn u r b sm e t h o d b a s e do nd o o s a b i ns u b d i v i s i o ns u r f a c ea n dq u a d r a t i cc bs p l i n e s ，w ep u t f o r w a r da na l g o r i t h mt h a tb u i l d sak i n do f q u a s i d o o - s a b i ns u b d i v i s i o ns u r f a c e w i t ht h e i n d r a u g h i o ft h eb a s i cf u n c t i o ni nc - bs p l i n e sw h i c hc o n t a i ns i n e f u n c t i o n ，c o s i n ef u n c t i o na n dc o n t r o l sp a r a m e t e r , t h en e wa l g o r i t h mc a ng e n e r a t e g e n e r a le n g i n e e r i n g s u r f a c e ss u c ha sc y l i n d e rs u r f a c e a tt h es a m e t i m e ，o w et ot h e c o n t r o la c t i o no ft h ec o n t r o l sp a r a m e t e r , t h er e c o n s t r u c t i v es u b d i v i s i o ns u r f a c e k e e pc o n s i s t e n c e w i t hd o o - s a b i ns u b d i v i s i o ns u r f a c e a n o t h e rw o r ki nt h i sp a p e ri sa b o u ts u r f a c e b l e n d i n ga n dn - s i d e dh o l ef i l l i n g b a s e do nt h en s i d e ds u r f a c ew h i c hi sc o n s t r u c t e db yn o n - - u n i f o r mc a t m u l l c l a r k s u b d i v i s i o nm e t h o da n df i g u r ed e l e t i n gm e t h o d ，w e p r e s e n tt h em a t e r i a la l g o r i t h m t ob l e n ds o m en o n - u n i f o r mb i - c u b i cb - s p l i n es u r f a c e sa n dt of i l la nn s i d e dh o l e w h i c hi ss u r r o u n d e db yn o n u n i f o r mb i c u b i cb s p l i n es u r f a c e s w h a t sm o r e ，b y c h a n g i n gt h ep a r a m e t e ro ft h es i d e sn e a rt h eb o u n d a r y , w ep u tf o r w a r da n o t h e r m e t h o dt oc o n s t r u c tn - s i d e ds u r f a c ew h i c hb u i l dt h es u r f a c ei n t e r p o l a t i n gc o m e r v e r t i c e sa n db o u n d a r yc u r v e s t h i sn - s i d e ds u r f a c ei sa l s of a l l e nu n d e rt h e n o n u n i f o r mc a t m u l l c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c ew i t hf i g u r ed e l e t i n gm e t h o d a n a l y s i s a n dd e m o n s t r a t i o ns h o wt h e f e a s i b i l i t