（基础数学专业论文）平面凸曲线的非局部保长度发展问题.pdf

摘要 “几何流一是运用几何与分析的方法，研究几何对象如何按照一定的方式形变及 其应用的数学分支从上个世纪八十年代起，它一直是几何分析领域的研究热点之一 我们的工作正是在这样的时代背景下完成的 本文的主要目的是研究平面曲线的非局部发展问题令衩d ：陋，纠【o ，) _ r 2 是一簇平面闭曲线，x ( h ，o ) = 弱( “) 是一条正定向的严格凸闭曲线考虑如下的发展 问题： x f = ( 去一抛 x ( “，o ) = 弱( “) ， 其中七= 妖“，d 是发展曲线的相对曲率，l = 以d 是f 时刻的曲线周长，= ( m ，f ) 是 曲线的单位内法向量 文章中将证明：按上述发展方程。在发展过程中，平面闭凸曲线保持凸性，周长保 持不变，所围的面积逐渐变大，并且当时间f 趋于无穷大时，曲线变得越来越圆，最终 在c ”度量下趋于圆周 关键词：保长度流，非线性抛物型偏微分方程，平面凸闭曲线，等周不等式 a b s t r a c t 舡0 n eo ft l l em a i nt o p i c s0 f m o d e mm a m e m 撕c s ，“g c o m e t 哆f l o w ，i st 0s t i l d y 吐1 ed e 一 蛔a l i o no fg e o m e t r i c 删e c tw i t hi t sa p p n c a d o n sb yt o o l so fg e o m e 奶，觚d 锄a l y s i s s i l l c e m e1 9 8 0 s ，i th 嬲a l w a y sb 咖0 n e0 f m eh o t 他s e 种c hi n 也ef i c l d0 f g e o m e t r i c 锄a l y s i s 。w e 时 t 0s m d ys o m er e l a t ep f o b l e m so nt h eb a c 蜒舢do fa ：b o v er e s 哦h e s n l e 如o ft h i s 也e s i si st 0i i i v e s t i g a t ean o n - l o c a lc l l r v ce v o l u t i o n 邮b l e mi nm ep l a i l e 融x ( “，f ) ：，纠【o ，o o ) _ r 2b ea 细n n y0 fd o s e dp 1 觚a rc u e s 谢t l lx ( 地o ) 芝x o ( “) b e i l l gap o s i t i v e l yo f i e n t e d c l o s e d ，s t r i c d yc o n v e xc u r v e c o n s i d e rn 圮f 硼。丽n ge v 0 1 u t i o n p r o b l e m ： x t x ( “，o ) w h e m 七= 杖“，f ) i st l l es i g n e d 伽i n j 锨l r eo f t l l ee v o l 、r i n gc m v e l = 以力i s l el e n g t l lo f 血e c u ea t 矗m efa n d = ( 砺f ) 廿l el l l l i ti n w a r dp o i n t i l 培n o n n a lv e c t o fa l o l 培n l ec l l n ，e h l 也i s l e s i s ，i ti s o v e dt l l a tac l o s e dc o n v e xp 1 锄ec l l r v ew i l lp r e s e r v ec o n 、喇吼锄di t s p 嘶m e t e r ，b u te n l a 略et h e 躺ai tb o 衄d sd l l r i n gt h ee v o l u t i o np c e s s a sm e 妇fg o e st 0 i n f i n i 魄i tm a k e st h ee 、，0 l v i n gc u n ，em o r ea n dm o r ec i r c u l a rd u r i n gd l e 凹0 1 u t i o np c e s s a n d t l l ef i n a ls h a p eo f m ee v o l v i n gc u r v ew i l lb eac 疵l ei nt l l ec 甲m e t r i c k 对啪r d s ：p 葫m e t e r p r e s e n ，i n gc u r