（基础数学专业论文）子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究.pdf

摘要 本文主要研究子流形上几何、分析与拓扑的若干问题，获得了局部共形平 坦黎曼流形的整体刚性定理，球面中c l i f f o r d 超曲面的几何特征，四维双曲空间 中某些超曲面的分类，黎曼子流形的拓扑球面定理和微分球面定理以及在曲率 积分拼挤条件下平均曲率流解的收敛性定理和关于时间的可延拓性定理等结 果 本文第二章研究了局部共形平坦黎曼流形的几何刚性m t a u i t 1 证明了 具有正r i c c i 曲率和常数量曲率的紧致可定向局部共形平坦流形的万有覆盖空间 等距于球面成庆明，s i s h i k a w a 和k s h i o h a m a c i s 给出了数量曲率和戤c c i 曲 率模长都是正常数的3 维完备的局部共形平坦流形的分类最近，s p i g o l a ，m r i g o l i 和a g s e t t i p r s 在逐点的瞰c c i 曲率拼挤条件下得到了空间形式的几何 特征，并证明了当数量曲率为零时局部共形平坦黎曼流形的l 考拼挤定理在第 二章中，我们证明了当数量曲率为常数时局部共形平坦流形的己p 拼挤定理，改 进和发展了s p i g o l a ，m r i g o l i 和a g s e t t i 得到的l 翌拼挤定理，并将有关结果 推广到数量曲率为非零常数的情形 第三章刻画了球面中c l i f f o r d 超曲面的几何特征j s i m o n s s i ，h l a w - s o n l a ，陈省身，m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i c d k 证明了球面中闭极小子流 形的刚性定理据此，陈省身先生提出了关于常数量曲率极小超曲面的陈氏猜 想彭家贵，滕楚莲 p t l ，s p c h a n g c t l a l l ，杨洪苍，成庆明 y c l y c 2 ，y j s u h ，h y y a n g s y 等先后研究了陈氏猜想彭家贵和滕楚莲f p t 2 进一步 证明了关于球面中礼维5 ) 极小超曲面数量曲率的第二拼挤区间的存在性 定理最近，魏嗣明和许洪伟 w x 将彭家贵和滕楚莲 p t 2 的结果推广到维 数他= 6 ，7 的情形在第三章中，我们研究了球面中一类闭的常平均曲率超曲面 数量曲率的第二拼挤区间存在性问题，推广了彭家贵、滕楚莲、魏嗣明和许洪 伟的数量曲率第二拼挤区间的存在性定理 第四章给出了4 维双曲空间中超曲面的几何分类彭家贵和滕楚莲 p t l p t 2 1 曾 研究了4 维单位球面中闭极小超曲面的几何s a l m e i d a ，f b r i t o ，l s o u s a a b l a b s ， j r a m a n a t h a n r a 等给出了4 维单位球面中常g a u s s k r o n e c k e r 曲率闭超曲面 的几何分类t h a s a n i s ，a s a v a s h a l i l a j ，t v l a c h o s h s v l l h s v 2 和成庆 子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究 明c h 2 等研究了4 维欧氏空间和双曲空间中完备极小超曲面的分类问题在第 四章中，我们给出了4 维双曲空间中一类具有常q u a s i - g a u s s - k r o n e c k e r率和常 平均曲率的完备超曲面的几何分类，推广了t h a s a n i s ，a s a v a s - h a l i l a j ，t v l a c h o s 和成庆明等人的结果 第五章证明了子流形拓扑球面定理和微分球面定理运用球面中紧致子 流形上稳定流的不存在性和广义p o i n c a r d 猜想，h l a w s o n 和j s i m o n s l s i 正明 了子流形的拓扑球面定理k s h i o h a m a 和许洪伟 s x 3 i 正s y j 的拓扑球面定理推 广和改进了h l a w s o n 和j s i m o n s 的结果最近，付海平和许洪伟 f x 将拓扑 球面定理推广到外围空间为双曲空间形式的情形通过研究平均曲率流，g h u i s k e n h u l h u 2 h u 3 得到了超曲面的微分球面定理在第五章中，通过研究 子流形的迷向曲率，我们证明了一般黎曼流形中子流形的拓扑球面定理，将常 曲率空间形式中子流形的拓扑球面定理推广到外围空间为一般黎曼流形的情 形运用b r e n d l e - s c h o e n 的r i c c i 流技巧，我们首次证明了曲率拼挤条件下子流形 的微分球面定理我们得到的部分球面定理的拼挤条件是最佳的 第六章研究了欧氏空间中闭超曲面的平均曲率流g h u i s k e n h u l l 曾证明 欧氏空间中的凸超曲面必在有限时间内沿平均曲流方向收缩到一点，并获得 了超曲面平均曲率流关于时间延拓的一个充分条件最近，n s e s u m s e 和b w a n g w 1 用爆破( b l o wu p ) 的方法证明了硒c c i 流的解关于时间的可延拓性定理 在第六章中，我们证明了在曲率积分拼挤条件下超曲面平均曲率流的收敛 性定理和关于时间的可延拓性定理，发展和推广了g h u i s k e n ，n s e s u m ，b w a n g 等人的工作 关键词：子流形；黎曼流形；几何刚性；拓扑球面定理；微分球面定理；平均 曲率流；r i c c i 曲率；数量曲率；平均曲率；q u a s i g a u s s - k r o n e c k e r i 曲率；曲率拼 挤；肛曲率拼挤 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h eg e o m e t r y , a n a l y s i sa n dt o p o l o g yo fs u b - m a n i f o l d s w eo b t a i n 2 一p i n c h i n gt h e o r e m sf o rl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a