y a n d e f f i c i e n c y o ft h e a l g o r i t h m s k e yw o r d s ：s u b d i v i s i o ns u r f a c e ，c - bs p l i n e s ，d o o s a b i ns u b d i v j s i o ns u r f a c e ， c a t m u ll c l a r ks u b d i v i s i o ns u r f a c e ，n o n u n i f o r mb i c u b i cbs p l i n es u r f a c e ，s u r f a c e b l e n d i n g ，n s i d e dh o l ef i l l i n g 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用的 内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文 中以明确方式标明 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件， 允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名蚀汴詹 作者签名：z 型! ! ! 互 e t 期：递! ：型 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 在计算机辅助几何设计中，以传统的n u r b s 方法为代表的造型表示方 法已经取得了非常成功的应用而细分曲面技术改变了传统的用解析表达 式准确描述曲面的做法，采取离散一离散的方式表示曲面，能够基于任意 拓扑结构的网格进行曲面造型，是近年来国际上相当活跃的研究课题 本章首先对这一课题的历史背景、研究内容、研究状况进行系统的回 顾 1 1 细分方法的形成 1 1 1 几何形体表示和造型的主要方法 几何形体造型的表示，一直是c a g d 研究的核心内容，它可以归纳为 以下四类方法：一、多边形网格表示方法；二、参数表示方法；三、隐式 表示方法；四、- 细分表示方法 多边形网格表示方法是最直接的表示方法，在计算机图形学诞生之时 就已经开始使用，它的最大优点是数学模型简单它直接使用点、直线段 和平面片来逼近真实的形体，因此容易理解，适于绘制在具体系统中， 它往往是其它表示方法和绘制模块的中间媒介 参数曲线曲面表示一直是描述几何形状的主要工具它起源于飞机 船舶的外形放样设计工艺，其基本思想是以一组基函数为权因子，利用 组初始控制向量的线性( 或有理线性) 组合来得到形体的连续表示典型 的曲线曲面参数表示，2 0 世纪6 0 年代是c o o n s 技术和b e z i e r 技术，2 0 世纪7 0 年代是b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代是有理b 样条技术至8 0 年 代末，非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ) ，即n u r b s 成为曲线曲面描述中最流行的技术1 9 9 1 年国际标准组织i s o 颁布的工业 数据交换标准s t e p ，将n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方 法 以隐函数定义几何物体的方法也比较常见在三维空间情形，我们可 细分睦面与经典样条曲面的融合 以用不等式z ( x ，y ，z ) 20 所定义的半空问来描述实体，用( x ，y ，：) = 0 所定 义的空间边界来表示隐函数曲面，当函数厂是多项式时，上式定义了一张 代数曲面隐函数表示的最大优点是几何求交方便，而且善于表示封闭光 滑形体因此更适于面向绘制的应用二次代数曲面是最早实用化的曲面 模型之一，作为实体造型方法的基础，它可以方便的表示球体、圆锥面、 抛物面和双曲面如今，曲面表示和造型已经形成了以n u r b s 曲面为代表 的参数曲面和隐式益面表示这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三 种手段为骨架的几何理论体系 我们知道，以参数形式和隐函数形式表示曲面的计算机处理方法总要 将用户给定的离散控制顶点和其他信息输入计算机，通过插值、逼近或者 拟合的方法转化成连续表示，然后在显示和其他处理环节再次转换回离散 形式这是一个 离散。