v ee v 0 1 u 6 0 n ，n o i l l i n e a rp a r a b 0 cp d e s ，c l o s e d c o n v e x p l 锄ec u r v e s ，i s o p 嘶m e t r i ci i i e q u a i i 够 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的说明并表示谢 ；6 ； r 愿 作者签名日期：川辱塑娟 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 _ 学位论文作者签名： 导师签名：毒蚴 第一章引言 在过去的几十年里，涌现了大量的文献讨论几何发展问题，比如【1 】，【4 】，【5 】， 【6 】，【1 3 】，【1 5 】，【2 3 】，【2 4 】，【2 5 】，【2 6 】，【2 7 】以及【2 8 】，等等其中，最简单的( 但也是相 当精细的) 应该算是在g a g e 【7 】，【8 】，g a g e & h 锄i l t i d n 【l o 】和g 瑚l y s o n ( 11 】中所研究的 的平面曲线收缩流其中证明了在曲线发展过程中，平面上初始的简单闭曲线保持嵌 入性，并且变得越来越圆最后，在有限的时间内，收缩成一个圆点 研究保持某些几何性质的发展问题是非常有趣的，尤其具有实际应用价 值比如，人们已经研究了平面凸曲线的保面积流( 【9 】) ，空间闭凸曲面的保体积 流( 【2 】，【1 4 】，【1 9 】) 以及保表面积流( 【1 8 】) 在这些发展问题当中，保面积的曲线发 展问题是最简单的在1 9 8 6 年，g a g e 在【9 】中证明了：按照保面积流发展时，平面闭 凸曲线保持凸性，并且所围面积不变，周长逐步减小曲线变得越来越圆，最终，当时 间f 趋于无穷大时，曲线在h 卸s d o f f r 度量下收敛到圆周但是在这种情况下却没有类 似的g r a y s o n 定理( 见【1 6 】和【1 7 】) k a i - s e n gc h o u ( ，r s o ) 和) ( i p i n g2 l m 在( 【4 】) 中提供 了关于曲线流的大量研究成果和丰富的文献信息本文的主要目的是研究平面曲线 的非局部发展问题，具体叙述如下：令x ( 甜，d ：k ，切【o ，o o ) 一r 2 是一簇平面闭曲线， 口，o ) = 弱( h ) 是一条正定向严格凸闭曲线考虑如下的发展问题： 墨= ( 刍一抛 x ，o ) = x o ( 甜) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中七= 妖“，力是发展曲线的有向曲率，= 以力是f 时刻曲线的周长，= ( “，力是 曲线的单位内法向量事实上，将会发现，在发展的过程中始终是个常数这也是为 什么我们称之为保长度流的原因很容易发现，若初始曲线不是圆周时，曲线上曲率比 较大的那些点将会向内移动，而曲率比较小的那些点会向外移动；并且圆周在按照该 发展方程发展时将保持不变，具有稳定性 如同g a g e ，h 锄m d n 和其他的很多作者一样，我们首先推导出曲线在发展过程中， 1 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 长度l ，面积a 和曲率七的发展方程具体如下： 警= 一去步胁+ 厶 警= 一丢+ 爹缸面= 一荔+ 9 乏如， 差= 萨 鲁c 去一委，+ 去一a ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 注意到，如果凸曲线在按照( 1 1 ) ( 1 2 ) 式发展时保持凸性，那么( 1 3 ) 式就能说明 周长是个常数而且利用( 1 4 ) 式和c a u c h y s c h w a r z 不等式能够很容易证明出面 积a 在发展过程中逐渐增大然而，为了估计出曲线发展的最终形状，需要对平面上严 格凸的闭曲线深入研究，高= 户p 2 ) 硼这个量为此，需要证明一个新的等周不等 式 广p 2 ( p ) 硼些( 1 6 )ip 2 ( p ) 硼兰兰竺( 1 6 ) j q a 更进一步有，( 1 6 ) 式中，等式成立当且仅当曲线是一个圆周 这篇文章按照如下顺序展开第二章证明新的等周不等式( 1 6 ) 式，目的是为了帮 助我们理解曲线按照( 1 1 ) ( 1 2 ) 式发展的最终形状第三章第一节证明了：如果凸曲线 在发展的过程中不出现奇性，那么当时间f 趋于无穷大时，曲线在h 绷s d o 柑度量下收 敛到圆周( 定理3 5 ) 在第三章第二节中，首先证明( 定理3 7 ) ：一条严格凸的平面闭 