（基础数学专业论文）关于实单左对称代数.pdf

摘要 摘要 本文主要开始学习实单左对称代数首先讨论了复代数和实代数之间的关系， 并在一些已知的复单( 包括部分半单) 左对称代数分类的基础上给出了它们对应的 实形式也就是实单左对称代数的分类与李代数不同的是我们找到了一类没有实形 式的复单左对称代数。在此分类基础上，我们也给出了一类实单左对称代数的几何 构造在文章最后，我们用分类结果构造了一些与几何相关的结构 我们将文章分成了六节 第一节，简单介绍了左对称代数以及学习实左对称代数的重要意义和研究实单 左对称代数的必要性 第二节，先给出了一些左对称代数的基本概念和结论。接着证明了复代数和实 代数之间的一般关系：实单代数的复化要么是复单代数，要么是两个同维数的单理 想的直和；复单代数的实形式是实单代数最后给出了复单左对称代数的实形式的 分类步骤 第三节和第四节，用第二节给出的方法得到了2 ，3 维实单左对称代数的分类 第五节，给出了一些高维的实单左对称代数的例子找出能分解成两个同构的 单理想直和的复半单左对称代数的实形式的一般结构最后给出一类n 维复单左对 称代数的凡个实形式，并给出了与其相关的几何构造 第六节，计算了实单左对称代数的2 一c o c y d e ，并给出一些与几何相关的结构， 即仿凯勒结构。最后，得到了几类h e 8 s i a n 左对称代数，其对应的仿射李群g 上有 g - 不变的h e 鹳i a n 度量 关键词：左对称代数实单左对称代数实形式半对合 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o m m e n c et os t u d yt h er e a l ( s i m p l e ) l e r s y m m e 七r i c 址g e b r a s w bd i s c l l s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr e a la n dc o m p l e x 出g e b r a s t h ed a s s m c a t i o n o fr e 出l e 托一s y m m e t r i ca l g e b r a si st h ec l a s s i 盆c a t i o no ft h er e a lf o r m so fc o m p l e xl e r s y m m e t r i ca l g e b r a s n o mt h ek n a w nc l a s s m c a t i o o fc e n a i nc o m p l e x ( s e 1 i ) s i m p l e 1 e 缸s y 玎1 m e t r i ca l g e b r a s ，w ec l a s s 坶t h e i rc o r r e s p o n d i n gr e a lf o r m s w en o to n l y o b t a i nt h ed a s s i 矗c a 七i o no ft e a ls i m p l el e f t 一町皿m e t r i ca l g e l ) r a si nl 叫fd i 1 e n s i o n s ， b u ta l s o 矗n dc e r t 缸nr e a ls i m p l ee x 砌p l e si nh i g h e rd i m e n s i o l l s i i lp 盯t i c u l a r ，t h e r e e ) ( i s t sac o m p l e xs i m p l el e 托一s y m m e t r i ca l g e b r aw i t h o u ta n yr e 址f o r m w bd l s o 舀v e f o rac l a s so fr e a ls i l p l el e 盘一s y m m e t r i ca l g e b r a sag e o m e t r i cc o n s t n l c t i o n a tl a s t ， w e 印p l yt h ec l a s s i 丘c a t i o nr e s l l l t st os t u d ys o m es t r u c t u r e 8r e l a t e dt og e o m e t 珥 t h e p a p e ri so r g a n i z e da sf 0 u a w s t h ea i mo ft h e 缸s ts e c t i o i st o 酉v eab r i e f i t r o d u c t i o a n dt od e s c r i b et h er o l eo fr e a ls i m p l e1 e r s y m m e t r i ca l g e b r a st h e r ei i ns e c t i o n2 ，w er e f o r 瑚n l a t et h er e l a t i o nb e t w e e nr e ma n dc o m p l e xa l g e b r a s a tl a s t ， w eg i v eap r o c e d u r et oc l a s s i 母t h er e 出f o r l s ( t h a ti s ：r e 出l e r s 卿e t r i c8 1 9 e b r a s ) o fc o m p l e xl e 托一s y m m e t r i ca l g e b r a s i ns e c t i o n3a n d4 ，w ed a s s i 母t h er e 出s 洫1 p l e l e r s m m e t r i c 缸g e b r a si nd i m e s i o n2a n d3 i ns e c t i o n5 ，w e 舀v es o m ee x a m p l e so f r e 出s i m p l el e 丘一s y m m e t r i c8 l g e b r a si nh i g h e rd h n e 工1 s i o s i ns e c t i o n6 ，w es t u d yt h e 2 一c o c y c l e so fs o m er e a ls i m p l e1 e f c s y m m e t r i c 出g e b r a sg i v e ni nt h ep r e 、，i o u ss e c t i o n s w h