连续哼离散 的过程而且，当形体变得复杂以后，以上处理往往随之复杂，造成计算 代价的明显增加多边形网格表示的方法虽然避免了当中的连续转换环 节，但其存储代价高、冗余表示多，不利于统一处理 细分方法就是一个直接从离散到离散的过程细分算法作为曲线、曲 面生成工具，它的实质是种迭代算法，基本思想就是逐次加密给定一 个初始点列，按照一定的加密规则不断的加密，当加密规则符合某些条件 时，这些点列被无限次的加密下去，趋向于一个光滑的几何图形，称为细 分曲线或细分曲面细分方法不但具有参数表示的许多优点，还有效的解 决了参数曲面处理任意拓扑网格时存在的困难，并且可以利用从低层网格 到高层网格的变化规律，只存储包括基网格在内的少量信息，有利于网格 的分层采集、分层编辑和分层传输 1 1 2 细分方法的研究背景 细分方法的诞生距今已有3 0 多年的历史1 9 7 4 年，c h a i k i n 首先把离 散细分的概念引入到图形学界“3 ，1 9 7 8 年，c a t m u l l 和c l a r k ”，d o o 和 s a b i n ”3 分别提出了将b 样条曲面推广到任意拓扑网格上的细分算法，从 此，离散细分曲面造型得到了广泛的研究，主要分为三个方向“1 ：( 1 ) 各 种细分规则的构造：l o o p 推广了三角域上的b 样条方法”1 ；p e t e r s 和r e i f 南京航空航天大学硕士学位论文 提出了一类最简单的细分构造“1 ；这些都是逼近的构造同时，i ) y n ，l e v i n 和g r e g o r y 提出了著名的“b u tr e r f l y ”基于三角形网格的插值细分算法 ；z o r i n 改进了“b u t t e r f l y ”算法以取得更好的光滑性质”1 ；k o b b e l t 提出了适合四边形网格的插值算法”1 ；l e v in 设计了细分规则用于网格曲 线插值“1 1 1 ( 2 ) 细分曲面连续性的数学分析：最早d o o 和s a b i n 应用 f o u r i e r 技术和特征根方法来讨论细分曲面的连续性。“；b a l l 和 s l o r r y “，s a b i n 给出了进一步的分析，并由此导出一组优化的细分规则； r e i f 和p e t e r s 提出了特征映射的概念，更严格地分析连续性和光滑性 “3 。“1 ；但对于复杂的细分曲面，连续性仍然是一个未解决的问题( 3 ) 基 于细分的实用有效的算法：n a s r i 将基本的细分算法应用到各种造型要求 中去“：h a l s l e a d 等发现了精确计算细分曲面上点的位置和法向的公式， 从而建立了光顺函数用于构造光顺的插值曲面“；s t a m 进一步分析了精 确计算和表示细分曲面的问题“；h o p p e 等修改规则用于产生具有尖点、 尖边等特性的细分曲面“；d e r o s e ，l e e 等研究应用细分曲面到某些具体 问题中去 不过，从细分方法诞生到9 0 年代初期，由于计算机速度的限制，细 分方法并未受到人们的普遍关注直至9 0 年代中后期，随着理论的完善和 应用的深入，以及小波理论的介入，细分曲面方法才真正成为形体造型和 绘制的实用技术其发展成熟的标志是1 9 9 8 年s i g g r a p h 大会上同时有8 篇关于细分的论文发表，以及同年p i x a r 公司的一部完全使用细分曲面造 型和绘制技术的动画片 获得奥斯卡最佳动画短片奖 1 2 细分曲面的主要研究内容 1 2 1 细分模式的构造和分类 定义1 1 ：( 多边形网格) m = ( k ，中) 称为多边形网格，其中足为三元组 k = ( v ，e ，f ) ，这里v c z 的元素称为顶点，e c ( f ，j ) l ( i ，) y o 矿 的 元素称为边，f 为顶点组成的多元组的集合，其中的每个多元组称为面； 巾：矿一r 3 是顶点到三维空间的单射 规定相对顺序相同的顶点多元组表示同一条边或面，同时规定： 细分曲面与经典样条曲面的融台 1 ) 每个面的所有边属于e ； 2 ) e 的每条边一定属于某个面： 3 ) v 的每个顶点一定属于某条边： 4 ) 一条边最多属于两个面； 5 ) 对于以i v 为端点的任意两条边b 、已，定存在一个以i 为顶点的多 边形面序列；，五，五，使得e l 、e 2 分别为多边形面：和丘的边，且 ，正+ ；( ，= l ，t 一1 ) 共有一条边： 6 ) 两个面最多共有一条边 定义1 1 中的六个条件保证了多边形网格为流形网格有了关于网格 的定义，就可以考虑多边形网格上的细分模式一般地，细分模式的每次 细分或加细( r e f i n e m e n t ) 可分解成两步操作：首先，通过增加新顶点形 成新的网格拓扑，称为网格分裂，所用的方法称为拓扑规则( t o p o l o g i c a l f u l e s ) ，分裂操作在三元组k 上进行；其次，计算所有顶点的位置，这 过程成为平均，相应的方法称为几何规则，平均操作即对分裂后的新三元 组k 生成相应的巾 设从给定的网格m o = ( k o ，扩) 开始，不断作用分裂算子和平均算子 得到网格m = ( k ，) ，现在来看利用分裂和平均算子得到新网格m “1 的过程用上述某种分裂算子( 记为s ) 作用于k = f 矿。