曲线在发展过程中不会发生奇性，而是一直保持凸性接下来，在定理3 9 中说明，这样 的一个几何发展问题等价于一个非线性偏微分方程的初值问题最终，在第三章第三 节，将给出本文主要结果的证明 主要定理平面封闭的严格凸曲线按照( 1 1 ) 一( 1 2 ) 式发展将保持凸性，曲线周长保 持不变但所围面积逐渐增大最终，当时间f 趋于无穷大时，曲线在c ”度量下，收敛到 一个圆周 与参考文献【8 和【1 0 】中研究的曲线收缩流相比较而言，本篇文章有所不同在我 们这里，曲线最终收缩到一个圆而不是一个点，而且时间f 趋于无穷大而不是有限时 间我们的发展问题从分析的角度来看更简单一些，但是从几何的角度来看又更难一 些另外此发展方程还有如下的物理解释：( 1 1 ) 式可以刻画一块质量很小的可伸缩的 2 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 带状橡胶物体在粘性( 摩擦系数) 很大的介质中的运动方程由于此物体周围围绕着不 可压缩的流体，导致边界的测度一直保持不变 如果平面上一簇单参数的闭凸曲线y ( ，d 按照一般的发展方程墨= w r 2 发展， 周长以f ) 和曲线y ( ，d 所围面积a 满足如下方程： 譬= 一r 出 面= 一厶 如 和 掌= 一r 出，一= 一- 一2 7 j 哺) 历，那么定理得证事实上，这个结 论是如下定理的直接结果 定理2 2 如果曲线y 是c 2 平面上严格凸的非圆闭曲线，那么，有 f 以p 炒半 ， 为了证明这个定理，需要引入一些新的定义令“勉是如下s t e i n e r 多项式a ( d 的两 个根， a ( f ) = a o + 岛f + 7 r 产， 其中厶和a o 分别是闭凸曲线的周长和它所围凸区域的面积，a ( 力是，的相距为f 的 外平行线所围凸区域的面积令r f 和k 分别是曲线y 的最大内切圆半径和最小外接 4 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 圆半径( 分别被称为曲线y 的内半径和外半径) 记足是曲线y 的曲率，p = l 足是曲率 半径假设和p 曲分别是p 的最大值和最小值当曲线y 是一个圆周时，这些量都 是相等的如果曲线y 是凸的非圆曲线，那么有 叩一 勉 一匕 一去 一n o ，使得 舻去+ 良舻去吨 证明由定义2 3 ，不难知道p l p 2 是自然满足的因此，只要能够证明若p l = p 2 ，则可 推出曲线，是圆，命题将得证 假设 p - = 三上p c 日，棚= p 2 = 晏 j p c 日，棚， 5 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 那么对任何，cs 1 ，只要满足上瑚= 万，就有 三一c p 瑚钠 因此，任一点a 畎d ，设以是点a 处单位外法向量n ( 以) 与x 轴正向的夹角任 取 o 。记 厶= 魄一8 ，以+ 曲c ， 那么 p = 上厶删羽+ 上删加 亿4 ， 在区间，厶上，类似地，可取另外一点曰y 徊) 和相应的角，并且 如= ( 如一岛如+ 审cs 1 显然有c 硼= c 始= 如因此 一j ，j 曩 p = 上厶卯肌j ：删硼 由( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 式，可阱得到厶p ( p ) 棚= 丘p ( p ) 棚利用中值定理，有 上p ( $ 硼= 2 p ( 岛上户 硼= 2 p 他) b 其中满足吼【以一如+ 司，如 如一岛如+ 】因此， p p l ) = p ( 眈) 令8 叶o ，则吼_ 以，如_ 因此得到 j d ( 6 _ ) = p ( ) 由点a 和点曰的任意性。可知p 徊) = 常数也就是说曲线y 是一个圆周 命题2 5 若曲线y 是中心对称的严格凸的闭曲线，并且非圆那么有p l 一龟 ( 2 5 ) 口 证明由于曲线是中心对称的，因此曲线在由n ( 9 ) 确定的宽度满足唧= 劬徊) ， 6 堡奎堕堇盔堂垩亘鱼些垡塑墨e 旦塑堡竖堕垄垦囹墼 即支撑函数烈日) 的2 倍因为曲线7 是凸的，所以宽度满足2 r f 多焖s2 ，因此对所 有的p ， 乃p ( d 此式与( 2 3 ) 式说明，所有日，成立一向 p o 因此有 一h 一2 ，等价于证明易 比 在 上，p ( 回口，同时在如上，p 口然而p ( p ) 兰口至多可能在其中一个区间 上恒成立，除非曲线y 是圆假设在j l 的某个小区间1 上，有p ) 口因为p 妒) 是 连续的，所以上述事实肯定成立因此，在区间1 上有 一p ( p ) 一云) p p ) 一口) m ( i d ( 回一口) 在区间 上对不等式两边积分，可以得到 一要j ：仞 一去) 驴( 回一口) 础 “p 一口) ( 2 6 ) 在区间j 1 2 上，p ( 日) 一口so ，因此有 一p ( p ) 一寺) p ( 9 ) 一口) 一“p ( p ) 一4 ) 在区间，2 上对不等式两边积分，可以得到 一晏上( p 仰一去) p ( 印一口) 硼一“p 2 一口) ( 2 7 ) 将( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式相加，得 一晏f 。