i c hc a nb e 印p l i e dt os t u d ys o m es t r u c t l l r e sr e l l t e dt og e o m e t 啊 k e yw o r d s ：l e f t s 皿m e t r i ca l g e b r a ；r e 址s i i i l p l el 哦一s 珊m e t r i c 出g e b r a ；r e a l f o r m ：s e 工i l i i n v o l u t i o n i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：三l 、j 、确 如年r 月目日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名： 绛 学位论文作者签名： 解密时间：年 月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：童l 、j 、明 台年r 月2 1 日 1 i n t r o d u c t i o n 1 i n t r o d u c t i o n l e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s 盯i s ei nm a n ya r e a so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h e y h a e 出r e a d yb e e ni n t r o d u c e db yac a y l e yi 1 8 9 6 ，i nt h ec o n t e x to fr o o t e dt r e ea l g e - b r a s ，s e e ca t h e nt h e yw e r ef o r g o t t e nf o ra1 0 n gt i m eu n t i lv i n b e r g ( 【v 1 3 ) i nt h e 1 9 6 0 s ( i n 七h eo r i 酉n a lr u s s i a nv e r s i o n ) a n dk o s z u l ( k o 】) i n1 9 6 1i n t r o d u c e dt h e m i nt h ec o n t e mo fc o n v e xh o m o g e n e o u sc o n e sa n da 伍n e l yf l a tm a n i f 0 1 d s f 士o mt h i s t i m e ，m a r l ya r t i c l e sr e l a t e dt ol e r s y m m e t r i ca l g e b r a s ，f r o m 删t ed i 圩e r e n tr e s e 甜c h 盯e a s ，h a v eb e e np u b l i s h e d ，s u c ha sc e r t a j ni n t e r e s t i i l gs t r u c t u r e so nl i eg r o u p sa n d l i ea l g e b r a s ( a ， a s 】， d a m l 2 ， k i 】， m ， s h ) ，i n t e g r a b l es y s t e m s ( b o ， l m 】) ，c l a s s i c a la n dq u a n t u my a n g b 觚t e re q u a t i o n s ( d i m 】， e s ， e s s ， g s ， k u l 2 】) ，p o i s s o n b r a c k e t sa n di 曲n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s ( 【b n 】，【g d 】， z ) ，q u a n t u m 日e l d 七h e o r y ( c k ) ，o p e r a d s ( c l ) a n ds oo n a sac o n s e q u e n c e ，p e r h a p s ，1 e r s y 瑚m e t r i ca l g e _ b r 船缸ek n o w nl l n d e rm a yd i 丑e r e n tn a m e s l e r s y m m e t r i ca l g e b r a sa r ea l s oc a l l e d v i n b e r ga l g e b r a s ，k o s z u l 出g e b r a so rq u a s i a s s o c i a t i v e 出g e b r a s m g h t 一町珊m e t r i c a l g e b r a s ，缸e8 l s oc a l l e dg e r s t e h a b e ra l g e b r a s ，o rp r e - “ea l g e b r a s c l 】t h ei m p o r t a n c eo fl e r s y m m e t r i ca l g e b r a sf o rt h es u b j e c tm a yb eq l l i t ed i 丑e r e n t f b r e x a p l e ，i nt h ep r o b l e m sc o m i n g 丘o md i 丘色r e n t i 出g e o m e t r 弘1 e 托一s y m m e t r i ca l g e - b r 8 sh a v eb e e ni n t r o d u c e di no r d e rt or e f o r m u l a t et h eg e o m e t r i cp r o b l e m si t e r 工n s o fa l g e b r a s ： e x c e p tf o rf e wo c c a s i o n ( f o re x a m p l e ，3 - d i m e n s i o n a lr e a l l e f t s y m m e t r i c “g e - b r a sc o r r e s p o n d i n gt ot h ea m n ec r y s t a u o g r a p h i cg r o u p s 【f g ) ，u pt on o w ，m o s t o ft h er