tr i e m a n - n i a nm a n i f o l d s ，ag e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o no fc l i f f o r dh y p e r s u r f a c e s ，t h ec l a s s i - f i c a t i o no fc e r t a i nh y p e r s u r f a c e si na4 - d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cs p a c e ，t o p o l o g i c a l a n dd i f f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m sf o rr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d s ，t h ec o n v e r g e n c e a n de x t e n s i o no v e rt i m ef o rt h em e a nc u r v a t u r ef l o wu n d e ri n t e g r a lc u r v a t u r e p i n c h i n gc o n d i t i o n s ，e t c i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h eg e o m e t r i cr i g i d i t yf o rl o c a l l yc o n f o r m a l l y f l a tr i e m a n n i a nm a n i f o l d s m t a n i t 1s h o w e dt h a tt h eu n i v e r s a lc o v e ro fa c o m p a c to r i e n t e dl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o l dw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e a n dc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei si s o m e t r i c a l l yas p h e r e q m c h e n g ，s i s h i k a w a a n dk s h i o h a m a 【c i s 】c o m p l e t e l yc l a s s i f i e d3 - d i m e n s i o n a lc o m p l e t ea n dl o c a l l y c o n f o r m a l l yf l a tr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，w h o s es c a l a rc u r v a t u r ea n dt h en o r mo f t h ep d c c ic u r v a t u r et e n s o ra r ep o s i t i v ec o n s t a n t s r e c e n t l y , s p i g o l a ，m r i g o l i a n d a g s e t t i 【p r s c h a r a c t e r i z e das i m p l yc o n n e c t e ds p a c ef o r mu n d e rap o i n t w i s er i c c ic u r v a t u r ep i n c h i n gc o n d i t i o n t h e ya l s op r o v e dal 暑一p i n c h i n gt h e o r e m f o rl o c a l l yc o n f o r m a l l yf i a tr i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hz e r os c a l a rc u r v a t u r e i nc h a p t e r2 ，w ep r o v es o m el v - p i n c h i n gt h e o r e m sf o rl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a t m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ，w h i c hi m p r o v ea n dd e v e l o ps p i g o l a ， m r i g o l ia n da g s e t t i s 三苫一p i n c h i n gt h e o r e m ，a n de x t e n dr e l a t e dr e s u l t st o t h ec a s ew h e r et h es c a l a rc u r v a t u r ei san o n z e r oc o n s t a n t i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fc l i f f o r dh y p e r s u r f a c e si nt h e u n i ts p h e r e j s i m o n s s i ，h l a w s o n l a ，s s c h e r n ，m d oc a r m oa n ds k o b a y a s h i c d k p r o v e da f a m o u sr i g i d i t yt h e o r e mf o rc l o s e dm i n i m a ls u b m a n i f o l d si nt h eu n i ts p h e r e b a s i n go nt h i sr e s u l t ，c h e r nm a d eac o n j e c t u r e ，k n o w n a sc h e r n sc o n j e c t u r e ，f o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e i na s p h e r e c k p e n g ，c l t e r n g p t l ，s p c h a n g c h a l ，h c y a n g ，q m c h e n g y c l y c 2 ，y j s u ha n dh y y a n g s y ，e t c ，h a v ed o n es o m ew o r k s v i 子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究 o nc h e r n sc o n j e c t u r e f u r t h e r ，c k p e n ga n dc l t e r n g p t 2 】o b t a i n e dt h e e x i s t e n c et h e o r e mo ft h es e c o n dp i n c h e di n t e r v a lf o rt h es c a l a rc u r v a t u r eo f 扎一 d i m e n s i o n a l ( n 5 ) m i n i m a lh y p e r s u r f a c e si nas p h e r e r e c e n t l y , s m w e ia n d h w x u w x e x t e n d e dc k p e n ga n dc l t e r n g p t 2 sr e s u l tt ot h ec a s e w h e r e 札= 6 ，7 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo ft h es e c o n dp i n c h e d i n t e r v a lf o rt h es c a l a rc u r v a t u r eo fc e r t a i nc l o s e dh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n t m e a nc u r v a t u r ei nt h eu n i ts p h e r e ，w h i c he x t e n d st h ee x i s t e n c et h e o r e mo ft h e s e c o n dp i n c h e di n t e r v a lf o rt h es c a l a rc u r v a t u r ed u et oc k p e n g ，c l t e r n g ， s m w e ia n dh w x u ，e t c i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h eg e o m e t r i cc l a s s i f i c a t i o nf o rh y p e r s u r f a c e si na 4 - d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cs p a c e c k p e n ga n dc l t e r n g p t l p t 2 】s t u d i e d t h eg e o m e t r yo fc l o s e dm i n i m a lh y p e r s u r f a c e si nau n i t4 - s p h e r e s a l m e i d a ， f b r i t o ，l s o u s a a b l 】 a b s ，j r a m a n a t h a n r a ，e t c ，s t u d i e dt h eg e o m e t r i c c l a s s i f i c a t i o nf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e si nau n i t4 - s p h e r ew i t hc o n s t a n tg a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r e t h a s a n i s ，a s a v a s h a l i l a j ，t v l a c h o s h s v l h s v 2 ， q m c h e n g c h 2 ，e t c ，i n v e s t i g a t e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s w i t hc o n s t a n tg a u s s k r o n e c k e rc u r v a t u r ei n4d i m e n s i o n a le u c h d e a ns p a c ea n d h y p e r b o h cs p a c e i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t m n ac l a s s i f i c a t i o no fc e r t a i nc o m p l e t e h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ea n d c o n s t a n tq u a s i - g a u s s k r o n e c k e r c u r v a t u r ei na4 - d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cs p a c e ，w h i c he x t e n d st h er e s u l t sd u et o t h a s a n i s ，a s a v a s h a l i l a j ，t v l a c