p ( 目) 一寺) p ( 目) 一口) 硼 “( i d ，一j d 2 ) 7 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 不等式左边可化简为 杀( 口一锄) = 2 1 1 2 ， 同时，右边是知6 即原不等式为2 “2 尝+ 挈，雕班喾+ 挈 “炒警+ 美挈+ 擘) 8 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 而需要证明的不等式是删 去+ 巫受芦 能够证明出如下不等式即可， 而另外有 原命题得证 卢( l l + 如) 2 4 丌似l + a 2 ) 卢= 2 l 2 一椭1 + 2 叠一抛2 = l + 厶) 2 + l 一如) 2 4 丌( a l + a 2 ) ( l l + 如) 2 4 丌( a l + a 2 ) 注：下面两个引理的证明可以在参考文献【1 2 】中找到本文将证明过程省略 引理2 7 如果，( 功是定义在( o ，+ ) 的凸函数那么 去正，棚如t m 口 引理2 8 如果，( 曲是定义在( o ，+ ) 的严格凸函数，那么对任意的c ，存在6 口 o ，满 足 f ( c 一口) + ，( c + 口) m 0 ，以及引理2 8 ，有 f ( p 1 ) ，( p 2 ) ，( 一“) + f ( 一f 2 ) 9 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 令，( 曲= j r 2 ，应用引理2 7 ，可以得到 去r 厕品三咖国 ( 2 9 ) 式则变为 通过简单计算可以得到 定理得证 p ；+ p i 碍+ 磅= 兰三亏；垄垒 f 御炒竽， l o 口 第三章主要结论弟二早土芰三石了匕 3 1 发展曲线的最终形状 设衩比，力= 似 ，琐y ( 跖，力) ：【口，纠【o ，o o ) 一r 2 是一簇单参数平面闭曲线初始曲 线为x ( o ，f ) = x o ( “) ：陋，纠_ r 2 是平面闭凸曲线，并且按照方程( 1 1 ) ( 1 2 ) 式发展，即 墨= c 去一如 x ( m ，o ) = 岛 ) 设g ( m ，f ) = l 邑i _ ( 毫+ 凭) 1 ，2 是沿着曲线定义的度量，那么，曲线弧长的微元可以表示 为出= g ( ，力幽，或者可以形式地记为 a1aa s 蕊= ；瓦 瓦= g 。 关于时间f 的导数是在参数砧固定的情况下求得，这一点非常重要，蓑算子不是偏导数 正是因为这一点，需要将参数口和f 转换成新的参数日和下，可以简化引理3 2 中关于 曲率的方程切向量丁，法向量，定向p ，曲率七和曲线的周长l ，曲线所围面积a 都 是和通常定义一样： r = 箬= 三署，七= 塞= 三襄，= 委警= 忐笔， o s 2o u 0 s r0 u k0 s k go h 口叫狲 l = r 咖肭= 弘 = 三爹功一如= 一三步 如 根据参考文献f 4 1f 1 3 ) 或者2 t 1 我们得到 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 引理3 1 发展曲线的几何量按如下的方程发展： = 一( 去一k = 芸c 去一如 = 一豪c 去一扣 = c 去一b ， = 豪( 兰c 去一晏，) + ( 刍一委妒，= 蕊i 蕊( 五一乏) j + 【五一i 胪， 一去歹胁+ 厶 = 一丢+ 爹 口 根据此引理知道，如果发展曲线一直是凸的，那么总有厶= 0 ，也就是说发展曲线 在发展的过程中周长始终不变这也是我们称之为保长度的曲线发展问题的原因注 意到s = 舡，f ) 同时是“和f 的函数，因此上述的曲率发展方程很难处理而由于改变 速度向量墨的切向分量仅仅只影响曲线的参数表示，而不影响曲线的最终几何形状 ( 比如参考文献【4 】，【1 0 】或【2 l 】) 我们可以选择一个适当的切向分量口= 口( “，f ) ，使得 对发展曲线的几何分析可以被简化即可以考虑如下与方程( 1 1 ) ( 1 2 ) 式等价的发展 问题： 墨= 口州去一抛 x ( “，0 ) = ( “) 1 2 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 