e s l l l t so n1 e f t s y m m e t r i c 出g e b r a sa r em 撕n l yo v e rt h ea l g e b r a i c a l l y 矗e l do f c h a r a c t e r i s t i c0l i k et h ec o m p l e x 丘e l dch o w e v e r ，m o s to ft h ea p p l i c a t i o n so fl e f t s y m m e t r i ca l g e b r a si nt h er e l a t e d 丘e l d s ( u k eg e o m e t r ya n dp h y s i c s ) 盯em a i n l yo v e r t h er e 龃丘e l dr t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r ya n di m p o r t a n tt os t u d yr e a l1 e r s y m m e t r i c a l g e b r a s 0 b v i o u s l y ，i ti sh a r dt os t u d yt h er e 出1 e 托一s y 1 m e t r i c 出g e b r a sd i r e c t l y f b r e x 锄p l e ，i ti sh a r dt oc l a s s i 母t h e mb yc l a s s i f y i n gs t r u c t u r a lc o n s t a n t s ，e v e ni n1 0 w d i m e n s i o l l s l i l ( et h es t u d yo fl i e 出g e b r a sa n da s s o c i a t i v ed g e b r a s ，w ec a s t u d yt h e r e 出l e 托一s y m m e t r i ca l g e b r a s 丘o mt h ec o m p l e xo n e s i nf a c t ，t h e r ei sa “s t a n d a r d r e l a t i o nb e 栅e e nr e a la n dc o m p l e xa l g e b r a s ( i ng e n e r a l ，i ti st r u ef o ra n ya s s o c i a t i v e 1 1 i n t r o d u c t i o n o rn o a s s o c i a t i v e 缸g e b r a ) ：ar e a l 龃g e b r ac o r r e s p o n d st oas o - c a l l e dr e a lf o r mo fi t s c o m p l e x 进c a t i o n ( 阳) s u c har e l a t i o c a nb e1 1 s e dt oc l a s s 姆r e a la l g e b r a s h a w e v e r ，k et h ec a s e o fl i ea | g e b r a s ，i ti sh a r dt oc l a s s 毋a 1 1t h er e a ll e f c s y m m e t r i c 缸g e b r a s ( i ts e e m s u n n e c e s s a r yu n d e rc e r t a i ns i t u a t i o n ) i nf a c t ，也ec l a s s m c a t i o i so n l yp r a c t i c a b l e a n de 雎c t i v ef o rt h ea l g e b r a s 谢t hc e r t a i np r o p e r 七i e sl i k eg o o ds t r u c t l l r 出c o i l s t 锄t s t h e ( s e m i ) s i m p l e1 e f t s y 血e t r i c 柚g e b r a sa r es u 出e x 锄p l e s h o w e 、r e r ，u n f o r t u n a t e l y ) d u et ot h en o n a s s o c i a t i v i t y t h e r ei sn e i t h e ra s u i 忱u b l e r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yn o ras a t i s 丑e ds t r u c t 【l r e 也e o r yf o r1 e f c s y l i n e t r i ca l g e b r a s t h e r eh a sn o tb e e nas y s t e a t i cs t u d ya n dac o m p l e t ec l a s s i 矗c a t i o n ( m r b et h e r e d o e sn o te 五s t ! )o fc o m p l e xs i m p l e1 e r s ”n m e t r i ca l g e b r a sy e t f b re ) 【a m p l e ，w e c a n n o t 丘dab i l i n e a rf o r m 五t hs i m i l a rp r o p e r t i e s ( 1 i k ek m i n gf o r mi nl i ea l g e b r a s ) w h i c hc a nd e c i d et h es e m i s i m p h c i t y ( s e es e c t i o n6 ) u pt o a w ，o n l yt h ec l a s s m c a t i o n o fc o m p l e xs i m p l el e r s y m m e t r i ca l g e b r a si nd i m e n s i o n 墨3a n ds o m ee x a m p l e si n h i 曲e rd i m e n s i o i l sa r ek n o ( b u 3 】) i t h i sp a p e r ，w ew mc o m m e n c et