h o sa n dq m c h e n g ，e t c i nc h a p t e r5 ，w ep r o v et o p o l o g i c a la n dd i f f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m sf o r r i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d s u s i n gt h en o n e x i s t e n c eo fs t a b l ec u r r e n t so nc o m p a c t s u b m a n i f o l d si nt h es p h e r ea n dt h eg e n e r a h z e dp o i n c a r c o n j e c t u r e ，h l a w s o n a n dj s i m o n s l s 】o b t a i n e dt h ef a m o u st o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d si nas p h e r e k s h i o h a m aa n dh w x u s x 3 st o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e m g e n e r a l i z e sa n di m p r o v e sh l a w s o na n dj s i m o n s r e s u l t r e c e n t l y , h p f u a n dh w x u f x 】e x t e n d e dt h et o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e mt ot h ec a s ew h e r et h e a m b i e n ts p a c ei sah y p e r b o l i cs p a c e b ys t u d y i n gt h em e a nc u r v a t u r ef l o w ，g h u i s k e n h u l h u 2 h u 3 】o b t a i n e ds o m ed i f f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m sf o rc e r t a i n h y p e r s u r f a c e s i nc h a p t e r5 ，w ep r o v eat o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d si nag e n e r a lr i e m a n n i a nm a n i f o l db yi n v e s t i g a t i n gt h ei s o t r o p i cc u r v a t u r e a b s t r a c t o fs u b m a n i f o l d s ，w h i c he x t e n d st h et o p o l o g i c a ls p h e r et h e o r e m sf o rs u b m a n i f o l d s i ns p a c ef o r m st ot h ec a s ew h e r et h ea m b i e n ts p a c ei sag e n e r a lr i e m a n n i a n m a n i f o l d u s i n gb r c n d l e - s c h o e n sr i c c if l o wt e c h n i q u ew ei n i t i a lt h es t u d yo f d i f f e r e n t i a b l ep i n c h i n gp r o b l e m sf o rr i e m a n n i a ns u b m a n i f o l d sa n do b t a i nd i f - f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m sf o rs u b m a n i f o l d s o u rp i n c h i n gc o n d i t i o n si ns o m e s p h e r et h e o r e m sa r eo p t i m a l i nc h a p t e r6 ，w es t u d yt h em e a nc u r v a t u r ef l o wo i lc l o s e dh y p e r s u r f a c e s i ne u c l i d e a ns p a c e g h u i s k e n h u l p r o v e dt h a tac o n v e xh y p e r s u r f a c ei nt h e e u c l i d e a ns p a c ew i l ls h r i n kt oa p o i n ti nf i n i t et i m ea l o n gt h em e a nc u r v a t u r ef l o w h ea l s oo b t a i n e da s u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oe x t e n dt h em e a nc u r v a t u r ef l o wo v e r t i m e u s i n gab l o w u pa r g u m e n t ，n s e s u m s e a n db w a n g 【w 】r e c e n t l yp r o v e d t h ee x t e n s i o nt h e o r e mf o rr i c c if l o wo v e rt i m e i nc h a p t e r6 ，w ep r o v es e v e r a l