，e 。，f ) ，得到 k “1 = f y “1 ，驴“，f “1 1 ，即k “= s k ；现在需要确定“从而得到新网 格m “1 = ( k “1 ，m “1 ) 我们希望新顶点位置是由旧顶点计算得到，假设网 格m 共有个顶点i ，一般地，对新顶点f v “，定义函数： 爿i ：f r 3 1 批 r 3 以4 = ( ( 1 ) ，( m k ) ) 作为新顶点i v “1 的位置，即： 中“1 ( i ) = 4 ( 中( 1 ) ，巾( m k ) ) 称4 。为平均算子特别地，如果a ；是关于顶点巾“1 ( 1 ) ，m “1 ( 一。) 的线性 函数，即存在系数( ，= 1 ，m 。) ，使得 带( 中“1 ( 1 ) ， 则称爿? 为线性平均掉子 ，巾“( 。) ) ：芝巾“( ，)( 1 1 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 定义1 2 ( 细分模式) ：从给定网格m o = ( k o ，秽) 出发，对k = 0 ，l ，2 ， ， 依次采用某种分裂算子s 2 和平均算子4 。作用于m = ( k ，中) ，并重复 操作得到网格序列m o ，m 1 ，一，m ，这一过程称为细分模式 ( s u b d iv is i o ns c h e m e ) ，网格序列的极限： 盯= l i r a m 。 女呻。 称为细分曲面( s u b d i v i s i o ns u r f a c e ) ，有时也称为极限曲面，称m 为 细分曲面的控制网格，肼”为初始控制网格 细分模式的构造即针对控制网格m 2 构造相应的分裂算子s 。和平均 算子丑 根据平均算子的特性，可以对细分模式作如下的分类， 令如果公式( 1 1 ) 中算子群只与“( 1 ) ，中“1 ( 卅。) 中少数几个顶点相关 则称细分模式是局部的，否则称为全局的 对于线性平均算子，如果不同细分层之间采用相同系数，即d ：( ，= l ，m 。) 与k 无关，则称相应的细分模式为静态细分模式( s t a t i o n a r ys u b d i v i s i o n s c h e m e s ) ，否则称为动态细分模式( d y n a m i cs u b d i v i s i o ns c h e m e s ) 夺如果( 】1 ) 式是隐式方程的形式：管( 中“1 ( 1 ) ，西“1 ( 一，) ，巾( f ) ) = 0 ，则称 此模式为隐式细分模式( i m p l i c i ts u b d i v i s i o ns c h e m e s ) 而( 1 1 ) 所给的形 式是显式细分模式( e x p l i c i ts u b d i v i s i o ns c h e m e s ) 夺对采用面分裂的模式，如果其v 一顶点位置保持不变，则称为插值细分模 式( i n t e r p o l a t o r y s u b d i v i s i o ns c h e m e s ) ，其它称为逼近细分模式 ( a p p r o x i m a t i n gs u b d i v i s i o ns c h e m e s ) 夺最后，假定顶点f 和，具有相同的局部拓扑结构，但函数爿? 和a ；却有不 同的形式，称此模式为非均匀细分模式( n o n u n i f o r ms u b d i v i s i o ns c h e m e s ) ， 否则称之为均匀纽分模式( u n i f o r ms u h d i v i s i o ns c h e m e s ) 1 2 2 细分模式的极限性质研究 细分曲面没有解析形式，曲面的连续性和光滑性无论从理论还是应用 角度来说都显得很重要由于细分曲线控制多边形的拓扑结构相对要简单 得多，因此单变元细分模式的收敛性与连续性分析已形成较完整的框架体 系“对于曲面( 双变元) 细分模式，在正则点处的细分就是张量积曲面 细分曲面与经典样条曲面的融合 或b o x 一样条的离散方法，于是此时曲面连续性取决于对应的曲线细分方 法，因此连续性分析都是针对奇异顶点情况展开 细分曲面连续性的研究起始于d o o 和s a b i n ，他们敏锐地观察到， c a t m u l l 一c l a r k 等细分曲面的极限特性可通过对其局部细分矩阵的特征陲 质的分析来得到他们主要利用了细分规则本身的循环对称性，分别对细 