os t u d yt h er e 址( s i m p l e ) l e 托一s y m m e t r i ca 卜 g e b r 8 s w bw mc l a s s i 每s o m er e ds i m p l el e f c - s y m 瑚e t r i ca l g e b r a sb a s e do ns o m e k n a w nr e s u l t si nt h ec o m p l e xc a s e s w 色w o u l dl i l 汜t op o i n to u ta g a i nt h a ti 七i s a l m o s ti m p o s s i b l et og e ts i m i l a rr e s l l l t sf o rm o s to ft h en o 一s e m i s i m p l ec a s e s a 1 t h o u g hi t i sj u s tab e g i n n i n go ft h es t u d yo ft h er e 址1 e f i 卜s ”呦e t r i c 出g e b r a sa n d i ts e e m st h a tt h er e s u l t sa r es c a t t e r e da n dd e p e n do nt h ee x 锄p l e s c o m p u t a 七i o n ，i t c a b er e g a f d e da sag u i d ef o rf 1 1 r 七h e rd e v e l o p m e n t t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，( i ) s t a n d sf o ra1 e 托一s y m m e t r i ca l g e b r a 丽t hab a s i s a n dn o n z e r op r o d u c t sa te a c hs i d eo f1 2 2c o m p l e xa n dr e a ll e f 七一s y m m e t r i c 出g e b r a s 2c o m p l e xa n dr e a ll e r s y m m e t r i ca j g e b r a s 2 1 p r e l i m i n a r i e sa i l db a s i cr e s u l t s d e 且n i t i o n2 1 l e tab eav e c t o rs p a c eo v e ra 丘l e df 而t hab i l i n e a rp r o d u c t ( z ，) z 可ai sc a l l e dal e f t s y l n m e t r i ca l g e b r a ，i ff o ra n yz ，可，z a ，t h ea s s o c i a t o r ( z ，可，z ) = ( 。y ) 2 一。( 可z )( 2 1 ) i ss y m m e t r i ci nz ，t h a ti s ( z ，可，z ) = ( 可，z ，z ) ，o re q u i v a l e l l t l y ( z 可) 2 一z ( z ) = ( 可。) z 一可( z z ) ( 2 2 ) f 0 rt h e 乱l df=co rf = r ，ai sc a u e dac o m p l e x ( r e s p r e 龃) l e r s y 1 m e t r i c a l g e b r a f b ral e r s y m m e t r i c 出g e b r aa ，t h ec o m m u t a 土o r ( b m l 3 】， b u l 3 ) 【z ，可 = z 剪一可z ( 2 3 ) d e 矗丑e sal i ea l g e b r a9 = g ( a ) ，w h i c hi sc a l l e dt h es u b _ a d j a c e n tl i e 出g e b r ao fa f o ra n yz ，可a ，l e t 厶a n d 忍d e n o t et h e1 e 托a n dr 培h t 瑚m t i p l i c a t i o no p e r a t o r r e s p e c t i v e l y ，t h a ti s ，l 。( ) = z 可a n d 。r z ( ) = 可z t h e nt h el e r s y m m e t r y ( 2 2 ) i s j u s t l 。，l ”】= 三陋，圳，v z ，可a ，( 2 4 ) w h i c h 屺a st h a tl ：9 ( a ) _ g c 够( a ) ) w i t hz _ l 。g i v e sa ( r e g 、1 1 8 r ) r 印r e s e n t a t i o n o ft h el i ea l g e b r a9 ) t w ol e r s y m m e t r i c 出g e b r a sa ，以o v e rf 盯ei s o m o r p h i ci ft h e r ee x i s t sah n e a r i s o m o r p h i s m ，：a _ a 7s a t i s 蜘n g ，( 。可) = ，( z ) ，( 可) f o r 锄yz ，可a ，i sc a u e d a n i s o m o r p l l i s mo fl e r s y m m e t r i ca l g e b r a s a na u t o m o r p h i s mo fa i sa ni s o m o r p h i s m o fat oi t s e l f l e ta u t ad e n o t et h eg r o u po fa l la u t o m o r p h i s m s d e f l n i t i o n2 2i fa1 e f c s y l n m e t r i c 出g e b r aah a so n l yt r i 、r i a li d e a k ，t h e nai s c a l l e ds i m p l e ai sc a l l e ds e m i s i m p l e ，i fai sad i r e c ts u mo fs i m p l e1 e r s y m m e t r i c 甜g e b r a s 0 b 访o u s l mt h e r e 缸ee x a c t l yt w o1 一d i m e i l s i o n 出l e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s 厶= ( e e e = o ) a n d 厶= ( e l e e = e ) c 岍rb o t ht h er e a l6 e l dr a n dt h ec o m p l e xn e l dc ，e1 e t 厶( n o t 如) b et h e1 一d i m e n s i o n a ls i m p l e1 e f t s y m m e t r i ca l g e b r a 3 ! !