船一西卯一所柳一西硼一西戤一所儿一出以一出 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 类似于引理3 1 ，我们得到 窑= 笔一c 去一昙，妇， 鲁= c 毗+ 砉c 去一昙”，筹= 一 七+ 兰c 去一妻的l 鬻= 缺+ 未c 去一晏， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 筹= 番( 去一晏) + 口筹+ ( 去一主舻， c 3 固 面= 而【芴一乏) + 口丽+ 【芴一乏胪， 【3 6 ) 警= 一去步艋s + 厶 ( 3 7 ) 筹= 一丢+ 爹昙缸 c 3 固 注意到l 和a 的发展方程均和口无关一般而言，p 是h 和f 的函数为了让p 与时 间f 无关由( 3 5 ) 式知道，能够取到合适的切向分量口使日与时间f 无关，而 口= 一晏罴c 刍一妻，= 。一丢塞= 一去荔 c 3 口= 一乏丽( 芴一乏) = 一万丽= 一孬历。 ( 3 9 ) 引理3 2 鬈= 科曩( 去一乏) + 去一县 证明将( 3 9 ) 式直接带入( 3 6 ) 式计算即可 ( 3 1 0 ) 口 由定理3 7 知，可以将参数( “，力换为 1 - ) ，使得f = f 需要注意的是a 西a 甜， 因为a 国是当h 固定时的偏导数，而a 衍是当日固定时的偏导数在余下的篇幅中， 我们将一直在新的参数系下进行讨论为了简单起见，将r 仍记为f 在口和f 构成的坐 标架内，曲率尼，周长l 和面积a 的发展方程依旧分别由( 3 1 0 ) 式，( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式给 出 在余下的篇幅里，将研究如下的与( 1 1 ) ( 1 2 ) 式等价的发展问题： 墨= 一丢等丁+ ( 去一晏) x ( 日，o ) = 弱( 9 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 如果初始曲线是凸的，并且假设曲线在发展过程不会产生奇性，那么发展曲线的最终形 状在h a u s d o 椰度量下是一个圆周( 下一节的内容将会保证这里的假设是合理的) 1 3 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 引理3 3 如果曲线按照方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式发展，只要初始曲线是凸的，在发展过 程中，曲线周长就保持不变，而且曲线所围区域的面积逐渐增大 证明因为j r 胁= 纫，很容易根据( 3 7 ) 式得到厶= o ，也就是说在发展过程中 曲线的周长l 始终保持不变而对于面积a ，根据( 3 8 ) 式，c a u c h y - s c h w a n z 不等式以 及经典的等周不等式，可以得到a f 0 ，也就是说，在发展过程中，曲线所围的面积逐渐 增大 口 推论3 4 如果凸曲线按照方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式发展，那么在发展过程中，随着时间f 趋 于无穷大，等周差额驴一锄逐渐减小并收敛到o 证明由引理3 3 的证明过程，很容易得出 兰( r 一4 嬲) = 弛一抛，o ， 因此口一4 丌a 逐渐减小接下来用( 3 7 ) 式，( 3 8 ) 式和定理2 1 作出更精确的估计： 笔( l 2 一锄) = 一锄，一钉半= 一2 p 一似) 对上述不等式两边积分。得到 口一锄“名一抛o ) 矿厶， 应用迫敛性，由上述不等式和经典的等周不等式，可以得到在时间f 趋于无穷大时，发 展曲线的等周差额p 一讹收敛到0 口 根据推论3 4 和b o 衄e s 不等式( 见参考文献【3 】，【2 0 】或者【2 2 】) ，可以非常容易得出 如下的定理在这里，我们省略具体的证明( 证明方法类似于参考文献【9 】的推论2 5 ) 定理3 5 如果曲线在发展的过程中不出现奇性，那么随着时间f 趋于无穷，曲线 在h a u s d o 衙测度下收敛到圆 注：如果初始曲线是一个圆周，那么在发展过程中的每一个时刻f ，曲线仍旧是初 始的圆也就是说，初始圆在发展过程中保持不变，或者说，圆周在该流的作用下是稳定 的根据定理3 5 知道，长度为l 的初始曲线在时间f 趋于无穷时，收敛到一个以参为 半径的圆周 1 4 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 3 2 存在性 现在我们将要处理曲线的曲率发展方程首先，观察到，虽然曲率的发展方程( 3 1 0 ) 式 是一个非线性抛物型偏微分方程，但是可以通过一些变换将其转化成为标准的热方 