分矩阵和奇异点周围顶点( 按一定规律排列) 实施f f t ，只需计算最终变 换矩阵的特征值就可以判别曲面的极限性质不过更加严格的分析是由 b a l l 和s t o r y 给出的，他们考虑了更大的邻域范围，对c a t m u l l c i a r k 曲面法向量的连续性进行了分析并依据收敛性分析修改了原始的细分几 何规则 真正严格的一般化分析理论是由r e i f 所奠定的他通过反例指出，只 分析细分矩阵性质是不合格的，因为这样只能保证在奇异点处切平面连续 通过引入特征映射( c h a r a t e r i s t i cm a p ) 的概念，r e i f 建立了一般静态 细分模式生成正则极限曲面的充分必要条件，即必须判断特征映射的正则 性和单射性( i n j e c t i v i t y ) ，并证明c a t m u l 卜c l a r k 模式是c 1 连续的由 于r e i f 的奠基性工作，使得以后的连续性分析趋于程式化u m l a u f 证明 了l o o p 模式的特征映射的单射性质，从而提供了对于l o o p 模式连续性的 完整分析p e t e r s 和r e i f 也对d o o s a b i n 模式和c a t m u l l c l a r k 模式特 征映射的双射性、连续性进行了研究，并讨论了边界情况的细分模板选 择z o r i n 建立了更广的一类细分模式c 连续的准则并设计了一个验证c 连续的算法此外，z o r i n 的连续性准则判别算法给出了b u t t e r f l y 模式 达到c 1 连续的新规则及其连续性证明，不过改进后细分方法的模板变大 而改进效果并不明显p r a u t z s c h 则利用特征映射对细分曲面进行参数化， 推广了r e i f 的结果，对任意静态细分模式给出了极限曲面连续的充要 条件，利用这一连续性准则，p r a u t z s c h 和u m l a u f 相继给出了l o o p 模式， c a t m u l 卜c l a r k 模式在奇异点处达到g 连续的细分规则值得注意的是， 特征映射的定义根据使用场合的不同存在细微差别 至于非静态细分形式的细分模式则讨论极少，其原因在于细分矩阵随 细分次数的不同是变化的，难以直接使用原来的形式文献。曾对 s e d e r b e r g 和郑建民提出的n u r s s 算法的极限性质进行过探讨，但分析过 程还是借助于将其近似转化为静态形式来展开的 南京航空航天大学硕士学位论文 1 ，2 3 细分曲面的几何属性 为了作高质量绘制、纹理映射或对曲面光顺性进行评价等需要计算曲面 上点的位置、切向、法向、梯度及曲率等几何属性。由于细分模式是一种迭代 方法，细分曲面是网格序列的极限，一般情况下是没有分析表示形式的，因 此也无法得到曲面各种几何属性的解析表达式，给计算带来一定困难，这也 是影响细分曲面广泛应用的个主要原因 首先看控制网格顶点在极限曲面上对应点的几何信息的计算l o o p 在提 出l o o p 模式的同时给出了网格顶点位置、切向和法向的计算公式1 l a l s t e a d 通过对c a t m u l l c l a “模式细分矩阵特征向量的分析，给出了顶点位置的极 限公式及切向量和法向量的计算方法“o o o s a b i n 模式比较特殊，由于是基 于顶点分裂的，不同细分层次之间网格的顶点不再有对应关系，因此以初始 控制网格作为参数域对极限曲面作参数化不太容易但每个网格面是有对应 的关于每个面的中心点的极限有如下结论：多边形面的中心点的极限位置仍 是中心点本身 把初始网格作为参数化区域，计算参数域上任意一点在极限曲面对应点 处几何属性要困难一些不过，对网格为正则情形时曲面有解析表示的模式问 题还是可以解决的，因为若干次细分之后网格的绝大部分区域都是正则的， 在这些部分可以列出解析表示，从而计算各种几何属性对靠近奇异顶点的区 域，则继续细分，使需要计算的点处于正则网格中原则上除奇异顶点本身外， 其它位置都可用此思路计算基于这一思想，s t a m 给出了c a t m u l 卜c l a r k 和 l o o p 细分曲面局部参数化的分析表示，利用它可以快速精确地计算出极限曲 面的位置、导数等属性 1 3 本文主要工作及刨新点 虽然细分曲面克服了参数方法表示任意拓扑曲面时遇到的困难，但相对 而言，参数曲面在某些领域仍有较大的优势例如：利用参数表示便于计算各 种几何量、便于曲面问的求交和裁剪等事实上，参数表示目前仍是c a d c a m 领域的工业标准因此如何将两种表示方法融合在一起也是一项值得研究的 课题 在前面科研工作的基础上，本文主要做了以下两个方面的工作： 细分曲面与经典样条曲面的融合 