里! 竺2 1 竺竺! ! ! 型! ! 垒：! 里里! 竺堕! 堕! 旦竺 2 2 t h er e l a t i o nb e t 、v e e nc o m p l e xa n dr e a la l g e b r a s t h e r ei sas t a n d a r dr e l a t i o n b e 七w e e nc o m p l e xa n dr e a ld g e b r a s h e r ea n 址g e b r a ad e n o t e sav e c t o rs d a c eo v 盯aa e l df w i t hab i l i n e a rp r o d u c t 扛，封) 斗z 掣i ti s n o tn e c e s s 盯i l ya s s o c i a t i v e d e f l n i t i o n2 3 l e ta ob ear e a la l g e b 工a t h ec o m p l 础c a t i o no f 也er e a lv e c t o r s p a c ea oi sa 乎= 。+ 、( 二b l z ，a o ) d e 丘n eap r o d u c ti na fb y ( 。1 + 、二功1 ) ( z 2 + 、二i 可2 ) = z l z 2 一掣1 可2 + 、二i ( z 1 掣2 + 可1 2 2 ) ， ( 2 5 ) w h e r ez 1 ，z 2 ，可1 ，到2 a o t h e na 孑i sac o m p l e xa l g e b r a i tl sc a n e dac o m p l e 妇_ 矗c a - t i o no ft h er e a la l g e b r aa o d e f i n i t i o n2 4l e tab eac o m p l e x 址g e b r a i tc a nb er e g 盯d e da sar e 出a l g e b r a w b j c hi sd e n o t e db ya r i ft h e r ei sas u b a l g e b r aa oo fa rs u c ht h a ta f = a ，t h e n 山i sc a l l e dar e a lf o r mo fa l e tab eac o m p l e x 出g e b m t h e nah a sar e a lf o r mi fa n do n l yi ft h e r e e ) d s t sab a s i so fas u c ht h a ta uo ft h ec o r r e s p o n d i n gs t r u c t u r a lc o i l s t a t sa l r er e a l m o r e o v e r ，i f e 1 ，e 2 ，e 。) i sab a s i so f a ，t h e n i tc a nb ee 斌e n d e dt oa b a s i so f a h a s e 1 ，e 2 ，e 。，j e l ，乒j e 2 ，f i e 。) o b v i o u s l y 】a r = 山o j a 0 ( a sa d i r e c ts u mo fv e c t o rs p a c e s ) a n dd i m ca = d i m ra o d e 6 n i t i o n2 5 l e tab eac o m p l e x 出g e b r a am a p 口：a ai sc a l l e da s e m i i n v 0 1 u t i o ni f 盯s a t i s 丘e st h ef o l l o 而n gc o d i t i o s ： ( 1 ) 盯2 ( z ) 一z ； ( 2 ) a ( z + ) = 仃( 。) + 仃( 可) ； ( 3 )盯( q z ) = a 口( z ) ； ( 4 )盯( 。y ) = 盯( 茁) 盯( 可) ， w h e r ez ，曼，a ，口c ，画i s t h ec o n j u g a t ec o m p l e xn u m b e ro a 0 b v i o u s l v as e m i i n v 0 1 u t i o n 盯i s n ta na u t o m o r p h j s mo fa ，b u ta i la u t o m o 卜 d h i s mo fa r t h ef o l l a w i n gc o n c l u s i o ni so b v i o u s l e m m a2 1l e tab eac o m p l e xa l g e b r a i fa oi sar e a lf o r mo fas u c ht h a t a = z + 、二i 剪i z ，可a o ) ，t h e nt h em a p 盯：z + 、一1 可 z 一、一1 i sa s e m i _ i n v o l u t i o no fa i ti sc a l l e das e m i i n v 0 1 u t i o nd e c i d e db ya o t h e o r e m2 2 l e tab eac o m p l e xa l g e b r a i fah a sas e m i i n v o l u t i o n 盯，t h e n a o = 茁a 1 盯z = z ) i sar e a lf o r mo faa n d 盯i st h es e 工i l i i n v 0 1 u t i o nd e c i d e db ya o 4 ( 2 6 ) 2c o m p l e ( a n dr e a jl e r s y m m e t r i c 出g e b r a s p r o o f o ra n yz ，a o ，口，6 r ，w eh a v e 盯( n z + 幻) = o z + 幻a oa n d z y a os i n c e 仃( z ) = 仃( z ) 盯( ) = 。