t h e o r e m so fc o n v e r g e n c ea n dt h ee x t e n s i o no v e rt i m ef o rt h em e a nc u r v a t u r ef l o w u n d e ri n t e g r a lc u r v a t u r ep i n c h i n gc o n d i t i o n s ，w h i c hd e v e l o pt h ew o r k sd u et og h u i s k e n ，n s e s u m ，b w a n g ，e t c k e y w o r d s ：s u b m a n i f o l d ；r i e m a n n i a nm a n i f o l d ；g e o m e t r i cr i g i d i t y ；t o p o l o g - i c a ls p h e r et h e o r e m ；d i f f e r e n t i a b l es p h e r et h e o r e m ；m e a nc u r v a t u r ef l o w ；r i c c i c u r v a t u r e ；s c a l a rc u r v a t u r e ；m e a l lc u r v a t u r e ；q u a s i - g a u s s - k r o n e c k e rc u r v a t u r e ； c u r v a t u r ep i n c h i n g ；2 一c u r v a t u r ep i n c h i n g 第一章引言 本文主要研究子流形上几何、分析与拓扑的若干问题，获得了局部共形平 坦黎曼流形的整体刚性定理，球面中c l i f f o r d 超曲面的几何特征，四维双曲空间 中某些超曲面的分类，黎曼子流形的拓扑球面定理和微分球面定理以及在曲率 积分拼挤条件下平均曲率流解的收敛性定理和关于时间的可延拓性定理等结 果本文主要由五部分组成( 本文第二至第六章) 在第一部分中，我们研究了局部共形平坦黎曼流形的三p 拼挤问题黎曼流 形上局部共形平坦结构是黎曼曲面上共形结构的自然推广黎曼曲面很显然是 局部共形平坦的但是在高维的情形，并不是每个黎曼流形上都存在一个局部 共形平坦结构，给局部共形平坦流形一个好的分类是一个很困难的问题我们感 兴趣的是局部共形平坦黎曼流形的几何刚性m t a n i t 证明了具有正r i c c i 曲 率和常数量曲率的紧致可定向局部共形平坦黎曼流形的万有覆盖空间等距于 球面成庆明，s i s h i k a w a 和k s h i o h a m a c i s 给出了数量曲率和r i c c i 曲率模 长都是正常数的3 维完备局部共形平坦黎曼流形的分类最近，s p i g o l a ，m p d g o l i 和a g s e t t if p r s 在逐点的瞰c c i 曲率拼挤条件i r i c l 2 磐下得到空间 形式的几何特征，并证明了下面的整体拼挤定理 定理a ( p i g o l a _ r i g o u s e t t i p r s ) 设( m ，9 ) 为钆维( 佗3 ) 完备单连通且数 量曲率为零的局部共形平坦黎曼流形如果 r i c l l 号 c ( 礼) ， 那么m 等距于欧氏空间这里c ( n ) = 2 n 一5 2 ( n 一1 ) 1 2 一2 ) 3 叫影n ，叫n 表示单 位球面s n 的体积，”il 七表示三七范数 在第二章中，我们将上述拼挤常数略作改进，并推广到数量曲率为非零常 数的情形 定理1 设( m ，夕) 为礼维完备的局部共形平坦黎曼流形，数量曲率r 为常数则 ( i ) 如果n 3 ，r = 0 ，且| j r t c 峙 q ) ，那么m 等距于完备的平坦黎曼流形 2 子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究 特别地，如果m 是单连通的，那么m 等距于欧氏空间r n ； ( i i ) 如果礼6 ，r = n ( n 一1 ) c 0 ，且i | 崩c 恬 o ) 的球 面酽( 1 ) 或常曲率为c ( c o ) 的双曲空间n ( c ) 这里研( n ) = 2 n 5 2 ( n 一1 ) 1 2 ( n 一2 ) 2 2 n + 4 ) w 2 n , 岛( n ) = v n ( n - 1 ) w 暑n 定理2 设( m ，9 ) 为仃维完备的局部共形平坦黎曼流形，数量曲率r 为常数，则 ( i ) 如果礼3 ，r = n ( n 一1 ) ，且l l r i c i i l l , g ) ，那j a m 等距于球空间形式特 别地，如果m 是单连通的，那么m 等距于s n ； ( i i ) 如果铊6 ，r = - n ( n 一1 ) ，且l l r i c l l n 瓯 ) ，l i r i c l l 号 + o o ，那么m 等距 于双曲空间形式特别地，如果m 是单连通的，则m 等距于p 这里岛( 礼) = 2 n 一5 2 ( n - 1 ) 1 2 ( 他一2 ) 1 2 ( 扎2 - n + 4 ) 1 2 ( 3 礼2 4 n + 4 ) 1 2 t u 影n ，q ( 礼) = 2 v 一5 2 ( 佗一1 ) 1 2 ( 佗一2 ) 1 2 ( n 2 2 n + 4 ) 1 2 ( n 3 8 n 2 + 1 6 n 一1 6 ) 1 2 叫影n 在第二部分中，我们刻画了球面中c l i f f o r d 超曲面的一个几何特征j s i m o n s s i l ，h l a w s o n l a ，陈省身，m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i c d k 证明了 关于球面中闭极小子流形的著名刚性定理根据这一结果，陈省身先生提出了 著名的陈氏猜想，即如果把单位球面中数量曲率为常数的闭极小超曲面看作 一个集合，把超曲面的数量曲率看做这个集合上的函数，那么这个函数只能取 离散值在1 9 8 3 年，彭家贵和滕楚莲 p t l 首先在这方面获得突破，他们证明了 单位球面中数量曲率为常数的闭极小超曲面数量曲率具有第二个空隙，且空 隙区间长度至少为去对于礼= 3 的情形他们证明了数量曲率的第二个空隙长 度为3 1 9 9 3 年，s p c h a n g c h a 证明当n = 3 时陈氏猜想成立如果不假设数 量曲率为常数，能否证明球面中闭极小超曲面数量曲率的第二拼挤定理? 