首先，基于对经典d o o s a b i n 细分模式以及c b 样条造型的思考，将 二次c - b 样条的细分公式推广到张量积曲面，进而推广到任意拓扑，形成 了基于二次c b 样条的d o o s a b i n 细分模式由于c b 样条控制参数的引 入，增强了d o o s a b i n 细分模式的造型能力， 第二个工作内容是将n u r s s 细分曲面运用于对传统n u r b s 参数曲面进 行拼接以及对n 片n u r b s 参数曲面围成的n 边洞进行连续填充首先，将 文献 2 2 的构造n 边域的方法运用到非均匀双三次b 样条曲面的混合和n 边域填充，提出了一类混合及填充算法其次，对于应用更加普遍的插值 于角点的n u r b s 曲面，改进了文献 2 2 的边界处理规则，对插值于角点的 n u r b s 围成的n 边洞分别进行了g 0 和g 1 填充 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章基于二次c - b 样条的d o o s a b i n 曲面 本章给出了基于二次c b 样条生成d o o s a bl n 细分曲面的算法新的细分 曲面保持了0 0 0 s a b i n 曲面的造型特点：能够解决n u r b s 曲面难以处理的任意 拓扑结构的造型问题，且在任意点处保持一阶光滑连续：同时，通过c b 样条 中带正弦、余弦函数的基函数和控制参数的g i 入，使得新的细分算法能够 像二次c b 样条一样精确地表示圆柱面等常规馥蕊另外，还可依赖控制参数 口来增加造型的自由度，当口一0 时，曲面就退化成d o o s a b i n 细分曲面， 2 1 二次c - b 样条 传统细分方法起源于均匀样条，无法精确表示工业设计中常用的旋转面 和二次曲面作为n u r b s 模型的扩展，s e d e r b e r g 和z h e n g 等人提出的非均匀 有理细分方法。”可解决以上问题，不过有理方法始终存在实现复杂以及数值 计算的不稳定性问题”由于c - b 样条方法中基函数的改变和控制参数的引入 ”1 ，使得c b 样条曲线能精确地表示圆弧，椭圆弧等二次曲线段，而且c b 样条曲线的细分公式和均匀b 样条相似，因此，如果利用二次c b 样条来构 造d o o s a b i n 细分益面，则不但能够像c b 样条曲面一样，精确地表示圆柱 面等常规工程曲面；而且仍然保持细分曲面的造型特点；同时由于控制参数a 的调节作用，也会增加造型的自由度本节首先介绍二次c b 样条 2 1 1 二次c - b 样条的定义和性质 二次c - b 样条曲线是指用s i n t c o s t 1 1 代替二次均匀b 样条曲线方程中 的基卜2 t 1 来构造类似的基函数，从而生成与二次均匀b 样条曲线相类似 的曲线其定义为： 只( f ) = n o ，：( f ) 包+ 1 ，：0 ) 岛+ 。十n ：( f ) 6 j + ： 其中： 似沪湍雉) = 塑等坚； n 2 , 2 ( r ) = 等拦斧 细分曲面与经典样条曲面的融合 上式中：i = 0 ，l ，- n 一2 ；0 口 石：f o ，口1 ；s = s i n 口；c = c o s d ；岛， 包岛+ ：为二次c b 样条曲线的控制顶点；n i ，：( f ) ( f = 0 ，1 ，2 ) 为二次c b 样条 的基函数写成矩阵的表示形式为： r0一ss 、rb 、 肌) 2 南( s i 州1 卜2 1 m ! j 定理2 1 ：当口号0 时，二次c b 样条曲线的极限是均匀二次b 样条曲线 由于本定理的证明方法与文献 2 4 是相同的，因此证明省略 给定三个控制顶点，当口在( o ，丌1 范围内变化时，就得到一簇关于口的二 次c - b 样条曲线( 图2 1 ) 图2 1 ：关于口的二次c - b 样条曲线 鳢 b l + 2 由图可知，口对曲线的形状有调节作用：当口逐渐减小时，细分曲线逐 渐靠近初始控制网格；但通过固定f 值考察曲线上的点随。的变化情况可发 现，这一靠近过程并不是持续的即随着瑾的变化，相应的细分曲线会出现交 叉当口逐渐趋近于零时，二次c b 样条曲线逐渐趋近于二次均匀b 样条曲线 因此二次c b 样条曲线具有和二次均匀b 样条曲线相似的端点性质，例如：首、 末点通过相应边的中点；首、末点切矢方向与相应边重合；两相邻曲线段之 间为一阶连续 同时，由于口的作用，二次c b 样条曲线可以方便地表示圆弧和椭圊弧等 二次曲线弧例如它们表示圆弧的规则如下： 定理2 2 ：如果b o ，b l ，6 2 是共圆上的3 个控制顶点，并且l b o b , i = l b i b 2 ；假设 竺三 一 一一 么 南京航空航天大学硕士学位论文 其圆心为o ，半径为r ，弦6 0 包和岛如对应的圆心角都是a ( o 盘 石) ，那么他 们关于口的二次c b 样条曲线表示一段圆弧，这段圆弧具有圆心角a ，半径为 r c o s ( a 2 ) 证明：建立如图坐标系： f 胁。