程( 见如下的( 4 1 ) 式) ，并在引理3 6 中证明出曲率的发展方程有整体的古典解在定 理3 7 中，我们将证明发展曲线的曲率总是有界的，而且在发展过程中总是正值，也就 是说凸曲线在发展过程中保持凸性定理3 9 说明研究曲线发展问题可转化为研究一 个非线性微分方程的初值问题 引理3 6 曲率的发展方程( 3 1 0 ) 可以转化成标准的热方程，因此在任意时刻f ，方 程均可解 证明方程( 3 1 0 ) 司以被写为 差( 昙) = 磊( 妻) + 主一去 因为周长l 是常数，所以上述方程能被改写为 加a 2 v 面= 丽w ， 其中v = 童一刍我们令w = v 旷，上述方程可进一步改写为 m = w 阳， 并且初值为 删，= 赤一刍 因此，可以得到上述方程的解为 w d = 志r 学( 志一去) 棼 至此，定理得证 定理3 7 严格凸曲线在按照方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式发展的过程中始终保持凸性 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 口 证明只需要证明若初始曲线是正定向的平面凸曲线，发展曲线的曲率一直有界， 而且取正值 1 5 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 初始曲线的曲率 在区间【o ，刎是连续的，故有界因此，w ，0 ) = 赤一 参在【o ，刎也是有界的所以方程( 4 1 ) 的解一定在集合【o ，2 丌】【0 ，+ ) 上一直有界 也就是说，存在某个常数m o ，使得对于 d 【o ，刎( o ，+ o o ) ，有 l 以只纠尬 或者 l 丢一去is 彬 对任何有限时间r ，f 【0 ，r ) ， l 晏一刍i 胁r 因此得到 七( 日，力0 ，( 日，力【0 ，勿r 】【o ，r ) 根据七( 以力的连续性和初值是正的，知道 七( p ，d o ，( p ，力【o ，2 川【o ，r ) 由于r 的任意性，忌 f ) o ， 力【o ，刎【o ，+ ) 定理得证 口 下面验证在演化的过程中发展曲线满足闭条件 引理3 8 如果( d = 七( 口，o ) 0 满足 r 南羽- o ， 那么，对每个时刻f o ，解忌 力满足 f 赢棚一o 证明根据定理3 7 ，能够将( 3 1 0 ) 式改写为 兰( 一毫) = 盖( 晏) + 晏一去 在集合【o ，刎 o ，f 】( 乘以扩) 上积分可得 r 赢硼一r 赢硼= rr 蕞( 晏) + 妻一去】棚= o ， 1 6 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 其中最后个等式应用了分部积分法 口 因此，可以将曲线的发展问题转化为下述定理中的非线性微分方程的初值问题来 处理 定理3 9 凸曲线按照方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式发展的问题等价于如下的初值问题：寻 找忌= 足 ，d ：s 1 【o ，) _ 矿，使得 ( i ) 对所有的r o ，有七c 她l + 暑( s 1 【o ，r ) ) ； 岱) 赘= 萨【矗( 去一 ) + 缶一 】，其中l 是一个正常数； ( i i i ) 妖只o ) = ( p ) c 1 何岱1 ) ，筋( 9 ) o 并且户赢枷= o 、 汪明( 3 1 0 ) 式说明如果给定方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 式的一个解，发展曲线的曲率函数 用口和f 坐标表示的) 将满足( i i ) 和( i i i ) 反过来，给定该微分方程初值问题的一个解妖良d ，每一个时刻 o 有对应曲 线x ( 晚力= ( 只o ，) ，( p ，力) 可以表为( 顶多相差一个平移) 删= r 焉撕，y = r 蒜却 聊 可以直接验证( 3 1 5 ) 给出的曲线满足如下的发展方程 箬= 一去筹r + c 去一晏w西一肛a p j 。、2 丌七“ 并且对应曲线x ( 目，力的曲率刚好是七 力 。