彭 家贵和滕楚莲 p t 2 给出了部分解答，当维数死5 时他们证明了关于球面中 闭极小超曲面数量曲率的第二拼挤定理最近，魏嗣明和许洪伟w x l 证明了 当几= 6 ，7 时球面中闭极小超曲面数量曲率的第二拼挤定理沈一兵 s h y l ，李 安民、李济民 l l 等先后用不同的方法改进了s i m o n s - l a w s o n - c h e r n - d oc a r m o - k o b a y a s h i 碰j 性定理中的拼挤常数m o k u m u r a f o k l l o k 2 1 、丘成桐f y 2 1 等许多 学者曾研究过球面中平行平均曲率子流形的刚性问题，并得到部分结果许洪 伟完整地证明了广义s i m o n s - l a w s o n - c h e r n - d oc a r m o - k o b a y a s h i 习u 性定理 第一章引言 3 定理b ( x u x 1 】 x 2 】) 设m n 为( 礼+ p ) 维单位球面s 件+ p 中竹维具有平行平均曲 率向量的闭子流形，日和s 分别为m 的平均曲率和第二基本形式的模长平方如 果 s q ( 佗，p ，日) ， 那么m 合同于下列曲面之一： ( 1 ) s n ( 赤) ； ( 2 ) 等参超曲面酽。1 ( 丽番) 南) c 旷 1 cs n + 1 ，= 1 ， 2 1 ； ( 4 ) 常平均曲率为h o 的c l i f f o r d , r 面s 17 1 ) s 1 ( r 2 ) cs 3 ( r ) ，这里7 1 ，1 2 = 2 ( 1 + h 2 ) 士2 h 0 0 + h 2 ) 1 2 一1 2 ，r = ( 1 + 日2 一瑶) 一1 2 ，且o h o 日； ( 5 ) s 4 【而1 甭) 中的v e r o n e s e r 曲 这里入和c l ( n ，p ，日) 为 入= n h + 等v n 2 h 警2 + 4 ( 丑n - 1 ) 咖罔= 烹品删m 协哪 其中 q ( 几，h ) = n + 特别地，如果h 0 且 1 2 3 日2 2 一1 ) 那么m 或者是酽+ p 中的全脐球面， 曲面，或者是s 4 ( 万耘) 中的 q ( 礼，p ) = 钆m 2 ( n s 劬( 几，p ) ， p = 1 ，或者p = 2 且h 0 ， p 3 ，或者p = 2 且h = 0 ， 或者是+ 1 ) 维单位球面中 c l i f f o r d 等参超 v e r o n e s e 曲面这里 2 历， i 佗， p 2 ，或者礼8 且p 3 ， n 7 且p 3 动一d 4 子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究 q m c h e n g 、h n a k a g a w a c n l ，h a l e n c a r 、m d oc a r m o a d 等分别独 立地证明了余维数为1 的特殊情形许洪伟，q m c h e n g ，h n a k a g a w a ，h a l e n c a r ，m d oc a r t o o n 性定理的一个推论给出了球面中具有常数量曲率的常 平均曲率超曲面数量曲率的第一空隙基于这一结果和陈省身猜想，可以对球 面中具有常数量曲率的常平均曲率超曲面提出广义陈氏猜想当n = 3 时，s p c h a n g c h a 2 i 正明了关于球面中具有常数量曲率的常平均曲率超曲面的广义陈 氏猜想许洪伟i x l l x 3 研究了球面中一类具有常数量曲率的常平均曲率超曲面 数量曲率的第二空隙问题在第三章，我们证明了球面中一类常平均曲率超曲 面数量曲率的第二拼挤区间的存在性定理，推广了彭家贵、滕楚莲、魏嗣明和 许洪伟的结果 定理3 设m 为单位球面s - + i 中n 维常平均曲率为日( 0 ) 的闭超曲面则 ( i ) 如果扎= 2 ，且s 卢( 2 ，日) ，那么s = p ( 2 ，日) 且m = s 1 ( 、7 南，) s 1 ( 、7 嚣) ( i i ) 如果3 几7 ，i h i 1 本文第四部分研究了一般黎曼流形中子流形的拓扑球面定理和微分球面 定理在黎曼几何中，球面定理主要研究黎曼流形上拓扑结构和微分结构的 唯一性问题最近，s b r e n d l e 和r s c h o e n b s 证明了关于紧致黎曼流形的f 逐 点) 1 4 微分拼挤定理在第五章中，我们运用几何分析工具证明了外蕴曲率拼 挤条件下黎曼子流形的拓扑拼挤定理和微分拼挤定理 运用球面中紧致子流形上稳定流的不存在性和由s s m a l e s r n 证明的广 义p o i n c a r 6 猜想，h l a w s o n 和j s i m o n s l s 获得了子流形的拓扑球面定理 定理d ( l a w s o n - s i m o n s l s 】) 设m n 为单位球面酽+ p 中佗维可定向的紧致子 流形则 6 子流形上几何、分析与拓扑的若干问题研究 ( i ) 如果他3 ，4 ，且s 2 “f 1 ，那么m 拓扑同胚于球面； ( i i ) 如果n = 3 ，4 ，且s n 一1 ，那么m 为同伦球面 k s h i o h a m a 并 d 许洪伟 s x 3 改进和推广t h l a w s o n 和j s i m o n s 懈，得 到了非负常曲率空间形式中完备子流形的最佳拓扑球面定理 定理e ( s h i o h 锄a - x u s x 3 】) 设m n 为常曲率为c ( o ) 的完备单连通空间形 式p + p ( c ) 中n 维可定向的完备子流形令 咖川一+ 而n 3 肛蚓厕再而 如果si 触, s u p m ( s a ( 礼，h ，c ) ) 0 ，那么 ( i ) 当死3 时，m 拓扑同胚于扎维球面； ( i i ) 当n = 3 时，m 微分同胚于3 维球面空间形式 最近，付海平和许洪伟f x 将上述拓扑球面定理推广到外围空间为双曲空 间形式的情形通过研究平均曲率流，g h u i s k e n h u l lf h u 2 1 h u 3 得到了一些超 曲面的微分球面定理在第五章中，我们证明了一般黎曼流形中子