( 鲁+ 口) 有：6 。= l 2 | _ 【r s i n ( 要+ 口) i z， 代入 图22 ：二次c - b 样条表示圆弧的规则 ( 竺h 繁) 一( ：) ( rs i n a 、f 艘1 l r c o s o ) 2l c r j 剽 c - 1 ) c o s t )1 + i ) r ( c - i ) c o s t j 兰 - q。 d 口 岱 一 一 厅一2万一2 ：畸氰 哑 砸 有 o s ， 、式= 竹凡 如 定 “f m 汁 p 垮 e 至o f 躲赤 曩 、川iil叶笪。 州。如；客 赤渺 一 一 厅一2万一2 + + ，、，、 协 c s 口一2口一2 s s 吲 r r ，。l 细分曲面与经典样条曲面的融台 对于r e 【。，口 ，h 号一詈e ( 詈一号，三+ 詈 ，因此相应的曲线段表示以 r c o $ “- 为半径，圆弧角为a 的圆弧 当多段二次c b 样条曲线首尾相接时，就构成 了整圆，如图2 3 2 1 2 二次o - b 样条曲线的分割： 定理2 3 ”： 设曰( 口；b o6 i 吃+ 。) ( 0 口 r c ；n 1 ) 是任意给定的二次c b 样条曲线， 图2 3 ：二次c b 样条构成整圆 那么b f 号；瓦醚。 表示与之一样的一条曲线，其中： 。( 1 + 2 c o s ( 酬2 ) ) 岛+ 岛+ k 2 赢群 i = 0 - ” =鼍擀i=1-n+lb2i_，2 赤i 面矿 ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中，当口斗0 时，c o s ( 卅2 ) = 1 ，此时式( 2 1 ) 就是二次均匀b 样条 曲线的分割公式注意到：当曲线的分割次数不断增加时，由于控制参数 a 。一0 ，因此，该细分曲线就不断收敛于b 样条曲线，此时曲线c 1 连续图 2 4 所示为控制多边形经过1 次细分和6 次不断细分得到的二次c b 样条曲线 同样用细分的方法也可以精确生成圆、椭圆等规则形状 图2 4 a ：1 次细分 ( d = f 2 ) 图2 + 4 b ：6 次细分 、，r、，a 、， _ 签 h，。 _ 令么k 毯 卜，。 南京航空航天大学硕士学位论文 2 2d o o s a b i n 细分曲面 考虑任意一个控制多边形网格p o ，p o 可表示为一个三元组 p 。= ( ，矿。，e o ) ，其中，f 。= f 为多边形集，v 。= 妒 为顶点集， e o = 群 为边集，对于任意顶点叩，与它相邻的面的数目成为它的入度矩 形拓扑的参数曲面网格化后，其内部顶点的入度为4 ，在d o o s a b i n 益面中， 那些入度不为4 的顶点被称为奇异点o o o s a b i n 曲面可按下列规则形成”1 ： 几何点的产生： 在初始控制网格的每个面上，对应于每一个顶点，产生一个新顶点，如 图2 5 ： 图2 5 ：新顶点拓扑 在面4 4 一。4 4 f 4 上，对应于点4 的新点4 取为：4 = 噬4 7 = 1 f2 7 i ， 1 ) 对初始控制网格的每一个n 边面，将该面上所有顶点的像连接起来构成一 个新的月边面，称为新面面 2 ) 对初始控制网格中面，和的公共面，分别连接e 的两个端点对应于 f 和f 的像，构成一个新的四边面，称为新边面 3 ) 对每个入度为的顶点，将该顶点对应于相邻面的n 个像分别连接起来， 构成一个新的h 边面，称为新的顶点面 根据上述细分规则可以得到一个加密的多边形网格，重复细分即可得到 一系列多边形网格尸1 p 2 p 3 ，最终收敛于极限曲面p 规则( 2 ) 和( 3 ) 的引 入，保证了当初始控制网格为b 样条盐面的控制网格时，d o o s a b i n 规则产生 砖曲力= ：， ) 石 锄乜 y m i i 耳皿 腱则规扑拓 二 细分曲面与经典样条曲面的融台 x x _ - 次b 样条曲面分析表明，d o o s a b i n 曲面除了有限个奇异点外，由一系列 x x - - 次b 样条曲面覆盖而成，而在这有限个奇异点处，d o o s a b i n 曲面也是一 阶光滑连续的 2 3 基于二次0 - b 样条的d o o s a b i n 细分曲面 将二次c b 样条曲线的分割公式应用到两个不同的方向上，得到相应的张 量积曲面的细分面具： 再拓展到任意拓扑结构，得到基于二次c b 样条的d o o s a b i n 细分方法： 在面4 4 一，4 4 1 4 l 上，对应于点a i 的新点a i 取为：- 4 = d j 其中： 吩2 型糕兰( a k 骘2 ) ) 丝”) 9 ”f 1 + c o s 、 “ = 坚塑蒜篙产 ( i j ) 其中嘶= 口。