s oa oi sar e a la l g e b r a 0 nt h eo t h e rh a 血d ： v z a ，w eh a v e 盯( 仃( z ) + z ) = 盯( z ) + z ，盯( 一、二i ( z 一仃( z ) ) ) = 一、二t ( z 一盯( z ) ) t h e n ；( z + 仃( z ) ) ，二等生( z 一盯( z ) ) a o ，a n dz = ( z + 盯( z ) ) + 二t ( 二土( z 一盯( z ) ) ) h e n c ea = a o + 、一1 4 0 l e tz a on 一1 a o ，t h e n 盯( z ) = z = 一z s oz = 0 t h e r e f o r e ，a = a o0 、一1 a o h e n c ea oi sar e a lf o r mo faa n d 盯i st h es e m i i n 、r o l u t i o nd e c i d e db ya o 口 l e t 以b eac o m p l e xa l g e b r a l e t 盯1 ，盯2b et w os e i i l i i n v 0 1 u t i o n so faa n da 再1 ， a ；2b et h e i rc o r r e s p o n d i n gr e df o r m sr e s p e c t i v e l f盯1a n d 盯2c a nb er e g a r d e da s t h ea u t o m o r p h i s m so fa rs a t i s 母i n g 醇= i d ( i = 1 ，2 ) b yt h e o r e m2 2 ，w eh a et h e e i g e n s p a c e s d e c o m p o s i t i o na sf o l l o w s a = a ；1o 、= i a j l = a 护o 、二t a ；2 ，d i m a ；，= d i m a ；z ，( 27 ) w h e r e 吼 ) = z ，吼( ) = 一! ，f o ra n y 。a ；，可、二i a ；。，i = 1 ，2 t h e o r e m2 3l e ta ，盯l ，盯2 ，a ；1 ，a 护b eg i v e na sa b o v e t h e na ；1i si s o m o r p h i c t oa ；2i fa n do n l yi ft h e r ee ) d s t s ，a u t as u c ht h a t ，盯1 ，一1 = 盯2 p r o o f s u p p o s et h a t ，：a 子1 _ 4 铲i sa ni s o m o r p h i s mo f 出g e b r a s e 斌e n d ，t o b ea n i s o m o r p h i s mo f aw h j c hi sa k od e n o t e db y ，s u c ht h a t 妇a ；1 ，( 、一1 z ) = 、一1 ，扛) i ti se a s yt op r o v et h a t ，a u t aa n d ，仃1 ，一1i sas e m i i n 、幻1 u t i o no fa m o r e o v e r ，v z a 异2 ，w eh a v e ，盯1 ，一1 ( z ) = ，盯1 ( ，一1 ( 。) ) = ，一1 ( z ) = z s o ，盯1 ，一1i sa l s oas e m i i n v 0 1 u t i o nd e c i d e db ya ；2 t h e r e f o r e ，盯1 ，一1 = 盯2 c o n v e r s e l y ，s u p p o s et h a tt h e r ee ) d s t s ，a u t as u c ht h a t ，盯1 ，一1 = 盯2 t h e n 厂i ：1 i sai n j e c t i v eh o m o m o r p h i s mf r o ma ；1t oa ，a n d ，盯1 = 盯2 ，t h e r e f o r e ，v z a ；1 ，w eh a e ，扛) = ，盯l ( z ) = 口2 ，( z ) ，t h a ti s ，( a 争) a ；2 b e c a u s e ，1 4 ：i s i n j e c t i v ea n dd i r na 吕1 = d i ma ；2 ：w eh a e ，( a ；1 ) = a 铲 t h a ti s ，j ：li sa n i s o m o r p h i s mf r o ma ；1t oa ；2 口 n e ) ( tw ec o n s i d e rt h e ( s e m i ) 8 i m p l ea l g e b r a s l e m m a2 4 l e tab eac o m p l e xs i m p l ea l g e b r aa n da ob ear e a lf o r mo fa t h e n a oi sar e 出s i m p ka l g e b r a p r o o f i fa oi s n ts i m p l e ，t h e nt h e r ee ) 【i s t san o n t r i v i 出i d e a l 上而o fa o 0 b v i o u s l y ， b = b oo 、一1 b oi sa nn o n t r i v i a li d e a lo fa ，w h i c hi sac o n t r a d i c t i o n 口 5 2c o m p l e xa 皿dr e a ll e r s y m m e t r i c 出g e b r a s l e m m a2 5l e ta ob ear e 以s i m p l e 以g e b r aa n da = a 芋b eac o m p l e ) d 6 c a t i o o fa oc o r r