口 3 3 主要定理的证明 综上，可以给出主要定理的证明如下： 因为曲线发展方程的切向分量不影响发展曲线最终的几何形状，所以可以将原 始的曲线发展问题等价到方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式而定理3 7 ，引理3 3 ，推论3 4 和定 理3 5 保证了按照方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式发展的凸曲线保持凸性，周长不变，面积增大，等 周差额减小因此，曲线在发展过程中变得越来越圆 关于存在性，已经在定理3 9 中证明了，方程( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 式确定的发展问题等价 于一个非线性微分方程的初值问题而这个初值问题的解能够整体存在( 引理3 6 ) 为 1 7 华东师范大学平面凸曲线的非局部保长度发展问题 了确定收敛情况，可以从定理3 5 得到，发展曲线在h 甜s d o 椰测度下，伊地收敛到圆 根据引理3 6 的证明知道，地力对所有 力【0 ，2 棚【0 ，) 是可微的并且 ， ” l i m 双矾1 3 l = 睾， 日【o ，刎， ro工。 即发展曲线可以被认为是r 地收敛到圆定理得证 口 1 8 参考文献 【l 】b a n d r e w s ，e v o l v i n gc o n v e xc l l r v e s ，c a l c v a l p d e s7 ( 1 9 9 8 ) ，3 1 5 3 7 1 【2 】m a m 觚硒s e n 勰，v o l u m e - p r e s e r v i n gm e 觚c u n ，a n 鹏f l o w0 fr 0 谢0 n a j i ys y 咖e 喇c s u m i c e s ，c 0 玎瞰l e i 丸m a t h h e l v 7 2 ( 19 9 7 ) 5 2 6 6 3 】tb o 肋e s 朗& wf e n c h e l 功e o r i ed e rc 0 n v e x e nk 卸c h e l s e ap u b h s l l i j 唱，n e w y d r k1 9 4 8 【4 】k s c l l o u & x ez h u ，n ec l l n r es h o n 砌n gp r o b l e m ，c r cn e s s ，b 0 c ar a t o n ，f l ， 2 0 0 1 【5 】b c h o w ，el u & l n i ，h a m i l t o n sr i c c in o w b e i j i n g ：s c i e n c ep r e s s ；p r o v i d e n c e ， r i ：a m 丽c 觚m a 血e m a t i c a ls o c i e 吼2 0 0 6 【6 】k e c k e r ，r e g u l 撕哆m e o r y 氨d rm e 锄c u n ，a n 鹏n o w p r o g r e s si i ln o n l i n e a rd i 晚f e n t i a l e q l l a t i o n s 勰dt h e i ra p 硼c a t i 伽s ，5 7 ，b 缸烛她s e rb 0 s t o n ，i n c ，b 0 s 坟弛m a ，2 0 0 4 【7 】m e g a g e ，a - ni s o p 耐m e t r i ci n e q u a l i t ) ，w i 也a p p l i c 撕0 n st 0c u r v es h 0 哟l 曲舀d u k e m a 也j 5 0 ( 1 9 8 3 ) ，1 2 2 5 1 2 2 9 【8 】m e g a g e c u r v es h o r 渤l i i l gm a k e sc o n v e xc u r v e sc h u l 瓯i i l _ v e n t m a m 7 6 ( 1 9 8 4 ) ， 3 5 7 3 6 4 【9 】m e g a g e ，o n 雒锄沦p r e s e r 、，i n ge v o l 而o ne q u a t i o nf b rp l a n ec i l r v e s ，i n n o n l i n e a r p r o b l 锄si ng e o m e 田”( d m d 办眦ke d i t e d ) ，c o n t e m p m 础v 0 1 51 ( 19 8 6 ) ，5l 一6 2 【l o 】m e g a g e r s h a i i i n t o n ，t h eh e a te q u 撕o ns 枷n g c o n v e xp l 锄e 涨s ，j d 赶 g e o m 2 3 ( 1 9 8 6 ) ，6 9 9 6 【1 1 】m g r 珂s o n ，t kh e a te q u a t i o ns 城n k se i n b e d d e dp l a i l ec u r v et 0r o u n dp o i n t s ，j d i 盈 g e o m 2 6 ( 19 8 7 ) ，2 8 5 3 1 4 华东师范大学 平面凸曲线的非局部保长度发展问题 【1 2 】m g r c e n s o s h e r s t e i l l c rp o l y n o m i a l s ，w u l f rn o w s ，柚ds o m en e wi s o p e n m e t r i c i n e q u 址t i e sf o rc o n 嗽p l 锄ec l l r v e s ，舡i 翘j m a t h 3 ( 19 9 9 ) ，6 5 9 - 6 7 6 【13 】g h u i s k 朗，f l o wb ym 锄c u r v a t u 佗0 fc o n v 懿s u 血舱e si n t 0s p h e r e s ，j d i 仃g e o m 2 0 ( 19 8 4 ) ，2 3 7 2 6 6 【1 4 】g h u i s k c n ，n l ev 0 l u m ep r e s e r v i n gi n e 孤c u r v a m 陀n o w j r e i 鹏a n g e w m a n l 3 8 2 ( 1 9 8 7 ) 3 5 - 4 8 【1 5 】l m a d z c h ，c u n r es h o m n i n gi i la 黜e m 锄j l i 觚m 觚i f 0 1 d a 曲m a t l l p u 唿 a p m 18 6 ( 2 0 0 7 ) ，6 6 3 - 6 8 4 【1 6 】u f m a y c r as i n g l l l a re x a m p l ef b r n l ea v e r a g e dm e 觚c u r v a n 玳n o w e x p 嘶m e n t a l m a m 、议1 0 ( 2 0 0 1 ) ，1 0 3 1 0 7 【1 7 】u em a y e r g s h o n e 位 s e l f - i n t e r s 吲i o n sf o rm es u m c ed i 仟u s i o n 锄d 也ev o l 啪e p r e s e r v i n gm e 锄c u r v a t l l i e 丑o w d j l f e r e n 畦a la n dh l 喇e q u 觚o i l sl3 ( 2 0 0 0 ) ，“8 9 一 1 1 9 9 【l8 】j a 。m c c o y ，t h es u r f a c ea r e ap f e s e n ，i n gm e 觚c u n ，a t u r cf l o w a s i 锄j m a 吐1 7 ：l ( 2 0 0 3 ) ，7 3 0 【1 9 】j a m c c o y ，m i x e dv o l 哪ep r e s e r v i n gc u r v a t u r en o w s c a l c 正p d e s2 4 ：2 ( 2 0 0 5 ) ， 1 31 1 5 4 【2 0 】r o s s e 册a n ， b o 蚰e s e n s 哆1 ei s o p e 血i l e t r i ci i l 删d e s ，a m e f m a m m 0 n t h l y 8 6 ( 1 9 7 9 ) ，1 2 9 【2 1 】s l p a i l ，an o t eo n l eg e n e r a lc u r 、，ea o w s ，j m a t h s t i l d y3 3 ( 2 0 0 0 ) ，1 7 - 2 6 【2 2 】r s c l l i l e i d e r c o n v e xb o d i e s ：t 1 1 eb m t l n - m 枞s l ( in e o 吼c 锄b r i d g eu i l i v e r s 时 p r e s s ，c 卸曲r i d g e - n e wy r o 氐1 9 9 3 【2 3 】d h t s a i ，o nt h ef 0 唧a t i o n0 fs i n g u l a r i t i e si nm ec u n ，ee x p 锄d i n gf l o w c a l c 、厂刁正 鼢r t i a ld i 陀n t i a le q u a 廿o i l s1 4 ( 2 0 0 2 ) ，3 8 5 - 3 9 8 【2 4 】d h t s a i ，a s y m p t o t i cd o s e n e s st 0l i i i l i 缸gs h a p e sf 0 re x p a i i d i n ge m b e