2 取初始值= 叫2 ，通过运用第2 2 节描述的方法，连接新 的控制顶点生成新面面、边面、点面，就可以得到一张加密的控制网格，上 述过程一直重复下去，即可得到一系列多边形网格p 1 p 2 p j ，最终收敛于极 限曲面p ，即基于二次c b 样条的d o o s a b i n 细分曲面当g t 。_ 0 时，此曲面 就退化成d o o - s a b i n 曲面，如图2 6 所示与控制参数口对细分曲线的形状进 行调节一样，控制参数同样对细分曲面有调节作用，当口减小时，细分曲面 逐渐靠近初始控制网格，同曲线一样，这一靠近过程也不是持续的，图2 7 给出了a 分别为3 月 4 和硝1 0 时的细分效果 4 盯 k 1 1 仫 一 一 口 口 + + 南京航空航天大学硕士学位论文 图2 6 ：初始网格 a = x 2 0 细分5 次 细分五次的d o o s a b i n 曲面 图2 7 ( a ) ：a = 3 z 4 细分1 次a = 3 z 4 细分3 次 图2 7 ( b ) ：a = z l o 细分1 次a = x l o 细分3 次 细分曲面与经典样条曲面的融合 和d o o s a b i n 细分方法样，经过一次细分以后，每个顶点的度数均为 4 ；再经过一次细分后，度数不为4 的面的个数保持不变，等于初始控制网格 中度数不为4 的面和顶点的个数之和用与文献 3 相同的方法进行离散 f o u r i e r 分析，可知同d o o s a b ir l 曲面样，曲面在任何地方一阶连续 2 4 实现 由前面的阐述可知：如果控制多边形是一个已确定边长的正多边形，那 么利用定理2 2 ，就能通过细分方法表示圆，而且圆的半径可以确定；同样 按照这种方式，就可以生成旋转面 图2 8 ：细分生成的工程零件图形 基于o p e n g l 图形库实现上述算法，图2 8 为生成的工程零件图，它由三 个头，其中两个头是圆柱面，另一个是近似球面，从而可以看出，该算法很 容易表示圆柱面等旋转面，且通过改变，可调节造型自由度 南京航空航天大学硕士学位论文 第三章基于细分的曲面混合与n 边洞填充 3 1 曲面混合与n 边洞问题回顾 把若干曲面片平滑地连接在一起形成一张完整曲面的中间曲面片称为混 合曲面( b i e n d i n gs u r f a c e s ) ，被连接起来的那些曲面片则称作基曲面( b a s e s u r f a c e s ) v i d a 等人在综述哺1 中对混合方法的分类作了详尽的讨论并对其中 一些混合方法作了细致分析，从混合曲面的形成过程来看，有滚动球方法 ( r o l l i n g b a l l ) 、基于脊线的方法( s p i n e b a s e d ) 、基于剪裁线的方法 ( t r i m l i n e b a s e d ) 方法、偏微分方程法( p d e ) 和线框方法( w i r e f r a m e ) 后来还出现了一些其他方法，如隐式曲砸方法 n 边洞填充可以看作是一种特殊的曲面混合问题，反过来，某些曲面混合 方法也可能导致n 边洞构造一张n 边曲面片或多张彼此光滑连接的四边曲面 片或三角曲面片使得与围成n 边洞的曲面光滑连接，称为n 边洞填充类似地， 把围成n 边洞的曲面称为基曲面，而用于填充n 边洞的曲面称为填充曲面根 据填充曲面的表示形式，填充方法可以分成两类：第一类直接构造具有n 段 光滑边界的光滑益面，使之在边界上与基曲面光滑连接；第二类方法则是把n 片四边片或三角片拼合在一起形成张n 边曲面，从而实现n 边洞填充 曲面混合和n 边洞填充的问题是c a g d 领域的一个难题典型的方法归纳 起来可以分成三类：( 1 ) n u r b s 方法。；( 2 ) 流形方法。“3 “；( 3 ) 细分方法。“”3 “ 虽然s a n g l i k a r 早在1 9 9 0 年就意识到了细分曲面作为混合曲面的潜在可能 性，但到目前为止，细分曲面用于参数曲面进行混合和n 边洞填充的工作都 不多n 边洞填充方面，d j s t o r r y 和a a b a l l 假定n 边洞由三次h e r m i t e 曲面片围成，通过计算新的初始网格使得相应的细分曲面片与边界曲面片达 到一阶光滑拼接o “；a 1 e v i n 利用联合细分模式来插值任何参数曲线围成的边 界和边界上相应的跨界导矢，从而拓宽了应用范围两种方法都能达到g 1 连续李桂清和李华提出用轮廓删除法处理c a t m u l l c l a r k 模式的网格边界， 并利用生成的细分曲面对多张三次参数b 样条曲面片进行混合